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Concours Physique ENS Ulm (C/S) M' 1995 (Corrigé)

ULM M’ 95
1.1°) A3=ρA1+τA2 et A4=τA1+ρA2
I3=A3A3=|ρ|2|A1|2+|τ|2|A2|2+ρτA1A2+ρτA1A2
I4=A4A4=|τ|2|A1|2+|ρ|2|A2|2+ρτA1A2+ρτA1A2
1.2°) Conservation de l’énergie: I3+I4=I1+I2=(|ρ|2+|τ|2)I1+(|ρ|2+|τ|2)I2+(ρτ+τρ)A1A2+(ρτ+τρ)A1A2
A2=0|ρ|2+|τ|2=1 et A1=0|ρ|2+|τ|2=1
Il reste (ρτ+τρ)A1A2+(ρτ+τρ)A1A2=0 soit Re{(ρτ+τρ)A1A2}=0, valable l’argument de A1A2 d’où ρτ+τρ=0
1.3°.α) ρ=ρ=ir et τ=τ=t r2+t2=1 et irtirt=0
1.3°.β) ρ=ρ=r et τ=τ=t r2+t2=1 et rtrt=0
Pour décider de l’un ou l’autre cas, il faut imaginer que la réflexion se fait sur un plan de référence (π) et que le déphasage est du à un parcours dans l’épaisseur d’un dépôt métallique. En plus le plan de référence peut produire un déphasage de 0 ou π mais il est le même que le rayon arrive à gauche ou à droite.
Dans le cas α, le plan de référence est au milieu d’une couche métallique; un déphasage de π2 se fait selon le trajet AIB pour le rayon de gauche et selon CID pour le rayon de droite.
Dans le cas β, le plan de référence est confondu avec une des faces de la lame métallique; un déphasage de π se fait selon IAB pour le rayon de gauche et aucun déphasage pour le rayon de droite.
Dans le Fabry-Pérot (dépôt métallique sur verre), c’est le cas réalisé.
2.1°) On prend ρ=ρ=r et τ=τ=t et on pose φ=4πdλ=4πνdc
Les lames sont supposées symétriques l’une de l’autre par rapport au plan médian.
Les amplitudes indiquées dans la lame sont les valeurs à droite pour l’onde se propageant vers la droite et les valeurs à gauche pour l’onde se propageant vers la gauche (sans indication des facteurs exponentiels).
A1A0=ττejφ2q=0ρ2qejqφ A1A0=t2ejφ21r2ejφ
I1I0=(1r2)21+r42r2cosφ
I1I0=11+msin2φ2 avec m=4r2(1r2)2 soit m=4ε2
A2A0=ρ+ττρejφq=0ρ2qejqφ=ρ(1t2ejφ1r2ejφ)=ρ1ejφ1r2ejφ
I2I0=msin2φ21+msin2φ2 avec m=4ε2; on bien I1+I2=I0 (ainsi, on aurait pu avoir I2 à partir de I1); la période en φ=4πνdc est égale à 2π I1 et I2 sont périodiques en fréquence de périodicité Δν=c2d
2.2°) ε<<1m=4ε2>>1.
On a un maximum de I1 égal à I0 si φ=2qπ soit si d=qc2ν et un minimum égal à I01+m voisin de 0 si φ=(2q+1)π soit si d=(q+12)c2ν; la courbe représentative est donnée ci-contre.
Soit 2ξ la largeur à mi-hauteur d’un pic avec ξtel que d=qc2ν±ξ φ=2πq±4πνξc et I1=I02 msin2(πq±2πνξc)=1 sin(2πνξc)=±1m et donc 2ξ=cπνm<<c2ν les pics sont très étroits.
2.3°) Entre deux pics successifs Δd=c2ν=λ2 (la moitié de la longueur d’onde).
2.4°) Si νν+dν, les abscisses des pics associés à ν sont dq=qc2ν et celles des pics associés à ν+dν sont dq=qc2(ν+dν); on obtient une série de doubles pics.
2.5°) A la limite de séparation le bord droit, à mi-hauteur, d’un pic, coïncide avec le bord gauche, à mi-hauteur de l’autre pic.
La courbe ci-contre représente les deux pics dans cette position et la courbe résultante.
On aura séparation si dqdq>2ξ soit si qc2(1ν1ν+dν)>2ξ=2πνm δν>2νqπm
Mais d=qc2ν δν=cdπm ou δνm=εc2πd
2.6°) ε=103etm=4.106 δνm=106Hz
d=qc2ν Δd=dΔνν or ν=cλ=4.74.1014Hz
soit Δd=1010m
2.7°) Le double pic peut être dû au voisinage d’un pic d’ordre q pour la radiation de longueur d’onde λet d’un pic d’ordre q+p pour la radiation de longueur d’onde λ+dλ: dλ=qλ2 et dλ+dλ=(q+p)λ+dλ2; on a confusion des deux pics si dλ=dλ+dλ d=pλ22Δλ avec p=±1,±2,...; pour Δν de l’ordre de Δνm, d=pcΔνm=300p soit 300 m pour p=±1; or d=5cm; pour des raies de structure hyperfine:
on peut conclure avec certitude.
2.8°) I1max=I0
2.9°) I1+I2=I0
2.10°) AA0=ρτejφ2q=0ρ2qejqφ=ρτejφ21ρ2ejφ II0=1εε11+msin2φ2
AA0=τq=0ρ2qejqφ=τ1ρ2ejφ II0=1ε11+msin2φ2
ε<<1 II+1ε11+msin2φ2 avec m=4ε2; il y a résonance pour I=I0.
2.11°) A travers une surface S parallèle aux miroirs, entre eux, le flux du vecteur de Poynting est π.S=(π+π).S et représente le différence entre le flux d’énergie dû à l’onde + et celui dû à l’onde -.
2.12°) Avec n entier relatif: φ=2πn+4πdc(ννn); à mi-hauteur sin2πdc(ννn)=±1m d’où δν=cdπm et I1I0=11+4(ννmΔν)2.
Le facteur 4 a été oublié dans le texte qui précisait bien largeur à mi-hauteur et non demi-largeur à mi-hauteur.
Q=νnΔν=dπmνc=2dπνεc=2dπελ Q=5.108
2.13°) On tient compte des durées de propagation; on étudie le régime transitoire du Fabry-Pérot; on prend la date t=0 quand le premier rayon transmis sort de l’appareil.
A1A0=t2nl=0r2lejlφ avec φ=2qπ (résonance) soit A1A0=t2nl=0r2l=1r2(n+1) et I1I0=[1r2(n+1)]2 avec n=ct2d; I1 tend vers zéro quand n tend vers l’infini; on se ramène à I1I0=[1rctd]2 après un décalage des temps légitime de 2d/c quand on passe d’une fonction discontinue en escalier à une fonction continue.
A1A0=t2nl=0r2lejlφ=r2n+1 et I2I0=r2(2n+1); I2 tend vers zéro quand n tend vers l’infini.
2.14°) r2=1εeε I1(t)=I0(1eεct2d)2; on ne trouve pas la formule du texte dans lequel l’exposant 2 a vraisemblablement été oublié.
2.15°) τc=2dcε
2.16°) τcΔν=1π (on trouve τcΔν=12π en prenant la demi-largeur à demi-hauteur).
2.17°) A l’instant initial, l’onde arrête d’émerger du Fabry-Pérot; la série géométrique est tronquée au début alors que c’était à la fin en 2.13°; A1A0=(A1A0)n(2.13)(A1A0)(2.13)=r2(n+1)d’où I1I0=r4(n+1) et I1I0=eεctd
et de même: A2A0=(A2A0)n(2.13)(A2A0)(2.13)=r2n+1d’où I2I0=r2(2n+1) et I2I0=eεctd
2.18°) Pour les deux intensités, la limite, quand n tend vers l’infini, est nulle alors qu’en 2.13° elle est I0 et 0 respectivement.
2.19°) L’onde n’est pas résonnante: si n, pour l’établissement: I1I011+msin2φ2 et I2I0msin2φ21+msin2φ2 alors que pour la rupture, les deux intensités tendent vers zéro.
2.20°) On indique « lentement » car il faut qu’un régime quasi-stationnaire soit réalisé et donc que la durée de déplacement soit très supérieure au temps de stockage de la cavité.
3.1°) On considère 2 miroirs identiques (pas dit dans le texte): AM1A1M2A2M1A3M2A4
¯FA1.¯FA=¯FA1.¯FA2 (formule de conjugaison de Newton) implique qu’après deux réflexions l’image A2 se confond avec l’objet A; le grandissement transversal, selon les formules de Newton, après ces deux réflexions est γt=f2¯FA1.¯FA1f1=1 et l’image d’un petit objet rectiligne perpendiculaire à l’axe est renversée; après 4 réflexions, deux sur chaque miroir, l’image d’un petit objet rectiligne perpendiculaire à l’axe se confond avec l’objet. D’après la relation de Lagrange-Helmoltz Gγt=1 pour un miroir et +1 pour un nombre pair de miroirs; on a donc le grandissement angulaire G=1.
Après 4 réflexions le rayon repart du même point de l’axe dans les mêmes direction et sens.
3.2°) L = 2f = R (rayon des miroirs)
Soit A le point sur l’axe de révolution; tout rayon issu de A repasse en A après 4 réflexions, dans le cadre de l’approximation de Gauss, d’où: (AA4)=4L=8f=4R; le chemin optique ne dépend pas du rayon considéré (stigmatisme approché); il ne dépend pas de l’angle d’inclinaison; en posant φ=8πνRc, on a le tableau suivant des amplitudes internes (juste avant sortie de la cavité):
Faisceau 1 Faisceau 2 Faisceau 3 Faisceau 4
Passage 1 A0τejφ0 A0τρejφ1 A0τρ2ejφ2 A0τρ3ejφ
Passage 2 A0τρ4ejφ0ejφ A0τρ5ejφ1ejφ A0τρ6ejφ2ejφ A0τρ7e2jφ
Passage 3 A0τρ8ejφ0e2jφ A0τρ9ejφ1e2jφ A0τρ10ejφ2e2jφ A0τρ11e3jφ
φ0,φ1,φ2,φ sont les déphasages le long des trajets internes.
A1A0=ττejφ0q=0ρ4qejqφ=t2ejφ01r4ejφ I1I0=(1r2)2(1r4)2+4r4sin2φ2
A2A0=ττρejφ1q=0ρ4qejqφ=rt2ejφ11r4ejφ I2I0=r2(1r2)2(1r4)2+4r4sin2φ2
A3A0=ττρ2ejφ2q=0ρ4qejqφ=r2t2ejφ21r4ejφ I3I0=r4(1r2)2(1r4)2+4r4sin2φ2
A4A0=ρ+ττρ3ejφq=0ρ4qejqφ=r(1r2ejφ)1r4ejφ I4I0=r2[(1r2)2+4r2sin2φ2](1r4)2+4r4sin2φ2
On vérifie que la somme des quatre intensités est l’intensité incidente.
3.3°) Le trajet admet z’z comme axe de symétrie d’où φ2φ0=φ2 et A3A1=r2ejφ2; à la résonance φ=2qπ
A1etA3 sont en phase si q est pair et en opposition de phase si q est impair.
3.4°) Les rayons (1) et (3) sont confondus avec z’z; on se retrouve dans le cas d’un Fabry-Pérot plan-plan d’où I13I0=(1r2)21+r42r2cosφ2 ce qu’on retrouve mais par un calcul compliqué en faisant interférer les ondes (1) et (3).
4.1°) Du fait de la symétrie de révolution (xOz et yOz, plans de symétrie équivalents), on peut montrer facilement qu’entre grandeurs de sortie et grandeurs d’entrée, pour un rayon quelconque: (xn+1αn+1yn+1βn+1)=(ab00cd0000ab00cd)(xnαnynβn)
Ceci revient à étudier la projection d’un rayon sur les plans xOz et yOz; il suffit d’étudier la marche d’un rayon méridien.
4.2°) On obtient quatre relations:
a) Dans le vide de gauche à droite: yn=yn+αnL
b) Réflexion sur M2 , à droite: avec la relation de conjugaison (origine au sommet): αn=αn2yn¯S2C2
c) Dans le vide de droite à gauche: yn+1=ynαnL
d) Réflexion sur le miroir de gauche M1: αn+1=αn2yn+1¯S1C1
D’où par éliminations successives, la relation matricielle: (yn+1αn+1)=(1+2L¯S2C22L(1+L¯S2C2)2¯S2C22¯S1C14L¯S1C1¯S2C21+2L¯S2C24L¯S1C1(1+L¯S2C2))(ynαn)
On remarque que le déterminant de la matrice de transfert vaut l’unité; on peut le voir par calcul direct ou bien en calculant la matrice comme produit de quatre matrices élémentaires chacune de déterminant unité.
4.3°) (ynαn)=Mn(y0α0); dans la base des vecteurs propres de M, M et sa puissance n sont diagonales d’éléments diagonaux les valeurs propres: (λ1,λ2) et (λn1,λn2); on en déduit que la solution dans la base des vecteurs propres est Yn=λn1Y0 et An=λn2A0; à l’aide de la matrice de changement de base, on repasse dans la base initiale; yn et αn sont donc combinaisons linéaires de λn1etλn2; les coefficients ne dépendent pas de n; l’équation aux valeurs propres, avec le déterminant de la matrice de transfert égal à l’unité est: λ2λtrace(M)+1=0; on en déduit que le produit des valeurs propres (complexes) vaut l’unité: λ1λ2=1; les valeurs propres peuvent s’écrire sous la forme: λ1=ρeiθ et λ2=1ρeiθ; si ρ1 l’une des racines a un module supérieur à l’unité et donc yn et αn divergent quand n devient grand: il y a instabilité. Pour avoir stabilité, il faut ρ=1.
4.4°) Les deux valeurs propres sont imaginaires: λ1=eiθ et λ2=eiθ; de ce fait: trace(M)=a+d=2cosθ; la condition de stabilité est donc: 2a+d2 soit en remplaçant a et d par leurs valeurs et en posant gi=1LRi le résultat: 0g1g21.
4.5°) Le domaine de stabilité est compris entre les deux branches de l’hyperbole équilatère.
Pour le Fabry-Pérot plan-plan les rayons de courbures sont infinis: le point (1,1) est le point représentatif.
Pour le Fabry-Pérot confocal les rayons sont égaux à L, le point représentatif est l’origine des axes.
4.6°) On veut yn=y0, xn=x0, αn=α0, βn=β0 Mn=I (matrice unité); dans la base des vecteurs propres, cette propriété reste vraie d’où λn1=1etλn2=1 et du fait que le produit des valeurs propres vaut l’unité: λ1=e2πiqn et λ1=e2πiqn; d’où λ1+λ2=2cos2πqn=a+d; avec les rayons égaux cos2πqn=14LR+2L2R2 ce qui conduit à l’équation (LR)22(LR)+sin2πqn=0 de racines LR=1±cosqπn q{0..n1}.
4.7°) xketyk sont combinaisons linéaires de λk1etλk2 avec des coefficients indépendants de k; on en déduit xk=Acos(2πkqn+φx) et yk=Acos(2πkqn+φy); il suffit que qk{0..n1} pour avoir toutes les valeurs possibles; on a bien n taches qui se répartissent sur une ellipse définie par son équation paramétrique.
4.8°) Si le trou est assez petit, le faisceau ne ressort plus quand L n’a pas exactement une des valeurs précédentes mais les taches en grand nombre, recouvrent une courbe proche de l’ellipse.
4.9°) Cavité multipassage: si n est élevé, le faisceau sera très affaibli (multiplication de l’intensité par r2n); pour le Fabry-Pérot sphérique, à résonance, I4=I04; il est meilleur du point de vue de l’intensité émergente.
5.1°) ΔE1c22Et2=0 et ΔB1c22Bt2=0
5.2°) Pour un métal parfait, en son voisinage: E=σε0n et B=μ0jsn
5.3°) divE=0fy=0 soit f=f(x,z)
5.4°) 2fx2+2fz2+ω2c2f=0
5.5°) Méthode de séparation des variables:f(x,z)=h(x)k(z)h; pour pouvoir assurer les conditions limites, il faut: \frac{h''}{h}=-{{\alpha }^{2}}, \frac{k''}{k}=-{{\gamma }^{2}} avec {\alpha ^2} + {\gamma ^2} = \frac{{{\omega ^2}}}{{{c^2}}}; les solutions sont sinusoïdales
et données par h = A\cos \alpha x + B\sin \alpha x et k = A\cos \gamma z + B\sin \gamma z;
Pour x = \pm \frac{X}{2} le champ électrique doit être normal \Rightarrow \vec E = 0 et h( \pm X/2) = 0 \Rightarrow A\cos \frac{{\alpha X}}{2} + B\sin \frac{{\alpha X}}{2} = A\cos \frac{{\alpha X}}{2} - B\sin \frac{{\alpha X}}{2} = 0 et donc \alpha = {n_1}\frac{\pi }{X} {n_1} \in \aleph
Pour z = \pm \frac{Z}{2} le champ électrique doit être normal \Rightarrow \vec E = 0 et k( \pm Z/2) = 0 \Rightarrow
C\cos \frac{{\gamma Z}}{2} + D\sin \frac{{\gamma Z}}{2} = C\cos \frac{{\gamma Z}}{2} - D\sin \frac{{\gamma Z}}{2} = 0 et donc \gamma = {n_2}\frac{\pi }{Z} {n_2} \in \aleph
Selon la parité de ces entiers: f(x,z) = {E_0}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos \alpha x}\\{ou}\\{\sin \alpha x}\end{array}} \right)x\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos \gamma z}\\{ou}\\{\sin \gamma z}\end{array}} \right); la solution du texte n’est valable que si les deux entiers sont impairs.
5.6°) \alpha = {n_1}\frac{\pi }{X} \gamma = {n_2}\frac{\pi }{Z}
5.7°) \frac{{{\omega ^2}}}{{{c^2}}} = \left( {\frac{{n_1^2}}{{{X^2}}} + \frac{{n_2^2}}{{{Z^2}}}} \right){\pi ^2} {n_1}\;et\;{n_2} \in \aleph
5.8°) On a une condition de résonance analogue à d = q\frac{c}{{2\nu }}
5.9°) f(z) = {E_0}\cos \frac{{n\pi z}}{Z} si n est impair ou f(z) = {E_0}\sin \frac{{n\pi z}}{Z} si n est pair; \vec E = {E_0}\cos \frac{{n\pi z}}{Z}{\mathop{\rm Re}\nolimits} ({e^{i\omega t}}){\vec e_y} si n est impair.
5.10°) \vec j = \sigma \vec E; on fait l’hypothèse que la conductivité est réelle; l’équation de Maxwell-Ampère en régime sinusoïdal forcé s’écrit: \vec \nabla \wedge \vec B = {\mu _0}(\sigma + i{\varepsilon _0}\omega )\vec E et donc \vec \nabla \wedge \vec B \approx {\mu _0}\sigma \vec E si \sigma > > {\varepsilon _0}\omega ; d’après l’équation de Maxwell-Faraday \vec \nabla \wedge \vec E = - \frac{{\partial \vec B}}{{\partial t}} et la formule de calcul vectoriel \vec \nabla \wedge (\vec \nabla \wedge \vec E) = \vec \nabla (\vec \nabla .\vec E) - \vec \Delta \vec E, on obtient l’équation \Delta \vec E = {\mu _0}\sigma \frac{{\partial \vec E}}{{\partial t}}.
5.11°) \vec E = \vec e(z){e^{i\omega t}} \Rightarrow \frac{{{\partial ^2}\vec e}}{{\partial {z^2}}} = \frac{{2i}}{{{\delta ^2}}}\vec e avec {\delta ^2} = \frac{2}{{{\mu _0}\sigma \omega }} et \vec e = \vec K{e^{ \pm \frac{{1 + i}}{\delta }z}}
La solution générale est combinaison linéaire des deux solutions: \vec{E}=\vec{E}{{'}_{0}}{{e}^{-\frac{1+i}{\delta }z}}{{e}^{i\omega t}}+\vec{E}{{''}_{0}}{{e}^{\frac{1+i}{\delta }z}}{{e}^{i\omega t}} soit
\vec{E}=\vec{E}{{'}_{0}}{{e}^{-\frac{z}{\delta }}}{{e}^{i(\omega t-\frac{z}{\delta })}}+\vec{E}{{''}_{0}}{{e}^{+\frac{z}{\delta }}}{{e}^{i(\omega t+\frac{z}{\delta })}}. Pour une propagation selon Oz: \vec E = \vec E{'_0}{e^{ - \frac{z}{\delta }}}{e^{i(\omega t - \frac{z}{\delta })}}; en plus le champ est transverse.
5.12°) Dans le métal:
\vec \nabla \wedge \vec E = - i\omega \vec B \Rightarrow \vec B = \frac{i}{\omega }\left( {\frac{{1 + i}}{\delta }} \right)({E_{0y}}{\vec e_x} - {E_{0x}}{\vec e_y}){e^{ - \frac{{1 + i}}{\delta }z}}{e^{i\omega t}} ou \vec B = \frac{{i - 1}}{{\omega \delta }}(\vec E{'_0} \wedge {\vec e_z}){e^{ - \frac{{1 + i}}{\delta }z}}{e^{i\omega t}}
Dans le vide:
\vec E = {E_0}\cos \alpha z{e^{i\omega t}}{\vec e_y} et \vec B = \frac{1}{{i\omega }}\frac{{\partial E}}{{\partial z}}{\vec e_x} \Rightarrow \vec B = i\frac{{{E_0}\alpha }}{\omega }\sin \alpha z\;{e^{i\omega t}}{\vec e_x}; or \alpha = \frac{\omega }{c} est la norme du vecteur d’onde \Rightarrow \vec B = i\frac{{{E_0}}}{c}\sin \alpha z\;{e^{i\omega t}}{\vec e_x}
5.13°) En z=Z/2, on écrit:
la continuité du champ électrique selon y’y: E{'_0}{e^{ - (1 + i)\frac{z}{{2\delta }}}} = {E_0}\cos \alpha \frac{Z}{2}
la continuité du champ magnétique (pas de courants surfaciques) selon x’x: \alpha {E_0}\sin \alpha \frac{Z}{2} = \frac{{(i - 1)}}{{\delta \omega }}E{'_0}{e^{ - \frac{{(1 + i)}}{{2\delta }}Z}}
Pour avoir des champs non nuls, il faut que le déterminant du système soit nul: \tan \alpha \frac{Z}{2} = \frac{{1 + i}}{{\delta \alpha }}.
5.14°) Avec les expressions de \delta et de \alpha on a \tan \omega \frac{Z}{{2c}} = (1 + i)\sqrt {\frac{\sigma }{{2{\varepsilon _0}\omega }}} et {\omega _0} = p\pi \frac{c}{Z} = (2q + 1)\pi \frac{c}{Z} (p est impair car le champ électrique est en cosinus); on a \omega = {\omega _0} + \varepsilon \Rightarrow \tan \left( {(q + \frac{1}{2})\pi + \varepsilon \frac{Z}{{2c}}} \right) = (1 + i){\left( {\frac{\sigma }{{2{\varepsilon _0}\omega }}} \right)^{\frac{1}{2}}}
Au premier ordre près, on peut remplacer \omega par {\omega _0} et du fait que deux angles complémentaires ont des tangentes dont le produit vaut 1, on a: - \frac{1}{{\tan \frac{{\varepsilon Z}}{{2c}}}} \approx (1 + i)\sqrt {\frac{\sigma }{{2{\varepsilon _0}{\omega _0}}}} ; en assimilant la tangente à l’angle et en remplaçant {\omega _0} par sa valeur, on obtient la formule du texte: \omega = \frac{c}{Z}\left( {p\pi - \sqrt {\frac{{2{\varepsilon _0}{\omega _0}}}{\sigma }} + i\sqrt {\frac{{2{\varepsilon _0}{\omega _0}}}{\sigma }} } \right)
5.15°) {e^{i\omega t}} = {e^{i\frac{c}{Z}\left( {p\pi - \sqrt {\frac{{2{\varepsilon _0}{\omega _0}}}{\sigma }} } \right)t}}{e^{ - \sqrt {\frac{{2{\varepsilon _0}{\omega _0}}}{\sigma }} \frac{c}{Z}t}} \Rightarrow amortissement temporel de constante de temps \tau = \frac{Z}{c}\sqrt {\frac{\sigma }{{2{\varepsilon _0}{\omega _0}}}} ; c’est comparable au régime transitoire du Fabry-Pérot quand on enlève la source (2.17°).
5.16°) \vec \pi = \frac{{\vec E \wedge \vec B}}{{{\mu _0}}} = \frac{{(\vec E + {{\vec E}^*}) \wedge (\vec B + {{\vec B}^*})}}{{4{\mu _0}}} = \frac{{(\vec E \wedge \vec B + {{\vec E}^*} \wedge {{\vec B}^*} + {{\vec E}^*} \wedge \vec B + \vec E \wedge {{\vec B}^*})}}{{4{\mu _0}}} \Rightarrow
\left\langle {\vec \pi } \right\rangle = \frac{{(\vec E \wedge {{\vec B}^*} + {{\vec E}^*} \wedge \vec B)}}{{4{\mu _0}}}=\frac{{{\mathop{\rm Re}\nolimits} ({{\vec E}^*} \wedge \vec B)}}{{2{\mu _0}}} ; or \vec E(Z/2,t) = {E_0}\cos \alpha \frac{Z}{2}\;{e^{i\omega t}}{\vec e_y} et \vec B(Z/2,t) = i\frac{{{E_0}}}{c}\sin \alpha \frac{Z}{2}\;{e^{i\omega t}}{\vec e_x} \Rightarrow \left\langle {\vec \pi } \right\rangle = -\frac{{E_0^2}}{{2{\mu _0}c}}{\mathop{\rm Re}\nolimits} [i{(\cos \alpha \frac{Z}{2})^*}\sin \alpha \frac{Z}{2}]{\vec e_z} puis 5.13° \Rightarrow \left\langle {\vec \pi } \right\rangle = -\frac{{E_0^2}}{{2{\mu _0}c}}{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left[ {\frac{{i(1 + i)}}{{\delta \alpha }}\;{{\left| {\cos \alpha \frac{Z}{2}} \right|}^2}} \right]{\vec e_z} = \frac{{E_0^2}}{{2{\mu _0}}}\frac{{{{\left| {\cos \alpha \frac{Z}{2}} \right|}^2}}}{{\delta \omega }}\;{\vec e_z}
On remplace \alpha = \frac{\omega }{c} et \omega par leurs valeurs ce qui donne:
\left\langle {\vec \pi } \right\rangle = \frac{{{\varepsilon _0}cE_0^2}}{2}\sqrt {\frac{\sigma }{{2{\varepsilon _0}{\omega _0}}}} \left( {c{h^2}\sqrt {\frac{{2{\varepsilon _0}{\omega _0}}}{\sigma }} - {{\sin }^2}\left( {(2n + 1)\frac{\pi }{2} - \sqrt {\frac{{2{\varepsilon _0}{\omega _0}}}{\sigma }} } \right)} \right){\vec e_z}.
En remplaçant le carré du sinus par celui du cosinus de l’angle complémentaire et en effectuant un développement limité au premier ordre en \frac{{{\varepsilon _0}{\omega _0}}}{{2\sigma }}, on obtient: \left\langle {\vec \pi } \right\rangle = \frac{{{\varepsilon _0}cE_0^2}}{4}\sqrt {\frac{{2{\varepsilon _0}{\omega _0}}}{\sigma }} {\vec e_z}.
La densité moyenne d’énergie est \left\langle w \right\rangle = \frac{{{\varepsilon _0}}}{4}\vec E.{\vec E^*} + \frac{{{\varepsilon _0}{c^2}}}{4}\vec B.{\vec B^*} et après calcul \left\langle w \right\rangle = \frac{{{\varepsilon _0}E_0^2}}{4}ch2\sqrt {\frac{{2{\varepsilon _0}{\omega _0}}}{\sigma }} \frac{z}{Z}; on peut alors calculer l’énergie dans la cavité par intégration sur son volume:
W = \int\limits_{ - \frac{Z}{2}}^{\frac{Z}{2}} {wSdz} = \frac{{{\varepsilon _0}E_0^2S}}{4}\frac{{sh\sqrt {\frac{{2{\varepsilon _0}{\omega _0}}}{\sigma }} }}{{\frac{1}{Z}\sqrt {\frac{{2{\varepsilon _0}{\omega _0}}}{\sigma }} }} et par développement limité au premier ordre: W = \frac{{{\varepsilon _0}E_0^2}}{4}SZ
La puissance perdue dans le métal est P = 2\left\langle {\vec \pi .\vec S} \right\rangle = 2Wc\sqrt {\frac{{2{\varepsilon _0}{\omega _0}}}{\sigma }} en tenant compte des deux faces dans la cavité et par ailleurs P = - \frac{{dW}}{{dt}}; on obtient une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants en W dont l’intégration donne W = {W_0}{e^{ - \frac{t}{{\tau '}}}} avec \tau ' = \sqrt {\frac{\sigma }{{2{\varepsilon _0}{\omega _0}}}} \frac{Z}{{2c}} = \frac{\tau }{2} (\tau de 5.15°); quand on passe de l’amplitude à l’énergie, l’exposant est divisé par 2; l’énergie varie plus rapidement que l’amplitude.
6.1°) L’onde est voisine d’une onde plane: la dépendance en z (passage par toutes les valeurs de {e^{ - ikz}}) est contenue dans {e^{ - ikz}} dont la variation se fait sur la longueur caractéristique \lambda (longueur d’onde); u varie donc peu sur une distance de quelques longueurs d’onde.
Par ailleurs, le faisceau est étroit et donc limité latéralement; u varie rapidement avec x et y alors qu’il varie lentement en z. D’où: \left| {\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {z^2}}}} \right| < < \left| {\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}}} \right|\;et\;\left| {\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {y^2}}}} \right| et \left| {\frac{{\partial u}}{{\partial z}}} \right| < < \frac{{\left| u \right|}}{\lambda }
6.2°) Le champ électrique vérifie: \frac{{{\partial ^2}E}}{{\partial {x^2}}} + \frac{{{\partial ^2}E}}{{\partial {y^2}}} + \frac{{{\partial ^2}E}}{{\partial {z^2}}} + \frac{{{\omega ^2}}}{{{c^2}}}E = 0; il suffit de le remplacer par u(x,y,z){e^{i(\omega t - kz)}} avec k = \frac{\omega }{c} pour obtenir \frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}} + \frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {y^2}}} + \frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {z^2}}} - 2ik\frac{{\partial u}}{{\partial z}} = 0; or k = \frac{{2\pi }}{\lambda }; en tenant compte des approximations: \frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}} + \frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {y^2}}} - 2ik\frac{{\partial u}}{{\partial z}} = 0 équation d’onde paraxiale.
6.3°) Pour une onde sphérique divergente en M(x,y,z), issue de O(0,0,0), en appelant r la distance à OM le champ est E = \frac{{{E_0}}}{r}{e^{ - ikr}}{e^{i\omega t}} avec r = \sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}} ; en z>0 E = \frac{{{E_0}}}{{\sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}} }}{e^{ikz\left( {1 - \sqrt {1 + \frac{{{x^2} + {y^2}}}{{{z^2}}}} } \right)}}{e^{i(\omega t - kz)}} d’où {u_S}(x,y,z) = \frac{{{E_0}}}{{\sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}} }}{e^{ikz\left( {1 - \sqrt {1 + \frac{{{x^2} + {y^2}}}{{{z^2}}}} } \right)}}. Pour une onde sphérique convergente en O, en z<0, on aurait la même expression.
6.4°) Si z >> x et y, alors u{'_S}(x,y,z) = \frac{{{E_0}}}{z}{e^{ - ik\left( {\frac{{{x^2} + {y^2}}}{{2z}}} \right)}}
6.5°) \frac{{{\partial ^2}u{'_S}}}{{\partial {x^2}}} = - ik\frac{{{E_0}}}{{{z^2}}}{e^{ - ik\left( {\frac{{{x^2} + {y^2}}}{{2z}}} \right)}}\left( {1 - ik\frac{{{x^2}}}{z}} \right) et de même en y
d’où \frac{{{\partial ^2}u{'_S}}}{{\partial {x^2}}} + \frac{{{\partial ^2}u{'_S}}}{{\partial {y^2}}} = - ik\frac{{{E_0}}}{{{z^2}}}{e^{ - ik\left( {\frac{{{x^2} + {y^2}}}{{2z}}} \right)}}\left( {2 - ik\frac{{{x^2} + {y^2}}}{z}} \right)
Par ailleurs 2ik\frac{{\partial u{'_S}}}{{\partial z}} = ik\frac{{{E_0}}}{{{z^2}}}{e^{ - ik\left( {\frac{{{x^2} + {y^2}}}{{2z}}} \right)}}\left( {2 - ik\frac{{{x^2} + {y^2}}}{z}} \right); on en déduit: \frac{{{\partial ^2}u{'_S}}}{{\partial {x^2}}} + \frac{{{\partial ^2}u{'_S}}}{{\partial {y^2}}} - 2ik\frac{{\partial u{'_S}}}{{\partial z}} = 0
u{'_S} est solution exacte de l’équation d’onde paraxiale.
6.6°) u(x,y,z) = A(z){e^{ - ik\left( {\frac{{{x^2} + {y^2}}}{{2q(z)}}} \right)}}; le même genre de calcul qu’en 6.5° donne: \frac{{2ik}}{A}\frac{{dA}}{{dz}} + \left( {\frac{{{k^2}}}{{{q^2}}}({x^2} + {y^2})(1 - \frac{{dq}}{{dz}}) + \frac{{2ik}}{q}} \right) = 0; on cherche A=A(z) et de ce fait le coefficient de {x^2} + {y^2} doit être nul \Rightarrow \frac{{dq}}{{dz}} = 1 et q(z) = {q_0} + z - {z_0}; puis \frac{{dA}}{{dz}} = - \frac{A}{{q(z)}} soit en intégrant A(z)q(z) = cste ou A(z) = {A_0}\frac{{{q_0}}}{{q(z)}}
6.7°) u(x,y,z) = \frac{{{A_0}{q_0}}}{{{q_0} + z - {z_0}}}{e^{ - ik\left( {\frac{{{x^2} + {y^2}}}{{2(q + z - {z_0})}}} \right)}} et selon le texte u(x,y,z) = {u_0}B{e^{ - ikB\left( {\frac{{{x^2} + {y^2}}}{2}} \right)}} avec B = \frac{1}{{R(z)}} - \frac{{2i}}{{k{w^2}(z)}}; en identifiant les phases on en déduit B = \frac{1}{{R(z)}} - \frac{{2i}}{{k{w^2}(z)}} = \frac{1}{{q(z)}} = \frac{1}{{{q_0} + z - {z_0}}} et en identifiant les amplitudes {u_0} = {A_0}{q_0}.
6.8°) On a {q_0} = {q_1} + i{q_2} avec {q_1} + z - {z_0} = \frac{{{{(k{w^2})}^2}R}}{{{{(k{w^2})}^2} + 4{R^2}}} et {q_2} = \frac{{2k{w^2}{R^2}}}{{{{(k{w^2})}^2} + 4{R^2}}}
d’où R(z) = \frac{{q_2^2}}{{{q_1} + z - {z_0}}} + {q_1} + z - {z_0} et {w^2}(z) = \frac{{2{q_2}}}{k}\left( {1 + \frac{{{{({q_1} + z - {z_0})}^2}}}{{q_2^2}}} \right)
R(z) représente le rayon de courbure de l’onde; il varie avec z; l’onde est plane si R devient infini et donc si {q_1} = 0 et z = {z_0}; on pose {w_0} = w({z_0}) et on obtient {q_2} = \frac{{kw_0^2}}{2} = {Z_0} (longueur de Rayleigh); avec ces notations: {Z_0} = {q_2} = \frac{{\pi w_0^2}}{\lambda } et {q_0} = i{Z_0} puis R(z) = \frac{{Z_0^2}}{{z - {z_0}}} + z - {z_0} et w(z) = {w_0}{\left( {1 + {{\left( {\frac{{z - {z_0}}}{{{Z_0}}}} \right)}^2}} \right)^{\frac{1}{2}}}
6.9°) En remplaçant dans l’expression du champ électrique, on trouve: E = {A_0}\frac{{{e^{ - iArc\tan \left( {\frac{{z - {z_0}}}{{{Z_0}}}} \right)}}}}{{{{\left[ {1 + {{\left( {\frac{{z - {z_0}}}{{{Z_0}}}} \right)}^2}} \right]}^{\frac{1}{2}}}}}{e^{ - \frac{{ik{r^2}}}{{2\left( {z - {z_0} + \frac{{Z_0^2}}{{z - {z_0}}}} \right)}}}}{e^{ - \frac{{k{r^2}}}{{2\left[ {1 + {{\left( {\frac{{z - {z_0}}}{{{Z_0}}}} \right)}^2}} \right]{Z_0}}}}}{e^{i(\omega t - kz)}} avec r = \sqrt {{x^2} + {y^2}}
Pour une surface d’onde, la phase est constante d’où: kz + Arc\tan \left( {\frac{{z - {z_0}}}{{{Z_0}}}} \right) + \frac{{k{r^2}}}{{2\left( {z - {z_0} + \frac{{Z_0^2}}{{z - {z_0}}}} \right)}} = cste
w(z) est la distance, selon une direction perpendiculaire à l’axe du faisceau, au bout de laquelle l’amplitude est divisée par e et l’intensité par e2; on l’appelle le rayon focal: il est fonction de z.
6.10°) w\frac{{dw}}{{dz}} = w_0^2\frac{{z - {z_0}}}{{{Z_0}}} s’annule si z = {z_0}; on a un minimum de w(z); en cet endroit le faisceau a une « section » minimale de rayon focal {w_0}(« waist » en anglais) et le rayon de courbure est infini. Le texte parle de « foyer », mais le nom est incorrect.
L’approximation \left| {\frac{{\partial u}}{{\partial z}}} \right| < < \frac{{\left| u \right|}}{\lambda } est vérifiée si r < < \frac{{kw_0^2}}{2}.
Enfin d’après l’expression du champ de 6.9°, l’abscisse z0 de la zone à rayon focal minimal et la valeur w0 de ce minimum déterminent totalement la géométrie du faisceau.
6.11°) L’onde en sortie est sphérique convergente de centre le foyer image F.
6.12°) On note e l’épaisseur de la lentille mince et n l’indice du verre dont elle est faite. Dans le cadre de l’approximation de Gauss, un rayon incident parallèle à l’axe traverse la lentille mince selon le segment IJ très court (inférieur à e) par rapport aux rayons de courbure R1 et R2 des faces et peu incliné par rapport à l’axe de la lentille. Le retard de phase introduit par la présence de la lentille est donc \phi (r) = k(n - 1)IJ. Soit en appelant H et H’ les projections de I et J sur l’axe et S1 et S2 les sommets des faces: \phi (r) = k(n - 1)(e - \overline {{S_1}H} - \overline {H'{S_2}} ); pour évaluer les deux segments, on raisonne sur le cercle ci-contre.
Soit α l’angle entre SS’ et IS’ qu’on retrouve entre IS et IH: \tan \alpha = \frac{r}{{2R - \overline {SH} }} = \frac{{\overline {SH} }}{r} \Rightarrow \overline {SH} \approx \frac{{{r^2}}}{{2R}} \Rightarrow
\phi (r) = k(n - 1)\left( {e - \frac{{{r^2}}}{2}\left( {\frac{1}{{{R_1}}} + \frac{1}{{{R_2}}}} \right)} \right) ; or la vergence de la lentille est V = \frac{1}{{f'}} = (n - 1)\left( {\frac{1}{{{R_1}}} + \frac{1}{{{R_2}}}} \right) d’où \phi (r) = \phi (0) - k\frac{{{V^2}}}{2}{r^2}
Les rayons de courbure sont comptés avec la convention: {R_1} = \overline {{S_1}{C_1}} et {R_2} = - \overline {{S_2}{C_2}} (attention au signe moins)
6.13°) Soit un point A sur z’z émettant une onde sphérique divergente avec \overline {OA} = {z_1}.
E = \frac{{{E_0}}}{{\left| {z - {z_1}} \right|}}{e^{ - ik\frac{{{r^2}}}{{2(z - {z_1})}}}}{e^{i(\omega t - kz)}} pour z > {z_1}; en z=0 et après traversée de la lentille, E = \frac{{{E_0}}}{{\left| {{z_1}} \right|}}{e^{ - ik\frac{{{r^2}}}{{2{z_1}}}}}{e^{ - i(\phi (r) - \phi (0))}}{e^{i(\omega t - \phi (0))}} = \frac{{{E_0}}}{{\left| {{z_1}} \right|}}{e^{ik\frac{{{r^2}}}{{2{z_1}}}\left( {\frac{1}{{{z_1}}} + \frac{1}{{f'}}} \right)}}{e^{i(\omega t - \phi (0))}}expression compatible avec une onde sphérique divergente centrée en A’, d’abscisse z2 positive qui s’écrit: E = \frac{{\underline {E{'_0}} }}{{\left| {{z_2}} \right|}}{e^{ik\frac{{{r^2}}}{{2{z_2}}}}}{e^{i\omega t}}; on ne cherche pas la relation entre les amplitudes complexes; il suffit d’identifier les phases et ce pour toute valeur de r dans le cadre de l’approximation de Gauss. On en déduit: \frac{1}{{{z_2}}} - \frac{1}{{{z_1}}} = \frac{1}{{f'}} = V; on peut généraliser à un système centré mince quelconque (indices extrêmes n et n’); il introduit un retard de phase \phi (r) = \phi (0) - {k_0}\frac{{{V^2}}}{2}{r^2} ce qui conduit à \frac{{f'}}{{{z_2}}} + \frac{f}{{{z_1}}} = 1 avec V = \frac{{n'}}{{f'}} = - \frac{n}{f}; pour un dioptre sphérique: V = \frac{{n' - n}}{{\overline {SC} }} et pour un miroir sphérique V = \frac{{ - 2n}}{{\overline {SC} }}.
6.14°) Pour l’onde incidente en z=0, {E_1}(x,y,0,t) = {u_{01}}\left( {\frac{1}{{{R_1}(0)}} - \frac{{2i}}{{kw_1^2(0)}}} \right){e^{ - \frac{{ik{r^2}}}{{2{R_1}(0)}}}}{e^{ - \frac{{{r^2}}}{{w_1^2(0)}}}}{e^{i\omega t}}
Juste après traversée de la lentille: {E_2}(x,y,0,t) = {u_{01}}\left( {\frac{1}{{{R_1}(0)}} - \frac{{2i}}{{kw_1^2(0)}}} \right){e^{ - \frac{{ik{r^2}}}{{2{R_1}(0)}}}}{e^{\frac{{ikV{r^2}}}{2}}}{e^{ - \frac{{{r^2}}}{{w_1^2(0)}}}}{e^{i\omega t}} ce qui est compatible avec une onde émergente du même type: {E_2}(x,y,0,t) = {u_{02}}\left( {\frac{1}{{{R_2}(0)}} - \frac{{2i}}{{kw_2^2(0)}}} \right){e^{ - \frac{{ik{r^2}}}{{2{R_2}(0)}}}}{e^{ - \frac{{{r^2}}}{{w_1^2(0)}}}}{e^{i\omega t}}
En identifiant les exposants imaginaires en r2, on a: \frac{1}{{{R_1}(0)}} - \frac{1}{{{R_2}(0)}} = V et {w_1}(0) = {w_2}(0); la première relation est la relation de conjugaison des « foyers » et la seconde exprime la continuité du rayon focal sur la lentille.
On a \frac{1}{{{q_1}(0)}} - \frac{1}{{{q_2}(0)}} = V; {R_2}(0) = - \left( {\frac{{Z_2^2}}{{{z_2}}} + {z_2}} \right) et {R_1}(0) = - \left( {\frac{{Z_1^2}}{{{z_1}}} + {z_1}} \right); {Z_1} = \frac{{kw_1^2}}{2} et {Z_2} = \frac{{kw_2^2}}{2};
{w_1}(0) = {w_1}{\left( {1 + {{\left( {\frac{{{z_1}}}{{{Z_1}}}} \right)}^2}} \right)^{\frac{1}{2}}}et {w_2}(0) = {w_2}{\left( {1 + {{\left( {\frac{{{z_2}}}{{{Z_2}}}} \right)}^2}} \right)^{\frac{1}{2}}}
On obtient: w_2^2\left( {1 + {{\left( {\frac{{{z_2}}}{{{Z_2}}}} \right)}^2}} \right) = w_1^2\left( {1 + {{\left( {\frac{{{z_1}}}{{{Z_1}}}} \right)}^2}} \right) et \frac{1}{{{z_2} + \frac{{Z_2^2}}{{{z_2}}}}} - \frac{1}{{{z_1} + \frac{{Z_1^2}}{{{z_1}}}}} = V = \frac{1}{{f'}}
Comme en 6.13° pour un système mince \frac{{f'}}{{{q_2}(0)}} + \frac{f}{{{q_1}(0)}} = 1.
A partir des 2 équations à 2 inconnues obtenues on peut calculer w2 et z2:
w_2^2 = \frac{{w_1^2\left( {1 + {{\left( {\frac{{{z_1}}}{{{Z_1}}}} \right)}^2}} \right)}}{{1 + {{\left[ {V\left( {{Z_1} + \frac{{z_1^2}}{{{Z_1}}}} \right) + \frac{{{z_1}}}{{{Z_1}}}} \right]}^2}}} et {z_2} = \frac{{\left[ {1 + {{\left( {\frac{{{z_1}}}{{{Z_1}}}} \right)}^2}} \right]\left( {{z_1} + V(Z_1^2 + z_1^2)} \right)}}{{1 + {{\left[ {V\left( {{Z_1} + \frac{{z_1^2}}{{{Z_1}}}} \right) + \frac{{{z_1}}}{{{Z_1}}}} \right]}^2}}}
Mais ces expressions ne servent à rien ensuite; merci d’en avoir demandé le calcul!
6.15°) Pour un miroir sphérique: \frac{1}{{{R_1}(0)}} + \frac{1}{{{R_2}(0)}} = - V = \frac{2}{{\overline {SC} }} et {w_1}(0) = {w_2}(0)
et w_2^2\left( {1 + {{\left( {\frac{{{z_2}}}{{{Z_2}}}} \right)}^2}} \right) = w_1^2\left( {1 + {{\left( {\frac{{{z_1}}}{{{Z_1}}}} \right)}^2}} \right) et \frac{1}{{{z_2} + \frac{{Z_2^2}}{{{z_2}}}}} + \frac{1}{{{z_1} + \frac{{Z_1^2}}{{{z_1}}}}} = V = \frac{1}{{f'}}
Le faisceau est stable si la zone de resserrement est unique (le faisceau résultant a une forme gaussienne) caractérisé par w1 et Z = \frac{{kw_1^2}}{2} et par les distances algébriques z1, z2 aux miroirs avec L = {z_2} - {z_1}; à partir de la relation de conjugaison, on obtient: {z_1} + \frac{{{Z^2}}}{{{z_1}}} = - {R_1} et {z_2} + \frac{{{Z^2}}}{{{z_2}}} = {R_2}; on remarque que les rayons de courbure du faisceau gaussien au niveau des miroirs sont les rayons de courbure des miroirs.
On a 3 équations à trois inconnues qui permettent de déterminer z1, z2 et w1. On calcule seulement z1, z2.
{z_2} = \frac{{L({R_1} - L)}}{{{R_1} + {R_2} - 2L}} {z_1} = \frac{{L(L - {R_2})}}{{{R_1} + {R_2} - 2L}} {Z^2} = \frac{{L({R_1} - L)({R_2} - L)({R_1} + {R_2} - L)}}{{{{({R_1} + {R_2} - 2L)}^2}}}
Avec {g_i} = 1 - \frac{L}{{{R_i}}} on peut écrire {Z^2} = {L^2}\frac{{{g_1}{g_2}(1 - {g_1}{g_2})}}{{{{({g_1} + {g_2} - 2{g_1}{g_2})}^2}}}>0 \Rightarrow 0 < {g_1}{g_2} < 1; c’est la condition de stabilité.
Notons que {z_1} = - L\frac{{{g_2}(1 - {g_1})}}{{{g_1} + {g_2} - 2{g_1}{g_2}}} et {z_2} = L\frac{{{g_1}(1 - {g_2})}}{{{g_1} + {g_2} - 2{g_1}{g_2}}}
6.16°) Si les deux rayons de courbure sont égaux: {Z^2} = \frac{L}{4}(2R - L) = \left( {\frac{{kw_1^2}}{2}} \right) \Rightarrow w_1^2 = \frac{1}{k}\sqrt {(2R - L)L}
La condition de stabilité est réalisée si R > L/2.
6.17°) Condition de résonance: sur un aller et retour, le long de z’z en particulier, le déphasage doit être un multiple entier de fois 2\pi soit sur un aller seulement un multiple entier de fois \pi ; or \varphi (z) = kz - Arc\tan \frac{{{z_0}}}{{{Z_0}}} et donc {\varphi _2} - {\varphi _1} = k({z_2} - {z_1}) - (Arc\tan \frac{{{z_2}}}{Z} - Arc\tan \frac{{{z_1}}}{Z}) = q\pi , q entier positif ou nul; on pose \gamma = Arc\tan \frac{{{z_2}}}{Z} - Arc\tan \frac{{{z_1}}}{Z}; le calcul donne {\cos ^2}\gamma = {g_1}{g_2} puis \nu = \frac{c}{{2L}}\left( {q + \frac{1}{\pi }Arc\cos \sqrt {{g_1}{g_2}} } \right); si les deux rayons sont égaux \nu = \frac{c}{{2L}}\left( {q + \frac{1}{\pi }Arc\cos \left( {1 - \frac{L}{R}} \right)} \right).
7.1°) L’équation de propagation de la composante x du champ électrique est \frac{{{\partial ^2}{E_x}}}{{\partial {x^2}}} + \frac{{{\partial ^2}{E_x}}}{{\partial {y^2}}} + \frac{{{\partial ^2}{E_x}}}{{\partial {z^2}}} + \frac{{{\omega ^2}}}{{{c^2}}}{E_x} = 0
{{E}_{x}}=f(x)g(y)h(z)\Rightarrow \frac{f''}{f}+\frac{g''}{g}+\frac{h''}{h}+\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}}=0; pour pouvoir assurer les conditions limites, il faut: \frac{f''}{f}=-k_{x}^{2} \frac{g''}{g}=-k_{y}^{2} et \frac{h''}{h}=-k_{z}^{2} avec k_x^2 + k_y^2 + k_z^2 = \frac{{{\omega ^2}}}{{{c^2}}}; avec un des sommets de la cavité à l’origine des axes:
f(x) = A\cos {k_x}x + B\sin {k_x}x, g(y) = C\cos {k_y}y + D\sin {k_y}y, h(z) = E\cos {k_z}z + F\sin {k_z}z
Les conditions limites sont:
{E_x}(x = 0\;et\;x = X) = {E_y}(x = 0\;et\;x = X) = 0
{E_z}(y = 0\;et\;y = Y) = {E_x}(y = 0\;et\;y = Y) = 0
{E_x}(z = 0\;et\;z = Z) = {E_y}(z = 0\;et\;z = Z) = 0
g(0) = g(Y) = 0 et h(0) = h(Z) impliquent C = E = 0
g(y) = D\sin {k_y}y h(z) = F\sin {k_z}z
{k_y} = \pm \frac{{m\pi }}{Y} {k_z} = \pm \frac{{n\pi }}{Z}
{E_x} = ({A_1}\cos {k_x}x + {B_1}\sin {k_x}x)\sin {k_y}y\sin {k_z}z{e^{i\omega t}} et de même {E_y} = \sin k{'_x}x({A_2}\cos k{'_y}y + {B_2}\sin k{'_y}y)\sin k{'_z}z{e^{i\omega t}}
{{E}_{z}}=\sin k{{''}_{x}}x\sin k{{''}_{y}}y({{A}_{3}}\cos k{{''}_{z}}z+{{B}_{3}}\sin k{{''}_{z}}z){{e}^{i\omega t}}
Du fait que div\vec E = 0, il existe une combinaison linéaire entre les dérivées de ces composantes vraie pour tout x,y,z dans le domaine de la cavité; on peut en conclure qu’on a les mêmes composantes de vecteur d’onde entre les trois composantes du champ et donc que {k_x} = \pm \frac{{l\pi }}{X} {k_y} = \pm \frac{{m\pi }}{Y} {k_z} = \pm \frac{{n\pi }}{Z} avec l,m,n \in \aleph .
La combinaison linéaire est également vraie en x = 0 ou X, en y = 0 ou Y, en z = 0 ou Z; on en déduit {B_1} = {B_2} = {B_3} = 0 et {A_1}l + {A_2}m + {A_3}n = 0; en fait, il n’existe que deux constantes indépendantes;
{E_x} = {A_1}\cos {k_x}x\sin {k_y}y\sin {k_z}z{e^{i\omega t}} {E_y} = {A_2}\sin {k_x}x\cos {k_y}y\sin {k_z}z{e^{i\omega t}} {E_z} = {A_3}\sin {k_x}x\sin {k_y}y\cos {k_z}z{e^{i\omega t}}
On peut également calculer les composantes du champ magnétique et vérifier que le champ magnétique a des composantes normales nulles sur les faces de la cavité.
Enfin k_x^2 + k_y^2 + k_z^2 = \frac{{{\omega ^2}}}{{{c^2}}} implique \nu = \frac{c}{2}{\left( {\frac{{{l^2}}}{{{X^2}}} + \frac{{{m^2}}}{{{Y^2}}} + \frac{{{n^2}}}{{{Z^2}}}} \right)^{\frac{1}{2}}}.
7.2°) Dans l’espace des vecteurs d’onde, les extrémités des vecteurs d’onde possibles définissent un réseau cubique dont la maille élémentaire à les cotés \frac{\pi }{X},\frac{\pi }{Y},\frac{\pi }{Z} de volume v = \frac{{{\pi ^3}}}{{XYZ}} = \frac{{{\pi ^3}}}{V}; la zone sphérique de rayons k et k+dk a le volume d\tau = 4\pi {k^2}dk; un mode correspond à une onde progressive qui se réfléchit sur les différentes faces soit à \pm l, \pm m, \pm n; il faut compter un huitième du volume de la zone sphérique; en plus, pour l,m,n donnés on a deux états de polarisation indépendants ({A_1} = 0 ou {A_2} = 0); le nombre de modes de norme de vecteur d’onde compris entre k et k+dk est dn = \frac{2}{8}\frac{{4\pi {k^2}dk}}{{{\pi ^3}}}V; c’est aussi le nombre de modes de fréquence comprise entre \nu \;et\;\nu + d\nu \Rightarrow dn = 8\pi V\frac{{{\nu ^2}}}{{{c^3}}}d\nu et {\rm N}(\nu ) = V\frac{{8\pi {\nu ^2}}}{{{c^3}}}
7.3°) Le calcul de I fait intervenir des intégrales du type \int\limits_0^X {\cos {n_1}\frac{\pi }{X}\cos {n_2}\frac{\pi }{X}dx} ou bien en sinus, qu’on linéarise en intégrales de cosinus faisant figurer la somme ou la différence des deux entiers; ces intégrales sont nulles si les entiers sont différents. De ce fait I = 0.
7.4°) Les champs électrique et magnétique sont combinaison linéaire des champs des modes propres; quand on les remplace dans l’expression de la densité d’énergie électromagnétique on fait intervenir en développant des intégrales de produits de champs qui sont nulles et des intégrales proportionnelles au carré des champs des modes propres; pour chaque mode un terme est proportionnel au carré du champ électrique et un autre au carré du champ magnétique; on a deux termes quadratiques par mode propre; en retenant, selon le théorème d’équipartition de l’énergie, l’énergie kT/2 par degré de liberté, on a l’énergie kT par mode propre.
On retrouve le théorème de Rayleigh-Jeans qui dit que chaque mode est équivalent à un oscillateur harmonique linéaire. D’où:
dU(\nu ) = {\rm N}(\nu )d\nu = V\frac{{8\pi {\nu ^2}kT}}{{{c^3}}}d\nu soit une densité d’énergie spectrale u(\nu ) = \frac{{8\pi {\nu ^2}kT}}{{{c^3}}}.
7.5°) {U_t} = \int\limits_0^\infty {U(\nu )d\nu } = \frac{{\pi kTV}}{{{c^3}}}\int\limits_0^\infty {{\nu ^2}d\nu } ; l’intégrale n’est pas définie; l’énergie emmagasinée ne peut être infinie.
7.6°) La probabilité de l’énergie {E_n} = nh\nu pour le mode propre de fréquence \nu est {P_n} = A{e^{ - \frac{{nh\nu }}{{kT}}}}; or \sum\limits_{n = o}^\infty {{P_n}} = 1(ne pas oublier n=0; la probabilité de l’état d’énergie nulle est non nulle); d’où {P_n} = \frac{{{e^{ - \frac{{nh\nu }}{{kT}}}}}}{{\sum\limits_{n = 0}^\infty {{e^{ - \frac{{nh\nu }}{{kT}}}}} }}
7.7°) L’énergie moyenne du mode de fréquence \nu est {\rm E}(\nu ) = \sum\limits_{n = o}^\infty {{P_n}} {E_n} = \frac{{\sum\limits_{n = 0}^\infty {nh\nu {e^{ - \frac{{nh\nu }}{{kT}}}}} }}{{\sum\limits_{n = 0}^\infty {{e^{ - \frac{{nh\nu }}{{kT}}}}} }}
x = \frac{{h\nu }}{{kT}} \Rightarrow {\rm E}(\nu ) = xkT\frac{{\sum\limits_{n = 0}^\infty {n{e^{ - nx}}} }}{{\sum\limits_{n = 0}^\infty {{e^{ - nx}}} }} = - xkT\frac{{\frac{d}{{dx}}\sum\limits_{n = 0}^\infty {n{e^{ - nx}}} }}{{\sum\limits_{n = 0}^\infty {{e^{ - nx}}} }} = - xkT\frac{d}{{dx}}\ln \sum\limits_{n = 0}^\infty {{e^{ - nx}}} = - xkT\frac{d}{{dx}}\ln \frac{1}{{1 - {e^{ - x}}}} = kT\frac{x}{{{e^x} - 1}}
{\rm E}(\nu ) = \frac{{h\nu }}{{{e^{\frac{{h\nu }}{{kT}}}} - 1}}.
En fait cette démonstration n’est pas valable car les photons obéissent à la statistique de Bose-Einstein et l’énergie d’un oscillateur linéaire n’est pas {E_n} = nh\nu mais {E_n} = (n + \frac{1}{2})h\nu ; dans l’état fondamental, à une température absolue de O K, avec la formule du texte, l’oscillateur à une énergie nulle; c’est-à-dire que la somme de l’énergie cinétique \frac{1}{2}m{v^2} et de l’énergie potentielle \frac{1}{2}k{x^2}est nulle; de ce fait vitesse et abscisse sont nulles simultanément ce qui est contraire au principe d’indétermination de Heisenberg.
7.8°) dU = \frac{{8\pi V{\nu ^2}}}{{{c^3}}}\frac{{h\nu }}{{{e^{\frac{{h\nu }}{{kT}}}} - 1}}d\nu \Rightarrow {u_\nu } = V\frac{{8\pi h{\nu ^3}/{c^3}}}{{{e^{\frac{{h\nu }}{{kT}}}} - 1}}; c’est la loi de Planck, relative au corps noir (intérieur d’un four isotherme); l’énergie du corps noir est {U_t} = V\frac{{2\pi h}}{{{c^3}}}\int\limits_{\nu = 0}^\infty {\frac{{{\nu ^3}}}{{{e^{\frac{{h\nu }}{{kT}}}} - 1}}} \;d\nu ; elle est finie car la fonction se comporte comme {\nu ^3}{e^{ - \frac{{h\nu }}{{kT}}}} quand la fréquence tend vers l’infini et que l’exponentielle l’emporte.
7.9°) On peut définir la densité d’énergie totale {u_t} = \frac{1}{V}\int\limits_0^\infty {U(\nu )d\nu } , d’une part car l’intégrale qui l’exprime est définie mathématiquement et d’autre part car on a équilibre thermique; l’énergie se répartit sur tous les modes et se répartit également dans l’espace de la cavité.
7.10°) x = \frac{{h\nu }}{{kT}} {u_t} = \frac{{8\pi h}}{{{c^3}}}{\left( {\frac{{kT}}{h}} \right)^4}\int\limits_0^\infty {\frac{{{x^3}dx}}{{{e^x} - 1}}} soit {u_t} = \sigma {T^4}
avec \sigma = \frac{{8{\pi ^5}{k^4}}}{{15{h^3}{c^3}}} ; c’est la loi de Stéphan-Boltzmann; la densité d’énergie totale est proportionnelle à la puissance quatrième de la température absolue.

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