Concours Physique ENS Ulm (C/S) 1998 (Corrigé)

ENS ULM groupe C/S - Physique - Session de 1998

I) Caractéristique d’une diode à vide
1.1) Charge d’espace
1) Si l’anode est à un potentiel positif, elle attire les électrons : le circuit est fermé et il circule un courant conventionnel en sens contraire du sens de déplacement des électrons, la diode est passante sinon l’anode repousse les électrons et si son potentiel devient négatif et assez grand en valeur absolue, ceux ci ne l’atteignent pas : le courant est nul et la diode est bloquée.
2) Le théorème de l’énergie cinétique, entre départ de la cathode et arrivée sur l’anode, s’écrit
${E_c} - e{V_0} = - e(0 - U) \Rightarrow {E_c} = e({V_0} + U) \ge 0$ et donc $U \ge - {V_0}$ quand l’intensité est non nulle ; alors elle vaut j₀ S ; la courbe caractéristique représentative de I en fonction de U est donnée ci-dessous.

3) Équation de Poisson :
$\Delta V + \frac{\rho }{{{\varepsilon _0}}} = 0$ et $V = V(x)$ $\Rightarrow$$\,\frac{{{d^2}V}}{{d{x^2}}} + \frac{\rho }{{{\varepsilon _0}}} = 0$
et théorème de l’énergie cinétique entre départ et abscisse x :
$\frac{1}{2}m{v^2} = e[{V_0} + V(x)]$ $\Rightarrow$$v = \sqrt {\frac{{2e}}{m}[{V_0} + V(x)]}$
4) On appelle j la valeur du produit − ρ v d’où ρ = − j / v ; on remplace v par son expression dans l’expression de ρ qu’on reporte dans l’équation de Poisson ; on multiplie les deux membres de l’équation obtenue par dV / dx et on intègre sans oublier la constante d’intégration déterminée par la valeur du potentiel V_e à l’abscisse x_e où le champ électrique, c’est-à-dire − dV / dx, s’annule ; à cette abscisse, le potentiel possède un extremum qui est un minimum car la charge d’espace est négative et la dérivée seconde du potentiel est positive ; le minimum n’est pas forcément compris entre 0 et d ; la relation obtenue s’écrit :
${\left( {\frac{{dV}}{{dx}}} \right)^2} = \frac{{4j}}{{{\varepsilon _0}}}\sqrt {\frac{m}{{2e}}} (\sqrt {{V_0} + V(x)} - \sqrt {{V_0} + {V_e}} )$
En prenant la racine, selon que la fonction V(x) est croissante ou décroissante, il faut introduire un signe + ou − :
$\frac{{dV}}{{dx}} = \pm \sqrt {\frac{{4j}}{{\varepsilon _0}}\sqrt {\frac{m}{{2e}}} } {\left(\sqrt {{V_0} + V(x)} - \sqrt {{V_0} + {V_e}} \right) ^{1/2}}{\text{ avec }}\, + \,\,{\text{si }}\frac{{dV}}{{dx}} > 0{\text{ et }}\, - {\text{ si }}\frac{{dV}}{{dx}} < 0,V({x_e}) = {V_e},{\left( {\frac{{dV}}{{dx}}} \right) _{{x_e}}} = 0$
Pour que la racine soit définie, il faut V(x) > V_e dans l’hypothèse j > 0. On sépare les variables et afin d’éliminer la racine, on pose :
${u^2} = \sqrt {{V_0} + V(x)} - \sqrt {{V_0} + {V_e}} {\rm{ avec }}u \ge 0$ d’où $2udu = \frac{{dV}}{{2\sqrt {{V_0} + V(x)} }}$
et après remplacement de du et u dans l’équation donnant dV / dx et simplification par u, on obtient :
$({u^2} + \sqrt {{V_0} + {V_e}} )du = \pm \frac{{dx}}{4}\sqrt {\frac{{4j}}{{{\varepsilon _0}}}\sqrt {\frac{m}{{2e}}} }$
ce qui s’intègre en tenant compte que u = 0 en x = x_e sous forme :
$u(\frac{{{u^2}}}{3} + \sqrt {{V_0} + {V_e}} ) = \pm \frac{1}{2}\sqrt {\frac{j}{{{\varepsilon _0}}}\sqrt {\frac{m}{{2e}}} } (x - {x_e})$
En remplaçant u par sa valeur, il reste :
$\frac{2}{3}\sqrt {\frac{{{\varepsilon _0}}}{j}\sqrt {\frac{{2e}}{m}} } {(\sqrt {V(x) + {V_0}} - \sqrt {{V_e} + {V_0}} )^{1/2}}(\sqrt {V(x) + {V_0}} + 2\sqrt {{V_e} + {V_0}} ) = \pm \,(x - {x_e})$
5) Quand x varie de 0 à d, le potentiel est continu (par définition d’un potentiel) et en supposant le champ électrique continu dV / dx est continu ; on suppose que la fonction potentiel passe par un minimum pour une abscisse x_e = x_min comprise entre 0 et d (on pourrait aussi avoir le minimum mathématique pour une abscisse négative : alors le potentiel le plus bas serait V = 0 en x = 0 ) ; on pose V_e = V_min. Les points atteint par les électrons vérifient la condition :
$\frac{1}{2}m{v^2} = e[{V_0} + V(x)] \ge 0$ soit $V(x) \ge - {V_0}$
qu’on étudie graphiquement sur le graphe ci-dessous :

$\left\{ \begin{array}{l}{\text{cas 1 }}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\rm{ }} - {V_0} > {V_{min}} \Rightarrow x \le {x_1}\,{\text{et état bloqué }}I = 0\\{\text{cas 3 }} - {V_0} < {V_{min}} \Rightarrow x \in [0,d]{\text{ et état saturé }}I = {j_0}S\\{\text{cas 2 }} - {V_0} = {V_{min}} \Rightarrow \,x \in [0,d]{\rm{ }}{\text{, état intermédiaire 0}} < I < {j_0}S\,\end{array} \right.$
Dans le cas 1, les électrons ne peuvent dépasser l’abscisse x₁ : l’intensité est nulle d’où le terme état bloqué ; dans le cas 2, tous les électrons émis atteignent l’anode : l’intensité est la plus grande possible d’où le terme état saturé, l’intensité vaut j₀S ; dans le cas 3, la vitesse des électrons s’annule dans le plan d’abscisse x_min endroit où le champ électrique est nul : des électrons peuvent repartir en sens positif et d’autres en sens négatif : une partie des électrons peut atteindre l’anode et le reste repart vers la cathode, l’intensité du courant est intermédiaire entre les valeurs extrêmes 0 et j₀S. Se souvenir que dans l’état intermédiaire V_min + V₀ = 0.

6) Dans le cas intermédiaire, le théorème de l’énergie cinétique entre x_min et x < x_min s’écrit :
$\frac{1}{2}mv{(x)^2} = e[V(x) - {V_{min}}]$
aussi bien pour un électron qui se déplace en sens positif que pour un électron qui se déplace en sens négatif. Ceci prouve que la vitesse a même valeur absolue pour les deux électrons mais elle diffère par le signe.
Pour x > x_min, on a la densité de courant algébrique :
$- {j_c} = \rho v < 0$ avec ${j_c} = \frac{I}{S} > 0$ ⇒ $j = {j_c} = \frac{I}{S}$
Pour x < x_min, on a superposition de deux densités de courant algébriques. Pour la première :
${j_1} = - {j_0} = {\rho _1}v < 0$
et en vertu de la loi des nœuds, pour la seconde :
${j_2} = {j_0} - {j_c} = - {\rho _2}v > 0$
avec une densité totale de charges :
$\rho = {\rho _1} + {\rho _2} = - \frac{{{j_0}}}{v} - \frac{{{j_0} - {j_c}}}{v} = - \frac{{2{j_0} - {j_c}}}{v}$ ⇒ $j = 2{j_0} - {j_c}$
On vérifie ainsi l’hypothèse j constante par morceaux.
7) En tenant compte des expressions de j et des relations ${V_e} = {V_{min}}$et V_min + V₀ = 0, la dernière relation obtenue dans la question n° 4 s’écrit :
$\begin{array}{l}{\text{Si }}x < {x_{min}}\text{:  }\frac{2}{3}\sqrt{\frac{{{\varepsilon _{0}}}}{{2{j_0} - {j_c}}}\sqrt{\frac{{2e}}{m}} } {(V(x) + {V_0})^{3/4}} = - (x - {x_{min}}) \\{\text{  Si }}x > {x_{min}}\text{:  }\frac{2}{3}\sqrt{\frac{{{\varepsilon _{0}}}}{{{j_c}}}\sqrt{\frac{{2e}}{m}} } {(V(x) + {V_0})^{3/4}} = + (x - {x_{min}})\end{array}$
On impose les conditions aux limites :
$V(0) = 0\,\,{\rm{et}}\,\,V(d) = U{\rm{ }}$
d’où les deux relations :
$\,\,\frac{2}{3}\sqrt {\frac{{{\varepsilon _0}}}{{2{j_0} - {j_c}}}\sqrt {\frac{{2e}}{m}} } \,\,{V_0}^{3/4} = {x_{min}}\,\,{\rm{et }}\,\frac{2}{3}\sqrt {\frac{{{\varepsilon _0}}}{{{j_c}}}\sqrt {\frac{{2e}}{m}} } {(U + {V_0})^{3/4}} = d - {x_{min}}$.
En remplaçant j_c par I / S dans la dernière élevée au carré, on obtient :
$I = p{(U + {V_0})^{3/2}}$ avec $p = \frac{{4{\varepsilon _0}}}{9}\sqrt {\frac{{2e}}{m}} \frac{S}{{{{(d - {x_{\min }})}^2}}}$
alors que la première élevée au carré donne :
$x_{min}^2 = \frac{{{j_0}}}{{2{j_0} - {j_c}}}\left[ {\frac{{4{\varepsilon _0}}}{{9{j_0}}}\sqrt {\frac{{2e}}{m}\,} \,\,V_0^{3/2}} \right]$
8) En x = x_min(+), la densité de courant algébrique vaut −j_c = ρv et a une valeur finie ; or la vitesse v s’annule en ce point : la densité de charges est y donc infinie. En imposant les continuités du potentiel et du champ électrique, on impose un minimum de la fonction potentiel et l’annulation du champ électrique en x = x_min ; pour cette raison l’énergie potentielle d’un électron y est maximale et son énergie cinétique minimale s’annule ainsi que sa vitesse. La densité de charges d’espace s’exprime par la relation :
$\rho (x) = - \,{\varepsilon _0}\frac{{{d^2}V}}{{d{x^2}}}$
et d’après les résultats de la question n°7 :
${[V(x) + {V_0}]^{3/2}}\,\,\alpha \,\,\,{(x - {x_{min}})^2}$ $\Rightarrow V(x) + {V_0}\,\,\alpha \,\,{(x - {x_{min}})^{4/3}}$
d’où :
$\frac{{{d^2}V}}{{d{x^2}}}\,\,\alpha \,\,{(x - {x_{min}})^{ - 2/3}}$ $\Rightarrow$ $\rho (x)\,\,\alpha \,\,{(x - {x_{min}})^{ - 2/3}}$
La constante de proportionnalité est différente selon la position de x par rapport à x_min. La fonction potentiel est continue en x = x_min puisque V(x) + V₀ est proportionnel à (x −x_min) ^4/3, ici encore avec une constante de proportionnalité différente selon la position de x par rapport à x_min. On applique le théorème de Gauss à un cylindre délimité par deux sections droites d’abscisses x₁< x_min et x₂ > x_min :
$[E({x_2}) - E({x_1})]S = \frac{S}{{{\varepsilon _0}}}\int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\rho (x)dx\,\, = \,\,} \frac{S}{{{\varepsilon _0}}}\left[ {{A_1}\int\limits_{{x_1}}^{{x_{min}}} {\frac{{dx}}{{{{(x - {x_{min}})}^{2/3}}}} + {A_2}\int\limits_{{x_{min}}}^{{x_2}} {\frac{{dx}}{{{{(x - {x_{min}})}^{2/3}}}}} } } \right]$
${\varepsilon _0}[E({x_2}) - E({x_1})] = - 3{A_1}{({x_1} - {x_{min}})^{1/3}} + 3{A_2}{({x_2} - {x_{min}})^{1/3}}$.
Si x₁ et x₂ tendent vers x_min , E(x₁) et E(x₂) tendent vers la même valeur. Le champ électrique et la fonction potentiel sont bien des fonctions continues de x. Le calcul de la question n° 7 est acceptable.

9) $0 < {j_c} < {j_0}$ $\Rightarrow$${x_0}/\sqrt 2 \,\, < \,\,{x_{min}}\,\, < \,\,{x_0}$ avec ${x_0} = \frac{2}{3}\sqrt {\frac{{{\varepsilon _0}}}{{{j_0}}}\sqrt {\frac{{2e}}{m}} } \,\,V_0^{3/4} = {4,3.10^{ - 6}}\,{\rm{m}}$.
${3,0.10^{ - 6}}\,{\rm{m}} < \,\,{x_{min}}\,\, < \,\,{4,3.10^{ - 6}}\,{\rm{m de l'ordre de }}d\,{\rm{/}}\,{\rm{50}}$
On peut donc négliger x_min devant d à environ 2 % près. Tout se passe comme si la cathode était en réalité en x = x_min à un potentiel −V₀ où le champ électrique serait nul et d’où les électrons partiraient vers l’anode avec une vitesse nulle ; on parle de cathode virtuelle ; dans notre cas, elle est quasiment confondue avec la cathode réelle ; ci-dessous, l’allure de la courbe ( abscisses non proportionnées) :

L’intensité I = p (U + V₀)^3/2 s’annule si U = − V₀ = − 0,1 V et est maximale si U ≥ U_max = (j₀S / p)^2/3 −V₀ or p ≈ 1,75.10⁻⁴ unités S.I. d’où U_max ≈ 16,6 V. La résistance dynamique de la diode est :
$R = \frac{{dU}}{{dI}} = \frac{2}{{3p{{({V_0} + U)}^{1/2}}}}$ ; U = 1 V ⇒ $R = {3,6.10^3}\,\,\Omega$
et la résistance statique :
$R' = \frac{U}{I} = {4,9.10^3}\,\Omega$
10) $\frac{{dx}}{{dt}} = v = \sqrt {\frac{{2e}}{m}[{V_0} + V(x)]}$ ;
si $x > {x_{min}} \approx 0$ , ${\left( {\frac{2}{3}\sqrt {\frac{{{\varepsilon _0}}}{{{j_c}}}\sqrt {\frac{{2e}}{m}} } } \right)^{2/3}}{[V(x) + {V_0}]^{1/2}} = {x^{2/3}}$
$dt = {\left( {\frac{2}{3}\sqrt {\frac{{{\varepsilon _0}}}{{{j_c}}}\sqrt {\frac{{2e}}{m}} } } \right)^{2/3}}\sqrt {\frac{m}{{2e}}} \frac{{dx}}{{{x^{2/3}}}}$
et par intégration :
$t = 3\,{\left( {\frac{4}{9}\frac{{{\varepsilon _0}}}{{{j_c}}}\frac{m}{{2e}}d} \right)^{1/3}}$
Or si U = 1 V
${j_c} = \frac{p}{S}{(U + {V_0})^{3/2}} = 67,3\,{\rm{A}}{\rm{.}}{{\rm{m}}^{ - {\rm{2}}}}$ et $t = {9,6.10^{ - 10}}\,{\rm{s}}$
Si on ne tient pas compte de l’effet des autres électrons, en prenant la cathode à un potentiel nul avec des électrons d’énergie eV₀, on a :
$m\frac{{dv}}{{dt}} = - eE = e\frac{U}{d}$
$v = \frac{{eU}}{{md}}t + \sqrt {\frac{{2e{V_0}}}{m}}$ et $d = \frac{{eU}}{{2md}}{t^2} + \sqrt {\frac{{2e{V_0}}}{m}} \,t$ ⇒ $t = \frac{d}{U}\sqrt {\frac{{2e}}{m}} (\sqrt {U + {V_0}} - \sqrt {{V_0}} ) = \,\,{4,9.10^{ - 10}}\,s$
11) Si r > r_min , l’équation de conservation de la charge, avec j_c module de la densité de courant en r = r_a , implique :
$- \rho v = \frac{I}{{2\pi rL}} = {j_c}\frac{{{r_a}}}{r}$.
Si r < r_min , en appelant j₂₀ le module de la densité de courant des électrons qui reviennent sur la cathode en r = r_c , les deux densités de courant algébriques sont :
${\rho _1}v = - {j_0}\frac{{{r_c}}}{r}$ et $- {\rho _2}v = {j_{20}}\frac{{{r_c}}}{r}$ avec $I = 2\pi {r_c}L({j_0} - {j_{20}}) = 2\pi {r_a}L\,{j_c}$ d’où ${j_{20}} = {j_0} - {j_c}\frac{{{r_a}}}{{{r_c}}}$
La densité totale de charges est :
$\rho = {\rho _1} + {\rho _2} = - {j_0}\frac{{{r_c}}}{{rv(r)}} - {j_{20}}\frac{{{r_c}}}{{rv(r)}} \Rightarrow \, - \rho v(r) = ({j_0} + {j_{20}})\frac{{{r_c}}}{r}$
$- \rho v(r) = (2{j_0} - {j_c}\frac{{{r_a}}}{{{r_c}}})\frac{{{r_c}}}{r}$
L’équation de Poisson s’écrit :
$\frac{1}{r}\frac{d}{{dr}}\left( {r\frac{{dV}}{{dr}}} \right) + \frac{{\rho (r)}}{{{\varepsilon _0}}} = 0$
et le théorème de l’énergie cinétique :
$v(r) = \sqrt {\frac{{2e}}{m}[{V_0} + V(r)]}$.
Si r < r_min, $\rho (r) = - \frac{1}{r}\sqrt {\frac{m}{{2e}}} \frac{{2{j_0}{r_c} - {j_c}{r_a}}}{{\sqrt {V(r) + {V_0}} }}$ et si r > r_min, $\rho (r) = - \frac{1}{r}\sqrt {\frac{m}{{2e}}} \frac{{{j_c}{r_a}}}{{\sqrt {V(r) + {V_0}} }}$ d’où :
$r < {r_{min}}\,:\,\,\,\frac{d}{{dr}}(r\frac{{dV}}{{dr}}) = \frac{1}{{{\varepsilon _0}}}\sqrt {\frac{m}{{2e}}} \frac{{2{j_0}{r_c} - {j_c}{r_a}}}{{\sqrt {V(r) + {V_0}} }}$ et $r > {r_{min}}\,:\,\,\,\frac{d}{{dr}}(r\frac{{dV}}{{dr}}) = \frac{1}{{{\varepsilon _0}}}\sqrt {\frac{m}{{2e}}} \frac{{{j_c}{r_a}}}{{\sqrt {V(r) + {V_0}} }}$
En plus, il faut imposer V(r) et dV / dr fonctions continues de r en r_min et V(r_c) = 0, V(r_a) = U.
Remarque : on peut également supposer d’emblée, par analogie avec le cas plan, que r_c et r_min << r_a ; il ne reste à étudier que le cas r > r_min ≈ 0 ; il reste la seconde des deux équations avec les conditions :
$V(0) + {V_0} = 0,\,{\left( {\frac{{dV}}{{dr}}} \right)_{r = 0}} = 0\,$, V(r_a) = U.
Analyse dimensionnelle : une quelconque des deux équations précédentes montre que :
$\frac{{{r_a}}}{{{\varepsilon _0}L}}\sqrt {\frac{m}{{2e}}} \frac{I}{{{{[V(r) + {V_0}]}^{3/2}}}}$
est une grandeur de dimension nulle ; c’est la seule grandeur physique qui intervient dans le phénomène ; d’après le théorème Π , elle est constante d’où :
$I = p{[V(r) + {V_0}]^{3/2}}$
avec p constante définie par les caractéristiques géométriques de la diode cylindrique.

1.2) Effet Schottky
12) Pour x > 0, pour la charge − e en x = + a et le plan au potentiel nul d’abscisse x = 0 ou pour la charge − e en x = + a et la charge + e en x = − a, on a ΔV = 0 (sauf à l’endroit de la charge +q) et V = 0 sur le plan x = 0 ainsi que sur une demi sphère centrée en x = 0 de rayon tendant vers l’infini ; il s’agit d’un problème de Dirichlet : en vertu du théorème d’unicité, la fonction potentiel pour x > 0 est la même ; le champ électrique est donc le même. Le champ électrique total est le champ $\vec E$ existant avant sortie de l’électron augmenté du champ de l’électron et de son image par rapport à la cathode.
13) La force exercée par l’image sur l’électron et l’énergie potentielle dont elle dérive sont :
$\vec f = - \frac{{{e^2}}}{{4\pi {\varepsilon _0}{{(2x)}^2}}}{\vec e_x}$ et ${E_p} = - \frac{{{e^2}}}{{4\pi {\varepsilon _0}(4x)}}$
L’énergie de l’électron est :
$W = - eEx - \frac{{{e^2}}}{{16\pi {\varepsilon _0}x}}$$\Rightarrow$ $W = - eEx - \frac{{{e^2}}}{{16\pi {\varepsilon _0}x}}$
La valeur maximale de W est obtenue si :
$eEx = \frac{{{e^2}}}{{16\pi {\varepsilon _0}x}}$ $\Rightarrow$ $x = {x_m} = \sqrt {\frac{e}{{16\pi {\varepsilon _0}E}}}$ et ${W_{max}} = - e\sqrt {\frac{{eE}}{{4\pi {\varepsilon _0}}}}$ avec $E = \frac{U}{d}$.
La valeur maximale de W sans tenir compte de l’image est nulle ; son abaissement s’écrit :
$\Delta W = \frac{{{e^2}}}{{16\pi {\varepsilon _0}{x_{min}}}} + eE{x_{min}}$$\Rightarrow$$\Delta W = 2eE{x_{min}} = {\left( {\frac{{{e^3}E}}{{4\pi {\varepsilon _0}}}} \right)^{1/2}}$
14) Les électrons obéissent, dans le métal, à une loi statistique de type Fermi-Dirac, avec une dépendance en température prédominante dans un facteur exponentiel exp[− (E-E₀)/ kT ] où E est l’énergie de l’électron dans le métal et E₀ l’énergie maximale possible de l’électron lié au métal ; seuls les électrons ayant une énergie suffisante pourront vaincre la barrière de potentiel W_max − E₀ s’opposant à leur sortie et se retrouver à l’état libre. La densité de courant est :
$j_0^{'} = {j_0}\exp (\frac{e}{{kT}}\sqrt {\frac{{eU}}{{4\pi {\varepsilon _0}d}}} )$.
L’intensité du courant de saturation est :
$I_{sat}^{'} = j_0^{'}S = {j_0}S\exp (\frac{e}{{kT}}\sqrt {\frac{{eU}}{{4\pi {\varepsilon _0}d}}} ) = {1,2.10^{ - 2}}\exp (0,031\,\sqrt U )$
alors que l’équation de la caractéristique hors saturation est $I = {1,75.10^{ - 4}}{(U + 0,1)^{3/2}}$.
Pratiquement les deux courbes se coupent pour $U \approx 18\,{\rm{V}}$ et $I = I_{sat}^{'} \approx {1,35.10^{ - 2}}\,{\rm{A}}$
Alors que pour U = 200 V, $I = {1,9.10^{ - 2}}\,{\rm{A}}$ ; d’où l’allure de la caractéristique :

Le plateau de saturation monte lentement. En réalité le point anguleux n’existe pas.
Pour U = 20 V : ${x_m} = {6,0.10^{ - 8}}\,{\rm{m}}$ et pour U = 200 V : ${x_m} = {1,9.10^{ - 8}}\,{\rm{m}}$
La vitesse de départ des électrons vaut :
${v_0} = \sqrt {\frac{{2e{V_0}}}{m}} = {1,87.10^5}\,{\rm{m}}{\rm{.}}{{\rm{s}}^{ - 1}}$.
et la densité en électrons :
${n_0} = \frac{{{j_0}}}{{e{v_0}}} = {1,34.10^{17}}\,{\text{électrons par }}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}.$
La distance entre électrons est de l’ordre de $l = \frac{1}{{n_0^{1/3}}}$$\Rightarrow$$l \approx {2.10^{ - 6}}\,{\rm{m}}$
Il fallait en effet considérer l’électron isolé.

1.3) Détection d’amplitude
15) ${U_A} = a(1 + \varepsilon \cos \omega t)\cos \Omega t = a[\cos \Omega t + \frac{\varepsilon }{2}\cos (\Omega - \omega )t + \frac{\varepsilon }{2}\cos (\Omega + \omega )t]$.
Si on utilise seulement des résistances, capacités et inductances, on construit un filtre linéaire qui ne peut que provoquer un appauvrissement du spectre en supprimant ou affaiblissant certaines des composantes sinusoïdales du signal ; en aucun cas, à partir du signal donné, on ne peut obtenir un signal constant et un signal sinusoïdal de pulsation ω. On ne peut obtenir que des sommes pondérées de signaux sinusoïdaux de pulsation Ω , Ω −ω , Ω +ω.
16) La diode réalise un redressement simple alternance du signal ; à partir de l’état de tension V_A maximale, le condensateur C étant chargé, V_A va diminuer mais alors le condensateur se décharge exponentiellement et lentement dans la résistance R ce qui s’oppose à la diminution rapide de V_B d’autant mieux que la constante de temps RC est élevée devant la période T = 2π / Ω du signal modulé :
$RC > > \frac{{2\pi }}{\Omega }$
La tension V_B aux bornes du condensateur diminue un peu mais se maintient pratiquement à une valeur voisine de V_{B max}. Alors, à des variations de haute pulsation Ω près et de très faible amplitude, il ne subsiste que le signal de fréquence ω.
Sur les courbes ci-après, on a représenté le signal après redressement simple alternance et filtrage des hautes fréquences par le circuit R , C de constante de temps élevée. La courbe résultante est en pointillé sur la seconde figure et s’approche précisément de $a(1 + \varepsilon \cos \omega t)$ si la décharge exponentielle est très lente.

17) Pour ne pas perdre l’information contenue dans la fonction modulatrice de basse fréquence, il faut :
$RC < < \frac{{2\pi }}{\omega }$
18) Remarquons que R << 1/Cω . Pour déterminer la tension basse fréquence aux bornes de R, la capacité n’intervient pratiquement pas. La diode présente une résistance r en sens conducteur ; il se produit une chute de tension dans cette résistance : la tension redressée est réduite dans le diviseur de tension r, R dans le rapport R / (R + r). Il faut donc pour éliminer cet effet que $r < < R$. En fin de compte, il faut ${10^{ - 8}}\,{\rm{s}} < RC < {10^{ - 4}}\,{\rm{s}}$ soit $RC \approx {10^{ - 6}}$s et en prenant comme résistance de la diode la valeur trouvée dans la question n° 9 :
$R > > {3,6.10^3}\,\Omega$ par exemple $R = 50000\,\Omega$ et donc $C = 20\,{\rm{pF}}$
19) Le condensateur est plan de capacité :
$\Gamma = \frac{{{\varepsilon _0}S}}{d} = 0,13\,{\rm{pF}}$
Si la diode est passante, plus la fréquence est élevée, plus l’impédance de la capacité Γ est faible et mieux c’est ; si la diode est bloquante, elle est remplacée par Γ ; la tension HF ne doit pas être transmise ; or en HF, la capacité C a une impédance nettement inférieure à R ; il reste donc un pont capacitif diviseur de tension fait de C en série avec Γ ; il faut :
$\frac{\Gamma }{{C + \Gamma }} < < 1$ soit $\Gamma < < C$
ce qui est réalisé ; il n’y a aucune condition sur la fréquence HF.
20) Le temps de transfert des électrons est environ 10⁻⁹ s, dix fois plus petit que la période T = 10⁻⁸ s. Il ne faut pas dépasser la centaine de mégahertz pour la fréquence de la porteuse.

II) Le klystron reflex
1) Les équations de Maxwell dans le vide, en présence d’un courant, s’écrivent
${\rm{div}}\,{\rm{\vec E}} = \frac{\rho }{{{\varepsilon _0}}}$, ${\rm{div}}\,{\rm{\vec B}} = 0$, $\overrightarrow {{\rm{rot}}} \,{\rm{\vec E}} = - \frac{{\partial {\rm{\vec B}}}}{{\partial t}}$,$\overrightarrow {{\rm{rot}}} \,{\rm{\vec B}}\, = {\mu _0}({\rm{\vec j}} + {\varepsilon _{\rm{0}}}\frac{{\partial {\rm{\vec E}}}}{{\partial t}})$.
2) Si le métal est parfait, ce qu’on suppose, le champ électrique dans le vide, au voisinage de la paroi, est normal à la paroi alors que le champ magnétique lui est tangentiel.
3) $\overrightarrow {{\rm{rot}}} \,\overrightarrow {{\rm{rot}}} \,{\rm{\vec E}} = \overrightarrow {{\rm{grad}}} \,{\rm{div}}\,{\rm{\vec E}} - \Delta {\rm{\vec E}} = - \Delta {\rm{\vec E}}$ et $\overrightarrow {{\rm{rot}}} \,\overrightarrow {{\rm{rot}}} \,{\rm{\vec E}} = - \frac{{\partial \overrightarrow {{\rm{rot}}} \,{\rm{\vec B}}}}{{\partial t}} = - \overrightarrow {{\rm{rot}}} \frac{{\partial \,{\rm{\vec B}}}}{{\partial t}} = - {\mu _0}(\frac{{\partial {\rm{\vec j}}}}{{\partial t}} + {\varepsilon _0}\frac{{{\partial ^{\rm{2}}}{\rm{\vec E}}}}{{\partial \,{t^2}}})$ d’où en supposant $\overrightarrow {grad} \,\rho = \vec 0$ :
$\Delta {\rm{\vec E}} - \frac{1}{{{c^2}}}\frac{{{\partial ^{\rm{2}}}{\rm{\vec E}}}}{{\partial \,{t^2}}} = {\mu _0}\frac{{\partial {\rm{\vec j}}}}{{\partial t}}$
et en projection sur l’axe des z :
$\Delta {E_z} - \frac{1}{{{c^2}}}\frac{{{\partial ^{\rm{2}}}{E_z}}}{{\partial \,{t^2}}} = {\mu _0}\frac{{\partial j}}{{\partial t}}$
4) Le champ électrique est supposé selon l’axe des z et indépendant de z, ce qui implique :
${\rm{div}}\,{\rm{\vec E}} = 0$ $\Rightarrow$ $\rho = 0$ et forcément $\overrightarrow {grad} \,\rho = \vec 0$.
Le champ électrique obéit à l’équation :
$\frac{{{\partial ^{\rm{2}}}E}}{{\partial \,{x^2}}} + \frac{{{\partial ^{\rm{2}}}E}}{{\partial \,{y^2}}} - \frac{1}{{{c^2}}}\frac{{{\partial ^{\rm{2}}}E}}{{\partial \,{t^2}}} = {\mu _0}\frac{{\partial j}}{{\partial t}}$ $\Rightarrow$$j = j(x,y,t)$
et aux conditions aux limites :
$E(0,y,t) = E(a,y,t) = 0$ et $E(x,0,t) = E(x,b,t) = 0$.
On prolonge la fonction E définie sur l’intervalle [0, a]×[0, b] par une fonction périodique impaire en x et y : la période en x doit être prise égale à 2a et de même la période en y doit être prise égale à 2b. On peut alors développer E en série de Fourier de x (à y et t donnés) : le développement ne comporte que des termes impairs en x et s’écrit :
$E = \sum\limits_{p = 1}^\infty {{E_p}(y,t)\sin (2\pi \,p{\rm{ }}\frac{x}{{2a}})}$.
Alors, il suffit de développer les E_p(y,t) , fonctions impaires de y, de période 2b, en série de Fourier, à t donné :
${E_p}(y,t) = \sum\limits_{q = 1}^\infty {{E_{pq}}(t)\sin (2\pi \,q{\rm{ }}\frac{y}{{2b}})}$
et en remplaçant dans l’expression précédente, on obtient une série double de Fourier :
$E = \sum\limits_{p = 1}^\infty {\sum\limits_{q = 1}^\infty {{E_{pq}}(t)\sin (2\pi \,p{\rm{ }}\frac{x}{{2a}})} } \sin (2\pi \,q{\rm{ }}\frac{y}{{2b}})$.
Il faut que j ait un développement en série double de Fourier du même type que celui de E car dans l’équation différentielle il n’existe pas de dérivées premières de E par rapport à x et y :
$j = \sum\limits_{p = 1}^\infty {\sum\limits_{q = 1}^\infty {{j_{pq}}(t)\sin (2\pi \,p{\rm{ }}\frac{x}{{2a}})} } \sin (2\pi \,q{\rm{ }}\frac{y}{{2b}})$.
On reporte les développements dans l’équation différentielle en E et on identifie terme à terme, d’où :
$- \left[ {\frac{1}{{{c^2}}}\frac{{{d^{\rm{2}}}{E_{pq}}(t)}}{{d\,{t^2}}} + {\pi ^2}\left( {\frac{{{p^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{q^2}}}{{{b^2}}}} \right){E_{pq}}(t)} \right] = {\mu _0}\frac{{d{j_{pq}}(t)}}{{dt}}$

5) Si la cavité est totalement vide j_pq(t) = 0 d’où :
$\frac{{{d^{\rm{2}}}{E_{pq}}(t)}}{{d\,{t^2}}} + {\pi ^2}{c^2}\left( {\frac{{{p^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{q^2}}}{{{b^2}}}} \right){E_{pq}}(t) = 0$.
La solution est sinusoïdale de pulsation et fréquence :
${\omega _{pq}} = \pi c\sqrt {\frac{{{p^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{q^2}}}{{{b^2}}}}$ et ${\nu _{pq}} = \frac{c}{2}\sqrt {\frac{{{p^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{q^2}}}{{{b^2}}}}$
Puisque a = b, la plus petite des fréquences propres est
${\nu _{11}} = \frac{c}{{a\sqrt 2 }}$
et la fréquence immédiatement supérieure, avec p et q strictement positifs, s’écrit :
${\nu _{12}} = {\nu _{21}} = \frac{{c\sqrt 5 }}{{2a}}$.
En application numérique :
${\nu _{11}} = {3,03.10^9}\,{\rm{Hz}}$
6) Sur l’intervalle [0, a]×[0, b], j(x, y, t) = 0 sauf sur la surface s = δxδy centrée sur le point (a/2, b/2) où elle vaut −I(t) / s (en supposant que I(t) et j(x,y,t) sont de signes contraires afin de retrouver le signe de la formule à démontrer, mais ce n’est pas logique). On intègre la fonction ainsi définie sur le domaine [0, a]×[0, b] après multiplication par sin(mπ x / a) sin(nπ y / b) ce qui donne comme résultat −I(t) sin(mπ / 2) sin(nπ / 2) ; de même, on multiplie le développement en série de Fourier par le même facteur et on intègre sur le même domaine : en identifiant les deux résultats, on obtient :
$- I(t)\sin \frac{{m\pi }}{2}\sin \frac{{n\pi }}{2} = \sum\limits_{p = 1}^\infty {\sum\limits_{q = 1}^\infty {{j_{pq}}(t)\int\limits_{x = 0}^a {\sin (m\pi \frac{x}{a})} } } \sin (p\pi \frac{x}{a})dx\int\limits_{y = 0}^b {\sin (m\pi \frac{y}{b})} \sin (m\pi \frac{y}{b})dy$.
Chacune des deux intégrales est nulle sauf si m = p et n = q et alors elles valent a/2 et b/2. D’où :
$I(t)\sin \frac{{p\pi }}{2}\sin \frac{{q\pi }}{2} = - \frac{{ab}}{4}{j_{pq}}(t)$
et donc j_pq(t) est nul si p ou q sont impairs et non nul si p et q sont pairs :
${\text{Seuls les modes caractérisés par }}p\,{\rm{et }}q\,{\text{pairs sont couplés au courant}}{\rm{.}}$
On aurait pu utiliser directement la formule :
${j_{pq}} = \frac{2}{{2a}}\frac{2}{{2b}}\int\limits_{x = 0}^{2a} {\int\limits_{y = 0}^{2b} {j(x,y,t)dxdy = } } \frac{2}{a}\frac{2}{b}\int\limits_{x = 0}^a {\int\limits_{y = 0}^b {j(x,y,t)dxdy} }$.
On pose $p = 2k + 1$ , $q = 2l + 1$ :$\varepsilon = + 1$ si k et l sont de même parité et −1 sinon, on obtient :
$\left[ {\frac{1}{{{c^2}}}\frac{{{d^{\rm{2}}}}}{{d\,{t^2}}} + {\pi ^2}\left( {\frac{{{p^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{q^2}}}{{{b^2}}}} \right)} \right]{E_{pq}}(t) = \frac{{4\varepsilon {\mu _0}}}{{ab}}\frac{{dI}}{{dt}}$
L’énonce comporte une erreur car ε est omis mais pour le mode (1,1) : ε = 1 ; elle n’est pas gênante.
7) Par application du théorème de l’énergie cinétique à un électron
$\frac{1}{2}mv_0^2 = eU$ $\Rightarrow$ ${v_0} = \sqrt {\frac{{2eU}}{m}} = {5,3.10^7}\,{\rm{m}}{\rm{.}}{{\rm{s}}^{ - 1}}$
Le temps de traversée de la cavité est de l’ordre de :
$\Delta t = \frac{\delta }{{{v_0}}} = {5,7.10^{ - 11}}\,{\rm{s}}$
La période du mode (1,1) est T = 3,3.10⁻¹⁰ s : le temps de passage d’un électron est de l’ordre du sixième de la période du mode : l’approximation consistant à négliger le temps de passage devant la période est valable à 17 % près.

8) On suppose le champ constant sur la durée de la traversée ; le théorème de la quantité de mouvement, en supposant que $\left| {\delta v} \right| < < {v_0}$, implique :
$m\frac{{dv}}{{dt}} = - e{E_{11}}(t)$$\Rightarrow$$\delta v = - \frac{{e{E_{11}}(t)}}{m}\Delta t = - \frac{{e\delta {E_{11}}(t)}}{{m{v_0}}}$ ou $\delta v = - \delta \sqrt {\frac{e}{{2mU}}} \,\,{E_{11}}(t)$
9) Ensuite, chaque électron est freiné dans le champ électrique engendré par la d.d.p. U + U ’, s’arrête puis repart en sens contraire pour revenir dans la cavité avec la vitesse de départ v₀ + δ v(t) ; le temps d’aller-retour s’obtient par application du théorème de la quantité de mouvement :
$m\frac{{dv}}{{dt}} = - \frac{{e(U + U')}}{d}$ $\Rightarrow$ $v(t) - [{v_0} + \delta v(t)] = - \frac{{e(U + U')\,t}}{{md}}$.
La vitesse s’annule quand il y a rebroussement à t_max :
${t_{max}} = \frac{{md[{v_0} + \delta v(t)]}}{{e(U + U')}}$
et la durée d’aller-retour est le double de t_max :
$t' - t = \frac{{2md[{v_0} + \delta v(t)]}}{{e(U + U')}}$
10) La durée de traversée de la cavité, au deuxième ordre près en δ , ne dépend pas du temps ; une charge δq qui entre en z = 0 en une durée donnée ressort en z = δ en une durée égale : l’intensité du courant du faisceau électronique entrant en z = 0 est I₀, c’est aussi son intensité en z = δ.
Après la cavité, une charge δq part de z = δ à la date t en une durée dt , l’intensité étant I₀, et y revient à la date t’ en une durée dt’, l’intensité étant I’(t’), telles que :
$\delta q = {I_0}dt = I'(t')dt'$.
En termes d’intensités en z = δ :
${I_0} = \frac{{\delta q}}{{dt}}$,$I'(t') = \frac{{\delta q}}{{dt'}}$, $I'(t') = {I_0}\frac{{dt}}{{dt'}}$
A l’aller et au retour, la vitesse a même module v₀ + δ v(t) mais a changé de sens ; en appelant ρ la densité de charge au départ en z = δ et ρ’(t’) la densité de charge au retour, on a :
$\delta q = \rho \,s[{v_0} + \delta v(t)]dt = \rho '(t')\,s[{v_0} + \delta v(t)]dt'$ et donc $\rho '(t') = \rho \frac{{dt}}{{dt'}}$
L’intensité totale à la date t’ en z = δ et donc l’intensité à la même date en z = 0, puisque la densité de courant totale ne dépend pas de z par hypothèse, s’écrivent :
$I(t') = {I_0} - I'(t') = {I_0}(1 - \frac{{dt}}{{dt'}}) = {I_0}[1 - \frac{{\rho '(t')}}{\rho }]$
Au premier ordre en δ , la modulation de l’intensité se fait uniquement en densité : les électrons se regroupent par paquets et chaque paquet en repassant dans la cavité excite les oscillations de la cavité. Il existe également une modulation en vitesse mais qui intervient au second ordre en δ et dont on ne tient pas compte. Il faut différentier la relation entre t et t’ obtenue dans la question n° 9 pour obtenir le rapport dt / dt’ :
$\frac{{dt'}}{{dt}} = 1 + \frac{{2md}}{{e(U + U')}}\frac{{d(\delta v(t))}}{{dt}} = 1 - \frac{{2d\delta }}{{U + U'}}\sqrt {\frac{m}{{2eU}}} \frac{{d{E_{11}}(t)}}{{dt}}$
et en supposant que dt’/ dt ne diffère que peu de l’unité, au second ordre près en δ :
$\frac{{dt}}{{dt'}} \approx 1 + \frac{{2d\delta }}{{U + U'}}\sqrt {\frac{m}{{2eU}}} \frac{{d{E_{11}}(t)}}{{dt}}$ et $I(t') = - \frac{{2d\delta {I_0}}}{{U + U'}}\sqrt {\frac{m}{{2eU}}} \frac{{d{E_{11}}(t)}}{{dt}}$
L’équation différentielle faisant figurer t et t’ s’écrit en utilisant l’équation différentielle démontrée dans la question n° 6 avec la substitution t → t’ :
$\frac{{{d^{\rm{2}}}{E_{11}}(t')}}{{d\,t{'^2}}} + \omega _{11}^2{E_{11}}(t') = \frac{{4{\mu _0}{c^2}}}{{ab}}\frac{{dI(t')}}{{dt'}} = - \frac{{8d\delta {I_0}}}{{{\varepsilon _0}ab(U + U')}}\sqrt {\frac{m}{{2eU}}} \frac{d}{{dt'}}\left( {\frac{{d{E_{11}}(t)}}{{dt}}} \right)$
11) Par hypothèse :
${E_{11}}(t) = {E_{11}}(t'){e^{ - i\phi }}$
et dans la dérivation par rapport à t, en confondant dt’ et dt, ce qui est légitime au second ordre près en δ , on obtient l’équation différentielle ordinaire :
$\frac{{{d^{\rm{2}}}{E_{11}}(t')}}{{d\,t{'^2}}} + \omega _{11}^2{E_{11}}(t') = - \frac{{8d\delta {I_0}}}{{{\varepsilon _0}ab(U + U')}}\sqrt {\frac{m}{{2eU}}} \,\,{e^{ - i\phi \,}}\frac{{{d^2}{E_{11}}(t')}}{{dt{'^2}}}$
$\left( {1 + \frac{{8d\delta {I_0}}}{{{\varepsilon _0}ab(U + U')}}\sqrt {\frac{m}{{2eU}}} \,\,{e^{ - i\phi \,}}} \right)\frac{{{d^{\rm{2}}}{E_{11}}(t')}}{{d\,t{'^2}}} + \omega _{11}^2{E_{11}}(t') = 0$
12) On cherche des solutions en e^pt ; l’équation caractéristique s’écrit :
${p^2} = - \frac{{\omega _{11}^2}}{{1 + \frac{{8d\delta {I_0}}}{{{\varepsilon _0}ab(U + U')}}\sqrt {\frac{m}{{2eU}}} \,{e^{ - i\phi }}}}$ $\Rightarrow$$p \approx \pm \,i\omega _{11}^{}(1 - \frac{{8d\delta {I_0}}}{{{\varepsilon _0}ab(U + U')}}\sqrt {\frac{m}{{2eU}}} \,{e^{ - i\phi }})$
La partie réelle de p représente le coefficient d’amplification η et sa partie imaginaire la pulsation d’oscillation ω_r :
$\eta = \mp \,\,{\omega _{11}}\frac{{8d\delta {I_0}}}{{{\varepsilon _0}ab(U + U')}}\sqrt {\frac{m}{{2eU}}} \,\sin \phi$ et ${\omega _r} = \pm \,{\omega _{11}}(1 - \frac{{8d\delta {I_0}}}{{{\varepsilon _0}ab(U + U')}}\sqrt {\frac{m}{{2eU}}} \,\cos \phi )$.
Application numérique : on doit prendre la valeur de ω_r positive ou sa valeur négative mais pas les deux car on va voir dans la question n° 13 que $\phi = {\omega _r}(t' - t)$ et de ce fait on choisit un des deux signes ; on choisit : $\eta = \, - {9,4.10^8}{I_0}\sin \phi$ et ${\omega _r} = \,{\omega _{11}}(1 - {4,9.10^{ - 2}}{I_0}\cos \phi )$. Pour une intensité de l’ordre du nanoampère, la constante de temps est de l’ordre de la seconde et la pulsation est pratiquement égale à ω_11. La solution est de la forme ${E_{11}}(t') = A{e^{\eta t}}{e^{i{\omega _r}t'}}$. On n’a pas superposition des deux solutions car on a fait le choix a priori d’une des deux valeurs possibles de ϕ . Le champ électrique diverge si η > 0 donc si sinϕ < 0 ; alors l’état de champ électrique infiniment petit est instable : la cavité oscille.

13) $\phi = {\omega _r}(t' - t)$ ; en négligeant δv(t) devant v₀, on obtient $\phi \approx {\omega _{11}}\frac{{2dm{v_0}}}{{e(U + U')}}$ ou $\phi = {\omega _{11}}\frac{{2d}}{{U + U'}}\sqrt {\frac{{2mU}}{e}}$ et numériquement : $\frac{\phi }{{2\pi }} = 8,6$ d’où sinϕ < 0.
14) Dans le plan xOy, la projection de la trajectoire est un cercle de rayon $R = \frac{{m{v_ \bot }}}{{eB}}$mais selon Oz le mouvement est uniformément accéléré : la trajectoire est une hélice circulaire de pas variable. Le mouvement selon Oz n’est pas affecté par ${\vec v_ \bot }$. Le champ magnétique évite de perdre des particules s’il est assez intense et que $R < \sqrt s$ alors tous les électrons arrivent sur la cathode ; par exemple, si ${v_ \bot } \approx \sqrt {\frac{{2e{V_0}}}{m}}$et $R \approx 1\,{\rm{mm}}$alors $B \approx {10^{ - 3}}\,{\rm{T}}$est réalisable ; cependant, la vitesse v_// n’est pas nulle et présente une certaine dispersion.