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Concours Physique TPE 1992 (Corrigé)

  1. Sur le système (O,u,v), P a pour coordonnées (a,0) et Ω a pour coordonnées (-a cos θ, a sin θ) ; d’où : PΩ=a(1+cosθ)u+asinθv
  2. PΩ=2acosθ2 s’obtient à partir des coordonnées précédentes ou en raisonnant directement sur le triangle isocèle OPΩ dont les angles P et Ω valent θ/2.
  3. T=K(2acosθ2)[cosθ2u+sinθ2v]
  4. F=Mg[cosθusinθv]+ru+K(2acosθ2)[cosθ2u+sinθ2v]
    où r est la mesure algébrique (et non le module) de la réaction du demi cercle sur la perle.

  5. V=a˙θv.
  6. F.V=a˙θ[(KaMg)sinθKsinθ2].
  7. F.V=dEpdt=dEpdθdθdt. D’où dEpdθ=a[(MgKa)sinθ+Ksinθ2] et
    Ep=a[(KaMg)cosθ2Kcosθ2]+cste
  8. E=12Ma2˙θ2+Ep
  9. En projetant la loi fondamentale de la dynamique sur v et en utilisant l’expression de la force de la question 4, on obtient : Ma¨θ=Fθ=Mgsinθ+K(2acosθ2)sinθ2=(KaMg)sinθKsinθ2
    On peut aussi obtenir cette relation en dérivant l’énergie par rapport au temps.
  10. Les positions d’équilibres sont celles pour lesquelles: Fθ=2(KaMg)sinθ2cosθ2Ksinθ2=0
    - ou bien θ=0 ;
    - ou bien θ=±θ1 tel que cosθ12=K2(KaMg) si cette équation a des racines.
  11. θ1, compris entre 0 et π2(soit θ12 compris entre 0 et π4), existe si 12K2(KaMg)<1, ce qui exige Ka>Mg et 1<2(KaMg)K2. Doncθ1 existe si K(a2)Mg<K(a2)
    Le poids ne doit être, ni trop grand (alors il n’y a qu’une position d’équilibre, qui est stable, en θ = 0), ni trop petit (alors l’action du ressort l’emporte et la position d’équilibre θ = 0 est instable ; lorsqu’on s’en écarte, la perle est rappelée au delà de sa position extrême θ=π2).

  12. L’équilibre est stable si dFθdθ<0 et instable si dFθdθ>0. Comme :
    dFθdθ=(KaMg)cosθK2cosθ2, la position d’équilibre θ = 0 est stable si MgK(a2)(alors, c’est la seule position d’équilibre) et instable si l’inégalité est en sens contraire.
    Si θ1 existe, θ = ± θ1 sont des positions d’équilibre stable, parce que les positions d’équilibres sont alternativement stables et instables. On peut aussi le montrer en examinant le signe de dFθdθ=(KaMg)cosθ1K2cosθ12
    =(KaMg){2[K2(KaMg)]21}1K2K2(KaMg)=K224(KaMg)(KaMg) qui est négatif puisque K2(KaMg)<1.
  13. a=2MgK ; =3MgK. D’où : cosθ12=32 ; θ1=π3.
    Les positions d’équilibre sont donc θ=π3,θ=0etθ=+π3.
    Comme dFθdθ(θ=0)=(132)Mg>0, la position d’équilibre θ = 0 est instable.
    Comme dFθdθ(θ=±θ1)=14Mg<0, les positions d’équilibre θ = ± θ1 sont stables.
    L’énoncé complique inutilement la résolution de ce problème en obligeant à intégrer F pour obtenir Ep, puis en dérivant deux fois Ep pour obtenir la dérivée de F. Il est plus simple de ne dériver qu’une fois F.
  14. Si ε est petit, une expression approximative de la force au voisinage de la position d’équilibre est : FθεdFθdθ(θ=±θ1)=Mg4ε. La loi fondamentale de la dynamique s’écrit Ma¨ε=Mg4ε qui est l’équation d’un oscillateur harmonique de pulsation Ω telle que Ω2=g4a=K8M .
  15. Si on résout naïvement l’énoncé, on trouve une amplitude de ε égale à 2 radian, ce qui est trop grand.
    L’énergie cinétique initiale est Ec(0)=12Ma2˙ε20=Mga4=0,25Mga.
    La différence d’énergie potentielle entre le point de départ (minimum) et le point extrême possible (maximum) est Ep(θ=π2)Ep(θ=π3)=Mga(526)0,05Mga, qui est nettement plus petit que l’énergie cinétique initiale. Donc la perle a un mouvement approximativement uniforme εε(0)t jusqu’à ce qu’elle parvienne à l’extrémité du demi cercle. L’énoncé ne permet pas de savoir ce qu’il advient ensuite.

  16. Ω2=K8M=KM. Donc K=K8=125N/m. K’ est nettement plus petit que K, car le poids est la force de rappel la plus importante et diminue notablement l’effet du ressort.
  17. Ω2=g4a=gL. Donc L=4a=8MgK=7,8cm. A noter l’irréalisme de la petitesse de a. En l’absence de ressort, le système est équivalent à un pendule de longueur a, donc on aurait L = a. Le ressort jouant contre le poids, tout se passe comme si la pesanteur était plus faible, ou, ce qui revient au même, comme si la longueur du pendule était plus grande.
  18. σO=Ma2˙θk.
  19. OPF=aFθk.
  20. dσOdt=OPF soit Ma2¨θ=aFθ qui au facteur a près est identique à l’équation de la question 9. Il vaut mieux ne pas expliciter la force, la démonstration est alors plus claire.

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