Concours Physique ENS Ulm, Lyon, Cachan (bio) 1995 (Corrigé)

MECANIQUE DES FLUIDES VISQUEUX: Loi de Poiseuille
(ENS Ulm, Lyon, Cachan 1995, groupe E/S (= option Bio), Durée 4h)
A) Etablissement de la loi de Poiseuille
1) a) Soit le système des coordonnées cylindriques, repérées à partir de la base orthonormée directe $\left( {O,\;{{\vec u}_r},\;{{\vec u}_\theta },\;{{\vec u}_y}} \right)$, telle que $\left( {{{\vec u}_z},\;{{\vec u}_r}} \right)\; = \;\theta $.
Posons: P_A = P_B = P₀, la pression sur l’axe du cylindre.
µ, la masse volumique du fluide.
Calculons:

* La force pressante s’exerçant sur la base passant par A:
${\vec F_A}\; = \;{\vec u_y}\;\int_{r = 0}^r {\int_{\theta = 0}^{2\pi } {\;\left( {{P_0}\; - \;\mu \;g\;r\;\cos \theta } \right)\;r\;dr\;d\theta } } \; = \;{P_0}\;\pi {r^2}\;{\vec u_y}$
* La force pressante s’exerçant sur la base passant par B:
${\vec F_B}\; = \; - \;{\vec u_y}\;\int_{r = 0}^r {\int_{\theta = 0}^{2\pi } {\;\left( {{P_0}\; - \;\mu \;g\;r\;\cos \theta } \right)\;r\;dr\;d\theta } } \; = \; - \;{P_0}\;\pi {r^2}\;{\vec u_y}$
* La force pressante s’exerçant sur la surface latérale:
$\begin{array}{l}{{\vec F}_{lat}}\; = \;\int_{y = 0}^l {\int_{\theta = 0}^{2\pi } {\;\left( {{P_0}\; - \;\mu \;g\;r\;\cos \theta } \right)\;dy\;r\;d\theta \;{{\vec u}_r}} } \;avec\;{{\vec u}_r}\; = \;\cos \;\theta \;{{\vec u}_z}\; + \;\sin \;\theta \;{{\vec u}_x}\\{{\vec F}_{lat}}\; = \;\pi {r^2}\;l\;\mu \;g\;{{\vec u}_z}\;\end{array}$
* La force pressante résultante s’exerçant sur le cylindre vaut:
$\;\;{{\rm{\vec F}}_{\rm{P}}}\; = \;\pi {{\rm{r}}^{\rm{2}}}\;{\rm{l}}\;\mu \;{\rm{g}}\;{{\rm{\vec u}}_{\rm{z}}}\;\;$
1) b) On retrouve le théorème d’Archimède: La force pressante est égale à l’opposé du poids du volume de fluide déplacé.
2) a) Les forces qui s’exercent sur le cylindre sont:
* la force pressante: ${{\rm{\vec F}}_{\rm{P}}}\; = \;\pi {{\rm{r}}^{\rm{2}}}\;{\rm{l}}\;\mu \;{\rm{g}}\;{{\rm{\vec u}}_{\rm{z}}}$
* le poids: ${\rm{\vec P}}\; = \; - \;\pi {{\rm{r}}^{\rm{2}}}\;{\rm{l}}\;\mu \;{\rm{g}}\;{{\rm{\vec u}}_{\rm{z}}}$
Leur résultante est nulle, comme pour tout mouvement rectiligne uniforme.
2) b) Pendant la durée dt, le volume de fluide qui traverse une section droite πa² vaut πa² v dt. Donc, le débit volumique vaut $\;\;Q\; = \;\pi {a^2}\;v\;\;$
3) a) Les forces qui s’exercent sur le cylindre sont:
* La force pressante s’exerçant sur la base passant par A:
${\vec F_A}\; = \;{\vec u_y}\;\int_{r = 0}^r {\int_{\theta = 0}^{2\pi } {\;\left( {{P_A}\; - \;\mu \;g\;r\;\cos \theta } \right)\;r\;dr\;d\theta } } \; = \;{P_A}\;\pi {r^2}\;{\vec u_y}$
* La force pressante s’exerçant sur la base passant par B:
${\vec F_B}\; = \; - \;{\vec u_y}\;\int_{r = 0}^r {\int_{\theta = 0}^{2\pi } {\;\left( {{P_B}\; - \;\mu \;g\;r\;\cos \theta } \right)\;r\;dr\;d\theta } } \; = \; - \;{P_B}\;\pi {r^2}\;{\vec u_y}$
* La force pressante s’exerçant sur la surface latérale: $\begin{array}{l}{{\vec F}_{lat}}\; = \;\int_{y = 0}^l {\int_{\theta = 0}^{2\pi } {\;\left( {\left( {{P_A}\; - \;\frac{{\left( {{P_A}\; - \;{P_B}} \right)\;y}}{l}} \right)\; - \;\mu \;g\;r\;\cos \theta } \right)\;dy\;r\;d\theta \;{{\vec u}_r}} } \;avec\;{{\vec u}_r}\; = \;\cos \;\theta \;{{\vec u}_z}\; + \;\sin \;\theta \;{{\vec u}_x}\\{{\vec F}_{lat}}\; = \;\pi {r^2}\;l\;\mu \;g\;{{\vec u}_z}\;\end{array}$
* le poids:
${\rm{\vec P}}\; = \; - \;\pi {{\rm{r}}^{\rm{2}}}\;{\rm{l}}\;\mu \;{\rm{g}}\;{{\rm{\vec u}}_{\rm{z}}}$
* la force de frottement visqueux:
$\begin{array}{l}{{\vec F}_f}\; = \;\int_{y = 0}^l {\int_{\theta = 0}^{2\pi } {\; - \;\eta \;\left| {\frac{{dv}}{{dr}}} \right|\;dy\;r\;d\theta \;{{\vec u}_y}} } \;\\{{\vec F}_f}\; = \; + \;2\pi r\;l\;\eta \;\frac{{\partial v}}{{\partial r}}\;{{\vec u}_y}\;\end{array}$
car, par suite du frottement visqueux, v est une fonction décroissante de r.
3) b) Appliquons le principe fondamental de la dynamique au cylindre, en projection sur l’axe Oy:
$\pi {r^2}\;l\;\mu \;\frac{{\partial v}}{{\partial t}}\;{\vec u_y}\; = \;\pi {r^2}\;\left( {{P_A}\; - \;{P_{\bf{B}}}} \right)\;{\vec u_y}\; + \;2\pi r\;l\;\eta \;\frac{{\partial v}}{{\partial r}}\;{\vec u_y}$
En régime permanent, v ne dépend plus que de r. Donc:
$\;\;\frac{{dv}}{{dr}}\; = \; - \;\frac{{{P_A}\; - \;{P_B}}}{{2\;l\;\eta }}\;r\;\;$
3) c) En tenant compte du fait que v = 0 pour r = a, on obtient:
$\;\;v\; = \;\frac{{{P_A}\; - \;{P_B}}}{{4\;l\;\eta }}\;\left( {{a^2}\; - \;{r^2}} \right)\; = \;{v_{\max }}\;\left( {1\; - \;\frac{{{r^2}}}{{{a^2}}}} \right)\;\;$

4) a) $dQ\; = \;2\pi \;r\;dr\;v(r)\; = \;\pi \;\frac{{{P_A}\; - \;{P_B}}}{{2\;l\;\eta }}\;\left( {{a^2}r\; - \;{r^3}} \right)\;dr$
4) b) $\;\;Q\; = \;\int_{r = 0}^a {dQ} \; = \;\frac{{\pi {a^4}\;\left( {{P_A}\; - \;{P_B}} \right)}}{{8\;l\;\eta }}\;\;$
4) c) D’après (A,2,b), v_m = Q/πa².
D’après (A,3,c) et (A,4,b), v_max = 2Q/πa².
Donc: v_max = 2 v_m.

B) Analogie électrique
1) On peut faire correspondre:
* résistance électrique R_e et résistance hydraulique R
* intensité électrique I = charge qui traverse une section par unité de temps, et débit volumique Q = volume qui travers une section par unité de temps
* chute de tension V_A - V_B et perte de charge P_A - P_B
* force de frottement visqueux s’exerçant sur les électrons en régime permanent, et responsable de l’effet Joule, et force de frottement visqueux s’exerçant sur le fluide, et responsable de l’échauffement du fluide.
Une différence cependant: la vitesse de déplacement des électrons est uniforme sur toute la section droite en régime permanent.
2) * Association série:
Le débit masse Q est commun.
P_A - P_B = R₁ Q + R₂ Q + ... + R_n Q = (Σ_k R_k) Q = R Q.
On retrouve la loi d’association série des résistances: R = Σ_k R_k.
* Association parallèle:
La perte de charge P_A - P_B est commune.
P_A - P_B = R₁ Q₁ = R₂ Q₂ = ... = R_n Q_n
Q = Σ_k Q_k = (P_A - P_B) (Σ_k 1/R_k) = (P_A - P_B)/R
On retrouve la loi d’association parallèle des resistances: 1/R = (Σ_k 1/R_k).
3) Pour un conducteur électrique filiforme, R_e = ρ l / π a².
En remplaçant Q par son expression au sein de la loi de Poiseuille, on obtient
R = 8 η l / π a⁴.
La différence entre les deux expressions, qui se situe au niveau de l’exposant de a, provient du fait que la vitesse d’écoulement d’un fluide visqueux n’est pas uniforme sur une section droite, tandis qu’elle l’est pour les électrons dans un conducteur homogène en régime permanent.

C) Quelques applications à la circulation sanguine
1) P = µ_Hg g h ⇒ P_s = 17,3 kPa
⇒ P_d = 10,7 kPa
2) a) lg v + lg S = cte ⇔ v.S = cte ⇔ Q = cte

	Aorte	Capillaires	Veine cave
v (m.s-1)	0,3	4,2.10-4	0,2
S (m2)	3.10-4	0,22	4,4.10-4
Q (cm3.s-1)	90	92	88

2) b) τ = l/v = lS/vS = V/Q
Le volume sanguin total est environ 4,5 l. Mais il y a deux réseaux. Pour celui qui nous intéresse, on déduit τ ≈ 30 s.
3) a)

	Aorte	Capillaires	Veine cave
R = (PA - PB)/Q (Pa.s.m-3)	1,11.108	0,11.108	0,17.108

3) b) R = 8 η l / π a⁴ = 2,9.10¹⁴ Pa.s.m^-3.
3) c) En appliquant la loi d’association parallèle des résistances, on obtient: n = R/R_c = 26 millions de capillaires, ce qui correspond à une section de 13 cm²; le schéma indique 4 cm². L’ordre de grandeur est donc respecté.
4) R = 8 η l / π a⁴ = 1,7.10¹⁰ Pa.s.m^-3.
P_A - P_B = µ’ g h’ = 8 kPa.
Q = (P_A - P_B)/R = 0,47 cm³.s^-1 = 0,5 % du débit sanguin.
D) Régulation dans le système cardio-vasculaire

1) La loi de Poiseuille nous indique que l = α a⁴ ΔP / η Q.
Le facteur le plus important est le rayon des vaisseaux (4 fois plus important que les autres, en différentielle logarithmique).
2) En appliquant , on obtient R₁ = 5,0.10⁸ Pa.s.m^-3.
R₂ = 3,1.10⁸ Pa.s.m^-3.
R₃ = 5,0.10⁸ Pa.s.m^-3.
En appliquant la loi d’association parallèle des résistances, on obtient R₀ = 1,4.10⁸ Pa.s.m^-3.
3) En appliquant la loi d’association parallèle des résistances, on obtient
R’ = 1,0.10⁸ Pa.s.m^-3.
On en déduit ΔP’ = R’/Q₀ = 9,4 kPa, donc Q’₁ = ΔP’/R₁ = 18,8 cm³.s^-1.
Q’₂ = ΔP’/R₂ = 15,0 cm³.s^-1.
Q’₃ = ΔP’/R₃ = 56,3 cm³.s^-1.
4) a) ΔP = (Q₀ - Q)/α + ΔP₀.
Q’ = Q₀ - α (ΔP’ - ΔP₀) = 287 cm³.s^-1.

4) b) ΔP’’ = R’ Q’’ = R’ [Q₀ - α (ΔP’’ - ΔP₀)]
⇔ ΔP’’ = R’ [Q₀ + α ΔP₀]/(1+R’α) = 12,1 kPa
⇒ Q’’ = Q₀ - α (ΔP’’ - ΔP₀) = 116 cm³.s^-1.
Q’’₁ = ΔP’’/R₁ = 24,2 cm³.s^-1.
Q’’₂ = ΔP’’/R₂ = 19,3 cm³.s^-1.
Q’’₃ = ΔP’’/R₃ = 72,5 cm³.s^-1.
4) c) La dernière situation correspond à une meilleure régulation que la précédente, (M’’ est beaucoup plus proche de M₀ que M’, comme le montre le dessin de la question (4,a)), donc à un meilleur fonctionnement de l’organisme.
E) Quelques considérations énergétiques

1) P_m = ΔP₀ . S . v = ΔP₀ . Q = 1,1 W = 1% de P totale.
Cette puissance sert à faire circuler le sang dans les vaisseaux, et est perdue sous forme de chaleur du fait des frottements.
Elle contribue pour 1 % au maintient de la température du corps. L’essentiel de l’énergie nécessaire à ce maintien est apporté par la combustion des nutriments.
2) a) P_m = ΔP₀² πa⁴ / 8lη.
2) b) La portion de fluide est soumise aux forces de frottements visqueux:
$\begin{array}{l}d{{\vec F}_f}\; = \;\left[ {2\pi \;l\;\eta \;r\;\left( {\frac{{dv}}{{dr}}} \right)} \right]\left( {r + dr} \right)\;{{\vec u}_y}\; - \left[ {2\pi \;l\;\eta \;r\;\left( {\frac{{dv}}{{dr}}} \right)} \right]\left( r \right)\;{{\vec u}_y}\; = \;\left[ { - \;2\pi \;l\;\eta \;r\;\frac{{r\;\Delta {P_0}}}{{2\;l\;\eta }}\;{{\vec u}_y}} \right]_r^{r + dr}\\\;\;\;\;\; = \;\left[ { - \;\Delta {P_0}\;\pi {r^2}\;{{\vec u}_y}} \right]_r^{r + dr}\end{array}$
soit: $\;\;d{\vec F_f}\;\; = \; - \;2\pi r\;\Delta {P_0}\;dr\;{\vec u_y}\;$
Ces frottements consomment, sur la section totale du cylindre, une puissance: $W\; = \;\int_{r = 0}^a { - \;{{\vec F}_f}\;.\;v\;{{\vec u}_y}\; = \;} \int_{r = 0}^a {\;{{(\Delta {P_0})}^2}\;\frac{\pi }{{2\;l\;\eta }}\;\left( {{a^2}\; - \;{r^2}} \right)\;r\;dr = } \;\frac{{\;\pi {a^4}}}{{8\;l\;\eta }}\;{\left( {\Delta {P_0}} \right)^2}\;$, soit:
$\;\;W\; = \;\frac{{{{\left( {\Delta {P_0}} \right)}^2}}}{R}\; = \;{P_m}\;\;$
3) On retrouve une forme analogue à la puissance Joule: (ΔV)²/R_e.

Concours Physique ENS Lyon-Cachan M' 1995 (Corrigé)

ENS Lyon-Cachan M’ 1995
Partie A : ondes acoustiques de faible amplitude.
A.1.1. $div(\mu \vec v) + \frac{{\partial \mu }}{{\partial t}} = 0$ (1) A.1.2. $\mu \left( {\frac{{\partial \vec v}}{{\partial t}} + (\vec v.gr\vec ad)\vec v} \right) = - gr\vec ad\,p$ (2)
A.2.1. ${\mu _0}div(\vec v) + \frac{{\partial \mu '}}{{\partial t}} = 0$ (1’) et ${\mu _0}\frac{{\partial \vec v}}{{\partial t}} = - gr\vec ad\,p'$ (2’)
A.2.2. En prenant le rotationnel de (2’) on obtient $\frac{\partial }{{\partial t}}\left( {r\vec ot(\vec v)} \right) = \vec 0$ donc $r\vec ot(\vec v)$ est un vecteur permanent. Si on veut que sa valeur moyenne soit nulle, il faut qu’il soit nul. L’écoulement est alors potentiel et $\vec v = gr\vec ad\phi $. Notons que φ est défini à une fonction du temps (additive) près.
A.2.3. Les équations (1) et (2) associées à l’équation d’état fournissent 5 équations scalaires comportant 6 champs scalaires inconnus (p, µ, T et les 3 composantes de la vitesse). On doit ajouter une équation décrivant l’évolution thermodynamique du fluide. (T=Cte ou S=Cte ou...)

A.2.4. L’entropie d’un système fermé de masse unité est conservée donc $\frac{{Ds}}{{Dt}} = \frac{{\partial s}}{{\partial t}} + \vec v.gr\vec ad\,s = 0$. (s étant un champ scalaire $(\vec v.gr\vec ad)s = \vec v.(gr\vec ad\,s)$ ). En multipliant l’équation par µ et en y ajoutant l’équation (1) multipliée par s on obtient ce qu’il faut avec ${\vec j_s} = \mu s\vec v$.
A.2.5. a. c a la dimension d’une vitesse. b. à l’ordre 1 $p' = \mu '{c^2}$ (3)
c. Dans l’équation (2’) on remplace $\vec v$ par $gr\vec ad\phi $ . On obtient $gr\vec ad\left( {{\mu _0}\frac{{\partial \phi }}{{\partial t}} + p'} \right) = \vec 0$ donc ${\mu _0}\frac{{\partial \phi }}{{\partial t}} + p'$ est une fonction de t uniquement. En utilisant l’indétermination mentionnée au A.2.2. on peut rendre nulle cette fonction. Alors $p' = - {\mu _0}\frac{{\partial \phi }}{{\partial t}}$ (4) et d’après (3) :
$\mu ' = - \frac{{{\mu _0}}}{{{c^2}}}\frac{{\partial \phi }}{{\partial t}}$ (5) En reportant ceci dans (1’) on constate alors que φ vérifie bien l’équation de d’Alembert. Par dérivation par rapport à t, il en est de même pour p’ et µ’.
A.2.6. a. Pour une onde plane (selon x’Ox) les champs ne sont des fonctions que de x et t.
b. La solution est la superposition des deux ondes progressives associées à f et g..
c. On pose $u = x - ct$ . Alors $\frac{\partial }{{\partial t}} \Leftrightarrow - c\frac{d}{{du}}$ et $\frac{\partial }{{\partial x}} \Leftrightarrow \frac{d}{{du}}$ et l’équation (2’) s’écrit $\frac{d}{{du}}\left( {p' - {\mu _0}cv} \right) = 0$ donc $p' = {\mu _0}cv$ (6) (la constante d’intégration est prise nulle si on veut que p’ soit nulle en valeur moyenne) On en déduit d’après (3) : $\mu ' = {\mu _0}\frac{v}{c}$ (7)
d. ${\left( {\frac{{\partial T}}{{\partial P}}} \right)_S} = - \frac{h}{{{c_p}}}$ (notations usuelles de la thermodynamique). Or $h = - T{\left( {\frac{{\partial V}}{{\partial T}}} \right)_P}$ c’est à dire (en utilisant une unité de masse $V = \frac{1}{\mu }$) $h = \frac{T}{{{\mu ^2}}}{\left( {\frac{{\partial \mu }}{{\partial T}}} \right)_P} = - \frac{T}{\mu }\beta $ . Alors ${\left( {\frac{{\partial T}}{{\partial P}}} \right)_S} = \frac{{T\beta }}{{\mu {c_p}}}$ et donc à l’ordre 1 $T' = \frac{{{T_0}\beta }}{{{\mu _0}{c_p}}}p' = \frac{{{T_0}\beta c}}{{{c_p}}}v$ (8)
e. $c = \sqrt {\gamma {{\left( {\frac{{\partial p}}{{\partial \mu }}} \right)}_T}} = \sqrt {\frac{{\gamma p}}{\mu }} = \sqrt {\frac{{\gamma RT}}{M}} = 347\;m.{s^{ - 1}}$
A.3.1. ${e_c} = \frac{v^2}{2}$
A.3.2. Pour une masse unité la variation de volume est $dV = d\left( {\frac{1}{\mu }} \right) = - \frac{1}{{{\mu ^2}}}d\mu \approx - \frac{1}{{\mu _0^2}}d\mu '$. Le travail reçu dû à la force de surpression est alors $ - p'dV = \frac{{p'}}{{\mu _0^2}}d\mu ' = \frac{{{c^2}}}{{\mu _0^2}}\mu 'd\mu '$ (en utilisant (3) ) ce qui correspond à l’augmentation de l’énergie potentielle (massique) ${e_{pot}} = \frac{{{c^2}}}{2}{\left( {\frac{{\mu '}}{{{\mu _0}}}} \right)^2}$
A.3.3. Grâce à (7) ${e_{pot}} = \frac{v^2}{2} = {e_c}$ donc $e = {e_c} + {e_{pot}} = {v^2}$ (9) (« équipartition de l’énergie »)
A.3.4. De façon générale, en multipliant l’équation (2’) par $\vec v$ et l’équation (1’) par p’/µ₀ (qui vaut également $\frac{{\mu '}}{{{\mu _0}}}{c^2}$ d’après (3) ) et en faisant la somme on obtient :
$\vec v.gr\vec ad\,p' + p'div(\vec v) + {\mu _0}\vec v.\frac{{\partial \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\leftarrow$}} \over v} }}{{\partial t}} + \frac{{{c^2}}}{{{\mu _0}}}\mu '\frac{{\partial \mu '}}{{\partial t}} = 0$ qui est bien l’équation proposée et qui est un bilan local d’énergie de densité volumique ${\mu _0}\left( {\frac{{{v^2}}}{2} + \frac{{{c^2}}}{2}{{\left( {\frac{{\mu '}}{{{\mu _0}}}} \right)}^2}} \right)$et de vecteur densité de courant $p'\vec v$. La vitesse de propagation de l’énergie est définie par analogie avec $\vec j = \rho \vec v$ selon ${v_{energie}} = \frac{{p'v}}{{{\mu _0}e}}$ et vaut (dans le cas d’une onde progressive seulement car on utilise (9) et (6) ) : ${v_{energie}} = \frac{{{\mu _0}cv\,v}}{{{\mu _0}\,{v^2}}} = c$

Partie B : propagation.
B.1.1. A la surface de séparation, on doit avoir continuité de la surpression et de la composante normale du champ de vitesse donc ${p_i}' + {p_r}' = {p_t}'$ et ${\vec v_i}.\vec n + {\vec v_r}.\vec n = {\vec v_t}.\vec n$ . Dans le cas d’une limite en x=0, la deuxième équation s’écrit : ${v_{i\,x}}(0,y,z,t) + {v_{r\,x}}(0,y,z,t) = {v_{t\,x}}(0,y,z,t)$.
B.1.2. Les conditions ci-dessus devant être vérifiées à tout instant et les fonctions exponentielles étant linéairement indépendantes, on en déduit que ${\omega _i} = {\omega _r} = {\omega _t}$.
B.1.3. De même, pour que les conditions soient vérifiées pour toutes les valeurs de y et z, il faut que les trois vecteurs d’onde aient même projection sur le plan x=0. Les lois de Descartes sont alors vérifiées sous la forme : $({\vec k_i},{\vec k_r},{\vec k_t},{\vec u_x})$ coplanaires et $\frac{{\sin {\theta _i}}}{{{c_1}}} = \frac{{\sin {\theta _r}}}{{{c_1}}} = \frac{{\sin {\theta _t}}}{{{c_2}}}$ (car ${k_i} = \frac{{{\omega _i}}}{{{c_i}}}$) . L’angle d’incidence limite vérifie alors : $\sin {\theta _0} = \frac{{{c_1}}}{{{c_2}}}$ (10)
B.1.4. En notation complexe $\vec v = i\vec k\phi \;\; \propto \;\frac{1}{c}A( \pm {\vec u_x})$ et d’après (4) $p'\;\; \propto {\mu _0}A$ . Les équations de continuité s’écrivent donc : $\left\{ \begin{array}{l}{\mu _1}\left( {{A_i} + {A_r}} \right) = {\mu _2}{A_t}\\\frac{1}{c_1}\left( {{A_i} - {A_r}} \right) = \frac{1}{c_2}{A_t}\end{array} \right.$ et alors $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{A_r}}}{{{A_i}}} = \frac{{{\mu _2}{c_2} - {\mu _1}{c_1}}}{{{\mu _2}{c_2} + {\mu _1}{c_1}}}\\\frac{{{A_t}}}{{{A_i}}} = \frac{{2{\mu _1}{c_2}}}{{{\mu _2}{c_2} + {\mu _1}{c_1}}}\end{array} \right.$ Comme $\Pi = p'v \propto \;\frac{{{\mu _0}}}{c}{A^2}$ on obtient $R{\rm{ = }}{\left( {\frac{{{\mu _{\rm{2}}}{c_2} - {\mu _{\rm{1}}}{c_1}}}{{{\mu _{\rm{2}}}{c_2} + {\mu _{\rm{1}}}{c_1}}}} \right)^2}\quad T = \frac{{4{\mu _1}\mu {}_2{c_1}{c_2}}}{{{{\left( {{\mu _{\rm{2}}}{c_2} + {\mu _{\rm{1}}}{c_1}} \right)}^2}}}$
R + T = 1 traduit ici la conservation de l’énergie
B.1.5. $\quad T = 1,26 1{0^{ - 3}}\quad R = {\rm{1}} - T \approx 1$
B.2. Remarque : en toute rigueur, l’impulsion sonore se propage à la vitesse de groupe que l’on identifie ici à la vitesse de phase dans l’approximation des ondes de faible amplitude.
B.2.1. a. Le trajet suivi par la lumière rend le chemin optique stationnaire par rapport aux trajets infiniment voisins.
b. Cela correspond à une durée stationnaire. (souvent extrémale voire minimale)
c. C ’est le principe de Fermat appliqué à l’acoustique.

B.2.2. a. Le trajet SIJM correspond à une arrivée en I et un départ de J avec un angle θ₀ par rapport à la normale. Cela n’est possible que si L est assez grand.
b. $\Delta t = \frac{{\sqrt {{L^2} + {{\left( {h - h'} \right)}^2}} }}{{{c_1}}}$; $\Delta t' = \frac{{\sqrt {{L^2} + {{\left( {h + h'} \right)}^2}} }}{{{c_1}}}$; $\Delta t'' =\frac{L-\left( h+h' \right) tan\theta_0}{c_2}+\frac{h+h'}{c_{1}cos\theta_0}$
B.2.3. En utilisant (10) pour éliminer c₂ on obtient ${{c}_{1}}\Delta t''=L\sin {{\theta }_{0}}+\left( h+h' \right)\cos {{\theta }_{0}}$ . On peut alors calculer ${{\left( {{c}_{1}}\Delta t' \right)}^{2}}-{{\left( {{c}_{1}}\Delta t'' \right)}^{2}}={{\left( L\cos {{\theta }_{0}}-\left( h+h' \right)\sin {{\theta }_{0}} \right)}^{2}}$ qui est positif donc $\Delta t'\ge \Delta t''$.(le cas d’égalité correspond à I=J)
B.2.4. En utilisant les valeurs numériques du B.1.5 on obtient : $\Delta t \approx \Delta t' = 0,294\;s$ $\Delta t''=0,083\ s$. Le trajet SIJM est de loin le plus court. En fait il n’est pas parcouru par l’onde car aux points I et J, le coefficient de transmission T est nul.

Partie C : absorption par conduction thermique.
C.1. a. Par conservation de l’énergie interne 2CT_f = CT₁ + CT₂
b. $\Delta {S_U} = \Delta {S_1} + \Delta {S_2} = C\ln \left( {\frac{{{T_f}}}{{{T_1}}}} \right) + C\ln \left( {\frac{{{T_f}}}{{{T_2}}}} \right) = C\ln \left( {\frac{{{{\left( {{T_1} + {T_2}} \right)}^2}}}{{4{T_1}{T_2}}}} \right)$
c. A l’ordre 1 en $\frac{{\delta T}}{{{T_1}}} : \frac{{{{\left( {{T_1} + {T_2}} \right)}^2}}}{{4{T_1}{T_2}}} = \frac{{{{\left( {1 + \frac{{\delta T}}{{2{T_1}}}} \right)}^2}}}{{1 + \frac{{\delta T}}{{{T_1}}}}} \approx \frac{{1 + \frac{{\delta T}}{{{T_1}}}}}{{1 + \frac{{\delta T}}{{{T_1}}}}} = 1$ donc $\Delta {S_U} = 0$
C.2.1. La chaleur reçue par une masse donnée est $\iint{-{{{\vec{J}}}_{Q}}.d\vec{S}}\delta t=-\iiint{div({{{\vec{J}}}_{Q}})dV}\delta t$ Pour une masse élémentaire on écrira donc $\frac{{\delta Q}}{{\delta t}} = - div({\vec J_Q})dV = - div({\vec J_Q})\frac{{\delta m}}{\mu }$ Alors, en divisant par δm pour utiliser des grandeurs massiques, $\frac{{\delta {s_{ech}}}}{{\delta t}} = \frac{1}{T}\frac{{\delta q}}{{\delta t}} = - \frac{{div({{\vec J}_Q})}}{{\mu T}} = \frac{1}{{\mu T}}div(K\,gr\vec ad\,T))$ que l’on peut identifier à $\frac{{Ds}}{{Dt}}$ puisque le terme de création est d’ordre 2 en différence de températures alors que le terme d’échange que l’on vient d’évaluer est d’ordre 1.
C.2.2. a. La relation précédente sur $\frac{{Ds}}{{Dt}}$ s’écrit $\frac{{\partial s}}{{\partial t}} + \vec v.gr\vec ad(s) = \frac{1}{{\mu T}}div(K\,gr\vec ad\,T))$ En multipliant cette équation par µ et en ajoutant l’équation (1) multipliée par s on obtient $\frac{\partial }{{\partial t}}(\mu s) + div(\mu s\vec v) = \frac{1}{T}div(K\,gr\vec ad\,T))$ Le membre de droite peut s’écrire sous la forme $div(\frac{{K\,gr\vec ad\,T}}{T}) + \frac{K}{{{T^2}}}{\left( {gr\vec ad\,T} \right)^2}$ Finalement $div(\vec J{'_s}) + \frac{{\partial (\mu s)}}{{\partial t}} = \frac{K}{{{T^2}}}{\left( {gr\vec ad\,T} \right)^2} \ge 0$ . C’est l’équation locale de bilan d’entropie. Le membre de droite représente le taux volumique horaire de création d’entropie.
b. $\frac{\delta {{S}_{creation}}}{\delta t}=\iiint_{{{V}_{0}}}{\frac{K}{{{T}^{2}}}{{\left( gr\vec{a}d\,T \right)}^{2}}}dV$ qui est bien positif (second principe).
C.3. a. On calcule $gr\vec ad(T')$ en négligeant la dépendance de v₀ par rapport à x. On voit alors apparaître dans le taux de création d’entropie un terme ${\left( {\sin (kx - \omega t)} \right)^2}$dont la valeur moyenne temporelle vaut $\frac{1}{2}$ donc $\left\langle {\frac{{\delta {S_{creation}}}}{{\delta t}}} \right\rangle = \frac{1}{2}K\Sigma ({x_2} - {x_1})\frac{{{\beta ^2}{c^2}}}{{c_p^2}}{\left[ {{v_0}(x)} \right]^2}{k^2}$ . Or l’énergie acoustique massique moyenne dans le volume est d’après (9) $\left\langle e \right\rangle = \frac{1}{2}{\left[ {{v_0}(x)} \right]^2}$ donc $\left\langle {\frac{{dE}}{{dt}}} \right\rangle = - K\Sigma ({x_2} - {x_1})\frac{{{T_0}{\beta ^2}{\omega ^2}}}{{c_p^2}}\left\langle e \right\rangle $
b. L’énergie acoustique moyenne entrant à l’abscisse x₁ par unité de temps dans le volume étudié est $\Sigma \left\langle {{\Pi _x}} \right\rangle = \Sigma {\mu _0}c\left\langle {{{\left[ {v({x_1})} \right]}^2}} \right\rangle = \Sigma {\mu _0}c\left\langle {e(x{}_1)} \right\rangle $. La perte d’énergie doit être la différence entre ce qui entre en x₁ et ce qui sort en x₂ donc $ - \left\langle {\frac{{dE}}{{dt}}} \right\rangle = \Sigma {\mu _0}c\left( {\left\langle {e({x_1})} \right\rangle - \left\langle {e({x_2})} \right\rangle } \right)$ soit $\left\langle {\frac{{dE}}{{dt}}} \right\rangle \approx \Sigma ({x_2} - {x_1}){\mu _0}c\frac{{d\left\langle e \right\rangle }}{{dx}}$.
c. L’équation vérifiée par <e> est donc du type $\frac{{d\left\langle e \right\rangle }}{{dx}} = - 2\frac{{\left\langle e \right\rangle }}{\delta }$ donc $\left\langle e \right\rangle = {\left\langle e \right\rangle _0}\exp \left( { - 2\frac{x}{\delta }} \right)$ avec $\delta = 2\frac{{{\mu _0}c_p^2c}}{{K{T_0}{\beta ^2}{\omega ^2}}}$ ce qui est la relation de l’énoncé à condition de montrer que ${c_p} = \frac{{\beta {c^2}}}{{\gamma - 1}}$ ce qui se vérifie immédiatement pour un gaz parfait avec l’expression de c trouvée au A.2.6.e et le fait que $\beta = 1/T$.
d. En prenant c=340 ou 347 m.s^-1, on obtient $\delta = 52\,{\rm{ou}}\,57\,km$ C’est énorme et peu compatible avec notre expérience de tous les jours (même si nous produisons des ondes sphériques plutôt que planes). Les ondes acoustiques sont atténuées avant cette distance pour d’autres raisons (viscosité essentiellement).
A 20 Hz, la limite de portée due à la viscosité est de 100 km mais elle n’est que de 10 m à 2000 Hz. Les éléphants ont un moyen de communication bien efficace !

Partie D : ondes acoustiques de grande amplitude.
D.1.1. Pour une onde plane (1) devient $\frac{\partial }{{\partial x}}(\mu v) + \frac{{\partial \mu }}{{\partial t}} = 0$ et (2) devient $\mu \frac{{\partial v}}{{\partial t}} + \mu v\frac{{\partial v}}{{\partial x}} = - \frac{{\partial p}}{{\partial x}}$ .
D.1.2. $\begin{array}{l}\frac{{\partial p}}{{\partial x}}\quad \frac{d}{{dp}}\left( {\mu v} \right)\quad + \quad \frac{{\partial p}}{{\partial t}}\quad \frac{d}{{dp}}\left( \mu \right)\quad = \quad 0\\\frac{{\partial p}}{{\partial x}}\left( {1 + \mu v\frac{{dv}}{{dp}}} \right)\,\, + \quad \frac{{\partial p}}{{\partial t}}\quad \mu \frac{{dv}}{{dp}}\quad \;\; = \quad 0\end{array}$ (11)
D.1.3. Le système (11) admet des solutions non nulles si son déterminant est nul donc si ${\left( {\mu \frac{{dv}}{{dp}}} \right)^2} - \frac{{d\mu }}{{dp}} = 0$ c.q.f.d. puisque (à entropie constante) $\frac{{d\mu }}{{dp}} = {\left( {\frac{{\partial \mu }}{{\partial p}}} \right)_S} = \frac{1}{{{c^2}}}$ . (11) se réduit alors à sa seconde équation qui devient (signe « + ») $\frac{{\partial p}}{{\partial x}}\left( {1 + \frac{v}{c}} \right) + \frac{1}{c}\frac{{\partial p}}{{\partial t}} = 0$ (12)

D.1.4. L’équation (12) contient (à un facteur c près) une dérivée particulaire de p associée à un « déplacement » à la vitesse c+v. Le champ de pression se propage donc à la vitesse c+v . Or c (d’après l’énoncé) et v (car on a choisi le signe « + ») sont des fonctions croissantes de p. Dans un front de surpression qui se propage, les fortes pressions vont rattraper les faibles, le front va se raidir jusqu’à une pente infinie : discontinuité de pression.
D.2. Le système fermé étudié, de masse δm est compris entre les traits pointillés. A l’instant t, il est dans l’état de repos 2. A l’instant t+δt, il est dans l’état perturbé 1. On raisonne sur une section droite Σ₀ prise comme unité. On pose donc Σ₀ = 1.
D.2.1. Conservation de la masse :
$\delta m = {\mu _0}c'\delta t = \left( {{\mu _0} + \mu '} \right)(c' - V)\delta t$ $\mu ' = \frac{{{\mu _0}V}}{{c' - V}}$ (13)
D.2.2. Bilan de quantité de mouvement : la force horizontale totale est p₁ - p₂ = p’
$p'\delta t = {P_{finale}} = \delta mV = {\mu _0}c'\delta tV$ soit $p' = {\mu _0}c'V$ (14)
(à comparer avec l’équation (6) )

D.2.3. $u = \frac{P}{{\mu (\gamma - 1)}}$ Seule la pression p₁ travaille. Elle contribue à la variation de l’énergie interne et de l’énergie cinétique macroscopique du gaz :
$({p_0} + p')V\delta t = \frac{1}{2}\delta m{V^2} + \frac{{\delta m}}{{\gamma - 1}}\left( {\frac{{{p_0} + p'}}{{{\mu _0} + \mu '}}} \right) - \frac{{\delta m}}{{\gamma - 1}}\left( {\frac{{{p_0}}}{{{\mu _0}}}} \right)$ $ \Rightarrow $$({p_0} + p')V = \frac{1}{2}{\mu _0}c'{V^2} + \frac{{(c' - V)}}{{\gamma - 1}}\left( {{p_0} + p'} \right) - \frac{{c'}}{{\gamma - 1}}\left( {{p_0}} \right)$
soit $\frac{\gamma }{{\gamma - 1}}\left( {{p_0} + p'} \right)V - \frac{{p'c'}}{{\gamma - 1}} = \frac{1}{2}{\mu _0}c'{V^2}$ (15)

D.2.4. On élimine c’ en l’exprimant en fonction de p’ grâce à (14) pour le reporter dans (15) et obtenir (en notant X le rapport p’/p₀) : ${X^2} - X\frac{{\gamma \left( {\gamma + 1} \right)}}{2}\frac{{{V^2}}}{{c_0^2}} - {\gamma ^2}\frac{{{V^2}}}{{c_0^2}} = 0$ qui se résoud en : $\frac{{p'}}{{{p_0}}} = \frac{{\gamma \left( {\gamma + 1} \right)}}{4}\frac{{{V^2}}}{{c_0^2}} + \sqrt {{\gamma ^2}\frac{{{V^2}}}{{c_0^2}} + {{\left( {\frac{{\gamma \left( {\gamma + 1} \right)}}{4}} \right)}^2}{{\left( {\frac{V}{{{c_0}}}} \right)}^4}} $ puis $\frac{{c'}}{{{c_0}}} = \frac{{\left( {\gamma + 1} \right)}}{4}\frac{V}{{{c_0}}} + \sqrt {1 + {{\left( {\frac{{\gamma + 1}}{4}} \right)}^2}{{\left( {\frac{V}{{{c_0}}}} \right)}^2}} $
Remarque : pour V << c₀ on obtient $c' \approx {c_0}$
D.2.5. a. $s = \frac{R}{{M\left( {\gamma - 1} \right)}}\ln \left( {\frac{{p\mu _0^\gamma }}{{{p_0}{\mu ^\gamma }}}} \right)$ b. $\frac{{\delta {S_{creation}}}}{{{\Sigma _0}\delta t}} = \frac{{R{\mu _0}c'}}{{M(\gamma - 1)}}\ln \left( {\frac{{1 + \frac{{p'}}{{{p_0}}}}}{{{{\left( {1 + \frac{{\mu '}}{{{\mu _0}}}} \right)}^\gamma }}}} \right)$
c. $\frac{{c'}}{{{c_0}}} = 1,34$ $\frac{{p'}}{{{p_0}}} = 0,94$ $\frac{{{\mu _1}}}{{{\mu _0}}} = 1,59$ $\frac{{\delta {S_{creation}}}}{{{\Sigma _0}\delta t}} \approx 5000\,J{K^{ - 1}}{s^{ - 1}}{m^{ - 2}}$ (c’=340 m.s^-1)
La création d’entropie est due à l’irréversibilité de l’onde de choc (déséquilibre mécanique).

Concours Physique ENS Cachan 1995 (Corrigé)

Avertissement:
1) les graphes étant tous semblables (des exponentielles croissantes), il n’en a été tracé que l’allure;
2) dans la question 3.3.3-, mes applications numériques me conduisent toujours à un régime oscillant, qui n’est pas dans la logique de l’énoncé; j’ai donc renoncé au tracé demandé.

ENS Cachan B(A) 1995

Première partie: Étude électromagnétique
1.1- Spire équivalente:
1.1.1- La force de Laplace a pour expresion: ${\rm{d\vec f}} = {\rm{dI}}{\kern 1pt} {\rm{\vec u}} \wedge {\rm{\vec B}}$

1.1.2- On considère une spire élémentaire de section ldr, de longueur 2πr, parcourue par le courant d’intensité ${\rm{dI}} = \delta {\rm{ldr}}$, où $\delta =\frac{I}{\left[ l \left( R_e - R_i \right) \right]}$; elle est soumise à la force: ${\rm{\vec f}} = \int_{{{\rm{R}}_{\rm{i}}}}^{{\rm{Re}}} {\;\delta {\rm{ldr2}}\pi {\rm{rB}}{{{\rm{\vec e}}}_{\rm{z}}}} = \delta \frac{{\rm{L}}}{{\rm{N}}}\pi {\rm{B}}\left( {{{\rm{R}}_{\rm{e}}}^2 - {{\rm{R}}_{\rm{i}}}^2} \right){{\rm{\vec e}}_{\rm{z}}}$ 1.1.3- On constate en effet que l’on peut écrire: ${\rm{\vec f}} = {\rm{IB2}}\pi {\rm{R}}{{\rm{\vec e}}_{\rm{z}}}$

1.2- Force électromagnétique résultante:
1.2.1- Le résultat est immédiat: ${\rm{\vec F}} = {\rm{N\vec f}} = {\rm{NIB2}}\pi {\rm{R}}{{\rm{\vec e}}_{\rm{z}}}$
1.2.2- On peut écrire F sous la forme indiquée en posant: ${{\rm{k}}_\phi } = {\rm{B2}}\pi {\rm{R}}$
C’est homogène à une circulation du champ magnétique B, mais cela ne correspond pas à une circulation concrête.
1.2.3- AN: ${{\rm{I}}_{\rm{e}}} = \delta {\rm{L}}\left( {{{\rm{R}}_{\rm{e}}} - {{\rm{R}}_{\rm{i}}}} \right) = 800\;{\rm{A}}\,{\rm{;}}\quad {\rm{F}} = {\rm{78}}{\rm{,4}}\;{\rm{N}}$
1.3- Force contre électromotrice:
1.3.1- On sait que le champ électromoteur est: ${{\rm{\vec E}}_{\rm{M}}} = {\rm{\vec v}} \wedge {\rm{\vec B}} = {\rm{Bv}}{{\rm{\vec u}}_\theta }$ et la fem: ${\rm{e}} = \int {{{{\rm{\vec E}}}_{\rm{M}}}.{\rm{d\vec M}}} = {\rm{Bvu}}$
1.3.2- Il est clair que: ${\rm{e}} = {\rm{Bv2}}\pi {\rm{R}}\quad \Rightarrow \quad {{\rm{k}}^{\rm{'}}}_\phi = {\rm{B2}}\pi {\rm{R}} = {{\rm{k}}_\phi }$ AN: ${{\rm{e}}_{\rm{0}}} = {\rm{9}}{\rm{,80}}{\rm{.1}}{{\rm{0}}^{{\rm{ - 2}}}}\;{\rm{V}}$
1.3.3- Le résultat est immédiat: ${\rm{E}} = {\rm{Ne}}$
1.4- Calcul de la résistance:
1.4.1- La résistance se calcule par la formule:
${\rm{R}} = \rho \frac{{\rm{l}}}{{\rm{S}}}\quad \Rightarrow \quad {{\rm{R}}_{\rm{b}}} = \rho \frac{{{\rm{2}}\pi {\rm{R}}{{\rm{N}}^{\rm{2}}}}}{{{\rm{L}}\left( {{{\rm{R}}_{\rm{e}}} - {{\rm{R}}_{\rm{i}}}} \right)}}\quad \Rightarrow \quad $${{\rm{r}}_{\rm{b}}} = \rho \frac{{{\rm{2}}\pi {\rm{R}}}}{{{\rm{L}}\left( {{{\rm{R}}_{\rm{e}}} - {{\rm{R}}_{\rm{i}}}} \right)}}$
1.4.2- AN: ${{\rm{r}}_{\rm{b}}} = {\rm{1}}{\rm{,23}}{\rm{.1}}{{\rm{0}}^{{\rm{ - 4}}}}\;\Omega $
1.5- Calcul de l’inductance:

1.5.1.a- Tout plan contenant l’axe Oz est plan d’antisymétrie pour la distribution de courants; il s’ensuit que le champ magnétique${\rm{\vec B}}$ est dirigé selon l’axe Oz, la « règle du tire-bouchon » donnant alors le sens du vecteur. À partir de la loi de Biot & Savart, on retrouve le résultat: ${\rm{dB = }}\frac{{{\mu _{\rm{0}}}}}{{{\rm{2R}}}}\frac{{{{\rm{I}}_{\rm{e}}}{\rm{dZ}}}}{{\rm{L}}}{\rm{si}}{{\rm{n}}^{\rm{3}}}\left( \alpha \right)$ où Z est la position de la spire (z étant celle du point M).

1.5.1.b- Dans un premier temps, on a intérêt à intégrer selon la variable α:
${\rm{cot}}\left( \alpha \right) = \frac{{{\rm{z}} - {\rm{Z}}}}{{\rm{R}}}\quad \Rightarrow \quad {\rm{dZ}} = \frac{{{\rm{Rd}}\alpha }}{{{\rm{si}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}\left( \alpha \right)}}\quad \Rightarrow \quad {\rm{dB}} = \frac{{{\mu _0}{{\rm{I}}_{\rm{e}}}}}{{2{\rm{L}}}}{\rm{sin}}\left( \alpha \right){\rm{d}}\alpha \quad \Rightarrow \quad {\rm{B}} = \frac{{{\mu _{\rm{0}}}{{\rm{I}}_{\rm{e}}}}}{{{\rm{2L}}}}\left[ {{\rm{cos}}\left( {{\alpha _{\rm{1}}}} \right) - {\rm{cos}}\left( {{\alpha _{\rm{2}}}} \right)} \right]$
On en déduit: ${\rm{\vec B}}\left( {\rm{z}} \right) = \frac{{{\mu _{\rm{0}}}{{\rm{I}}_{\rm{e}}}}}{{{\rm{2L}}}}\left[ {\frac{{\rm{z}}}{{\sqrt {{{\rm{R}}^{\rm{2}}} + {{\rm{z}}^{\rm{2}}}} }} + \frac{{{\rm{L}} - {\rm{z}}}}{{\sqrt {{{\rm{R}}^{\rm{2}}} + {{\left( {{\rm{L}} - {\rm{z}}} \right)}^2}} }}} \right]{{\rm{\vec e}}_{\rm{z}}}$
1.5.1.c- On calcule la valeur du rapport demandé et l’on constate que B varie relativement peu sur l’axe, à l’intérieur de la spire.
$B \left( 0 \right) = \frac{\mu_{0} I_{e}}{2 \sqrt{R{2} + L^{2}}} \ ; \ B \left( \frac{L}{2} \right) = \frac{\mu _{0}I_{e}}{\sqrt {4R^{2} + L^{2}}} \Rightarrow  \frac{B \left( 0 \right)}{B \left( \frac{L}{2} \right)}= \frac{\sqrt {4R^{2} + L^{2}}}{2 \sqrt{R^{2} + L^{2}}} = 0,785$
1.5.2- Compte tenu des hypothèses simplificatrices, le calcul est aisé:
${{\text{W}}_{\text{mag}}}=\iiint{\frac{{{\text{B}}^{\text{2}}}}{\text{2}{{\mu }_{\text{0}}}}\,}\text{d}\tau =\frac{{{\text{B}}^{\text{2}}}}{\text{2}{{\mu }_{\text{0}}}}\pi {{\text{R}}^{\text{2}}}\text{L}\quad \Rightarrow \quad {{\rm{W}}_{{\rm{mag}}}} = \frac{{\pi {\mu _{\rm{0}}}{{\rm{R}}^{\rm{2}}}{\rm{L}}{{\rm{I}}_{\rm{e}}}^2}}{{{\rm{2}}\left( {{\rm{4}}{{\rm{R}}^{\rm{2}}} + {{\rm{L}}^{\rm{2}}}} \right)}}$
1.5.3- De la relation: ${{\text{W}}_{\text{mag}}}=\frac{1}{2}{{\text{I}}^{2}}$, on tire:
$=\frac{\pi {{\mu }_{0}}{{\text{R}}^{\text{2}}}\text{L}}{\text{4}{{\text{R}}^{\text{2}}}+{{\text{L}}^{\text{2}}}}\,{{\text{N}}^{\text{2}}}$ $=\frac{\pi {{\mu }_{0}}{{\text{R}}^{\text{2}}}\text{L}}{\text{4}{{\text{R}}^{\text{2}}}+{{\text{L}}^{\text{2}}}}={{1,56.10}^{-8}}\ H$

1.6- Équation différentielle: 1.6.1- On a affaire à un circuit série comportant un générateur de fem U, une force électromotrice E, une inductance propre L et une résistance Rb . L’équation différentielle du circuit est: $\text{U}=\text{E+}\frac{\text{dI}}{\text{dt}}+{{R}_{b}}I$ 1.6.2- En remplaçant les grandeurs par leurs expressions: $\text{U}=\text{N}\left( {{\text{k}}_{\phi }}v+\frac{d{{I}_{e}}}{dt}+{{r}_{b}}{{I}_{e}} \right)$

1.7- Détermination du nombre de spires:
1.7.1- Des deux équations: ${U_0} = {N_0}\left( {{k_\phi }{V_0} + {r_b}{I_e}} \right)$ et $F = {k_\phi }{I_e}$, on déduit: ${N_0} = \frac{U_0}{k_{\phi }V_{0} + r_{b}\frac{F}{k_{\phi}}}$
1.7.2- ${N_0}$ permet d’ajuster la valeur de $k_{\phi }V_{0} + r_{b}\frac{F}{k_\phi }$.
1.7.3- AN: ${N_0} = 61\;spires$ ${R_b} = 0,456\,\Omega $ $=58,2\,\mu H$ ${E_0} = 5,98\,V$
1.8- Échelon de tension:
1.8.1- cas a: solénoïde immobilisé; pour $t = 0$, la forme de l’équation différentielle imposant la continuité de l’intensité, elle s’intègre en:
$\frac{di}{dt}+{{R}_{b}}i={{U}_{0}}\quad \Rightarrow \quad $${{i}_{a}}\left( t \right)=\frac{{{U}_{0}}}{{{R}_{b}}}\left[ 1-\exp \left( -\frac{{{R}_{b}}}{}t \right) \right]$
1.8.1- cas b: solénoïde à vitesse uniforme; il suffit de changer ${U_0}$ en ${U_0} - {E_0}$, soit:
$\frac{di}{dt}+{{R}_{b}}i={{U}_{0}}-{{E}_{0}}\quad \Rightarrow \quad $${{i}_{b}}\left( t \right)=\frac{{{U}_{0}}-{{E}_{0}}}{{{R}_{b}}}\left[ 1-\exp \left( -\frac{{{R}_{b}}}{}t \right) \right]$

AN: ${i_a}{\left( t \right)_{\left[ A \right]}} = 27,2\exp \left( { - {{7,84.10}^3}t} \right)$ ${i_b}{\left( t \right)_{\left[ A \right]}} = 13,9\exp \left( { - {{7,84.10}^3}t} \right)$ Les exponentielles appartenant à la catégorie des « fonctions bien connues », seule l’allure des courbes a été tracée. 1.8.2- La constante de temps ne dépend pas du nombre de spires car elle vaut: ${{\tau }_{e}}=\frac{}{{{\text{R}}_{\text{b}}}}=\frac{{{\mu }_{0}}{{L}^{2}}\left( {{R}_{e}}-{{R}_{i}} \right)R}{2\rho \,\left( \text{4}{{\text{R}}^{\text{2}}}+{{\text{L}}^{\text{2}}} \right)}=128\,\mu s$

Deuxième partie: Étude thermique
2.1- Pertes Joule:
La puissance dissipée par effet Joule est égale à:
${P_J} = {R_b}{I^2} = \rho \frac{{{\rm{2}}\pi {\rm{R}}{{\rm{N}}^{\rm{2}}}}}{{{\rm{L}}\left( {{{\rm{R}}_{\rm{e}}} - {{\rm{R}}_{\rm{i}}}} \right)}}{\left[ {\delta \frac{L}{N}\left( {{{\rm{R}}_{\rm{e}}} - {{\rm{R}}_{\rm{i}}}} \right)} \right]^2}\quad \Rightarrow \quad $${P_J} = \pi \rho {\delta ^2}=L\left( {{R_e}^2 - {R_i}^2} \right) = 78,4\;W$
La densité volumique de puissance peut s’écrire directement, sans passer par ${P_J}$:
${p_J} = \rho {\delta ^2} = 32,0 \ MW/m^3$

2.2- Schéma équivalent:
2.2.1- Le schéma équivalent correspond à l’équation: ${P_J} = {C_{th}}\frac{{d\left( {\Delta \theta } \right)}}{{dt}} + \frac{{\Delta \theta }}{{{R_{th}}}}$.
La capacité thermique (et non calorifique) du solénoïde vaut: ${C_{th}} = c\varpi \pi \left( {{R_e}^2 - {R_i}^2} \right)$
Pour obtenir la résistance thermique d’échange, on exprime cet échange de deux façons:
$\frac{{\Delta \theta }}{{{R_{th}}}} = \alpha 2\pi {R_i}L\Delta \theta + \alpha 2\pi {R_e}L\Delta \theta \quad \Rightarrow \quad $${R_{th}} = \frac{1}{{\alpha 2\pi L\left( {{R_i} + {R_e}} \right)}}$
2.2.2- AN: ${C_{th}} = 425\;J.{K^{ - 1}}$ ${R_{th}} = 17,0\;K.{W^{ - 1}}$
2.2.3- Les échanges de chaleur se font par conduction, convexion et rayonnement.
2.3- Évolution de la température du solénoïde:

2.3.1- L’équation différentielle du 2.2.1- s’intègre comme celle du 1.8.1-: ${\theta _S} = {\theta _{amb}} + {P_J}{R_{th}}\left[ {1 - \exp \left( { - \frac{t}{{{R_{th}}{C_{th}}}}} \right)} \right]$ $\theta {}_S = 20 + 1333\left[ {1 - \exp \left( { - {{1,384.10}^{ - 4}}t} \right)} \right]$ À nouveau, seule l’allure du graphe est donnée. 2.3.2- La constante de temps vaut: ${\tau _{th}} = {R_{th}}{C_{th}} = 7,23\;ks$

2.3.3- Le calcul de la densité de courant est immédiat: ${P_J}{R_{th}} = 100\;K\quad \Rightarrow \quad $${\delta _P} = 11,0\;A.m{m^{ - 2}}$
2.3.4- La durée maximale est: ${t_{\max }} = - {\tau _{th}}\ln \left( {1 - \frac{{{\theta _{S\max }} - {\theta _{amb}}}}{{P{}_J{R_{th}}}}} \right) = 564\;s$
2.3.5.a- Physiquement, cela veut dire que la chaleur produite est restée dans la spire et n’a pas encore commencé à être évacuée vers l’extérieur; l’équation du 2.2.1- se résume à:
${P_J} \approx {C_{th}}\frac{{d\left( {\Delta \theta } \right)}}{{dt}}\quad \Rightarrow \quad $$\Delta \theta \left( t \right) \approx \frac{{{P_J}}}{{{C_{th}}}}t = \frac{{\rho L{\delta ^2}}}{{c\varpi }}t$ $\quad \Rightarrow \quad $$\Delta \theta \left( {{T_0}} \right) \approx 1,84\;^\circ C$
Mathématiquement, dans l’équation du 2.3.1-, on développe:$\exp \left( \varepsilon \right) \approx 1 + \varepsilon $.
2.3.5.b- On déduit de ce qui précède la densité maximale de courant: ${\delta _{\max }} \approx \sqrt {\frac{{c\varpi \left( {{\theta _{S\max }} - {\theta _{amb}}} \right)}}{{\rho L{T_0}}}} $
2.3.5.c- AN: ${\left( {{\delta _{\max }}} \right)_{Cu}} \approx 294\;A.m{m^{ - 2}}$ ${\left( {{\delta _{\max }}} \right)_{Al}} \approx 198\;A.m{m^{ - 2}}$
2.3.5.d- On calcule F à partir de la formule:
$F = \pi BL\delta \left( {{R_e}^2 - {R_i}^2} \right)$ $\quad \Rightarrow \quad $${F_{Cu}} = 576\;N$ $F{}_{Al} = 388\;N$
2.3.5.e- En régime permanent, ${P_J}{R_{th}} = \frac{\rho }{{2\alpha }}\left( {{R_e} - {R_i}} \right){\delta ^2} = \Delta \theta $, dont on déduit:
$\left\{ \begin{array}{l}{\delta _{Cu}} = 11,0\;A.m{m^{ - 2}}\; \Rightarrow \;{F_{Cu}} = 21,5\;N\\{\delta _{Al}} = 8,80\;A.m{m^{ - 2}}\; \Rightarrow \;{F_{Al}} = 17,2\;N\end{array} \right.$

Troisième partie: Étude électromécanique et thermique
3.1- Masse du solénoïde:
La masse du solénoïde est égale à: $M = \varpi \pi L\left( {{R_e}^2 - {R_i}^2} \right)\,;\quad {M_{Cu}} = 21,8\;g\,;\quad {M_{Al}} = 6,62\;g$

3.2- Solénoïde ouvert: L’équation différentielle $M\frac{{dv}}{{dt}} + \mu v = F$ s’intègre en: $v = \frac{{{F_0}}}{\mu }\left[ {1 - \exp \left( { - \frac{\mu }{M}t} \right)} \right]$ La constante de temps mécanique a pour valeur: ${\left( {{\tau _m}} \right)_{Cu}} = \frac{M}{\mu } = 0,218 \ s$

3.3- Solénoïde alimenté:
3.3.1- Les équations rappelées par l’énoncé sont les suivantes:
1.2.2-$\;{\rm{F = }}{{\rm{k}}_\phi }NI\;;$ 1.3.3- $E = N{k_\phi }v\;;$ 1.6.1- $U=E+\frac{dI}{dt}+{{R}_{b}}I$
Par élimination de I entre les équations: $M\frac{{dv}}{{dt}} + \mu v = {k_\phi }NI$, et: $U=N{{k}_{\phi }}v+\frac{dI}{dt}+{{R}_{b}}I$, on trouve:
$U=\frac{M}{{{k}_{\phi }}N}\frac{{{d}^{2}}v}{d{{t}^{2}}}+\frac{\mu +M{{R}_{b}}}{{{k}_{\phi }}N}\frac{dv}{dt}+\left( {{k}_{\phi }}N+\frac{{{R}_{b}}\mu }{{{k}_{\phi }}N} \right)v\ ;\ a=\frac{M}{{{k}_{\phi }}N}\ ;\ b=\frac{\mu +M{{R}_{b}}}{{{k}_{\phi }}N}\ ;\ c={{k}_{\phi }}N+\frac{{{R}_{b}}\mu }{{{k}_{\phi }}N}$
3.3.2- La première approximation: ${{\tau }_{e}}=\frac{}{{{R}_{b}}}<<{{\tau }_{m}}=\frac{M}{\mu }$ s’écrit: $\mu <<{{R}_{b}}M\quad \Rightarrow \quad b\approx \frac{M{{R}_{b}}}{{{k}_{\phi }}N}$.
La deuxième approximation conduit à: $c \approx {k_\phi }N$.
Une solution particulière est: $v = \frac{U_0}{c}$.
On cherche la solution générale de l’équation sans second membre sous la forme: $v = V\exp \left( { - \frac{t}{\tau }} \right)$; on aboutit à l’équation caractéristique: $c{\tau ^2} - b\tau + a = 0$, dont on supposera les racines réelles positives:
$\Delta = b{}^2 - 4ca \ge 0$;${\tau _1}{\tau _2} = \frac{a}{c} > 0$ et :${\tau _1} + {\tau _2} = \frac{b}{c} > 0$.
Il vient alors: ${\tau _1} = \frac{{b - \sqrt {{b^2} - 4ca} }}{{2c}}\;;\quad {\tau _2} = \frac{{b + \sqrt {{b^2} - 4ca} }}{{2c}}$
À partir de la solution: $v\left( t \right) = {V_A}\exp \left( { - \frac{t}{{{\tau _1}}}} \right) + {V_B}\exp \left( { - \frac{t}{{{\tau _2}}}} \right) + {V_C}$, les conditions initiales donnent:
$v\left( {t = 0} \right) = {V_A} + {V_B} + \frac{{{U_0}}}{c}\;;\quad {\left( {\frac{{dv}}{{dt}}} \right)_{t = 0}} = 0 = - \frac{{{V_A}}}{{{\tau _1}}} - \frac{{{V_B}}}{{{\tau _2}}}$
dont on tire: ${V_A} = \frac{{{U_0}}}{c}\frac{{{\tau _1}}}{{{\tau _2} - {\tau _1}}}\;;\quad {V_B} = - \frac{{{U_0}}}{c}\frac{{{\tau _2}}}{{{\tau _2} - {\tau _1}}}$, soit:
${{\tau }_{1}}=\frac{M{{R}_{b}}-\sqrt{{{\left( M{{R}_{b}} \right)}^{2}}-4M{{\left( {{k}_{\phi }}N \right)}^{2}}}}{2{{\left( {{k}_{\phi }}N \right)}^{2}}}\ ;\ {{\tau }_{2}}=\frac{M{{R}_{b}}+\sqrt{{{\left( M{{R}_{b}} \right)}^{2}}-4M{{\left( {{k}_{\phi }}N \right)}^{2}}}}{2{{\left( {{k}_{\phi }}N \right)}^{2}}}\ ;\ {{V}_{C}}=\frac{{{U}_{0}}}{{{k}_{\phi }}N}$
${{V}_{A}}=\frac{{{U}_{0}}}{{{k}_{\phi }}N}\frac{M{{R}_{b}}-\sqrt{{{\left( M{{R}_{b}} \right)}^{2}}-4M{{\left( {{k}_{\phi }}N \right)}^{2}}}}{2\sqrt{{{\left( M{{R}_{b}} \right)}^{2}}-4M{{\left( {{k}_{\phi }}N \right)}^{2}}}}\ ;\ {{V}_{B}}=-\frac{{{U}_{0}}}{{{k}_{\phi }}N}\frac{M{{R}_{b}}+\sqrt{{{\left( M{{R}_{b}} \right)}^{2}}-4M{{\left( {{k}_{\phi }}N \right)}^{2}}}}{2\sqrt{{{\left( M{{R}_{b}} \right)}^{2}}-4M{{\left( {{k}_{\phi }}N \right)}^{2}}}}$
L’hypothèse ${\tau _2} > > {\tau _1}$ implique ${V_A} < < {V_B}$ et $\exp \left( { - \frac{t}{{{\tau _1}}}} \right) < < \exp \left( { - \frac{t}{{{\tau _2}}}} \right)$; par suite:
$v\left( t \right) \approx \frac{{{U_0}}}{{{k_\phi }N}}\left[ {1 - \exp \left( { - \frac{t}{{{\tau _2}}}} \right)} \right]$

3.3.3- Plusieurs essais me conduisent toujours à un $\Delta $négatif, donc à un ${\tau _2}$ complexe, ce qui ne correspond pas à l’esprit dans lequel a été rédigé l’énoncé.
3.4- Analyse finale:
3.4.1- Les constantes de temps ont des ordres de grandeur très différents:
${\tau _e} = 128\;\mu s\quad < < \quad {\tau _m} = 0,218\;s\quad < < \quad {\tau _{th}} = 7,23\;ks$
3.4.2- La question 3.2- conduit au résultat: $a = \frac{{dv}}{{dt}} = \frac{{{F_0}}}{M}$
3.4.3- On calcule donc: ${a_{\max }} = \frac{{{F_{\max }}}}{M} = \left\{ \begin{array}{l}26,4\;mm.{s^{ - 2}}\;pour\;Cu\\58,6\;mm.{s^{ - 2}}\;pour\;Al\end{array} \right.$
3.4.4- De la question 2.3.5.e-, on tire: ${a_{\max C}} = \left\{ \begin{array}{l}0,986\;mm.{s^{ - 2}}\;pour\;Cu\\2,60\;mm.{s^{ - 2}}\;pour\;Al\end{array} \right.$
3.4.5- On constate que c’est l’aluminium qui s’avère le plus intéressant, contrairement à l’idée que l’on a couramment.

Concours Physique ESM de Saint-Cyr (M, P, T, TA) Physique 1995

Concours Physique ESM de Saint-Cyr (M, P, T, TA) Physique 1995 : énoncé, corrigé
Mouvements d’une tige cylindrique. Diverses compressions d’un système fluide.

Concours Physique ESM de Saint-Cyr (M, P, T, TA) Physique I 1995

Concours Physique ESM de Saint-Cyr (M, P, T, TA) Physique I 1995 : énoncé, corrigé
Électronique (AOp réel). Étude électronique d’un câble coaxial, en régime continu, en régime variable.

Concours Physique ENSAM Physique-Chimie 1995

Concours Physique ENSAM Physique-Chimie 1995 : énoncé, corrigé

Installation de compression d’air. (compresseur, remplissage d’air. Décomposition de l’hydrazine. Solubilité du chlorure d’argent. Diagramme potentiel-pH simplifié de l’iode.

Concours Physique ENSAM 1995

Concours Physique ENSAM 1995 : énoncé, corrigé

Électricité : circuit industriel en courant alternatif.

Concours Physique ENSAM 1995

Concours Physique ENSAM 1995 : énoncé, corrigé
Mécanique : Interaction gravitationnelle de deux masses.

Concours Physique ENSAM 1995

Concours Physique ENSAM 1995 : énoncé, corrigé
Optique : Étude d’un modèle simplifié de guidage de rayons lumineux. Mécanique : Interaction gravitationnelle de deux masses.

Concours Physique Spécial T’ Physique II 1995

Concours Physique Spécial T’ Physique II 1995 : énoncé, corrigé
Magnétostatique, nappe de courant. Rayonnement, constante de Stefan. Optique, l’arc en ciel.

Concours Physique Spécial T’ Physique I 1995

Concours Physique Spécial T’ Physique I 1995 : énoncé, corrigé
Filtre RLC série. Stabilité dans un champ à fluctuations rapides.

Concours Physique TPE (deuxième problème) 1995

Concours Physique TPE (deuxième problème) 1995 : énoncé, corrigé
Optique du prisme. Interférences par un biprisme.

Concours Physique TPE (épreuve commune) 1995

Concours Physique TPE (épreuve commune) 1995 : énoncé, corrigé
Télescope. Trous d’Young. Ailette de refroidissement. Conduction entre deux sphères. Conduction entre deux plans.

Concours Physique Concours Communs Polytechniques CCP PP’ Physique II 1995

Concours Physique Concours Communs Polytechniques CCP PP’ Physique II 1995 : énoncé, corrigé
Modèle simple de milieu de propagation. Propagation dans un milieu isotrope soumis à un champ magnétique statique : effet Faraday. Étude d’un capteur de force optique. Étude d’un système électronique de mesure.

Concours Physique Concours Communs Polytechniques CCP Physique II 1995

Concours Physique Concours Communs Polytechniques CCP Physique II 1995 : énoncé, corrigé
Ondes longitudinales dans un milieu continu. Ondes élastiques dans un réseau cristallin unidimensionnel monoatomique. Ondes dans un réseau biatomique. Étude simplifiée de l’action d’une onde électromagnétique sur un cristal ionique unidimensionnel (absorption de photons IR)

Concours Physique Concours Communs Polytechniques CCP (problèmes 2 et 3) 1995

Concours Physique Concours Communs Polytechniques CCP (problèmes 2 et 3) 1995 : énoncé, corrigé
Thermodynamique (vidange d’un réservoir. Aspiration compression refoulement par une pompe. Rejet dans l’atmosphère. Remise en pression).
Mécanique des fluides compressibles (tuyère convergente-divergente).

Concours Physique Concours Communs Polytechniques CCP (problème 1) 1995

Concours Physique Concours Communs Polytechniques CCP (problème 1) 1995 : énoncé, corrigé
Mécanique du solide

Physique Centrale P’ 1995

Physique Centrale P’ 1995 : énoncé, corrigé
Étude d’une onde de Zenneck. Ordres de grandeur en thermodynamique.

Concours Physique Mines-Ponts 1995

Concours Physique Mines-Ponts 1995 : énoncé, corrigé
Voyage au centre de la terre.

Concours Physique Mines-Ponts MP’ (deuxième partie) Physique I 1995

Concours Physique Mines-Ponts MP’ (deuxième partie) Physique I 1995 : énoncé, corrigé
Modulation de fréquence