Concours Physique Modélisation ENS de Cachan et École Polytechnique (PSI) 1999 (Énoncé)

ENS
Ecole POLYTECHNIQUE
DURéE: 5 heures
L’usage de calculatrices électroniques de poche à alimentation autonome, non imprimantes et sans document d’accompagnement, est autorisé pour toutes les épreuves d’admissibilité, saufpour les épreuves de franσais et de langues. Cependant, une seule calculatrice à la fois est admise sur la table ou le poste de travail, et aucun échange n’est autorisé entre les candidats.
Le sujet est composé:
-d’un texte de 12 pages définissant le travail demandé.
-d’un document au format A4 appelé document 1.
Recommandations.
Il est conseillé au candidat de lire tout le sujet.
Les questions sont ordonnées, mais beaucoup sont indépendantes. Elles sont nombreuses pour aider le candidat.
Le texte est structuré pour analyser diff érents modèles. Les questions s’inscrivent plus particulièrement dans les champs scientifiques spécifiques aux programmes de sciences physiques et de sciences industrielles.
Une grande attention sera portée à la qualité de la réponse. Le candidat justifiera succinctement toutes les hypothèses qu’il sera amené à formuler.
Il est demandé au candidat de rappeler sur sa copie, le numéro de la question avant de développer sa réponse.
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Mise en situation
La température de l’air dans l’habitacle d’une automobile est régulée, quelles que soient les conditions climatiques extérieures par la commande d’un dispositif de chauffage et d’un dispositif de réfrigération implantés sur la voiture:

-Le dispositif de chauffage réchauffe l’air pulsé dans l’habitacle au travers d’un radiateur alimenté par l′eau de refroidissement du moteur.
Le dispositif de réfrigération refroidit l’air pulsé dans l’habitacle à travers un radiateur alimenté par un fluide réfrigérant. Il lui retire également une partie de son humidité et de ses poussières.
Le dispositifde réfrigération se compose principalement d’un compresseur 1, de deux échangeurs (un condenseur2 et un évaporateur5), d’un filtre receveur3 et d’une soupape d’expansion 4 qui fait fonction de détendeur.

Figure 0

Entraîné par le moteur thermique au moyen d’une courroie, le compresseur aspire le fluide réfrigérant à basse pression et à $l'\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{t}$ gazeux et le refoule à haute pression. Le fluide réfrigérant traverse alors le condenseur, d’ou il ressort à $l'\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{l}$iquide avant de passer dans le filtre. Celuici amortit les excès pendant les phases de charges variables et filtre les particules solides. La soupape d’expansion, réglée au montage et pilotée par une sonde, assure le débit et abaisse la pression du fluide à l’entrée de l’évaporateur. Dans l’évaporateur, le fluide réfrigérant absorbe de la chaleur àl’air qui le traverse. L’air qui pénètre dans l’habitacle est donc refroidi. De plus la capacité réfrigérante de l’évaporateur permet la déshumidification de l’air, ce qui accroît notablement le bien être dans l’habitacle. Le réglage de l’installation est tel que le fluide réfrigérant sort de l’évaporateur à l'état gazeux.
L’objet de cette étude est le compresseur 1 de la figure 0, et plus particulièrement l’ analyse des fonctions de service données ci-dessous.

Le compresseur retenu est représenté, sur le document 1, en coupe longitudinale dans le plan $(C,\ \vec{x},\ \vec{y})$ fixe par rapport au corps 1. Il est composé de cinq pistons 13 identiques, de diamètre 35 mm, disposés axialement. Lorsque la bobine 18 de l’embrayage électromagnétique est alimentée, le champ magnétique fait adhérer la rondelle 20 sur la poulie 19 qui est alors en liaison complète avec l’arbre d’entrée 23. Sur le document 1, au niveau de la zone Z2, l’embrayage est représenté dans la position fermée. Le plateau came 2 et le plateau oscillant 3 transforment le mouvement de rotation continue de l’arbre d’entrée 23 en un mouvement de translation alternatif des pistons 13. Pour des raisons de régularité de mouvement des cinq pistons, il est souhaitable que le mouvement alternatif des pistons soit de type sinusoidal.

I. Analyse de la transformation de mouvement.

L’objet de cette partie est de valider la réalisation de la foi d’espace sinusoidale imposée au piston.
Le premier modèle retenu pour la chaîne cinématique du compresseur est donné par le schéma de la figure 1. La liaison entre l'ensemble noté 3 (constitué du plateau oscillant 3, du pignon conique 4 et de la pièce intermédiaire 32) avec le pignon conique 6 se fait à la fois par
Figure 1
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l’intermédiaire de la bille 5 de centre C et d’un engrenage conique de sommet C.
Le ressort 8 maintient le contact de ces deux liaisons unilatérales. La liaison entre le pignon conique 6 et le bâti 1 est une glissière de direction?.
L’appui plan, réalisé entre le plateau oscillant 3 et le plateau came 2, est aussi unilatéral maintenu par le ressort 8. Il est réalisé par une butée à rouleaux.
La liaison entre le plateau came 2 et le bâti 1 est une liaison pivot d’axe $(C,\vec{x})$ .
On attache au bâti 1 le repère galiléen $R ( C, \vec{x}, \vec{y}, \vec{z} )$
On attache au plateau came 21es repères $R_{12} ( C,\vec{x},\vec{y}_{12}, \vec{z}_{2})$ et $R_{2}(C,\vec{x}_2,\vec{y}_2, \vec{z}_2)$ avec $(\vec{x},\vec{x}_2)= \vec{y}_{1},\vec{y}_{12})=\beta$ angle fixe d’inclinaison du plateau came.
On appelle α l’angle d’entrée $(\vec{y}_{1},\vec{y}_{12}=(\vec{Z}, \vec{z}_2)$ .
On attache au plateau oscillant 3 représente $R_{3}(C,\vec{x}_3 ,\vec{y}_3 , \vec{z}_3 )$
On appelle γ l’angle $(\vec{y}_2,\vec{y}_3)=(\vec{z}_2,\vec{z}_3)$

Notations à respecter:
On appelle $\vec{\Omega}_{i/j}$ le vecteur vitesse de rotation du solide i par rapport au solidej. Si ce vecteur $\vec{\Omega}_{i/j}$ est porté par un vecteur unitaire →k, alors on note $\vec{\Omega}_{i/j}=\omega_{ij}\vec{k}$
Hypothèse: On considère dans un premier temps, questions 1 à 18, qu’il n’y a aucun mouvement entre le pignon conique 6 et le bâti 1 : {𝒱_6/1}={0}.
Mouvement relatif 2/3.

1 -Quel mouvement relatif doivent avoir les pièces 2 et 3 pour que la butée à rouleaux qui les relie, fonctionne dans de bonnes conditions?
2 -Par une fermeture de chaîne cinématique, déterminer la nature du mouvement de 2 par rapport à 3. Vérifier qu’il est bien compatible avec le bon fonctionnement de la butée défini ci-dessus.
Mouvement relatif 4/6.
3-Soit CE la ligne de contact des cônes primitifs des pignons coniques 4 et 6. Si on suppose la largeur de denture suffisamment grande, comment peut-on modéliser le mouvement relatif4/6 autorisé par cette liaison par engrenage?
4 -En réalité, la largeur de denture étant plutôt réduite, des rotations et une translation supplémentaires apparaissent. Quel modèle de liaison peut-on alors proposer pour le contact de ces dentures?
5-La présence de la bille 5 apporte une liaison supplémentaire entre 4 et 6. Quelle est alors la liaison équivalente à ces deux liaisons en parallèle (engrenage conique dans la modélisation de la question 4 et liaison par bille)?

6-Sans calcul, donner le degré d’hyperstatisme de chacun des deux modèles:
“engrenage conique suivant la question 3”+ liaison par bille,
“engrenage conique suivant la question 4”+ liaison par bille.
7-On pose $\vec{x}_{E}=\frac{\vec{CB}}{||\vec{CB}||}$. Montrer que l’axe$(C,\vec{x}_{E})$ est toujours dans le plan $(C,\vec{x},\vec{x}_2)$ en trouvant une relation liant ω_4/6, ω_2/1, ω_2/3,$\vec{x}_E , \vec{x}$, et $\vec{y}_{2}.$
8-L’axe $(C,\vec{x}_{2})$ est un axe matériel de 2, tandis que l’axe $(C,\vec{x}_{E})$ est un axe géométrique. Il faut, pour que les centres B et D des rotules de la biellette 14 se trouvent dans un même plan radial à chaque tour de 2, que cet axe géométrique coincide à chaque tour avec l’axe matériel $(C,\vec{x}_{E})$ de 3. Quelle conséquence cela a-t-il sur la relation entre ω_2/1 et ω_2/3 c’est à dire sur le rapport de réduction de l’engrenage?
9-Quelle est alors l’expression de $\vec{x}_{E}$ en fonction de $\vec{x}$ et $\vec{x}_{2}$ ?
Trajectoire du point D.

Compte tenu des résultats précédents, dans l’étude qui suit, on retient pour le compresseur le modèle donné par le schéma de la figure 2 cicontre.
On a vu à la question 8 que BD devait rester dans le même plan radial à chaque tour. Ceci a imposé une condition sur l’engrenage.
Cependant au cours du mouvement, le point D va quitter le plan radial de B. D’autre part, D va changer d’ordonnée. L’inclinaison de la ligne BD par rapport à l’axe $(B,\vec{x})$ du piston va donc changer.
Figure 2
On se propose dans la suite de ce problème de vérifier si cette inclinaison reste dans des limites acceptables pour assurer une bonne poussée du piston.
On pose $\vec{CD}=R\vec{y}_{3}$
10-Sur quelle surface se trouve la trajectoire du point D?

11 -En considérant qu’à l’instant t = 0, les angles α et γ sont nuls, donner la relation liant α et γ à tout instant.
12-Définir alors le vecteur $\vec{CD}$ sur la base $(\vec{x},\vec{y},\vec{z})$ en fonction de R, α et β.
13 -Donner une première approximation de la vitesse du piston par rapport au bâti.
14-On considère que l’instant t = 0 correspond à la configuration dessinée sur le document 1, et qu’à cet instant D = D₀. Calculer la distance d entre le point D, à chaque instant au cours de son mouvement, et l’axe $(D_{0},\vec{x})$ .
15-Calculer la valeur maximale de d, pour β = 17, 5^o et R = 37.6 mm.
16-Dans la configuration du dessin, D est à une ordonnée supérieure à celle de B. Comment évolue cette différence d’ordonnées au cours du temps? Conclure.
Trajectoire du piston.
Lassé des calculs, on se propose d’utiliser un logiciel d’analyse de mécanisme, DMT CSMT, pour aller plus loin, On saisit donc le schéma de la figure 2, et on constate que DMT CSMT n’accepte que les engrenages coniques à axes perpendiculaires.

17-Pour pouvoir le saisir sous DMT CSMT, quel modèle cinématiquement équivalent peut on proposer sans utiliser d’engrenages?
Remarque:
DMT CSMT n’accepte pas non plus les liaisons de type rotule à doigt.
18 -Une fois résolu le problème de la question 17, on peut obtenir l’évolution réelle de la position du piston. Les valeurs en sont données dans le tableau ci-contre. Comparer ces valeurs à celles du déplacement suivant #du point D dont on a trouvé la valeur littérale dès la question 12.
Commenter.

Utilité de la glissière 6, 1.

On reprend le schéma de la figure 1 et on se propose dejustifier la présence de la liaison glissière 6/1.

19-Pour cela, calculer le rang r_c des équations de fermeture de chaîne cinématique, d’une part lorsque la glissière 6/1 existe, d’autre part lorsqu’elle n’existe pas. (On considère la liaison par engrenage conique associée à celle réalisée par la bille 5 comme une liaison pivot d’axe CE).
20-En déduire, dans chaque cas, le degré d’hyperstatisme du modèle. Conclure.
Il. Analyse de la transmission du mouvement entre la poulie et l’arbre.
Dans cette partie, on se propose d’une part, de valider la disposition constructive permettant de relier le disque mobile 20 de l’embrayage à l’arbre d’entrée 23, d’autre part de vérifier que la mise en vitesse du compresseur se fait dans un temps suffisamment court pour ne pas générer de détérioration, du compresseur en général, de son embrayage en particulier.
Transmission du mouvement entre disque 20 et arbre d’entrée 23.
21-En considérant les trois lames 25 indéformables et en utilisant les notations définies à la page suivante, justifier, par un calcul de mobilité, la liaison entre les pièces 20 et 21 réalisée par les trois lames 25 disposées comme indiqué sur la figure 3a et non pas comme indiqué sur la figure 3b.

Notations à respecter pour la question 21: Pour i ∈ {1, 2, 3}:
-On note A_i l’intersection, avec le plan $(O,\vec{y},\vec{z})$ de la figure 3, de l’axe de la liaison pivot réalisée par le rivet reliant la pièce 21 à la lame 25_i;
-On note B_i l’intersection, avec le plan $(O,\vec{y},\vec{z})$ de la figure 3, de l’axe de la liaison pivot réalisée par le rivet reliant la pièce 20 à la lame 25_i;
-On pose $OA_{i}=a\vec{u}_{i}^{o}$ et $OB_{i}=b\vec{v}^{o}_{i},\vec{u}^{o}_{i}\wedge \vec{x}=\vec{u}_{i}$ et $\vec{v}^{o}_{i}\wedge \vec{x}=\vec{v}_{i}$ (les vecteurs $\vec{u}^{o}_{i},\vec{v}_{i}^{o}, \vec{u}_{i}, \vec{v}_{i}$ sont normés)
On pose $\Omega_{21_{i}/20}=\omega_{i}\vec{x}$ et $\Omega_{21/25_{i}}=\omega^{'}_i\vec{x}$
Etude de la bobine d’attraction.
On se propose d’évaluer dans cette partie le temps d’enclenchement de l’embrayage électromagnétique. Ce temps est constitué d’une part du temps de fermeture (durée nécessaire au disque 20 pour parcourir l’entrefer) et d’autre part du temps de patinage (nécessaire à la poulie 19 pour entraîner à sa vitesse le disque 20).

La bobine d’attraction de l’embrayage électromagnétique est à symétrie de révolution. Afin de réaliser une étude quantitative simplifiée on assimile le fonctionnement électromagnétique du dispositif à celui de $l'\acute{\mathrm{e}}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{o}$-aimant de la figure 4 en géométrie cartésienne (géométrie invariante selon la normale à la figure 4).
Figure 4: Modèle de l’électroaimant
La pièce 1, supposée immobile dans cette étude, représente la partie de la poulie 19 par laquelle circule le flux magnétique. La pièce 2 représente le disque mobile 20. Ces deux parties sont magnétiques. Le ressort de rappel de la pièce 2 représente les lames 25 étudiées à la question 21.
On suppose que le champ magnétique reste concentré dans les pièces 1 et 2 et dans les deux entrefers. La section offerte au passage du champ est constante et vaut S = 10, 2cm². La perméabilité relative du matériau magnétique est constante et vaut μ_r = 1000. La dimension des deux entrefers, notée x, est identique. Elle varie de 0 à 2 mm.
On suppose que dans l’entrefer les lignes de champ sont des droites parallèles. La longueur moyenne du parcours de l’induction magnétique $\vec{B}$ dans le milieu magnétique est l = 0, 14m. La bobine d’excitation est constituée de N = 200 spires. La résistance électrique du bobinage est R = 1, 2Ω. L’alimentation est assurée par une source de tension constante E = 12V.
Sur la modélisation de la figure 4, le ressort de rappel de la pièce 2 a une constante de raideur: k = 100N/mm. La pièce 2 a une masse de m = 530g.
Circuit magnétique.

La bobine est parcourue par un courant i continu.
22 En utilisant le théorème d’Ampère, donner l’expression littérale du module B de l’induction $\vec{B}$ dans l’entrefer en fonction de x.
23-On définit l’inductance de la bobine par:
$$L=\frac{\phi}{i}$$
où ϕ est le flux total embrassé par la bobine. Donner l’expression de L en fonction de x : L(x) . Quelles sont alors les valeurs L_e et L₀ correspondant respectivement à x = x₀ et à x = 0?
24-On admet que la force d’attraction s’exerçant sur la pièce mobile a pour module:
$$F=\frac{SB^{2}}{2\mu_{0}}$$
. Déduire de la question 23 l’expression de F en fonction de L et de i.
Circuit électrique.
Chaque entrefer a une longueur x fixée 0 ≤ x ≤ x₀. La bobine est alimentée: le circuit comporte en série une résistance R et une inductance constante L(x)=L.
25-Rappeler l’équation différentielle régissant l’évolution du courant i(t) dans la bobine. 26-On suppose qu’à l’instant t = 01e courant est nul: i(O)=0. Donner l’expression de i(t) pour t > 0. On pourra poser $\tau=\frac{L}{R}$ 27-Montrer que si t est faible devant $\tau, l'\acute{\mathrm{e}}$volution du courant suit une loi du type: $i(t)=\frac{E}{L}t$ Temps de fermeture du circuit magnétique.
On désire estimer le temps t_f que met la pièce 2 (disque 20) pour passer de la position x = x₀ à x = 0.
Le circuit magnétique est initialement dans la configuration de la figure 4 (x = x₀) . La bobine n’est pas alimentée. A l’instant t = 0, on applique la tension constante E à ses bornes.
Hypothèse:
Pour les questions 28 à 33, le temps de fermeture t_f du circuit magnétique est faible devant
$$\tau_{e}=\frac{L}{R}.$$
28 -Montrer que le module de la force d’attraction F en fonction du temps pendant la fermeture suit une loi du type: F(t)=at² où a est une constante indépendante de la position x.
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29-Ecrire le théorème de la résultante dynamique donnant l’équation différentielle régissant évolution de x(t) .

30- On néglige la force de rappel du ressort. Résoudre l’équation différentielle vérifiée par x(t) et donner la valeur du temps de fermeture t_f obtenu dans ces conditions. Commenter l’hypothèse “Le temps de fermeture t_f du circuit magnétique est faible devant $\displaystyle \tau_{e}=\frac{L}{R}$”
31 -On prend en compte la force de rappel du ressort. Résoudre dans le cas général l’équation différentielle vérifiée par x(t) .
32-Tracer alors sommairement le graphe de x(t) et montrer que pendant la fermeture on a une majoration de la courbe x(t) par:
x(t)< − α₁t² + α₂ où α₁ et α₂ sont deux constantes positives.
33-Déduire de la question 32 la valeur de t_f.
34 L’hypothèse “t_f faible devant $\displaystyle \tau_{e}=\frac{L}{R}$” est-elle vérifiée? Compte tenu de évolution réelle du courant, comparer la valeur t_f ainsi calculée à la valeur qui sera obtenue en pratique.
Temps de mise en vitesse du compresseur.
On désire estimer le temps de patinage t_p que met la poulie à entraîner le disque de l’instant de contact jusqu’à une vitesse de 4000 tr/mn.
L’inductance de la bobine au moment du contact est L₀ = 360mH.
On suppose que le module de la force d’attraction appliquée sur le disque est égal à la force électromagnétique F (on néglige la force de rappel du ressort). L’application d’une loi de Coulomb permet alors d’affirmer que le couple d’entraînement de la poulie, C_m (couple moteur) est proportionnel à F suivant la loi: C_m = 13.10⁻³F où C_m est exprimé en N.m et F en Newtons.
Le couple résistant dû aux frottements dans le mécanisme est évalué à:C_r = 5N.m.
Hypothèse: On considère qu’à la mise en route de la climatisation, les efforts de pression appliqués par le fluide sur les pistons n’interviennent pas.
On appelle I_eq le moment d’inertie équivalent par rapport à l’axe$(C,\vec{x})$ , ramené au plateau came 2, de toutes les parties mobiles du compresseur, en aval de l’embrayage.
Pour effectuer le calcul du moment d’inertie équivalent I_eq, on considère que I_eq est donné par:
I_eq = I₂ + I_{(pistons + biellettes)} + I_{plateau oscillant}
I₂ est le moment d’inertie par rapport à l’axe$(C,\vec{x})$ de toutes les pièces tournant à la vitesse même vitesse $\omega_{2/1}=\dot{\alpha}(t)$ que le plateau came 2. Un rapide calcul permet de l’évaluer à I₂ = 2350kg.mm².

I_{(pistons + biellettes} est le moment d’inertie équivalent issu du mouvement des pistons 13 et biellettes 14. On considère pour calculer ce moment d’inertie équivalent, compte tenu des résultats de l’étude cinématique, que le mouvement de la biellette est un mouvement de translation de direction? identique à celui du piston. Par ailleurs, ily a 5 ensembles (piston+biellette) équirépartis autour de l’axe $(C,\vec{x})$ dans le type proposé de compresseur. Chaque ensemble a une masse m_pb = 0.12kg.
I_{plateau oscillant} est le moment d’inertie équivalent issu du mouvement oscillant autour du point C du plateau oscillant 3. On considère, pour calculer ce moment d’inertie équivalent, que le plateau oscillant est un cylindre homogène de rayon R_po = 45 mm, de hauteur H_po = 10 mm et de masse m_po = 0, 5kg. Le point C est le centre de l’ une de ses bases.
35-En prenant une loi de vitesse du piston: $ v_{piston/bâti}=\dot{\alpha}R\sin\beta\sin\alpha$, donner l’expression, dans le cadre des hypothèses définies ci-dessus, de l’énergie cinétique de l’ensemble (piston+biellette) correspondant à celui du schéma de la figure 1, en fonction de m_pb, R = ‖CD‖,α(t) et $\dot{\alpha}(t)$ . En déduire en fonction des mêmes variables, l’expression de l’énergie cinétique totale des 5 ensembles (piston+biellette). En déduire l’expression puis la valeur numérique de I_{(pistons + biellettes}) . On rappelle que β = 17, 5^oetR = 37, 6 mm.
36-Donner l’expression de l’énergie cinétique du plateau oscillant 3, en fonction de $R_{po}, H_{po}, m_{po}, \beta=(\vec{x},\vec{x}_2)$ et $\dot{\alpha}(t)$ . En déduire l’expression puis la valeur numérique de I_{plateau oscillant}
37-Ecrire le théorème du moment dynamique régissant la vitesse relative $\omega_{2/1}(t)=\dot{\alpha}(t)$ du disque. On choisit pour la suite de l’étude l’instant de début de rotation du disque comme origine des temps.
38-Déterminer la valeur du courant à partir de laquelle le couple moteur devient supérieur au couple résistant.
évolution de ω_2/1(t) explicite dans un cas simple.
On suppose que le circuit magnétique n’est pas saturé pendant la montée en vitesse, c’est à dire que l’inductance L₀ reste indépendante du courant et égale à 360 mH. La valeur initiale du courant est i₀ = 0, 7A.
39-Donner les expressions littérales du courant i et du couple C_m en fonction du temps en supposant que t_p est faible devant $\displaystyle \tau_0=\frac{L_{0}}{R}.$
40-On néglige le couple résistant. Résoudre l’équation différentielle donnant l’évolution ω_2/1(t) et déterminer le temps t_p nécessaire pour atteindre une vitesse de 4000 tr/mn. On considère pour les questions 40 et 41 que l_eq = 2400kg.mm². L’hypothèse “t_p est faible devant $\displaystyle \tau_{0}=\frac{L_{0}}{R}$” est elle vérifiée?
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41 On prend en compte le couple résistant. Résoudre l’équation différentielle donnant évolution ω_2/1(t) et évaluer de façon approximative le temps t_p nécessaire pour atteindre une vitesse de 4000 tr/mn. Commenter.
42 -Quelles sont les valeurs du courant et de l’induction à t = t_p.
Evolution de ω_2/1(t) numérique dans un cas plus réaliste.
La valeur de l’induction magnétique obtenue à la question 42 montre que l’hypothèse L₀ constante n’est pas réaliste. Il est alors nécessaire de prendre en compte les phénomènes de saturation magnétique du matériau et donc la dépendance de l’inductance L₀ en fonction du courant i. A partir d’un relevé expérimental de la courbe de saturation du matériau magnétique, on a tiré les valeurs d’inductance L_k en fonction des valeurs du courant i_k(k = 1,  …5) présentées dans le tableau ci-dessous.

On désire approcher la loi L₀(i) par une approximation linéaire L(i)du type:
L(i)=b₁ + b₂i où b₁ et b₂ sont à estimer. On réalise une approximation par une droite de moindres carrés (régression linéaire).
Pour ce faire on cherche les paramètres b₁ et b₂ minimisant la quantité J ci dessous:
$$J(b_{1},\ b_{5})=\sum_{k=1}^{5}[L_{k}-L(i_{k})]^{2}k$$
43 En écrivant que $\displaystyle \frac{\partial J}{\partial b_{1}}=0$ et $\displaystyle \frac{\partial J}{\partial b_{2}}=0$ donner le système linéaire dont sont solutions les deux inconnues b₁ et b₂

44-Déduire de la question 43, les valeurs numériques optimales de b₁ et b₂.
45-Vérifier la validité des valeurs obtenues par un tracé.
On suppose maintenant que l’inductance L₀(i) suit une loi linéaire du type: L₀(i)=b₁ + b₂i avec les valeurs de b₁ et b₂ trouvées à la question 44.
Afin de déterminer les valeurs du courant dans le circuit en fonction du temps, on discrétise dans le temps l’équation différentielle vérifiée par i(t) .
On note i_n l’approximation de i(nΔt= où Δt= est le pas de discrétisation. On cherche alors la suite de nombres i_n solution de l’équation récurrente:
$L_{0}(i_{n}) \frac{i_{n+1}-i_{n}}{\Delta t}+Ri_{n}=E$ avec i₀ = 0, 7A.
2
46-Justifier l’équation récurrente utilisée, puis exprimer i_n + 1 en fonction de i_n.
47 On choisit Δt = 20ms. Déterminer les 3 premières valeurs numériques du courant obtenues par la suite récurrente.
On désire évaluer numériquement des valeurs approchées de la vitesse ω_2/1(t) .
48-Proposer une discrétisation de l’équation mécanique.
49-On choisit Δt = 20ms. En utilisant les valeurs numériques du courant trouvées à la question 47, déterminer les valeurs prises par la vitesse aux mêmes instants.
50-Au bout de combien de temps la vitesse de 4000 tr/mn est-elle atteinte? Comparer ce temps avec celui obtenu à la question 41.
51 -Quelle est dans ces conditions la valeur de l’induction obtenue à la fin de la mise en vitesse?
Conclusion.
Au démarrage de la climatisation (après un long arrêt ayant permis l’uniformisation de la pression du fluide frigorigène dans tout le circuit), le cycle thermodynamique suivi par le fluide frigorigène est donné sur le diagramme enthalpique de la figure 5a.
Une fois atteint le régime permanent de fonctionnement, le cycle devient celui donné sur le diagramme enthalpique de la figure 5b.
Le temps obtenu à l’issue de l’étude précédente correspond au cas, certes sévère, où on enclenche la climatisation alors que le moteur tourne à 4000 tr/mn, mais il correspond aussi au démarrage de la climatisation après un long arrêt.

52-Quel est l’état du fluide dans chacun des pistons, au moment où on enclenche la climatisation après un bref arrêt? Quelle est alors la validité du temps obtenu à l’étude précédente? Quelle amélioration apporter à la modélisation pour prendre en compte ce cas de figure?

Concours Physique ENS Ulm (C/S) 1999 (Corrigé)

1.1.a) $\vec \nabla \wedge \vec B = \vec 0$, $\vec \nabla .\vec B = 0$, $\Delta \vec B = \vec \nabla (\vec \nabla .\vec B) - \vec \nabla \wedge (\vec \nabla \wedge \vec B) \Rightarrow \Delta \vec B = \vec 0$;
1.1.b) $\vec{\nabla }\wedge \vec{B}=\vec{0}\Rightarrow $
1.1.c) Prendre xOz // $\vec M$(pseudo-vecteur) $ \Rightarrow $ xOz plan d’antisymétrie, B_y(x,y,z) impaire en y, B_x(x,y,z), B_z(x,y,z) paires en y ; la dérivation en y change la parité, pas celles en x, z :${B_y} = - \frac{{\partial \Phi }}{{\partial y}}$$ \Rightarrow $ Φ(x,y,z) paire en y.

1.1.d) $\vec{\nabla }.\vec{B}=0\,\,\text{et}\,\,\vec{B}=-\vec{\nabla }\Phi \Rightarrow \vec{\nabla }.(\vec{\nabla }\Phi )=0\Rightarrow $
1.1.e) Prendre $\vec u$selon l’axe Oz :
$\Phi = \frac{{\vec u.\vec r}}{{{r^3}}} = \frac{{uz}}{{{r^3}}};\,\,\,\vec \nabla \Phi = u\vec \nabla \left( {\frac{z}{{{r^3}}}} \right) = uz\vec \nabla \left( {\frac{1}{{{r^3}}}} \right) + \frac{u}{{{r^3}}}\vec \nabla z = - \frac{{3(uz)\vec r}}{{{r^5}}} + \frac{{u{{\vec e}_z}}}{{{r^3}}} = - \frac{1}{{{r^3}}}\left( {\frac{{3(\vec u.\vec r)\vec r}}{{{r^2}}} - \vec u} \right)$,
à comparer au champ magnétique d’un dipôle de moment $\vec m$ :
$\vec{B}=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi {{r}^{3}}}\left( \frac{3(\vec{m}.\vec{r})\vec{r}}{{{r}^{2}}}-\vec{m} \right)\Rightarrow $
1.1.f) Le moment magnétique d’un élément de volume du disque en coordonnées cylindriques est :
$d\vec{m}=\vec{M}e\rho 'd\rho 'd\theta '\,\,\text{d }\!\!'\!\!\text{ o }\!\!\grave{\mathrm{u}}\!\!\text{ }d\Phi =\frac{{{\mu }_{0}}\overrightarrow{SA}.d\vec{m}}{4\pi ||\overrightarrow{SA}|{{|}^{3}}}=\frac{{{\mu }_{0}}Mez\rho 'd\rho 'd\theta '}{4\pi {{(\rho {{'}^{2}}+{{z}^{2}})}^{3/2}}}\Rightarrow \Phi =\frac{{{\mu }_{0}}Mez}{4\pi }\iint\limits_{Base}{\frac{\rho 'd\rho 'd\theta '}{{{(\rho {{'}^{2}}+{{z}^{2}})}^{3/2}}}}$ ;
Φ est de la forme demandée avec : $f\left( \rho ,z \right)=\frac{{{\mu }_{0}}Mez}{4\pi {{\left( {{\rho }^{2}}+{{z}^{2}} \right)}^{3/2}}}$.
1.1.g) Avec le changement de variable : ${\eta ^2} = \rho {'^2} + {z^2},\eta d\eta = \rho 'd\rho ':\,\Phi (0,0,z) = \,\frac{{{\mu _0}Mez}}{2}\int\limits_{\eta = z}^{\sqrt {{a^2} + {z^2}} } {\frac{{d\eta }}{{{\eta ^2}}}} $ ;
$\,\Phi (0,0,z)=\,\frac{{{\mu }_{0}}Me}{2}\left( 1-\frac{z}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{z}^{2}}}} \right),$
$\left[ A \right] = \left[ \Phi \right] = \left[ B \right]\left[ L \right] \Rightarrow A\,\,{\rm{en T}}{\rm{.m}}$ ; A.N. : $A\approx {{3.10}^{-3}}T.m$
1.2.a) ${B_\rho } = {B_\rho }(\rho ,z)\,\,{\rm{paire en }}\rho \,\,;\,\,{B_z} = {B_z}(\rho ,z)\,\,{\rm{impaire en }}\rho \,\,;$$\vec \nabla .\vec B = 0$$ \Rightarrow \frac{{\partial {B_\rho }}}{{\partial \rho }} + \frac{{{B_\rho }}}{\rho } + \frac{{\partial {B_z}}}{{\partial z}} = 0$ ;
d’après la règle de l’Hospital, les deux premiers termes sont égaux si $\rho \to 0$d’où : ${B_\rho } = - \frac{\rho }{2}\frac{{\partial {B_z}}}{{\partial z}} + O({z^3})$.
De plus : ${B_z} = {B_z}(0,z) + \frac{{{\partial ^2}{B_z}}}{{\partial {z^2}}}\frac{{{\rho ^2}}}{2} + O({\rho ^4})$ avec $\Delta {B_z} = 0 \Rightarrow \frac{{{\partial ^2}{B_z}}}{{\partial {\rho ^2}}} + \frac{1}{\rho }\frac{{\partial {B_z}}}{{\partial \rho }} + \frac{{{\partial ^2}{B_z}}}{{\partial {z^2}}} = 0$.
Les deux premiers termes sont égaux si $\rho \to 0$ d’après la règle de l’Hospital d’où :
$\frac{{{\partial ^2}{B_z}}}{{\partial {\rho ^2}}} = - \frac{1}{2}\frac{{{\partial ^2}{B_z}}}{{\partial {z^2}}}$$ \Rightarrow $${B_z} = {B_z}(0,z) - \frac{{{\partial ^2}{B_z}}}{{\partial {z^2}}}\frac{{{\rho ^2}}}{4} + O({\rho ^4})$.
$\bar{B}=-\frac{{{B}_{1}}\left( z \right)}{2}\rho {{\bar{e}}_{\rho }}+\left[ {{B}_{0}}\left( z \right)-\frac{{{B}_{2}}\left( z \right)}{4} \right]{{\bar{e}}_{z}}+O\left( {{\rho }^{3}} \right)$ avec ${B_1} = \frac{{d{B_0}}}{{dz}} = {\left( {\frac{{\partial \Phi }}{{\partial x}}} \right)_{\rho = 0}},{B_2} = \frac{{{d^2}{B_0}}}{{d{z^2}}}$.
1.2.b) Expressions de B₀, B₁, B₂ :
${{B}_{0}}=-\frac{\partial \Phi (0,0,z)}{\partial z}=A\frac{d\left[ z{{({{a}^{2}}+{{z}^{2}})}^{-1/2}} \right]}{dz}=A\left[ {{({{a}^{2}}+{{z}^{2}})}^{-1/2}}-\frac{2{{z}^{2}}}{2}{{({{a}^{2}}+{{z}^{2}})}^{-3/2}} \right]\Rightarrow $
${{B}_{1}}=\frac{d{{B}_{0}}}{dz}=A{{a}^{2}}\frac{d\left[ {{({{a}^{2}}+{{z}^{2}})}^{-3/2}} \right]}{dz}=A{{a}^{2}}\left[ -3z{{({{a}^{2}}+{{z}^{2}})}^{-5/2}} \right]\Rightarrow $
${B_2} = \frac{{d{B_1}}}{{dz}} = - 3A{a^2}\frac{{d\left[ {z{{({a^2} + {z^2})}^{ - 5/2}}} \right]}}{{dz}} = - 3A{a^2}\left[ {{{({a^2} + {z^2})}^{ - 5/2}} - 5{z^2}{{({a^2} + {z^2})}^{ - 7/2}}} \right] \Rightarrow $
${{B}_{2}}=3A{{a}^{2}}\frac{\left( 4{{z}^{2}}-{{a}^{2}} \right)}{{{\left( {{a}^{2}}+{{z}^{2}} \right)}^{7/2}}}$

Remarque : Le disque aimanté de vecteur aimantation parallèle à son axe est équivalent à une spire circulaire de rayon a : chaque élément de surface peut être remplacé par une spire carrée de même moment magnétique ; sur les cotés communs à deux carrés adjacents, les courants opposés s’annulent ; il ne reste que les courants sur le pourtour du disque.
2.1.a) On suppose $\vec B$uniforme sur le volume V de l’aimant de la toupie autour de la position d’équilibre ; si $d \simeq 5\,\,{\rm{mm}}$est la dimension caractéristique de l’aimant, il faut :$\left| {{B_1}} \right|d < < \left| {{B_0}} \right|,\,\,\left| {{B_2}} \right|\rho d < < \left| {{B_0}} \right|,\,\,\left| {{B_3}} \right|{\rho ^2}d < < \left| {{B_0}\,} \right|$. Si $a \approx z,\;{B_1} \approx \frac{{{B_0}}}{a},\,{B_2} \approx \frac{{{B_0}}}{{{a^2}}}$$ \Rightarrow $$d \ll a,\,\rho \ll \frac{{{a^2}}}{d}$.
2.1.b) Tant que la toupie reste sur l’axe Oz, _p dépend de 2 variables : z et $\theta = ({\vec e_z},\vec \mu )$mais pas de l’angle du plan méridien avec un plan méridien origine contenant le moment magnétique (du fait de la symétrie de révolution autour de z’z).
2.1.c) $\mu \simeq MV = {5.10^5} \times {100.10^{ - 9}} = {5.10^{ - 2}}\,{\rm{A}}{\rm{.}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}$.
2.1.d) $\left[ A \right]=\left[ B \right]\left[ L \right],\,\,\left[ \mu \right]=\left[ W \right]/\left[ B \right]=\left[ F \right]{{\left[ L \right]}^{2}}/\left[ A \right]\Rightarrow \left[ L \right]={{\left( \frac{\left[ A \right]\left[ \mu \right]}{\left[ F \right]} \right)}^{1/2}};\ \text{en prenant }F=mg:$
L est l’abscisse z à laquelle la force de pesanteur et la force magnétique sont du même ordre de grandeur : c’est l’ordre de grandeur de z à l’équilibre. Avec une toupie conique (volume 1/3 base par hauteur) :
$m = {\mu _p}(\pi {R^2}H/3 - V) + {\mu _a}V = 1 \times (\pi \times {1^2} \times 2/3 - {10^{ - 1}}) + 7 \times {10^{ - 1}} \approx 2,7\,{\rm{g}}$ ; $L = {\left( {\frac{{{{5.10}^{ - 2}} \times {{3.10}^{ - 3}}}}{{{{2,7.10}^{ - 3}} \times 9,8}}} \right)^{1/2}} = {7,5.10^{ - 2}}\,{\rm{m}}$.
2.2.a) ${\mathcal{E}_p} = mgz - \mu {B_0}\cos \theta \Rightarrow \frac{{\partial {\mathcal{E}_p}}}{{\partial \theta }} = - \mu {B_0}\sin \theta $ nulle si $\theta = 0{\rm{ ou }}\pi $;
2.2.b)$\theta = 0 \Rightarrow $ ${\mathcal{E}_p} = mgz - \mu {B_0}$ minimale : stabilité ; $\theta = \pi \Rightarrow $ ${\mathcal{E}_p} = mgz + \mu {B_0}$maximale : instabilité.
2.3.a) ${\mathcal{E}_p} = mgz - \mu ({B_0} - \frac{{{B_2}}}{4}{\rho ^2})\cos \theta $ avec $\theta = 0{\rm{ ou }}\pi $;
$\frac{{\partial {\mathcal{E}_p}}}{{\partial \rho }} = \mu \frac{{{B_2}}}{2}\rho \cos \theta = 0 \Rightarrow \rho = 0{\rm{ si }}{B_2} \ne 0\;;\;\frac{{\partial {\mathcal{E}_p}}}{{\partial z}} = mg - \mu ({B_1} - \frac{{{B_3}}}{4}{\rho ^2})\cos \theta = 0,\;\rho = 0 \Rightarrow $
$mg = \mu {B_1}\,{\rm{avec }}\theta = 0\;{\rm{impossible car }}{B_1} < 0\;;\;mg = - \mu {B_1}\,{\rm{avec}}\,\theta = \pi \;{\rm{possible}}{\rm{.}}$
Pour z positif, $f(z) = - \mu {B_1}$est maximale quand B₂ s’annule soit si $z = \frac{a}{2} \Rightarrow {f_{max}} = {\left( {\frac{4}{5}} \right)^{5/2}}\frac{{3A\mu }}{{2{a^2}}}$ ; f $ \nearrow $de
0 à f _max si z$ \nearrow $de 0 à $\frac{a}{2}$et $ \searrow $de f _max à 0 si z$ \nearrow $de $\frac{a}{2}$à l’infini ; il n’y a donc des solutions en z à l’équation $mg = - \mu {B_1}$ que si $mg \le {f_{max}}$ ; si $mg = {f_{max}}$, il n’existe que la solution z₀ ; si $mg < {f_{max}}$, il existe deux solutions ${z_1} < \frac{a}{2}$et ${z_2} > \frac{a}{2}$.
2.3.b) Stabilité si$\,{\left( {\frac{{{\partial ^2}{\mathcal{E}_p}}}{{\partial {z^2}}}} \right)_{\'e q}} = \mu {B_2} > 0 \Rightarrow {B_2} > 0 \Rightarrow z > \frac{a}{2}$ et $\,{\left( {\frac{{{\partial ^2}{\mathcal{E}_p}}}{{\partial {\rho ^2}}}} \right)_{\'e q}} = - \frac{1}{2}\mu {B_2} > 0 \Rightarrow {B_2} < 0 \Rightarrow z < \frac{a}{2}$;
de ce fait, il n’y a pas de position d’équilibre stable dans les deux directions.
2.3.c) ${\mathcal{E}_p} = mgz - \mu {B_z} \Rightarrow \Delta {\mathcal{E}_p} = mg\Delta z - \mu \,\Delta {B_z} = 0$car $\Delta z = 0\,\,{\rm{et}}\,\,\Delta {B_z} = 0$ ; partout$\Delta {\mathcal{E}_p} = 0$;
S’il existe un équilibre stable, les dérivées secondes de ${\mathcal{E}_p}$ par rapport à x,y,z sont positives : le laplacien de ${\mathcal{E}_p}$ aussi, ce qui est impossible puisqu’il est nul.

3.1.a) Sous l’effet d’une force perturbatrice, en vertu du théorème du moment cinétique barycentrique, tout point de l’axe de rotation se déplace dans la direction du moment en G de la force mais pas en direction de la force. Si on applique une force vers le bas pour faire tomber la toupie, il y aura simplement modification de la vitesse de précession.
3.1.b) Une ficelle de 10 cm tirée en 0,1 s sur une poulie de circonférence 1 cm donne une fréquence : $N \approx 100\,{\rm{Hz}}\,\,{\rm{; }}\omega = 2\pi N \simeq 628\,{\rm{rd}}{\rm{.}}{{\rm{s}}^{ - 1}}$ ; c’est invisible à l’œil mais éventuellement audible (son grave).
3.2.a) Théorème du moment cinétique barycentrique : $\frac{d\vec{S}}{dt}=\vec{\mu }\wedge \vec{B}$
L’équation d’évolution porte sur la dérivée première de $\vec S$ par rapport au temps.
3.2.b) Avec $\vec S$,$\vec n$ colinéaires, l’axe de rotation étant supposé principal : $\vec S = I\omega \vec n$ (I moment d’inertie par rapport à cet axe) ; $\vec S$ est colinéaire à $\vec \mu $ et est donc perpendiculaire à sa dérivée temporelle : sa norme est constante ; ω est donc constante ; avec$\vec \mu = \mu \vec n$ :
$\vec S = \frac{{I\omega }}{\mu }\vec \mu $ d’où $\frac{{d\vec \mu }}{{dt}} = \frac{\mu }{{I\omega }}\vec \mu \wedge \vec B$.
Le moment magnétique de la toupie est lié au solide toupie ; la formule de dérivation d’un vecteur lié à un solide s’écrit : $\frac{{d\vec \mu }}{{dt}} = \vec \omega ' \wedge \vec \mu $ ; par identification : $\vec{\omega }'=-\frac{\mu \vec{B}}{I\omega }$
3.2.c) On a déjà montré au 3.2.b que $\left\| {\vec S} \right\| = {\rm{cste}}$;
si $\vec r$est imposé, $\vec b$ aussi, $\vec b.\frac{{d\vec S}}{{dt}} = \vec b.(\vec \mu \wedge \vec B) = 0 \Rightarrow \frac{{d(\vec b.\vec S)}}{{dt}} = 0 \Rightarrow {S_{//}} = \vec b.\vec S = {\rm{cste}}$;
$\vec \mu $est colinéaire à $\vec S$ et de norme constante d’où ${\mu _{//}} = \vec b.\vec \mu = {\rm{cste}}$.
3.2.d) On a encore $\left\| {\vec S} \right\| = {\rm{cste}}$; ω est donc encore constante ; mais $\vec \omega ' = - \frac{{\mu \vec B}}{{I\omega }}$ ne l’est plus car $\vec B$varie.
Les projections de $\vec S$ et $\vec \mu $(portés par l’axe de la toupie) sur $\vec b$changent :
$\vec b.\frac{{d\vec S}}{{dt}} = \frac{{d(\vec b.\vec S)}}{{dt}} - \vec S.\frac{{d\vec b}}{{dt}} = 0 \Rightarrow \frac{{d{S_{//}}}}{{dt}} = \vec S.\frac{{d\vec b}}{{dt}} = \vec S.\left[ {(\frac{{d\vec r}}{{dt}}.\vec \nabla )\vec b} \right] = \vec S.\left( {{v_x}\frac{{\partial \vec b}}{{\partial x}} + {v_y}\frac{{\partial \vec b}}{{\partial y}} + {v_z}\frac{{\partial \vec b}}{{\partial z}}} \right)$.
On peut évaluer la variation relative de S_// :
${S_{//}} = \left\| {\vec S} \right\|\cos \theta $ ; $\delta {S_{//}} = - \left\| {\vec S} \right\|\sin \theta \,\delta \theta $ avec $\theta = (\vec b,\vec S)$ ; $\frac{{\delta {S_{//}}}}{{{S_{//}}}} = - \tan \theta \,\delta \theta $ de l’ordre de $\delta \theta $; l’évaluation numérique est possible si on connaît θ (angle de précession) et l’ordre de grandeur de ses variations.
3.3.a)${\mathcal{E}_p}$ dépend des variables ρ et z.
3.3.b) $\Delta {\mathcal{E}_p} = - {\mu _{//}}\Delta \left\| {\vec B} \right\|$ ; or $\Delta \left\| {\vec B} \right\|$ n’est pas nul en général donc $\Delta {\mathcal{E}_p}$ ne l’est pas ; pour une position d’équilibre stable $\Delta {\mathcal{E}_p} > 0$.
3.4.a) On néglige $\vec \omega '$devant $\vec \omega $.
3.4.b) Ordre de grandeur de l’erreur : $\frac{{\left\| {\Delta \vec \omega } \right\|}}{{\left\| {\vec \omega } \right\|}} = \frac{{\mu \left\| {\vec B} \right\|}}{{I{\omega ^2}}}$.
3.4.c) Si la toupie tourne plus vite l’erreur diminue : l’approximation devient meilleure. Il faut : $\left\| {\omega '} \right\| \ll \left\| \omega \right\| \Rightarrow \left| \omega \right| \gg \sqrt {\frac{{\mu \left\| {\vec B} \right\|}}{I}} $ pour que l’approximation soit valable.

4.1.a) Conditions d’un équilibre stable dans toutes les directions à la fois :
$\frac{{\partial {\mathcal{E}_p}}}{{\partial \rho }} = 0,\frac{{\partial {\mathcal{E}_p}}}{{\partial z}} = 0,a = {\left( {\frac{{{\partial ^2}{\mathcal{E}_p}}}{{\partial {\rho ^2}}}} \right)_{\'e q}} > 0,\,b = {\left( {\frac{{{\partial ^2}{\mathcal{E}_p}}}{{\partial {z^2}}}} \right)_{éq}} > 0,c = {\left( {\frac{{{\partial ^2}{\mathcal{E}_p}}}{{\partial \rho \partial z}}} \right)_{eq}},ab - {c^2} > 0$.
4.1.b)$B = \left\| {\vec B} \right\| = {\left[ {\frac{1}{4}{\rho ^2}{B_1}^2 + {{\left( {{B_0} - \frac{1}{4}{\rho ^2}{B_1}} \right)}^2}} \right]^{1/2}} = {B_0}{\mathop{\rm sgn}} ({B_0}){\left[ {1 + \frac{{{\rho ^2}({B_1}^2 - 2{B_0}{B_2})}}{{4{B_0}^2}}} \right]^{1/2}}$,
$B \simeq {B_0}{\mathop{\rm sgn}} ({B_0}) + \frac{{{\rho ^2}}}{8}{\mathop{\rm sgn}} ({B_0})\left( {\frac{{{B_1}^2}}{{{B_0}}} - 2{B_2}} \right)$, ${\mathcal{E}_p} = mgz - {\mu _{//}}{B_0}{\mathop{\rm sgn}} ({B_0}) - \frac{{{\mu _{//}}{\rho ^2}}}{8}{\mathop{\rm sgn}} ({B_0})\left( {\frac{{{B_1}^2}}{{{B_0}}} - 2{B_2}} \right)$.
${\mathcal{E}_p} = \alpha (z) + \beta (z){\rho ^2}$$ \Rightarrow $$\frac{\partial {{\mathcal{E}}_{p}}}{\partial \rho }=2\rho \beta (z)=0\Rightarrow $ ou $\beta (z) = 0$;
$\frac{{\partial {\mathcal{E}_p}}}{{\partial z}} = mg - {\mu _{//}}{B_1}{\mathop{\rm sgn}} ({B_0}) = 0$ (terme en $\rho $ nul) $ \Rightarrow $ ${{\mu }_{//}}sgn \left( {{B}_{0}} \right)\left( 2{{B}_{2}}-\frac{B_{1}^{2}}{{{B}_{0}}} \right)>0$ $ \Rightarrow $ {{\mu }_{//}}{B_1}sgn ({{B}_{0}})<0 (i) ;
$a={{\left( \frac{{{\partial }^{2}}{{\mathcal{E}}_{p}}}{\partial {{\rho }^{2}}} \right)}_{\acute{e}q}}\Rightarrow a=\frac{1}{4}{{\mu }_{//}}sgn ({{B}_{0}})\left( 2{{B}_{2}}-\frac{{{B}_{1}}^{2}}{{{B}_{0}}} \right)>0\Rightarrow \,\,\,(\text{iii})$ ;
$\,b={{\left( \frac{{{\partial }^{2}}{{\mathcal{E}}_{p}}}{\partial {{z}^{2}}} \right)}_{\acute{e}q}}=-{{\mu }_{//}}{{B}_{2}}sgn ({{B}_{0}})>0\Rightarrow $(ii) ;
Remarque : c est nul ; la condition $ab - {c^2} > 0$est donc vérifiée puisque a et b sont positifs.
4.1.c) Injection des expressions de B_i :
(i)$z>0\Rightarrow {{B}_{1}}<0\Rightarrow {{\mu }_{//}}sgn ({{B}_{0}})<0\,\,;\,\,sgn ({{B}_{0}})=+\Rightarrow $
Le moment magnétique doit pointer vers le bas pour avoir équilibre.
(ii) ${B_2} > 0 \Rightarrow 4{z^2} - {a^2} < 0 \Rightarrow z > {z_1} = \frac{a}{2} = 0,5a$ ;
(iii) $2{B_0}{B_2} - {B_1}^2 < 0 \Rightarrow - 6({a^2} - 4{z^2}) < 9{z^2} \Rightarrow z < {z_2} = \sqrt {\frac{2}{5}} a \simeq 0,632a$ ;
$0,5{{z}_{0}}={{z}_{1}}<z<0,632{{z}_{0}}={{z}_{2}}\Rightarrow {{z}_{0}}=a$
$m\left( z \right)=\frac{{{\mu }_{//}}{{B}_{1}}}{g}=-\frac{3{{\mu }_{//}}A{{a}^{2}}z}{{{\left( {{a}^{2}}+{{z}^{2}} \right)}^{5/2}}}$ à l’équilibre ;
m(z) passe par un maximum quand B₂ est nul, pour $z = {z_1} = \frac{a}{2} = 0,5a$ ; m(0) = 0 ; $\mathop {\lim }\limits_{z \to \infty } (m) = 0$ ;
m(z) $ \nearrow $de 0 à m(a/2) = m _max si z$ \nearrow $de 0 à $\frac{a}{2}$et $ \searrow $de m(a/2) = m _max à 0 si z$ \nearrow $de $\frac{a}{2}$à l’infini ; il n’y a des solutions en z à l’équation $mg = {\mu _{//}}{B_1}$que si $m\le m\left( \frac{a}{2} \right)={{m}_{1}}=-\frac{3}{2}{{\left( \frac{4}{5} \right)}^{5/2}}\frac{{{\mu }_{//}}A}{g{{a}^{2}}}=0,859{{m}_{0}}$
avec ${{m}_{0}}=-\frac{{{\mu }_{//}}A}{g{{a}^{2}}}$ ; en plus, un équilibre stable n’est possible que si $z > a/2$, dans la partie décroissante de m(z) ; il faut $m\ge m\left( \sqrt{\frac{2}{5}a} \right)={{m}_{2}}=-3{{\left( \frac{2}{5} \right)}^{1/2}}{{\left( \frac{5}{7} \right)}^{5/2}}\frac{{{\mu }_{//}}A}{g{{a}^{2}}}=0,818{{m}_{0}}$ soit $0,818{{m}_{0}}\le m\le 0,859{{m}_{0}}$
4.2.a) On remplace B₀, B₁, B₂ par leurs expressions dans l’expression de l’énergie potentielle obtenue en 4.1.b, avec sgn(B₀) = 1 ; après calcul :
${{\varepsilon }_{p}}=mgz-\frac{{{\mu }_{//}}A}{a{{\left( 1+\frac{{{z}^{2}}}{{{a}^{2}}} \right)}^{3/2}}}+\frac{{{\mu }_{//}}A{{\rho }^{2}}\left[ 6\left( 4\frac{{{z}^{2}}}{{{a}^{2}}}-1 \right)-9\frac{{{z}^{2}}}{{{a}^{2}}} \right]}{8{{a}^{3}}{{\left( 1+\frac{{{z}^{2}}}{{{a}^{2}}} \right)}^{7/2}}}$
4.2.b) Avec ${{z}_{0}}=a,{{\varepsilon }_{0}}={{m}_{0}}ga,M=\frac{m}{{{m}_{0}}},Z=\frac{z}{{{z}_{0}}},E=\frac{{{\varepsilon }_{p}}}{{{\varepsilon }_{0}}},{{x}_{0}}={{y}_{0}}=a,X=\frac{x}{{{x}_{0}}},Y=\frac{y}{{{y}_{0}}},R=\sqrt{{{X}^{2}}+{{Y}^{2}}}$, on a :
$E\left( R,Z \right)=MZ+\frac{1}{{{\left( 1+{{Z}^{2}} \right)}^{3/2}}}+\frac{3{{R}^{2}}\left( 2-5{{Z}^{2}} \right)}{8{{\left( 1+{{Z}^{2}} \right)}^{7/2}}}+O\left( {{R}^{4}} \right)$ A.N. : ${x_0} = {y_0} = {z_0} = a = 5\,{\rm{cm}}$ ;
${m_0} \simeq \frac{{\mu A}}{{g{a^2}}} = \frac{{{{5.10}^{ - 2}} \times {{3.10}^{ - 3}}}}{{9,8 \times {{({{5.10}^{ - 2}})}^2}}} \approx 6\,g$ ; ${\mathcal{E}_0} = {m_0}ga \approx {6.10^{ - 3}} \times 9,8 \times {5.10^{ - 2}} = {2,9.10^{ - 3}}\,{\rm{J}}$.
4.2.c) Il est évident que E présente un minimum pour R nul à condition que le coefficient du terme en R² soit positif ; il faut :
$Z < \sqrt {\frac{2}{5}} = 0,632$ ;
à R nul, la dérivée 1^e de E par rapport à Z doit être nulle et la dérivée seconde positive :
${{\left( \frac{\partial E}{\partial Z} \right)}_{R=0}}=M-\frac{3Z}{{{\left( 1+{{Z}^{2}} \right)}^{5/2}}}>0\Rightarrow M=\frac{3Z}{{{\left( 1+{{Z}^{2}} \right)}^{5/2}}}$,
${\left( {\frac{{{\partial ^2}E}}{{\partial {Z^2}}}} \right)_{R = 0}} = 3\frac{{4{Z^2} - 1}}{{{{(1 + {Z^2})}^{7/2}}}} > 0 \Rightarrow Z > \frac{1}{2}$$ \Rightarrow $ $0,5<Z<0,632$ $ \Rightarrow $ $0,818<M<0,859$
4.3.a) Comparaison des méthodes :

• Méthodes approchées toutes deux ($\vec B$ approché et ${\mu _{//}} \simeq {\rm{cste}}$) ;
• Méthode 1 plus simple car il n’y a pas à remplacer B₀, B₁, B₂ par leurs valeurs dans l’énergie potentielle (mais on le fait tout de même un peu au 4.1.c : la différence est bien mince ; en fait c’est la même méthode);
• Méthode 1 la plus générale : tant que B₀, B₁, B₂ ne sont pas remplacées, le calcul est indépendant de la base ;
• Si base carrée, le champ est celui d’une spire carrée ; il n’ y a plus invariance par rotation ; $\vec B$ comporte une composante orthoradiale en plus des deux autres, fonctions de ρ, θ, z ; sa norme est fonction de ρ, θ, z ; la méthode 1 me semble préférable ;
• La méthode 1 nécessite un peu moins de calculs car on n’a pas à remplacer B₀, B₁, B₂ dans l’énergie potentielle ;
• Une méthode un peu plus simple (surtout quand on a fait les deux autres) consiste à écrire le théorème de la quantité de mouvement et les conditions d’équilibre stable ; on retrouve facilement (i),(ii),(iii) :

$m\frac{{d\vec v}}{{dt}} = \vec f = m\vec g + \overrightarrow {grad} {(\vec \mu .\vec B)_{\vec \mu = \overrightarrow {{\rm{cste}}} }} = \overrightarrow {grad} ({\mu _{//}}B)$ car $\vec \mu $ garde une direction constante et donc ${\mu _{//}}$ est variable en général ; on a posé B = $\left\| {\vec B} \right\|$ ; équilibre : $\vec f = \vec 0$, équilibre stable : $\vec f$ de rappel ;
4.3.b) On suppose la vitesse initiale du centre d’inertie nulle :

• Si $m < 0,818\,{m_0}$, $z > \sqrt {\frac{2}{5}} {z_0} = 0,632{z_0}$, la force n’est pas de rappel selon ${\vec e_\rho }$ : départ selon ${\vec e_\rho }$ ;
• Si $m > 0,859\,{m_0}$, $z < \frac{a}{2} = 0,5{z_0}$ , la force n’est pas de rappel selon${\vec e_z}$: départ selon ${\vec e_z}$.

4.3.c) Par différentiation de M(Z) : $dM=\frac{3\left( 1-4{{Z}^{2}} \right)}{{{\left( 1+{{Z}^{2}} \right)}^{7/2}}}dZ\Rightarrow dz=\frac{{{z}_{0}}}{3{{m}_{0}}}\frac{{{\left( 1+\frac{{{z}^{2}}}{{{a}^{2}}} \right)}^{7/2}}}{1-4\frac{{{z}^{2}}}{{{a}^{2}}}}dm$

5.1) Les lignes de force sont perpendiculaires aux lignes équipotentielles (page 8) :

• Au voisinage d’un point d’équilibre stable, ce sont des demi-droites concourantes vers le point d’équilibre ;
• En un point d’équilibre instable, il passe le plus souvent seulement deux lignes de force concourantes (en fait quatre : deux, opposées qui arrivent sur le point, les deux autres opposées qui en repartent) ; au voisinage du point d’équilibre, les équipotentielles sont quasiment des hyperboles admettant ces lignes de force comme asymptote ; les lignes de force sont aussi quasiment des hyperboles admettant comme asymptotes les bissectrices des angles formés par les deux autres asymptotes ;

• Les points d’équilibre stables (S) et instables (I) sont indiqués sur tous les graphes ;

• Deux lignes de forces ne se coupent pas, sauf en I ou S ; d’où l’allure des lignes de force dessinées sur les figures (a), (c), (e), (g) et également sur les figures (b), (d), (f) (bien que cela ne soit pas demandé) ;
• Les sens des lignes de force s’obtiennent par continuité à partir d’un point d’équilibre stable (elles vont vers un tel point) et en passant d’un graphe à l’autre ;

• L’énergie cinétique de la toupie est la somme de l’énergie de rotation et translation ; en négligeant le terme en ω′² devant le terme en ω², l’énergie cinétique barycentrique est constante (car ω est constante) mais l’énergie cinétique du centre d’inertie n’est pas négligeable et n’est pas constante ; l’énergie mécanique est constante car il n’existe aucun phénomène dissipatif ; sauf cas particuliers, les trajectoires diffèrent des équipotentielles ; comme on ne connaît pas les conditions initiales, il semble difficile de préciser les trajectoires ; même si on suppose la vitesse initiale nulle, les lignes de force ne constituent pas les trajectoires ;

• Autour d’un point stable, en son voisinage, la trajectoire doit être une courbe de Lissajous (par développement à l’ordre un des composantes radiale et axiale).

5.2.a) Dans le diagramme M, Z, X (fig.1) sont dessinées les allures des lignes suivies par les points d’équilibre ; il n’existe qu’une branche stable (allant du point A au point B) sur un domaine limité de valeurs de M ;
Si deux points d’équilibre se rapprochent et fusionnent :

• Soit il y a disparition des points d’équilibre ;

• Soit il y a transformation du point d’équilibre stable en un point instable et disparition de deux points d’équilibre instables (ou le contraire) ; c’est une brisure de symétrie ;

• Les nouveaux points d’équilibre apparaissent par paire.

5.2.b) Sur les figures (c,d,e), on a manifestement un minimum de l’énergie potentielle (conclusion de 3-3 b) ;
5.2.c) figure (a) : $m < 0,818{m_0}$, au point I le plus élevé (en continuité du point stable de la figure (b), les lignes de force pointent en sens de ${\vec e_\rho }$; figure (b) : $m > 0,859{m_0}$, il n’existe aucun point d’équilibre ; les lignes de force finissent par produire un échappement selon ${\vec e_z}$(vers le bas) ; cela confirme les résultats de (4-3 b).
6.1) Tout d’abord, on a montré que la toupie sans rotation, en un point de Oz peut être en équilibre stable vis-à-vis des variation de l’angle de son axe avec Oz, si le moment magnétique pointe vers le haut mais qu’alors il n’y a pas d’équilibre axial ; ensuite, en imposant que le moment magnétique pointe vers le bas, on a montré que l’équilibre ne peut être stable dans les directions z et ρ à la fois ; la rotation propre de la toupie lui communique une orientation par rapport aux lignes de champ qui stabilise le mouvement dans les deux directions à la fois ; même ainsi, le domaine des valeurs de z et des valeurs de m où il peut y avoir équilibre est assez restreint ; l’étude des graphes d’énergie potentielle permet de visualiser les lignes de force, les points d’équilibre stable et instables et leur évolution quand la masse varie.
6.2.a) La lévitation est stabilisée par la précession (effet gyroscopique), mais seulement dans un domaine restreint de valeurs de z et de m.
6.2.b) L’intuition de (3-1 a) est confirmée, mais seulement dans un domaine restreint de valeurs de z et de m. Ainsi, il y a une gamme de vitesses de rotation $\left[ {{\omega _1},{\omega _2}} \right]$ permettant la stabilisation si $\omega > {\omega _2}$.
6.2.c) Si on impose la direction de$\vec \mu $, la précession ne se produit plus, l’équilibre ne peut plus être stable.
6.2.d) La toupie lévite aussi bien quand elle lancée par un gaucher que quand elle l’est par un droitier mais la précession change de sens.
6.2.e) Approximations :

• Développement limité de$\vec B$au 3^e ordre près en ρ ; il ne faut pas que la toupie s’écarte trop de l’axe z’z ;

• ${\mu _{//}}$ supposé constant ; il ne faut pas que la courbure des lignes de champ magnétique soit trop importante.

6.3.a) Si on lance la toupie dans le vide, on va inévitablement communiquer une vitesse initiale selon ${\vec e_z}$et ou/et ${\vec e_\rho }$risquer de faire sortir la toupie du domaine de stabilité en z.
6.3.b) Si la toupie est freinée par des frottements fluides, alors ω, $\omega '$et $\vec \omega '$n’est plus négligeable devant $\vec \omega $ ; le vecteur rotation n’est plus porté par l’axe de la toupie, le vecteur moment cinétique a une expression plus compliquée ; il va y avoir des oscillations en θ de plus en plus importantes, l’effet stabilisateur va diminuer et finalement disparaître. La toupie va tomber.
6.3.c) Si la base n’est pas horizontale, le champ magnétique n’est plus de révolution autour de l’axe des z’z et le développement du champ magnétique n’est plus valable.
6.3.d) La masse doit être réglée précisément car le domaine des valeurs de m assurant la stabilité est étroit ; une variation de 5% de m fait parcourir tout le domaine des valeurs de m assurant la stabilité.
6.3.e) L’aimantation dépend de la température T.
6.4.a) Par unité de volume : $\vec f = \overrightarrow {grad} {(\vec M.\vec B)_{\vec M = \overrightarrow {{\rm{cste}}} }} = - \overrightarrow {grad} (\frac{{{B^2}}}{{2{\mu _0}}})$car $\vec M = - \frac{{\vec B}}{{{\mu _0}}}$ d’où ${\mathcal{E}_p} = \frac{{{{\vec B}^2}}}{{2{\mu _0}}}$ ; $\Delta {\mathcal{E}_p} = \frac{1}{{{\mu _0}}}\Delta {\vec B^2}$ ; or $\Delta {\vec B^2}$ n’est pas nul en général, $\Delta {\mathcal{E}_p}$n’est pas nul partout.
En un point où $\vec B$ est nul (point singulier d’un champ magnétique statique) ${\vec B^2}$ s’annule et croît dans toutes les directions autour de lui ; il y a un minimum du carré du champ magnétique en ce point ; l’énergie potentielle est alors minimale ; les dérivées secondes en x,y,z sont positives en ce point et le laplacien y est donc positif.
Une sphère supraconductrice peut léviter dans un champ magnétique statique quadrupolaire car il existe un point de champ magnétique nul ; un champ quadrupolaire peut être créé a) par deux bobines identiques coaxiales parcourues par des courants électriques opposés ou b) par deux aimants dont les pôles nord se font face ou c) par un aimant en forme de tore (le dessus du tore étant le pôle nord et le dessous le pôle sud). Il existe alors un point singulier de champ magnétique nul, au milieu du segment joignant les centres des spires pour (a), au milieu de l’espace entre les aimants pour (b), deux points sur l’axe du tore pour (c), un du coté du pôle sud, l’autre du coté du pole nord. Il peut y avoir lévitation de la sphère au voisinage de ces points.
Un supraconducteur n’est pas vraiment un diamagnétique parfait bien que sa susceptibilité soit égale à −1 ; en effet, l’éjection du champ magnétique hors du supraconducteur (effet Messner) correspond à l’apparition de courants surfaciques qui créent un champ magnétique, dans le supraconducteur, opposé au champ magnétique extérieur (pour l’annuler partout à l’intérieur) et un moment magnétique donné par la formule du texte. Dans un diamagnétique, c’est par induction magnétique lors de l’établissement d’un champ magnétique qu’apparaît un moment magnétique en sens contraire du champ magnétique extérieur final.
6.4.b) Autres exemples de lévitation :

• Une balle de ping-pong peut léviter dans un jet d’air (loi de Bernoulli, effet Magnus) ;
• Une bille d’acier peut léviter dans une onde sonore, par exemple produite par une sirène puissante (P = 1 kW, N = 3 kHz) ;
• Dans un faisceau laser vertical, grâce à la pression de radiation, on peut faire léviter une bille légère recouverte de papier d’aluminium.

Exemples d’applications :

• Les vois à sustentation magnétiques ;
• Les roulements sans contact pour des solides tournants à grande vitesse autour d’un axe.

Concours Physique ENS Ulm (C/S) 1999 (Énoncé)

SESSION DE 1999
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GROUPE C/S
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PHYSIQUE
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DurÉé : 6 heures
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• Les calculatrices sont autorisées.
• Chaque résultat indiqué par l'énoncé peut être admis pour résoudre les questions suivantes. De ce fait, chaque partie peut être résolue même si les parties précédentes ne l'ont pas été. Il est donc conseillé de lire l'énoncé soigneusement.
• Les parties 1, 2, 3, 4 s'appuient sur des calculs : attention, accompagnez‑les d'explications claires et éventuellement de graphiques.
  Les parties 2, 3, 5, 6 requièrent des raisonnements qualitatifs auxquels les correcteurs accorderont la plus grande importance.
  Pour certaines questions, en particulier dans les parties 4 et 6, vous aurez à émettre un avis personnel : les correcteurs jugeront, non pas votre opinion, mais la façon dont vous la justifierez.

Une figure (fig.2) sur page indépendante vous est fournie en 2 exemplaires pour répondre à la question 5, page 8. Un des deux exemplaires est à commenter et à insérer dans le devoir, l'autre peut vous servir de brouillon ou de figure de rattrapage en cas d'erreur. Cette figure est également reproduite en page 10.

La "toupie qui lévite" (Fig. 1) est un ingénieux dispositif actuellement com­mercialisé dans les boutiques de jeux. Il s'agit d'une petite toupie en plastique, d'environ deux cm de haut et deux cm de diamètre, dans laquelle se trouve un petit aimant d'une centaine de mm³. On fait tourner la toupie au‑dessus d'une base, qui est un large disque aimanté de dix cm de diamètre et d'un cm d'épaisseur, contenant un aimant presque aussi grand.
Avec un certain entraînement, on arrive à stabiliser la toupie, qui reste en l'air à quelques centimètres au‑dessus de la base! Elle peut ainsi léviter pendant plusieurs minutes, en tournant toujours sur elle‑même, avec de légères oscillations horizontales et verticales. Le but du problème est de comprendre le principe de cette lévitation et de discuter quelques ordres de grandeur.

Données et formules
• Le plastique a une densité de l'ordre de celle de l'eau, les aimants sont environ 7 fois plus denses.
• Les deux aimants, celui de la base et celui de la toupie, ont une aimantation \(\overrightarrow M \), c'est‑à‑dire un moment magnétique par unité de volume, de l'ordre de 5 x 10⁵ A.m^‑1. En l'absence de champ extérieur, cette aimantation \(\overrightarrow M \) crée à l'intérieur de l'aimant un champ uniforme \(\overrightarrow B = {\mu _0}\overrightarrow M \).
On notera \(B = \left\| {\overrightarrow B } \right\|\) et on donne µ₀ = 4π.10^‑7 kg.m.s^‑2.A^‑2.
• L'origine O des positions est le centre de la face supérieure de la base; on utilisera au choix la notation vectorielle, cartésienne ou cylindrique
$\vec r = x{\vec e_x} + y{\vec e_y} + z{\vec e_z} = \rho {\vec e_\rho } + z{\vec e_z}$
On notera θ l'angle entre ${\vec e_x}{\rm{ }}et{\rm{ }}{\vec e_\rho }$.
• Opérateurs en coordonnées cylindriques
$gr\vec ad\,A = \left( {\frac{{\partial A}}{{\partial \rho }},\frac{1}{\rho }\frac{{\partial A}}{{\partial \theta }},\frac{{\partial A}}{{\partial z}}} \right)$
$div\,\vec A = \frac{1}{\rho }\frac{\partial }{{\partial \rho }}(\rho {A_\rho }) + \frac{1}{\rho }\frac{{\partial {A_\theta }}}{{\partial \theta }} + \frac{{\partial {A_z}}}{{\partial z}}$
$r\vec ot\,\vec A = \left( {\frac{1}{\rho }\frac{{\partial {A_z}}}{{\partial \theta }} - \frac{{\partial {A_\theta }}}{{\partial z}}{\rm{;}}\frac{{\partial {A_\rho }}}{{\partial z}} - \frac{{\partial {A_z}}}{{\partial \rho }};\frac{1}{\rho }\frac{\partial }{{\partial \rho }}(\rho {A_\theta }) - \frac{1}{\rho }\frac{{\partial {A_\rho }}}{{\partial \theta }}} \right)$
$\Delta A = div\,gr\vec ad\,A = \frac{{{\partial ^2}A}}{{\partial {\rho ^2}}} + \frac{1}{\rho }\frac{{\partial A}}{{\partial \rho }} + \frac{1}{{{r^2}}}\frac{{{\partial ^2}A}}{{\partial {\theta ^2}}} + \frac{{{\partial ^2}A}}{{\partial {z^2}}}$
$\Delta \,\vec A = gr\vec ad\,div\,\vec A - r\vec ot\,\,r\vec ot\,\vec A$
• Quelques données usuelles :
masse de l'électron 0,91 x 10^‑31 kg,
masse du proton 1,67 x 10^‑27 kg,
charge de l'électron 1,6 x 10^‑19 C,
constante de Boltzmann 1,38 x 10^‑23 J.K^‑1,
champ magnétique terrestre 5 x 10^‑5 T.
1.‑ Le champ magnétique créé par la base
Répondez brièvement.
Tant que l'on n'a pas mis la toupie, la région juste au‑dessus de la base est vide. La base crée dans cette région un champ magnétostatique $\vec B$.
1‑1.
(a) Quel est le laplacien de $\vec B$ ?
(b) Justifiez qu'il existe une fonction Φ(x, y, z) telle que $\vec B = - gr\vec ad\,\Phi $
(c) Quelles sont les symétries de Φ?
(d) Quel est le laplacien de Φ ?
(e) Soit un dipôle magnétique situé à l'origine O. Vérifiez que le Φ qu'il crée est de la forme :
$\Phi (x,y,z) = \vec u.\vec r/{r^3}$
en précisant l'expression de $\vec u$.
(f ) Pour évaluer Φ(x = 0, y = 0, z) le long de l'axe vertical Oz, z > 0, on modélise la base par un ensemble de dipôles magnétiques: en l'occurrence, un mince disque de rayon a, dont le moment dipolaire par unité de volume, noté \(\overrightarrow M \), pointe vers le haut. On dit alors que la base est un disque "d'aimantation \(\overrightarrow M \) uniforme"
Expliquez pourquoi on peut se ramener au calcul d'une intégrale sur la sur­face de la base, de la forme
$\Phi \left( 0,0,z \right)=\iint\limits_{base}{f\left( \rho ',z \right)\rho 'd\rho 'd\theta '}$
en précisant l'expression de la fonction f.
(g) Calculez alors l'intégrale et montrez que
$\Phi (0,0,z) = A\left( {1 - \frac{z}{{\sqrt {{a^2} + {z^2}} }}} \right)$
Précisez la valeur numérique et l'unité de A.
1‑2. On notera ${B_n}(z) = {\partial ^n}{B_z}(0,0,z)/\partial {z^n}$ les dérivées successives de B_z, le long de l'axe z.
(a) Avec le minimum de calculs, et sans calculer l'expression des B_n, montrez qu'au voisinage de l'axe Oz les premiers termes du développement de $\vec B$sont:
$\vec B(x,y,z) = - \frac{{{B_1}}}{2}\rho {\vec e_\rho } + ({B_0} - \frac{{{B_2}}}{4}{\rho ^2}){\vec e_z} + O({\rho ^3})$
(b) Calculez B₀, B₁, B₂.

2. Toupie qui ne tourne pas
Justifiez vos réponses sans calcul, ou à la rigueur avec une équation simple. Vous pouvez vous aider d'une figure.
On place la toupie aimantée sur l'axe Oz au‑dessus de la base. Pour l'instant, on ne la fait pas tourner. L'énergie potentielle totale de la toupie E_p tient compte de son interaction magnétostatique avec la base et de la pesanteur.
2‑1. Afin de simplifier le calcul de l'effet du champ $\vec B$sur cette toupie, on écrira que E_p vaut environ mgz ‑$\vec \mu .\vec B$Z, où le moment magnétique $\vec \mu $ reste toujours parallèle à $\vec n$, vecteur directeur de l'axe de la toupie.
(a) Quel est l'ordre de grandeur de l'erreur que l'on commet, et donc dans quelle mesure cette simplification est‑elle justifiée ?
(b) Discutez avec précision de combien de variables de translation (positions) et d'orientation (angles) dépend E_p .
(c) Exprimez $\vec \mu $ en fonction des caractéristiques de la toupie. Indiquez l'ordre de grandeur de la valeur de µ et son unité.
(d) En considérant leurs unités, écrivez une équation aux dimensions qui combine µ, A, et le poids de la toupie pour construire une grandeur L qui a les dimensions d'une longueur. Discutez la signification physique de L, et estimez approximativement sa valeur numérique.
2‑2. Imaginez provisoirement que l'on arrive à fixer la position de la toupie, en un point de l'axe Oz. On n'impose pas l'orientation de la toupie.
(a) Quelles sont les orientations qui correspondent à un équilibre ?
(b) Discutez la stabilité de chacun de ces équilibres : lesquels sont stables, lesquels sont instables ?
2‑3. Imaginez provisoirement que l'on arrive à fixer l'orientation de la toupie parallèlement à Oz : soit dirigée vers le haut, soit dirigée vers le bas. On n'impose pas que la position de la toupie reste sur l'axe Oz.
(a) Quelles sont les positions qui correspondent à un équilibre ?
(b) Discutez la stabilité de chacun de ces équilibres : lesquels sont stables, lesquels sont instables ?
(c) Le laplacien de E_p. est‑il partout nul ? Y a‑t‑il un lien avec la stabilité des points d'équilibre ?

3. Toupie rapide
Justifiez les équations que vous écrivez.
On fait tourner la toupie rapidement. Pour simplifier l'étude de cette toupie, on suppose dans toute la suite que son moment cinétique $\vec S$, sa rotation propre $\vec \omega $, et son moment magnétique $\vec \mu $ restent constamment parallèles au vecteur directeur de son axe de symétrie.
3‑1.
(a) Pouvez‑vous imaginer, intuitivement, quel sera l'effet de cette rotation sur la lévitation de la toupie ?
(b) Indiquez l'ordre de grandeur de ω. Pour cela, imaginez‑vous en train de lancer une toupie, soit entre vos doigts, soit en l'entourant d'une ficelle que vous tirez d'un coup sec. Pouvez‑vous évaluer grossièrement ω à l'oeil ou à l'oreille ?
3‑2.${\mu _{//}}{\rm{|}}\vec B{\rm{|}}$
(a) Si la toupie restait toujours à la même position $\vec r$, elle verrait toujours le même champ magnétique $\vec B(x,y,z)$. Ecrire alors explicitement l'équation d'évolution de $\vec S$: porte‑t‑elle sur la dérivée première ou seconde de $\vec S$ par rapport au temps ?
(b) Montrez qu'en ce cas l'axe de la toupie tourne autour de la direction $\vec b = \vec B/B$du champ magnétique (mouvement de précession), avec une vitesse de rotation ω' que l'on définira.
(c) Montrez que $S = {\rm{||\vec S||}}$, ${S_{//}} = \vec S.\vec b$et et ${\mu _{//}} = \vec \mu .\vec b$ seraient constants, indépendants du temps.
(d) Dans ce qui suit, on écrira que ${S_{//}}$et ${\mu _{//}}$sont constants, même si la toupie se déplace un peu dans l'espace. Quelle est l'ordre de grandeur de l'erreur que l'on commet, c'est‑à‑dire du terme correctif que l'on néglige ? Serait‑il possible de l'évaluer numériquement ?
3‑3. Dans toute la suite du problème on écrit donc désormais l'énergie potentielle sous la forme :
E_p = mgz ‑ ,
${\mu _{//}}$ ≈ constant.
(a) De combien de variables dépend E_p ?
(b) Le laplacien de E_p est‑il partout nul ? Y a‑t‑il un lien avec la stabilité des points d'équilibre éventuels ?
3‑4.
(a) En tête de cette partie, nous avons supposé que $\vec S$et $\vec \omega $ restent parallèles. Quelle approximation cela revient‑il à faire ?
(b) Quelle est l'ordre de grandeur de l'erreur que l'on commet, c'est‑à ­dire du terme correctif que l'on a négligé ? Serait‑il possible de l'évaluer numériquement ?
(c) Quand la toupie tourne plus vite, cette approximation devient‑elle meilleure ou moins bonne ?

4. Stabilité de la toupie rapide
Justifiez les équations que vous écrivez.
Pour déterminer à quelles conditions la toupie rapide est stable au voisinage de l'axe Oz, l'énoncé propose ci‑dessous deux méthodes distinctes. Traitez‑les toutes les deux dans l'ordre de votre choix. Indiquez clairement sur votre copie les numéros des questions que vous traitez.
• 4‑1 ‑ Première méthode :
(1a) A partir de l'expression approximative de l'énergie potentielle donnée à la question 3‑3, écrivez les conditions d'existence d'un équilibre stable dans toutes les directions à la fois.
(1b) En utilisant l'expression de $\vec B$donnée à la question 1‑2 (a), montrez que ces conditions impliquent que :
$\left. \begin{array}{l}{\rm{ }}{\mu _{//}}{B_1}{\mathop{\rm sgn}} {B_0} > 0\quad (i)\\{\rm{ }}{\mu _{//}}{B_2}{\mathop{\rm sgn}} {B_0} < 0\quad (ii)\\{\mu _{//}}(2{B_2} - B_1^2/{B_0}){\mathop{\rm sgn}} {B_0} > 0\quad (iii)\end{array} \right\}$
où sgnB₀ = B₀/|B₀| est le signe de B₀.
(1c) En utilisant les expressions des B_n, calculées au 1‑2 (b), montrez que la condition nécessaire et suffisante d'équilibre stable se met sous la forme:
0,5 z₀ < z < 0, 632 z₀,
0, 818 m₀ < m < 0, 859 m₀.
Donnez approximativement la valeur numérique de m₀ et de z₀. Ecrivez la relation entre m et z à l'équilibre.
ou bien
• 4‑2 ‑ Deuxième méthode
(2a) A partir de l'expression approximative de l'énergie potentielle donnée à la question 3‑3, et en utilisant les expressions de $\vec B$ donnée à la question
1‑2 (a), et des B_n, calculées au 1‑2 (b), écrivez E_p en fonction de la position. Vérifiez soigneusement les unités.
(2b) Montrez que l'on peut l'ècrire sous une forme sans dimensions
$E(R,Z) = MZ + \frac{1}{{{{(1 + {Z^2})}^{3/2}}}} + \frac{{3{R^2}(2 - 5{Z^2})}}{{8{{(1 + {Z^2})}^{7/2}}}} + O({R^4})$
où E = E_p/E₀ , M = m/m₀, X = x/x₀, Y = y/y₀, Z = z/z₀, et $R = \sqrt {{X^2} + {Y^2}} $
Donnez la valeur numérique approximative de E₀, m₀, x₀, y₀ et z₀.
(2c) Montrez que la condition nécessaire et suffisante d'équilibre stable dans toutes les directions à la fois se met sous la forme
0,5 < Z < 0,632,
0, 818 < M < 0, 859
Ecrivez la relation entre M et Z à l'équilibre.
4‑3.
(a) Discutez quels sont les avantages et les inconvénients de chaque méthode. Sont‑elles exactes ou approchées ? Laquelle est la plus simple ? La plus générale ? Laquelle est la plus facile à adapter au cas où la base est, non pas un disque, mais par exemple un carré ? Laquelle nécessite le moins de calculs ? Auriez‑vous une meilleure méthode à proposer ?
(b) Que se passe‑t‑il si la toupie est plus légère que 0,818 m₀? Si elle est plus lourde que 0,859 m₀?
(c) Déterminez de combien varie z si on modifie très légèrement de δm la masse de la toupie.

5. Etude graphique de l'énergie potentielle
Les correcteurs ne tiendront compte que des dessins munis d'une légende précise et accompagnés d'explications sur la copie.
La Figure 2, sur la feuille volante ci‑jointe, montre dans un plan vertical les courbes équipotentielles de l'énergie
$E(R,Z) = MZ + \frac{1}{{{{(1 + {Z^2})}^{3/2}}}} + \frac{{3{R^2}(2 - 5{Z^2})}}{{8{{(1 + {Z^2})}^{7/2}}}} + O({R^4})$= constante,
où l'énergie potentielle E de la toupie et les variables de positions X, Y, Z sont ici écrits sous la forme sans dimension introduite à la question (4‑2). Comme
la forme des courbes dépend beaucoup du paramètre M, elles ont été calculées par ordinateur pour sept valeurs différentes de M

1. M = 0,810, situation instable ;
2. M = 0,818 = M‑, valeur limite de la stabilité
3. M = 0,840, situation stable ;
4. M = 0,848 situation de stabilité maximale
5. M = 0,855, situation stable
6. M = 0,859 = M+, valeur limite de la stabilité
7. M = 0,862, situation instable.

Chaque figure, tracée par ordinateur, a pour abscisse X, autour de l'axe
X = 0, et pour ordonnée Z > 0 ; la base n'est pas représentée ici, elle est bien plus bas. Il s'agit d'une coupe dans un plan méridien Y = 0. On notera $R = \sqrt {{X^2} + {Y^2}} $.
5‑1. Discutez avec précision les cas (a,c,e,g). Pour ces 4 cas, dessinez schématiquement sur la feuille volante ci‑jointe, en couleurs si possible:

• Les lignes de champ de la résultante des forces que subit la toupie. Tracez les lignes particulières en trait pleins, tracez‑en quelques autres en pointillés. Indiquez leur orientation. par des flèches.
• Les points d'équilibre stables. Marquez‑les par un "S".
• Les points d'équilibre instables. Marquez‑les par un "I".
• Quelques trajectoires.

N'oubliez pas de rendre la figure avec votre copie.
5‑2. Discutez en quelques mots, ou en vous aidant d'un schéma:
(a) Quand on augmente progressivement M de 0,810 à 0,862, commentez l'âpparition et la disparition des points d'équilibre sur les figures (b,d,f). Que se passe‑t‑il quand deux points d'équilibre deviennent si proches qu'ils fusionnent ? Les nouveaux points d'équilibre apparaissent‑fls toujours par paire
(b) Reprenez la question (3‑3 b) à la lumière des figures (c,d,e).
(c) Reprenez la question (4‑3 b) à la lumière des figures (a,g).

6. Discussion physique
Répondez brièvement et sans équations. Vous pouvez vous aider d'une figure.
6‑1. En moins d'une demi‑page de texte, essayez de résumer de façon per­sonnelle ce que vous avez compris des résultats précédents.
6‑2. Discutez le principe de cette lévitation :
(a) Quel est le mécanisme physique qui permet à la toupie de léviter de façon stable ?
(b) Votre intuition de la question (3‑1 a) a‑t‑elle été confirmée par les ques­tions ultérieures ?
(c) Selon que l'on fixe la direction du moment magnétique, ou au contraire qu'on la laisse libre de précesser autour du champ magnétique, est‑ce que la situation physique est très différente ?
(d) Est‑ce que la même toupie lévite aussi bien quand elle est lancée par un droitier (donc dans le sens des aiguilles d'une montre) ou par un gaucher (donc dans le sens trigonométrique) ?
(e) Commentez les approximations successives qui ont été faites.
6‑3. Discutez la réalisation pratique de cette lévitation:
(a) En pratique, on pose une petite plaque de plastique sur la base, et on fait tourner la toupie dessus, comme une toupie usuelle. Ensuite seulement, on soulève délicatement la plaque, jusqu'à ce que la toupie prenne sa position d'équilibre. La plaque devient alors inutile, et on la retire. Pourquoi est‑ce plus facile que de lancer la toupie directement à sa position d'équilibre ?
(b) Au bout de quelques minutes de lévitation, à cause de la viscosité de l'air, la toupie ralentit. Pouvez‑vous imaginer ce qu'elle devient alors ?
(c) En pratique, il est indispensable que l'axe de symétrie soit bien vertical. Pour cela, le jeu est livré avec deux petites cales, grâce auxquelles on arrive avec un peu d'entraînement à ajuster l'horizontalité de la base. Que se passe‑t‑il si ce réglage n'est pas réalisé suffisamment précisément ?
(d) Une autre difficulté pratique est qu'il est nécessaire d'ajuster précisément la masse de la toupie, à une fraction de pourcent; près. Pour cela, on enfile autour de son axe quelques uns des légers disques de plastique ou de métal livrés avec le jeu. Pourquoi la masse doit‑elle être réglée si précisément ?
(e) Comme la température de la pièce varie lentement, on est obligé de refaire un réglage précis de la masse toutes les demi‑heures environ. Pourquoi : quels sont les paramètres du problème qui sont sensibles à la température ?
6‑4. Autres types de lévitation
(a) Un "diamagnétique parfait" est un autre système capable de lévitation magnétique. Pax définition, lorsqu'il est plongé dans un champ extérieur $\vec B$, un diamagnétique parfait prend une aimantation $\overrightarrow M = - \frac{{\overrightarrow B }}{{{\mu _0}}}$, ce qui fait que le champ total résultant à l'intérieur de ce corps reste toujours nul.
Quelle est l'énergie potentielle d'un tel système ? Son laplacien de E_p est‑il partout nul ? Y a‑t‑il un lien avec la stabilité des points d'équilibre éventuels? Ce système est‑il stable verticalement, latéralement ? Connaissez‑vous en pratique un exemple d'objet réel qui lévite sur ce principe ? Est‑ce que c'est exactement un diamagnétique parfait ?

(b) Connaissez‑vous d'autres domaines de la physique où l'on réalise ainsi une lévitation, c'est‑à‑dire que l'on maintient un objet au‑dessus du sol sans le toucher directement? En connaissez‑vous des exemples réalisés en pratique ? Ont‑ils des applications, existantes ou futures ?