Concours Physique ENS Cachan 1996 (Corrigé)

ETUDE D’UN SPECTROSCOPE A PRISME
APPLICATION A UNE MESURE INTERFERENTIELLE D’INDICE
I.1.

Notations: $i=(\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{N}}\,,\ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{u}}\,\ )$ ; $r=(\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{N}}\,,\ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{u}_{1}}}}\,\ )$ ; $r'=(\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{N'}}\,,\ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{u}_{1}}}}\,\ )$ ; $i'=(\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{N'}}\,,\ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{u'}}\,\ )$ ; $D=(\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{u'}}\,,\ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{u}}\,\ )$ et A = ($\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{N}}\,,\ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{N'}}\,$)
A = ($\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{N}}\,,\ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{N'}}\,$) = $(\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{N}}\,,\ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{u}_{1}}}}\,\ )$ +$(\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{u}_{1}}}}\,,\ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{N'}}\,\ )$ = r - r’
I.2. D = $(\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{u'}}\,,\ \ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{N'}}\,)$ + $(\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{N'}}\,,\ \ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{N}}\,)$ + $(\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{N}}\,,\ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{u}}\,)$ = - i’ - A + i ⇒ D = i - i’ - A

II. Notations : $i=(\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{N}_{1}}}}\,,\ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{u}}\,\ )$ ; ${{r}_{1}}=(\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{N}_{1}}}}\,,\ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{u}_{1}}}}\,\ )$ ; $r{{'}_{1}}=(\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{N}_{2}}}}\,,\ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{u}_{1}}}}\,\ )$ ; ${{r}_{2}}=(\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{N}_{2}}}}\,,\ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{u}_{2}}}}\,\ )$ ; $r{{'}_{2}}=(\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{N}_{3}}}}\,,\ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{u}_{2}}}}\,\ )$ ; ${{r}_{3}}=(\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{N}_{3}}}}\,,\ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{u}_{3}}}}\,\ )$ ; $r{{'}_{3}}=(\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{N}_{4}}}}\,,\ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{u}_{3}}}}\,\ )$ et $i'=(\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{N}_{4}}}}\,,\ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{u}_{4}}}}\,\ )$. De plus : A₀ = $(\ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{N}_{3}}}}\,,\ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{N}_{2}}}}\,)$ et $A = \frac{\pi }{2} = $ $(\ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{N}_{1}}}}\,,\ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{N}_{2}}}}\,)$ = $(\ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{N}_{3}}}}\,,\ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{N}_{4}}}}\,)$

II.1. $D=(\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{u}_{4}}}}\,,\ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{u}}\,\ )$ = $(\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{u}_{4}}}}\,,\ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{N}_{4}}}}\,\ )$ + $(\ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{N}_{4}}}}\,,\ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{N}_{3}}}}\,)$ + $(\ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{N}_{3}}}}\,,\ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{N}_{2}}}}\,)$ + $(\ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{N}_{2}}}}\,,\ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{N}_{1}}}}\,)$ + $(\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{N}_{1}}}}\,,\ \overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{u}_{{}}}}}\,\ )$
⇒ D = i - i’ + A₀ - π
Les « formules » du prisme sont: sin i = n sin r₁ ; n sin r’₁ = n₀ sin r₂ ; n₀ sin r’₂ = n sin r₃ et n sin r’₃ = sin i’.
r₁ - r’₁ = r₃ - r’₃ = π/2 ; r’₂ - r₂ = A₀ .

II.2.a.

II.2.b. Le schéma montre que i = $\frac{\alpha }{2} = \frac{{\pi \; - \;{A_0}}}{2}$ alors que D = 0 ⇒ i’ = - i et par conséquent : r₁ = -r’₃ ; r’₁ = - r₃ et r’₂ = - r₂ .
sin i = n sin r₁, compte tenu de i = $\frac{{\pi \; - \;{A_0}}}{2}$ devient cos A₀/2 = n sin r₁ (1)
n sin r’₁ = n₀ sin r₂ , compte tenu de r₁ - r’₁ = π/2 et de r’₂ - r₂ = A₀ avec r’₂ = - r₂ , devient : n cos r₁ = n₀ sin A₀/2 (2)
En faisant « (1)² + (2)² » , on trouve : ${\cos ^2}\;\;\frac{{{A_0}}}{2} = \frac{{n_0^2\; - \;\;{n^2}}}{{n_0^2\;\; - \;\;1}}$ ; L’application numérique donne A₀ = 122°
Remarque : en différenciant les « formules » du prisme dans le cas où D = 0, on montre facilement que cette valeur est un extrémum de D ( car alors di = di’ ⇒ dD = 0 pour A₀ constant ).
III.1.a. Calcul classique de la figure de diffraction à l’infini par une fente de largeur a. ( Principe d’Huygens- Fresnel).
L’amplitude complexe de la vibration élémentaire issue de « P » : dA = A₀ e ^{- j ϕ} L dx avec ϕ = $\frac{{2\pi \delta }}{{{\lambda _0}}}$ si on choisit comme origine des phases en M la phase de la vibration issue de « O » et si L est la longueur de la fente. $\delta = x\;\;\frac{{x'}}{{f'}}$ et on intègre sur x de - a/2 à + a/2.
On trouve: ${\rm{A}} = {{\rm{A}}_{\rm{0}}}\frac{{\sin \;\;\frac{{\pi x'{l_0}}}{{{\lambda _0}f'}}}}{{\frac{{\pi x'{l_0}}}{{{\lambda _0}f'}}}}\;{l_0}\;L$ ; l’éclairement est donc: E = K A A^* = K A₀² l₀² L²${\left( {\frac{{\sin \;\;\frac{{\pi x'{l_0}}}{{{\lambda _0}f'}}}}{{\frac{{\pi x'{l_0}}}{{{\lambda _0}f'}}}}} \right)^2}$; quand x’ = 0, la parenthèse vaut 1 donc E₀ = K A₀² l₀² L² ⇒ E(x’) = E₀ ${\left( {\frac{{\sin \;\;\frac{{\pi x'{l_0}}}{{{\lambda _0}f'}}}}{{\frac{{\pi x'{l_0}}}{{{\lambda _0}f'}}}}} \right)^2}$
III.1.b. Le premier zéro pour x’ > 0 est en x’ = λ₀ f’/a ( le numérateur vaut zéro) ⇒ d₀ = $\frac{{2\;{\lambda _0}f'}}{a} = 0,012\;\;mm$

III.2. La variation maximum di de i autour de la valeur précédemment calculée ( II.2.b.) vaut l/2f . On est au voisinage de D = 0 avec dD = 0 donc di’ = di et i’ = - i. Le centre de la figure de diffraction due à la fente infiniment fine située en « B , haut de la fente» se trouve en x’ = f di’ = l/2 = 0,025 mm. En tenant compte de tous les maxima intermédiaires, on peut conclure que l’éclairement est quasi- constant
III.3.a. Il suffit d’appliquer les formules du prisme pour calculer i’ , i = cte ∀ λ.. Les valeurs de x’ s’en déduisent facilement par x’ = f’ ( i’ - i’_λ0).

III.b.

	Lambda
-3,94	706,5
-2,31	643,8
0	589,3
1,51	546,1
6,66	486,1

IV.1.a. Calcul habituel de l’éclairement dans le plan focal de L’₀ .
Chaque fente diffracte, dans la direction « α », une amplitude complexe A de la forme calculée au III.1.a., à un facteur de phase près (tenant compte du déplacement de la fente qui n’est plus sur l’axe du système) soit:
${\rm{A}} = {{\rm{A}}_{\rm{0}}}\frac{{\sin \;\;\frac{{\pi x{l_0}}}{{{\lambda _0}f}}}}{{\frac{{\pi x{l_0}}}{{{\lambda _0}f}}}}\;{l_0}$L e^{j φ}
Les sources F₁ et F₂ sont cohérentes, on ajoute donc, en M, où les rayons issus des deux sources se superposent, les amplitudes complexes: A_TOT = A + A e^{- j ψ} où ψ = $\frac{{2\pi \delta }}{{{\lambda _0}}}$ avec $\delta = \frac{{sx}}{f}$= (F₂M) - (F₁M).
L’éclairement de l’écran s’écrit alors E = K A_TOT.${\rm{A}}_{TOT}^*$
soit E = K ${\left( {{{\rm{A}}_{\rm{0}}}\frac{{\sin \;\;\frac{{\pi x{l_0}}}{{{\lambda _0}f}}}}{{\frac{{\pi x{l_0}}}{{{\lambda _0}f}}}}\;{l_0}} \right)^2}$(1 + e^{- j ψ}) (1 + e^{+ j ψ}) = 2 K ${\left( {{{\rm{A}}_{\rm{0}}}\frac{{\sin \;\;\frac{{\pi x{l_0}}}{{{\lambda _0}f}}}}{{\frac{{\pi x{l_0}}}{{{\lambda _0}f}}}}\;{l_0}} \right)^2}$(1 + cos ψ)
E = 4 K ${\left( {{{\rm{A}}_{\rm{0}}}\frac{{\sin \;\;\frac{{\pi x{l_0}}}{{{\lambda _0}f}}}}{{\frac{{\pi x{l_0}}}{{{\lambda _0}f}}}}\;{l_0}} \right)^2}$cos² $\frac{\psi }{2}$ = 4 K ${\left( {{{\rm{A}}_{\rm{0}}}\frac{{\sin \;\;\frac{{\pi x{l_0}}}{{{\lambda _0}f}}}}{{\frac{{\pi x{l_0}}}{{{\lambda _0}f}}}}\;{l_0}} \right)^2}$cos² $\frac{{\pi sx}}{{{\lambda _0}f}}$ = E₀ ${\left( {\frac{{\sin \;\;\frac{{\pi x{l_0}}}{{{\lambda _0}f}}}}{{\frac{{\pi x{l_0}}}{{{\lambda _0}f}}}}\;} \right)^2}$cos² $\frac{{\pi sx}}{{{\lambda _0}f}}$ si E₀ est l’éclairement en x = 0.
Quand F₀ est infiniment fine :
E = E₀ ${\left( {\frac{{\sin \;\;\frac{{\pi x{l_0}}}{{{\lambda _0}f}}}}{{\frac{{\pi x{l_0}}}{{{\lambda _0}f}}}}\;} \right)^2}$cos² $\frac{{\pi sx}}{{{\lambda _0}f}}$ IV.1.b. Le premier « zéro » de la figure de diffraction est donné par ${x_{1d}} = \frac{{{\lambda _0}f}}{{{l_0}}}$, celui de la figure d’interférences par ${x_{1i}} = \frac{{{\lambda _0}f}}{{2s}}$ Or s / l₀ = 10 et x_1i = 0,118 mm. La fente « infiniment fine » située en « B , haut de la fente» fournirait le même éclairement de l’écran centré à l’abscisse x = 0,025 mm d’où un « écart maximum entre les « franges centrales » de 0,025 mm alors que l’interfrange vaut donc 0,236 mm. Conclusion: bon contraste. ( Les différentes « sources infiniment fines » constituant F₀ étant incohérentes entre elles, les éclairements s’ajoutent).
IV.1.c. L’angle i d’incidence sur le premier prisme est celui calculé à la question II.2., pour la radiation de 589,3 nm, la déviation est donc nulle et on observe une raie brillante jaune en F’ (fig.3. du texte) puisque en x = 0, on a une frange brillante.

IV.2.a. La seule différence avec le cas précédent est la présence de la lame ⇒ seul ψ est changé puisque seule la différence de marche entre les rayons issus des milieux de F₁ et F₂ est changée : elle vaut maintenant : δ’ = (F₂M) - (F₁M)’. Or (F₁M)’ = (F₁M) - e + ne { soit « l’ancien F₁M » auquel on enlève e d’air que l’on remplace par ne de verre}.
donc δ’ = $\frac{{sx}}{f}$ - (n - 1) e ⇒ ψ’ ⇒ E’ = E₀ ${\left( {\frac{{\sin \;\;\frac{{\pi x{l_0}}}{{{\lambda _0}f}}}}{{\frac{{\pi x{l_0}}}{{{\lambda _0}f}}}}\;} \right)^2}$cos² $\frac{\pi }{{{\lambda _0}}}\;(\;\frac{{sx}}{f}\;\; - \;\;(n - \;1\;)\;e\;)$.
L’ordre d’interférence, à l’abscisse x a diminué, les franges se sont donc déplacées en bloc vers le haut. En x = 0 , l’ordre est donc négatif, puisqu’il était nul en l’absence de la lame.
IV.2.b. Même remarque qu’en IV.1.c. mais si l’éclairement sur F’x’ est nul, c’est qu’en x = 0, se trouve une frange noire (l’interférence est destructive).
IV.2.c. En x = 0, en l’absence de lame, l’interférence est constructive pour toutes les longueurs d’onde, donc on observe une frange blanche et brillante (tous les éclairements s’ajoutent). A la sortie du spectro, on observe donc le spectre continu de cette lumière blanche.
IV.2.d. L’ordre en x = 0 a diminué pour les différentes longueurs d’onde, par conséquent certaines radiations sont éteintes. Ce sont ces raies éteintes ( en x = 0 , on a , probablement, du « blanc d’ordre supérieur » ) qui donnent les cannelures noires sur le spectre dans le plan F’x’.
en x = 0 , les 5 radiations « éteintes » sont celles qui annulent E’ par le terme d’interférence (on est au centre de la figure de diffraction) ⇒ cos² $\frac{\pi }{\lambda }\;(\;\frac{{sx}}{f}\;\; - \;\;(n - \;1\;)\;e\;)$ = 0 avec x = 0 ⇒ $\frac{{e\;(\;\;1\; - \;n)\;\pi }}{\lambda } = (\;k\; + \;\frac{1}{2}\;)\;\pi $ avec k < 0 , par conséquent:

• 1 - n = $(\;k\; + \;\frac{1}{2}\;)\;\frac{\lambda }{{\;e}}$ : relation vérifiée pour toutes les radiations éteintes puisque n est indépendant de la longueur d’onde..
• Sur le graphique établi au III.3.b., on peut déterminer les longueurs d’onde des radiations éteintes : x’₂ = - 5,6 mm donne une valeur λ₂ = 770 nm et x’₁ = 3,4 mm une valeur λ₁ = 516,6 nm.

S’il y a 3 radiations éteintes entre ces deux là : k₂ - k₁ = 4. (rappel k < 0)
$({k_1}\;\; + \;\;\frac{1}{2})$ λ₁ = $({k_2}\;\; + \;\;\frac{1}{2})$ λ₂ ⇒ $\frac{{({k_1}\;\; + \;\;\frac{1}{2})}}{{\frac{1}{{{\lambda _1}}}}} = \frac{{({k_2}\;\; + \;\;\frac{1}{2})}}{{\frac{1}{{{\lambda _2}}}}} = \frac{{{k_2}\;\; - \;\;{k_1}}}{{\frac{1}{{{\lambda _2}}}\;\; - \;\;\frac{1}{{{\lambda _1}}}}} = \frac{4}{{\frac{1}{{{\lambda _2}}}\;\; - \;\;\frac{1}{{{\lambda _1}}}}}$⇒ $(\;{k_1}\; + \;\frac{1}{2}\;)\;\frac{{{\lambda _1}}}{{\;e}}$=$\frac{{4\;{\lambda _{1\;}}{\lambda _2}}}{{({\lambda _1}\;\; - \;\;{\lambda _2})\;e}}$
1 - n = $\frac{{4\;{\lambda _{1\;}}{\lambda _2}}}{{({\lambda _1}\;\; - \;\;{\lambda _2})\;e}}$ = - 0,3488 ⇒ n = 1,35 environ ???? petit pour du verre.
Rq: s’il y avait p = 5 cannelures (au lieu de 3) entre les deux citées: n vaudrait 1,52, ce qui semble plus réaliste.

ASPECTS ENERGETIQUES DES DIPOLES
1. δW = v i dt ⇒ p(t) = v i .
2. p(t) = 2 V I sin (ωt + ϕ) sin ωt = - V I { cos (2ωt + ϕ) - cos ϕ }.
P = < p(t) > = V I cos ϕ
3. Le dipôle série a une impédance Z = R + j X et v = Z i ⇒ v = (R + j X) i , égalité entre deux nombres complexes qui ⇒ l’égalité de leurs modules et celle de leurs arguments d’où:
V = $\sqrt {{R^2}\;\; + \;\;{X^2}} $ I et cos ϕ = $\frac{R}{{\sqrt {{R^2}\;\; + \;\;{X^2}} }}$
[module d’un produit = produit des modules ; argument d’un produit = somme des arguments ⇒ arg (v) = ϕ = arg Z ].
On en déduit facilement:
P = R I ²
4. Par analogie avec p(t) et P, notons q(t) = v_q i.
q (t) = 2 V I sin (ωt + ϕ - $\frac{\pi }{2}$ ) sin ωt = - V I { cos (2ωt + ϕ - $\frac{\pi }{2}$) - cos (ϕ- $\frac{\pi }{2}$)}.
Q = < q(t) > = V I cos (ϕ - $\frac{\pi }{2}$) = V I sin ϕ.
v = (R + j X) i ⇒ V = $\sqrt {{R^2}\;\; + \;\;{X^2}} $ I et sin ϕ = $\frac{X}{{\sqrt {{R^2}\;\; + \;\;{X^2}} }}$ dont on déduit :
Q = X I^2..
5. i = Y v pour ce dipôle ; soit i = (G + j B) v . On écrit une nouvelle fois l’égalité entre ces deux nombres complexes d’où:
I = $\sqrt {{G^2}\;\; + \;\;{B^2}} $ V , cos ϕ = $\frac{G}{{\sqrt {{G^2}\;\; + \;\;{B^2}} }}$ et sin ϕ = $\frac{{ - \;\;B}}{{\sqrt {{G^2}\;\; + \;\;{B^2}} }}$
Les expressions des valeurs moyennes de p(t) et q(t) sont inchangées, il vient donc:
P = G V² et Q = - B V² .

6.1. (d_S1) et (d_S2) ont même P et même Q lorsqu’ils sont soumis à la même tension v :
P = G₁ V² = G₂ V² et Q = - B₁ V²= - B₂ V² ⇒ G₁ = G₂ et B₁ = B₂ ⇒ Y₁ = Y₂ ⇒ Z₁ = Z₂ .
6.2. P = G V² = R I ² avec I = $\frac{1}{{\sqrt {{R^2}\;\; + \;\;{X^2}} }}$ V ⇒ G V² = $\frac{{R\;\;{V^2}}}{{{R^2}\;\; + \;\;{X^2}}}$ ⇒ G = $\frac{{R\;\;}}{{{R^2}\;\; + \;\;{X^2}}}$
Q = - B V² = X I² avec I = $\sqrt {{G^2}\;\; + \;\;{B^2}} $ V ⇒ - B V² = $\frac{{X\;\;{V^2}}}{{{R^2}\;\; + \;\;{X^2}}}$ ⇒ - B = $\frac{{X\;\;}}{{{R^2}\;\; + \;\;{X^2}}}$
donc Y = G + j B = $\frac{{R\;\; - \;\;j\;X}}{{{R^2}\;\; + \;\;{X^2}}} = \frac{1}{{R\;\; + \;\;j\;X}} = \frac{1}{Z}$ ⇒ Y = $\frac{1}{Z}$
7. G = P / V² = 0,065 S ; B = - Q / V² = - 0,112 S
et X² + R² = X² ( 1 + R² / X² ) = 1 / Y² = 59,31 Ω²
Le calcul donne : R = 3,85 Ω et X = 6,67 Ω
R et X sont positifs le sinus et le cosinus sont donc positifs, le déphasage ϕ est donc compris entre - π/2 et + π/2.
tan ϕ = X / R = 1,73 d’où ϕ = 60°.
8. Pour une inductance pure ( Z = j Lω) : G = 0 et B = $ - \;\;\frac{1}{{L\;\;\omega }}$
Pour un condensateur ( Y = j Cω ) : G = 0 et B = C ω.
9. Diagramme de Fresnel : v = v_C = v_D et i_L = i_C + i = ( Y_C + Y_D ) v = { j Cω + ( G + jB )} v
i_L = { G + j (B + Cω)} v.
remarque : le dipôle de la question 7 a une valeur de B négative ( il est donc inductif).

$\begin{array}{l}\cos \;\varphi {'_0} = \frac{G}{{\sqrt {{G^2}\;\; + \;\;{{(B\; + \;C\omega )}^2}} }}\;\;\;\;et\\\sin \;\;\varphi {'_0} = \frac{{B\;\; + C\omega \;}}{{\sqrt {{G^2}\;\; + \;\;{{(B\; + \;C\omega )}^2}} }}\end{array}$ tan ϕ’ ₀ = (B + Cω) / G ⇒ $C = \frac{{G\;\;\tan \;\varphi {'_0}\;\; - \;\;B}}{\omega }$ A.N. C = 412 µF pour ϕ’ ₀ = 15° et C = 301µF pour ϕ’ ₀ = -15°
I = V $\sqrt {{G^2}\;\; + \;\;{{(B\; + \;C\omega )}^2}} $ A.N. : I = 15,54 A dans les deux cas (voir diagramme , symétrie par rapport à l’axe des abscisses).
10.1. p(t) = v i = 2 V [ I₁ sin ωt sin (ωt + ϕ) - I₅ sin 5ωt sin (ωt + ϕ) - I₇ sin 5ωt sin (ωt + ϕ)]
⇒ p(t) = - V [I₁ {cos ( 2ωt + ϕ) - cos ϕ} - I₅ {cos ( 6ωt + ϕ) - cos ( -4ωt + ϕ)} - I₇ {cos (8ωt + ϕ) - cos ( -7ωt + ϕ)}
La période de p(t) est donc T = $\frac{{2\;\pi }}{{2\;\omega }} = \frac{{{T_0}}}{2} = \frac{1}{{2\;\upsilon }} = 0,01\;s$
Tracé de p(t):

10.2. P = < p(t) > = V I₁ cos ϕ = 4042,5 W.

10.3. Q = < q(t) > = < v_q i > ce qui revient, encore ici, à changer ϕ en ($\varphi \; - \;\frac{\pi }{2}$) donc les cosinus en sinus.
Par conséquent: Q = V I₁ sin ϕ = 7001,8 VAR.
10.4. $I_{eff}^2 = {I^2} = \frac{1}{T}\;\;\int_0^T {{i^2}\;(t)\;\;dt} $ = < i² >
i² = 2 ( I₁ sin ωt - I₅ sin 5ωt - I₇ sin 7ωt )² ; la valeur moyenne des trois sinus² vaut ½ ; la valeur moyenne des trois produits de sinus vaut zéro . Par conséquent :
I² = $I_1^2\;\; + \;\;I_2^2\;\; + I_3^2$
A.N. I = 35,7 A
10.5. i_L = i + i_C et I_L² = < i² > + < i_C² > + 2 < i i_C > ⇒ I_L² = I² + I_C² + 2 < i i_C > ($I_{L\;eff}^2\;\;\text{noté} \;\;\;I_L^2\;\;\;\text{ainsi que}\;\;I_{C\;eff}^2\;\;\text{noté} \;\;\;I_C^2$)
Il faut donc écrire i_C .
Le condensateur a la tension V à ses bornes donc i_C = C’ω V $\sqrt 2 $ sin (ωt + ϕ + $\;\frac{\pi }{2}$ ) = C’ω V $\sqrt 2 $ cos (ωt + ϕ).
< i_C² > = I_C² = (C’ω V)² .
i i_C = $\sqrt 2 $ ( I₁ sin ωt - I₅ sin 5ωt - I₇ sin 7ωt ) C’ω V $\sqrt 2 $ cos (ωt + ϕ) .
< i i_C > = 2 C’ω V < I₁ sin ωt cos (ωt + ϕ) - I₅ sin 5ωt cos (ωt + ϕ) - I₇ sin 7ωt cos (ωt + ϕ) >
< i i_C > = C’ω V < I₁ (sin (2ωt + ϕ) - sin ϕ ) - I₅ ( sin (6 ωt + ϕ) - sin ( -4ωt + ϕ)) - I₇ ( sin (8 ωt + ϕ) - sin ( -6ωt + ϕ)) >
< i i_C > = - C’ω V I₁ sin ϕ
⇒ I_L² = I² + (C’ω V)² - 2 C’ω V I₁ sin ϕ ⇒ I_L² et, par conséquent I_L sera extrémale si d I_L² / dC’ = 0
d I_L² / dC’ = 2 C’ V² ω² - 2 ω V I₁ sin ϕ = 0 ⇒ $C' = \frac{{{I_{{1_{\;\;}}}}\sin \;\varphi }}{{\omega \;\;V}}$ = 418 µF
11.1. On a établi, à la question 2. P = VI cos ϕ où ϕ est le déphasage tension/courant donc ici les 3 puissances sont égales et chacune vaut VI cos ϕ . ⇒ P = 3 VI cos ϕ.
11.2. p (t) = 2 V I [sin (ωt + ϕ) sin ωt + sin (ωt + ϕ + θ) sin (ωt + θ) + sin (ωt + ϕ + ψ) sin (ωt + ψ)]
p (t) = V I [cos ϕ - cos (2ωt + ϕ) + cos ϕ - cos (2ωt + 2θ + ϕ) + cos ϕ - cos (2ωt+ 2ψ + ϕ)]
p(t) = 3 VI cos ϕ - [cos (2ωt + ϕ) + cos (2ωt + 2θ + ϕ) + cos (2ωt+ 2ψ + ϕ)] = A + F(t) avec A = P (logique).
p(t) = P + [cos (2ωt + ϕ) + cos (2ωt + ϕ) cos 2θ - sin (2ωt + ϕ) sin 2θ + cos (2ωt + ϕ) cos 2ψ - sin (2ωt + ϕ) sin 2ψ]
F(t) = cos (2ωt + ϕ) [ 1 + cos 2θ + cos 2ψ] - sin (2ωt + ϕ) [sin 2θ + sin 2ψ]
F(t) = 0 ∀ t si 1 + cos 2θ + cos 2ψ = 0 et sin 2θ + sin 2ψ = 0 ⇒ sin 2θ = - sin 2ψ (1) et cos 2θ + 1 = - cos 2ψ (2)
⇒ sin² 2θ + ( 1 + cos 2θ)² = 1 = 2 + 2 cos 2θ ⇒ cos 2θ = - ½ .

Si on choisit θ et ψ dans le même intervalle que ϕ : 2θ = 120° et donc θ = 60° alors ψ = - 60° (2ψ = - 120° ⇒ cos 2ψ = - ½ ). et on a alors bien 1 + cos 2θ + cos 2ψ = 0 et sin 2θ + sin 2ψ = 0 ( sin 120° = - sin (-120°)).
θ = 60° et ψ = - 60° conviennent