Corrigé ENS 1998 - Physique MP
Première partie : Formation des étoiles
1.1 Nuage gravitationnellement lié
1.1.1 Les dimensions des grandeurs G, M, R conduisent à résoudre
${G^\alpha }{M^\beta }{R^\gamma } \equiv {({L^3}{M^{ - 1}}{T^{ - 2}})^\alpha }{(M)^\beta }{(L)^\gamma } \equiv T$$ \Rightarrow \left\{ {\alpha = - 1/2\quad \beta = - 1/2\quad \gamma = 3/2} \right\}$
l'expression cherchée est ${t_0} = \sqrt {\frac{{{R^3}}}{{GM}}} $
1.1.2 Quand on ajoute une masse dm à une sphère de rayon r et de masse m, l'énergie potentielle gravitationnelle augmente de $d{E_P} = - \frac{{Gm}}{r}dm$ soit ${E_P} = - \int_0^M {} \frac{{Gm}}{r}dm$
(ceci en vertu du théorème de Gauss et de la symétrie sphérique la masse totale est localisée au centre)
La masse volumique uniforme permet d'éliminer r au profit de m: $r = R{\left( {\frac{m}{M}} \right)^{1/3}}$
Donc finalement ${E_P} = - \frac{G}{R}{M^{1/3}}\int_0^M {} {m^{2/3}}dm = - \frac{{3G{M^2}}}{{5R}}$
1.1.3 L'énergie interne d'un gaz parfait monoatomique est $U = \frac{{3MkT}}{{2{m_H}}}$; car $\frac{M}{{{m_H}}}$ est le nombre de particules (on a mH ≈ mp). Si l'énergie totale EP + U est négative le nuage est gravitationnellement lié.
1.1.4 On en déduit que les nuages se fragmentent si : $\frac{{3G{M^2}}}{{5R}} > \frac{{3MkT}}{{2{m_H}}}$
soit en fonction de la masse volumique ρ et température T
$\frac{{G4\pi \rho {R^2}}}{{15}} > \frac{{kT}}{{2{m_H}}}\quad \Rightarrow \quad R > {R_J} = \sqrt {\frac{{15kT}}{{8\pi \rho G{m_H}}}} $ ou encore $M > {M_J} = 4/3\pi R_J^3$
Si on se rappelle que kT est une énergie alors : $R_J^2 \equiv \frac{{M{L^2}{T^{ - 2}}}}{{M{L^{ - 3}}({L^3}{M^{ - 1}}{T^{ - 2}})M}} = {L^2}$; dimension correcte.
1.1.5 Pour T = 10 K et avec 1 atome d'hydrogène par cm3 RJ = 6,6.1017 m soit MJ = 103 M
Cette valeur fait penser que les étoiles se forment en "grappe" puis se séparent ensuite.
1.1.6 La conservation de l'énergie totale de la couche i s'écrit
$d{E_P} + d{E_c} = - \frac{{Gm}}{{{r_i}}}d{m_i} + 1/2d{m_i}\,\dot r_i^2 = - \frac{{Gm}}{{{r_{i0}}}}d{m_i}$ $ \Rightarrow \quad \dot r_i^2 = 2Gm\left( {\frac{1}{{{r_i}}} - \frac{1}{{{r_{i0}}}}} \right)$
où m est la masse contenue dans la sphère de rayon ri(t) et qui est constante au cours du temps.
et dmi est la masse de la couche soit $d{m_i} = 4/3\pi {\rho _i}r_i^3$qui est également constante en fonction de t.
Si on pose ri(t) = ri(0) cos2αi(t) alors en dérivant ${\dot r_{_i}} = - 2{\dot \alpha _i}\,{r_{i0}}\cos {\alpha _i}\,\sin {\alpha _i}$
d'autre part l'équation de conservation donne $\dot r_i^2 = \frac{{2Gm}}{{{r_{i0}}}}\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}{\alpha _i}}} - 1} \right) = \frac{{2Gm}}{{{r_{i0}}}}{\tan ^2}{\alpha _i}$
On trouve ainsi que $\dot \alpha _i^2{\cos ^4}{\alpha _i} = \frac{{2Gm}}{{4r_{i0}^3}}$ soit encore : $d{\alpha _i}{\cos ^2}{\alpha _i} = \pm \frac{{2Gm}}{{4r_{i0}^3}}dt$
On doit garder le signe + pour que ri diminue avec le temps
L'intégration de la dernière équation est élémentaire : $\left( {\frac{{{\alpha _i}}}{2} - \frac{{\sin {\alpha _i}}}{4}} \right)_0^t = \frac{{2Gm}}{{4r_{i0}^3}}(t - 0)$
ce qui donne pour la durée d'effondrement la valeur ${t_{ff}} = \frac{\pi }{4}\sqrt {\frac{{2r_{i0}^3}}{{Gm}}} $; le modèle conduit bien à un e valeur indépendante de la couche envisagée puisque $m \propto r_{i0}^3$.
Pour un nuage de densité uniforme initialement on a ${t_{ff}} = \frac{\pi }{4}\sqrt {\frac{{2{R^3}}}{{GM}}} $, on constate temps d'effondrement est du même ordre de grandeur que le temps t0.
1.1.7 Avec un atome d'hydrogène par cm3 l'effondrement dure 1,1.108 ans quel que soit R.
1.2 Stabilité d'un nuage isotherme
1.2.1 L'équation fondamentale de l'hydrostatique et le théorème de Gauss donnent $\frac{{dP}}{{dr}} = - \rho \frac{{Gm}}{{{r^2}}}$
or $dm = 4\pi \rho {r^2}dr$la relation de l'énoncé est donc équivalente à
$\frac{{d(4\pi {r^3}P)}}{{dm}} = \frac{{d(4\pi {r^3}P)}}{{4\pi \rho {r^2}dr}} = \frac{1}{{\rho {r^2}}}\left( {3{r^2}P + {r^3}\frac{{dP}}{{dr}}} \right) = \frac{{3P}}{\rho } + \frac{r}{\rho }\frac{{dP}}{{dr}} = \frac{{3P}}{\rho } - \frac{{Gm}}{r}$ cqfd
1.2.2 Pour un gaz parfait $\frac{{3P}}{\rho } = \frac{{3PV}}{M} = \frac{{3nRT}}{M} = \frac{{2U}}{M}$ c'est le double de l'énergie interne massique.
1.2.3 l'équation (1) revient à écrire $d(4\pi {r^3}P) = 2dU + d{E_p}$
Soit en intégrant sur tout le nuage $4\pi {R^3}P(R) = 2U + {E_p}$
1.2.5 $P'(R) = 0 \Rightarrow R = 4\frac{{GM{m_H}}}{{15kT}} = \frac{{2{R_J}}}{3}$ (à M et T fixés ${R_J} = \frac{{2GM{m_H}}}{{5kT}}$)
Puisque R > RJ, le point figuratif est au delà de l'extrémum donc dP/dR < 0 c'est à dire que le nuage se contracte si P(R) augmente. L'amorçage de l'effondrement des nuages sur eux-même est sans doute dû à une explosion "proche" d'une super-novae.
1.3 Effondrement du nuage
1.3.1 La distance minimale est de l'ordre du rayon atomique (soit a ≈ 0,1 nm)., alors les atomes sont en contact. Le nombre de particules est alors le quotient des volumes, soit
$\frac{M}{{{m_H}}} = \frac{{4/3\pi R_f^3}}{{4/3\pi {a^3}}}\quad \Rightarrow \quad {R_f} = a{\left( {\frac{M}{{{m_H}}}} \right)^{1/3}}$
1.3.2 La pression de surface étant nulle on a $P(R) = \frac{{3MkT}}{{4\pi {R^3}{m_H}}} - \frac{{3G{M^2}}}{{20\pi {R^4}}} = 0\quad \Rightarrow \quad \frac{{kT}}{{{m_H}}} = \frac{{GM}}{{5R}}$
Entre les états initial et final on a donc la relation $\quad \frac{k}{{{m_H}}}\left( {{T_f} - {T_i}} \right) = \frac{{GM}}{5}\left( {\frac{1}{{{R_f}}} - \frac{1}{{{R_i}}}} \right)$
Mais Ri >> Rf (1ere approximation) et Ti << Tf. (2eme approximation) donc $\frac{{k{T_f}}}{{{m_H}}} = \frac{{GM}}{{5{R_f}}}$
1.3.3 Les deux relations $\frac{{k{T_f}}}{{{m_H}}} = \frac{{GM}}{{5{R_f}}}$ et ${R_f} = a{\left( {\frac{M}{{{m_H}}}} \right)^{1/3}}$impliquent ${T_f} = \frac{{G{M^{2/3}}}}{{5ak}}m_H^{4/3}$
Si on veut Tf. < 105 K il faut M < 6.10-3 M. Le corps formé est une étoile "ratée" dont un exemple est la planète Jupiter.
1.3.4 Si Tf. >> 105 K il y a pénétration des nuages électroniques et les électrons ne sont plus liés à un noyau particulier. Il y a dégénérescence c'est à dire que l'on a un mélange de deux gaz: le gaz d'électrons et le gaz de noyaux (protons).
1.3.5 Dans l'hypothèse d'un gaz parfait $3/2k{T_e} = 1/2{m_e}v_e^2$ alors ${\lambda _e} = \frac{h}{{{m_e}{v_e}}} = \frac{h}{{\sqrt {3k{m_e}{T_e}} }}$
1.3.6 Les atomes étant ionisés le nombre de particules est doublé; alors certaines relations sont à modifier $U = \frac{{3MkT}}{{{m_H}}}$ et ${R_f} = {\lambda _e}{\left( {\frac{{2M}}{{{m_H}}}} \right)^{1/3}} = \frac{h}{{\sqrt {3k{m_e}{T_e}} }}{\left( {\frac{{2M}}{{{m_H}}}} \right)^{1/3}}$
La relation qui donne la température finale est$\frac{{2k{T_e}}}{{{m_H}}} = \frac{{GM}}{{5{R_f}}}$et conduit à $k{T_e} = \frac{{3{G^2}{M^{4/3}}}}{{100{{\left( 2 \right)}^{2/3}}{h^2}}}{m_e}m_H^{8/3}$
Pour atteindre une température de 107 K il faut M > 0,1 M..Les réactions nucléaires peuvent avoir lieu, le corps ainsi formé est une étoile.
Deuxième partie : Structure des étoiles
2.1 Ordres de grandeur
2.1.1 L'étoile rayonnant de façon isotrope: $E = \frac{L}{{4\pi {D^2}}}$ ce qui donne pour le soleil E ≈ 1,34 kW.m-2.
2.1.2 Un corps noir sphérique rayonne la puissance $L = (\sigma T_{eff}^4)4\pi {R^2}$soit pour le soleil Teff = 5740 K
2.1.3 On a simplement ${t_{KH}} = \frac{{3G{M^2}}}{{5R\,L}}$ce qui fait seulement tKH ≈ 19 millions d'années pour le Soleil
2.1.4 On a cette fois $f\,M{c^2} = L\,{t_n}$soit pour f = 10-3 tn ≈ 15 milliards d'années pour le Soleil
Il faut conclure que l'énergie rayonnée par les étoiles a sa source dans les réactions nucléaires.
2.2 Les équations d'équilibre
2.2.1 $dm = 4\pi \rho (r)\,{r^2}dr$ et $\frac{{dP}}{{dr}} = - \rho (r)\frac{{Gm}}{{{r^2}}}$ (cf 1.2.1)
2.2.2 La coquille de rayon r et d'épaisseur dr génère une puissance $[\varepsilon (r)\rho (r)].4\pi \,{r^2}dr$
Elle émet par rayonnement vers la surface, la puissance: $L(r + dr) - L(r) \approx \frac{{dL}}{{dr}}dr$
A l'équilibre thermique on doit vérifier $\frac{{dL}}{{dr}} = 4\pi \,{r^2}\varepsilon (r)\rho (r)$
2.3 Les équations d'état
2.3.1 La masse totale des noyaux de type i est xiM. Leur nombre est donc xiM/mi .
On en déduit que le nombre total de protons (et donc d'électrons) est $\sum\limits_i {{z_i}\frac{{{x_i}M}}{{{m_i}}}} $
Le nombre total de particules (noyaux plus électrons) est alors $N = \sum\limits_i {\frac{{{x_i}M}}{{{m_i}}}} + \sum\limits_i {{z_i}\frac{{{x_i}M}}{{{m_i}}}} $
Soit encore $N = M\sum\limits_i {{x_i}\frac{{(1 + {z_i})}}{{{m_i}}}} \Rightarrow \frac{1}{\mu } = \sum\limits_i {{x_i}\frac{{(1 + {z_i})}}{{{\mu _i}}}} $ cqfd.
2.3.2 Le quotient ${\mu _i} = \frac{{{m_i}}}{{{m_p}}}$représente sensiblement le nombre de nucléons dans les noyaux de type i (car les masses du proton et du neutron dont voisines) Or pour les noyaux lours il y a à peu près autant de protons que de neutrons soit ${\mu _i} \approx 2{z_i}$.
On peut alors écrire $\frac{1}{\mu } \approx \frac{{X(1 + 1)}}{1} + \frac{{Y(1 + 2)}}{2} + \sum\limits_i {{x_i}\frac{{(1 + {z_i})}}{{2{z_i}}}} \approx 2X + 1,5Y$
cr le dernier terme est négligeable car de l'ordre de $\sum\limits_i {{x_i}\frac{1}{2}} < < 2X + 1,5Y$
Pour le soleil le résultat précédent conduit à µ ≈ 0,58
2.3.4 Localement la loi des gaz parfaits s'écrit ${P_g} = \rho rT$, avec$r = \frac{{{\text{constante des Gaz parfaits}}}}{{{\text{masse molaire du mélange}}}}$
soit aussi $r = \frac{{{\text{constante de Boltzman}}}}{{{\text{masse moyenne d'une particule}}}}$ soit ici $r = \frac{{\,k}}{{M/N}} = \frac{k}{{\mu {m_p}}}$, d'où ${P_g} = \rho \frac{{kT}}{{\mu {m_p}}}$
2.3.5 On a pour une mole de gaz parfait ${C_v} = \frac{R}{{\gamma - 1}}\quad {C_p} = \frac{{\gamma R}}{{\gamma - 1}}$ et $dS = {C_p}\frac{{dT}}{T} - V\frac{{d{P_g}}}{T}$
soit pour une transformation isentropique $\frac{{\gamma R}}{{\gamma - 1}}\frac{{dT}}{T} = V\frac{{d{P_g}}}{T} = \frac{{Rd{P_g}}}{{{P_g}}} \Rightarrow {\left( {\frac{{dT}}{{d{P_g}}}} \right)_{ad}} = \frac{{\gamma - 1}}{\gamma }\frac{T}{{{P_g}}}$
L'équation d'état implique ${P_g} = \rho \frac{{kT}}{{\mu {m_p}}} \Rightarrow \frac{{d\rho }}{\rho } = \frac{{d{P_g}}}{{{P_g}}} - \frac{{dT}}{T}$
soit pour une transformation isentropique $\frac{{d\rho }}{\rho } = \frac{{d{P_g}}}{{{P_g}}} - \frac{{dT}}{T} = \frac{{d{P_g}}}{{{P_g}}} - \frac{{\gamma - 1}}{\gamma }\frac{{d{P_g}}}{{{P_g}}} = \frac{{d{P_g}}}{{\gamma \,{P_g}}}$
Ce qui s'intégre en ${P_g}{\rho ^{_\gamma }} = cste$
2.3.6 On intégre sur tout le domaine spectral : ${u_r}(T) = \int_0^\infty {} \frac{{8\pi h{\nu ^3}}}{{{c^3}}}\frac{{d\nu }}{{{e^{h\nu /kT}} - 1}} = \frac{{8\pi {k^4}{T^4}}}{{{h^3}{c^3}}}\int_0^\infty {} \frac{{{x^3}dx}}{{{e^x} - 1}}$
et grâce au résultat fourni on trouve ${u_r}(T) = \frac{{8\pi {k^4}{T^4}}}{{{h^3}{c^3}}}\frac{{{\pi ^4}}}{{15}} = \frac{{4\sigma {T^4}}}{c}$
2.3.7 On admet ${P_r} = \frac{{4\sigma {T^4}}}{{3c}} = \frac{1}{3}{u_r}$; une pression est une force surfacique c'est aussi un travail par unité de volume donc c'est homogène une énergie volumique comme ur.
Remarque : pour un gaz parfait , la pression cinétique est aussi égale à u/3
2.4 Transport de l'énergie
2.4.1 Si P(x) est la probabilité de non-absorption sur un parcours de longueur x alors la probabilté de non-absorption sur un parcours de longueur x+dx sera le produit de P(x) par [1 - κρdx] (ce qui représente la probabilté de non-absorption sur un parcours dx) .
Alors P(x+dx) = P(x) + (dP /dx)dx = P(x) . [1 - κρdx] donc $\frac{{dP}}{{dx}} = - \kappa \rho P\quad \Rightarrow P = e - \kappa \rho x$
La constante d'intégration devant permettre d'avoir P(0) = 1
2.4.2 Par définition la longueur moyenne parcourue par un photon avant d'être absorbé est :
${\ell _0} = \frac{{\int_0^\infty {\ell \,P(\ell )\,dx} }}{{\int_0^\infty {\,P(\ell )\,d\ell } }} = \frac{{{{\left( {\frac{1}{{\kappa \rho }}} \right)}^2}\int_0^\infty {\,x\,e - x\,dx} }}{{\left( {\frac{1}{{\kappa \rho }}} \right)\;\int_0^\infty {\,\,e - x\,dx} }} = \frac{1}{{\kappa \rho }}$
Pour le soleil on trouve ρ ≈ 1,4.103 kg.m-3 et 0 vaut environ 18 mm. C'est une longueur très petite à l'échelle du soleil, on peut considérer que les photons sont tous absorbés lorsqu'ils atteignent un élément de volume (un cube de coté quelques 0 ), donc cet élément de volume est un corps noir puisque parfaitement absorbant.
2.4.3
densité volumique d'énergie a la valeur : $\frac{{4\sigma }}{c}{[T(r - {\ell _0})]^4} \approx \frac{{4\sigma }}{c}[{T^4} - 4{T^3}\frac{{dT}}{{dr}}{\ell _0}]$
Alors l'énergie qui traverse dS dans le sens positif pendant Δt vaut $\frac{{2\sigma }}{{3c}}[{T^4} - 4{T^3}\frac{{dT}}{{dr}}{\ell _0}].c\Delta t.dS$
L'énergie qui traverse dS dans le sens négatif pendant Δt vaut $\frac{{2\sigma }}{{3c}}[{T^4} + 4{T^3}\frac{{dT}}{{dr}}{\ell _0}].c\Delta t.dS$
Le bilan net en puissance sera $FdS = \frac{{2\sigma }}{{3c}}[8{T^3}\frac{{dT}}{{dr}}{\ell _0}].c.dS = - \frac{{16\sigma {T^3}}}{{3\kappa \rho }}\frac{{dT}}{{dr}}dS$
Donc pour une sphère de rayon r $L(r) = \int {FdS} = F.4\pi {r^2} = - \frac{{64\pi \sigma {r^2}{T^3}}}{{3\kappa \rho }}\frac{{dT}}{{dr}}$ cqfd
2.4.4 On obtient pour le Soleil L(R) ≈ 4.1026 W.m-2. Ce qui est la valeur observée.
2.5 Les modèles homologues
2.5.1 La définition $\frac{{{m_1}(\alpha {R_1})}}{{{m_0}(\alpha {R_0})}} = \frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}$ indique que les longueurs sont homothétiques dans le rapport $\frac{{longueur\;dans\,(1)}}{{longueur\;dans\,(0)}} = \frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}$ et que les masses le sont dans le rapport $\frac{{masse\;dans\,(1)}}{{masse\;dans\,(0)}} = \frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}$
Les dimensions d'une masse volumique permettent de trouver immédiatement
$\frac{{{\rho _1}(\alpha {R_1})}}{{{\rho _0}(\alpha {R_0})}} = \left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right){\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 3}}$
2.5.2 L'échelle de temps caractéristique est ${t_0} = \sqrt {\frac{{{R^3}}}{{GM}}} $on en déduit que les temps sont homothétiques dans le rapport : $\frac{{dur\'e e\;dans\,(1)}}{{dur\'e e\;dans\,(0)}} = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{ - 1/2}}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{3/2}}$
Les dimensions d'une pression (Masse.Longueur-1Temps-2) conduisent alors à la relation
$\frac{{{P_1}(\alpha {R_1})}}{{{P_0}(\alpha {R_0})\;}} = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^2}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 4}}$
Si la pression gazeuse est dominante la température est la température cinétique (eC = 3/2kT)
On en déduit que $\frac{{{T_1}(\alpha {R_1})}}{{{T_0}(\alpha {R_0})}} = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^2}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 1}}$
Si la pression de radiation est dominante la température est celle du rayonnement ($du/dV = \frac{{4\sigma {T^4}}}{c}$)
On trouve alors que $\frac{{{T_1}(\alpha {R_1})}}{{{T_0}(\alpha {R_0})}} = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{1/2}}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 1}}$
On exclut les cas intermédiaires où la convection n'est pas négligeable et qui a été écartée.
2.5.3 La première relation est : $\frac{{dL}}{{dr}} = 4\pi \,{r^2}\varepsilon (r)\rho (r)$soit avec $\varepsilon = {\varepsilon _0}\rho {T^n} \Rightarrow \frac{{dL}}{{dr}}\, = 4\pi {r^2}{\varepsilon _0}{T^n}{\rho ^2}$
compte tenu des résultats le facteur d'homothétie est tel que
Si la pression gazeuse est dominante
$\frac{{{L_1}(\alpha {R_1})}}{{{L_0}(\alpha {R_0})}} = \left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right).{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^2}{\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^2}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 6}}\,.{\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{2n}}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - n}} = {\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 3 - n}}{\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{2 + 2n}}$
Si la pression radiante est dominante
$\frac{{{L_1}(\alpha {R_1})}}{{{L_0}(\alpha {R_0})}} = \left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right).{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^2}{\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^2}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 6}}\,.{\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{n/2}}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - n}} = {\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 3 - n}}{\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{2 + n/2}}$
La 2eme relation est $L(r) = - \frac{{64\pi \sigma {r^2}{T^3}}}{{3\kappa \rho }}\frac{{dT}}{{dr}}$ soit avec $\kappa = {\kappa _0}\rho {T^{ - 7/2}}$$ \Rightarrow L(r) = - \frac{{64\pi \sigma {r^2}{T^{13/2}}}}{{3{\kappa _0}{\rho ^2}}}\frac{{dT}}{{dr}}$
Donc si la pression gazeuse est dominante
$\frac{{L(\alpha {R_1})}}{{L(\alpha {R_0})}} = {\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^2}.{\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{ - 2}}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^6}{\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{15/2}}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 15/2}}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 1}} = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{11/2}}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 1/2}}$
Si la pression radiante est dominante
$\frac{{L(\alpha {R_1})}}{{L(\alpha {R_0})}} = {\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^2}.{\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{ - 2}}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^6}{\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{15/4}}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 15/2}}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 1}} = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{7/4}}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 1/2}}$
2.5.4 La compatibilité entre les résultats impose pour une pression gazeuse dominante
${\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 3 - n}}{\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{2 + 2n}} = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{11/2}}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 1/2}}$$ \Rightarrow {\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{5/2 + n}} = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{ - 7/2 + 2n}}$$ \Rightarrow \left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right) = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{\frac{{4n - 7}}{{2n + 5}}}}$
et pour une pression de radiation dominante
${\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 3 - n}}{\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{2 + n/2}} = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{7/4}}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 1/2}}$$ \Rightarrow {\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{5/2 + n}} = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{ - 3/4 + n/2}}$$ \Rightarrow \left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right) = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{\frac{{2n - 3}}{{4n + 20}}}}$
2.5.5 De même lorsque la pression gazeuse est dominante
on a $\frac{{L(\alpha {R_1})}}{{L(\alpha {R_0})}} = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{11/2}}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 1/2}} = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{11/2}}{\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{ - \frac{{4n - 7}}{{4n + 10}}}} = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{\frac{{18n + 62}}{{4n + 10}}}}$
et lorsque la pression de radiation est dominante
on a $\frac{{L(\alpha {R_1})}}{{L(\alpha {R_0})}} = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{7/4}}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 1/2}} = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{7/4}}{\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{ - \frac{{2n - 3}}{{8n + 40}}}} = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{\frac{{12n + 73}}{{8n + 40}}}}$
2.5.6 Les diagrammes expérimentaux conduisent à
masse-rayon.: ${{\log }_{10}}\frac{R\ }{R}\approx 0,9\,\,{{\log }_{10}}\frac{M\ }{\text{M}}$ masse-luminosité: ${{\log }_{10}}\frac{L\ }{L}\approx 3,3\,\,{{\log }_{10}}\frac{M\ }{\text{M}}$
si la pression gazeuse est dominante (étoile froide, n=5) alors $\frac{{L(\alpha {R_1})}}{{L(\alpha {R_0})}} \approx {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^5}$
si la pression de radiation est dominante (étoile chaude n =18) $\frac{{L(\alpha {R_1})}}{{L(\alpha {R_0})}} \approx {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{1,6}}$
Première partie : Formation des étoiles
1.1 Nuage gravitationnellement lié
1.1.1 Les dimensions des grandeurs G, M, R conduisent à résoudre
${G^\alpha }{M^\beta }{R^\gamma } \equiv {({L^3}{M^{ - 1}}{T^{ - 2}})^\alpha }{(M)^\beta }{(L)^\gamma } \equiv T$$ \Rightarrow \left\{ {\alpha = - 1/2\quad \beta = - 1/2\quad \gamma = 3/2} \right\}$
l'expression cherchée est ${t_0} = \sqrt {\frac{{{R^3}}}{{GM}}} $
1.1.2 Quand on ajoute une masse dm à une sphère de rayon r et de masse m, l'énergie potentielle gravitationnelle augmente de $d{E_P} = - \frac{{Gm}}{r}dm$ soit ${E_P} = - \int_0^M {} \frac{{Gm}}{r}dm$
(ceci en vertu du théorème de Gauss et de la symétrie sphérique la masse totale est localisée au centre)
La masse volumique uniforme permet d'éliminer r au profit de m: $r = R{\left( {\frac{m}{M}} \right)^{1/3}}$
Donc finalement ${E_P} = - \frac{G}{R}{M^{1/3}}\int_0^M {} {m^{2/3}}dm = - \frac{{3G{M^2}}}{{5R}}$
1.1.4 On en déduit que les nuages se fragmentent si : $\frac{{3G{M^2}}}{{5R}} > \frac{{3MkT}}{{2{m_H}}}$
soit en fonction de la masse volumique ρ et température T
$\frac{{G4\pi \rho {R^2}}}{{15}} > \frac{{kT}}{{2{m_H}}}\quad \Rightarrow \quad R > {R_J} = \sqrt {\frac{{15kT}}{{8\pi \rho G{m_H}}}} $ ou encore $M > {M_J} = 4/3\pi R_J^3$
Si on se rappelle que kT est une énergie alors : $R_J^2 \equiv \frac{{M{L^2}{T^{ - 2}}}}{{M{L^{ - 3}}({L^3}{M^{ - 1}}{T^{ - 2}})M}} = {L^2}$; dimension correcte.
1.1.5 Pour T = 10 K et avec 1 atome d'hydrogène par cm3 RJ = 6,6.1017 m soit MJ = 103 M
Cette valeur fait penser que les étoiles se forment en "grappe" puis se séparent ensuite.
1.1.6 La conservation de l'énergie totale de la couche i s'écrit
$d{E_P} + d{E_c} = - \frac{{Gm}}{{{r_i}}}d{m_i} + 1/2d{m_i}\,\dot r_i^2 = - \frac{{Gm}}{{{r_{i0}}}}d{m_i}$ $ \Rightarrow \quad \dot r_i^2 = 2Gm\left( {\frac{1}{{{r_i}}} - \frac{1}{{{r_{i0}}}}} \right)$
où m est la masse contenue dans la sphère de rayon ri(t) et qui est constante au cours du temps.
et dmi est la masse de la couche soit $d{m_i} = 4/3\pi {\rho _i}r_i^3$qui est également constante en fonction de t.
Si on pose ri(t) = ri(0) cos2αi(t) alors en dérivant ${\dot r_{_i}} = - 2{\dot \alpha _i}\,{r_{i0}}\cos {\alpha _i}\,\sin {\alpha _i}$
d'autre part l'équation de conservation donne $\dot r_i^2 = \frac{{2Gm}}{{{r_{i0}}}}\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}{\alpha _i}}} - 1} \right) = \frac{{2Gm}}{{{r_{i0}}}}{\tan ^2}{\alpha _i}$
On trouve ainsi que $\dot \alpha _i^2{\cos ^4}{\alpha _i} = \frac{{2Gm}}{{4r_{i0}^3}}$ soit encore : $d{\alpha _i}{\cos ^2}{\alpha _i} = \pm \frac{{2Gm}}{{4r_{i0}^3}}dt$
On doit garder le signe + pour que ri diminue avec le temps
L'intégration de la dernière équation est élémentaire : $\left( {\frac{{{\alpha _i}}}{2} - \frac{{\sin {\alpha _i}}}{4}} \right)_0^t = \frac{{2Gm}}{{4r_{i0}^3}}(t - 0)$
ce qui donne pour la durée d'effondrement la valeur ${t_{ff}} = \frac{\pi }{4}\sqrt {\frac{{2r_{i0}^3}}{{Gm}}} $; le modèle conduit bien à un e valeur indépendante de la couche envisagée puisque $m \propto r_{i0}^3$.
Pour un nuage de densité uniforme initialement on a ${t_{ff}} = \frac{\pi }{4}\sqrt {\frac{{2{R^3}}}{{GM}}} $, on constate temps d'effondrement est du même ordre de grandeur que le temps t0.
1.1.7 Avec un atome d'hydrogène par cm3 l'effondrement dure 1,1.108 ans quel que soit R.
1.2.1 L'équation fondamentale de l'hydrostatique et le théorème de Gauss donnent $\frac{{dP}}{{dr}} = - \rho \frac{{Gm}}{{{r^2}}}$
or $dm = 4\pi \rho {r^2}dr$la relation de l'énoncé est donc équivalente à
$\frac{{d(4\pi {r^3}P)}}{{dm}} = \frac{{d(4\pi {r^3}P)}}{{4\pi \rho {r^2}dr}} = \frac{1}{{\rho {r^2}}}\left( {3{r^2}P + {r^3}\frac{{dP}}{{dr}}} \right) = \frac{{3P}}{\rho } + \frac{r}{\rho }\frac{{dP}}{{dr}} = \frac{{3P}}{\rho } - \frac{{Gm}}{r}$ cqfd
1.2.2 Pour un gaz parfait $\frac{{3P}}{\rho } = \frac{{3PV}}{M} = \frac{{3nRT}}{M} = \frac{{2U}}{M}$ c'est le double de l'énergie interne massique.
1.2.3 l'équation (1) revient à écrire $d(4\pi {r^3}P) = 2dU + d{E_p}$
Soit en intégrant sur tout le nuage $4\pi {R^3}P(R) = 2U + {E_p}$
 $4\pi {R^3}P(R) = 2\frac{{3MkT}}{{2{m_H}}} - \frac{{3G{M^2}}}{{5R}}$ soit $P(R) = \frac{{3MkT}}{{4\pi {R^3}{m_H}}} - \frac{{3G{M^2}}}{{20\pi {R^4}}}$ d'où le graphe ci-contre. |
Puisque R > RJ, le point figuratif est au delà de l'extrémum donc dP/dR < 0 c'est à dire que le nuage se contracte si P(R) augmente. L'amorçage de l'effondrement des nuages sur eux-même est sans doute dû à une explosion "proche" d'une super-novae.
1.3.1 La distance minimale est de l'ordre du rayon atomique (soit a ≈ 0,1 nm)., alors les atomes sont en contact. Le nombre de particules est alors le quotient des volumes, soit
$\frac{M}{{{m_H}}} = \frac{{4/3\pi R_f^3}}{{4/3\pi {a^3}}}\quad \Rightarrow \quad {R_f} = a{\left( {\frac{M}{{{m_H}}}} \right)^{1/3}}$
1.3.2 La pression de surface étant nulle on a $P(R) = \frac{{3MkT}}{{4\pi {R^3}{m_H}}} - \frac{{3G{M^2}}}{{20\pi {R^4}}} = 0\quad \Rightarrow \quad \frac{{kT}}{{{m_H}}} = \frac{{GM}}{{5R}}$
Entre les états initial et final on a donc la relation $\quad \frac{k}{{{m_H}}}\left( {{T_f} - {T_i}} \right) = \frac{{GM}}{5}\left( {\frac{1}{{{R_f}}} - \frac{1}{{{R_i}}}} \right)$
Mais Ri >> Rf (1ere approximation) et Ti << Tf. (2eme approximation) donc $\frac{{k{T_f}}}{{{m_H}}} = \frac{{GM}}{{5{R_f}}}$
1.3.3 Les deux relations $\frac{{k{T_f}}}{{{m_H}}} = \frac{{GM}}{{5{R_f}}}$ et ${R_f} = a{\left( {\frac{M}{{{m_H}}}} \right)^{1/3}}$impliquent ${T_f} = \frac{{G{M^{2/3}}}}{{5ak}}m_H^{4/3}$
Si on veut Tf. < 105 K il faut M < 6.10-3 M. Le corps formé est une étoile "ratée" dont un exemple est la planète Jupiter.
1.3.4 Si Tf. >> 105 K il y a pénétration des nuages électroniques et les électrons ne sont plus liés à un noyau particulier. Il y a dégénérescence c'est à dire que l'on a un mélange de deux gaz: le gaz d'électrons et le gaz de noyaux (protons).
1.3.5 Dans l'hypothèse d'un gaz parfait $3/2k{T_e} = 1/2{m_e}v_e^2$ alors ${\lambda _e} = \frac{h}{{{m_e}{v_e}}} = \frac{h}{{\sqrt {3k{m_e}{T_e}} }}$
1.3.6 Les atomes étant ionisés le nombre de particules est doublé; alors certaines relations sont à modifier $U = \frac{{3MkT}}{{{m_H}}}$ et ${R_f} = {\lambda _e}{\left( {\frac{{2M}}{{{m_H}}}} \right)^{1/3}} = \frac{h}{{\sqrt {3k{m_e}{T_e}} }}{\left( {\frac{{2M}}{{{m_H}}}} \right)^{1/3}}$
La relation qui donne la température finale est$\frac{{2k{T_e}}}{{{m_H}}} = \frac{{GM}}{{5{R_f}}}$et conduit à $k{T_e} = \frac{{3{G^2}{M^{4/3}}}}{{100{{\left( 2 \right)}^{2/3}}{h^2}}}{m_e}m_H^{8/3}$
Pour atteindre une température de 107 K il faut M > 0,1 M..Les réactions nucléaires peuvent avoir lieu, le corps ainsi formé est une étoile.
2.1 Ordres de grandeur
2.1.1 L'étoile rayonnant de façon isotrope: $E = \frac{L}{{4\pi {D^2}}}$ ce qui donne pour le soleil E ≈ 1,34 kW.m-2.
2.1.2 Un corps noir sphérique rayonne la puissance $L = (\sigma T_{eff}^4)4\pi {R^2}$soit pour le soleil Teff = 5740 K
2.1.3 On a simplement ${t_{KH}} = \frac{{3G{M^2}}}{{5R\,L}}$ce qui fait seulement tKH ≈ 19 millions d'années pour le Soleil
2.1.4 On a cette fois $f\,M{c^2} = L\,{t_n}$soit pour f = 10-3 tn ≈ 15 milliards d'années pour le Soleil
Il faut conclure que l'énergie rayonnée par les étoiles a sa source dans les réactions nucléaires.
2.2 Les équations d'équilibre
2.2.1 $dm = 4\pi \rho (r)\,{r^2}dr$ et $\frac{{dP}}{{dr}} = - \rho (r)\frac{{Gm}}{{{r^2}}}$ (cf 1.2.1)
2.2.2 La coquille de rayon r et d'épaisseur dr génère une puissance $[\varepsilon (r)\rho (r)].4\pi \,{r^2}dr$
Elle émet par rayonnement vers la surface, la puissance: $L(r + dr) - L(r) \approx \frac{{dL}}{{dr}}dr$
A l'équilibre thermique on doit vérifier $\frac{{dL}}{{dr}} = 4\pi \,{r^2}\varepsilon (r)\rho (r)$
2.3 Les équations d'état
2.3.1 La masse totale des noyaux de type i est xiM. Leur nombre est donc xiM/mi .
On en déduit que le nombre total de protons (et donc d'électrons) est $\sum\limits_i {{z_i}\frac{{{x_i}M}}{{{m_i}}}} $
Le nombre total de particules (noyaux plus électrons) est alors $N = \sum\limits_i {\frac{{{x_i}M}}{{{m_i}}}} + \sum\limits_i {{z_i}\frac{{{x_i}M}}{{{m_i}}}} $
Soit encore $N = M\sum\limits_i {{x_i}\frac{{(1 + {z_i})}}{{{m_i}}}} \Rightarrow \frac{1}{\mu } = \sum\limits_i {{x_i}\frac{{(1 + {z_i})}}{{{\mu _i}}}} $ cqfd.
2.3.2 Le quotient ${\mu _i} = \frac{{{m_i}}}{{{m_p}}}$représente sensiblement le nombre de nucléons dans les noyaux de type i (car les masses du proton et du neutron dont voisines) Or pour les noyaux lours il y a à peu près autant de protons que de neutrons soit ${\mu _i} \approx 2{z_i}$.
On peut alors écrire $\frac{1}{\mu } \approx \frac{{X(1 + 1)}}{1} + \frac{{Y(1 + 2)}}{2} + \sum\limits_i {{x_i}\frac{{(1 + {z_i})}}{{2{z_i}}}} \approx 2X + 1,5Y$
cr le dernier terme est négligeable car de l'ordre de $\sum\limits_i {{x_i}\frac{1}{2}} < < 2X + 1,5Y$
Pour le soleil le résultat précédent conduit à µ ≈ 0,58
soit aussi $r = \frac{{{\text{constante de Boltzman}}}}{{{\text{masse moyenne d'une particule}}}}$ soit ici $r = \frac{{\,k}}{{M/N}} = \frac{k}{{\mu {m_p}}}$, d'où ${P_g} = \rho \frac{{kT}}{{\mu {m_p}}}$
2.3.5 On a pour une mole de gaz parfait ${C_v} = \frac{R}{{\gamma - 1}}\quad {C_p} = \frac{{\gamma R}}{{\gamma - 1}}$ et $dS = {C_p}\frac{{dT}}{T} - V\frac{{d{P_g}}}{T}$
soit pour une transformation isentropique $\frac{{\gamma R}}{{\gamma - 1}}\frac{{dT}}{T} = V\frac{{d{P_g}}}{T} = \frac{{Rd{P_g}}}{{{P_g}}} \Rightarrow {\left( {\frac{{dT}}{{d{P_g}}}} \right)_{ad}} = \frac{{\gamma - 1}}{\gamma }\frac{T}{{{P_g}}}$
L'équation d'état implique ${P_g} = \rho \frac{{kT}}{{\mu {m_p}}} \Rightarrow \frac{{d\rho }}{\rho } = \frac{{d{P_g}}}{{{P_g}}} - \frac{{dT}}{T}$
soit pour une transformation isentropique $\frac{{d\rho }}{\rho } = \frac{{d{P_g}}}{{{P_g}}} - \frac{{dT}}{T} = \frac{{d{P_g}}}{{{P_g}}} - \frac{{\gamma - 1}}{\gamma }\frac{{d{P_g}}}{{{P_g}}} = \frac{{d{P_g}}}{{\gamma \,{P_g}}}$
Ce qui s'intégre en ${P_g}{\rho ^{_\gamma }} = cste$
2.3.6 On intégre sur tout le domaine spectral : ${u_r}(T) = \int_0^\infty {} \frac{{8\pi h{\nu ^3}}}{{{c^3}}}\frac{{d\nu }}{{{e^{h\nu /kT}} - 1}} = \frac{{8\pi {k^4}{T^4}}}{{{h^3}{c^3}}}\int_0^\infty {} \frac{{{x^3}dx}}{{{e^x} - 1}}$
et grâce au résultat fourni on trouve ${u_r}(T) = \frac{{8\pi {k^4}{T^4}}}{{{h^3}{c^3}}}\frac{{{\pi ^4}}}{{15}} = \frac{{4\sigma {T^4}}}{c}$
2.3.7 On admet ${P_r} = \frac{{4\sigma {T^4}}}{{3c}} = \frac{1}{3}{u_r}$; une pression est une force surfacique c'est aussi un travail par unité de volume donc c'est homogène une énergie volumique comme ur.
Remarque : pour un gaz parfait , la pression cinétique est aussi égale à u/3
2.4 Transport de l'énergie
2.4.1 Si P(x) est la probabilité de non-absorption sur un parcours de longueur x alors la probabilté de non-absorption sur un parcours de longueur x+dx sera le produit de P(x) par [1 - κρdx] (ce qui représente la probabilté de non-absorption sur un parcours dx) .
Alors P(x+dx) = P(x) + (dP /dx)dx = P(x) . [1 - κρdx] donc $\frac{{dP}}{{dx}} = - \kappa \rho P\quad \Rightarrow P = e - \kappa \rho x$
La constante d'intégration devant permettre d'avoir P(0) = 1
2.4.2 Par définition la longueur moyenne parcourue par un photon avant d'être absorbé est :
${\ell _0} = \frac{{\int_0^\infty {\ell \,P(\ell )\,dx} }}{{\int_0^\infty {\,P(\ell )\,d\ell } }} = \frac{{{{\left( {\frac{1}{{\kappa \rho }}} \right)}^2}\int_0^\infty {\,x\,e - x\,dx} }}{{\left( {\frac{1}{{\kappa \rho }}} \right)\;\int_0^\infty {\,\,e - x\,dx} }} = \frac{1}{{\kappa \rho }}$
Pour le soleil on trouve ρ ≈ 1,4.103 kg.m-3 et 0 vaut environ 18 mm. C'est une longueur très petite à l'échelle du soleil, on peut considérer que les photons sont tous absorbés lorsqu'ils atteignent un élément de volume (un cube de coté quelques 0 ), donc cet élément de volume est un corps noir puisque parfaitement absorbant.
| Les photons se déplacent à la vitesse c, donc ceux qui traversent dS pendant une durée Δt dans le sens positif de l'axe sont contenus dans le volume dS.cΔt situé à gauche de dS sur la figure. Compte tenu de l'isotropie de l'espace, il n'y a que 1/6eme des photons qui se dirigent vers indiqué. C'est photons ne correspondent pas tous à la même température, puisque T(r). En moyenne un photon parcourt 0 on peut dire qu'ils viennent d'une zone où la température est T(r - 0) et où la |
Alors l'énergie qui traverse dS dans le sens positif pendant Δt vaut $\frac{{2\sigma }}{{3c}}[{T^4} - 4{T^3}\frac{{dT}}{{dr}}{\ell _0}].c\Delta t.dS$
L'énergie qui traverse dS dans le sens négatif pendant Δt vaut $\frac{{2\sigma }}{{3c}}[{T^4} + 4{T^3}\frac{{dT}}{{dr}}{\ell _0}].c\Delta t.dS$
Le bilan net en puissance sera $FdS = \frac{{2\sigma }}{{3c}}[8{T^3}\frac{{dT}}{{dr}}{\ell _0}].c.dS = - \frac{{16\sigma {T^3}}}{{3\kappa \rho }}\frac{{dT}}{{dr}}dS$
Donc pour une sphère de rayon r $L(r) = \int {FdS} = F.4\pi {r^2} = - \frac{{64\pi \sigma {r^2}{T^3}}}{{3\kappa \rho }}\frac{{dT}}{{dr}}$ cqfd
2.4.4 On obtient pour le Soleil L(R) ≈ 4.1026 W.m-2. Ce qui est la valeur observée.
2.5.1 La définition $\frac{{{m_1}(\alpha {R_1})}}{{{m_0}(\alpha {R_0})}} = \frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}$ indique que les longueurs sont homothétiques dans le rapport $\frac{{longueur\;dans\,(1)}}{{longueur\;dans\,(0)}} = \frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}$ et que les masses le sont dans le rapport $\frac{{masse\;dans\,(1)}}{{masse\;dans\,(0)}} = \frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}$
Les dimensions d'une masse volumique permettent de trouver immédiatement
$\frac{{{\rho _1}(\alpha {R_1})}}{{{\rho _0}(\alpha {R_0})}} = \left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right){\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 3}}$
2.5.2 L'échelle de temps caractéristique est ${t_0} = \sqrt {\frac{{{R^3}}}{{GM}}} $on en déduit que les temps sont homothétiques dans le rapport : $\frac{{dur\'e e\;dans\,(1)}}{{dur\'e e\;dans\,(0)}} = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{ - 1/2}}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{3/2}}$
Les dimensions d'une pression (Masse.Longueur-1Temps-2) conduisent alors à la relation
$\frac{{{P_1}(\alpha {R_1})}}{{{P_0}(\alpha {R_0})\;}} = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^2}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 4}}$
Si la pression gazeuse est dominante la température est la température cinétique (eC = 3/2kT)
On en déduit que $\frac{{{T_1}(\alpha {R_1})}}{{{T_0}(\alpha {R_0})}} = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^2}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 1}}$
Si la pression de radiation est dominante la température est celle du rayonnement ($du/dV = \frac{{4\sigma {T^4}}}{c}$)
On trouve alors que $\frac{{{T_1}(\alpha {R_1})}}{{{T_0}(\alpha {R_0})}} = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{1/2}}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 1}}$
On exclut les cas intermédiaires où la convection n'est pas négligeable et qui a été écartée.
2.5.3 La première relation est : $\frac{{dL}}{{dr}} = 4\pi \,{r^2}\varepsilon (r)\rho (r)$soit avec $\varepsilon = {\varepsilon _0}\rho {T^n} \Rightarrow \frac{{dL}}{{dr}}\, = 4\pi {r^2}{\varepsilon _0}{T^n}{\rho ^2}$
compte tenu des résultats le facteur d'homothétie est tel que
Si la pression gazeuse est dominante
$\frac{{{L_1}(\alpha {R_1})}}{{{L_0}(\alpha {R_0})}} = \left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right).{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^2}{\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^2}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 6}}\,.{\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{2n}}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - n}} = {\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 3 - n}}{\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{2 + 2n}}$
Si la pression radiante est dominante
$\frac{{{L_1}(\alpha {R_1})}}{{{L_0}(\alpha {R_0})}} = \left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right).{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^2}{\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^2}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 6}}\,.{\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{n/2}}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - n}} = {\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 3 - n}}{\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{2 + n/2}}$
La 2eme relation est $L(r) = - \frac{{64\pi \sigma {r^2}{T^3}}}{{3\kappa \rho }}\frac{{dT}}{{dr}}$ soit avec $\kappa = {\kappa _0}\rho {T^{ - 7/2}}$$ \Rightarrow L(r) = - \frac{{64\pi \sigma {r^2}{T^{13/2}}}}{{3{\kappa _0}{\rho ^2}}}\frac{{dT}}{{dr}}$
Donc si la pression gazeuse est dominante
$\frac{{L(\alpha {R_1})}}{{L(\alpha {R_0})}} = {\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^2}.{\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{ - 2}}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^6}{\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{15/2}}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 15/2}}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 1}} = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{11/2}}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 1/2}}$
Si la pression radiante est dominante
$\frac{{L(\alpha {R_1})}}{{L(\alpha {R_0})}} = {\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^2}.{\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{ - 2}}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^6}{\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{15/4}}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 15/2}}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 1}} = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{7/4}}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 1/2}}$
${\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 3 - n}}{\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{2 + 2n}} = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{11/2}}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 1/2}}$$ \Rightarrow {\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{5/2 + n}} = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{ - 7/2 + 2n}}$$ \Rightarrow \left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right) = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{\frac{{4n - 7}}{{2n + 5}}}}$
et pour une pression de radiation dominante
${\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 3 - n}}{\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{2 + n/2}} = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{7/4}}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 1/2}}$$ \Rightarrow {\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{5/2 + n}} = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{ - 3/4 + n/2}}$$ \Rightarrow \left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right) = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{\frac{{2n - 3}}{{4n + 20}}}}$
2.5.5 De même lorsque la pression gazeuse est dominante
on a $\frac{{L(\alpha {R_1})}}{{L(\alpha {R_0})}} = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{11/2}}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 1/2}} = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{11/2}}{\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{ - \frac{{4n - 7}}{{4n + 10}}}} = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{\frac{{18n + 62}}{{4n + 10}}}}$
et lorsque la pression de radiation est dominante
on a $\frac{{L(\alpha {R_1})}}{{L(\alpha {R_0})}} = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{7/4}}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 1/2}} = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{7/4}}{\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{ - \frac{{2n - 3}}{{8n + 40}}}} = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{\frac{{12n + 73}}{{8n + 40}}}}$
2.5.6 Les diagrammes expérimentaux conduisent à
masse-rayon.: ${{\log }_{10}}\frac{R\ }{R}\approx 0,9\,\,{{\log }_{10}}\frac{M\ }{\text{M}}$ masse-luminosité: ${{\log }_{10}}\frac{L\ }{L}\approx 3,3\,\,{{\log }_{10}}\frac{M\ }{\text{M}}$
si la pression gazeuse est dominante (étoile froide, n=5) alors $\frac{{L(\alpha {R_1})}}{{L(\alpha {R_0})}} \approx {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^5}$
si la pression de radiation est dominante (étoile chaude n =18) $\frac{{L(\alpha {R_1})}}{{L(\alpha {R_0})}} \approx {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{1,6}}$
