Concours Physique ENS Lyon, Ulm et Cachan (bio) 1996 (Énoncé)

COMPOSITION DE PHYSIQUE
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(Epreuve commune aux ENS Lyon,Ulm et Cachan)
Durée : 4 heures
Ce problème porte sur quelques aspects de la combustion et du fonctionnement des moteurs à explosion. Les deux parties peuvent être résolues indépendamment.
Dans tout le problème, tous les gaz, réactifs et produits de réaction, sont supposés parfaits et les mélanges idéaux. On note γ = C_P/C_V le rapport des capacités calorifiques molaires à pression et à volume constant, dont on négligera la dépendance en température. On note R la constante des gaz parfaits, R = 8,31 J K^–1mol^–1 . On rappelle que l'air est composé à 80% de diazote et à 20% de dioxygène.

Partie A
Dans un moteur à quatre temps, on décompose schématiquement le déroulement du cycle de la manière suivante (cf. fig 1) :
– AB : admission du mélange gazeux air-essence à température ambiante (T_A = 300 K) sous pression atmosphérique
– BC : compression du mélange
– CD : en C, une étincelle provoque l'explosion, qui est suivie par une compression isochore
– DE : détente
– EB : l'ouverture de la soupape d'échappement détend le mélange jusqu'à la pression atmosphérique
– BA : les gaz brûlés sont évacués.
La compression BC et la détente DE sont suffisamment rapides pour qu'on puisse négliger les échanges thermiques du gaz avec les parois. On suppose que température et pression sont homogènes.

A.1. En première approximation, on considère que la nature et la quantité de gaz ne changent pas au cours du cycle.
A.1.a. Justifier cette hypothèse sachant que le mélange air-combustible (alcane de formule brute C₇H₁₆) est injecté dans les proportions stœchiométriques.
A.1.b. Lors de quelle partie du cycle le gaz reçoit-il de la chaleur ? Exprimer la chaleur Q_ch reçue de la source chaude ainsi que le travail W reçu par le gaz lors d'un cycle en fonction des températures T_B, T_C, T_D et T_E.
A.1.c. Exprimer le rendement du moteur η = –W/Q_ch en fonction de γ et du taux de compression α_v = V_B/V_C.
Application numérique : α_v = 8 et γ = 1,4.
A.2.
A.2.a. Dans le cadre des hypothèses précédentes, déterminer la température T_C atteinte juste avant l'explosion.
A.2.b. On trouve dans les tables que l'enthalpie de combustion d'une mole de C₇H₁₆ vaut ∆H_r(T₀) = – 4730 Kj mol^-1 à T₀ = 300K et sous pression atmosphérique.
∆H_r dépend-elle de la pression ?
Déterminer ∆H_r(T_C) en fonction de ∆H_r(T₀) et des capacités calorifiques des produits de réaction et des réactifs.
Application numérique :

Gaz	O2	CO2	C7H16	H2O	N2
CP (J K–1 mol–1 )	36	57	270	44,5	33,8

A.2.c. Montrer que la variation d'énergie interne ∆U_r(T) lors de la combustion est donnée par : ∆U_r(T) = ∆H_r(T) – ∆n RT, où ∆n est la différence entre la somme des coefficients stoéchiométriques des produits et la somme des coefficients stoéchiométriques des réactifs.
En définitive, que pensez-vous de la différence ∆U_r(T_C) – ∆H_r(T₀) ?
A.2.d. Démontrer la relation de Mayer : C_P – C_V = R pour une mole de gaz parfait.
A.2.e. Faire un bilan des quantités de chaleurs mises en jeu lors de la phase CD et en déduire la température finale T_D. On supposera que les échanges thermiques avec les parois sont négligeables.
Application numérique : voir A.2.b.
A.2.f. En réalité, la température T_D est proche de 1600 K, notablement plus basse que la valeur obtenue au A.2.e. Proposez des explications à ce désaccord.
A.3.a. On considère un moteur fonctionnant dans les conditions précédentes (T_D = 1600 K). En négligeant toujours les échanges thermiques du gaz avec les parois lors des phases de compression et de détente, calculer la puissance délivrée s'il tourne à 4000 tours par minute et si sa cylindrée est deux litres (i. e. le volume de gaz frais admis à chaque tour est deux litres ) ?
A.3.b. Quel serait le rendement d'un moteur idéal dont le mélange gazeux suivrait un cycle de Carnot entre les températures extrêmes atteintes lors d'un cycle réel ? Commenter.

Partie B
Dans un mélange réactif métastable, la combustion s'opère via la propagation d'un front de flamme qui sépare le milieu initial (gaz frais) du milieu final composé des gaz brûlés. On s'intéresse dans cette partie à la structure du front de flamme. On se propose en particulier de déterminer la structure du champ de température à l'intérieur de la flamme ainsi que la vitesse de propagation de celle-ci.
On se place dans un cas où le nombre total de moles est conservé. On note symboliquement la réaction : A + O → 2 P, où A désigne le combustible.
On se place également dans une géométrie simple : la réaction a lieu dans un tube calorifugé de section S et on se limite à un front plan, si bien que la seule variable d'espace est la direction de propagation (cf fig. 2.a). Avant réaction, les gaz sont à la température T_f et au repos dans le référentiel du laboratoire. On suppose que la structure de la flamme est stationnaire. On considère la pression P, la capacité thermique c_P par unité de masse ainsi que la conductivité thermique K constantes, uniformes et indépendantes de la température.

On note T la température, v la vitesse du gaz, ρ la masse volumique totale et ρ_A la masse volumique de l'espèce A. Ces quatre quantités sont fonctions de x. Pour mesurer la quantité de A, on utilise aussi X_A = ρ_A/ρ. On se placera dans le référentiel qui se déplace avec la flamme, dans lequel v(x), ρ(x), ρ_A(x) et T(x) sont indépendantes du temps.
B.1. Bilan de masse pour l'espèce A.
B.1.a. On note Φ^conv le flux de masse de combustible convecté, c'est à dire dû au mouvement d'ensemble du fluide. Exprimer Φ^conv en fonction de S, v et ρ_A.
B.1.b. On rappelle que le flux de masse Φ^dif dû à la diffusion est donné par la loi de Fick:
${\Phi ^{dif}} = - DS\rho \frac{{d{X_A}}}{{dx}}$, où D est la diffusivité de A.
En déduire l'expression de Φ, flux total de masse de combustible.
B.1.c. Du fait de la combustion, la quantité de combustible diminue. On note σ_A le taux de consommation de A par unité de volume : σ_ASdxdt est la masse de A consommée dans le volume Sdx pendant le temps dt.
Ecrire le bilan de masse pour l'espèce A.
B.1.d. Montrer que la somme pour toutes les espèces des flux de masse d'origine diffusive est nulle ; on supposera que la diffusivité D est la même pour toute les espèces.
B.1.e. En utilisant la conservation de la masse, montrer que la quantité ρv est uniforme.
B.1.f. On note ρ_fU la constante ρv, où ρ_f est la masse volumique des gaz frais loin de la flamme.
Montrer que U représente la norme de la vitesse de la flamme par rapport aux gaz frais.
Montrer que le bilan de masse pour l'espèce A se met en définitive sous la forme :
${\rho _f}U\frac{{d{X_A}}}{{dx}} - \frac{d}{{dx}}\left[ {\rho D\frac{{d{X_A}}}{{dx}}} \right] = - {\sigma _A}$ (1)

B.2.Bilan de chaleur.
On note Q la valeur absolue de la quantité de chaleur dégagée par la combustion d'une mole de gaz A.
B.2.a. Montrer que Q ne dépend pas du mode de réaction, et est indépendante de la température des gaz frais.
B.2.b. On note σ_Q le taux de production de chaleur par unité de volume. Exprimer σ_Q en fonction de Q, de σ_A et de la masse molaire M_A de A.
B.2.c En vous inspirant de la question B.1, justifier qualitativement la forme du bilan de chaleur :
${\rho _f}U\frac{d}{{dx}}\left[ {{c_p}T} \right] - \frac{d}{{dx}}\left[ {K\frac{{dT}}{{dx}}} \right] = {\sigma _Q}.\rho $ (2)
B.3. Bilan d'enthalpie.
B.3.a. Montrer que l'enthalpie par unité de masse s'écrit, à une constante additive près :
$h = {c_p}T + \frac{Q}{{{M_A}}}{X_A}$.
B.3.b. A l'aide du bilan de masse et du bilan de chaleur, déterminer le bilan d'enthalpie.
B.3.c. En intégrant cette équation entre x = – ∞ et x = +∞, montrer que l'enthalpie des gaz frais a même valeur que celle des gaz brûlés.
En déduire T_b en fonction de T_f, M_A, Q, c_P, et de la valeur X_f de X_A dans les gaz frais.
B.3.d. On se place dorénavant dans l'hypothèse où les coefficients de diffusion de la chaleur et de A sont égaux : K = ρ c_P D.
Déterminer l'équation régissant le bilan de h dans ce cas, et montrer que h = Constante en est solution. On admettra que c'est la seule solution physique.
B.3.e. On définit la concentration massique réduite χ et la température réduite θ par :
χ = X_A / X_f
θ = (T – T_f)/(T_b – T_f)
Montrer que : χ = 1 – θ. Quelles sont les valeurs que peut prendre θ ? En définitive, quelle simplification considérable permet l'hypothèse de la question B.3.d ?
B.4. Structure de flamme.
B.4.a. Montrer que le bilan de chaleur se met sous la forme :
$U\frac{{d\theta }}{{dx}} - {D_0}\frac{{{d^2}\theta }}{{d{x^2}}} = \omega \left( \theta \right)$ (3)
Donner l'expression de la constante D₀, exprimer ω(θ) en fonction de σ_A, X_f et ρ_f. Quelle est la dimension de ω(θ) ?
B.4.b. Pour résoudre l'équation (3), on modélise ω(θ) par une fonction simple :
0 ≤ θ < 1 – ε : ω(θ) = 0
1 – ε ≤ θ < 1 : ω(θ) = ω₀/ε
θ = 1 : ω(1) = 0
Le taux de consommation σ_A n'est autre que la vitesse de réaction ; quelle est la signification physique de la forme choisie pour ω(θ) ?
Dans la suite, on fixe l'origine O de l'axe Ox au point où θ = 1 – ε, et on note δ l'abscisse du point où θ devient égal à 1. Si on considère alors ω comme une fonction de x, ω(x) a l'allure suivante :

On note d = D₀/U et λ = U/ω₀.
B.4.c. Résoudre l'équation (3) dans le domaine – ∞ < x < 0 et déterminer complètement θ(x) dans ce domaine en utilisant les valeurs de θ aux limites.
B.4.d. Répondre à la même question pour le domaine δ < x < +∞.
B.4.e. Trouver la solution générale de l'équation (3) pour 0 < x < δ. En utilisant les conditions de raccordement pour θ(x) en x = δ, montrer que :
$\theta \left( x \right) = 1 + \frac{{x - \delta }}{{\lambda \varepsilon }} + \frac{d}{{\lambda \varepsilon }}\left[ {1 - {e^{\left( {\frac{{x - \delta }}{d}} \right)}}} \right]$
B.4.f. En utilisant les conditions de raccordement en x = 0, montrer que :
δ = λε
$1 - \varepsilon = \frac{d}{{\lambda \varepsilon }}\left[ {1 - {e^{\left( { - \frac{{\lambda \varepsilon }}{d}} \right)}}} \right]$ (4)

B.5. En pratique, le paramètre ε est petit devant 1.
B.5.a. Dans cette approximation, montrer que λ = 2 d.
Représenter l'allure de la température réduite θ et du taux de réaction ω en fonction de x/d. Indiquer la zone de préchauffage et la zone de réaction.
B.5.b. Pourquoi appelle-t-on d épaisseur de flamme ?
Exprimer 1/ω₀ en fonction de d et U. Pourquoi 1/ω₀ est-il appelé temps de transit ?
Dans des conditions usuelles (T_b ≈ 2000 K), pour un hydrocarbure tel que le butane, ω₀ est de l'ordre de 10⁴ Hz et D₀ vaut 10^–5 m²s^–1. Calculer la vitesse de flamme U.
B.6. Pour le type de combustion étudié, la vitesse de flamme est donc fixée par le coefficient de diffusion et le taux de réaction. La combustion qui se produit dans un moteur (phase C→D de la fig. 1) peut-elle rentrer dans cette catégorie ?

Concours Physique ENS Cachan 1996 (Corrigé)

ETUDE D’UN SPECTROSCOPE A PRISME
APPLICATION A UNE MESURE INTERFERENTIELLE D’INDICE
I.1.

Notations: $i=(\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{N}}\,,\ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{u}}\,\ )$ ; $r=(\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{N}}\,,\ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{u}_{1}}}}\,\ )$ ; $r'=(\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{N'}}\,,\ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{u}_{1}}}}\,\ )$ ; $i'=(\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{N'}}\,,\ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{u'}}\,\ )$ ; $D=(\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{u'}}\,,\ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{u}}\,\ )$ et A = ($\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{N}}\,,\ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{N'}}\,$)
A = ($\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{N}}\,,\ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{N'}}\,$) = $(\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{N}}\,,\ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{u}_{1}}}}\,\ )$ +$(\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{u}_{1}}}}\,,\ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{N'}}\,\ )$ = r - r’
I.2. D = $(\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{u'}}\,,\ \ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{N'}}\,)$ + $(\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{N'}}\,,\ \ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{N}}\,)$ + $(\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{N}}\,,\ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{u}}\,)$ = - i’ - A + i ⇒ D = i - i’ - A

II. Notations : $i=(\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{N}_{1}}}}\,,\ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{u}}\,\ )$ ; ${{r}_{1}}=(\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{N}_{1}}}}\,,\ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{u}_{1}}}}\,\ )$ ; $r{{'}_{1}}=(\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{N}_{2}}}}\,,\ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{u}_{1}}}}\,\ )$ ; ${{r}_{2}}=(\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{N}_{2}}}}\,,\ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{u}_{2}}}}\,\ )$ ; $r{{'}_{2}}=(\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{N}_{3}}}}\,,\ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{u}_{2}}}}\,\ )$ ; ${{r}_{3}}=(\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{N}_{3}}}}\,,\ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{u}_{3}}}}\,\ )$ ; $r{{'}_{3}}=(\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{N}_{4}}}}\,,\ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{u}_{3}}}}\,\ )$ et $i'=(\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{N}_{4}}}}\,,\ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{u}_{4}}}}\,\ )$. De plus : A₀ = $(\ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{N}_{3}}}}\,,\ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{N}_{2}}}}\,)$ et $A = \frac{\pi }{2} = $ $(\ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{N}_{1}}}}\,,\ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{N}_{2}}}}\,)$ = $(\ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{N}_{3}}}}\,,\ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{N}_{4}}}}\,)$

II.1. $D=(\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{u}_{4}}}}\,,\ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{u}}\,\ )$ = $(\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{u}_{4}}}}\,,\ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{N}_{4}}}}\,\ )$ + $(\ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{N}_{4}}}}\,,\ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{N}_{3}}}}\,)$ + $(\ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{N}_{3}}}}\,,\ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{N}_{2}}}}\,)$ + $(\ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{N}_{2}}}}\,,\ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{N}_{1}}}}\,)$ + $(\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{N}_{1}}}}\,,\ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{u}_{{}}}}}\,\ )$
⇒ D = i - i’ + A₀ - π
Les « formules » du prisme sont: sin i = n sin r₁ ; n sin r’₁ = n₀ sin r₂ ; n₀ sin r’₂ = n sin r₃ et n sin r’₃ = sin i’.
r₁ - r’₁ = r₃ - r’₃ = π/2 ; r’₂ - r₂ = A₀ .

II.2.a.

II.2.b. Le schéma montre que i = $\frac{\alpha }{2} = \frac{{\pi \; - \;{A_0}}}{2}$ alors que D = 0 ⇒ i’ = - i et par conséquent : r₁ = -r’₃ ; r’₁ = - r₃ et r’₂ = - r₂ .
sin i = n sin r₁, compte tenu de i = $\frac{{\pi \; - \;{A_0}}}{2}$ devient cos A₀/2 = n sin r₁ (1)
n sin r’₁ = n₀ sin r₂ , compte tenu de r₁ - r’₁ = π/2 et de r’₂ - r₂ = A₀ avec r’₂ = - r₂ , devient : n cos r₁ = n₀ sin A₀/2 (2)
En faisant « (1)² + (2)² » , on trouve : ${\cos ^2}\;\;\frac{{{A_0}}}{2} = \frac{{n_0^2\; - \;\;{n^2}}}{{n_0^2\;\; - \;\;1}}$ ; L’application numérique donne A₀ = 122°
Remarque : en différenciant les « formules » du prisme dans le cas où D = 0, on montre facilement que cette valeur est un extrémum de D ( car alors di = di’ ⇒ dD = 0 pour A₀ constant ).
III.1.a. Calcul classique de la figure de diffraction à l’infini par une fente de largeur a. ( Principe d’Huygens- Fresnel).
L’amplitude complexe de la vibration élémentaire issue de « P » : dA = A₀ e ^{- j ϕ} L dx avec ϕ = $\frac{{2\pi \delta }}{{{\lambda _0}}}$ si on choisit comme origine des phases en M la phase de la vibration issue de « O » et si L est la longueur de la fente. $\delta = x\;\;\frac{{x'}}{{f'}}$ et on intègre sur x de - a/2 à + a/2.
On trouve: ${\rm{A}} = {{\rm{A}}_{\rm{0}}}\frac{{\sin \;\;\frac{{\pi x'{l_0}}}{{{\lambda _0}f'}}}}{{\frac{{\pi x'{l_0}}}{{{\lambda _0}f'}}}}\;{l_0}\;L$ ; l’éclairement est donc: E = K A A^* = K A₀² l₀² L²${\left( {\frac{{\sin \;\;\frac{{\pi x'{l_0}}}{{{\lambda _0}f'}}}}{{\frac{{\pi x'{l_0}}}{{{\lambda _0}f'}}}}} \right)^2}$; quand x’ = 0, la parenthèse vaut 1 donc E₀ = K A₀² l₀² L² ⇒ E(x’) = E₀ ${\left( {\frac{{\sin \;\;\frac{{\pi x'{l_0}}}{{{\lambda _0}f'}}}}{{\frac{{\pi x'{l_0}}}{{{\lambda _0}f'}}}}} \right)^2}$
III.1.b. Le premier zéro pour x’ > 0 est en x’ = λ₀ f’/a ( le numérateur vaut zéro) ⇒ d₀ = $\frac{{2\;{\lambda _0}f'}}{a} = 0,012\;\;mm$

III.2. La variation maximum di de i autour de la valeur précédemment calculée ( II.2.b.) vaut l/2f . On est au voisinage de D = 0 avec dD = 0 donc di’ = di et i’ = - i. Le centre de la figure de diffraction due à la fente infiniment fine située en « B , haut de la fente» se trouve en x’ = f di’ = l/2 = 0,025 mm. En tenant compte de tous les maxima intermédiaires, on peut conclure que l’éclairement est quasi- constant
III.3.a. Il suffit d’appliquer les formules du prisme pour calculer i’ , i = cte ∀ λ.. Les valeurs de x’ s’en déduisent facilement par x’ = f’ ( i’ - i’_λ0).

III.b.

	Lambda
-3,94	706,5
-2,31	643,8
0	589,3
1,51	546,1
6,66	486,1

IV.1.a. Calcul habituel de l’éclairement dans le plan focal de L’₀ .
Chaque fente diffracte, dans la direction « α », une amplitude complexe A de la forme calculée au III.1.a., à un facteur de phase près (tenant compte du déplacement de la fente qui n’est plus sur l’axe du système) soit:
${\rm{A}} = {{\rm{A}}_{\rm{0}}}\frac{{\sin \;\;\frac{{\pi x{l_0}}}{{{\lambda _0}f}}}}{{\frac{{\pi x{l_0}}}{{{\lambda _0}f}}}}\;{l_0}$L e^{j φ}
Les sources F₁ et F₂ sont cohérentes, on ajoute donc, en M, où les rayons issus des deux sources se superposent, les amplitudes complexes: A_TOT = A + A e^{- j ψ} où ψ = $\frac{{2\pi \delta }}{{{\lambda _0}}}$ avec $\delta = \frac{{sx}}{f}$= (F₂M) - (F₁M).
L’éclairement de l’écran s’écrit alors E = K A_TOT.${\rm{A}}_{TOT}^*$
soit E = K ${\left( {{{\rm{A}}_{\rm{0}}}\frac{{\sin \;\;\frac{{\pi x{l_0}}}{{{\lambda _0}f}}}}{{\frac{{\pi x{l_0}}}{{{\lambda _0}f}}}}\;{l_0}} \right)^2}$(1 + e^{- j ψ}) (1 + e^{+ j ψ}) = 2 K ${\left( {{{\rm{A}}_{\rm{0}}}\frac{{\sin \;\;\frac{{\pi x{l_0}}}{{{\lambda _0}f}}}}{{\frac{{\pi x{l_0}}}{{{\lambda _0}f}}}}\;{l_0}} \right)^2}$(1 + cos ψ)
E = 4 K ${\left( {{{\rm{A}}_{\rm{0}}}\frac{{\sin \;\;\frac{{\pi x{l_0}}}{{{\lambda _0}f}}}}{{\frac{{\pi x{l_0}}}{{{\lambda _0}f}}}}\;{l_0}} \right)^2}$cos² $\frac{\psi }{2}$ = 4 K ${\left( {{{\rm{A}}_{\rm{0}}}\frac{{\sin \;\;\frac{{\pi x{l_0}}}{{{\lambda _0}f}}}}{{\frac{{\pi x{l_0}}}{{{\lambda _0}f}}}}\;{l_0}} \right)^2}$cos² $\frac{{\pi sx}}{{{\lambda _0}f}}$ = E₀ ${\left( {\frac{{\sin \;\;\frac{{\pi x{l_0}}}{{{\lambda _0}f}}}}{{\frac{{\pi x{l_0}}}{{{\lambda _0}f}}}}\;} \right)^2}$cos² $\frac{{\pi sx}}{{{\lambda _0}f}}$ si E₀ est l’éclairement en x = 0.
Quand F₀ est infiniment fine :
E = E₀ ${\left( {\frac{{\sin \;\;\frac{{\pi x{l_0}}}{{{\lambda _0}f}}}}{{\frac{{\pi x{l_0}}}{{{\lambda _0}f}}}}\;} \right)^2}$cos² $\frac{{\pi sx}}{{{\lambda _0}f}}$ IV.1.b. Le premier « zéro » de la figure de diffraction est donné par ${x_{1d}} = \frac{{{\lambda _0}f}}{{{l_0}}}$, celui de la figure d’interférences par ${x_{1i}} = \frac{{{\lambda _0}f}}{{2s}}$ Or s / l₀ = 10 et x_1i = 0,118 mm. La fente « infiniment fine » située en « B , haut de la fente» fournirait le même éclairement de l’écran centré à l’abscisse x = 0,025 mm d’où un « écart maximum entre les « franges centrales » de 0,025 mm alors que l’interfrange vaut donc 0,236 mm. Conclusion: bon contraste. ( Les différentes « sources infiniment fines » constituant F₀ étant incohérentes entre elles, les éclairements s’ajoutent).
IV.1.c. L’angle i d’incidence sur le premier prisme est celui calculé à la question II.2., pour la radiation de 589,3 nm, la déviation est donc nulle et on observe une raie brillante jaune en F’ (fig.3. du texte) puisque en x = 0, on a une frange brillante.

IV.2.a. La seule différence avec le cas précédent est la présence de la lame ⇒ seul ψ est changé puisque seule la différence de marche entre les rayons issus des milieux de F₁ et F₂ est changée : elle vaut maintenant : δ’ = (F₂M) - (F₁M)’. Or (F₁M)’ = (F₁M) - e + ne { soit « l’ancien F₁M » auquel on enlève e d’air que l’on remplace par ne de verre}.
donc δ’ = $\frac{{sx}}{f}$ - (n - 1) e ⇒ ψ’ ⇒ E’ = E₀ ${\left( {\frac{{\sin \;\;\frac{{\pi x{l_0}}}{{{\lambda _0}f}}}}{{\frac{{\pi x{l_0}}}{{{\lambda _0}f}}}}\;} \right)^2}$cos² $\frac{\pi }{{{\lambda _0}}}\;(\;\frac{{sx}}{f}\;\; - \;\;(n - \;1\;)\;e\;)$.
L’ordre d’interférence, à l’abscisse x a diminué, les franges se sont donc déplacées en bloc vers le haut. En x = 0 , l’ordre est donc négatif, puisqu’il était nul en l’absence de la lame.
IV.2.b. Même remarque qu’en IV.1.c. mais si l’éclairement sur F’x’ est nul, c’est qu’en x = 0, se trouve une frange noire (l’interférence est destructive).
IV.2.c. En x = 0, en l’absence de lame, l’interférence est constructive pour toutes les longueurs d’onde, donc on observe une frange blanche et brillante (tous les éclairements s’ajoutent). A la sortie du spectro, on observe donc le spectre continu de cette lumière blanche.
IV.2.d. L’ordre en x = 0 a diminué pour les différentes longueurs d’onde, par conséquent certaines radiations sont éteintes. Ce sont ces raies éteintes ( en x = 0 , on a , probablement, du « blanc d’ordre supérieur » ) qui donnent les cannelures noires sur le spectre dans le plan F’x’.
en x = 0 , les 5 radiations « éteintes » sont celles qui annulent E’ par le terme d’interférence (on est au centre de la figure de diffraction) ⇒ cos² $\frac{\pi }{\lambda }\;(\;\frac{{sx}}{f}\;\; - \;\;(n - \;1\;)\;e\;)$ = 0 avec x = 0 ⇒ $\frac{{e\;(\;\;1\; - \;n)\;\pi }}{\lambda } = (\;k\; + \;\frac{1}{2}\;)\;\pi $ avec k < 0 , par conséquent:

• 1 - n = $(\;k\; + \;\frac{1}{2}\;)\;\frac{\lambda }{{\;e}}$ : relation vérifiée pour toutes les radiations éteintes puisque n est indépendant de la longueur d’onde..
• Sur le graphique établi au III.3.b., on peut déterminer les longueurs d’onde des radiations éteintes : x’₂ = - 5,6 mm donne une valeur λ₂ = 770 nm et x’₁ = 3,4 mm une valeur λ₁ = 516,6 nm.

S’il y a 3 radiations éteintes entre ces deux là : k₂ - k₁ = 4. (rappel k < 0)
$({k_1}\;\; + \;\;\frac{1}{2})$ λ₁ = $({k_2}\;\; + \;\;\frac{1}{2})$ λ₂ ⇒ $\frac{{({k_1}\;\; + \;\;\frac{1}{2})}}{{\frac{1}{{{\lambda _1}}}}} = \frac{{({k_2}\;\; + \;\;\frac{1}{2})}}{{\frac{1}{{{\lambda _2}}}}} = \frac{{{k_2}\;\; - \;\;{k_1}}}{{\frac{1}{{{\lambda _2}}}\;\; - \;\;\frac{1}{{{\lambda _1}}}}} = \frac{4}{{\frac{1}{{{\lambda _2}}}\;\; - \;\;\frac{1}{{{\lambda _1}}}}}$⇒ $(\;{k_1}\; + \;\frac{1}{2}\;)\;\frac{{{\lambda _1}}}{{\;e}}$=$\frac{{4\;{\lambda _{1\;}}{\lambda _2}}}{{({\lambda _1}\;\; - \;\;{\lambda _2})\;e}}$
1 - n = $\frac{{4\;{\lambda _{1\;}}{\lambda _2}}}{{({\lambda _1}\;\; - \;\;{\lambda _2})\;e}}$ = - 0,3488 ⇒ n = 1,35 environ ???? petit pour du verre.
Rq: s’il y avait p = 5 cannelures (au lieu de 3) entre les deux citées: n vaudrait 1,52, ce qui semble plus réaliste.

ASPECTS ENERGETIQUES DES DIPOLES
1. δW = v i dt ⇒ p(t) = v i .
2. p(t) = 2 V I sin (ωt + ϕ) sin ωt = - V I { cos (2ωt + ϕ) - cos ϕ }.
P = < p(t) > = V I cos ϕ
3. Le dipôle série a une impédance Z = R + j X et v = Z i ⇒ v = (R + j X) i , égalité entre deux nombres complexes qui ⇒ l’égalité de leurs modules et celle de leurs arguments d’où:
V = $\sqrt {{R^2}\;\; + \;\;{X^2}} $ I et cos ϕ = $\frac{R}{{\sqrt {{R^2}\;\; + \;\;{X^2}} }}$
[module d’un produit = produit des modules ; argument d’un produit = somme des arguments ⇒ arg (v) = ϕ = arg Z ].
On en déduit facilement:
P = R I ²
4. Par analogie avec p(t) et P, notons q(t) = v_q i.
q (t) = 2 V I sin (ωt + ϕ - $\frac{\pi }{2}$ ) sin ωt = - V I { cos (2ωt + ϕ - $\frac{\pi }{2}$) - cos (ϕ- $\frac{\pi }{2}$)}.
Q = < q(t) > = V I cos (ϕ - $\frac{\pi }{2}$) = V I sin ϕ.
v = (R + j X) i ⇒ V = $\sqrt {{R^2}\;\; + \;\;{X^2}} $ I et sin ϕ = $\frac{X}{{\sqrt {{R^2}\;\; + \;\;{X^2}} }}$ dont on déduit :
Q = X I^2..
5. i = Y v pour ce dipôle ; soit i = (G + j B) v . On écrit une nouvelle fois l’égalité entre ces deux nombres complexes d’où:
I = $\sqrt {{G^2}\;\; + \;\;{B^2}} $ V , cos ϕ = $\frac{G}{{\sqrt {{G^2}\;\; + \;\;{B^2}} }}$ et sin ϕ = $\frac{{ - \;\;B}}{{\sqrt {{G^2}\;\; + \;\;{B^2}} }}$
Les expressions des valeurs moyennes de p(t) et q(t) sont inchangées, il vient donc:
P = G V² et Q = - B V² .

6.1. (d_S1) et (d_S2) ont même P et même Q lorsqu’ils sont soumis à la même tension v :
P = G₁ V² = G₂ V² et Q = - B₁ V²= - B₂ V² ⇒ G₁ = G₂ et B₁ = B₂ ⇒ Y₁ = Y₂ ⇒ Z₁ = Z₂ .
6.2. P = G V² = R I ² avec I = $\frac{1}{{\sqrt {{R^2}\;\; + \;\;{X^2}} }}$ V ⇒ G V² = $\frac{{R\;\;{V^2}}}{{{R^2}\;\; + \;\;{X^2}}}$ ⇒ G = $\frac{{R\;\;}}{{{R^2}\;\; + \;\;{X^2}}}$
Q = - B V² = X I² avec I = $\sqrt {{G^2}\;\; + \;\;{B^2}} $ V ⇒ - B V² = $\frac{{X\;\;{V^2}}}{{{R^2}\;\; + \;\;{X^2}}}$ ⇒ - B = $\frac{{X\;\;}}{{{R^2}\;\; + \;\;{X^2}}}$
donc Y = G + j B = $\frac{{R\;\; - \;\;j\;X}}{{{R^2}\;\; + \;\;{X^2}}} = \frac{1}{{R\;\; + \;\;j\;X}} = \frac{1}{Z}$ ⇒ Y = $\frac{1}{Z}$
7. G = P / V² = 0,065 S ; B = - Q / V² = - 0,112 S
et X² + R² = X² ( 1 + R² / X² ) = 1 / Y² = 59,31 Ω²
Le calcul donne : R = 3,85 Ω et X = 6,67 Ω
R et X sont positifs le sinus et le cosinus sont donc positifs, le déphasage ϕ est donc compris entre - π/2 et + π/2.
tan ϕ = X / R = 1,73 d’où ϕ = 60°.
8. Pour une inductance pure ( Z = j Lω) : G = 0 et B = $ - \;\;\frac{1}{{L\;\;\omega }}$
Pour un condensateur ( Y = j Cω ) : G = 0 et B = C ω.
9. Diagramme de Fresnel : v = v_C = v_D et i_L = i_C + i = ( Y_C + Y_D ) v = { j Cω + ( G + jB )} v
i_L = { G + j (B + Cω)} v.
remarque : le dipôle de la question 7 a une valeur de B négative ( il est donc inductif).

$\begin{array}{l}\cos \;\varphi {'_0} = \frac{G}{{\sqrt {{G^2}\;\; + \;\;{{(B\; + \;C\omega )}^2}} }}\;\;\;\;et\\\sin \;\;\varphi {'_0} = \frac{{B\;\; + C\omega \;}}{{\sqrt {{G^2}\;\; + \;\;{{(B\; + \;C\omega )}^2}} }}\end{array}$ tan ϕ’ ₀ = (B + Cω) / G ⇒ $C = \frac{{G\;\;\tan \;\varphi {'_0}\;\; - \;\;B}}{\omega }$ A.N. C = 412 µF pour ϕ’ ₀ = 15° et C = 301µF pour ϕ’ ₀ = -15°
I = V $\sqrt {{G^2}\;\; + \;\;{{(B\; + \;C\omega )}^2}} $ A.N. : I = 15,54 A dans les deux cas (voir diagramme , symétrie par rapport à l’axe des abscisses).
10.1. p(t) = v i = 2 V [ I₁ sin ωt sin (ωt + ϕ) - I₅ sin 5ωt sin (ωt + ϕ) - I₇ sin 5ωt sin (ωt + ϕ)]
⇒ p(t) = - V [I₁ {cos ( 2ωt + ϕ) - cos ϕ} - I₅ {cos ( 6ωt + ϕ) - cos ( -4ωt + ϕ)} - I₇ {cos (8ωt + ϕ) - cos ( -7ωt + ϕ)}
La période de p(t) est donc T = $\frac{{2\;\pi }}{{2\;\omega }} = \frac{{{T_0}}}{2} = \frac{1}{{2\;\upsilon }} = 0,01\;s$
Tracé de p(t):

10.2. P = < p(t) > = V I₁ cos ϕ = 4042,5 W.

10.3. Q = < q(t) > = < v_q i > ce qui revient, encore ici, à changer ϕ en ($\varphi \; - \;\frac{\pi }{2}$) donc les cosinus en sinus.
Par conséquent: Q = V I₁ sin ϕ = 7001,8 VAR.
10.4. $I_{eff}^2 = {I^2} = \frac{1}{T}\;\;\int_0^T {{i^2}\;(t)\;\;dt} $ = < i² >
i² = 2 ( I₁ sin ωt - I₅ sin 5ωt - I₇ sin 7ωt )² ; la valeur moyenne des trois sinus² vaut ½ ; la valeur moyenne des trois produits de sinus vaut zéro . Par conséquent :
I² = $I_1^2\;\; + \;\;I_2^2\;\; + I_3^2$
A.N. I = 35,7 A
10.5. i_L = i + i_C et I_L² = < i² > + < i_C² > + 2 < i i_C > ⇒ I_L² = I² + I_C² + 2 < i i_C > ($I_{L\;eff}^2\;\;\text{noté} \;\;\;I_L^2\;\;\;\text{ainsi que}\;\;I_{C\;eff}^2\;\;\text{noté} \;\;\;I_C^2$)
Il faut donc écrire i_C .
Le condensateur a la tension V à ses bornes donc i_C = C’ω V $\sqrt 2 $ sin (ωt + ϕ + $\;\frac{\pi }{2}$ ) = C’ω V $\sqrt 2 $ cos (ωt + ϕ).
< i_C² > = I_C² = (C’ω V)² .
i i_C = $\sqrt 2 $ ( I₁ sin ωt - I₅ sin 5ωt - I₇ sin 7ωt ) C’ω V $\sqrt 2 $ cos (ωt + ϕ) .
< i i_C > = 2 C’ω V < I₁ sin ωt cos (ωt + ϕ) - I₅ sin 5ωt cos (ωt + ϕ) - I₇ sin 7ωt cos (ωt + ϕ) >
< i i_C > = C’ω V < I₁ (sin (2ωt + ϕ) - sin ϕ ) - I₅ ( sin (6 ωt + ϕ) - sin ( -4ωt + ϕ)) - I₇ ( sin (8 ωt + ϕ) - sin ( -6ωt + ϕ)) >
< i i_C > = - C’ω V I₁ sin ϕ
⇒ I_L² = I² + (C’ω V)² - 2 C’ω V I₁ sin ϕ ⇒ I_L² et, par conséquent I_L sera extrémale si d I_L² / dC’ = 0
d I_L² / dC’ = 2 C’ V² ω² - 2 ω V I₁ sin ϕ = 0 ⇒ $C' = \frac{{{I_{{1_{\;\;}}}}\sin \;\varphi }}{{\omega \;\;V}}$ = 418 µF
11.1. On a établi, à la question 2. P = VI cos ϕ où ϕ est le déphasage tension/courant donc ici les 3 puissances sont égales et chacune vaut VI cos ϕ . ⇒ P = 3 VI cos ϕ.
11.2. p (t) = 2 V I [sin (ωt + ϕ) sin ωt + sin (ωt + ϕ + θ) sin (ωt + θ) + sin (ωt + ϕ + ψ) sin (ωt + ψ)]
p (t) = V I [cos ϕ - cos (2ωt + ϕ) + cos ϕ - cos (2ωt + 2θ + ϕ) + cos ϕ - cos (2ωt+ 2ψ + ϕ)]
p(t) = 3 VI cos ϕ - [cos (2ωt + ϕ) + cos (2ωt + 2θ + ϕ) + cos (2ωt+ 2ψ + ϕ)] = A + F(t) avec A = P (logique).
p(t) = P + [cos (2ωt + ϕ) + cos (2ωt + ϕ) cos 2θ - sin (2ωt + ϕ) sin 2θ + cos (2ωt + ϕ) cos 2ψ - sin (2ωt + ϕ) sin 2ψ]
F(t) = cos (2ωt + ϕ) [ 1 + cos 2θ + cos 2ψ] - sin (2ωt + ϕ) [sin 2θ + sin 2ψ]
F(t) = 0 ∀ t si 1 + cos 2θ + cos 2ψ = 0 et sin 2θ + sin 2ψ = 0 ⇒ sin 2θ = - sin 2ψ (1) et cos 2θ + 1 = - cos 2ψ (2)
⇒ sin² 2θ + ( 1 + cos 2θ)² = 1 = 2 + 2 cos 2θ ⇒ cos 2θ = - ½ .

Si on choisit θ et ψ dans le même intervalle que ϕ : 2θ = 120° et donc θ = 60° alors ψ = - 60° (2ψ = - 120° ⇒ cos 2ψ = - ½ ). et on a alors bien 1 + cos 2θ + cos 2ψ = 0 et sin 2θ + sin 2ψ = 0 ( sin 120° = - sin (-120°)).
θ = 60° et ψ = - 60° conviennent

Concours Physique ENS Cachan 1996 (Énoncé)

E N S Durée : 4 heures
Les deux problèmes doivent être traités.
PREMIER PROBLÈME: OPTIQUE
Étude d'un spectroscope à prisme; application à une mesure interférentielle d'indice
I. On considère un prisme d'angle A et d'indice n (fig. 1).

I.1. En respectant les notations de la figure 1 et le choix du sens positif pour les angles, justifier rapidement les « formules » du prisme:
sin i = n sin r;
sin i' = n sin r';
A = r - r'.
I.2. Calculer la déviation D, du rayon émergent par rapport au rayon incident, en fonction de i ', i et A.

II. On considère le train de trois prismes disposés comme cela est indiqué sur la figure 2. Les deux prismes extrêmes sont identiques d'angle A = 90° et d'indice n. Le prisme intermédiaire a un angle A₀ et un indice n₀ . L'ensemble présente une symétrie par rapport au plan π bissecteur du dièdre A₀ .
Les indices n et n₀ sont fonctions de la longueur d'onde et leurs valeurs sont données dans le tableau I pour cinq longueurs d'onde:
TABLEAU 1

λ (nm)	706,5	643,8	589,3	546,1	486,1
n	1,50707	1,50895	1,51105	1,51314	1,51700
n0	1,62818	1,63191	1,63620	1,6402	1,64909

II. 1. Calculer la déviation D en fonction de i ', i et A₀ .
II. 2. On veut que cette déviation soit nulle, pour la longueur d'onde λ₀ = 589,3 nm, pour les rayons incidents parallèles à l'axe z'z orthogonal au plan π.
a. Tracer la marche d'un tel rayon.
b. Calculer A₀ en fonction de n et n₀, pour qu'il en soit ainsi.
c. Valeur numérique de A₀ ?
III. On place un tel prisme dans le montage représenté sur la figure 3.

L₁ et L₂ sont deux objectifs identiques de focale f’₁ = 200 mm, d'axes optiques confondus et paralléles à z'z. On dispose une fente très fine, perpendiculaire au plan de la figure 3 et passant par F, foyer objet de L_l; cette fente est éclairée par une source monochromatique de longueur d'onde λ₀ = 589,3 nm. Les dimensions limitées du prisme font que l'onde plane émergente a une largeur a.

III. 1. a. Exprimer l'éclairement E (x') suivant l'axe F'x' de la tache de diffraction obtenue (F' est le foyer image de L₁) en fonction de E(0) en F.
b. Calculer la largeur d₀ du maximum central (distance entre les deux premiers zéros de E(x') de part et d'autre de x' = 0).
c. Application numérique: a = 20 mm.
III. 2. En réalité la fente F a une largeur l = 0,05 mm.
Quel est, dans ces conditions, l'aspect de l'éclairement sur l'axe F' x' ?
III. 3. On utilise maintenant, pour éclairer la fente F supposée très fine, une lampe à vapeurs métalliques qui émet un ensemble de raies monochromatiques dont les longueurs d'onde sont données dans le tableau I.
a. Calculer les positions x'_λi des images de la fente F pour ces différentes longueurs d'onde.
b. Représenter la caractéristique (x'_λi , λ_i ).
Dans cette représentation, on prendra 1 cm pour 1 mm en abscisse et 1 cm pour 10 nm en ordonnées, l'origine correspondant à x = 0, λ = λ₀ = 589,3 nm.
IV. On éclaire maintenant le spectroscope défini précédemment par le montage des fentes d'Young représenté sur la figure 4.

L₀ et L’₀ sont deux lentilles identiques, dont les axes optiques coïncident, de focales f’₀ = 200 mm.
La fente F₀ est placée au foyer de L₀ et le plan focal image de L₀ coïncide avec le plan focal objet de L₁; le conjugué de F₀ coïncide avec la fente d'entrée F du spectroscope. Les fentes F₁ et F₂ ont une largeur l₀ = 0,05 mm et sont distantes de s = 0,5 mm.
IV. 1. a. F₀ étant éclairée par la source monochromatique de longueur d'onde λ₀ = 589,3 nm, exprimer l'éclairement sur l'axe Fx, en supposant la fente placée en F₀ très fine.
b. Montrer qu'une largeur de cette fente égale à 0,05 mm est compatible avec l'obtention de franges de bon contraste.
c. Quel est l'aspect de l'éclairement de F'x' dans le spectroscope ?

IV. 2. On dispose devant la fente F₁ des fentes d'Young une lame de verre d'épaisseur e = 0,018 mm et d'indice n' (indice que l'on supposera, par la suite, indépendant de la longueur d'onde).
a. Calculer le nouvel éclairement sur Fx, F₀ étant toujours éclairé par la source de longueur d'onde λ₀.
b. L'éclairement obervé dans le spectroscope sur F'x' est nul; que peut-on en conclure ?
c. On éclaire maintenant F₀ par une source de lumière blanche (distribution continue d'énergie sur tout le spectre visible de 400 nm à 800 nm). Qu'observe-t-on dans le spectroscope sur F'x' en l'absence de lame sur F₁?
d. En présence de la lame devant F₁ on voit apparaître sur F'x' des zones d'éclairement nul (cannelures):

• établir les relations qui existent entre e, n' - 1 et les longueurs d'onde correspondant aux cannelures;

• en particulier, on note une cannelure en x’₁ = - 5,6 mm et une cannelure en x’₂ = 3,4 mm et p = 3 cannelures entre ces deux cannelures. En déduire la valeur de l'indice n' .

DEUXIEME PROBLEME: ELECTRICITE
Aspects énergétiques des dipôles
(Cf figures en fin de problème)
Dans tout le problème, on ne considère que des états de régimes forcés de tensions et de courants. Au cours de la question 4., il est fait usage de la puissance réactive, il n'est pas nécessaire de connaître les propriétés de cette grandeur pour résoudre le problème: la seule définition donnée au cours de cette question suffit pour la résolution.

1. Une source de tension v ( t) alimente un dipôle (d) traversé par un courant i ( t); donner l'expression de l'énergie électrique δW mise en jeu dans le dipôle entre les instants t et (t + dt). Préciser alors l'expression de la puissance instantanée p ( t).
2. La tension v ( t) est sinusoïdale et de la forme:
v = V $\sqrt 2 \;\;\sin \;(\omega t\; + \;\varphi \;)$
où V = 231 volts, la fréquence est 50 Hz et ( ϕ désigne un angle compris dans l'intervalle $\left( { - \;\;\frac{\pi }{2}\;\;,\;\; + \;\;\frac{\pi }{2}} \right)$.
Le courant est alors i (t) = $\sqrt 2 \;\;\sin \;\omega t\;$. Préciser p (t) et établir l'expression en fonction de V, I, ϕ de la puissance active de ce dipôle (valeur moyenne de p ( t) que l'on notera P).
3. Un dipôle série (d_S) est constitué par la mise en série d'une résistance R et d'une réactance (positive ou négative) que l'on note X (cf. fig. 1). Exprimer P en fonction de R et I.
4. On définit une grandeur Q (unité: VAR) appelée puissance réactive par la relation:
Q = $\frac{1}{T}\;\;\int_0^T {{v_q}\;i\;dt} $ où v_q = V $\sqrt 2 \;\;\sin \;(\omega t\; + \;\varphi \; - \;\frac{\pi }{2})$
Établir l'expression de Q en fonction de V, I, ϕ, puis en fonction de X et I.
5. On considère à présent un dipôle (d_p) constitué par la mise en parallèle de deux éléments dont l'un est purement résistif (cf. fig. 2). L'admlttance complexe totale est notée par: Y = G + jB. La tension instantanée v (t) et le courant i (t) sont toujours donnés par les expressions:
v = V $\sqrt 2 \;\;\sin \;(\omega t\; + \;\varphi \;)$ et i (t) = $\sqrt 2 \;\;\sin \;\omega t\;$.
Quelle relation existe-t-il entre ϕ, G et B ? Déterminer l'expression de P en fonction de G et V et celle de Q en fonction de B et V.
6. On définit l'équivalence énergétique de deux dipôles de la façon suivante: deux dipôles seront considérés comme énergétiquement équivalents s'ils absorbent les mêmes puissances actives et les mêmes puissances réactives lorsqu'ils sont soumis à une même tension sinusoïdale.

6.1. Montrer que deux dipôles série (d_Sl) et (d_S2) énergétiquement équivalents ont la même impédance.
6.2. Un dipôle (d_S) série, caractérisé par R et X, est énergétiquement équivalent à un dipôle parallèle (d_p) caractérisé par G et B: exprimer G puis B en fonction de R et X. Quelle est la relation entre l'impédance complexe Z = R + jX et l'admittance complexe Y = G + jB qui en résulte ?
7. On a expérimentalement établi pour un dipôle (d) les valeurs numériques des grandeurs suivantes:
V = 231 V ; P = 3 465 W ; Q = 6 000 VAR.
Calculer les valeurs G et B du dipôle (d_p) équivalent et celles R et X du dipôle série équivalent. Quel est le déphasage de la tension par rapport au courant ?
8. Caractériser G et B pour une inductance pure. Même question pour un condensateur de capacité C.
9. Le dipôle (d) de la question 7. est mis en parallèle avec un condensateur de capacité C (fig. 3). Tracer le diagramme de Fresnel des tensions et courants dans un cas général pour une valeur quelconque de C. Quelle doit être la relation entre C, G et B pour que le déphasage ϕ' entre la tension v et le courant total i_L ait une valeur fixée ϕ'₀ ?

Application numérique:
Calculer C pour que ϕ'₀ ait la valeur + 15° puis la valeur - 15°. Quelles sont les valeurs efficaces de i_L qui en résultent ?
10. On considère à présent un dipôle non linéaire (d_NL) (fig. 4), qui est caractérisable de la façon suivante: soumis à une tension sinusoïdale v = V $\sqrt 2 \;\;\sin \;(\omega t\; + \;\varphi \;)$ (V = 231 V; f = 50 Hz), il absorbe un courant non sinusoïdal développable en série de Fourier:
$i(t) = {I_1}\;\sqrt 2 \;\sin \omega t\;\; - \;\;{I_5}\;\sqrt 2 \;\sin \;5\omega t\;\; - \;{I_7}\;\sqrt 2 \;\sin \;7\omega t\;$
Pour la suite, on néglige les harmoniques d'ordre supérieur à 7.
10.1. Quelle est l'expression de p (t), quelle est sa période ? Tracer la loi de variation en fonction du temps pour les valeurs suivantes:
I_l = 35 A ; I₅ = 7 A ; I₇ = 1 A et ϕ = 60° .
10.2 Quelles sont l'expression et la valeur numérique de la puissance moyenne P ?
10.3. Compte tenu de la définition de Q donnée à la question 4, déterminer Q et faire l'application numérique correspondante.
10.4. Calculer la valeur efficace du courant i.
10.5. On place un condensateur de capacité C' en parallèle sur le dipôle (d_NL) conformément à la figure 5, déterminer la valeur de C' qui rend minimale la valeur efficace du courant i_L.
11. La figure 6 représente la mise en parallèle de trois circuits du même type que ceux de la figure 1. Les trois tensions sont données par les expressions:
v₁ = V $\sqrt 2 \;\;\sin \;(\omega t\; + \;\varphi \;)$ ; v₂ = V $\sqrt 2 \;\;\sin \;(\omega t\; + \;\varphi \; + \;\theta )$ ; v₃ = V $\sqrt 2 \;\;\sin \;(\omega t\; + \;\varphi \; + \;\psi )$.
Les trois dipôles (d) de la figure sont identiques et les courants i_l , i₂, i₃ qui circulent sont donnés par les expressions:
i₁ = I $\sqrt 2 \;\;\sin \;\omega t\;$ ; i₂ = I $\sqrt 2 \;\;\sin \;(\omega t\; + \;\theta )$ ; i₃ = I $\sqrt 2 \;\;\sin \;(\omega t\; + \;\psi )$.
Dans ces expressions V = 231 V, I = 35 A, la fréquence est 50 Hz; (p - 30° et les angles θ et ψ sont à déterminer suivant certaines conditions. La puissance instantanée p est définie à partir des puissances instantanées p₁, p₂, p₃ dans chaque dipôle récepteur par: p = p₁ + p₂ + p_3.
11.1. Établir, en se servant des résultats des questions précédentes, l'expression de la puissance moyenne mise en jeu dans chaque dipôle (d). Application numérique.

11.2. La puissance p ( t) peut se mettre sous la forme:
p(t) = A + F(t)
où A est une constante et F ( t) une fonction du temps.
Préciser l'expression de F (t). Quelle(s) relation(s) doivent vérifier θ et ψ pour que F (t) soit nulle pour tout t ? Proposer des valeurs de θ et ψ satisfaisant à cette condition.