COMPOSITION DE PHYSIQUE
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(Epreuve commune aux ENS Lyon,Ulm et Cachan)
Durée : 4 heures
Ce problème porte sur quelques aspects de la combustion et du fonctionnement des moteurs à explosion. Les deux parties peuvent être résolues indépendamment.
Dans tout le problème, tous les gaz, réactifs et produits de réaction, sont supposés parfaits et les mélanges idéaux. On note γ = CP/CV le rapport des capacités calorifiques molaires à pression et à volume constant, dont on négligera la dépendance en température. On note R la constante des gaz parfaits, R = 8,31 J K–1mol–1 . On rappelle que l'air est composé à 80% de diazote et à 20% de dioxygène.
Partie A
Dans un moteur à quatre temps, on décompose schématiquement le déroulement du cycle de la manière suivante (cf. fig 1) :
– AB : admission du mélange gazeux air-essence à température ambiante (TA = 300 K) sous pression atmosphérique
– BC : compression du mélange
– CD : en C, une étincelle provoque l'explosion, qui est suivie par une compression isochore
– DE : détente
– EB : l'ouverture de la soupape d'échappement détend le mélange jusqu'à la pression atmosphérique
– BA : les gaz brûlés sont évacués.
La compression BC et la détente DE sont suffisamment rapides pour qu'on puisse négliger les échanges thermiques du gaz avec les parois. On suppose que température et pression sont homogènes.
A.1. En première approximation, on considère que la nature et la quantité de gaz ne changent pas au cours du cycle.
A.1.a. Justifier cette hypothèse sachant que le mélange air-combustible (alcane de formule brute C7H16) est injecté dans les proportions stœchiométriques.
A.1.b. Lors de quelle partie du cycle le gaz reçoit-il de la chaleur ? Exprimer la chaleur Qch reçue de la source chaude ainsi que le travail W reçu par le gaz lors d'un cycle en fonction des températures TB, TC, TD et TE.
A.1.c. Exprimer le rendement du moteur η = –W/Qch en fonction de γ et du taux de compression αv = VB/VC.
Application numérique : αv = 8 et γ = 1,4.
A.2.
A.2.a. Dans le cadre des hypothèses précédentes, déterminer la température TC atteinte juste avant l'explosion.
A.2.b. On trouve dans les tables que l'enthalpie de combustion d'une mole de C7H16 vaut ∆Hr(T0) = – 4730 Kj mol-1 à T0 = 300K et sous pression atmosphérique.
∆Hr dépend-elle de la pression ?
Déterminer ∆Hr(TC) en fonction de ∆Hr(T0) et des capacités calorifiques des produits de réaction et des réactifs.
Application numérique :
A.2.c. Montrer que la variation d'énergie interne ∆Ur(T) lors de la combustion est donnée par : ∆Ur(T) = ∆Hr(T) – ∆n RT, où ∆n est la différence entre la somme des coefficients stoéchiométriques des produits et la somme des coefficients stoéchiométriques des réactifs.
En définitive, que pensez-vous de la différence ∆Ur(TC) – ∆Hr(T0) ?
A.2.d. Démontrer la relation de Mayer : CP – CV = R pour une mole de gaz parfait.
A.2.e. Faire un bilan des quantités de chaleurs mises en jeu lors de la phase CD et en déduire la température finale TD. On supposera que les échanges thermiques avec les parois sont négligeables.
Application numérique : voir A.2.b.
A.2.f. En réalité, la température TD est proche de 1600 K, notablement plus basse que la valeur obtenue au A.2.e. Proposez des explications à ce désaccord.
A.3.a. On considère un moteur fonctionnant dans les conditions précédentes (TD = 1600 K). En négligeant toujours les échanges thermiques du gaz avec les parois lors des phases de compression et de détente, calculer la puissance délivrée s'il tourne à 4000 tours par minute et si sa cylindrée est deux litres (i. e. le volume de gaz frais admis à chaque tour est deux litres ) ?
A.3.b. Quel serait le rendement d'un moteur idéal dont le mélange gazeux suivrait un cycle de Carnot entre les températures extrêmes atteintes lors d'un cycle réel ? Commenter.
Partie B
Dans un mélange réactif métastable, la combustion s'opère via la propagation d'un front de flamme qui sépare le milieu initial (gaz frais) du milieu final composé des gaz brûlés. On s'intéresse dans cette partie à la structure du front de flamme. On se propose en particulier de déterminer la structure du champ de température à l'intérieur de la flamme ainsi que la vitesse de propagation de celle-ci.
On se place dans un cas où le nombre total de moles est conservé. On note symboliquement la réaction : A + O → 2 P, où A désigne le combustible.
On se place également dans une géométrie simple : la réaction a lieu dans un tube calorifugé de section S et on se limite à un front plan, si bien que la seule variable d'espace est la direction de propagation (cf fig. 2.a). Avant réaction, les gaz sont à la température Tf et au repos dans le référentiel du laboratoire. On suppose que la structure de la flamme est stationnaire. On considère la pression P, la capacité thermique cP par unité de masse ainsi que la conductivité thermique K constantes, uniformes et indépendantes de la température.
On note T la température, v la vitesse du gaz, ρ la masse volumique totale et ρA la masse volumique de l'espèce A. Ces quatre quantités sont fonctions de x. Pour mesurer la quantité de A, on utilise aussi XA = ρA/ρ. On se placera dans le référentiel qui se déplace avec la flamme, dans lequel v(x), ρ(x), ρA(x) et T(x) sont indépendantes du temps.
B.1. Bilan de masse pour l'espèce A.
B.1.a. On note Φconv le flux de masse de combustible convecté, c'est à dire dû au mouvement d'ensemble du fluide. Exprimer Φconv en fonction de S, v et ρA.
B.1.b. On rappelle que le flux de masse Φdif dû à la diffusion est donné par la loi de Fick:
${\Phi ^{dif}} = - DS\rho \frac{{d{X_A}}}{{dx}}$, où D est la diffusivité de A.
En déduire l'expression de Φ, flux total de masse de combustible.
B.1.c. Du fait de la combustion, la quantité de combustible diminue. On note σA le taux de consommation de A par unité de volume : σASdxdt est la masse de A consommée dans le volume Sdx pendant le temps dt.
Ecrire le bilan de masse pour l'espèce A.
B.1.d. Montrer que la somme pour toutes les espèces des flux de masse d'origine diffusive est nulle ; on supposera que la diffusivité D est la même pour toute les espèces.
B.1.e. En utilisant la conservation de la masse, montrer que la quantité ρv est uniforme.
B.1.f. On note ρfU la constante ρv, où ρf est la masse volumique des gaz frais loin de la flamme.
Montrer que U représente la norme de la vitesse de la flamme par rapport aux gaz frais.
Montrer que le bilan de masse pour l'espèce A se met en définitive sous la forme :
${\rho _f}U\frac{{d{X_A}}}{{dx}} - \frac{d}{{dx}}\left[ {\rho D\frac{{d{X_A}}}{{dx}}} \right] = - {\sigma _A}$ (1)
B.2.Bilan de chaleur.
On note Q la valeur absolue de la quantité de chaleur dégagée par la combustion d'une mole de gaz A.
B.2.a. Montrer que Q ne dépend pas du mode de réaction, et est indépendante de la température des gaz frais.
B.2.b. On note σQ le taux de production de chaleur par unité de volume. Exprimer σQ en fonction de Q, de σA et de la masse molaire MA de A.
B.2.c En vous inspirant de la question B.1, justifier qualitativement la forme du bilan de chaleur :
${\rho _f}U\frac{d}{{dx}}\left[ {{c_p}T} \right] - \frac{d}{{dx}}\left[ {K\frac{{dT}}{{dx}}} \right] = {\sigma _Q}.\rho $ (2)
B.3. Bilan d'enthalpie.
B.3.a. Montrer que l'enthalpie par unité de masse s'écrit, à une constante additive près :
$h = {c_p}T + \frac{Q}{{{M_A}}}{X_A}$.
B.3.b. A l'aide du bilan de masse et du bilan de chaleur, déterminer le bilan d'enthalpie.
B.3.c. En intégrant cette équation entre x = – ∞ et x = +∞, montrer que l'enthalpie des gaz frais a même valeur que celle des gaz brûlés.
En déduire Tb en fonction de Tf, MA, Q, cP, et de la valeur Xf de XA dans les gaz frais.
B.3.d. On se place dorénavant dans l'hypothèse où les coefficients de diffusion de la chaleur et de A sont égaux : K = ρ cP D.
Déterminer l'équation régissant le bilan de h dans ce cas, et montrer que h = Constante en est solution. On admettra que c'est la seule solution physique.
B.3.e. On définit la concentration massique réduite χ et la température réduite θ par :
χ = XA / Xf
θ = (T – Tf)/(Tb – Tf)
Montrer que : χ = 1 – θ. Quelles sont les valeurs que peut prendre θ ? En définitive, quelle simplification considérable permet l'hypothèse de la question B.3.d ?
B.4. Structure de flamme.
B.4.a. Montrer que le bilan de chaleur se met sous la forme :
$U\frac{{d\theta }}{{dx}} - {D_0}\frac{{{d^2}\theta }}{{d{x^2}}} = \omega \left( \theta \right)$ (3)
Donner l'expression de la constante D0, exprimer ω(θ) en fonction de σA, Xf et ρf. Quelle est la dimension de ω(θ) ?
B.4.b. Pour résoudre l'équation (3), on modélise ω(θ) par une fonction simple :
0 ≤ θ < 1 – ε : ω(θ) = 0
1 – ε ≤ θ < 1 : ω(θ) = ω0/ε
θ = 1 : ω(1) = 0
Le taux de consommation σA n'est autre que la vitesse de réaction ; quelle est la signification physique de la forme choisie pour ω(θ) ?
Dans la suite, on fixe l'origine O de l'axe Ox au point où θ = 1 – ε, et on note δ l'abscisse du point où θ devient égal à 1. Si on considère alors ω comme une fonction de x, ω(x) a l'allure suivante :
On note d = D0/U et λ = U/ω0.
B.4.c. Résoudre l'équation (3) dans le domaine – ∞ < x < 0 et déterminer complètement θ(x) dans ce domaine en utilisant les valeurs de θ aux limites.
B.4.d. Répondre à la même question pour le domaine δ < x < +∞.
B.4.e. Trouver la solution générale de l'équation (3) pour 0 < x < δ. En utilisant les conditions de raccordement pour θ(x) en x = δ, montrer que :
$\theta \left( x \right) = 1 + \frac{{x - \delta }}{{\lambda \varepsilon }} + \frac{d}{{\lambda \varepsilon }}\left[ {1 - {e^{\left( {\frac{{x - \delta }}{d}} \right)}}} \right]$
B.4.f. En utilisant les conditions de raccordement en x = 0, montrer que :
δ = λε
$1 - \varepsilon = \frac{d}{{\lambda \varepsilon }}\left[ {1 - {e^{\left( { - \frac{{\lambda \varepsilon }}{d}} \right)}}} \right]$ (4)
B.5. En pratique, le paramètre ε est petit devant 1.
B.5.a. Dans cette approximation, montrer que λ = 2 d.
Représenter l'allure de la température réduite θ et du taux de réaction ω en fonction de x/d. Indiquer la zone de préchauffage et la zone de réaction.
B.5.b. Pourquoi appelle-t-on d épaisseur de flamme ?
Exprimer 1/ω0 en fonction de d et U. Pourquoi 1/ω0 est-il appelé temps de transit ?
Dans des conditions usuelles (Tb ≈ 2000 K), pour un hydrocarbure tel que le butane, ω0 est de l'ordre de 104 Hz et D0 vaut 10–5 m2s–1. Calculer la vitesse de flamme U.
B.6. Pour le type de combustion étudié, la vitesse de flamme est donc fixée par le coefficient de diffusion et le taux de réaction. La combustion qui se produit dans un moteur (phase C→D de la fig. 1) peut-elle rentrer dans cette catégorie ?
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(Epreuve commune aux ENS Lyon,Ulm et Cachan)
Durée : 4 heures
Ce problème porte sur quelques aspects de la combustion et du fonctionnement des moteurs à explosion. Les deux parties peuvent être résolues indépendamment.
Dans tout le problème, tous les gaz, réactifs et produits de réaction, sont supposés parfaits et les mélanges idéaux. On note γ = CP/CV le rapport des capacités calorifiques molaires à pression et à volume constant, dont on négligera la dépendance en température. On note R la constante des gaz parfaits, R = 8,31 J K–1mol–1 . On rappelle que l'air est composé à 80% de diazote et à 20% de dioxygène.
Dans un moteur à quatre temps, on décompose schématiquement le déroulement du cycle de la manière suivante (cf. fig 1) :
– AB : admission du mélange gazeux air-essence à température ambiante (TA = 300 K) sous pression atmosphérique
– BC : compression du mélange
– CD : en C, une étincelle provoque l'explosion, qui est suivie par une compression isochore
– DE : détente
– EB : l'ouverture de la soupape d'échappement détend le mélange jusqu'à la pression atmosphérique
– BA : les gaz brûlés sont évacués.
La compression BC et la détente DE sont suffisamment rapides pour qu'on puisse négliger les échanges thermiques du gaz avec les parois. On suppose que température et pression sont homogènes.
A.1.a. Justifier cette hypothèse sachant que le mélange air-combustible (alcane de formule brute C7H16) est injecté dans les proportions stœchiométriques.
A.1.b. Lors de quelle partie du cycle le gaz reçoit-il de la chaleur ? Exprimer la chaleur Qch reçue de la source chaude ainsi que le travail W reçu par le gaz lors d'un cycle en fonction des températures TB, TC, TD et TE.
A.1.c. Exprimer le rendement du moteur η = –W/Qch en fonction de γ et du taux de compression αv = VB/VC.
Application numérique : αv = 8 et γ = 1,4.
A.2.
A.2.a. Dans le cadre des hypothèses précédentes, déterminer la température TC atteinte juste avant l'explosion.
A.2.b. On trouve dans les tables que l'enthalpie de combustion d'une mole de C7H16 vaut ∆Hr(T0) = – 4730 Kj mol-1 à T0 = 300K et sous pression atmosphérique.
∆Hr dépend-elle de la pression ?
Déterminer ∆Hr(TC) en fonction de ∆Hr(T0) et des capacités calorifiques des produits de réaction et des réactifs.
Application numérique :
| Gaz | O2 | CO2 | C7H16 | H2O | N2 |
| CP (J K–1 mol–1 ) | 36 | 57 | 270 | 44,5 | 33,8 |
En définitive, que pensez-vous de la différence ∆Ur(TC) – ∆Hr(T0) ?
A.2.d. Démontrer la relation de Mayer : CP – CV = R pour une mole de gaz parfait.
A.2.e. Faire un bilan des quantités de chaleurs mises en jeu lors de la phase CD et en déduire la température finale TD. On supposera que les échanges thermiques avec les parois sont négligeables.
Application numérique : voir A.2.b.
A.2.f. En réalité, la température TD est proche de 1600 K, notablement plus basse que la valeur obtenue au A.2.e. Proposez des explications à ce désaccord.
A.3.a. On considère un moteur fonctionnant dans les conditions précédentes (TD = 1600 K). En négligeant toujours les échanges thermiques du gaz avec les parois lors des phases de compression et de détente, calculer la puissance délivrée s'il tourne à 4000 tours par minute et si sa cylindrée est deux litres (i. e. le volume de gaz frais admis à chaque tour est deux litres ) ?
A.3.b. Quel serait le rendement d'un moteur idéal dont le mélange gazeux suivrait un cycle de Carnot entre les températures extrêmes atteintes lors d'un cycle réel ? Commenter.
Dans un mélange réactif métastable, la combustion s'opère via la propagation d'un front de flamme qui sépare le milieu initial (gaz frais) du milieu final composé des gaz brûlés. On s'intéresse dans cette partie à la structure du front de flamme. On se propose en particulier de déterminer la structure du champ de température à l'intérieur de la flamme ainsi que la vitesse de propagation de celle-ci.
On se place dans un cas où le nombre total de moles est conservé. On note symboliquement la réaction : A + O → 2 P, où A désigne le combustible.
On se place également dans une géométrie simple : la réaction a lieu dans un tube calorifugé de section S et on se limite à un front plan, si bien que la seule variable d'espace est la direction de propagation (cf fig. 2.a). Avant réaction, les gaz sont à la température Tf et au repos dans le référentiel du laboratoire. On suppose que la structure de la flamme est stationnaire. On considère la pression P, la capacité thermique cP par unité de masse ainsi que la conductivité thermique K constantes, uniformes et indépendantes de la température.
B.1. Bilan de masse pour l'espèce A.
B.1.a. On note Φconv le flux de masse de combustible convecté, c'est à dire dû au mouvement d'ensemble du fluide. Exprimer Φconv en fonction de S, v et ρA.
B.1.b. On rappelle que le flux de masse Φdif dû à la diffusion est donné par la loi de Fick:
${\Phi ^{dif}} = - DS\rho \frac{{d{X_A}}}{{dx}}$, où D est la diffusivité de A.
En déduire l'expression de Φ, flux total de masse de combustible.
B.1.c. Du fait de la combustion, la quantité de combustible diminue. On note σA le taux de consommation de A par unité de volume : σASdxdt est la masse de A consommée dans le volume Sdx pendant le temps dt.
Ecrire le bilan de masse pour l'espèce A.
B.1.d. Montrer que la somme pour toutes les espèces des flux de masse d'origine diffusive est nulle ; on supposera que la diffusivité D est la même pour toute les espèces.
B.1.e. En utilisant la conservation de la masse, montrer que la quantité ρv est uniforme.
B.1.f. On note ρfU la constante ρv, où ρf est la masse volumique des gaz frais loin de la flamme.
Montrer que U représente la norme de la vitesse de la flamme par rapport aux gaz frais.
Montrer que le bilan de masse pour l'espèce A se met en définitive sous la forme :
${\rho _f}U\frac{{d{X_A}}}{{dx}} - \frac{d}{{dx}}\left[ {\rho D\frac{{d{X_A}}}{{dx}}} \right] = - {\sigma _A}$ (1)
On note Q la valeur absolue de la quantité de chaleur dégagée par la combustion d'une mole de gaz A.
B.2.a. Montrer que Q ne dépend pas du mode de réaction, et est indépendante de la température des gaz frais.
B.2.b. On note σQ le taux de production de chaleur par unité de volume. Exprimer σQ en fonction de Q, de σA et de la masse molaire MA de A.
B.2.c En vous inspirant de la question B.1, justifier qualitativement la forme du bilan de chaleur :
${\rho _f}U\frac{d}{{dx}}\left[ {{c_p}T} \right] - \frac{d}{{dx}}\left[ {K\frac{{dT}}{{dx}}} \right] = {\sigma _Q}.\rho $ (2)
B.3. Bilan d'enthalpie.
B.3.a. Montrer que l'enthalpie par unité de masse s'écrit, à une constante additive près :
$h = {c_p}T + \frac{Q}{{{M_A}}}{X_A}$.
B.3.b. A l'aide du bilan de masse et du bilan de chaleur, déterminer le bilan d'enthalpie.
B.3.c. En intégrant cette équation entre x = – ∞ et x = +∞, montrer que l'enthalpie des gaz frais a même valeur que celle des gaz brûlés.
En déduire Tb en fonction de Tf, MA, Q, cP, et de la valeur Xf de XA dans les gaz frais.
B.3.d. On se place dorénavant dans l'hypothèse où les coefficients de diffusion de la chaleur et de A sont égaux : K = ρ cP D.
Déterminer l'équation régissant le bilan de h dans ce cas, et montrer que h = Constante en est solution. On admettra que c'est la seule solution physique.
B.3.e. On définit la concentration massique réduite χ et la température réduite θ par :
χ = XA / Xf
θ = (T – Tf)/(Tb – Tf)
Montrer que : χ = 1 – θ. Quelles sont les valeurs que peut prendre θ ? En définitive, quelle simplification considérable permet l'hypothèse de la question B.3.d ?
B.4. Structure de flamme.
B.4.a. Montrer que le bilan de chaleur se met sous la forme :
$U\frac{{d\theta }}{{dx}} - {D_0}\frac{{{d^2}\theta }}{{d{x^2}}} = \omega \left( \theta \right)$ (3)
Donner l'expression de la constante D0, exprimer ω(θ) en fonction de σA, Xf et ρf. Quelle est la dimension de ω(θ) ?
B.4.b. Pour résoudre l'équation (3), on modélise ω(θ) par une fonction simple :
0 ≤ θ < 1 – ε : ω(θ) = 0
1 – ε ≤ θ < 1 : ω(θ) = ω0/ε
θ = 1 : ω(1) = 0
Le taux de consommation σA n'est autre que la vitesse de réaction ; quelle est la signification physique de la forme choisie pour ω(θ) ?
Dans la suite, on fixe l'origine O de l'axe Ox au point où θ = 1 – ε, et on note δ l'abscisse du point où θ devient égal à 1. Si on considère alors ω comme une fonction de x, ω(x) a l'allure suivante :
B.4.c. Résoudre l'équation (3) dans le domaine – ∞ < x < 0 et déterminer complètement θ(x) dans ce domaine en utilisant les valeurs de θ aux limites.
B.4.d. Répondre à la même question pour le domaine δ < x < +∞.
B.4.e. Trouver la solution générale de l'équation (3) pour 0 < x < δ. En utilisant les conditions de raccordement pour θ(x) en x = δ, montrer que :
$\theta \left( x \right) = 1 + \frac{{x - \delta }}{{\lambda \varepsilon }} + \frac{d}{{\lambda \varepsilon }}\left[ {1 - {e^{\left( {\frac{{x - \delta }}{d}} \right)}}} \right]$
B.4.f. En utilisant les conditions de raccordement en x = 0, montrer que :
δ = λε
$1 - \varepsilon = \frac{d}{{\lambda \varepsilon }}\left[ {1 - {e^{\left( { - \frac{{\lambda \varepsilon }}{d}} \right)}}} \right]$ (4)
B.5.a. Dans cette approximation, montrer que λ = 2 d.
Représenter l'allure de la température réduite θ et du taux de réaction ω en fonction de x/d. Indiquer la zone de préchauffage et la zone de réaction.
B.5.b. Pourquoi appelle-t-on d épaisseur de flamme ?
Exprimer 1/ω0 en fonction de d et U. Pourquoi 1/ω0 est-il appelé temps de transit ?
Dans des conditions usuelles (Tb ≈ 2000 K), pour un hydrocarbure tel que le butane, ω0 est de l'ordre de 104 Hz et D0 vaut 10–5 m2s–1. Calculer la vitesse de flamme U.
B.6. Pour le type de combustion étudié, la vitesse de flamme est donc fixée par le coefficient de diffusion et le taux de réaction. La combustion qui se produit dans un moteur (phase C→D de la fig. 1) peut-elle rentrer dans cette catégorie ?
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