Concours Physique ENS Lyon, Cachan (MP*) 1998 (Corrigé)

Corrigé ENS 1998 - Physique MP
Première partie : Formation des étoiles
1.1 Nuage gravitationnellement lié
1.1.1 Les dimensions des grandeurs G, M, R conduisent à résoudre
${G^\alpha }{M^\beta }{R^\gamma } \equiv {({L^3}{M^{ - 1}}{T^{ - 2}})^\alpha }{(M)^\beta }{(L)^\gamma } \equiv T$$\Rightarrow \left\{ {\alpha = - 1/2\quad \beta = - 1/2\quad \gamma = 3/2} \right\}$
l'expression cherchée est ${t_0} = \sqrt {\frac{{{R^3}}}{{GM}}}$
1.1.2 Quand on ajoute une masse dm à une sphère de rayon r et de masse m, l'énergie potentielle gravitationnelle augmente de $d{E_P} = - \frac{{Gm}}{r}dm$ soit ${E_P} = - \int_0^M {} \frac{{Gm}}{r}dm$
(ceci en vertu du théorème de Gauss et de la symétrie sphérique la masse totale est localisée au centre)
La masse volumique uniforme permet d'éliminer r au profit de m: $r = R{\left( {\frac{m}{M}} \right)^{1/3}}$
Donc finalement ${E_P} = - \frac{G}{R}{M^{1/3}}\int_0^M {} {m^{2/3}}dm = - \frac{{3G{M^2}}}{{5R}}$

1.1.3 L'énergie interne d'un gaz parfait monoatomique est $U = \frac{{3MkT}}{{2{m_H}}}$; car $\frac{M}{{{m_H}}}$ est le nombre de particules (on a m_H ≈ m_p). Si l'énergie totale E_P + U est négative le nuage est gravitationnellement lié.
1.1.4 On en déduit que les nuages se fragmentent si : $\frac{{3G{M^2}}}{{5R}} > \frac{{3MkT}}{{2{m_H}}}$
soit en fonction de la masse volumique ρ et température T
$\frac{{G4\pi \rho {R^2}}}{{15}} > \frac{{kT}}{{2{m_H}}}\quad \Rightarrow \quad R > {R_J} = \sqrt {\frac{{15kT}}{{8\pi \rho G{m_H}}}}$ ou encore $M > {M_J} = 4/3\pi R_J^3$
Si on se rappelle que kT est une énergie alors : $R_J^2 \equiv \frac{{M{L^2}{T^{ - 2}}}}{{M{L^{ - 3}}({L^3}{M^{ - 1}}{T^{ - 2}})M}} = {L^2}$; dimension correcte.
1.1.5 Pour T = 10 K et avec 1 atome d'hydrogène par cm³ R_J = 6,6.10¹⁷ m soit M_J = 10³ M
Cette valeur fait penser que les étoiles se forment en "grappe" puis se séparent ensuite.
1.1.6 La conservation de l'énergie totale de la couche i s'écrit
$d{E_P} + d{E_c} = - \frac{{Gm}}{{{r_i}}}d{m_i} + 1/2d{m_i}\,\dot r_i^2 = - \frac{{Gm}}{{{r_{i0}}}}d{m_i}$ $\Rightarrow \quad \dot r_i^2 = 2Gm\left( {\frac{1}{{{r_i}}} - \frac{1}{{{r_{i0}}}}} \right)$
où m est la masse contenue dans la sphère de rayon r_i(t) et qui est constante au cours du temps.
et dm_i est la masse de la couche soit $d{m_i} = 4/3\pi {\rho _i}r_i^3$qui est également constante en fonction de t.
Si on pose r_i(t) = r_i(0) cos²α_i(t) alors en dérivant ${\dot r_{_i}} = - 2{\dot \alpha _i}\,{r_{i0}}\cos {\alpha _i}\,\sin {\alpha _i}$
d'autre part l'équation de conservation donne $\dot r_i^2 = \frac{{2Gm}}{{{r_{i0}}}}\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}{\alpha _i}}} - 1} \right) = \frac{{2Gm}}{{{r_{i0}}}}{\tan ^2}{\alpha _i}$
On trouve ainsi que $\dot \alpha _i^2{\cos ^4}{\alpha _i} = \frac{{2Gm}}{{4r_{i0}^3}}$ soit encore : $d{\alpha _i}{\cos ^2}{\alpha _i} = \pm \frac{{2Gm}}{{4r_{i0}^3}}dt$
On doit garder le signe + pour que r_i diminue avec le temps
L'intégration de la dernière équation est élémentaire : $\left( {\frac{{{\alpha _i}}}{2} - \frac{{\sin {\alpha _i}}}{4}} \right)_0^t = \frac{{2Gm}}{{4r_{i0}^3}}(t - 0)$
ce qui donne pour la durée d'effondrement la valeur ${t_{ff}} = \frac{\pi }{4}\sqrt {\frac{{2r_{i0}^3}}{{Gm}}}$; le modèle conduit bien à un e valeur indépendante de la couche envisagée puisque $m \propto r_{i0}^3$.
Pour un nuage de densité uniforme initialement on a ${t_{ff}} = \frac{\pi }{4}\sqrt {\frac{{2{R^3}}}{{GM}}}$, on constate temps d'effondrement est du même ordre de grandeur que le temps t₀.
1.1.7 Avec un atome d'hydrogène par cm³ l'effondrement dure 1,1.10⁸ ans quel que soit R.

1.2 Stabilité d'un nuage isotherme
1.2.1 L'équation fondamentale de l'hydrostatique et le théorème de Gauss donnent $\frac{{dP}}{{dr}} = - \rho \frac{{Gm}}{{{r^2}}}$
or $dm = 4\pi \rho {r^2}dr$la relation de l'énoncé est donc équivalente à
$\frac{{d(4\pi {r^3}P)}}{{dm}} = \frac{{d(4\pi {r^3}P)}}{{4\pi \rho {r^2}dr}} = \frac{1}{{\rho {r^2}}}\left( {3{r^2}P + {r^3}\frac{{dP}}{{dr}}} \right) = \frac{{3P}}{\rho } + \frac{r}{\rho }\frac{{dP}}{{dr}} = \frac{{3P}}{\rho } - \frac{{Gm}}{r}$ cqfd
1.2.2 Pour un gaz parfait $\frac{{3P}}{\rho } = \frac{{3PV}}{M} = \frac{{3nRT}}{M} = \frac{{2U}}{M}$ c'est le double de l'énergie interne massique.
1.2.3 l'équation (1) revient à écrire $d(4\pi {r^3}P) = 2dU + d{E_p}$
Soit en intégrant sur tout le nuage $4\pi {R^3}P(R) = 2U + {E_p}$

1.2.4 En exprimant l'énergie interne et l'énergie potentielle on obtient pour la pression de surface $4\pi {R^3}P(R) = 2\frac{{3MkT}}{{2{m_H}}} - \frac{{3G{M^2}}}{{5R}}$ soit $P(R) = \frac{{3MkT}}{{4\pi {R^3}{m_H}}} - \frac{{3G{M^2}}}{{20\pi {R^4}}}$ d'où le graphe ci-contre.

1.2.5 $P'(R) = 0 \Rightarrow R = 4\frac{{GM{m_H}}}{{15kT}} = \frac{{2{R_J}}}{3}$ (à M et T fixés ${R_J} = \frac{{2GM{m_H}}}{{5kT}}$)
Puisque R > R_J, le point figuratif est au delà de l'extrémum donc dP/dR < 0 c'est à dire que le nuage se contracte si P(R) augmente. L'amorçage de l'effondrement des nuages sur eux-même est sans doute dû à une explosion "proche" d'une super-novae.

1.3 Effondrement du nuage
1.3.1 La distance minimale est de l'ordre du rayon atomique (soit a ≈ 0,1 nm)., alors les atomes sont en contact. Le nombre de particules est alors le quotient des volumes, soit
$\frac{M}{{{m_H}}} = \frac{{4/3\pi R_f^3}}{{4/3\pi {a^3}}}\quad \Rightarrow \quad {R_f} = a{\left( {\frac{M}{{{m_H}}}} \right)^{1/3}}$
1.3.2 La pression de surface étant nulle on a $P(R) = \frac{{3MkT}}{{4\pi {R^3}{m_H}}} - \frac{{3G{M^2}}}{{20\pi {R^4}}} = 0\quad \Rightarrow \quad \frac{{kT}}{{{m_H}}} = \frac{{GM}}{{5R}}$
Entre les états initial et final on a donc la relation $\quad \frac{k}{{{m_H}}}\left( {{T_f} - {T_i}} \right) = \frac{{GM}}{5}\left( {\frac{1}{{{R_f}}} - \frac{1}{{{R_i}}}} \right)$
Mais R_i >> R_f (1^ere approximation) et T_i << T_f. (2^eme approximation) donc $\frac{{k{T_f}}}{{{m_H}}} = \frac{{GM}}{{5{R_f}}}$
1.3.3 Les deux relations $\frac{{k{T_f}}}{{{m_H}}} = \frac{{GM}}{{5{R_f}}}$ et ${R_f} = a{\left( {\frac{M}{{{m_H}}}} \right)^{1/3}}$impliquent ${T_f} = \frac{{G{M^{2/3}}}}{{5ak}}m_H^{4/3}$
Si on veut T_f. < 10⁵ K il faut M < 6.10^-3 M. Le corps formé est une étoile "ratée" dont un exemple est la planète Jupiter.
1.3.4 Si T_f. >> 10⁵ K il y a pénétration des nuages électroniques et les électrons ne sont plus liés à un noyau particulier. Il y a dégénérescence c'est à dire que l'on a un mélange de deux gaz: le gaz d'électrons et le gaz de noyaux (protons).
1.3.5 Dans l'hypothèse d'un gaz parfait $3/2k{T_e} = 1/2{m_e}v_e^2$ alors ${\lambda _e} = \frac{h}{{{m_e}{v_e}}} = \frac{h}{{\sqrt {3k{m_e}{T_e}} }}$
1.3.6 Les atomes étant ionisés le nombre de particules est doublé; alors certaines relations sont à modifier $U = \frac{{3MkT}}{{{m_H}}}$ et ${R_f} = {\lambda _e}{\left( {\frac{{2M}}{{{m_H}}}} \right)^{1/3}} = \frac{h}{{\sqrt {3k{m_e}{T_e}} }}{\left( {\frac{{2M}}{{{m_H}}}} \right)^{1/3}}$
La relation qui donne la température finale est$\frac{{2k{T_e}}}{{{m_H}}} = \frac{{GM}}{{5{R_f}}}$et conduit à $k{T_e} = \frac{{3{G^2}{M^{4/3}}}}{{100{{\left( 2 \right)}^{2/3}}{h^2}}}{m_e}m_H^{8/3}$
Pour atteindre une température de 10⁷ K il faut M > 0,1 M..Les réactions nucléaires peuvent avoir lieu, le corps ainsi formé est une étoile.

Deuxième partie : Structure des étoiles
2.1 Ordres de grandeur
2.1.1 L'étoile rayonnant de façon isotrope: $E = \frac{L}{{4\pi {D^2}}}$ ce qui donne pour le soleil E ≈ 1,34 kW.m^-2.
2.1.2 Un corps noir sphérique rayonne la puissance $L = (\sigma T_{eff}^4)4\pi {R^2}$soit pour le soleil T_eff = 5740 K
2.1.3 On a simplement ${t_{KH}} = \frac{{3G{M^2}}}{{5R\,L}}$ce qui fait seulement t_KH ≈ 19 millions d'années pour le Soleil
2.1.4 On a cette fois $f\,M{c^2} = L\,{t_n}$soit pour f = 10^-3 t_n ≈ 15 milliards d'années pour le Soleil
Il faut conclure que l'énergie rayonnée par les étoiles a sa source dans les réactions nucléaires.
2.2 Les équations d'équilibre
2.2.1 $dm = 4\pi \rho (r)\,{r^2}dr$ et $\frac{{dP}}{{dr}} = - \rho (r)\frac{{Gm}}{{{r^2}}}$ (cf 1.2.1)
2.2.2 La coquille de rayon r et d'épaisseur dr génère une puissance $[\varepsilon (r)\rho (r)].4\pi \,{r^2}dr$
Elle émet par rayonnement vers la surface, la puissance: $L(r + dr) - L(r) \approx \frac{{dL}}{{dr}}dr$
A l'équilibre thermique on doit vérifier $\frac{{dL}}{{dr}} = 4\pi \,{r^2}\varepsilon (r)\rho (r)$
2.3 Les équations d'état
2.3.1 La masse totale des noyaux de type i est x_iM. Leur nombre est donc x_iM/m_i .
On en déduit que le nombre total de protons (et donc d'électrons) est $\sum\limits_i {{z_i}\frac{{{x_i}M}}{{{m_i}}}}$
Le nombre total de particules (noyaux plus électrons) est alors $N = \sum\limits_i {\frac{{{x_i}M}}{{{m_i}}}} + \sum\limits_i {{z_i}\frac{{{x_i}M}}{{{m_i}}}}$
Soit encore $N = M\sum\limits_i {{x_i}\frac{{(1 + {z_i})}}{{{m_i}}}} \Rightarrow \frac{1}{\mu } = \sum\limits_i {{x_i}\frac{{(1 + {z_i})}}{{{\mu _i}}}}$ cqfd.
2.3.2 Le quotient ${\mu _i} = \frac{{{m_i}}}{{{m_p}}}$représente sensiblement le nombre de nucléons dans les noyaux de type i (car les masses du proton et du neutron dont voisines) Or pour les noyaux lours il y a à peu près autant de protons que de neutrons soit ${\mu _i} \approx 2{z_i}$.
On peut alors écrire $\frac{1}{\mu } \approx \frac{{X(1 + 1)}}{1} + \frac{{Y(1 + 2)}}{2} + \sum\limits_i {{x_i}\frac{{(1 + {z_i})}}{{2{z_i}}}} \approx 2X + 1,5Y$
cr le dernier terme est négligeable car de l'ordre de $\sum\limits_i {{x_i}\frac{1}{2}} < < 2X + 1,5Y$
Pour le soleil le résultat précédent conduit à µ ≈ 0,58

2.3.4 Localement la loi des gaz parfaits s'écrit ${P_g} = \rho rT$, avec$r = \frac{{{\text{constante des Gaz parfaits}}}}{{{\text{masse molaire du mélange}}}}$
soit aussi $r = \frac{{{\text{constante de Boltzman}}}}{{{\text{masse moyenne d'une particule}}}}$ soit ici $r = \frac{{\,k}}{{M/N}} = \frac{k}{{\mu {m_p}}}$, d'où ${P_g} = \rho \frac{{kT}}{{\mu {m_p}}}$
2.3.5 On a pour une mole de gaz parfait ${C_v} = \frac{R}{{\gamma - 1}}\quad {C_p} = \frac{{\gamma R}}{{\gamma - 1}}$ et $dS = {C_p}\frac{{dT}}{T} - V\frac{{d{P_g}}}{T}$
soit pour une transformation isentropique $\frac{{\gamma R}}{{\gamma - 1}}\frac{{dT}}{T} = V\frac{{d{P_g}}}{T} = \frac{{Rd{P_g}}}{{{P_g}}} \Rightarrow {\left( {\frac{{dT}}{{d{P_g}}}} \right)_{ad}} = \frac{{\gamma - 1}}{\gamma }\frac{T}{{{P_g}}}$
L'équation d'état implique ${P_g} = \rho \frac{{kT}}{{\mu {m_p}}} \Rightarrow \frac{{d\rho }}{\rho } = \frac{{d{P_g}}}{{{P_g}}} - \frac{{dT}}{T}$
soit pour une transformation isentropique $\frac{{d\rho }}{\rho } = \frac{{d{P_g}}}{{{P_g}}} - \frac{{dT}}{T} = \frac{{d{P_g}}}{{{P_g}}} - \frac{{\gamma - 1}}{\gamma }\frac{{d{P_g}}}{{{P_g}}} = \frac{{d{P_g}}}{{\gamma \,{P_g}}}$
Ce qui s'intégre en ${P_g}{\rho ^{_\gamma }} = cste$
2.3.6 On intégre sur tout le domaine spectral : ${u_r}(T) = \int_0^\infty {} \frac{{8\pi h{\nu ^3}}}{{{c^3}}}\frac{{d\nu }}{{{e^{h\nu /kT}} - 1}} = \frac{{8\pi {k^4}{T^4}}}{{{h^3}{c^3}}}\int_0^\infty {} \frac{{{x^3}dx}}{{{e^x} - 1}}$
et grâce au résultat fourni on trouve ${u_r}(T) = \frac{{8\pi {k^4}{T^4}}}{{{h^3}{c^3}}}\frac{{{\pi ^4}}}{{15}} = \frac{{4\sigma {T^4}}}{c}$
2.3.7 On admet ${P_r} = \frac{{4\sigma {T^4}}}{{3c}} = \frac{1}{3}{u_r}$; une pression est une force surfacique c'est aussi un travail par unité de volume donc c'est homogène une énergie volumique comme u_r.
Remarque : pour un gaz parfait , la pression cinétique est aussi égale à u/3
2.4 Transport de l'énergie
2.4.1 Si P(x) est la probabilité de non-absorption sur un parcours de longueur x alors la probabilté de non-absorption sur un parcours de longueur x+dx sera le produit de P(x) par [1 - κρdx] (ce qui représente la probabilté de non-absorption sur un parcours dx) .
Alors P(x+dx) = P(x) + (dP /dx)dx = P(x) . [1 - κρdx] donc $\frac{{dP}}{{dx}} = - \kappa \rho P\quad \Rightarrow P = e - \kappa \rho x$
La constante d'intégration devant permettre d'avoir P(0) = 1
2.4.2 Par définition la longueur moyenne parcourue par un photon avant d'être absorbé est :
${\ell _0} = \frac{{\int_0^\infty {\ell \,P(\ell )\,dx} }}{{\int_0^\infty {\,P(\ell )\,d\ell } }} = \frac{{{{\left( {\frac{1}{{\kappa \rho }}} \right)}^2}\int_0^\infty {\,x\,e - x\,dx} }}{{\left( {\frac{1}{{\kappa \rho }}} \right)\;\int_0^\infty {\,\,e - x\,dx} }} = \frac{1}{{\kappa \rho }}$
Pour le soleil on trouve ρ ≈ 1,4.10³ kg.m^-3 et ₀ vaut environ 18 mm. C'est une longueur très petite à l'échelle du soleil, on peut considérer que les photons sont tous absorbés lorsqu'ils atteignent un élément de volume (un cube de coté quelques ₀ ), donc cet élément de volume est un corps noir puisque parfaitement absorbant.

2.4.3

Les photons se déplacent à la vitesse c, donc ceux qui traversent dS pendant une durée Δt dans le sens positif de l'axe sont contenus dans le volume dS.cΔt situé à gauche de dS sur la figure. Compte tenu de l'isotropie de l'espace, il n'y a que 1/6eme des photons qui se dirigent vers indiqué. C'est photons ne correspondent pas tous à la même température, puisque T(r). En moyenne un photon parcourt 0 on peut dire qu'ils viennent d'une zone où la température est T(r - 0) et où la

densité volumique d'énergie a la valeur : $\frac{{4\sigma }}{c}{[T(r - {\ell _0})]^4} \approx \frac{{4\sigma }}{c}[{T^4} - 4{T^3}\frac{{dT}}{{dr}}{\ell _0}]$
Alors l'énergie qui traverse dS dans le sens positif pendant Δt vaut $\frac{{2\sigma }}{{3c}}[{T^4} - 4{T^3}\frac{{dT}}{{dr}}{\ell _0}].c\Delta t.dS$
L'énergie qui traverse dS dans le sens négatif pendant Δt vaut $\frac{{2\sigma }}{{3c}}[{T^4} + 4{T^3}\frac{{dT}}{{dr}}{\ell _0}].c\Delta t.dS$
Le bilan net en puissance sera $FdS = \frac{{2\sigma }}{{3c}}[8{T^3}\frac{{dT}}{{dr}}{\ell _0}].c.dS = - \frac{{16\sigma {T^3}}}{{3\kappa \rho }}\frac{{dT}}{{dr}}dS$
Donc pour une sphère de rayon r $L(r) = \int {FdS} = F.4\pi {r^2} = - \frac{{64\pi \sigma {r^2}{T^3}}}{{3\kappa \rho }}\frac{{dT}}{{dr}}$ cqfd
2.4.4 On obtient pour le Soleil L(R) ≈ 4.10²⁶ W.m^-2. Ce qui est la valeur observée.

2.5 Les modèles homologues
2.5.1 La définition $\frac{{{m_1}(\alpha {R_1})}}{{{m_0}(\alpha {R_0})}} = \frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}$ indique que les longueurs sont homothétiques dans le rapport $\frac{{longueur\;dans\,(1)}}{{longueur\;dans\,(0)}} = \frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}$ et que les masses le sont dans le rapport $\frac{{masse\;dans\,(1)}}{{masse\;dans\,(0)}} = \frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}$
Les dimensions d'une masse volumique permettent de trouver immédiatement
$\frac{{{\rho _1}(\alpha {R_1})}}{{{\rho _0}(\alpha {R_0})}} = \left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right){\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 3}}$
2.5.2 L'échelle de temps caractéristique est ${t_0} = \sqrt {\frac{{{R^3}}}{{GM}}}$on en déduit que les temps sont homothétiques dans le rapport : $\frac{{dur\'e e\;dans\,(1)}}{{dur\'e e\;dans\,(0)}} = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{ - 1/2}}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{3/2}}$
Les dimensions d'une pression (Masse.Longueur^-1Temps^-2) conduisent alors à la relation
$\frac{{{P_1}(\alpha {R_1})}}{{{P_0}(\alpha {R_0})\;}} = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^2}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 4}}$
Si la pression gazeuse est dominante la température est la température cinétique (e_C = 3/2kT)
On en déduit que $\frac{{{T_1}(\alpha {R_1})}}{{{T_0}(\alpha {R_0})}} = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^2}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 1}}$
Si la pression de radiation est dominante la température est celle du rayonnement ($du/dV = \frac{{4\sigma {T^4}}}{c}$)
On trouve alors que $\frac{{{T_1}(\alpha {R_1})}}{{{T_0}(\alpha {R_0})}} = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{1/2}}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 1}}$
On exclut les cas intermédiaires où la convection n'est pas négligeable et qui a été écartée.
2.5.3 La première relation est : $\frac{{dL}}{{dr}} = 4\pi \,{r^2}\varepsilon (r)\rho (r)$soit avec $\varepsilon = {\varepsilon _0}\rho {T^n} \Rightarrow \frac{{dL}}{{dr}}\, = 4\pi {r^2}{\varepsilon _0}{T^n}{\rho ^2}$
compte tenu des résultats le facteur d'homothétie est tel que
Si la pression gazeuse est dominante
$\frac{{{L_1}(\alpha {R_1})}}{{{L_0}(\alpha {R_0})}} = \left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right).{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^2}{\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^2}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 6}}\,.{\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{2n}}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - n}} = {\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 3 - n}}{\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{2 + 2n}}$
Si la pression radiante est dominante
$\frac{{{L_1}(\alpha {R_1})}}{{{L_0}(\alpha {R_0})}} = \left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right).{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^2}{\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^2}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 6}}\,.{\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{n/2}}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - n}} = {\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 3 - n}}{\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{2 + n/2}}$
La 2^eme relation est $L(r) = - \frac{{64\pi \sigma {r^2}{T^3}}}{{3\kappa \rho }}\frac{{dT}}{{dr}}$ soit avec $\kappa = {\kappa _0}\rho {T^{ - 7/2}}$$\Rightarrow L(r) = - \frac{{64\pi \sigma {r^2}{T^{13/2}}}}{{3{\kappa _0}{\rho ^2}}}\frac{{dT}}{{dr}}$
Donc si la pression gazeuse est dominante
$\frac{{L(\alpha {R_1})}}{{L(\alpha {R_0})}} = {\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^2}.{\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{ - 2}}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^6}{\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{15/2}}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 15/2}}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 1}} = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{11/2}}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 1/2}}$
Si la pression radiante est dominante
$\frac{{L(\alpha {R_1})}}{{L(\alpha {R_0})}} = {\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^2}.{\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{ - 2}}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^6}{\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{15/4}}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 15/2}}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 1}} = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{7/4}}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 1/2}}$

2.5.4 La compatibilité entre les résultats impose pour une pression gazeuse dominante
${\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 3 - n}}{\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{2 + 2n}} = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{11/2}}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 1/2}}$$\Rightarrow {\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{5/2 + n}} = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{ - 7/2 + 2n}}$$\Rightarrow \left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right) = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{\frac{{4n - 7}}{{2n + 5}}}}$
et pour une pression de radiation dominante
${\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 3 - n}}{\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{2 + n/2}} = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{7/4}}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 1/2}}$$\Rightarrow {\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{5/2 + n}} = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{ - 3/4 + n/2}}$$\Rightarrow \left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right) = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{\frac{{2n - 3}}{{4n + 20}}}}$
2.5.5 De même lorsque la pression gazeuse est dominante
on a $\frac{{L(\alpha {R_1})}}{{L(\alpha {R_0})}} = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{11/2}}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 1/2}} = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{11/2}}{\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{ - \frac{{4n - 7}}{{4n + 10}}}} = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{\frac{{18n + 62}}{{4n + 10}}}}$
et lorsque la pression de radiation est dominante
on a $\frac{{L(\alpha {R_1})}}{{L(\alpha {R_0})}} = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{7/4}}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 1/2}} = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{7/4}}{\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{ - \frac{{2n - 3}}{{8n + 40}}}} = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{\frac{{12n + 73}}{{8n + 40}}}}$
2.5.6 Les diagrammes expérimentaux conduisent à
masse-rayon.: ${{\log }_{10}}\frac{R\ }{R}\approx 0,9\,\,{{\log }_{10}}\frac{M\ }{\text{M}}$ masse-luminosité: ${{\log }_{10}}\frac{L\ }{L}\approx 3,3\,\,{{\log }_{10}}\frac{M\ }{\text{M}}$
si la pression gazeuse est dominante (étoile froide, n=5) alors $\frac{{L(\alpha {R_1})}}{{L(\alpha {R_0})}} \approx {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^5}$
si la pression de radiation est dominante (étoile chaude n =18) $\frac{{L(\alpha {R_1})}}{{L(\alpha {R_0})}} \approx {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{1,6}}$