Concours Physique ENS Lyon, Cachan (PC*) 1998 (Corrigé)

E.N.S. LYON - CACHAN PC* 1998 Composition de Physique
1. Déformations et contraintes dans un solide élastique
1.1.1 Par définition, $x'\,\, = \,\,x\,\, + \,\,{u_x}(x,t)\;\;$ et ${S_1}(x,t)\,\,\, = \,\,\,\frac{{dx'\, - \,dx}}{{dx}}\,\, = \,\,\frac{{\partial {u_x}}}{{\partial x}}$. On en déduit donc $dx'\,\, = \,\,dx\,\, + \,\,\frac{{\partial {u_x}(x,t)}}{{\partial x}}\,dx$
1.1.2 $\vec F(x,t)\, = \,{C_1}\;\frac{{\partial {u_x}}}{{\partial x}}\,A\;{\vec e_x}$ . Pour l'ensemble : en statique , FÍ représente la tension , et est uniforme . Il en est donc de même pour $\frac{{\partial {u_x}}}{{\partial x}}\,\, = \,\,\frac{{\Delta \ell }}{\ell }$ . $\vec F(x,t)\, = \,{C_1}\;\frac{{\partial {u_x}}}{{\partial x}}\,A\;{\vec e_x}$ La raideur du ressort équivalent est donc $K\, = \,\,{C_1}\,\,\frac{A}{\ell }\,\,$ .

1.1.3 La contrainte est alors représentée par -P(x,t) . En éliminant la pression au repos qui correspond à l'absence de contraintes internes , on posera T1 = - p(x,t) , et par définition de la compressibilité , pour le fluide en évolution isentropique , $- \,\frac{1}{V}\,{\left( {\frac{{\partial V}}{{\partial p}}} \right)_S}\,p\,\,\, = \,\,{\chi _s}\,\,p\,\,\,$ avec $\frac{1}{V}\,{\left( {\frac{{\partial V}}{{\partial p}}} \right)_S}\,p\,\,\, = \,\,\frac{{\partial {u_x}}}{{\partial x}}\,\, = \,{S_1}\,\, = \,\, - \,{\chi _s}\,\,p\,\,$ . D' où ${T_1}\,\, = \,\,\frac{1}{{{\chi _s}}}\,\,{S_1}\,\,$ ..
1.1.4 Pour une aire A , il y a n a A files d'atomes . La tension vaut donc $n\,a\,A\,\,k\,\frac{{\partial {u_x}}}{{\partial x}}\,a\,\, = \,{C_1}\;\frac{{\partial {u_x}}}{{\partial x}}\,A\,$ car l' allongement du ressort est $u(x + \frac{a}{2})\, - \,u(c - \frac{a}{2})\,\, = \,\frac{{\partial u}}{{\partial x}}\,\,a$ et donc la tension $+ \,k\,\frac{{\partial u}}{{\partial x}}\,\,a$. ${C_1} = n{a^2}k$
1.2.1 Pour que $\frac{{\partial {u_y}}}{{\partial x}}$ soit positif , il faut que la partie droite exerce une force dirigée suivant y sur la partie gauche . Donc ${T_2}\,\, = \,\,{C_2}\,\frac{{\partial {u_y}}}{{\partial x}}$ avec C2 > 0 .
1.2.2 La contrainte de cisaillement vaut alors ${\vec e_y}\,{C_2}\,A\left[ {{{\left. {\frac{{\partial {u_y}}}{{\partial x}}} \right|}_{x + dx}}\,\,\, - \,\,{{\left. {\frac{{\partial {u_y}}}{{\partial x}}} \right|}_x}} \right]\,\, = \,\,{C_2}\,A\frac{{{\partial ^2}{u_y}}}{{\partial {x^2}}}\,\,dx\,\,{\vec e_y}$
soit une force volumique équivalente ${C_2}\,\frac{{{\partial ^2}{u_y}}}{{\partial {x^2}}}\,\,\,\,{\vec e_y}$
1.2.3 Pour un fluide de viscosité η , ce qui intervient n'est pas le cisaillement , mais la variation de la vitesse tangentielle .

2. Propagation d'une onde acoustique plane longitudinale
2.1.1 ${\ddot u_q}\,\, = \,\, - \,2\,\omega _o^2\,\,{u_q}\, + \,\omega _o^2\,\left( {{u_{q - 1}}\, + \,{u_{q + 1}}} \right)$
2.1.2 On en déduit $({\omega ^2}\, - \,\,2\,\omega _o^2)\,\underline {{u_q}} \, + \,\omega _o^2\,\underline {{u_{q - 1}}} \,\, + \;\,\omega _o^2\,\underline {{u_{q + 1}}} = \,0$
ou bien $\,\underline {{u_{q + 1}}} \,\, + \,\,\frac{{{\omega ^2}\, - \,\,2\,\omega _o^2}}{{\omega _o^2}}\,\,\underline {{u_q}} \, + \,\,\underline {{u_{q - 1}}} \,\, = \,\,0$ , ce qui se met sous la forme canonique , en posant
$S\,\, = \,\,\frac{{\,\,2\,\omega _o^2 - {\omega ^2}\,}}{{\omega _o^2}}\,\,\,{\rm{et}}\,\,P\,\, = \,\,1$ . Si les racines sont imaginaires , elles sont imaginaires conjuguées , de module égal à 1 : ${r_1}\, = \,{e^{i\phi }}\,\,{r_2}\, = \,{e^{ - i\phi }}\,\,{\rm{,avec}}\,\,\,2\cos \phi \, = \,2\, - \,\frac{{{\omega ^2}\,}}{{\omega _o^2}}$ On calcule alors : S2 - 4 < 0 si
:$\frac{{\,{{(\,2\,\omega _o^2 - {\omega ^2})}^2} - \,4\,\omega _o^4\,}}{{\omega _o^4}}\,\,\, < \,\,0\,$ $\omega \, < \,2\,{\omega _o} = \,{\omega _c}$ ${\omega ^2}\,\, = \,\,4\,\omega _o^2\,\,{\sin ^2}\frac{\phi }{2}$
$\underline {{u_q}} \,\, = \,\,A\,\,{e^{i(\omega t - q\phi )}}\,\,{\rm{ou}}\,\,\underline {u{'_q}} \,\, = \,\,A\,\,{e^{i(\omega t + q\phi )}}$ q ϕ peut encore s'écrire : $q\,a\,\frac{\phi }{a}\,\, = \,\,\frac{\phi }{a}\,x$ . On sera donc amené à poser : $k\,\, = \,\,\,\frac{\phi }{a}\,$ et les expressions précédentes représenteront deux ondes progressives se propageant dans le sens des x croissants pour la première , dans le sens des x décroissants pour la seconde , avec un vecteur d'onde k tel que : ${\omega ^2}\,\, = \,\,4\,\omega _o^2\,\,{\sin ^2}\frac{{k\,a}}{2}$ ou encore $\omega \,\, = \,\,2\,\omega _o^{}\,\,\left| {\sin \frac{{k\,a}}{2}} \right|$ .
Si ω > ωc = 2 ωo , les deux racines sont réelles négatives . Il n'y a pas de propagation , et la vibration "s'éteint" d'elle-même sur quelques atomes . ${u_q}(t)\,\, = \,\,{u_{qo}}\cos (\omega t + \psi )\left[ {a\,{e^{ - x/{\delta _1}}}\, + \,b{e^{ - x/{\delta _2}}}\,} \right]$
2.1.3 . vϕ et vg seront approximativement égaux dans la limite k « π/a ,et vaudront alors c = a ωo .
2.2.1 $\rho \,A\,dx\,{\ddot u_x}(x,t)\,\, = \,\,{C_1}\,\,A\,\left[ {{S_1}(x + dx)\, - \,{S_1}(x)} \right]\,\, = \,\,\,{C_1}\,\,A \,\frac{{{\partial ^2}{u_x}}}{{\partial {x^2}}}$ . On obtient ainsi l'équation de propagation : $\,\frac{{{\partial ^2}{u_x}}}{{\partial {x^2}}}\, = \,\,\frac{\rho }{{{C_1}}}\,\,\frac{{{\partial ^2}{u_x}}}{{\partial {t^2}}}$ avec la célérité c1 telle que : $c_1^2\,\, = \,\,\frac{{{C_1}}}{\rho }$
2.2.2 Le passage à la limite se fait pour λ » a . On obtient $c\,\, = \,\,{\omega _o}\,a\,\, = \,\,\sqrt {\frac{k}{m}} \,a$
${c^2}\,\, = \,\,\frac{{k\,{a^2}}}{m}\,\,\,\,{\rm{avec}}\,\,\,\,\,n\,k\,{a^2}\, = \,\,{C_1}\,\,\,\,et\,\,\,\,n\,\,m\,\,\, = \,\,\rho$ . C'est bien le même résultat .
2.2.3 $a\,\,\,\ll \lambda \,\, = \,\,\frac{c}{\nu }$ . la masse volumique ρ est de l'ordre de 5.103 kg.m-3 . Cela donne une valeur de c2 de l'ordre de 2.106 , et donc une célérité de 1,4.103 m.s-1 . $\frac{c}{\nu }$ est de l' ordre de
1,4.10-3 m : ce sont des ondes de longueur d'onde millimétrique , qui est bien supérieure à la distance inter atomique , laquelle est de l'ordre de 10-10 m . Le modèle continu est donc bien acceptable pour ces fréquences [ nettement ultrasonores] .

3. Onde acoustique plane transversale dans un solide
3.1.1 $\rho \,A\,dx\,{\ddot u_y}(x,t)\,\, = \,\,\,\,A\,\left[ {{T_2}(x + dx)\, - \,{T_2}(x)} \right]\,\, = \,\,\,{C_2}\,\,A \,\frac{{{\partial ^2}{u_y}}}{{\partial {x^2}}}$ , ce qui donne l'équation de propagation : $\,\frac{{{\partial ^2}{u_y}}}{{\partial {x^2}}}\, = \,\,\frac{\rho }{{{C_2}}}\,\,\frac{{{\partial ^2}{u_y}}}{{\partial {t^2}}}$
3.1.2 La célérité de ces ondes est donnée par : $c_2^2\,\, = \,\,\frac{{{C_2}}}{\rho }$ . On obtient numériquement
c2 = 3,92 . 103 m.s-1 .
3.1.3 Pour une onde progressive se propageant dans le sens positif : ${u_y}(x,t)\,\, = \,\,{u_y}(x - {c_2}t)\,\,\,$ . Si on pose : $\alpha = \,\,x - {c_2}t\,\,\,,\,\,u{'_y}\,\, = \,\,\frac{{d{u_y}}}{{d\alpha }}\,\,$ ${T_2}\,\, = \,\,{C_2}\frac{{\partial {u_y}}}{{\partial x}}\,\, = \,\,{C_2}\,u{'_y}\,\,\,\,,\,\,{v_y}\,\, = \,\,\,\frac{{\partial {u_y}}}{{\partial t}}\,\, = \,\, - {c_2}\,u{'_y}$ On peut ainsi obtenir l' impédance élastique : ${Z_ + }\,\, = \,\, - \,\frac{{{C_2}}}{{{c_2}}}\,\, = \,\, - \,\sqrt {\frac{\rho }{{{C_2}}}} \,\,$ . De même , pour l'onde se propageant dans l'autre sens , ${T_2}\,\, = \,\,{C_2}\frac{{\partial {u_y}}}{{\partial x}}\,\, = \,\,{C_2}\,u{'_y}\,\,\,\,,\,\,{v_y}\,\, = \,\,\,\frac{{\partial {u_y}}}{{\partial t}}\,\, = \,\, + {c_2}\,u{'_y}$ et ${Z_ - }\,\, = \,\,\,\frac{{{C_2}}}{{{c_2}}}\,\, = \,\,\sqrt {\frac{\rho }{{{C_2}}}} \,\,$ .
3.1.4 Les forces de viscosité entraînent une déperdition d'énergie , donc une absorption .
Il y aura l'équivalent d'un "effet de peau" pour les ondes transversales ; elles ne se propageront donc en fait que sur une petite distance .
3.2.1 Il n' y a pas de contrainte de cisaillement pour x = -h et pour x = +h . Les solutions stationnaires de l'équation de d'Alembert seront donc de la forme :
$\frac{{\partial {u_y}}}{{\partial x}}\,\, = \,\,{A_\omega }\,\sin (\omega t + \phi )\,\cos (kx + \psi )\,\,\,\,{\rm{avec}}\,\,\,\,k\,\, = \,\,\frac{\omega }{{{c_2}}}$
Les conditions aux limites imposent $\cos (kx + \psi )$ de la forme : $\sin \,\frac{{p\,\,\pi \,(x + h)}}{{2\;\;h}}$ , donc $\,\,\,\frac{{\,{\omega _p}}}{{{c_2}}}\, = \,p\,\frac{\pi }{{2h}}\,\,$ et $\,{\nu _{p\,\,}} = \,\,p\,\frac{{{c_2}}}{{4h}}$ .
$\frac{{\partial {u_y}}}{{\partial x}}\,\, = \,\,\sum\limits_p {{a_p}} \,\sin (p\,\frac{{\pi {c_2}}}{{2h}}t + \phi )\,\sin \,\frac{{p\,\,\pi \,(x + h)}}{{2\;\;h}}$ , d'où: ${u_y}\,\, = \,\,\sum\limits_p {{a_p}\frac{{2h}}{{p\pi }}} \,\sin (p\,\frac{{\pi {c_2}}}{{2h}}t + \phi )\,\cos \,\frac{{p\,\,\pi \,(x + h)}}{{2\;\;h}}$
Pour p = 1 : ${u_y}\, = \,{u_1}\,\sin (2\pi {\nu _1}t + {\phi _1})\,\sin \frac{{\pi x}}{{2h}}\,\,\,\,{\rm{avec}}\,\,\,\,{\nu _{\rm{1}}}\, = \,\frac{{{c_2}}}{{4h}}$
Pour p =2: ${u_y}\, = \,{u_2}\,\sin (2\pi {\nu _2}t + {\phi _2})\,\cos \frac{{\pi x}}{h}\,\,\,\,{\rm{avec}}\,\,\,\,{\nu _{\rm{2}}}\, = \,\frac{{{c_2}}}{{2h}}$
Application numérique : c2 = 3,92.103 m.s-1 ; ν1 = 1,96 MHz ; ν2 = 3,92 MHz .

4. Onde dans un cristal piézo-électrique
4.1.1 La charge +q est soumise à la force $q\,E\, + \,{k_2}\,{\alpha _2}\, - {k_1}\,{\alpha _1}\,\, = \,\,0\,\,{\rm{ \`a l'\'e quilibre }}{\rm{.}}$
La charge -q à la force $- q\,E\, - \,{k_2}\,{\alpha _2}\, + {k_1}\,{\alpha _1}\,\, = \,\,0\,\,$ . Donc : $E\,{\rm{ = }}\,\frac{{{k_1}\,{\alpha _1}\, - \,{k_2}\,{\alpha _2}}}{q}$
À l'une des extrémités , $q\,E\, + {f_1}\, - {k_1}\,{\alpha _1}\,\, = \,\,0$ et à l'autre : $- \,q\,E\, - {f_1}\, + {k_1}\,{\alpha _1}\,\, = \,\,0$ . D'où :
${f_1} = \,\, - q\,E\,\, + {k_1}\,{\alpha _1}\,\,$ et pour les autres chaînes : $- \,q\,E\, + {f_2}\, - {k_2}\,{\alpha _2}\,\, = \,\,0$ et comme $F\, = \,\frac{N}{2}\,{f_1}\, + \,\frac{N}{2}\,{f_2}$
on obtient le résultat : $F\, = \,\frac{N}{2}\,({k_1}\,{\alpha _1}\, + \,{k_2}\,{\alpha _2})\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,E\,{\rm{ = }}\,\frac{{{k_1}\,{\alpha _1}\, - \,{k_2}\,{\alpha _2}}}{q}$
4.1.2 $\frac{F}{A}\, = \,\frac{N}{2}\,\,\frac{{2\;a\,n}}{N}\,({k_1}\,{\alpha _1}\, + \,{k_2}\,{\alpha _2})\,\, = \,n\,a\,({k_1}\,{\alpha _1}\, + \,{k_2}\,{\alpha _2})\,\,\, = \,T$ et
On en déduit α1 et α2 : ${\alpha _1}\,\, = \,\,\frac{{T\, + \,n\,qE\,a}}{{2\,n\,a\,{k_1}}}\,\,\,\,\,\,{\alpha _2}\,\, = \,\,\frac{{T\, - \,n\,qE\,a}}{{2\,n\,a\,{k_2}}}\,\,\,\,\,\,$
4.1.3 En l'absence de champ électrique et mécanique , tous les dipôles ont même module et la polarisation est nulle .
4.1.4
$\vec p\,\, = \,\, - \,q\left[ {(a\, + \,{\alpha _2})\, \times \,2\,\, - \,\,(a\, + \,{\alpha _1})\, \times \,2\,} \right]\,\,{\vec e_x}\,\, = \,\,2\,q\,\,({\alpha _1} - {\alpha _2})\,\,{\vec e_x}$ : et comme chaque atome appartient à 8 cubes :
$\vec P\,\, = \,\,4\,n\,q\,\,({\alpha _1} - {\alpha _2})\,\,{\vec e_x}\, \times \frac{1}{8}$ 4.1.5 $\vec P\,\, = \,\,\frac{{2q}}{{8a}}\,\left[ {\frac{{T\, + \,n\,qE\,a}}{{\,{k_1}}}\,\,\, - \,\,\frac{{T\, - \,n\,qE\,a}}{{\,{k_2}}}} \right]\,\,{\vec e_x}\,\,\,\, = \,\,\left( {\frac{{2q}}{{8a}}\left[ {\frac{1}{{{k_1}}}\, - \,\frac{1}{{{k_2}}}} \right]\,T\, + \,\frac{{2n{q^2}}}{8}\,\left[ {\frac{E}{{{k_1}}}\, + \,\frac{E}{{{k_2}}}} \right]} \right)\,{\vec e_x}$
4.1.6 $\ell \, = \,\frac{{{N_o}}}{2}\,{a_1}\, + \,\frac{{{N_o}}}{2}\,{a_2}$ avec a1 longueur des ressorts de raideur k1 et a2 longueur des ressorts de raideur k2 .
$\ell '\, = \,\frac{{{N_o}}}{2}\,(a\, + \,{\alpha _1})\, + \,\frac{{{N_o}}}{2}\,(a\, + \,{\alpha _2})$ soit : $\ell '\, = \,\ell \, + \,\frac{\ell }{{2a}}\,\,({\alpha _1} + {\alpha _2})$ et $\frac{{\ell '\, - \,\ell }}{{\,\ell }}\, = \,\frac{{{\alpha _1} + {\alpha _2}}}{{2a}}\,\,$
4.1.7 $S\, = \,\frac{{{\alpha _1} + {\alpha _2}}}{{2a}}\,\,\,\,,\,\,E\, = \,\frac{1}{q}\,\,\left[ {\frac{{{\alpha _1}}}{{1/{k_1}}}\, - \,\frac{{{\alpha _2}}}{{1/{k_2}}}} \right]\,\,,\,\,\vec P\,\, = \,\frac{{nq}}{2}\,\,({\alpha _1} - {\alpha _2})\,\,{\vec e_x}\,$
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{q}{{{k_2}}}\,E\, + \,2\,a\,S\,\,\, = \,\,{\alpha _1}\,\left( {\frac{{{k_1}}}{{{k_2}}}\, + \,1} \right)}\\{\, - \frac{q}{{{k_1}}}\,E\, + \,2\,a\,S\,\,\, = \,\,{\alpha _2}\,\left( {\frac{{{k_2}}}{{{k_1}}}\, + \,1} \right)}\end{array}} \right.\,$ soit $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\alpha _1}\, = \,\frac{{q\,E\, + \,2\,a\,{k_2}\,S}}{{{k_1}\, + \,{k_2}}}}\\{{\alpha _2}\, = \,\frac{{ - q\,E\, + \,2\,a\,{k_1}\,S}}{{{k_1}\, + \,{k_2}}}}\end{array}} \right.$ ou
${\alpha _1}\, - \,{\alpha _2}\, = \,\frac{{2\,q\,E\,}}{{{k_1}\, + \,{k_2}}}\, + \,\frac{{2\,a\,({k_2}\, - \,{k_1})\,}}{{{k_1}\, + \,{k_2}}}\,\,S$ . Donc $\vec P\,\, = \,\frac{{n{q^2}\vec E}}{{{k_1}\, + \,{k_2}}}\,\,\, + \,\frac{{nq\,a\,({k_2}\, - \,{k_1})\,}}{{{k_1}\, + \,{k_2}}}\,\vec S$ ,et , en identifiant :
${\chi _{ion}}\,\, = \,\,\frac{{n{q^2}}}{{{\varepsilon _o}({k_1}\, + \,{k_2})}}\,\,\,\,$ $e\,\, = \,\,\frac{{nq\,a\,({k_2}\, - \,{k_1})\,}}{{{k_1}\, + \,{k_2}}}$
4.1.8 En identifiant les deux expressions de PÍ :
$\,\frac{{n{q^2}E}}{{{k_1}\, + \,{k_2}}}\,\,\, + \,\frac{{nq\,a\,({k_2}\, - \,{k_1})\,}}{{{k_1}\, + \,{k_2}}}\,S\,\,\, = \,\,\,\left( {\frac{q}{{4a}}\left[ {\frac{1}{{{k_1}}}\, - \,\frac{1}{{{k_2}}}} \right]\,T\, + \,\frac{{n{q^2}}}{4}\,\left[ {\frac{E}{{{k_1}}}\, + \,\frac{E}{{{k_2}}}} \right]} \right)\,$ soit , en ordonnant :
$T\,\,\, = \,\,\frac{{4\,a\,{k_1}\,{k_2}}}{{{k_2}\, - \,{k_1}}}\,\,\left[ {\frac{{n\,a\,({k_2}\, - \,{k_1})\,}}{{{k_1}\, + \,{k_2}}}\,S\,\, + \left( {\frac{{nq}}{{{k_1}\, + \,{k_2}}}\, - \,\frac{{nq}}{4}\,\left[ {\frac{1}{{{k_1}}}\, + \,\frac{1}{{{k_2}}}} \right]} \right)\,\,E\,} \right]$ ou encore :
$T\,\, = \,\,\frac{{4\,n\,{a^2}\,{k_1}\,{k_2}}}{{{k_1}\, + \,{k_2}}}\,\,S\,\, + \,\,\frac{{n\,q}}{{4{k_1}\,{k_2}({k_1}\, + \,{k_2})\,}}\,\left( {4{k_1}\,{k_2}\, - \,{{({k_1}\, + \,{k_2})}^2}} \right)\,E\, \times \,\frac{{4\,a{k_1}\,{k_2}\,}}{{{k_2}\, - \,{k_1}}}$ $T\,\, = \,\,\frac{{4\,n\,{a^2}\,{k_1}\,{k_2}}}{{{k_1}\, + \,{k_2}}}\,\,S\,\, - \,\,\frac{{n\,q\,a({k_2}\, - \,{k_1})}}{{({k_1}\, + \,{k_2})\,}}\,\,E\,$ . On trouve donc bien $C\,\, = \,\,\frac{{4\,n\,{a^2}\,{k_1}\,{k_2}}}{{{k_1}\, + \,{k_2}}}\,\,\,$ et $e{\rm{'}}\,\,{\rm{ = }}\,\,e$
== Il y a effet piézo-électrique si k1 et k2 sont différents . Il faut donc que les interactions entre ions voisins ne soient pas les mêmes en ce qui concerne la constante de rappel entre l'ion positif et l'ion négatif : il ne faut pas que le cristal possède de plan de symétrie .
NaCl est trop symétrique pour pouvoir être piézo-électrique .
4.2.1 $\begin{array}{l}D\,\, = \,\,{\varepsilon _o}\,\left( {1 + {\chi _1}\, + \,\frac{{{e^2}}}{{2\,{\varepsilon _o}\,{C_2}}}} \right)E\, + \,\frac{{e\,{T_2}}}{{{C_2}}}\,\, = \,\,\left( {{\varepsilon _1}\, + \,\frac{{{e^2}}}{{2\,{C_2}}}} \right)\,\,E\, + \,\frac{{e\,{T_2}}}{{{C_2}}}\,\\{T_2}\, = \,{C_2}\frac{{\partial {u_y}}}{{\partial x}}\, - \,e\,E(x,t)\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,{S_2}\, = \,\frac{{{T_2}}}{{{C_2}}}\, + \,\frac{{e\,E}}{{{C_2}}}\,\,\,\\E\,\, = \,\,\frac{{ - \frac{{e\,{T_2}}}{{{C_2}}}}}{{{\varepsilon _1}\, + \,\frac{{{e^2}}}{{2\,{C_2}}}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\end{array}$$\vec D\,\, = \,\,{\varepsilon _o}\,\vec E\, + \,\vec P\,\,$ et ${S_2}\, = \,\frac{{\partial {u_y}}}{{\partial x}}$ . $\vec D\,\, = \,\,{\varepsilon _o}\,E(x,t)\,{\vec e_X}\, + \,{\varepsilon _o}\chi E(x,t)\,{\vec e_X}\,\, + e\,\frac{{\partial {u_y}}}{{\partial x}}\,{\vec e_X}$
${T_2}\, = \,{C_2}\frac{{\partial {u_y}}}{{\partial x}}\, - \,e\,E(x,t)\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,{S_2}\, = \,\frac{{{T_2}}}{{{C_2}}}\, + \,\frac{{e\,E}}{{{C_2}}}\,\,\,$ . $D\,\, = \,\,{\varepsilon _o}\,E\, + \,{\varepsilon _o}\chi \,E\, + \,\frac{{e\,{T_2}}}{{{C_2}}}\, + \,\frac{{{e^2}\,E}}{{{C_2}}}$
$D\,\, = \,\,{\varepsilon _o}\,\left( {1 + {\chi _1}\, + \,\frac{{{e^2}}}{{2\,{\varepsilon _o}\,{C_2}}}} \right)E\, + \,\frac{{e\,{T_2}}}{{{C_2}}}\,\, = \,\,\left( {{\varepsilon _1}\, + \,\frac{{{e^2}}}{{2\,{C_2}}}} \right)\,\,E\, + \,\frac{{e\,{T_2}}}{{{C_2}}}\,$
Les équipotentielles sont parallèles aux plaques . EÎ est uniforme dans le quartz .
La charge libre étant nulle , DN est nul dans tout le quartz par continuité . Donc
:$E\,\, = \,\,\frac{{ - \frac{{e\,{T_2}}}{{{C_2}}}}}{{{\varepsilon _1}\, + \,\frac{{{e^2}}}{{2\,{C_2}}}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,U = \,\,\frac{{2he\frac{{\,{T_2}}}{{{C_2}}}}}{{{\varepsilon _1}\, + \,\frac{{{e^2}}}{{2\,{C_2}}}}}\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{et}}\,\,\,\,\,\,\,{T_2}\, = \,\,\frac{{2\,{F_o}}}{A}$ , soit donc :$U = \,\,\frac{{4h\,e\frac{{\,{F_o}}}{A}}}{{{\varepsilon _1}\,\,{C_2} + \,\frac{{{e^2}}}{{2\,}}}}$
Numériquement , ${\varepsilon _1}\,\,{C_2}\gg \,\frac{{{e^2}}}{{2\,}}$ et ε1 = 16 ; U = 106 V
4.3.1 La vitesse de propagation des ondes électromagnétiques est de l' ordre de 108 m.s-1 . Pour parcourir 1mm , il faut donc environ 10-11 s .
Le temps caractéristique des variations de l'onde sonore est la microseconde . On peut donc supposer l'équilibre électrostatique établi immédiatement dans le diélectrique .
4.3.2 Si le cristal ne contient pas de charge libre , div DÍ est nul partout .
$\frac{{\partial D}}{{\partial x}}\,\, = \,\,0\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,{\varepsilon _1}\,\frac{{\partial E}}{{\partial x}}\,\, + \,\,e\,\frac{{\partial {S_2}}}{{\partial x}} = \,\,0\,\,\,\,\,\,\,\,\vec D\,\, = \,{\varepsilon _o}(1 + {\chi _1})\,\vec E\,\, + \,\,e\,{\vec S_2}$
4.3.3 $\rho \frac{{{\partial ^2}{u_y}}}{{\partial {t^2}}}\,A\,dx = \,\,A\,\,\frac{{\partial {T_2}}}{{\partial x}}\,\,dx\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{{\partial {T_2}}}{{\partial x}}\,\, = \,\,{C_2}\,\frac{{\partial {S_2}}}{{\partial x}}\, - e\,\frac{{\partial E}}{{\partial x}}$
$\frac{{\partial E}}{{\partial x}}\,\, = \, - \,\,\frac{e}{{{\varepsilon _1}}}\,\,\,\frac{{\partial {S_2}}}{{\partial x}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{{\partial {T_2}}}{{\partial x}}\,\, = \,\,({C_2} + \frac{{{e^2}}}{{{\varepsilon _1}}}\,)\,\,\frac{{\partial {S_2}}}{{\partial x}}$ $C{'_2}\, = \,{C_2} + \frac{{{e^2}}}{{{\varepsilon _1}}}\,$
4.3.4 $c_2^2\,\, = \,\,\frac{{C{{'}_2}}}{\rho }\,\, = \,\,\frac{{{C_2} + \frac{{{e^2}}}{{{\varepsilon _1}}}}}{\rho }\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2\,\frac{{d{c_2}}}{{{c_2}}}\,\, = \,\,\frac{{C{{'}_2}\, - \,{C_2}}}{{{C_2}}}\,\, = \,\,\frac{{{e^2}}}{{{\varepsilon _1}{C_2}}}\,$ $\,\frac{{d{c_2}}}{{{c_2}}}\,\, = \,\,\frac{{C{{'}_2}\, - \,{C_2}}}{{2\,{C_2}}}\,\, = \,\,\frac{{{e^2}}}{{2\,{\varepsilon _1}{C_2}}}\,$ ,
soit : 0,9.10-3 . On peut donc négliger la variation de célérité due à la piézo-électricité .

4.4.1 uy vérifie l'équation de d'Alembert obtenue en remplaçant C2 par C'2 , et c2 par c'2 :
$\frac{{{\partial ^2}{u_y}}}{{\partial {x^2}}}\, = \,\,c{'}_2^2\,\,\frac{{{\partial ^2}{u_y}}}{{\partial {t^2}}}$ . Les ondes stationnaires recherchées ici sont donc telles que : ${\eta ^2}\,\, = \,\,\frac{{{\omega ^2}}}{{c{'}_2^2}}$ avec $c{'}_2^2\,\, = \,\,\frac{{C{{'}_2}}}{\rho }\,\, = \,\,\frac{{{C_2} + \frac{{{e^2}}}{{{\varepsilon _1}}}}}{\rho }$
4.4.2 $\vec D\,\, = \,\,{D_o}\,\,\cos \,\omega t\,{\vec e_x}$ $\,\,\,D\,\, = \,{\varepsilon _o}(1 + {\chi _1})\,E\,\, + \,\,e\,{S_2}\,\, \Rightarrow \,\,\,{\varepsilon _o}(1 + {\chi _1})\,E\,\, = \,D\, - \,\,e\,{S_2}$
$\underline V (t)\,\, = \,\,\int_{ - h}^{ + h} {\frac{{D\, - \,e\,{S_2}}}{{{\varepsilon _o}(1 + {\chi _1})}}} \,dt$ $V(t)\,\, = \,\,{V_o}\,\cos \,\omega t\,\, = \,\,\frac{{2{D_o}h}}{{{\varepsilon _o}(1 + {\chi _1})}}\,\cos \,\omega t\, - \,\frac{e}{{{\varepsilon _o}(1 + {\chi _1})}}\,\cos \,\omega t\,\int_{ - h}^{ + h} {\frac{{\partial {u_y}}}{{\partial x}}} \,dx$
$\, = \,\,\frac{{2{D_o}h}}{{{\varepsilon _o}(1 + {\chi _1})}}\,\cos \,\omega t\, - \,\frac{e}{{{\varepsilon _o}(1 + {\chi _1})}}\,\cos \,\omega t\,\left[ {2\,B\,\sin \,\eta h} \right]$ ${V_o}\, = \,\,\frac{{2{D_o}h\, - \,2\,e\,B\,\sin \,\eta h}}{{{\varepsilon _o}(1 + {\chi _1})}}\,\,\,\,\,\, \Rightarrow$
$B\,\, = \,\,\frac{{2{D_o}h\, - \,{\varepsilon _o}\,{V_o}(1 + {\chi _1})}}{{2\,e\,\,\sin \,\eta h}}$
4.4.3 Les faces externes sont libres de toute contrainte :
$\frac{{\partial {T_2}}}{{\partial x}}\,\, = \,\,({C_2} + \frac{{{e^2}}}{{{\varepsilon _1}}}\,)\,\,\frac{{\partial {S_2}}}{{\partial x}}$ $\,{S_2}\, = \,\frac{{\partial {u_y}}}{{\partial x}}$
${T_2}(h)\,\, - \,\,{T_2}( - h)\,\, = \,\,0\,\, = \,\,\left( {{C_2} + \frac{{{e^2}}}{{{\varepsilon _1}}}} \right)\,\,\left( {{S_2}(h)\,\, - \,\,{S_2}( - h)} \right)\,2\,A\,\sin \,\eta h$ $\Rightarrow \,\,\,\,\,A = 0\,\,\,{\rm{si}}\,\,\,\eta \,\, = \,\frac{\omega }{{c{'_2}}}\,\,\,{\rm{avec}}\,\,{\rm{ }}\omega {\rm{ quelconque}}$
${T_2}(x)\,\, - \,\,{T_2}( - h)\,\, = \,\,{T_2}(x)\,\, = \,\,\left( {{C_2} + \frac{{{e^2}}}{{{\varepsilon _1}}}} \right)\,\,\left( {{S_2}(x)\,\, - \,\,{S_2}( - h)} \right)\,$
${T_2}(x)\,\,\, = \,\,\left( {{C_2} + \frac{{{e^2}}}{{{\varepsilon _1}}}} \right)\,\,\left[ {\eta \,B\,\cos \,\eta x\,\, - \,\eta \,B\,\cos \,\eta h} \right]\,\cos \,\omega t$ ${D_o}\,\cos \,\omega t\,\, = \,\,\left( {{\varepsilon _1}\, + \,\frac{{{e^2}}}{{2{C_2}}}} \right)$
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{D\,\, = \,{\varepsilon _o}(1 + {\chi _1})\,E\,\, + \,\,e\,{S_2}}\\{E\,\, = \,\,\frac{1}{e}\,\left( {{C_2}{S_2}\, - \,{T_2}} \right)}\end{array}} \right.\,\, \Rightarrow \,\,\,D\, = \,\left[ {\frac{{{\varepsilon _o}(1 + {\chi _1})}}{e}\,{C_2}\, + \,e} \right]\,{S_2}\,\, - \,\frac{{{\varepsilon _o}(1 + {\chi _1})}}{e}{T_2}$
${S_2}\, = \,B\eta \,\cos \,\eta x\,\cos \,\omega t\,\, \Rightarrow \,\,{D_o}\, = \,\left[ {\frac{{{\varepsilon _1}}}{e}\,{C_2}\, + \,e} \right]\,B\eta \,\cos \,\eta x\,\, - \,\frac{{{\varepsilon _1}}}{e}\,\,\left( {{C_2} + \frac{{{e^2}}}{{{\varepsilon _1}}}} \right)\,\,\left[ {\eta \,B\,\cos \,\eta x\,\, - \,\eta \,B\,\cos \,\eta h} \right]\,$
${D_o}\, = \,\,\frac{{{\varepsilon _1}}}{e}\,\,\,\eta \,B\,\cos \,\eta h\,\left( {{C_2} + \frac{{{e^2}}}{{{\varepsilon _1}}}} \right)\,\,\, \Rightarrow$ $\,B\,\, = \,\,\frac{{e\,{D_o}\,\,}}{{{\varepsilon _1}\eta \,\,C{'_2}\,\cos \,\eta h}}$ . On élimine alors B entre les deux équations : $B\,\, = \,\,\frac{{ - {\varepsilon _o}(1 + {\chi _1}){V_o}\,}}{{2\,e\,\sin \,\eta h}}\,\, + \,\,\frac{h}{{e\,\sin \,\eta h}}\,C{'_2}\frac{{{\varepsilon _1}}}{e}\,\,\,\eta \,B\,\cos \,\eta h$ , soit :
$B\,\,\left[ {1 - \,\frac{{C{'_2}\,{\varepsilon _1}\,h\,\eta \,\,c\tan \,\eta h}}{{{e^2}}}\,\,\,} \right] = \,\,\frac{{ - {\varepsilon _1}{V_o}\,}}{{2\,e\,\sin \,\eta h}}\,\,$
4.4.4 ${\rm{u(x}}{\rm{,t)}}\,\,{\rm{ = }}\,\,\frac{{\frac{{ - {\varepsilon _1}{V_o}\,}}{{2\,e\,\sin \,\eta h}}}}{{1 - \,\frac{{C{'_2}\,{\varepsilon _1}\,h\,\eta \,\,c\tan \,\eta h}}{{{e^2}}}}}\,\,\sin \,\eta x\,\cos \,\omega t$
4.4.5 Les fréquences de résonance correspondent à : ${e^2}\,\, = \,\,C{'_2}\,{\varepsilon _1}\,h\,\eta \,\,c\tan \,\eta h\,$, soit :
$\frac{{{e^2}}}{{C{'_2}\,{\varepsilon _1}}}\,\,\,\tan \,\eta h\, = \,\,\,h\,\eta \,\,\,$ = 1,8.10-3 .
4.5.1 Dans le conducteur D est nul . La discontinuité de DN correspond à la densité superficielle de charges libres : $\sigma (t)\,\, = \,\,{D_o}\,\cos \,\omega t$
4.5.2 $V(t)\,\, = \,\,\frac{{2\,{D_o}h\,\, - \,\,2\,B\,e\,\sin \,\eta h}}{{{\varepsilon _1}}}\,\cos \,\omega t$ avec $\,B\,\, = \,\,\frac{{e\,{D_o}\,\,}}{{{\varepsilon _1}\eta \,\,C{'_2}\,\cos \,\eta h}}$ , soit :
$V(t)\,\, = \,\,\frac{{2\,h\,\, - \,\,2\,\frac{{{e^2}\,\tan \,\eta h\,\,\,}}{{{\varepsilon _1}\eta \,\,C{'_2}\,}}\,}}{{{\varepsilon _1}}}\,\,\,\,{D_o}\cos \,\omega t$ . En notation complexe : $\underline V (t)\,\, = \,\,\frac{{2\,h\,\, - \,\,2\,\frac{{{e^2}\,\tan \,\eta h\,\,\,}}{{{\varepsilon _1}\eta \,\,C{'_2}\,}}\,}}{{{\varepsilon _1}}}\,\,\,\,{D_o}\,\,{e^{j\omega t}}$
$\,\underline i (t)\,\, = \,\,j\,\omega \,A\,{D_o}\,{e^{j\omega t}}\,\, = \,\,j\,\omega \,\frac{{{\varepsilon _1}A}}{{2 \,h}}\,\,\frac{1}{{1\, - \,\frac{{{e^2}\,\tan \,\eta h\,\,\,}}{{{\varepsilon _1}\eta \,h\,C{'_2}\,}}}}$ Donc , on peut identifier : ${K^2}\,\, = \,\,\frac{{{e^2}\,\,\,\,}}{{{\varepsilon _1}\,C{'_2}\,}}$ et ${C_o}\, = \,\,\frac{{{\varepsilon _1}A}}{{2 \,h}}$
C'est la capacité d'un condensateur de permittivité ε1 . Donc finalement :
$\underline Y (t)\,\, = \,\,j\,\omega \,\,{C_o}\,\frac{1}{{1\, - \,\frac{{{K^2}\,\tan \,\eta h\,\,\,}}{{\eta \,h\,\,}}}}\,\, = \,\,j\,\omega \,\,{C_o}\, + \,\frac{{j\,\omega \,\,{C_o}}}{{\frac{{\eta \,h}}{{{K^2}\,\tan \,\eta h}}\, - \,1}}$
4.5.3 $\frac{{\eta \,h}}{{{K^2}\,\tan \,\eta h}}\, - \,1\,\, \approx \,\, - \,\frac{{\eta _r^2\,{h^2}}}{{{K^2}}}\,\delta \,\,\,\,\,{\rm{et}}\,\,\,\delta \,\, = \,\,\frac{{\omega \, - \,{\omega _r}}}{{{\omega _r}}}\, \approx \, - \,\frac{1}{2}\,\left( {1\, - \,\frac{{{\omega ^2}}}{{\omega _r^2}}} \right)$
$\underline {Y(t)} \,\,\, = \,\,j\,\omega \,\,{C_o}\, + \,\frac{{j\,\omega \,\,{C_o}}}{{\frac{{\eta _r^2\,{h^2}}}{{2{K^2}\,}}\,(1\, - \,\frac{{{\omega ^2}}}{{\omega _r^2}})}}\,\, = \,\,j\,\omega \,\,{C_o}\, + \,\frac{{j\,\omega \,\,{C_1}}}{{1\, - \,{L_1}{C_1}{\omega ^2}}}$ en posant : $\,\,{C_1} = \,\,\frac{{2{K^2}\,{C_o}}}{{\eta _r^2\,{h^2}}}\,\,\,\,{\rm{et}}\,\,\,{L_1}{C_1}\omega _r^2\,\, = \,\,1$,
$\eta _r^2\, = \,\frac{{\omega _r^2}}{{c{'}_2^2}}\,\,\, = \,\,\frac{{\omega _r^2\,\rho }}{{C{'}_2^2}}$ et ${C_o}\, = \,\,\frac{{{\varepsilon _1}A}}{{2 \,h}}$ ${K^2}\,\, = \,\,\frac{{{e^2}\,\,\,\,}}{{{\varepsilon _1}\,C{'_2}\,}}$ . D' où les résultats :
${C_1} = \,\,\frac{{2\,C{'_2}}}{{\omega _r^2\,\rho }}\,\, \times \,\,\,\frac{{{e^2}\,\,\,\,}}{{{\varepsilon _1}\,C{'_2}\,}}\,\, \times \,\frac{1}{{\,{h^2}}}\,\, \times \,\,\frac{{{\varepsilon _1}A}}{{2 \,h}}\,\, = \,\,\frac{{A\,{e^2}}}{{\omega _r^2\,\rho \,{h^3}}}\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\,{L_1}\,\, = \,\,\frac{{\rho \,{h^3}}}{{A\,{e^2}}}$

4.5.4 $\underline Y \,\, = \,\,\underline {{Y_o}} \, + \,\,\underline {Y{'_o}} \,\,\,\,{\rm{avec}}\,\,\frac{1}{{\underline {Y{'_o}} }}\,\, = \,\,j\,{L_1}\omega \, + \,\frac{1}{{j\,{C_1}\omega }}$ Il s'agit donc de l'équivalence avec un ensemble d'un condensateur de capacité Co en parallèle sur l'ensemble L1 C1 mis en série .
$Q\, = \,\,\frac{{{L_1}{\omega _r}}}{{{R_1}}}\,\, = \,\,\frac{1}{{{R_1}{C_1}{\omega _r}}}\,\, = \,\,{10^6}\,\,.$ L1 = O,112 H C1 = 6,26.10-14 F R1 = 1,34 Ω .
Avec des condensateurs , on ne peut obtenir facilement des capacités aussi faibles sans tenir compte des capacités parasites . Les bobines de résistance faible et de forte inductance pourraient être obtenues avec des noyaux de fer (mais elles ne sont pas linéaires, et posent des problèmes de résistance à haute fréquence)
Les pertes d'énergie sont dues aux amortissements des vibrations dans le cristal , toujours importants près des fréquences de résonance , et à l'effet Joule dans les parties métalliques .
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