- Sur le système (O,→u,→v), P a pour coordonnées (a,0) et Ω a pour coordonnées (-a cos θ, a sin θ) ; d’où : P→Ω=−a(1+cosθ)→u+asinθ→v
- PΩ=2acosθ2 s’obtient à partir des coordonnées précédentes ou en raisonnant directement sur le triangle isocèle OPΩ dont les angles P et Ω valent θ/2.
- →T=K(2acosθ2−ℓ)[−cosθ2→u+sinθ2→v]
- →F=Mg[cosθ→u−sinθ→v]+r→u+K(2acosθ2−ℓ)[−cosθ2→u+sinθ2→v]
où r est la mesure algébrique (et non le module) de la réaction du demi cercle sur la perle. - →V=a˙θ→v.
- →F.→V=a˙θ[(Ka−Mg)sinθ−Kℓsinθ2].
- →F.→V=−dEpdt=−dEpdθdθdt. D’où dEpdθ=a[(Mg−Ka)sinθ+Kℓsinθ2] et
Ep=a[(Ka−Mg)cosθ−2Kℓcosθ2]+cste - E=12Ma2˙θ2+Ep
- En projetant la loi fondamentale de la dynamique sur →v et en utilisant l’expression de la force de la question 4, on obtient : Ma¨θ=Fθ=−Mgsinθ+K(2acosθ2−ℓ)sinθ2=(Ka−Mg)sinθ−Kℓsinθ2
On peut aussi obtenir cette relation en dérivant l’énergie par rapport au temps. - Les positions d’équilibres sont celles pour lesquelles: Fθ=2(Ka−Mg)sinθ2cosθ2−Kℓsinθ2=0
- ou bien θ=0 ;
- ou bien θ=±θ1 tel que cosθ12=Kℓ2(Ka−Mg) si cette équation a des racines. - θ1, compris entre 0 et π2(soit θ12 compris entre 0 et π4), existe si 1√2≤Kℓ2(Ka−Mg)<1, ce qui exige Ka>Mg et 1<2(Ka−Mg)Kℓ≤√2. Doncθ1 existe si K(a−ℓ√2)≤Mg<K(a−ℓ2)
Le poids ne doit être, ni trop grand (alors il n’y a qu’une position d’équilibre, qui est stable, en θ = 0), ni trop petit (alors l’action du ressort l’emporte et la position d’équilibre θ = 0 est instable ; lorsqu’on s’en écarte, la perle est rappelée au delà de sa position extrême θ=π2). - L’équilibre est stable si dFθdθ<0 et instable si dFθdθ>0. Comme :
dFθdθ=−(Ka−Mg)cosθ−Kℓ2cosθ2, la position d’équilibre θ = 0 est stable si Mg≤K(a−ℓ2)(alors, c’est la seule position d’équilibre) et instable si l’inégalité est en sens contraire.
Si θ1 existe, θ = ± θ1 sont des positions d’équilibre stable, parce que les positions d’équilibres sont alternativement stables et instables. On peut aussi le montrer en examinant le signe de dFθdθ=(Ka−Mg)cosθ1−Kℓ2cosθ12
=(Ka−Mg){2[Kℓ2(Ka−Mg)]2−1}1−Kℓ2Kℓ2(Ka−Mg)=K2ℓ24(Ka−Mg)−(Ka−Mg) qui est négatif puisque Kℓ2(Ka−Mg)<1. - a=2MgK ; ℓ=√3MgK. D’où : cosθ12=√32 ; θ1=π3.
Les positions d’équilibre sont donc θ=−π3,θ=0etθ=+π3.
Comme dFθdθ(θ=0)=(1−√32)Mg>0, la position d’équilibre θ = 0 est instable.
Comme dFθdθ(θ=±θ1)=−14Mg<0, les positions d’équilibre θ = ± θ1 sont stables.
L’énoncé complique inutilement la résolution de ce problème en obligeant à intégrer F pour obtenir Ep, puis en dérivant deux fois Ep pour obtenir la dérivée de F. Il est plus simple de ne dériver qu’une fois F. - Si ε est petit, une expression approximative de la force au voisinage de la position d’équilibre est : Fθ≈εdFθdθ(θ=±θ1)=−Mg4ε. La loi fondamentale de la dynamique s’écrit Ma¨ε=−Mg4ε qui est l’équation d’un oscillateur harmonique de pulsation Ω telle que Ω2=g4a=K8M .
- Si on résout naïvement l’énoncé, on trouve une amplitude de ε égale à √2 radian, ce qui est trop grand.
L’énergie cinétique initiale est Ec(0)=12Ma2˙ε20=Mga4=0,25Mga.
La différence d’énergie potentielle entre le point de départ (minimum) et le point extrême possible (maximum) est Ep(θ=π2)−Ep(θ=π3)=Mga(52−√6)≈0,05Mga, qui est nettement plus petit que l’énergie cinétique initiale. Donc la perle a un mouvement approximativement uniforme ε≈ε(0)t jusqu’à ce qu’elle parvienne à l’extrémité du demi cercle. L’énoncé ne permet pas de savoir ce qu’il advient ensuite. - Ω2=K8M=K′M. Donc K′=K8=125N/m. K’ est nettement plus petit que K, car le poids est la force de rappel la plus importante et diminue notablement l’effet du ressort.
- Ω2=g4a=gL. Donc L=4a=8MgK=7,8cm. A noter l’irréalisme de la petitesse de a. En l’absence de ressort, le système est équivalent à un pendule de longueur a, donc on aurait L = a. Le ressort jouant contre le poids, tout se passe comme si la pesanteur était plus faible, ou, ce qui revient au même, comme si la longueur du pendule était plus grande.
- →σO=Ma2˙θ→k.
- O→P∧F=aFθ→k.
- d→σOdt=O→P∧→F soit Ma2¨θ=aFθ qui au facteur a près est identique à l’équation de la question 9. Il vaut mieux ne pas expliciter la force, la démonstration est alors plus claire.
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