ENS ULM Groupe C\S (M’)-Session de 1996
1°) Préliminaire mathématique
1.1) On suppose la charge sphérique et homogène; par isotropie de l’espace autour de O, f=f(r,t).
1.2) Δf−1c2∂2f∂t2=0, en M différent de O; Δf=1r∂2rf∂r2 et χ=rf⇒ ∂2χ∂t2−1c2∂2χ∂t2=0; la solution générale est χ(r,t)=F(t−r/c)+G(t+r/c) soit f(r,t)=1rF(t−r/c)+1rG(t+r/c).
On suppose l’élément de volume δV=4πε3/3 sphérique de rayon ε→0.
Pour la solution particulière f(r,t)=1rF(t−r/c), on intègre sur la sphère de rayon ε:
∬S(O,ε)∂f∂rδS=−4π[F(t−ε/c)+εc∂F(t−ε/c)∂t]
∬S(O,ε)∂f∂rδS=∬S(O,ε)→∇f.δ→S=∭V(S(O,ε))Δfδτ=δV(Δf)ε=0=4πε33c2(∂2f(t−ε/c)∂t2)+4πg(0,t)δV.
On a: ∂2f(t−ε/c)∂t2=1ε∂2F(t−ε/c)∂t2; on identifie les deux expressions précédentes et on fait tendre εvers zéro; on obtient: F(t)=−g(0,t)δV (sous la condition que F(t) et ses dérivées première et seconde par rapport au temps soient bornées et que g(→0,t)ne le soit pas).
D’où: f(t−r/c)=−g(→0,t−r/c)δVr.
Soit un repère Oxyz; l’élément de volume δV précédent est centré en S, tel que O→S=→R; une solution particulière en →r=O→M à la date t est δf(→r,t)=−g(→R,t−‖→R−→r‖/c)δVr; l’équation différentielle est linéaire; la solution particulière cherchée est la somme des solutions particulières dues aux différents éléments de volume soit (2) f(→r,t)=−∭R3g(→R,t−‖→R−→r‖/c)δVr; le texte présente une erreur de signe au niveau des formules (1) ou (2).
1.3) Une autre solution particulière (2)’ s’obtient en remplaçant t−‖→R−→r‖/c par t+‖→R−→r‖/c dans (2); la solution (2) respecte les liens de cause à effet alors que (2)’ ne les respecte pas: les causes ne peuvent succéder aux effets; on rejette (2)’ en général dans les phénomènes physiques. Remarquons que la solution générale est la somme d’une des deux solutions particulières précédentes et de la solution générale de l’équation homogène représentable sous forme d’une somme d’ondes planes. Mais physiquement on ne considère que la solution particulière retardée.
2) Rayonnement dipolaire
2.1) (MF) →∇∧→E=−∂→B∂t (Mϕ) →∇.→B=0 (MG) →∇.⇀E=ρ/ε0 (MA) →∇∧→B=μ0(→j+ε0∂→E∂t)
(Mϕ) ⇒ ∃→A(→r,t), →B=→∇∧→A et (MF) ⇒ →∇∧(→E+∂→A∂t)=0⇒ ∃V(→r,t), →E=−→∇V−∂→A∂t
2.2) Supposons qu’il existe un second couple de potentiels →A′,V′; les champs doivent être invariants de jauge:→B=→∇∧→A=→∇∧→A′ ⇒ →∇∧(→A−→A′)=→0 ⇒ ∃Ψ(→r,t), →A′−→A=→∇Ψ
→E=−→∇V−∂→A∂t=−→∇V′−∂→A′∂t⇒ →∇(V′−V)=−∂(→A′−→A)∂t=−→∇∂Ψ∂t ⇒ V′−V+∂Ψ∂t=0 soit V′=V−∂Ψ∂t.
Choisir un couple de potentiels vecteurs est effectuer un choix de jauge; il existe une infinité de jauges: il y a indétermination de jauge.
Si on introduit la condition de jauge de Lorentz →∇.→A+1c2∂V∂t=0, on réalise une simplification des équations de propagation des potentiels mais en aucun cas on ne lève l’indétermination de jauge, contrairement à ce qu’affirme l’énoncé. On la réduit seulement.
Si deux jauges obéissent à la condition de jauge de Lorentz:
→∇.→A+1c2∂V∂t=→∇.→A′+1c2∂V′∂t=0 ⇒ →∇.(→A′−→A)+1c2∂(V′−V)∂t=0 ⇒ ΔΨ−1c2∂2Ψ∂t2=0
C’est la condition sur la fonction Ψ(→r,t) pour que les deux couples de potentiels vérifient simultanément la condition de jauge de Lorentz ; en imposant la condition de jauge de Lorentz, on réduit l’indétermination de jauge mais sans la supprimer.
2.3) On considère les équations (MA) et (MG) faisant figurer les sources.
→B=→∇∧→A et →E=−→∇V−∂→A∂t portés dans (MA) ⇒ →∇∧(→∇∧→A)=μ0(→j−ε0→∇∂V∂t−ε0∂2→A∂t2)
mais à l’aide de Δ→A=→∇(→∇.→A)−→∇∧(→∇∧→A) et de la condition de jauge de Lorentz, on obtient Δ→A−1c2∂2→A∂t2=−μ0→j
→E=−→∇V−∂→A∂t portée dans (MB) et à l’aide de la condition de jauge de Lorentz, on obtient: ΔV−1c2∂2V∂t2=−ρε0
2.4) Soit →ex=→n; la condition de jauge de Lorentz, avec →A=→A(t−x/c) et V=V(t−x/c), s’écrit →∇.→A=∂Ax∂x=−1c∂Ax∂t=−1c2∂V∂t; par intégration par rapport au temps et en rejetant les solutions statiques, fonctions de x seulement, non représentatives d’une onde, on a: Ax=V/c soit →A.→n=V/c. Une autre méthode consiste à remarquer que →∇=−→nc∂∂t; la condition de jauge de Lorentz s’écrit alors −→n.∂→Ac∂t+1c2∂V∂t=0 ce qui s’intègre en →A.→n=V/c
→E=−→∇V−∂→A∂t=(1c∂V∂t−∂Ax∂t,−∂Ay∂t,−∂Az∂t)=(0,−∂Ay∂t,−∂Az∂t)=−∂∂t(→A−(→A.→n)→n) soit
→E=∂∂t((→A∧→n)∧→n) ⇒ →E=(∂→A∂t∧→n)∧→n et →B=→∇∧→A=1c∂(Az→ey−Ay→ez)∂t ⇒ →B=1c∂→A∂t∧→n
L’autre méthode donne →E=→nc∂V∂t−∂→A∂t=∂∂t(→n(→n.→A)−→A)=(∂→A∂t∧→n)∧→n et →B=1c∂→A∂t∧→n directement.
2.5) →A(→r,t)=μ04π∭R3→j(→R,t−‖→R−→r‖/c)‖→R−→r‖d3→R potentiel vecteur retardé.
2.6) jx(t)d3→R=aIx(t)=adqx(t)dt=dMx(t)dt
Ax(→r,t)=μ04πjx(t−r/c)d3→Rr=μ04πr˙Mx(t−r/c); idem en y et z d’où →A(→r,t)=μ0→M(t−r/c)4πr
2.7) A grande distance, on remplace localement la sphère (O,r) par son plan tangent; les ondes sont quasi-planes d’où →E=μ04πr(→M∧→n)∧→n et →B=μ04πcr→M∧→n; on a →E=→B∧→c soit →B=→nc∧→E
Le vecteur de Poynting est →π=→E∧→B/μ0=(B2c/μ0)→n; la puissance rayonnée est le flux du vecteur de Poynting à travers l’élément de surface δS de la sphère (O,r), vu sous l’angle solide δΩ=δS/r2 depuis O, et vaut δI=→π.δ→S=B2cμ0r2δΩ=μ0(4π)2c(→M∧→n)2δΩ soit
δI=μ0(4π)2c→M2sin2θδΩ
On intègre sur la sphère (O,r): I=μ0(4π)2c¨→M2∭R3sin2θδΩ; or δΩ=−2πdcosθ et J=π∫0sin3θdθ=4/3 conduit à I=→M26πε0c3; il s’agit du moment retardé, pris à la date t-r/c.
3) Diffusion par des charges libres
3.1) →F=q(→E+→v∧→B) avec →E=→B∧→c; ‖→v∧→B‖≈vc‖→E‖<<‖→E‖ si v<<c (charge non relativiste); alors →F≈q→E.
Pour l’atome H, modèle de Bohr: mv2r=e24πε0r2 et quantification du moment cinétique: rmv=ℏ dans l’état fondamental d’où v/c=e24πε0ℏc≈1/137 (constante de structure fine); v<<c; l’approximation est de l’ordre du centième.
3.2) A l’origine, on introduit -q et +q, confondues fixes; (O,-q) et (M,+q) forment un dipôle de moment →M(t)=q→r(t) qui peut rayonner mais les charges fixes en O ne rayonnent aucune énergie.
3.3) σ = puissance rayonnée totale/intensité du rayonnement incident; or l’intensité n’est pas définie; on peut prendre la définition qui nous arrange pour que σ soit une surface; en fait, il faut définir l’intensité comme le flux surfacique d’énergie donc la norme du vecteur de Poynting. Ce sont les valeurs moyennes dans le temps.
Toute l’énergie est prélevée sur l’onde incidente passée à travers une surface normale à la direction de propagation égale à la section efficace totale.
Théorème de la quantité de mouvement pour l’électron: m¨x=−eEi(x=0,t)=−eE0cosωt
→Mret=−e¨xret→ex=e2mE0cosω(t−r/c)→ex⇒ δI=μ0sin2θ(4π)2c(e2E0m)2cos2ω(t−r/c)δΩ
La valeur moyenne est ⟨δI⟩=μ02c(e2E0sinθ4πm)2δΩ
Pour l’onde incidente ⟨πi⟩=ε0cE202 d’où: dσdΩ=(μ0e24πm)2sin2θ; si on appelle Re=e24πε0mc2 le rayon classique de l’électron, on a: dσdΩ=R2esin2θ
La section efficace totale ou surface apparente de l’électron s’obtient en intégrant sur tout l’espace:
σ=2πR2eπ∫0sin3θdθ soit σ=8π3R2e ou σ=16π(μ0e2m)2
A.N.: Re=2,8.10−15m σ=6,6.10−29m2 et dσ/dΩ=7,9.10−30sin2θm2
L’intensité totale (flux surfacique d’énergie) transportée par l’onde incidente est la somme des intensités transportées par les deux composantes: ⟨π⟩=ε0E20c2=ε0e20c2+ε0e20c2=ε0e20c d’où e0=E0/√2 ⇒ (dσdΩ)x=12R2esin2θ; le facteur ½ provient du remplacement de E0 par e0=E0/√2 et du fait qu’on élève au carré; (dσdΩ)y s’obtient de même en remplaçant ‖→n∧→ex‖2 par ‖→n∧→ey‖2; or →n∧→ey=(cosθ,sinθcosψ,sinθsinψ)∧(0,1,0)=(−sinθsinψ,0,cosθ)d’où ‖→n∧→ey‖2=cos2θ+sin2θsin2ψ et donc (dσdΩ)y=12R2e(cos2θ+sin2θsin2ψ); la section efficace différentielle est la somme des sections efficaces différentielles en x et y et donc dσdΩ=12R2e(1+sin2θsin2ψ); or cosφ=→n.→ez=sinθsinψ d’où: dσdΩ=12R2e(1+cos2φ)
Une méthode plus simple consiste à remarquer que la lumière naturelle présente la symétrie de révolution autour de la direction de propagation; on peut choisir l’axe Ox dans le plan OM,Oz; les deux termes de la section efficace différentielle sont de façon évidente (dσdΩ)x=12R2ecos2φ et (dσdΩ)y=12R2e ce qui redonne le résultat déjà trouvé.
3.5) La masse du proton est 1836 fois supérieure à celle de l’électron: on peut supposer les protons au repos. Soit l’axe z’z de direction et sens de propagation ceux de l’onde incidente; soit deux plans d’abscisses z et z+dz perpendiculaires à z’z et une portion de surface S de ces plans; le volume considéré entre les deux portions de plans de volumee Sdz contient NSdz centres (électrons) diffusants; chacun est affecté de la surface σ; la section efficace totale de ces électrons est NSσdz; par définition c’est le rapport de la puissance prélevée (qui va être diffusée) sur le faisceau incident à la puissance surfacique du faisceau incident. On δP/I(z)=NSσdz; le faisceau incident s’est affaibli: dI(z)=−δP/S d’où dI/I=−σNdz; par intégration on obtient: I(z)=I(0)e−zξ avec ξ=1/Nσ (longueur).
A.N.: N=1022m−3; σ=6,6.10−29m2; ξ=1,5.106m; c’est énorme; le plasma est transparent.
4) Fluorescence des gaz
4.1)Après excitation, l’atome entre en oscillations libres; il rayonne des ondes quasi-planes de fréquence celle des oscillations libres; on peut penser que l’excitation des atomes n’est possible que si le faisceau incident a la fréquence de l’oscillateur libre; le rayonnement doit avoir la fréquence de l’onde incidente. Le rayonnement est polarisé rectilignement (dipôle en oscillations selon Oy).
4.2) Sur une durée de l’ordre de quelques périodes, on peut négliger les modifications du mouvement du fait du rayonnement:
m¨y=−αy avec α=mω20; y=Acosω0t+Bsinω0t et ˙y=ω0(−Asinω0t+Bcosω0t); l’énergie de l’oscillateur est E=12m˙y2+12αy2=12mω20(A2+B2)=cste.
Sur un grand nombre de périodes, on doit tenir compte des modifications du mouvement; la puissance rayonnée est p=e2ω406πε0c3y2ret; en valeur moyenne: ⟨p⟩=e2ω4012πε0c3(A2+B2)=−dE/dt d’où l’équation: dE/dt=−e26πε0mc3E; par intégration, on obtient E=E0e−t/τ avec τ=3mc2πμ0ν20e2
A.N.:τ=4,8.10−9s ; remarquons que ce résultat obtenu classiquement donne le même temps caractéristique pour deux raies voisines d’un atome donné ce qui est contraire à l’expérience: les temps caractéristiques peuvent être très différents. Il n’est certainement pas valable.
La période est T0=1,1.10−15s; on vérifie que τ>>T0 ce qui valide la méthode.
On remarque que l’amplitude décroît en e−t/2τ.
4.3) m→r=−mω20→r−e→r∧→B; le champ magnétique statique est selon z’z, le champ électrique de l’onde incidente est selon y’y, l’onde se propage selon x’x.
En projection sur les axes: (1) ¨x=−ω20x−emB˙y (2) ¨y=−ω20y+emB˙x (3) ¨z=−ω20z
On pose ωc=eB/m(pulsation cyclotron) et u = x + i y; en combinant (1) et i fois (2), on obtient ¨u−iωc˙u+ω20u=0, équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants d’équation caractéristique p2−iωcp+ω20=0, de racines imaginaires pures p+=i(ωc/2+√ω20+ω2c/4) et p−=i(ωc/2−√ω20+ω2c/4); de ce fait la solution est u=C1ep+t+C2ep−t, C1 et C2 appartenant au corps des complexes.
Il n’est pas indispensable de calculer ces constantes dans cette question mais comme on en a besoin par la suite, on peut le faire maintenant; à t=0, on peut supposer x(t=0)=y(t=0)=z(t=0)=0˙x(t=0)=˙z(t=0)=0˙y(t=0)=˙y0
On a donc u(t=0)=0=C1+C2 et ˙u(t=0)=i˙y0=C1(p+−p−) d’où C1=˙y02√ω20+ω2c/4 et
u=i˙y0√ω20+ω2c/4eiωct2sin(√ω20+ω2c/4)t
Le champ magnétique statique est faible: ω0>>ωc: on pose ω=ωc2=eB2m et cela donne: u=˙y0ω0(−sinωt+icosωt)sinω0t ; on en déduit x et y, en tenant compte de l’amortissement exponentiel: x=−˙y0ω0e−t/2τsinωtsinω0t et y=˙y0ω0e−t/2τcosωtsinω0t soit encore x=˙y02ω0e−t/2τ(cos(ω0+ω)t−cos(ω0−ω)t) et y=˙y02ω0e−t/2τ(sin(ω0+ω)t+sin(ω0−ω)t);
enfin z=Acosω0t+Bsinω0t mais avec les conditions initiales choisies z = 0 à tout instant. D’où:
→r+=˙y02ω0e−t/2τ(cos(ω0+ω)t→ex+sin(ω0+ω)t→ey) et →r−=˙y02ω0e−t/2τ(−cos(ω0−ω)t→ex+sin(ω0−ω)t→ey)
→rz=→0; →r+ et ⇀r− représentent respectivement un mouvement circulaire gauche de fréquence ν0+ν et
un mouvement circulaire droit de fréquence ν0−ν, de mêmes rayons ˙y02ω0 avec ν=eB4πm.
4.4) →r+ et ⇀r− produisent →M+=−e→r+ et →M−=−e→r−; on observe selon Oz donc perpendiculairement à →M+et→M−; de ce fait les champs électriques →E+et→E− sont parallèles à →M+et→M−; en principe on observe deux vibrations circulaires de mêmes amplitudes l’une droite →E− tournant à la pulsation ω0−ω en sens rétrograde et l’autre gauche →E+ tournant à la pulsation ω0+ω en sens direct (effet Zeeman longitudinal); mais comme ν<<ν0 et qu’on ne met pas en évidence la séparation entre les fréquences, on observe une vibration rectiligne à chaque instant, de fréquence ν0, tournant très lentement en sens direct à la fréquence ν dont l’amplitude décroît exponentiellement en e−t/2τ; c’est pourquoi il apparaît lentement une vibration rectiligne selon Ox (en plus de la vibration rectiligne initialement selon Oy): le champ magnétique produit une lente dépolarisation.
4.5) Dans la suite, on posera y0=˙y0/ω0.
La puissance rayonnée dans l’angle solide δΩ dans la direction θ=π/2 est, selon Ox et Oy respectivememt:
δpx=(e¨xret4π)2δΩ=μ0c(eω20xret4π)2δΩ et δpx=μ0c(e¨yret4π)2δΩ=μ0c(eω20yret4π)2δΩ
On pose 2K=μ0c(eω204π)2δΩ d’où δpx=2Kx2ret et δpy=2Ky2ret; on suppose le récepteur sensible à la puissance moyenne reçue sur une durée de l’ordre de quelques périodes T0=2π/ω0 et de ce fait les fonctions variant à la pulsation ω et en e−t/τ restant constantes; cela conduit à ⟨δpx⟩=Ky20e−t/τsin2ωt et ⟨δpy⟩=Ky20e−t/τcos2ωt.
En intégrant entre 0 et t, on a:
Wx=t∫0⟨δpx⟩=Ky20t∫0e−t/τsin2ωtdt et Wy=t∫0⟨δpy⟩=Ky20t∫0e−t/τcos2ωtdt
On exprime le carré des sinus et cosinus en fonction du cosinus de l’angle double; l’intégrale I=t∫0e−t/τcos2ωtdt se calcule en décomposant le cosinus en exponentielles complexes; on trouve I=1τ−e−t/τ(1τcos2ωt−2ωsin2ωt)4ω2+1τ2; par ailleurs J=t∫0e−t/τdt=τ(1−e−t/τ); d’où Wx=Ky202(J−I) et Wy=Ky202(J+I); or P = I/J d’où P=1τ−e−t/τ(1τcos2ωt−2ωsin2ωt)τ(1−e−t/τ)(4ω2+1τ2);
si t>>τ P=11+4ω2τ2 d’où la courbe représentative de P en fonction de B.
4.6) On peut envisager différentes méthodes:
Au centre de la spire circulaire B=μ0I2R soit numériquement B=1,6.10−6T et τ=3,5.10−6s
On trouve une valeur 750 fois supérieure au résultat théorique en supposant un rayonnement dipolaire; la théorie classique développée en 4.2° n’est pas valable; il faudrait faire un calcul quantique de la durée de vie de l’atome au sein d’une population d’atomes.
Le champ magnétique terrestre a une composante horizontale de 0,2 gauss soit 2.10−5T supérieure au champ magnétique dû à la spire; pour contourner le problème, il suffit de créer un champ magnétique qui annule le champ magnétique terrestre et fournit en plus le champ magnétique désiré; il faut orienter le montage par rapport au champ magnétique terrestre; on sait faire cela. Il faut également éviter toute hétérogénéité du champ magnétique sur le domaine occupé par les atomes.
5) Effets cinétiques
5.1) d3P=A3e−mv22kTdvxdvydvz; on exprime que la somme des probabilités est unité et on utilise
+∞∫−∞e−u2du=√π d’où A=(m2πkT)1/2 et d3P=(m2πkT)3/2e−mv22kTdvxdvydvz
Par passage du système de coordonnées cartésiennes au système de coordonnées sphériques, l’élément de volume devient v2sinθdvdθdφ et la probabilité d’avoir une norme de vitesse v à dv près dans la direction θ,φàdθ,dφ près s’écrit d3P′=(m2πkT)3/2e−mv22kTv2sinθdθdφdv; on intègre en θ de 0 à π et en φ de 0 à 2π, ce qui donne: P(v)dv=4π(m2πkT)3/2e−mv22kTv2dv
Par définition: ⟨v⟩=∞∫v=0vP(v)dv=4π(m2πkT)3/2∞∫v=0e−mv22kTv3dv; or ∞∫0e−u2u3du=1/2 d’où ⟨v⟩=(8kTπm)1/2
5.2) P(→vi,→vj)d3→vid3→vj=A3iA3je−miv2i+mjv2j2kTdvixdviydvizdvjxdvjydvjz avec Ai=(mi2πkT)1/2 et Aj=(mj2πkT)1/2. La vitesse du centre d’inertie d’un couple (i,j) est →V=mi→vi+mj→vjmi+mj et la vitesse de i par rapport à j est →vij=→vi−→vj; on en déduit →vi=→V+mjmi+mj→vij et →vj=→V−mimi+mj→vij; on obtient 6 relations algébriques en projection sur les axes Oxyz; le jacobien de la transformation vix,vix→Vx,vijx est |1mj/(mi+mj)1−mi/(mi+mj)| et vaut 1 d’où dvixdvix→dVxdvijx; il en est de même pour les deux autres directions; par ailleurs miv2i+mjv2j=(mi+mj)V2+μv2ij avec μij=mimjmi+mj (masse réduite); enfin A3iA3j=A3GA3R avec AG=(mi+mj2πkT)1/2 et AR=(μ2πkT)1/2d’où P(→V,→vij)d3→Vd3→vij=A3GA3Re−(mi+mj)V2+μv2ij2kTdVxdVydVzdvijxdvijydvijz; par définition de la norme de la vitesse relative moyenne, on a ⟨vij⟩=∭∭R6vijP(→V,→vij)d3→Vd3→vij
On sépare en un produit de deux intégrales triples; l’une porte sur dVxdVydVz et est la probabilité de trouver une molécule d’un gaz fictif de masse mi+mj dans l’espace et l’autre est la moyenne des normes des vitesses de molécules de masse μ d’où ⟨vij⟩=(8kTπμ)1/2=(8(mi+mj)kTπmimj)1/2 (ce résultat peut sembler évident: on substitue à la masse la masse réduite) et ⟨vij⟩2=⟨vi⟩2+⟨vj⟩2
5.3) Soit T−1dt le nombre de chocs que subit une molécule de type i avec une molécule de type j en dt; c’est le nombre de molécules de type j rencontrées par une molécule de type i qui parcourt la distance ⟨vij⟩dt, c’est-à-dire le nombre de molécules de type j contenues dans un cylindre de section droiteπa2ij, de volume πa2ij⟨vij⟩dt; d’où T−1dt=πa2ij⟨vij⟩njdt et donc le nombre de chocs subis par unité de temps par une molécule de type i est T−1=πa2ij⟨vij⟩nj=πa2ijnj(8(mi+mj)kTπmimj)1/2
Son libre parcours moyen est l=⟨vi⟩/T−1 soit l=⟨vi⟩πa2ij⟨vij⟩nj=(mjmi+mj)1/21πa2ijnj
5.4) A.N.: nj=Pj/kT=2,15.1021 molécules d’argon par m3; l=7,6.10−5m et T−1=3,8.10−6s−1 soit T=2,6.10−7s.
5.5) Soit P(t)dt la probabilité pour qu’une molécule qui n’a pas subi de choc entre les dates 0 et t subisse un choc entre les dates t et t+dt: df = -P(t)dt soit P(t)=−df/dt
Soit N0 le nombre initial de molécules (t=0); à t1, il reste N1=f(t1)N0molécules n’ayant pas subi de premier choc; du fait de l’indépendance des chocs, on peut prendre n’importe quelle origine des temps; prenons la date t1 comme nouvelle origine des temps; à la date t2, il resteN1f(t2)molécules n’ayant pas subi de premier choc, soit N0f(t1)f(t2)mais c’est aussi N0f(t1+t2)d’où f(t1+t2)=f(t1)f(t2)
f(t+dt)=f(t)f(dt)=f(t)(f(0)+(dfdt)0dt)
f(0) = 1; on pose 1T=−(dfdt)0; le signe moins traduit la décroissance de f(t) dans le temps; T est une grandeur positive; d’où f(t+dt)=f(t)(1−dt/T) soit df=−f(t)dt/T; par intégration f(t)=f(0)e−t/T; comme f(0) = 1, on trouve f(t)=f(0)e−t/T
La durée de vie moyenne sans premier choc est ⟨t⟩=∞∫0tdf(t); une intégration par parties donne ⟨t⟩=T ce qui donne la signification physique de la constante T introduite.
On en déduit P(t)=e−t/T/T
Le nombre d’atomes qui subissent un premier choc entre t et t+dt est |dN(t)|=N0Te−t/Tdt.
5.6) Le champ magnétique statique est nul; de ce fait ν=0.
Pour t < tchoc x=0,y=y0e−t/2τsinω0t,z=0
Pour t > tchoc la dépolarisation est totale:
→r+=A2e−t/2τ(+cos(ω0t−ϕ1)t→ex+sin(ω0t−ϕ1)t→ey) →r−=A2e−t/2τ(−cos(ω0t−ϕ2)t→ex+sin(ω0t−ϕ2)t→ey)
→rz=Be−t/2τsin(ω0t−ϕ3)→ez; dans ces expressions, ϕ1,ϕ2,ϕ3 sont des valeurs inconnues fixées lors du premier choc subi, qui changent à chaque choc ultérieur subi, à amplitudes constantes, puisque la dépolarisation est déjà effectuée.
Les trois modes →r+,→r−,→rz ont des énergies mécaniques respectives:
12α→r2++12m→r2+=mω20(A2)2e−t/τ, 12α→r2−+12m→r2−=mω20(A2)2e−t/τ, 12α→r2z+12m→r2z=12mω20B2e−t/τ ; le mode initial avait l’énergie 12αy2+12m˙y2=12mω20y20e−t/τ; par hypothèse, lors du choc, l’énergie de l’atome se conserve: 2(A/2)2+2(A/2)2+B2=y20
et il se produit la dépolarisation totale 2(A/2)2=2(A/2)2=B2=y20/3 d’où A=√2/3y0 et x=√2/3y0e−t/2τsin(Δϕ/2)sin(ω0t−φ)
y=√2/3y0e−t/2τcos(Δϕ/2)sin(ω0t−φ) avec Δϕ=ϕ1−ϕ2etφ=(ϕ1+ϕ2)/2
La composante selon z’z n’a pas d’importance car un dipôle ne rayonne pas selon la direction de son moment dipolaire et par ailleurs, on observe selon z’z.
L’angle Δϕ va varier aléatoirement chaque fois qu’on aura un nouveau choc; avec 2K=μ0c(eω204π)2δΩ, les puissances émises selon Ox et Oy sont δpx=2Kx2et δpy=2Ky2; on utilise un récepteur sensible à la puissance moyenne reçue sur quelques périodes T0=2π/ω0, qui ensuite intègre cette puissance sur une longue durée devant T0; on a ⟨δpx⟩=2K3y20e−t/τsin2(Δϕ/2) et ⟨δpy⟩=2K3y20e−t/τcos2(Δϕ/2)
Wx=2K3y20sin2(Δϕ/2)∞∫u=te−u/τdu
Wy=Ky20t∫u=0e−u/τdu+2K3y20cos2(Δϕ/2)∞∫u=te−u/τdu (en appelant t la date du premier choc)
Par intégration Wx=2K3y20τe−t/τsin2(Δϕ/2) et Wy=Ky20τ[(1−e−t/τ)+23e−t/τcos2(Δϕ/2)]
Ensuite Δϕ varie aléatoirement tous les temps T (à chaque choc ultérieur, sans modification des amplitudes); pour t >> T, on moyenne sur toutes les valeurs possibles de Δϕ; on obtient Wx=K3y20τe−t/τ et Wy=K3y20τ(3−2e−t/τ) et Wx/Wy=e−t/τ/(3−2e−t/τ)
On peut résumer en disant que →r+,→r− créent →E+,→E− qui leurs sont parallèles; ces deux vibrations circulaires se recomposent en une vibration rectiligne de direction fixe entre deux chocs (angle Δϕ/2, noté ϕ avec Oy) qui transporte les 2/3 de l’énergie disponible; alors (loi de Malus) après choc Wyα23cos2ϕ∞∫u=te−u/τdu et Wxα23sin2ϕ∞∫u=te−u/τdu; après moyenne sur l’angle ϕ aléatoire, on retrouve WxWy=13∞∫u=te−u/τdut∫u=0e−u/τdu+13∞∫u=te−u/τdu=e−t/τ3−2e−t/τ
5.7) Pour une vapeur, en la supposant éclairée par un flash initial, au bout d’un temps très supérieur à la durée moyenne entre deux chocs, les émissions des différents atomes sont incohérentes; si {N_0} est le nombre d’atomes excités lors du flash initial, {W_x} = \sum\limits_{i = 1}^{{N_0}} {{W_{{x_i}}}} = \int\limits_{N = 0}^{{N_0}} {{W_x}(t)\left| {dN(t)} \right|} avec dN(t) explicité en fin de 5.5); de même {W_y} = \sum\limits_{i = 1}^{{N_0}} {{W_{{y_i}}}} = \int\limits_{N = 0}^{{N_0}} {{W_y}(t)\left| {dN(t)} \right|} ; on obtient {W_x} = {N_0}y_0^2\frac{K}{3}\frac{\tau }{{\rm T}}\int\limits_{t = 0}^\infty {{e^{ - (1/\tau + 1/{\rm T})t}}dt} et {W_y} = {N_0}y_0^2\frac{K}{3}\frac{\tau }{{\rm T}}\int\limits_{t = 0}^\infty {(3 - 2{e^{ - t/\tau }}){e^{ - t/{\rm T}}}dt} soit {W_x} = {N_0}y_0^2\frac{K}{3}\frac{{{\tau ^2}}}{{\tau + {\rm T}}} , {W_y} = {N_0}y_0^2\frac{K}{3}\frac{{\tau (\tau + 3{\rm T})}}{{\tau + {\rm T}}} , \frac{{{W_x}}}{{{W_y}}} = \frac{\tau }{{\tau + 3{\rm T}}} et P = \frac{1}{{1 + \frac{{2\tau }}{{3{\rm T}}}}}
5.8) A.N.: selon 4.2° \tau = {4,8.10^{ - 9}}s et selon 5.4° {\rm T} = {2,6.10^{ - 7}}s {\rm{P = 0}}{\rm{,99}}; forcément P est peu différent de l’unité car {\rm T} > > \tau . Selon 4.6° \tau = {3,5.10^{ - 6}}s et alors {\rm{P = 0}}{\rm{,10}}; le premier résultat est inexact car la valeur théorique de \tau ne peut s’établir valablement sans la mécanique quantique; seule la valeur expérimentale de \tau doit être retenue; le second résultat semble correct car on utilise la valeur de \tau obtenue expérimentalement en 4.6° dans les conditions où tout autre effet que la dépolarisation par champ magnétique est négligeable, en particulier la dépolarisation par choc (en se plaçant à très basse pression par exemple).
En conclusion, on voit que les chocs exercent un fort pouvoir dépolarisant.
1°) Préliminaire mathématique
1.1) On suppose la charge sphérique et homogène; par isotropie de l’espace autour de O, f=f(r,t).
1.2) Δf−1c2∂2f∂t2=0, en M différent de O; Δf=1r∂2rf∂r2 et χ=rf⇒ ∂2χ∂t2−1c2∂2χ∂t2=0; la solution générale est χ(r,t)=F(t−r/c)+G(t+r/c) soit f(r,t)=1rF(t−r/c)+1rG(t+r/c).
On suppose l’élément de volume δV=4πε3/3 sphérique de rayon ε→0.
Pour la solution particulière f(r,t)=1rF(t−r/c), on intègre sur la sphère de rayon ε:
∬S(O,ε)∂f∂rδS=−4π[F(t−ε/c)+εc∂F(t−ε/c)∂t]
∬S(O,ε)∂f∂rδS=∬S(O,ε)→∇f.δ→S=∭V(S(O,ε))Δfδτ=δV(Δf)ε=0=4πε33c2(∂2f(t−ε/c)∂t2)+4πg(0,t)δV.
On a: ∂2f(t−ε/c)∂t2=1ε∂2F(t−ε/c)∂t2; on identifie les deux expressions précédentes et on fait tendre εvers zéro; on obtient: F(t)=−g(0,t)δV (sous la condition que F(t) et ses dérivées première et seconde par rapport au temps soient bornées et que g(→0,t)ne le soit pas).
D’où: f(t−r/c)=−g(→0,t−r/c)δVr.
Soit un repère Oxyz; l’élément de volume δV précédent est centré en S, tel que O→S=→R; une solution particulière en →r=O→M à la date t est δf(→r,t)=−g(→R,t−‖→R−→r‖/c)δVr; l’équation différentielle est linéaire; la solution particulière cherchée est la somme des solutions particulières dues aux différents éléments de volume soit (2) f(→r,t)=−∭R3g(→R,t−‖→R−→r‖/c)δVr; le texte présente une erreur de signe au niveau des formules (1) ou (2).
2) Rayonnement dipolaire
2.1) (MF) →∇∧→E=−∂→B∂t (Mϕ) →∇.→B=0 (MG) →∇.⇀E=ρ/ε0 (MA) →∇∧→B=μ0(→j+ε0∂→E∂t)
(Mϕ) ⇒ ∃→A(→r,t), →B=→∇∧→A et (MF) ⇒ →∇∧(→E+∂→A∂t)=0⇒ ∃V(→r,t), →E=−→∇V−∂→A∂t
2.2) Supposons qu’il existe un second couple de potentiels →A′,V′; les champs doivent être invariants de jauge:→B=→∇∧→A=→∇∧→A′ ⇒ →∇∧(→A−→A′)=→0 ⇒ ∃Ψ(→r,t), →A′−→A=→∇Ψ
→E=−→∇V−∂→A∂t=−→∇V′−∂→A′∂t⇒ →∇(V′−V)=−∂(→A′−→A)∂t=−→∇∂Ψ∂t ⇒ V′−V+∂Ψ∂t=0 soit V′=V−∂Ψ∂t.
Choisir un couple de potentiels vecteurs est effectuer un choix de jauge; il existe une infinité de jauges: il y a indétermination de jauge.
Si on introduit la condition de jauge de Lorentz →∇.→A+1c2∂V∂t=0, on réalise une simplification des équations de propagation des potentiels mais en aucun cas on ne lève l’indétermination de jauge, contrairement à ce qu’affirme l’énoncé. On la réduit seulement.
Si deux jauges obéissent à la condition de jauge de Lorentz:
→∇.→A+1c2∂V∂t=→∇.→A′+1c2∂V′∂t=0 ⇒ →∇.(→A′−→A)+1c2∂(V′−V)∂t=0 ⇒ ΔΨ−1c2∂2Ψ∂t2=0
C’est la condition sur la fonction Ψ(→r,t) pour que les deux couples de potentiels vérifient simultanément la condition de jauge de Lorentz ; en imposant la condition de jauge de Lorentz, on réduit l’indétermination de jauge mais sans la supprimer.
2.3) On considère les équations (MA) et (MG) faisant figurer les sources.
→B=→∇∧→A et →E=−→∇V−∂→A∂t portés dans (MA) ⇒ →∇∧(→∇∧→A)=μ0(→j−ε0→∇∂V∂t−ε0∂2→A∂t2)
mais à l’aide de Δ→A=→∇(→∇.→A)−→∇∧(→∇∧→A) et de la condition de jauge de Lorentz, on obtient Δ→A−1c2∂2→A∂t2=−μ0→j
→E=−→∇V−∂→A∂t portée dans (MB) et à l’aide de la condition de jauge de Lorentz, on obtient: ΔV−1c2∂2V∂t2=−ρε0
→E=−→∇V−∂→A∂t=(1c∂V∂t−∂Ax∂t,−∂Ay∂t,−∂Az∂t)=(0,−∂Ay∂t,−∂Az∂t)=−∂∂t(→A−(→A.→n)→n) soit
→E=∂∂t((→A∧→n)∧→n) ⇒ →E=(∂→A∂t∧→n)∧→n et →B=→∇∧→A=1c∂(Az→ey−Ay→ez)∂t ⇒ →B=1c∂→A∂t∧→n
L’autre méthode donne →E=→nc∂V∂t−∂→A∂t=∂∂t(→n(→n.→A)−→A)=(∂→A∂t∧→n)∧→n et →B=1c∂→A∂t∧→n directement.
2.5) →A(→r,t)=μ04π∭R3→j(→R,t−‖→R−→r‖/c)‖→R−→r‖d3→R potentiel vecteur retardé.
2.6) jx(t)d3→R=aIx(t)=adqx(t)dt=dMx(t)dt
Ax(→r,t)=μ04πjx(t−r/c)d3→Rr=μ04πr˙Mx(t−r/c); idem en y et z d’où →A(→r,t)=μ0→M(t−r/c)4πr
2.7) A grande distance, on remplace localement la sphère (O,r) par son plan tangent; les ondes sont quasi-planes d’où →E=μ04πr(→M∧→n)∧→n et →B=μ04πcr→M∧→n; on a →E=→B∧→c soit →B=→nc∧→E
Le vecteur de Poynting est →π=→E∧→B/μ0=(B2c/μ0)→n; la puissance rayonnée est le flux du vecteur de Poynting à travers l’élément de surface δS de la sphère (O,r), vu sous l’angle solide δΩ=δS/r2 depuis O, et vaut δI=→π.δ→S=B2cμ0r2δΩ=μ0(4π)2c(→M∧→n)2δΩ soit
δI=μ0(4π)2c→M2sin2θδΩ
On intègre sur la sphère (O,r): I=μ0(4π)2c¨→M2∭R3sin2θδΩ; or δΩ=−2πdcosθ et J=π∫0sin3θdθ=4/3 conduit à I=→M26πε0c3; il s’agit du moment retardé, pris à la date t-r/c.
3) Diffusion par des charges libres
3.1) →F=q(→E+→v∧→B) avec →E=→B∧→c; ‖→v∧→B‖≈vc‖→E‖<<‖→E‖ si v<<c (charge non relativiste); alors →F≈q→E.
Pour l’atome H, modèle de Bohr: mv2r=e24πε0r2 et quantification du moment cinétique: rmv=ℏ dans l’état fondamental d’où v/c=e24πε0ℏc≈1/137 (constante de structure fine); v<<c; l’approximation est de l’ordre du centième.
3.2) A l’origine, on introduit -q et +q, confondues fixes; (O,-q) et (M,+q) forment un dipôle de moment →M(t)=q→r(t) qui peut rayonner mais les charges fixes en O ne rayonnent aucune énergie.
3.3) σ = puissance rayonnée totale/intensité du rayonnement incident; or l’intensité n’est pas définie; on peut prendre la définition qui nous arrange pour que σ soit une surface; en fait, il faut définir l’intensité comme le flux surfacique d’énergie donc la norme du vecteur de Poynting. Ce sont les valeurs moyennes dans le temps.
Toute l’énergie est prélevée sur l’onde incidente passée à travers une surface normale à la direction de propagation égale à la section efficace totale.
Théorème de la quantité de mouvement pour l’électron: m¨x=−eEi(x=0,t)=−eE0cosωt
→Mret=−e¨xret→ex=e2mE0cosω(t−r/c)→ex⇒ δI=μ0sin2θ(4π)2c(e2E0m)2cos2ω(t−r/c)δΩ
La valeur moyenne est ⟨δI⟩=μ02c(e2E0sinθ4πm)2δΩ
Pour l’onde incidente ⟨πi⟩=ε0cE202 d’où: dσdΩ=(μ0e24πm)2sin2θ; si on appelle Re=e24πε0mc2 le rayon classique de l’électron, on a: dσdΩ=R2esin2θ
La section efficace totale ou surface apparente de l’électron s’obtient en intégrant sur tout l’espace:
σ=2πR2eπ∫0sin3θdθ soit σ=8π3R2e ou σ=16π(μ0e2m)2
A.N.: Re=2,8.10−15m σ=6,6.10−29m2 et dσ/dΩ=7,9.10−30sin2θm2
3.4) Cas de la lumière naturelle: on appelle E0 l’amplitude du champ électrique de l’onde; on schématise ce champ électrique par deux composantes transverses orthogonales incohérentes entre elles et d’amplitudes e0: Ex=e0cos[ω(t−z/c)−φ(t)] Ey=e0cos[ω(t−z/c)−ψ(t)] ϕ(t) et ψ(t) sont aléatoires et très rapidement variables. |
Une méthode plus simple consiste à remarquer que la lumière naturelle présente la symétrie de révolution autour de la direction de propagation; on peut choisir l’axe Ox dans le plan OM,Oz; les deux termes de la section efficace différentielle sont de façon évidente (dσdΩ)x=12R2ecos2φ et (dσdΩ)y=12R2e ce qui redonne le résultat déjà trouvé.
3.5) La masse du proton est 1836 fois supérieure à celle de l’électron: on peut supposer les protons au repos. Soit l’axe z’z de direction et sens de propagation ceux de l’onde incidente; soit deux plans d’abscisses z et z+dz perpendiculaires à z’z et une portion de surface S de ces plans; le volume considéré entre les deux portions de plans de volumee Sdz contient NSdz centres (électrons) diffusants; chacun est affecté de la surface σ; la section efficace totale de ces électrons est NSσdz; par définition c’est le rapport de la puissance prélevée (qui va être diffusée) sur le faisceau incident à la puissance surfacique du faisceau incident. On δP/I(z)=NSσdz; le faisceau incident s’est affaibli: dI(z)=−δP/S d’où dI/I=−σNdz; par intégration on obtient: I(z)=I(0)e−zξ avec ξ=1/Nσ (longueur).
A.N.: N=1022m−3; σ=6,6.10−29m2; ξ=1,5.106m; c’est énorme; le plasma est transparent.
4) Fluorescence des gaz
4.1)Après excitation, l’atome entre en oscillations libres; il rayonne des ondes quasi-planes de fréquence celle des oscillations libres; on peut penser que l’excitation des atomes n’est possible que si le faisceau incident a la fréquence de l’oscillateur libre; le rayonnement doit avoir la fréquence de l’onde incidente. Le rayonnement est polarisé rectilignement (dipôle en oscillations selon Oy).
4.2) Sur une durée de l’ordre de quelques périodes, on peut négliger les modifications du mouvement du fait du rayonnement:
m¨y=−αy avec α=mω20; y=Acosω0t+Bsinω0t et ˙y=ω0(−Asinω0t+Bcosω0t); l’énergie de l’oscillateur est E=12m˙y2+12αy2=12mω20(A2+B2)=cste.
Sur un grand nombre de périodes, on doit tenir compte des modifications du mouvement; la puissance rayonnée est p=e2ω406πε0c3y2ret; en valeur moyenne: ⟨p⟩=e2ω4012πε0c3(A2+B2)=−dE/dt d’où l’équation: dE/dt=−e26πε0mc3E; par intégration, on obtient E=E0e−t/τ avec τ=3mc2πμ0ν20e2
A.N.:τ=4,8.10−9s ; remarquons que ce résultat obtenu classiquement donne le même temps caractéristique pour deux raies voisines d’un atome donné ce qui est contraire à l’expérience: les temps caractéristiques peuvent être très différents. Il n’est certainement pas valable.
La période est T0=1,1.10−15s; on vérifie que τ>>T0 ce qui valide la méthode.
On remarque que l’amplitude décroît en e−t/2τ.
En projection sur les axes: (1) ¨x=−ω20x−emB˙y (2) ¨y=−ω20y+emB˙x (3) ¨z=−ω20z
On pose ωc=eB/m(pulsation cyclotron) et u = x + i y; en combinant (1) et i fois (2), on obtient ¨u−iωc˙u+ω20u=0, équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants d’équation caractéristique p2−iωcp+ω20=0, de racines imaginaires pures p+=i(ωc/2+√ω20+ω2c/4) et p−=i(ωc/2−√ω20+ω2c/4); de ce fait la solution est u=C1ep+t+C2ep−t, C1 et C2 appartenant au corps des complexes.
Il n’est pas indispensable de calculer ces constantes dans cette question mais comme on en a besoin par la suite, on peut le faire maintenant; à t=0, on peut supposer x(t=0)=y(t=0)=z(t=0)=0˙x(t=0)=˙z(t=0)=0˙y(t=0)=˙y0
On a donc u(t=0)=0=C1+C2 et ˙u(t=0)=i˙y0=C1(p+−p−) d’où C1=˙y02√ω20+ω2c/4 et
u=i˙y0√ω20+ω2c/4eiωct2sin(√ω20+ω2c/4)t
Le champ magnétique statique est faible: ω0>>ωc: on pose ω=ωc2=eB2m et cela donne: u=˙y0ω0(−sinωt+icosωt)sinω0t ; on en déduit x et y, en tenant compte de l’amortissement exponentiel: x=−˙y0ω0e−t/2τsinωtsinω0t et y=˙y0ω0e−t/2τcosωtsinω0t soit encore x=˙y02ω0e−t/2τ(cos(ω0+ω)t−cos(ω0−ω)t) et y=˙y02ω0e−t/2τ(sin(ω0+ω)t+sin(ω0−ω)t);
enfin z=Acosω0t+Bsinω0t mais avec les conditions initiales choisies z = 0 à tout instant. D’où:
→r+=˙y02ω0e−t/2τ(cos(ω0+ω)t→ex+sin(ω0+ω)t→ey) et →r−=˙y02ω0e−t/2τ(−cos(ω0−ω)t→ex+sin(ω0−ω)t→ey)
→rz=→0; →r+ et ⇀r− représentent respectivement un mouvement circulaire gauche de fréquence ν0+ν et
un mouvement circulaire droit de fréquence ν0−ν, de mêmes rayons ˙y02ω0 avec ν=eB4πm.
4.4) →r+ et ⇀r− produisent →M+=−e→r+ et →M−=−e→r−; on observe selon Oz donc perpendiculairement à →M+et→M−; de ce fait les champs électriques →E+et→E− sont parallèles à →M+et→M−; en principe on observe deux vibrations circulaires de mêmes amplitudes l’une droite →E− tournant à la pulsation ω0−ω en sens rétrograde et l’autre gauche →E+ tournant à la pulsation ω0+ω en sens direct (effet Zeeman longitudinal); mais comme ν<<ν0 et qu’on ne met pas en évidence la séparation entre les fréquences, on observe une vibration rectiligne à chaque instant, de fréquence ν0, tournant très lentement en sens direct à la fréquence ν dont l’amplitude décroît exponentiellement en e−t/2τ; c’est pourquoi il apparaît lentement une vibration rectiligne selon Ox (en plus de la vibration rectiligne initialement selon Oy): le champ magnétique produit une lente dépolarisation.
4.5) Dans la suite, on posera y0=˙y0/ω0.
La puissance rayonnée dans l’angle solide δΩ dans la direction θ=π/2 est, selon Ox et Oy respectivememt:
δpx=(e¨xret4π)2δΩ=μ0c(eω20xret4π)2δΩ et δpx=μ0c(e¨yret4π)2δΩ=μ0c(eω20yret4π)2δΩ
On pose 2K=μ0c(eω204π)2δΩ d’où δpx=2Kx2ret et δpy=2Ky2ret; on suppose le récepteur sensible à la puissance moyenne reçue sur une durée de l’ordre de quelques périodes T0=2π/ω0 et de ce fait les fonctions variant à la pulsation ω et en e−t/τ restant constantes; cela conduit à ⟨δpx⟩=Ky20e−t/τsin2ωt et ⟨δpy⟩=Ky20e−t/τcos2ωt.
En intégrant entre 0 et t, on a:
Wx=t∫0⟨δpx⟩=Ky20t∫0e−t/τsin2ωtdt et Wy=t∫0⟨δpy⟩=Ky20t∫0e−t/τcos2ωtdt
On exprime le carré des sinus et cosinus en fonction du cosinus de l’angle double; l’intégrale I=t∫0e−t/τcos2ωtdt se calcule en décomposant le cosinus en exponentielles complexes; on trouve I=1τ−e−t/τ(1τcos2ωt−2ωsin2ωt)4ω2+1τ2; par ailleurs J=t∫0e−t/τdt=τ(1−e−t/τ); d’où Wx=Ky202(J−I) et Wy=Ky202(J+I); or P = I/J d’où P=1τ−e−t/τ(1τcos2ωt−2ωsin2ωt)τ(1−e−t/τ)(4ω2+1τ2);
si t>>τ P=11+4ω2τ2 d’où la courbe représentative de P en fonction de B.
- On éclaire par un flash très bref avec un laser femtoseconde; parmi tous les photons incidents seuls ceux ayant l’énergie hν0 peuvent exciter les atomes; le fait important n’est pas la monochromaticité, non réalisée ici, mais que l’éclairement soit très bref; chaque atome excité émet alors un rayonnement cohérent avec les autres atomes excités; si N atomes ont été excités, les champs électriques sont multipliés par N, Wx et Wy par N2 mais Wx/Wy est inchangé; on a encore P=11+4ω2τ2
- Si au contraire on éclaire avec un faisceau laser continu de fréquence ν0 et si à instant donné N atomes sont excités, les rayonnements des différents atomes sont incohérents et ce sont les puissances rayonnées qui s’ajoutent; Wx et Wy sont multipliés par N, mais Wx/Wy est inchangé; on a encore le même résultat.
Au centre de la spire circulaire B=μ0I2R soit numériquement B=1,6.10−6T et τ=3,5.10−6s
On trouve une valeur 750 fois supérieure au résultat théorique en supposant un rayonnement dipolaire; la théorie classique développée en 4.2° n’est pas valable; il faudrait faire un calcul quantique de la durée de vie de l’atome au sein d’une population d’atomes.
Le champ magnétique terrestre a une composante horizontale de 0,2 gauss soit 2.10−5T supérieure au champ magnétique dû à la spire; pour contourner le problème, il suffit de créer un champ magnétique qui annule le champ magnétique terrestre et fournit en plus le champ magnétique désiré; il faut orienter le montage par rapport au champ magnétique terrestre; on sait faire cela. Il faut également éviter toute hétérogénéité du champ magnétique sur le domaine occupé par les atomes.
5) Effets cinétiques
5.1) d3P=A3e−mv22kTdvxdvydvz; on exprime que la somme des probabilités est unité et on utilise
+∞∫−∞e−u2du=√π d’où A=(m2πkT)1/2 et d3P=(m2πkT)3/2e−mv22kTdvxdvydvz
Par passage du système de coordonnées cartésiennes au système de coordonnées sphériques, l’élément de volume devient v2sinθdvdθdφ et la probabilité d’avoir une norme de vitesse v à dv près dans la direction θ,φàdθ,dφ près s’écrit d3P′=(m2πkT)3/2e−mv22kTv2sinθdθdφdv; on intègre en θ de 0 à π et en φ de 0 à 2π, ce qui donne: P(v)dv=4π(m2πkT)3/2e−mv22kTv2dv
Par définition: ⟨v⟩=∞∫v=0vP(v)dv=4π(m2πkT)3/2∞∫v=0e−mv22kTv3dv; or ∞∫0e−u2u3du=1/2 d’où ⟨v⟩=(8kTπm)1/2
5.2) P(→vi,→vj)d3→vid3→vj=A3iA3je−miv2i+mjv2j2kTdvixdviydvizdvjxdvjydvjz avec Ai=(mi2πkT)1/2 et Aj=(mj2πkT)1/2. La vitesse du centre d’inertie d’un couple (i,j) est →V=mi→vi+mj→vjmi+mj et la vitesse de i par rapport à j est →vij=→vi−→vj; on en déduit →vi=→V+mjmi+mj→vij et →vj=→V−mimi+mj→vij; on obtient 6 relations algébriques en projection sur les axes Oxyz; le jacobien de la transformation vix,vix→Vx,vijx est |1mj/(mi+mj)1−mi/(mi+mj)| et vaut 1 d’où dvixdvix→dVxdvijx; il en est de même pour les deux autres directions; par ailleurs miv2i+mjv2j=(mi+mj)V2+μv2ij avec μij=mimjmi+mj (masse réduite); enfin A3iA3j=A3GA3R avec AG=(mi+mj2πkT)1/2 et AR=(μ2πkT)1/2d’où P(→V,→vij)d3→Vd3→vij=A3GA3Re−(mi+mj)V2+μv2ij2kTdVxdVydVzdvijxdvijydvijz; par définition de la norme de la vitesse relative moyenne, on a ⟨vij⟩=∭∭R6vijP(→V,→vij)d3→Vd3→vij
On sépare en un produit de deux intégrales triples; l’une porte sur dVxdVydVz et est la probabilité de trouver une molécule d’un gaz fictif de masse mi+mj dans l’espace et l’autre est la moyenne des normes des vitesses de molécules de masse μ d’où ⟨vij⟩=(8kTπμ)1/2=(8(mi+mj)kTπmimj)1/2 (ce résultat peut sembler évident: on substitue à la masse la masse réduite) et ⟨vij⟩2=⟨vi⟩2+⟨vj⟩2
Son libre parcours moyen est l=⟨vi⟩/T−1 soit l=⟨vi⟩πa2ij⟨vij⟩nj=(mjmi+mj)1/21πa2ijnj
5.4) A.N.: nj=Pj/kT=2,15.1021 molécules d’argon par m3; l=7,6.10−5m et T−1=3,8.10−6s−1 soit T=2,6.10−7s.
5.5) Soit P(t)dt la probabilité pour qu’une molécule qui n’a pas subi de choc entre les dates 0 et t subisse un choc entre les dates t et t+dt: df = -P(t)dt soit P(t)=−df/dt
Soit N0 le nombre initial de molécules (t=0); à t1, il reste N1=f(t1)N0molécules n’ayant pas subi de premier choc; du fait de l’indépendance des chocs, on peut prendre n’importe quelle origine des temps; prenons la date t1 comme nouvelle origine des temps; à la date t2, il resteN1f(t2)molécules n’ayant pas subi de premier choc, soit N0f(t1)f(t2)mais c’est aussi N0f(t1+t2)d’où f(t1+t2)=f(t1)f(t2)
f(t+dt)=f(t)f(dt)=f(t)(f(0)+(dfdt)0dt)
f(0) = 1; on pose 1T=−(dfdt)0; le signe moins traduit la décroissance de f(t) dans le temps; T est une grandeur positive; d’où f(t+dt)=f(t)(1−dt/T) soit df=−f(t)dt/T; par intégration f(t)=f(0)e−t/T; comme f(0) = 1, on trouve f(t)=f(0)e−t/T
La durée de vie moyenne sans premier choc est ⟨t⟩=∞∫0tdf(t); une intégration par parties donne ⟨t⟩=T ce qui donne la signification physique de la constante T introduite.
On en déduit P(t)=e−t/T/T
Le nombre d’atomes qui subissent un premier choc entre t et t+dt est |dN(t)|=N0Te−t/Tdt.
5.6) Le champ magnétique statique est nul; de ce fait ν=0.
Pour t < tchoc x=0,y=y0e−t/2τsinω0t,z=0
Pour t > tchoc la dépolarisation est totale:
→r+=A2e−t/2τ(+cos(ω0t−ϕ1)t→ex+sin(ω0t−ϕ1)t→ey) →r−=A2e−t/2τ(−cos(ω0t−ϕ2)t→ex+sin(ω0t−ϕ2)t→ey)
→rz=Be−t/2τsin(ω0t−ϕ3)→ez; dans ces expressions, ϕ1,ϕ2,ϕ3 sont des valeurs inconnues fixées lors du premier choc subi, qui changent à chaque choc ultérieur subi, à amplitudes constantes, puisque la dépolarisation est déjà effectuée.
Les trois modes →r+,→r−,→rz ont des énergies mécaniques respectives:
12α→r2++12m→r2+=mω20(A2)2e−t/τ, 12α→r2−+12m→r2−=mω20(A2)2e−t/τ, 12α→r2z+12m→r2z=12mω20B2e−t/τ ; le mode initial avait l’énergie 12αy2+12m˙y2=12mω20y20e−t/τ; par hypothèse, lors du choc, l’énergie de l’atome se conserve: 2(A/2)2+2(A/2)2+B2=y20
et il se produit la dépolarisation totale 2(A/2)2=2(A/2)2=B2=y20/3 d’où A=√2/3y0 et x=√2/3y0e−t/2τsin(Δϕ/2)sin(ω0t−φ)
y=√2/3y0e−t/2τcos(Δϕ/2)sin(ω0t−φ) avec Δϕ=ϕ1−ϕ2etφ=(ϕ1+ϕ2)/2
La composante selon z’z n’a pas d’importance car un dipôle ne rayonne pas selon la direction de son moment dipolaire et par ailleurs, on observe selon z’z.
L’angle Δϕ va varier aléatoirement chaque fois qu’on aura un nouveau choc; avec 2K=μ0c(eω204π)2δΩ, les puissances émises selon Ox et Oy sont δpx=2Kx2et δpy=2Ky2; on utilise un récepteur sensible à la puissance moyenne reçue sur quelques périodes T0=2π/ω0, qui ensuite intègre cette puissance sur une longue durée devant T0; on a ⟨δpx⟩=2K3y20e−t/τsin2(Δϕ/2) et ⟨δpy⟩=2K3y20e−t/τcos2(Δϕ/2)
Wx=2K3y20sin2(Δϕ/2)∞∫u=te−u/τdu
Wy=Ky20t∫u=0e−u/τdu+2K3y20cos2(Δϕ/2)∞∫u=te−u/τdu (en appelant t la date du premier choc)
Par intégration Wx=2K3y20τe−t/τsin2(Δϕ/2) et Wy=Ky20τ[(1−e−t/τ)+23e−t/τcos2(Δϕ/2)]
Ensuite Δϕ varie aléatoirement tous les temps T (à chaque choc ultérieur, sans modification des amplitudes); pour t >> T, on moyenne sur toutes les valeurs possibles de Δϕ; on obtient Wx=K3y20τe−t/τ et Wy=K3y20τ(3−2e−t/τ) et Wx/Wy=e−t/τ/(3−2e−t/τ)
On peut résumer en disant que →r+,→r− créent →E+,→E− qui leurs sont parallèles; ces deux vibrations circulaires se recomposent en une vibration rectiligne de direction fixe entre deux chocs (angle Δϕ/2, noté ϕ avec Oy) qui transporte les 2/3 de l’énergie disponible; alors (loi de Malus) après choc Wyα23cos2ϕ∞∫u=te−u/τdu et Wxα23sin2ϕ∞∫u=te−u/τdu; après moyenne sur l’angle ϕ aléatoire, on retrouve WxWy=13∞∫u=te−u/τdut∫u=0e−u/τdu+13∞∫u=te−u/τdu=e−t/τ3−2e−t/τ
5.8) A.N.: selon 4.2° \tau = {4,8.10^{ - 9}}s et selon 5.4° {\rm T} = {2,6.10^{ - 7}}s {\rm{P = 0}}{\rm{,99}}; forcément P est peu différent de l’unité car {\rm T} > > \tau . Selon 4.6° \tau = {3,5.10^{ - 6}}s et alors {\rm{P = 0}}{\rm{,10}}; le premier résultat est inexact car la valeur théorique de \tau ne peut s’établir valablement sans la mécanique quantique; seule la valeur expérimentale de \tau doit être retenue; le second résultat semble correct car on utilise la valeur de \tau obtenue expérimentalement en 4.6° dans les conditions où tout autre effet que la dépolarisation par champ magnétique est négligeable, en particulier la dépolarisation par choc (en se plaçant à très basse pression par exemple).
En conclusion, on voit que les chocs exercent un fort pouvoir dépolarisant.
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