ENS ULM Groupe C\S (M’)-Session de 1996
1°) Préliminaire mathématique
1.1) On suppose la charge sphérique et homogène; par isotropie de l’espace autour de O, $f = f(r,t)$.
1.2) $\Delta f - \frac{1}{{{c^2}}}\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {t^2}}} = 0$, en M différent de O; $\Delta f = \frac{1}{r}\frac{{{\partial ^2}rf}}{{\partial {r^2}}}$ et $\chi = rf$⇒ $\frac{{{\partial ^2}\chi }}{{\partial {t^2}}} - \frac{1}{{{c^2}}}\frac{{{\partial ^2}\chi }}{{\partial {t^2}}} = 0$; la solution générale est $\chi (r,t) = F(t - r/c) + G(t + r/c)$ soit $f(r,t) = \frac{1}{r}F(t - r/c) + \frac{1}{r}G(t + r/c)$.
On suppose l’élément de volume $\delta V = 4\pi {\varepsilon ^3}/3$ sphérique de rayon $\varepsilon \to 0$.
Pour la solution particulière $f(r,t) = \frac{1}{r}F(t - r/c)$, on intègre sur la sphère de rayon $\varepsilon $:
$\iint\limits_{S(O,\varepsilon )}{\frac{\partial f}{\partial r}}\delta S=-4\pi \left[ F(t-\varepsilon /c)+\frac{\varepsilon }{c}\frac{\partial F(t-\varepsilon /c)}{\partial t} \right]$
$\iint\limits_{S(O,\varepsilon )}{\frac{\partial f}{\partial r}}\delta S=\iint\limits_{S(O,\varepsilon )}{\vec{\nabla }f.\delta \vec{S}}=\iiint\limits_{V(S(O,\varepsilon ))}{\Delta f\delta \tau }=\delta V{{(\Delta f)}_{\varepsilon =0}}$$ = \frac{{4\pi {\varepsilon ^3}}}{{3{c^2}}}\left( {\frac{{{\partial ^2}f(t - \varepsilon /c)}}{{\partial {t^2}}}} \right) + 4\pi g(0,t)\delta V$.
On a: $\frac{{{\partial ^2}f(t - \varepsilon /c)}}{{\partial {t^2}}} = \frac{1}{\varepsilon }\frac{{{\partial ^2}F(t - \varepsilon /c)}}{{\partial {t^2}}}$; on identifie les deux expressions précédentes et on fait tendre $\varepsilon $vers zéro; on obtient: $F(t) = - g(0,t)\delta V$ (sous la condition que F(t) et ses dérivées première et seconde par rapport au temps soient bornées et que $g(\vec 0,t)$ne le soit pas).
D’où: $f(t - r/c) = - \frac{{g(\vec 0,t - r/c)\delta V}}{r}$.
Soit un repère Oxyz; l’élément de volume $\delta V$ précédent est centré en S, tel que $O\vec S = \vec R$; une solution particulière en $\vec r = O\vec M$ à la date t est $\delta f(\vec r,t) = \frac{{ - g(\vec R,t - \left\| {\vec R - \vec r} \right\|/c)\delta V}}{r}$; l’équation différentielle est linéaire; la solution particulière cherchée est la somme des solutions particulières dues aux différents éléments de volume soit (2) $f(\vec{r},t)=-\iiint\limits_{{{R}^{3}}}{\frac{g(\vec{R},t-\left\| \vec{R}-\vec{r} \right\|/c)\delta V}{r}}$; le texte présente une erreur de signe au niveau des formules (1) ou (2).
1.3) Une autre solution particulière (2)’ s’obtient en remplaçant $t - \left\| {\vec R - \vec r} \right\|/c$ par $t + \left\| {\vec R - \vec r} \right\|/c$ dans (2); la solution (2) respecte les liens de cause à effet alors que (2)’ ne les respecte pas: les causes ne peuvent succéder aux effets; on rejette (2)’ en général dans les phénomènes physiques. Remarquons que la solution générale est la somme d’une des deux solutions particulières précédentes et de la solution générale de l’équation homogène représentable sous forme d’une somme d’ondes planes. Mais physiquement on ne considère que la solution particulière retardée.
2) Rayonnement dipolaire
2.1) (MF) $\vec \nabla \wedge \vec E = - \frac{{\partial \vec B}}{{\partial t}}$ (M$\phi $) $\vec \nabla .\vec B = 0$ (MG) $\vec \nabla .\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over E} = \rho /{\varepsilon _0}$ (MA) $\vec \nabla \wedge \vec B = {\mu _0}(\vec j + {\varepsilon _0}\frac{{\partial \vec E}}{{\partial t}})$
(M$\phi $) ⇒ $\exists \vec A(\vec r,t)$, $\vec B = \vec \nabla \wedge \vec A$ et (MF) ⇒ $\vec \nabla \wedge (\vec E + \frac{{\partial \vec A}}{{\partial t}}) = 0$⇒ $\exists V(\vec r,t)$, $\vec E = - \vec \nabla V - \frac{{\partial \vec A}}{{\partial t}}$
2.2) Supposons qu’il existe un second couple de potentiels $\vec A',V'$; les champs doivent être invariants de jauge:$\vec B = \vec \nabla \wedge \vec A = \vec \nabla \wedge \vec A'$ ⇒ $\vec \nabla \wedge (\vec A - \vec A') = \vec 0$ ⇒ $\exists \Psi (\vec r,t),$ $\vec A' - \vec A = \vec \nabla \Psi $
$\vec E = - \vec \nabla V - \frac{{\partial \vec A}}{{\partial t}}$$ = - \vec \nabla V' - \frac{{\partial \vec A'}}{{\partial t}}$⇒ $\vec \nabla (V' - V) = - \frac{{\partial (\vec A' - \vec A)}}{{\partial t}} = - \vec \nabla \frac{{\partial \Psi }}{{\partial t}}$ ⇒ $V' - V + \frac{{\partial \Psi }}{{\partial t}} = 0$ soit $V' = V - \frac{{\partial \Psi }}{{\partial t}}$.
Choisir un couple de potentiels vecteurs est effectuer un choix de jauge; il existe une infinité de jauges: il y a indétermination de jauge.
Si on introduit la condition de jauge de Lorentz $\vec \nabla .\vec A + \frac{1}{{{c^2}}}\frac{{\partial V}}{{\partial t}} = 0$, on réalise une simplification des équations de propagation des potentiels mais en aucun cas on ne lève l’indétermination de jauge, contrairement à ce qu’affirme l’énoncé. On la réduit seulement.
Si deux jauges obéissent à la condition de jauge de Lorentz:
$\vec \nabla .\vec A + \frac{1}{{{c^2}}}\frac{{\partial V}}{{\partial t}} = \vec \nabla .\vec A' + \frac{1}{{{c^2}}}\frac{{\partial V'}}{{\partial t}} = 0$ ⇒ $\vec \nabla .(\vec A' - \vec A) + \frac{1}{{{c^2}}}\frac{{\partial (V' - V)}}{{\partial t}} = 0$ ⇒ $\Delta \Psi - \frac{1}{{{c^2}}}\frac{{{\partial ^2}\Psi }}{{\partial {t^2}}} = 0$
C’est la condition sur la fonction $\Psi (\vec r,t)$ pour que les deux couples de potentiels vérifient simultanément la condition de jauge de Lorentz ; en imposant la condition de jauge de Lorentz, on réduit l’indétermination de jauge mais sans la supprimer.
2.3) On considère les équations (MA) et (MG) faisant figurer les sources.
$\vec B = \vec \nabla \wedge \vec A$ et $\vec E = - \vec \nabla V - \frac{{\partial \vec A}}{{\partial t}}$ portés dans (MA) ⇒ $\vec \nabla \wedge (\vec \nabla \wedge \vec A) = {\mu _0}(\vec j - {\varepsilon _0}\vec \nabla \frac{{\partial V}}{{\partial t}} - {\varepsilon _0}\frac{{{\partial ^2}\vec A}}{{\partial {t^2}}})$
mais à l’aide de $\Delta \vec A = \vec \nabla (\vec \nabla .\vec A) - \vec \nabla \wedge (\vec \nabla \wedge \vec A)$ et de la condition de jauge de Lorentz, on obtient $\Delta \vec A - \frac{1}{{{c^2}}}\frac{{{\partial ^2}\vec A}}{{\partial {t^2}}} = - {\mu _0}\vec j$
$\vec E = - \vec \nabla V - \frac{{\partial \vec A}}{{\partial t}}$ portée dans (MB) et à l’aide de la condition de jauge de Lorentz, on obtient: $\Delta V - \frac{1}{{{c^2}}}\frac{{{\partial ^2}V}}{{\partial {t^2}}} = - \frac{\rho }{{{\varepsilon _0}}}$
2.4) Soit ${\vec e_x} = \vec n$; la condition de jauge de Lorentz, avec $\vec A = \vec A(t - x/c)$ et $V = V(t - x/c)$, s’écrit $\vec \nabla .\vec A = \frac{{\partial {A_x}}}{{\partial x}} = - \frac{1}{c}\frac{{\partial {A_x}}}{{\partial t}} = - \frac{1}{{{c^2}}}\frac{{\partial V}}{{\partial t}}$; par intégration par rapport au temps et en rejetant les solutions statiques, fonctions de x seulement, non représentatives d’une onde, on a: ${A_x} = V/c$ soit $\vec A.\vec n = V/c$. Une autre méthode consiste à remarquer que $\vec \nabla = - \frac{{\vec n}}{c}\frac{\partial }{{\partial t}}$; la condition de jauge de Lorentz s’écrit alors $ - \frac{{\vec n.\partial \vec A}}{{c\partial t}} + \frac{1}{{{c^2}}}\frac{{\partial V}}{{\partial t}} = 0$ ce qui s’intègre en $\vec A.\vec n = V/c$
$\vec E = - \vec \nabla V - \frac{{\partial \vec A}}{{\partial t}} = (\frac{1}{c}\frac{{\partial V}}{{\partial t}} - \frac{{\partial {A_x}}}{{\partial t}}, - \frac{{\partial {A_y}}}{{\partial t}}, - \frac{{\partial {A_z}}}{{\partial t}})$$ = (0, - \frac{{\partial {A_y}}}{{\partial t}}, - \frac{{\partial {A_z}}}{{\partial t}})$$ = - \frac{\partial }{{\partial t}}(\vec A - (\vec A.\vec n)\vec n)$ soit
$\vec E = \frac{\partial }{{\partial t}}((\vec A \wedge \vec n) \wedge \vec n)$ ⇒ $\vec E = (\frac{{\partial \vec A}}{{\partial t}} \wedge \vec n) \wedge \vec n$ et $\vec B = \vec \nabla \wedge \vec A$$ = \frac{1}{c}\frac{{\partial ({A_z}{{\vec e}_y} - {A_y}{{\vec e}_z})}}{{\partial t}}$ ⇒ $\vec B = \frac{1}{c}\frac{{\partial \vec A}}{{\partial t}} \wedge \vec n$
L’autre méthode donne $\vec E = \frac{{\vec n}}{c}\frac{{\partial V}}{{\partial t}} - \frac{{\partial \vec A}}{{\partial t}} = \frac{\partial }{{\partial t}}(\vec n(\vec n.\vec A) - \vec A)$$ = (\frac{{\partial \vec A}}{{\partial t}} \wedge \vec n) \wedge \vec n$ et $\vec B = \frac{1}{c}\frac{{\partial \vec A}}{{\partial t}} \wedge \vec n$ directement.
2.5) $\vec{A}(\vec{r},t)=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\iiint\limits_{{{R}^{3}}}{\frac{\vec{j}(\vec{R},t-\left\| \vec{R}-\vec{r} \right\|/c)}{\left\| \vec{R}-\vec{r} \right\|}}{{d}^{3}}\vec{R}$ potentiel vecteur retardé.
2.6) ${j_x}(t){d^3}\vec R = a{I_x}(t) = a\frac{{d{q_x}(t)}}{{dt}} = \frac{{d{M_x}(t)}}{{dt}}$
${A_x}(\vec r,t) = \frac{{{\mu _0}}}{{4\pi }}\frac{{{j_x}(t - r/c){d^3}\vec R}}{r} = \frac{{{\mu _0}}}{{4\pi r}}{\dot M_x}(t - r/c)$; idem en y et z d’où $\vec A(\vec r,t) = \frac{{{\mu _0}\vec M(t - r/c)}}{{4\pi r}}$
2.7) A grande distance, on remplace localement la sphère (O,r) par son plan tangent; les ondes sont quasi-planes d’où $\vec E = \frac{{{\mu _0}}}{{4\pi r}}(\vec M \wedge \vec n) \wedge \vec n$ et $\vec B = \frac{{{\mu _0}}}{{4\pi cr}}\vec M \wedge \vec n$; on a $\vec E = \vec B \wedge \vec c$ soit $\vec B = \frac{{\vec n}}{c} \wedge \vec E$
Le vecteur de Poynting est $\vec \pi = \vec E \wedge \vec B/{\mu _0} = ({B^2}c/{\mu _0})\vec n$; la puissance rayonnée est le flux du vecteur de Poynting à travers l’élément de surface $\delta S$ de la sphère (O,r), vu sous l’angle solide $\delta \Omega = \delta S/{r^2}$ depuis O, et vaut $\delta I = \vec \pi .\delta \vec S = \frac{{{B^2}c}}{{{\mu _0}}}{r^2}\delta \Omega = \frac{{{\mu _0}}}{{{{(4\pi )}^2}c}}{(\vec M \wedge \vec n)^2}\delta \Omega $ soit
$\delta I = \frac{{{\mu _0}}}{{{{(4\pi )}^2}c}}{\vec M^2}{\sin ^2}\theta \delta \Omega $
On intègre sur la sphère (O,r): $I=\frac{{{\mu }_{0}}}{{{(4\pi )}^{2}}c}{{\ddot{\vec{M}}}^{2}}\iiint\limits_{{{R}^{3}}}{{{\sin }^{2}}\theta \delta \Omega }$; or $\delta \Omega = - 2\pi d\cos \theta $ et $J = \int\limits_0^\pi {{{\sin }^3}\theta d\theta = 4/3} $ conduit à $I = \frac{{{{\vec M}^2}}}{{6\pi {\varepsilon _0}{c^3}}}$; il s’agit du moment retardé, pris à la date t-r/c.
3) Diffusion par des charges libres
3.1) $\vec F = q(\vec E + \vec v \wedge \vec B)$ avec $\vec E = \vec B \wedge \vec c$; $\left\| {\vec v \wedge \vec B} \right\| \approx \frac{v}{c}\left\| {\vec E} \right\| < < \left\| {\vec E} \right\|$ si v<<c (charge non relativiste); alors $\vec F \approx q\vec E$.
Pour l’atome H, modèle de Bohr: $\frac{{m{v^2}}}{r} = \frac{{{e^2}}}{{4\pi {\varepsilon _0}{r^2}}}$ et quantification du moment cinétique: $rmv = \hbar $ dans l’état fondamental d’où $v/c = \frac{{{e^2}}}{{4\pi {\varepsilon _0}\hbar c}} \approx 1/137$ (constante de structure fine); v<<c; l’approximation est de l’ordre du centième.
3.2) A l’origine, on introduit -q et +q, confondues fixes; (O,-q) et (M,+q) forment un dipôle de moment $\vec M(t) = q\vec r(t)$ qui peut rayonner mais les charges fixes en O ne rayonnent aucune énergie.
3.3) $\sigma $ = puissance rayonnée totale/intensité du rayonnement incident; or l’intensité n’est pas définie; on peut prendre la définition qui nous arrange pour que $\sigma $ soit une surface; en fait, il faut définir l’intensité comme le flux surfacique d’énergie donc la norme du vecteur de Poynting. Ce sont les valeurs moyennes dans le temps.
Toute l’énergie est prélevée sur l’onde incidente passée à travers une surface normale à la direction de propagation égale à la section efficace totale.
Théorème de la quantité de mouvement pour l’électron: $m\ddot x = - e{E_i}(x = 0,t) = - e{E_0}\cos \omega t$
${\vec M_{ret}} = - e{\ddot x_{ret}}{\vec e_x} = \frac{{{e^2}}}{m}{E_0}\cos \omega (t - r/c){\vec e_x}$⇒ $\delta I = \frac{{{\mu _0}{{\sin }^2}\theta }}{{{{(4\pi )}^2}c}}{\left( {\frac{{{e^2}{E_0}}}{m}} \right)^2}{\cos ^2}\omega (t - r/c)\delta \Omega $
La valeur moyenne est $\left\langle {\delta I} \right\rangle = \frac{{{\mu _0}}}{{2c}}{\left( {\frac{{{e^2}{E_0}\sin \theta }}{{4\pi m}}} \right)^2}\delta \Omega $
Pour l’onde incidente $\left\langle {{\pi _i}} \right\rangle = \frac{{{\varepsilon _0}cE_0^2}}{2}$ d’où: $\frac{{d\sigma }}{{d\Omega }} = {\left( {\frac{{{\mu _0}{e^2}}}{{4\pi m}}} \right)^2}{\sin ^2}\theta $; si on appelle ${R_e} = \frac{{{e^2}}}{{4\pi {\varepsilon _0}m{c^2}}}$ le rayon classique de l’électron, on a: $\frac{{d\sigma }}{{d\Omega }} = R_e^2{\sin ^2}\theta $
La section efficace totale ou surface apparente de l’électron s’obtient en intégrant sur tout l’espace:
$\sigma = 2\pi R_e^2\int\limits_0^\pi {{{\sin }^3}\theta d\theta } $ soit $\sigma = \frac{{8\pi }}{3}R_e^2$ ou $\sigma = \frac{1}{{6\pi }}{\left( {\frac{{{\mu _0}{e^2}}}{m}} \right)^2}$
A.N.: ${R_e} = {2,8.10^{ - 15}}m$ $\sigma = {6,6.10^{ - 29}}{m^2}$ et $d\sigma /d\Omega = {7,9.10^{ - 30}}{\sin ^2}\theta \;{m^2}$
L’intensité totale (flux surfacique d’énergie) transportée par l’onde incidente est la somme des intensités transportées par les deux composantes: $\left\langle \pi \right\rangle = \frac{{{\varepsilon _0}E_0^2c}}{2} = \frac{{{\varepsilon _0}e_0^2c}}{2} + \frac{{{\varepsilon _0}e_0^2c}}{2} = {\varepsilon _0}e_0^2c$ d’où ${e_0} = {E_0}/\sqrt 2 $ ⇒ ${(\frac{{d\sigma }}{{d\Omega }})_x} = \frac{1}{2}R_e^2{\sin ^2}\theta $; le facteur ½ provient du remplacement de E0 par ${e_0} = {E_0}/\sqrt 2 $ et du fait qu’on élève au carré; ${(\frac{{d\sigma }}{{d\Omega }})_y}$ s’obtient de même en remplaçant ${\left\| {\vec n \wedge {{\vec e}_x}} \right\|^2}$ par ${\left\| {\vec n \wedge {{\vec e}_y}} \right\|^2}$; or $\vec n \wedge {\vec e_y} = (\cos \theta ,\sin \theta \cos \psi ,\sin \theta \sin \psi ) \wedge (0,1,0) = ( - \sin \theta \sin \psi ,0,\cos \theta )$d’où ${\left\| {\vec n \wedge {{\vec e}_y}} \right\|^2} = {\cos ^2}\theta + {\sin ^2}\theta {\sin ^2}\psi $ et donc ${(\frac{{d\sigma }}{{d\Omega }})_y} = \frac{1}{2}R_e^2({\cos ^2}\theta + {\sin ^2}\theta {\sin ^2}\psi )$; la section efficace différentielle est la somme des sections efficaces différentielles en x et y et donc $\frac{{d\sigma }}{{d\Omega }} = \frac{1}{2}R_e^2(1 + {\sin ^2}\theta {\sin ^2}\psi )$; or $\cos \varphi = \vec n.{\vec e_z} = \sin \theta \sin \psi $ d’où: $\frac{{d\sigma }}{{d\Omega }} = \frac{1}{2}R_e^2(1 + {\cos ^2}\varphi )$
Une méthode plus simple consiste à remarquer que la lumière naturelle présente la symétrie de révolution autour de la direction de propagation; on peut choisir l’axe Ox dans le plan OM,Oz; les deux termes de la section efficace différentielle sont de façon évidente ${(\frac{{d\sigma }}{{d\Omega }})_x} = \frac{1}{2}R_e^2{\cos ^2}\varphi $ et ${(\frac{{d\sigma }}{{d\Omega }})_y} = \frac{1}{2}R_e^2$ ce qui redonne le résultat déjà trouvé.
3.5) La masse du proton est 1836 fois supérieure à celle de l’électron: on peut supposer les protons au repos. Soit l’axe z’z de direction et sens de propagation ceux de l’onde incidente; soit deux plans d’abscisses z et z+dz perpendiculaires à z’z et une portion de surface S de ces plans; le volume considéré entre les deux portions de plans de volumee Sdz contient NSdz centres (électrons) diffusants; chacun est affecté de la surface $\sigma $; la section efficace totale de ces électrons est $NS\sigma dz$; par définition c’est le rapport de la puissance prélevée (qui va être diffusée) sur le faisceau incident à la puissance surfacique du faisceau incident. On $\delta P/I(z) = NS\sigma dz$; le faisceau incident s’est affaibli: $dI(z) = - \delta P/S$ d’où $dI/I = - \sigma Ndz$; par intégration on obtient: $I(z) = I(0){e^{ - \frac{z}{\xi }}}$ avec $\xi = 1/N\sigma $ (longueur).
A.N.: $N = {10^{22}}{m^{ - 3}}$; $\sigma = {6,6.10^{ - 29}}{m^2}$; $\xi = {1,5.10^6}m$; c’est énorme; le plasma est transparent.
4) Fluorescence des gaz
4.1)Après excitation, l’atome entre en oscillations libres; il rayonne des ondes quasi-planes de fréquence celle des oscillations libres; on peut penser que l’excitation des atomes n’est possible que si le faisceau incident a la fréquence de l’oscillateur libre; le rayonnement doit avoir la fréquence de l’onde incidente. Le rayonnement est polarisé rectilignement (dipôle en oscillations selon Oy).
4.2) Sur une durée de l’ordre de quelques périodes, on peut négliger les modifications du mouvement du fait du rayonnement:
$m\ddot y = - \alpha y$ avec $\alpha = m\omega _0^2$; $y = A\cos {\omega _0}t + B\sin {\omega _0}t$ et $\dot y = \omega _0^{}( - A\sin {\omega _0}t + B\cos {\omega _0}t)$; l’énergie de l’oscillateur est $E = \frac{1}{2}m\dot y_{}^2 + \frac{1}{2}\alpha {y^2}$$ = \frac{1}{2}m\omega _0^2({A^2} + {B^2}) = cste$.
Sur un grand nombre de périodes, on doit tenir compte des modifications du mouvement; la puissance rayonnée est $p = \frac{{{e^2}\omega _0^4}}{{6\pi {\varepsilon _0}{c^3}}}y_{ret}^2$; en valeur moyenne: $\left\langle p \right\rangle = \frac{{{e^2}\omega _0^4}}{{12\pi {\varepsilon _0}{c^3}}}({A^2} + {B^2}) = - dE/dt$ d’où l’équation: $dE/dt = - \frac{{{e^2}}}{{6\pi {\varepsilon _0}m{c^3}}}E$; par intégration, on obtient $E = {E_0}{e^{ - t/\tau }}$ avec $\tau = \frac{{3mc}}{{2\pi {\mu _0}\nu _0^2{e^2}}}$
A.N.:$\tau = {4,8.10^{ - 9}}s$ ; remarquons que ce résultat obtenu classiquement donne le même temps caractéristique pour deux raies voisines d’un atome donné ce qui est contraire à l’expérience: les temps caractéristiques peuvent être très différents. Il n’est certainement pas valable.
La période est ${T_0} = {1,1.10^{ - 15}}s$; on vérifie que $\tau > > {T_0}$ ce qui valide la méthode.
On remarque que l’amplitude décroît en ${e^{ - t/2\tau }}$.
4.3) $m\vec r = - m\omega _0^2\vec r - e\vec r \wedge \vec B$; le champ magnétique statique est selon z’z, le champ électrique de l’onde incidente est selon y’y, l’onde se propage selon x’x.
En projection sur les axes: (1) $\ddot x = - \omega _0^2x - \frac{e}{m}B\dot y$ (2) $\ddot y = - \omega _0^2y + \frac{e}{m}B\dot x$ (3) $\ddot z = - \omega _0^2z$
On pose ${\omega _c} = eB/m$(pulsation cyclotron) et u = x + i y; en combinant (1) et i fois (2), on obtient $\ddot u - i{\omega _c}\dot u + \omega _0^2u = 0$, équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants d’équation caractéristique ${p^2} - i{\omega _c}p + \omega _0^2 = 0$, de racines imaginaires pures ${p_ + } = i({\omega _c}/2 + \sqrt {\omega _0^2 + \omega _c^2/4} )$ et ${p_ - } = i({\omega _c}/2 - \sqrt {\omega _0^2 + \omega _c^2/4} )$; de ce fait la solution est $u = {C_1}{e^{{p_ + }t}} + {C_2}{e^{{p_ - }t}}$, C1 et C2 appartenant au corps des complexes.
Il n’est pas indispensable de calculer ces constantes dans cette question mais comme on en a besoin par la suite, on peut le faire maintenant; à t=0, on peut supposer $x(t = 0) = y(t = 0) = z(t = 0) = 0\;\quad \dot x(t = 0) = \dot z(t = 0) = 0\quad \;\dot y(t = 0) = {\dot y_0}$
On a donc $u(t = 0) = 0 = {C_1} + {C_2}$ et $\dot u(t = 0) = i\dot y_0^{} = {C_1}({p_ + } - {p_{ - )}}$ d’où ${C_1} = \frac{{\dot y_0^{}}}{{2\sqrt {\omega _0^2 + \omega _c^2/4} }}$ et
$u = \frac{{i\dot y_0^{}}}{{\sqrt {\omega _0^2 + \omega _c^2/4} }}{e^{\frac{{i{\omega _c}t}}{2}}}\sin \left( {\sqrt {\omega _0^2 + \omega _c^2/4} } \right)t$
Le champ magnétique statique est faible: ${\omega _0} > > {\omega _c}$: on pose $\omega = \frac{{{\omega _c}}}{2} = \frac{{eB}}{{2m}}$ et cela donne: $u = \frac{{{{\dot y}_0}}}{{{\omega _0}}}( - \sin \omega t + i\cos \omega t)\sin {\omega _0}t$ ; on en déduit x et y, en tenant compte de l’amortissement exponentiel: $x = - \frac{{{{\dot y}_0}}}{{{\omega _0}}}{e^{ - t/2\tau }}\sin \omega t\sin {\omega _0}t$ et $y = \frac{{{{\dot y}_0}}}{{{\omega _0}}}{e^{ - t/2\tau }}\cos \omega t\sin {\omega _0}t$ soit encore $x = \frac{{{{\dot y}_0}}}{{2{\omega _0}}}{e^{ - t/2\tau }}(\cos ({\omega _0} + \omega )t - \cos ({\omega _0} - \omega )t)$ et $y = \frac{{{{\dot y}_0}}}{{2{\omega _0}}}{e^{ - t/2\tau }}(\sin ({\omega _0} + \omega )t + \sin ({\omega _0} - \omega )t)$;
enfin $z = A\cos {\omega _0}t + B\sin {\omega _0}t$ mais avec les conditions initiales choisies z = 0 à tout instant. D’où:
${\vec r_ + } = \frac{{{{\dot y}_0}}}{{2{\omega _0}}}{e^{ - t/2\tau }}(\cos ({\omega _0} + \omega )t\;{\vec e_x} + \sin ({\omega _0} + \omega )t\;{\vec e_y})$ et ${\vec r_ - } = \frac{{{{\dot y}_0}}}{{2{\omega _0}}}{e^{ - t/2\tau }}( - \cos ({\omega _0} - \omega )t\;{\vec e_x} + \sin ({\omega _0} - \omega )t\;{\vec e_y})$
${\vec r_z} = \vec 0$; ${\vec r_ + }$ et ${\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over r} _ - }$ représentent respectivement un mouvement circulaire gauche de fréquence ${\nu _0} + \nu $ et
un mouvement circulaire droit de fréquence ${\nu _0} - \nu $, de mêmes rayons $\frac{{{{\dot y}_0}}}{{2{\omega _0}}}$ avec $\nu = \frac{{eB}}{{4\pi m}}$.
4.4) ${\vec r_ + }$ et ${\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over r} _ - }$ produisent ${\vec M_ + } = - e{\vec r_ + }$ et ${\vec M_ - } = - e{\vec r_ - }$; on observe selon Oz donc perpendiculairement à ${\vec M_ + }\;et\;{\vec M_ - }$; de ce fait les champs électriques ${\vec E_ + }\;et\;{\vec E_ - }$ sont parallèles à ${\vec M_ + }\;et\;{\vec M_ - }$; en principe on observe deux vibrations circulaires de mêmes amplitudes l’une droite ${\vec E_ - }$ tournant à la pulsation ${\omega _0} - \omega $ en sens rétrograde et l’autre gauche ${\vec E_ + }$ tournant à la pulsation ${\omega _0} + \omega $ en sens direct (effet Zeeman longitudinal); mais comme $\nu < < {\nu _0}$ et qu’on ne met pas en évidence la séparation entre les fréquences, on observe une vibration rectiligne à chaque instant, de fréquence ${\nu _0}$, tournant très lentement en sens direct à la fréquence $\nu $ dont l’amplitude décroît exponentiellement en ${e^{ - t/2\tau }}$; c’est pourquoi il apparaît lentement une vibration rectiligne selon Ox (en plus de la vibration rectiligne initialement selon Oy): le champ magnétique produit une lente dépolarisation.
4.5) Dans la suite, on posera ${y_0} = {\dot y_0}/{\omega _0}$.
La puissance rayonnée dans l’angle solide $\delta \Omega $ dans la direction $\theta = \pi /2$ est, selon Ox et Oy respectivememt:
$\delta {p_x} = {\left( {\frac{{e{{\ddot x}_{ret}}}}{{4\pi }}} \right)^2}\delta \Omega = \frac{{{\mu _0}}}{c}{\left( {\frac{{e\omega _0^2{x_{ret}}}}{{4\pi }}} \right)^2}\delta \Omega $ et $\delta {p_x} = \frac{{{\mu _0}}}{c}{\left( {\frac{{e{{\ddot y}_{ret}}}}{{4\pi }}} \right)^2}\delta \Omega = \frac{{{\mu _0}}}{c}{\left( {\frac{{e\omega _0^2{y_{ret}}}}{{4\pi }}} \right)^2}\delta \Omega $
On pose $2K = \frac{{{\mu _0}}}{c}{\left( {\frac{{e\omega _0^2}}{{4\pi }}} \right)^2}\delta \Omega $ d’où $\delta {p_x} = 2Kx_{ret}^2$ et $\delta {p_y} = 2Ky_{ret}^2$; on suppose le récepteur sensible à la puissance moyenne reçue sur une durée de l’ordre de quelques périodes ${T_0} = 2\pi /{\omega _0}$ et de ce fait les fonctions variant à la pulsation $\omega $ et en ${e^{ - t/\tau }}$ restant constantes; cela conduit à $\left\langle {\delta {p_x}} \right\rangle = Ky_0^2{e^{ - t/\tau }}{\sin ^2}\omega t$ et $\left\langle {\delta {p_y}} \right\rangle = Ky_0^2{e^{ - t/\tau }}{\cos ^2}\omega t$.
En intégrant entre 0 et t, on a:
${W_x} = \int\limits_0^t {\left\langle {\delta {p_x}} \right\rangle } = $$Ky_0^2\int\limits_0^t {{e^{ - t/\tau }}{{\sin }^2}\omega t\;} dt$ et ${W_y} = \int\limits_0^t {\left\langle {\delta {p_y}} \right\rangle } = $$Ky_0^2\int\limits_0^t {{e^{ - t/\tau }}{{\cos }^2}\omega t\;} dt$
On exprime le carré des sinus et cosinus en fonction du cosinus de l’angle double; l’intégrale $I = \int\limits_0^t {{e^{ - t/\tau }}} \cos 2\omega tdt$ se calcule en décomposant le cosinus en exponentielles complexes; on trouve $I = \frac{{\frac{1}{\tau } - {e^{ - t/\tau }}(\frac{1}{\tau }\cos 2\omega t - 2\omega \sin 2\omega t)}}{{4{\omega ^2} + \frac{1}{{{\tau ^2}}}}}$; par ailleurs $J = \int\limits_0^t {{e^{ - t/\tau }}dt = \tau (1 - {e^{ - t/\tau }})} $; d’où ${W_x} = \frac{{Ky_0^2}}{2}(J - I)$ et ${W_y} = \frac{{Ky_0^2}}{2}(J + I)$; or P = I/J d’où $P = \frac{{\frac{1}{\tau } - {e^{ - t/\tau }}(\frac{1}{\tau }\cos 2\omega t - 2\omega \sin 2\omega t)}}{{\tau (1 - {e^{ - t/\tau }})(4{\omega ^2} + \frac{1}{{{\tau ^2}}})}}$;
si $t > > \tau $ $P = \frac{1}{{1 + 4{\omega ^2}{\tau ^2}}}$ d’où la courbe représentative de P en fonction de B.
4.6) On peut envisager différentes méthodes:
Au centre de la spire circulaire $B = \frac{{{\mu _0}I}}{{2R}}$ soit numériquement $B = {1,6.10^{ - 6}}T$ et $\tau = {3,5.10^{ - 6}}s$
On trouve une valeur 750 fois supérieure au résultat théorique en supposant un rayonnement dipolaire; la théorie classique développée en 4.2° n’est pas valable; il faudrait faire un calcul quantique de la durée de vie de l’atome au sein d’une population d’atomes.
Le champ magnétique terrestre a une composante horizontale de 0,2 gauss soit ${2.10^{ - 5}}T$ supérieure au champ magnétique dû à la spire; pour contourner le problème, il suffit de créer un champ magnétique qui annule le champ magnétique terrestre et fournit en plus le champ magnétique désiré; il faut orienter le montage par rapport au champ magnétique terrestre; on sait faire cela. Il faut également éviter toute hétérogénéité du champ magnétique sur le domaine occupé par les atomes.
5) Effets cinétiques
5.1) ${d_3}P = {A^3}{e^{ - \frac{{m{v^2}}}{{2kT}}}}d{v_x}d{v_y}d{v_z}$; on exprime que la somme des probabilités est unité et on utilise
$\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {{e^{ - {u^2}}}du = \sqrt \pi } $ d’où $A = {\left( {\frac{m}{{2\pi kT}}} \right)^{1/2}}$ et ${d_3}P = {\left( {\frac{m}{{2\pi kT}}} \right)^{3/2}}{e^{ - \frac{{m{v^2}}}{{2kT}}}}d{v_x}d{v_y}d{v_z}$
Par passage du système de coordonnées cartésiennes au système de coordonnées sphériques, l’élément de volume devient ${v^2}\sin \theta dvd\theta d\varphi $ et la probabilité d’avoir une norme de vitesse v à dv près dans la direction $\theta ,\varphi \;\text{à} \;d\theta ,d\varphi $ près s’écrit ${d_3}P' = {\left( {\frac{m}{{2\pi kT}}} \right)^{3/2}}{e^{ - \frac{{m{v^2}}}{{2kT}}}}{v^2}\sin \theta d\theta d\varphi dv$; on intègre en $\theta $ de 0 à $\pi $ et en $\varphi $ de 0 à 2$\pi $, ce qui donne: $P(v)dv = 4\pi {\left( {\frac{m}{{2\pi kT}}} \right)^{3/2}}{e^{ - \frac{{m{v^2}}}{{2kT}}}}{v^2}dv$
Par définition: $\left\langle v \right\rangle = \int\limits_{v = 0}^\infty {vP(v)dv = } $$4\pi {\left( {\frac{m}{{2\pi kT}}} \right)^{3/2}}\int\limits_{v = 0}^\infty {{e^{ - \frac{{m{v^2}}}{{2kT}}}}{v^3}dv} $; or $\int\limits_0^\infty {{e^{ - {u^2}}}{u^3}du} = 1/2$ d’où $\left\langle v \right\rangle = {\left( {\frac{{8kT}}{{\pi m}}} \right)^{1/2}}$
5.2) $P({\vec v_i},{\vec v_j}){d^3}{\vec v_i}{d^3}{\vec v_j} = A_i^3A_j^3{e^{ - \;\frac{{{m_i}v_i^2 + {m_j}v_j^2}}{{2kT}}}}d{v_{ix}}d{v_{iy}}d{v_{iz}}d{v_{jx}}d{v_{jy}}d{v_{jz}}$ avec ${A_i} = {\left( {\frac{{{m_i}}}{{2\pi kT}}} \right)^{1/2}}$ et ${A_j} = {\left( {\frac{{{m_j}}}{{2\pi kT}}} \right)^{1/2}}$. La vitesse du centre d’inertie d’un couple (i,j) est $\vec V = \frac{{{m_i}{{\vec v}_i} + {m_j}{{\vec v}_j}}}{{{m_i} + {m_j}}}$ et la vitesse de i par rapport à j est ${\vec v_{ij}} = {\vec v_i} - {\vec v_j}$; on en déduit ${\vec v_i} = \vec V + \frac{{{m_j}}}{{{m_i} + {m_j}}}{\vec v_{ij}}$ et ${\vec v_j} = \vec V - \frac{{{m_i}}}{{{m_i} + {m_j}}}{\vec v_{ij}}$; on obtient 6 relations algébriques en projection sur les axes Oxyz; le jacobien de la transformation ${v_{ix}},{v_{ix}} \to {V_x},{v_{ijx}}$ est $\left| \begin{array}{l}1\quad \;\;\;{\kern 1pt} {\kern 1pt} {m_j}/({m_i} + {m_j})\\1\quad \; - {m_i}/({m_i} + {m_j})\end{array} \right|$ et vaut 1 d’où $d{v_{ix}}d{v_{ix}} \to d{V_x}d{v_{ijx}}$; il en est de même pour les deux autres directions; par ailleurs ${m_i}v_i^2 + {m_j}v_j^2 = ({m_i} + {m_j}){V^2} + \mu v_{ij}^2$ avec ${\mu _{ij}} = \frac{{{m_i}{m_j}}}{{{m_i} + {m_j}}}$ (masse réduite); enfin $A_i^3A_j^3 = A_G^3A_R^3$ avec ${A_G} = {\left( {\frac{{{m_i} + {m_j}}}{{2\pi kT}}} \right)^{1/2}}$ et ${A_R} = {\left( {\frac{\mu }{{2\pi kT}}} \right)^{1/2}}$d’où $P(\vec V,{\vec v_{ij}}){d^3}\vec V{d^3}{\vec v_{ij}} = A_G^3A_R^3{e^{ - \;\frac{{({m_i} + {m_j}){V^2} + \mu v_{ij}^2}}{{2kT}}}}d{V_x}d{V_y}d{V_z}d{v_{ijx}}d{v_{ijy}}d{v_{ijz}}$; par définition de la norme de la vitesse relative moyenne, on a $\left\langle {{v}_{ij}} \right\rangle =\iiint{\iiint\limits_{{{R}^{6}}}{{{v}_{ij}}P(\vec{V},{{{\vec{v}}}_{ij}}){{d}^{3}}\vec{V}{{d}^{3}}{{{\vec{v}}}_{ij}}}}$
On sépare en un produit de deux intégrales triples; l’une porte sur $d{V_x}d{V_y}d{V_z}$ et est la probabilité de trouver une molécule d’un gaz fictif de masse ${m_i} + {m_j}$ dans l’espace et l’autre est la moyenne des normes des vitesses de molécules de masse $\mu $ d’où $\left\langle {{v_{ij}}} \right\rangle = {\left( {\frac{{8kT}}{{\pi \mu }}} \right)^{1/2}} = {\left( {\frac{{8({m_i} + {m_j})kT}}{{\pi {m_i}{m_j}}}} \right)^{1/2}}$ (ce résultat peut sembler évident: on substitue à la masse la masse réduite) et ${\left\langle {{v_{ij}}} \right\rangle ^2} = {\left\langle {{v_i}} \right\rangle ^2} + {\left\langle {{v_j}} \right\rangle ^2}$
5.3) Soit ${{\rm T}^{ - 1}}dt$ le nombre de chocs que subit une molécule de type i avec une molécule de type j en dt; c’est le nombre de molécules de type j rencontrées par une molécule de type i qui parcourt la distance $\left\langle {{v_{ij}}} \right\rangle dt$, c’est-à-dire le nombre de molécules de type j contenues dans un cylindre de section droite$\pi a_{ij}^2$, de volume $\pi a_{ij}^2\left\langle {{v_{ij}}} \right\rangle dt$; d’où ${{\rm T}^{ - 1}}dt = \pi a_{ij}^2\left\langle {{v_{ij}}} \right\rangle {n_j}dt$ et donc le nombre de chocs subis par unité de temps par une molécule de type i est ${{\rm T}^{ - 1}} = \pi a_{ij}^2\left\langle {{v_{ij}}} \right\rangle {n_j} = \pi a_{ij}^2{n_j}{\left( {\frac{{8({m_i} + {m_j})kT}}{{\pi {m_i}{m_j}}}} \right)^{1/2}}$
Son libre parcours moyen est $l = \left\langle {{v_i}} \right\rangle /{{\rm T}^{ - 1}}$ soit $l = \frac{{\left\langle {{v_i}} \right\rangle }}{{\pi a_{ij}^2\left\langle {{v_{ij}}} \right\rangle {n_j}}} = {\left( {\frac{{{m_j}}}{{{m_i} + {m_j}}}} \right)^{1/2}}\frac{1}{{\pi a_{ij}^2{n_j}}}$
5.4) A.N.: ${n_j} = {P_j}/kT = {2,15.10^{21}}$ molécules d’argon par m3; $l = {7,6.10^{ - 5}}m$ et ${{\rm T}^{ - 1}} = {3,8.10^{ - 6}}{s^{ - 1}}$ soit ${\rm T} = {2,6.10^{ - 7}}s$.
5.5) Soit P(t)dt la probabilité pour qu’une molécule qui n’a pas subi de choc entre les dates 0 et t subisse un choc entre les dates t et t+dt: df = -P(t)dt soit $P(t) = - df/dt$
Soit N0 le nombre initial de molécules (t=0); à t1, il reste ${{\rm{N}}_{\rm{1}}}{\rm{ = f(}}{{\rm{t}}_{\rm{1}}}{\rm{)}}{{\rm{N}}_{\rm{0}}}{\rm{ }}$molécules n’ayant pas subi de premier choc; du fait de l’indépendance des chocs, on peut prendre n’importe quelle origine des temps; prenons la date t1 comme nouvelle origine des temps; à la date t2, il reste${\rm{ }}{{\rm{N}}_{\rm{1}}}{\rm{f(}}{{\rm{t}}_{\rm{2}}}{\rm{) }}$molécules n’ayant pas subi de premier choc, soit ${{\rm{N}}_{\rm{0}}}{\rm{f(}}{{\rm{t}}_{\rm{1}}}{\rm{)f(}}{{\rm{t}}_{\rm{2}}}{\rm{) }}$mais c’est aussi ${{\rm{N}}_{\rm{0}}}{\rm{f(}}{{\rm{t}}_{\rm{1}}}{\rm{ + }}{{\rm{t}}_{\rm{2}}}{\rm{) }}$d’où ${\rm{f(}}{{\rm{t}}_{\rm{1}}}{\rm{ + }}{{\rm{t}}_{\rm{2}}}{\rm{) = f(}}{{\rm{t}}_{\rm{1}}}{\rm{)f(}}{{\rm{t}}_{\rm{2}}}{\rm{)}}$
$f(t + dt) = f(t)f(dt) = f(t)(f(0) + {\left( {\frac{{df}}{{dt}}} \right)_0}dt)$
f(0) = 1; on pose $\frac{1}{{\rm T}} = - {\left( {\frac{{df}}{{dt}}} \right)_0}$; le signe moins traduit la décroissance de f(t) dans le temps; ${\rm T}$ est une grandeur positive; d’où $f(t + dt) = f(t)(1 - dt/{\rm T})$ soit $df = - f(t)dt/{\rm T}$; par intégration $f(t) = f(0){e^{ - t/{\rm T}}}$; comme f(0) = 1, on trouve $f(t) = f(0){e^{ - t/{\rm T}}}$
La durée de vie moyenne sans premier choc est $\left\langle t \right\rangle = \int\limits_0^\infty {tdf(t)} $; une intégration par parties donne $\left\langle t \right\rangle = {\rm T}$ ce qui donne la signification physique de la constante ${\rm T}$ introduite.
On en déduit $P(t) = {e^{ - t/{\rm T}}}/{\rm T}$
Le nombre d’atomes qui subissent un premier choc entre t et t+dt est $\left| {dN(t)} \right| = \frac{{{N_0}}}{{\rm T}}{e^{ - t/{\rm T}}}dt$.
5.6) Le champ magnétique statique est nul; de ce fait $\nu = 0$.
Pour t < tchoc $x = 0,\quad y = {y_0}{e^{ - t/2\tau }}\sin {\omega _0}t,\quad z = 0$
Pour t > tchoc la dépolarisation est totale:
${\vec r_ + } = \frac{A}{2}{e^{ - t/2\tau }}( + \cos ({\omega _0}t - {\phi _1})t\;{\vec e_x} + \sin ({\omega _0}t - {\phi _1})t\;{\vec e_y})$ ${\vec r_ - } = \frac{A}{2}{e^{ - t/2\tau }}( - \cos ({\omega _0}t - {\phi _2})t\;{\vec e_x} + \sin ({\omega _0}t - {\phi _2})t\;{\vec e_y})$
${\vec r_z} = B{e^{ - t/2\tau }}\sin ({\omega _0}t - {\phi _3}){\vec e_z}$; dans ces expressions, ${\phi _{1,}}\;{\phi _2},\;{\phi _3}$ sont des valeurs inconnues fixées lors du premier choc subi, qui changent à chaque choc ultérieur subi, à amplitudes constantes, puisque la dépolarisation est déjà effectuée.
Les trois modes ${\vec r_ + },{\vec r_ - },{\vec r_z}$ ont des énergies mécaniques respectives:
$\frac{1}{2}\alpha \vec r_ + ^2 + \frac{1}{2}m\vec r_ + ^2 = m\omega _0^2{\left( {\frac{A}{2}} \right)^2}{e^{ - t/\tau }}$, $\frac{1}{2}\alpha \vec r_ - ^2 + \frac{1}{2}m\vec r_ - ^2 = m\omega _0^2{\left( {\frac{A}{2}} \right)^2}{e^{ - t/\tau }}$, $\frac{1}{2}\alpha \vec r_z^2 + \frac{1}{2}m\vec r_z^2 = \frac{1}{2}m\omega _0^2{B^2}{e^{ - t/\tau }}$ ; le mode initial avait l’énergie $\frac{1}{2}\alpha {y^2} + \frac{1}{2}m{\dot y^2} = \frac{1}{2}m\omega _0^2y_0^2{e^{ - t/\tau }}$; par hypothèse, lors du choc, l’énergie de l’atome se conserve: $2{(A/2)^2} + 2{(A/2)^2} + {B^2} = y_0^2$
et il se produit la dépolarisation totale $2{(A/2)^2} = 2{(A/2)^2} = {B^2} = y_0^2/3$ d’où $A = \sqrt {2/3} {y_0}$ et $x = \sqrt {2/3} {y_0}{e^{ - t/2\tau }}\sin (\Delta \phi /2)\sin ({\omega _0}t - \varphi )$
$y = \sqrt {2/3} {y_0}{e^{ - t/2\tau }}\cos (\Delta \phi /2)\sin ({\omega _0}t - \varphi )$ avec $\Delta \phi = {\phi _1} - {\phi _2}\;et\;\varphi = ({\phi _1} + {\phi _2})/2$
La composante selon z’z n’a pas d’importance car un dipôle ne rayonne pas selon la direction de son moment dipolaire et par ailleurs, on observe selon z’z.
L’angle $\Delta \phi $ va varier aléatoirement chaque fois qu’on aura un nouveau choc; avec $2K = \frac{{{\mu _0}}}{c}{\left( {\frac{{e\omega _0^2}}{{4\pi }}} \right)^2}\delta \Omega $, les puissances émises selon Ox et Oy sont $\delta {p_x} = 2K{x^2}$et $\delta {p_y} = 2K{y^2}$; on utilise un récepteur sensible à la puissance moyenne reçue sur quelques périodes ${T_0} = 2\pi /{\omega _0}$, qui ensuite intègre cette puissance sur une longue durée devant T0; on a $\left\langle {\delta {p_x}} \right\rangle = \frac{{2K}}{3}y_0^2{e^{ - t/\tau }}{\sin ^2}(\Delta \phi /2)$ et $\left\langle {\delta {p_y}} \right\rangle = \frac{{2K}}{3}y_0^2{e^{ - t/\tau }}{\cos ^2}(\Delta \phi /2)$
${W_x} = \frac{{2K}}{3}y_0^2{\sin ^2}(\Delta \phi /2)\int\limits_{u = t}^\infty {{e^{ - u/\tau }}} du$
${W_y} = Ky_0^2\int\limits_{u = 0}^t {{e^{ - u/\tau }}} du + \frac{{2K}}{3}y_0^2{\cos ^2}(\Delta \phi /2)\int\limits_{u = t}^\infty {{e^{ - u/\tau }}} du$ (en appelant t la date du premier choc)
Par intégration ${W_x} = \frac{{2K}}{3}y_0^2\tau {e^{ - t/\tau }}{\sin ^2}(\Delta \phi /2)$ et ${W_y} = Ky_0^2\tau \left[ {(1 - {e^{ - t/\tau }}) + \frac{2}{3}{e^{ - t/\tau }}{{\cos }^2}(\Delta \phi /2)} \right]$
Ensuite $\Delta \phi $ varie aléatoirement tous les temps ${\rm T}$ (à chaque choc ultérieur, sans modification des amplitudes); pour t >> ${\rm T}$, on moyenne sur toutes les valeurs possibles de $\Delta \phi $; on obtient ${W_x} = \frac{K}{3}y_0^2\tau {e^{ - t/\tau }}$ et ${W_y} = \frac{K}{3}y_0^2\tau (3 - 2{e^{ - t/\tau }})$ et ${W_x}/{W_y} = {e^{ - t/\tau }}/(3 - 2{e^{ - t/\tau }})$
On peut résumer en disant que ${\vec r_ + },{\vec r_ - }$ créent ${\vec E_ + },{\vec E_ - }$ qui leurs sont parallèles; ces deux vibrations circulaires se recomposent en une vibration rectiligne de direction fixe entre deux chocs (angle $\Delta \phi $/2, noté $\phi $ avec Oy) qui transporte les 2/3 de l’énergie disponible; alors (loi de Malus) après choc ${W_y}\alpha \frac{2}{3}{\cos ^2}\phi \int\limits_{u = t}^\infty {{e^{ - u/\tau }}} du$ et ${W_x}\alpha \frac{2}{3}{\sin ^2}\phi \int\limits_{u = t}^\infty {{e^{ - u/\tau }}} du$; après moyenne sur l’angle $\phi $ aléatoire, on retrouve $\frac{{{W_x}}}{{{W_y}}} = \frac{{\frac{1}{3}\int\limits_{u = t}^\infty {{e^{ - u/\tau }}du} }}{{\int\limits_{u = 0}^t {{e^{ - u/\tau }}du + \frac{1}{3}\int\limits_{u = t}^\infty {{e^{ - u/\tau }}du} } }} = \frac{{{e^{ - t/\tau }}}}{{3 - 2{e^{ - t/\tau }}}}$
5.7) Pour une vapeur, en la supposant éclairée par un flash initial, au bout d’un temps très supérieur à la durée moyenne entre deux chocs, les émissions des différents atomes sont incohérentes; si ${N_0}$ est le nombre d’atomes excités lors du flash initial, ${W_x} = \sum\limits_{i = 1}^{{N_0}} {{W_{{x_i}}}} = \int\limits_{N = 0}^{{N_0}} {{W_x}(t)\left| {dN(t)} \right|} $ avec dN(t) explicité en fin de 5.5); de même ${W_y} = \sum\limits_{i = 1}^{{N_0}} {{W_{{y_i}}}} = \int\limits_{N = 0}^{{N_0}} {{W_y}(t)\left| {dN(t)} \right|} $; on obtient ${W_x} = {N_0}y_0^2\frac{K}{3}\frac{\tau }{{\rm T}}\int\limits_{t = 0}^\infty {{e^{ - (1/\tau + 1/{\rm T})t}}dt} $ et ${W_y} = {N_0}y_0^2\frac{K}{3}\frac{\tau }{{\rm T}}\int\limits_{t = 0}^\infty {(3 - 2{e^{ - t/\tau }}){e^{ - t/{\rm T}}}dt} $ soit ${W_x} = {N_0}y_0^2\frac{K}{3}\frac{{{\tau ^2}}}{{\tau + {\rm T}}}$ , ${W_y} = {N_0}y_0^2\frac{K}{3}\frac{{\tau (\tau + 3{\rm T})}}{{\tau + {\rm T}}}$ , $\frac{{{W_x}}}{{{W_y}}} = \frac{\tau }{{\tau + 3{\rm T}}}$ et $P = \frac{1}{{1 + \frac{{2\tau }}{{3{\rm T}}}}}$
5.8) A.N.: selon 4.2° $\tau = {4,8.10^{ - 9}}s$ et selon 5.4° ${\rm T} = {2,6.10^{ - 7}}s$ ${\rm{P = 0}}{\rm{,99}}$; forcément P est peu différent de l’unité car ${\rm T} > > \tau $. Selon 4.6° $\tau = {3,5.10^{ - 6}}s$ et alors ${\rm{P = 0}}{\rm{,10}}$; le premier résultat est inexact car la valeur théorique de $\tau $ ne peut s’établir valablement sans la mécanique quantique; seule la valeur expérimentale de $\tau $ doit être retenue; le second résultat semble correct car on utilise la valeur de $\tau $ obtenue expérimentalement en 4.6° dans les conditions où tout autre effet que la dépolarisation par champ magnétique est négligeable, en particulier la dépolarisation par choc (en se plaçant à très basse pression par exemple).
En conclusion, on voit que les chocs exercent un fort pouvoir dépolarisant.
1°) Préliminaire mathématique
1.1) On suppose la charge sphérique et homogène; par isotropie de l’espace autour de O, $f = f(r,t)$.
1.2) $\Delta f - \frac{1}{{{c^2}}}\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {t^2}}} = 0$, en M différent de O; $\Delta f = \frac{1}{r}\frac{{{\partial ^2}rf}}{{\partial {r^2}}}$ et $\chi = rf$⇒ $\frac{{{\partial ^2}\chi }}{{\partial {t^2}}} - \frac{1}{{{c^2}}}\frac{{{\partial ^2}\chi }}{{\partial {t^2}}} = 0$; la solution générale est $\chi (r,t) = F(t - r/c) + G(t + r/c)$ soit $f(r,t) = \frac{1}{r}F(t - r/c) + \frac{1}{r}G(t + r/c)$.
On suppose l’élément de volume $\delta V = 4\pi {\varepsilon ^3}/3$ sphérique de rayon $\varepsilon \to 0$.
Pour la solution particulière $f(r,t) = \frac{1}{r}F(t - r/c)$, on intègre sur la sphère de rayon $\varepsilon $:
$\iint\limits_{S(O,\varepsilon )}{\frac{\partial f}{\partial r}}\delta S=-4\pi \left[ F(t-\varepsilon /c)+\frac{\varepsilon }{c}\frac{\partial F(t-\varepsilon /c)}{\partial t} \right]$
$\iint\limits_{S(O,\varepsilon )}{\frac{\partial f}{\partial r}}\delta S=\iint\limits_{S(O,\varepsilon )}{\vec{\nabla }f.\delta \vec{S}}=\iiint\limits_{V(S(O,\varepsilon ))}{\Delta f\delta \tau }=\delta V{{(\Delta f)}_{\varepsilon =0}}$$ = \frac{{4\pi {\varepsilon ^3}}}{{3{c^2}}}\left( {\frac{{{\partial ^2}f(t - \varepsilon /c)}}{{\partial {t^2}}}} \right) + 4\pi g(0,t)\delta V$.
On a: $\frac{{{\partial ^2}f(t - \varepsilon /c)}}{{\partial {t^2}}} = \frac{1}{\varepsilon }\frac{{{\partial ^2}F(t - \varepsilon /c)}}{{\partial {t^2}}}$; on identifie les deux expressions précédentes et on fait tendre $\varepsilon $vers zéro; on obtient: $F(t) = - g(0,t)\delta V$ (sous la condition que F(t) et ses dérivées première et seconde par rapport au temps soient bornées et que $g(\vec 0,t)$ne le soit pas).
D’où: $f(t - r/c) = - \frac{{g(\vec 0,t - r/c)\delta V}}{r}$.
Soit un repère Oxyz; l’élément de volume $\delta V$ précédent est centré en S, tel que $O\vec S = \vec R$; une solution particulière en $\vec r = O\vec M$ à la date t est $\delta f(\vec r,t) = \frac{{ - g(\vec R,t - \left\| {\vec R - \vec r} \right\|/c)\delta V}}{r}$; l’équation différentielle est linéaire; la solution particulière cherchée est la somme des solutions particulières dues aux différents éléments de volume soit (2) $f(\vec{r},t)=-\iiint\limits_{{{R}^{3}}}{\frac{g(\vec{R},t-\left\| \vec{R}-\vec{r} \right\|/c)\delta V}{r}}$; le texte présente une erreur de signe au niveau des formules (1) ou (2).
2) Rayonnement dipolaire
2.1) (MF) $\vec \nabla \wedge \vec E = - \frac{{\partial \vec B}}{{\partial t}}$ (M$\phi $) $\vec \nabla .\vec B = 0$ (MG) $\vec \nabla .\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over E} = \rho /{\varepsilon _0}$ (MA) $\vec \nabla \wedge \vec B = {\mu _0}(\vec j + {\varepsilon _0}\frac{{\partial \vec E}}{{\partial t}})$
(M$\phi $) ⇒ $\exists \vec A(\vec r,t)$, $\vec B = \vec \nabla \wedge \vec A$ et (MF) ⇒ $\vec \nabla \wedge (\vec E + \frac{{\partial \vec A}}{{\partial t}}) = 0$⇒ $\exists V(\vec r,t)$, $\vec E = - \vec \nabla V - \frac{{\partial \vec A}}{{\partial t}}$
2.2) Supposons qu’il existe un second couple de potentiels $\vec A',V'$; les champs doivent être invariants de jauge:$\vec B = \vec \nabla \wedge \vec A = \vec \nabla \wedge \vec A'$ ⇒ $\vec \nabla \wedge (\vec A - \vec A') = \vec 0$ ⇒ $\exists \Psi (\vec r,t),$ $\vec A' - \vec A = \vec \nabla \Psi $
$\vec E = - \vec \nabla V - \frac{{\partial \vec A}}{{\partial t}}$$ = - \vec \nabla V' - \frac{{\partial \vec A'}}{{\partial t}}$⇒ $\vec \nabla (V' - V) = - \frac{{\partial (\vec A' - \vec A)}}{{\partial t}} = - \vec \nabla \frac{{\partial \Psi }}{{\partial t}}$ ⇒ $V' - V + \frac{{\partial \Psi }}{{\partial t}} = 0$ soit $V' = V - \frac{{\partial \Psi }}{{\partial t}}$.
Choisir un couple de potentiels vecteurs est effectuer un choix de jauge; il existe une infinité de jauges: il y a indétermination de jauge.
Si on introduit la condition de jauge de Lorentz $\vec \nabla .\vec A + \frac{1}{{{c^2}}}\frac{{\partial V}}{{\partial t}} = 0$, on réalise une simplification des équations de propagation des potentiels mais en aucun cas on ne lève l’indétermination de jauge, contrairement à ce qu’affirme l’énoncé. On la réduit seulement.
Si deux jauges obéissent à la condition de jauge de Lorentz:
$\vec \nabla .\vec A + \frac{1}{{{c^2}}}\frac{{\partial V}}{{\partial t}} = \vec \nabla .\vec A' + \frac{1}{{{c^2}}}\frac{{\partial V'}}{{\partial t}} = 0$ ⇒ $\vec \nabla .(\vec A' - \vec A) + \frac{1}{{{c^2}}}\frac{{\partial (V' - V)}}{{\partial t}} = 0$ ⇒ $\Delta \Psi - \frac{1}{{{c^2}}}\frac{{{\partial ^2}\Psi }}{{\partial {t^2}}} = 0$
C’est la condition sur la fonction $\Psi (\vec r,t)$ pour que les deux couples de potentiels vérifient simultanément la condition de jauge de Lorentz ; en imposant la condition de jauge de Lorentz, on réduit l’indétermination de jauge mais sans la supprimer.
2.3) On considère les équations (MA) et (MG) faisant figurer les sources.
$\vec B = \vec \nabla \wedge \vec A$ et $\vec E = - \vec \nabla V - \frac{{\partial \vec A}}{{\partial t}}$ portés dans (MA) ⇒ $\vec \nabla \wedge (\vec \nabla \wedge \vec A) = {\mu _0}(\vec j - {\varepsilon _0}\vec \nabla \frac{{\partial V}}{{\partial t}} - {\varepsilon _0}\frac{{{\partial ^2}\vec A}}{{\partial {t^2}}})$
mais à l’aide de $\Delta \vec A = \vec \nabla (\vec \nabla .\vec A) - \vec \nabla \wedge (\vec \nabla \wedge \vec A)$ et de la condition de jauge de Lorentz, on obtient $\Delta \vec A - \frac{1}{{{c^2}}}\frac{{{\partial ^2}\vec A}}{{\partial {t^2}}} = - {\mu _0}\vec j$
$\vec E = - \vec \nabla V - \frac{{\partial \vec A}}{{\partial t}}$ portée dans (MB) et à l’aide de la condition de jauge de Lorentz, on obtient: $\Delta V - \frac{1}{{{c^2}}}\frac{{{\partial ^2}V}}{{\partial {t^2}}} = - \frac{\rho }{{{\varepsilon _0}}}$
$\vec E = - \vec \nabla V - \frac{{\partial \vec A}}{{\partial t}} = (\frac{1}{c}\frac{{\partial V}}{{\partial t}} - \frac{{\partial {A_x}}}{{\partial t}}, - \frac{{\partial {A_y}}}{{\partial t}}, - \frac{{\partial {A_z}}}{{\partial t}})$$ = (0, - \frac{{\partial {A_y}}}{{\partial t}}, - \frac{{\partial {A_z}}}{{\partial t}})$$ = - \frac{\partial }{{\partial t}}(\vec A - (\vec A.\vec n)\vec n)$ soit
$\vec E = \frac{\partial }{{\partial t}}((\vec A \wedge \vec n) \wedge \vec n)$ ⇒ $\vec E = (\frac{{\partial \vec A}}{{\partial t}} \wedge \vec n) \wedge \vec n$ et $\vec B = \vec \nabla \wedge \vec A$$ = \frac{1}{c}\frac{{\partial ({A_z}{{\vec e}_y} - {A_y}{{\vec e}_z})}}{{\partial t}}$ ⇒ $\vec B = \frac{1}{c}\frac{{\partial \vec A}}{{\partial t}} \wedge \vec n$
L’autre méthode donne $\vec E = \frac{{\vec n}}{c}\frac{{\partial V}}{{\partial t}} - \frac{{\partial \vec A}}{{\partial t}} = \frac{\partial }{{\partial t}}(\vec n(\vec n.\vec A) - \vec A)$$ = (\frac{{\partial \vec A}}{{\partial t}} \wedge \vec n) \wedge \vec n$ et $\vec B = \frac{1}{c}\frac{{\partial \vec A}}{{\partial t}} \wedge \vec n$ directement.
2.5) $\vec{A}(\vec{r},t)=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\iiint\limits_{{{R}^{3}}}{\frac{\vec{j}(\vec{R},t-\left\| \vec{R}-\vec{r} \right\|/c)}{\left\| \vec{R}-\vec{r} \right\|}}{{d}^{3}}\vec{R}$ potentiel vecteur retardé.
2.6) ${j_x}(t){d^3}\vec R = a{I_x}(t) = a\frac{{d{q_x}(t)}}{{dt}} = \frac{{d{M_x}(t)}}{{dt}}$
${A_x}(\vec r,t) = \frac{{{\mu _0}}}{{4\pi }}\frac{{{j_x}(t - r/c){d^3}\vec R}}{r} = \frac{{{\mu _0}}}{{4\pi r}}{\dot M_x}(t - r/c)$; idem en y et z d’où $\vec A(\vec r,t) = \frac{{{\mu _0}\vec M(t - r/c)}}{{4\pi r}}$
2.7) A grande distance, on remplace localement la sphère (O,r) par son plan tangent; les ondes sont quasi-planes d’où $\vec E = \frac{{{\mu _0}}}{{4\pi r}}(\vec M \wedge \vec n) \wedge \vec n$ et $\vec B = \frac{{{\mu _0}}}{{4\pi cr}}\vec M \wedge \vec n$; on a $\vec E = \vec B \wedge \vec c$ soit $\vec B = \frac{{\vec n}}{c} \wedge \vec E$
Le vecteur de Poynting est $\vec \pi = \vec E \wedge \vec B/{\mu _0} = ({B^2}c/{\mu _0})\vec n$; la puissance rayonnée est le flux du vecteur de Poynting à travers l’élément de surface $\delta S$ de la sphère (O,r), vu sous l’angle solide $\delta \Omega = \delta S/{r^2}$ depuis O, et vaut $\delta I = \vec \pi .\delta \vec S = \frac{{{B^2}c}}{{{\mu _0}}}{r^2}\delta \Omega = \frac{{{\mu _0}}}{{{{(4\pi )}^2}c}}{(\vec M \wedge \vec n)^2}\delta \Omega $ soit
$\delta I = \frac{{{\mu _0}}}{{{{(4\pi )}^2}c}}{\vec M^2}{\sin ^2}\theta \delta \Omega $
On intègre sur la sphère (O,r): $I=\frac{{{\mu }_{0}}}{{{(4\pi )}^{2}}c}{{\ddot{\vec{M}}}^{2}}\iiint\limits_{{{R}^{3}}}{{{\sin }^{2}}\theta \delta \Omega }$; or $\delta \Omega = - 2\pi d\cos \theta $ et $J = \int\limits_0^\pi {{{\sin }^3}\theta d\theta = 4/3} $ conduit à $I = \frac{{{{\vec M}^2}}}{{6\pi {\varepsilon _0}{c^3}}}$; il s’agit du moment retardé, pris à la date t-r/c.
3) Diffusion par des charges libres
3.1) $\vec F = q(\vec E + \vec v \wedge \vec B)$ avec $\vec E = \vec B \wedge \vec c$; $\left\| {\vec v \wedge \vec B} \right\| \approx \frac{v}{c}\left\| {\vec E} \right\| < < \left\| {\vec E} \right\|$ si v<<c (charge non relativiste); alors $\vec F \approx q\vec E$.
Pour l’atome H, modèle de Bohr: $\frac{{m{v^2}}}{r} = \frac{{{e^2}}}{{4\pi {\varepsilon _0}{r^2}}}$ et quantification du moment cinétique: $rmv = \hbar $ dans l’état fondamental d’où $v/c = \frac{{{e^2}}}{{4\pi {\varepsilon _0}\hbar c}} \approx 1/137$ (constante de structure fine); v<<c; l’approximation est de l’ordre du centième.
3.2) A l’origine, on introduit -q et +q, confondues fixes; (O,-q) et (M,+q) forment un dipôle de moment $\vec M(t) = q\vec r(t)$ qui peut rayonner mais les charges fixes en O ne rayonnent aucune énergie.
3.3) $\sigma $ = puissance rayonnée totale/intensité du rayonnement incident; or l’intensité n’est pas définie; on peut prendre la définition qui nous arrange pour que $\sigma $ soit une surface; en fait, il faut définir l’intensité comme le flux surfacique d’énergie donc la norme du vecteur de Poynting. Ce sont les valeurs moyennes dans le temps.
Toute l’énergie est prélevée sur l’onde incidente passée à travers une surface normale à la direction de propagation égale à la section efficace totale.
Théorème de la quantité de mouvement pour l’électron: $m\ddot x = - e{E_i}(x = 0,t) = - e{E_0}\cos \omega t$
${\vec M_{ret}} = - e{\ddot x_{ret}}{\vec e_x} = \frac{{{e^2}}}{m}{E_0}\cos \omega (t - r/c){\vec e_x}$⇒ $\delta I = \frac{{{\mu _0}{{\sin }^2}\theta }}{{{{(4\pi )}^2}c}}{\left( {\frac{{{e^2}{E_0}}}{m}} \right)^2}{\cos ^2}\omega (t - r/c)\delta \Omega $
La valeur moyenne est $\left\langle {\delta I} \right\rangle = \frac{{{\mu _0}}}{{2c}}{\left( {\frac{{{e^2}{E_0}\sin \theta }}{{4\pi m}}} \right)^2}\delta \Omega $
Pour l’onde incidente $\left\langle {{\pi _i}} \right\rangle = \frac{{{\varepsilon _0}cE_0^2}}{2}$ d’où: $\frac{{d\sigma }}{{d\Omega }} = {\left( {\frac{{{\mu _0}{e^2}}}{{4\pi m}}} \right)^2}{\sin ^2}\theta $; si on appelle ${R_e} = \frac{{{e^2}}}{{4\pi {\varepsilon _0}m{c^2}}}$ le rayon classique de l’électron, on a: $\frac{{d\sigma }}{{d\Omega }} = R_e^2{\sin ^2}\theta $
La section efficace totale ou surface apparente de l’électron s’obtient en intégrant sur tout l’espace:
$\sigma = 2\pi R_e^2\int\limits_0^\pi {{{\sin }^3}\theta d\theta } $ soit $\sigma = \frac{{8\pi }}{3}R_e^2$ ou $\sigma = \frac{1}{{6\pi }}{\left( {\frac{{{\mu _0}{e^2}}}{m}} \right)^2}$
A.N.: ${R_e} = {2,8.10^{ - 15}}m$ $\sigma = {6,6.10^{ - 29}}{m^2}$ et $d\sigma /d\Omega = {7,9.10^{ - 30}}{\sin ^2}\theta \;{m^2}$
 ${E_x} = {e_0}\cos [\omega (t - z/c) - \varphi (t)]$ ${E_y} = {e_0}\cos [\omega (t - z/c) - \psi (t)]$ ϕ(t) et ψ(t) sont aléatoires et très rapidement variables. |
Une méthode plus simple consiste à remarquer que la lumière naturelle présente la symétrie de révolution autour de la direction de propagation; on peut choisir l’axe Ox dans le plan OM,Oz; les deux termes de la section efficace différentielle sont de façon évidente ${(\frac{{d\sigma }}{{d\Omega }})_x} = \frac{1}{2}R_e^2{\cos ^2}\varphi $ et ${(\frac{{d\sigma }}{{d\Omega }})_y} = \frac{1}{2}R_e^2$ ce qui redonne le résultat déjà trouvé.
3.5) La masse du proton est 1836 fois supérieure à celle de l’électron: on peut supposer les protons au repos. Soit l’axe z’z de direction et sens de propagation ceux de l’onde incidente; soit deux plans d’abscisses z et z+dz perpendiculaires à z’z et une portion de surface S de ces plans; le volume considéré entre les deux portions de plans de volumee Sdz contient NSdz centres (électrons) diffusants; chacun est affecté de la surface $\sigma $; la section efficace totale de ces électrons est $NS\sigma dz$; par définition c’est le rapport de la puissance prélevée (qui va être diffusée) sur le faisceau incident à la puissance surfacique du faisceau incident. On $\delta P/I(z) = NS\sigma dz$; le faisceau incident s’est affaibli: $dI(z) = - \delta P/S$ d’où $dI/I = - \sigma Ndz$; par intégration on obtient: $I(z) = I(0){e^{ - \frac{z}{\xi }}}$ avec $\xi = 1/N\sigma $ (longueur).
A.N.: $N = {10^{22}}{m^{ - 3}}$; $\sigma = {6,6.10^{ - 29}}{m^2}$; $\xi = {1,5.10^6}m$; c’est énorme; le plasma est transparent.
4) Fluorescence des gaz
4.1)Après excitation, l’atome entre en oscillations libres; il rayonne des ondes quasi-planes de fréquence celle des oscillations libres; on peut penser que l’excitation des atomes n’est possible que si le faisceau incident a la fréquence de l’oscillateur libre; le rayonnement doit avoir la fréquence de l’onde incidente. Le rayonnement est polarisé rectilignement (dipôle en oscillations selon Oy).
4.2) Sur une durée de l’ordre de quelques périodes, on peut négliger les modifications du mouvement du fait du rayonnement:
$m\ddot y = - \alpha y$ avec $\alpha = m\omega _0^2$; $y = A\cos {\omega _0}t + B\sin {\omega _0}t$ et $\dot y = \omega _0^{}( - A\sin {\omega _0}t + B\cos {\omega _0}t)$; l’énergie de l’oscillateur est $E = \frac{1}{2}m\dot y_{}^2 + \frac{1}{2}\alpha {y^2}$$ = \frac{1}{2}m\omega _0^2({A^2} + {B^2}) = cste$.
Sur un grand nombre de périodes, on doit tenir compte des modifications du mouvement; la puissance rayonnée est $p = \frac{{{e^2}\omega _0^4}}{{6\pi {\varepsilon _0}{c^3}}}y_{ret}^2$; en valeur moyenne: $\left\langle p \right\rangle = \frac{{{e^2}\omega _0^4}}{{12\pi {\varepsilon _0}{c^3}}}({A^2} + {B^2}) = - dE/dt$ d’où l’équation: $dE/dt = - \frac{{{e^2}}}{{6\pi {\varepsilon _0}m{c^3}}}E$; par intégration, on obtient $E = {E_0}{e^{ - t/\tau }}$ avec $\tau = \frac{{3mc}}{{2\pi {\mu _0}\nu _0^2{e^2}}}$
A.N.:$\tau = {4,8.10^{ - 9}}s$ ; remarquons que ce résultat obtenu classiquement donne le même temps caractéristique pour deux raies voisines d’un atome donné ce qui est contraire à l’expérience: les temps caractéristiques peuvent être très différents. Il n’est certainement pas valable.
La période est ${T_0} = {1,1.10^{ - 15}}s$; on vérifie que $\tau > > {T_0}$ ce qui valide la méthode.
On remarque que l’amplitude décroît en ${e^{ - t/2\tau }}$.
En projection sur les axes: (1) $\ddot x = - \omega _0^2x - \frac{e}{m}B\dot y$ (2) $\ddot y = - \omega _0^2y + \frac{e}{m}B\dot x$ (3) $\ddot z = - \omega _0^2z$
On pose ${\omega _c} = eB/m$(pulsation cyclotron) et u = x + i y; en combinant (1) et i fois (2), on obtient $\ddot u - i{\omega _c}\dot u + \omega _0^2u = 0$, équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants d’équation caractéristique ${p^2} - i{\omega _c}p + \omega _0^2 = 0$, de racines imaginaires pures ${p_ + } = i({\omega _c}/2 + \sqrt {\omega _0^2 + \omega _c^2/4} )$ et ${p_ - } = i({\omega _c}/2 - \sqrt {\omega _0^2 + \omega _c^2/4} )$; de ce fait la solution est $u = {C_1}{e^{{p_ + }t}} + {C_2}{e^{{p_ - }t}}$, C1 et C2 appartenant au corps des complexes.
Il n’est pas indispensable de calculer ces constantes dans cette question mais comme on en a besoin par la suite, on peut le faire maintenant; à t=0, on peut supposer $x(t = 0) = y(t = 0) = z(t = 0) = 0\;\quad \dot x(t = 0) = \dot z(t = 0) = 0\quad \;\dot y(t = 0) = {\dot y_0}$
On a donc $u(t = 0) = 0 = {C_1} + {C_2}$ et $\dot u(t = 0) = i\dot y_0^{} = {C_1}({p_ + } - {p_{ - )}}$ d’où ${C_1} = \frac{{\dot y_0^{}}}{{2\sqrt {\omega _0^2 + \omega _c^2/4} }}$ et
$u = \frac{{i\dot y_0^{}}}{{\sqrt {\omega _0^2 + \omega _c^2/4} }}{e^{\frac{{i{\omega _c}t}}{2}}}\sin \left( {\sqrt {\omega _0^2 + \omega _c^2/4} } \right)t$
Le champ magnétique statique est faible: ${\omega _0} > > {\omega _c}$: on pose $\omega = \frac{{{\omega _c}}}{2} = \frac{{eB}}{{2m}}$ et cela donne: $u = \frac{{{{\dot y}_0}}}{{{\omega _0}}}( - \sin \omega t + i\cos \omega t)\sin {\omega _0}t$ ; on en déduit x et y, en tenant compte de l’amortissement exponentiel: $x = - \frac{{{{\dot y}_0}}}{{{\omega _0}}}{e^{ - t/2\tau }}\sin \omega t\sin {\omega _0}t$ et $y = \frac{{{{\dot y}_0}}}{{{\omega _0}}}{e^{ - t/2\tau }}\cos \omega t\sin {\omega _0}t$ soit encore $x = \frac{{{{\dot y}_0}}}{{2{\omega _0}}}{e^{ - t/2\tau }}(\cos ({\omega _0} + \omega )t - \cos ({\omega _0} - \omega )t)$ et $y = \frac{{{{\dot y}_0}}}{{2{\omega _0}}}{e^{ - t/2\tau }}(\sin ({\omega _0} + \omega )t + \sin ({\omega _0} - \omega )t)$;
enfin $z = A\cos {\omega _0}t + B\sin {\omega _0}t$ mais avec les conditions initiales choisies z = 0 à tout instant. D’où:
${\vec r_ + } = \frac{{{{\dot y}_0}}}{{2{\omega _0}}}{e^{ - t/2\tau }}(\cos ({\omega _0} + \omega )t\;{\vec e_x} + \sin ({\omega _0} + \omega )t\;{\vec e_y})$ et ${\vec r_ - } = \frac{{{{\dot y}_0}}}{{2{\omega _0}}}{e^{ - t/2\tau }}( - \cos ({\omega _0} - \omega )t\;{\vec e_x} + \sin ({\omega _0} - \omega )t\;{\vec e_y})$
${\vec r_z} = \vec 0$; ${\vec r_ + }$ et ${\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over r} _ - }$ représentent respectivement un mouvement circulaire gauche de fréquence ${\nu _0} + \nu $ et
un mouvement circulaire droit de fréquence ${\nu _0} - \nu $, de mêmes rayons $\frac{{{{\dot y}_0}}}{{2{\omega _0}}}$ avec $\nu = \frac{{eB}}{{4\pi m}}$.
4.4) ${\vec r_ + }$ et ${\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over r} _ - }$ produisent ${\vec M_ + } = - e{\vec r_ + }$ et ${\vec M_ - } = - e{\vec r_ - }$; on observe selon Oz donc perpendiculairement à ${\vec M_ + }\;et\;{\vec M_ - }$; de ce fait les champs électriques ${\vec E_ + }\;et\;{\vec E_ - }$ sont parallèles à ${\vec M_ + }\;et\;{\vec M_ - }$; en principe on observe deux vibrations circulaires de mêmes amplitudes l’une droite ${\vec E_ - }$ tournant à la pulsation ${\omega _0} - \omega $ en sens rétrograde et l’autre gauche ${\vec E_ + }$ tournant à la pulsation ${\omega _0} + \omega $ en sens direct (effet Zeeman longitudinal); mais comme $\nu < < {\nu _0}$ et qu’on ne met pas en évidence la séparation entre les fréquences, on observe une vibration rectiligne à chaque instant, de fréquence ${\nu _0}$, tournant très lentement en sens direct à la fréquence $\nu $ dont l’amplitude décroît exponentiellement en ${e^{ - t/2\tau }}$; c’est pourquoi il apparaît lentement une vibration rectiligne selon Ox (en plus de la vibration rectiligne initialement selon Oy): le champ magnétique produit une lente dépolarisation.
4.5) Dans la suite, on posera ${y_0} = {\dot y_0}/{\omega _0}$.
La puissance rayonnée dans l’angle solide $\delta \Omega $ dans la direction $\theta = \pi /2$ est, selon Ox et Oy respectivememt:
$\delta {p_x} = {\left( {\frac{{e{{\ddot x}_{ret}}}}{{4\pi }}} \right)^2}\delta \Omega = \frac{{{\mu _0}}}{c}{\left( {\frac{{e\omega _0^2{x_{ret}}}}{{4\pi }}} \right)^2}\delta \Omega $ et $\delta {p_x} = \frac{{{\mu _0}}}{c}{\left( {\frac{{e{{\ddot y}_{ret}}}}{{4\pi }}} \right)^2}\delta \Omega = \frac{{{\mu _0}}}{c}{\left( {\frac{{e\omega _0^2{y_{ret}}}}{{4\pi }}} \right)^2}\delta \Omega $
On pose $2K = \frac{{{\mu _0}}}{c}{\left( {\frac{{e\omega _0^2}}{{4\pi }}} \right)^2}\delta \Omega $ d’où $\delta {p_x} = 2Kx_{ret}^2$ et $\delta {p_y} = 2Ky_{ret}^2$; on suppose le récepteur sensible à la puissance moyenne reçue sur une durée de l’ordre de quelques périodes ${T_0} = 2\pi /{\omega _0}$ et de ce fait les fonctions variant à la pulsation $\omega $ et en ${e^{ - t/\tau }}$ restant constantes; cela conduit à $\left\langle {\delta {p_x}} \right\rangle = Ky_0^2{e^{ - t/\tau }}{\sin ^2}\omega t$ et $\left\langle {\delta {p_y}} \right\rangle = Ky_0^2{e^{ - t/\tau }}{\cos ^2}\omega t$.
En intégrant entre 0 et t, on a:
${W_x} = \int\limits_0^t {\left\langle {\delta {p_x}} \right\rangle } = $$Ky_0^2\int\limits_0^t {{e^{ - t/\tau }}{{\sin }^2}\omega t\;} dt$ et ${W_y} = \int\limits_0^t {\left\langle {\delta {p_y}} \right\rangle } = $$Ky_0^2\int\limits_0^t {{e^{ - t/\tau }}{{\cos }^2}\omega t\;} dt$
On exprime le carré des sinus et cosinus en fonction du cosinus de l’angle double; l’intégrale $I = \int\limits_0^t {{e^{ - t/\tau }}} \cos 2\omega tdt$ se calcule en décomposant le cosinus en exponentielles complexes; on trouve $I = \frac{{\frac{1}{\tau } - {e^{ - t/\tau }}(\frac{1}{\tau }\cos 2\omega t - 2\omega \sin 2\omega t)}}{{4{\omega ^2} + \frac{1}{{{\tau ^2}}}}}$; par ailleurs $J = \int\limits_0^t {{e^{ - t/\tau }}dt = \tau (1 - {e^{ - t/\tau }})} $; d’où ${W_x} = \frac{{Ky_0^2}}{2}(J - I)$ et ${W_y} = \frac{{Ky_0^2}}{2}(J + I)$; or P = I/J d’où $P = \frac{{\frac{1}{\tau } - {e^{ - t/\tau }}(\frac{1}{\tau }\cos 2\omega t - 2\omega \sin 2\omega t)}}{{\tau (1 - {e^{ - t/\tau }})(4{\omega ^2} + \frac{1}{{{\tau ^2}}})}}$;
- On éclaire par un flash très bref avec un laser femtoseconde; parmi tous les photons incidents seuls ceux ayant l’énergie $h{\nu _0}$ peuvent exciter les atomes; le fait important n’est pas la monochromaticité, non réalisée ici, mais que l’éclairement soit très bref; chaque atome excité émet alors un rayonnement cohérent avec les autres atomes excités; si N atomes ont été excités, les champs électriques sont multipliés par N, Wx et Wy par N2 mais Wx/Wy est inchangé; on a encore $P = \frac{1}{{1 + 4{\omega ^2}{\tau ^2}}}$
- Si au contraire on éclaire avec un faisceau laser continu de fréquence ${\nu _0}$ et si à instant donné N atomes sont excités, les rayonnements des différents atomes sont incohérents et ce sont les puissances rayonnées qui s’ajoutent; Wx et Wy sont multipliés par N, mais Wx/Wy est inchangé; on a encore le même résultat.
Au centre de la spire circulaire $B = \frac{{{\mu _0}I}}{{2R}}$ soit numériquement $B = {1,6.10^{ - 6}}T$ et $\tau = {3,5.10^{ - 6}}s$
On trouve une valeur 750 fois supérieure au résultat théorique en supposant un rayonnement dipolaire; la théorie classique développée en 4.2° n’est pas valable; il faudrait faire un calcul quantique de la durée de vie de l’atome au sein d’une population d’atomes.
Le champ magnétique terrestre a une composante horizontale de 0,2 gauss soit ${2.10^{ - 5}}T$ supérieure au champ magnétique dû à la spire; pour contourner le problème, il suffit de créer un champ magnétique qui annule le champ magnétique terrestre et fournit en plus le champ magnétique désiré; il faut orienter le montage par rapport au champ magnétique terrestre; on sait faire cela. Il faut également éviter toute hétérogénéité du champ magnétique sur le domaine occupé par les atomes.
5) Effets cinétiques
5.1) ${d_3}P = {A^3}{e^{ - \frac{{m{v^2}}}{{2kT}}}}d{v_x}d{v_y}d{v_z}$; on exprime que la somme des probabilités est unité et on utilise
$\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {{e^{ - {u^2}}}du = \sqrt \pi } $ d’où $A = {\left( {\frac{m}{{2\pi kT}}} \right)^{1/2}}$ et ${d_3}P = {\left( {\frac{m}{{2\pi kT}}} \right)^{3/2}}{e^{ - \frac{{m{v^2}}}{{2kT}}}}d{v_x}d{v_y}d{v_z}$
Par passage du système de coordonnées cartésiennes au système de coordonnées sphériques, l’élément de volume devient ${v^2}\sin \theta dvd\theta d\varphi $ et la probabilité d’avoir une norme de vitesse v à dv près dans la direction $\theta ,\varphi \;\text{à} \;d\theta ,d\varphi $ près s’écrit ${d_3}P' = {\left( {\frac{m}{{2\pi kT}}} \right)^{3/2}}{e^{ - \frac{{m{v^2}}}{{2kT}}}}{v^2}\sin \theta d\theta d\varphi dv$; on intègre en $\theta $ de 0 à $\pi $ et en $\varphi $ de 0 à 2$\pi $, ce qui donne: $P(v)dv = 4\pi {\left( {\frac{m}{{2\pi kT}}} \right)^{3/2}}{e^{ - \frac{{m{v^2}}}{{2kT}}}}{v^2}dv$
Par définition: $\left\langle v \right\rangle = \int\limits_{v = 0}^\infty {vP(v)dv = } $$4\pi {\left( {\frac{m}{{2\pi kT}}} \right)^{3/2}}\int\limits_{v = 0}^\infty {{e^{ - \frac{{m{v^2}}}{{2kT}}}}{v^3}dv} $; or $\int\limits_0^\infty {{e^{ - {u^2}}}{u^3}du} = 1/2$ d’où $\left\langle v \right\rangle = {\left( {\frac{{8kT}}{{\pi m}}} \right)^{1/2}}$
5.2) $P({\vec v_i},{\vec v_j}){d^3}{\vec v_i}{d^3}{\vec v_j} = A_i^3A_j^3{e^{ - \;\frac{{{m_i}v_i^2 + {m_j}v_j^2}}{{2kT}}}}d{v_{ix}}d{v_{iy}}d{v_{iz}}d{v_{jx}}d{v_{jy}}d{v_{jz}}$ avec ${A_i} = {\left( {\frac{{{m_i}}}{{2\pi kT}}} \right)^{1/2}}$ et ${A_j} = {\left( {\frac{{{m_j}}}{{2\pi kT}}} \right)^{1/2}}$. La vitesse du centre d’inertie d’un couple (i,j) est $\vec V = \frac{{{m_i}{{\vec v}_i} + {m_j}{{\vec v}_j}}}{{{m_i} + {m_j}}}$ et la vitesse de i par rapport à j est ${\vec v_{ij}} = {\vec v_i} - {\vec v_j}$; on en déduit ${\vec v_i} = \vec V + \frac{{{m_j}}}{{{m_i} + {m_j}}}{\vec v_{ij}}$ et ${\vec v_j} = \vec V - \frac{{{m_i}}}{{{m_i} + {m_j}}}{\vec v_{ij}}$; on obtient 6 relations algébriques en projection sur les axes Oxyz; le jacobien de la transformation ${v_{ix}},{v_{ix}} \to {V_x},{v_{ijx}}$ est $\left| \begin{array}{l}1\quad \;\;\;{\kern 1pt} {\kern 1pt} {m_j}/({m_i} + {m_j})\\1\quad \; - {m_i}/({m_i} + {m_j})\end{array} \right|$ et vaut 1 d’où $d{v_{ix}}d{v_{ix}} \to d{V_x}d{v_{ijx}}$; il en est de même pour les deux autres directions; par ailleurs ${m_i}v_i^2 + {m_j}v_j^2 = ({m_i} + {m_j}){V^2} + \mu v_{ij}^2$ avec ${\mu _{ij}} = \frac{{{m_i}{m_j}}}{{{m_i} + {m_j}}}$ (masse réduite); enfin $A_i^3A_j^3 = A_G^3A_R^3$ avec ${A_G} = {\left( {\frac{{{m_i} + {m_j}}}{{2\pi kT}}} \right)^{1/2}}$ et ${A_R} = {\left( {\frac{\mu }{{2\pi kT}}} \right)^{1/2}}$d’où $P(\vec V,{\vec v_{ij}}){d^3}\vec V{d^3}{\vec v_{ij}} = A_G^3A_R^3{e^{ - \;\frac{{({m_i} + {m_j}){V^2} + \mu v_{ij}^2}}{{2kT}}}}d{V_x}d{V_y}d{V_z}d{v_{ijx}}d{v_{ijy}}d{v_{ijz}}$; par définition de la norme de la vitesse relative moyenne, on a $\left\langle {{v}_{ij}} \right\rangle =\iiint{\iiint\limits_{{{R}^{6}}}{{{v}_{ij}}P(\vec{V},{{{\vec{v}}}_{ij}}){{d}^{3}}\vec{V}{{d}^{3}}{{{\vec{v}}}_{ij}}}}$
On sépare en un produit de deux intégrales triples; l’une porte sur $d{V_x}d{V_y}d{V_z}$ et est la probabilité de trouver une molécule d’un gaz fictif de masse ${m_i} + {m_j}$ dans l’espace et l’autre est la moyenne des normes des vitesses de molécules de masse $\mu $ d’où $\left\langle {{v_{ij}}} \right\rangle = {\left( {\frac{{8kT}}{{\pi \mu }}} \right)^{1/2}} = {\left( {\frac{{8({m_i} + {m_j})kT}}{{\pi {m_i}{m_j}}}} \right)^{1/2}}$ (ce résultat peut sembler évident: on substitue à la masse la masse réduite) et ${\left\langle {{v_{ij}}} \right\rangle ^2} = {\left\langle {{v_i}} \right\rangle ^2} + {\left\langle {{v_j}} \right\rangle ^2}$
Son libre parcours moyen est $l = \left\langle {{v_i}} \right\rangle /{{\rm T}^{ - 1}}$ soit $l = \frac{{\left\langle {{v_i}} \right\rangle }}{{\pi a_{ij}^2\left\langle {{v_{ij}}} \right\rangle {n_j}}} = {\left( {\frac{{{m_j}}}{{{m_i} + {m_j}}}} \right)^{1/2}}\frac{1}{{\pi a_{ij}^2{n_j}}}$
5.4) A.N.: ${n_j} = {P_j}/kT = {2,15.10^{21}}$ molécules d’argon par m3; $l = {7,6.10^{ - 5}}m$ et ${{\rm T}^{ - 1}} = {3,8.10^{ - 6}}{s^{ - 1}}$ soit ${\rm T} = {2,6.10^{ - 7}}s$.
5.5) Soit P(t)dt la probabilité pour qu’une molécule qui n’a pas subi de choc entre les dates 0 et t subisse un choc entre les dates t et t+dt: df = -P(t)dt soit $P(t) = - df/dt$
Soit N0 le nombre initial de molécules (t=0); à t1, il reste ${{\rm{N}}_{\rm{1}}}{\rm{ = f(}}{{\rm{t}}_{\rm{1}}}{\rm{)}}{{\rm{N}}_{\rm{0}}}{\rm{ }}$molécules n’ayant pas subi de premier choc; du fait de l’indépendance des chocs, on peut prendre n’importe quelle origine des temps; prenons la date t1 comme nouvelle origine des temps; à la date t2, il reste${\rm{ }}{{\rm{N}}_{\rm{1}}}{\rm{f(}}{{\rm{t}}_{\rm{2}}}{\rm{) }}$molécules n’ayant pas subi de premier choc, soit ${{\rm{N}}_{\rm{0}}}{\rm{f(}}{{\rm{t}}_{\rm{1}}}{\rm{)f(}}{{\rm{t}}_{\rm{2}}}{\rm{) }}$mais c’est aussi ${{\rm{N}}_{\rm{0}}}{\rm{f(}}{{\rm{t}}_{\rm{1}}}{\rm{ + }}{{\rm{t}}_{\rm{2}}}{\rm{) }}$d’où ${\rm{f(}}{{\rm{t}}_{\rm{1}}}{\rm{ + }}{{\rm{t}}_{\rm{2}}}{\rm{) = f(}}{{\rm{t}}_{\rm{1}}}{\rm{)f(}}{{\rm{t}}_{\rm{2}}}{\rm{)}}$
$f(t + dt) = f(t)f(dt) = f(t)(f(0) + {\left( {\frac{{df}}{{dt}}} \right)_0}dt)$
f(0) = 1; on pose $\frac{1}{{\rm T}} = - {\left( {\frac{{df}}{{dt}}} \right)_0}$; le signe moins traduit la décroissance de f(t) dans le temps; ${\rm T}$ est une grandeur positive; d’où $f(t + dt) = f(t)(1 - dt/{\rm T})$ soit $df = - f(t)dt/{\rm T}$; par intégration $f(t) = f(0){e^{ - t/{\rm T}}}$; comme f(0) = 1, on trouve $f(t) = f(0){e^{ - t/{\rm T}}}$
La durée de vie moyenne sans premier choc est $\left\langle t \right\rangle = \int\limits_0^\infty {tdf(t)} $; une intégration par parties donne $\left\langle t \right\rangle = {\rm T}$ ce qui donne la signification physique de la constante ${\rm T}$ introduite.
On en déduit $P(t) = {e^{ - t/{\rm T}}}/{\rm T}$
Le nombre d’atomes qui subissent un premier choc entre t et t+dt est $\left| {dN(t)} \right| = \frac{{{N_0}}}{{\rm T}}{e^{ - t/{\rm T}}}dt$.
5.6) Le champ magnétique statique est nul; de ce fait $\nu = 0$.
Pour t < tchoc $x = 0,\quad y = {y_0}{e^{ - t/2\tau }}\sin {\omega _0}t,\quad z = 0$
Pour t > tchoc la dépolarisation est totale:
${\vec r_ + } = \frac{A}{2}{e^{ - t/2\tau }}( + \cos ({\omega _0}t - {\phi _1})t\;{\vec e_x} + \sin ({\omega _0}t - {\phi _1})t\;{\vec e_y})$ ${\vec r_ - } = \frac{A}{2}{e^{ - t/2\tau }}( - \cos ({\omega _0}t - {\phi _2})t\;{\vec e_x} + \sin ({\omega _0}t - {\phi _2})t\;{\vec e_y})$
${\vec r_z} = B{e^{ - t/2\tau }}\sin ({\omega _0}t - {\phi _3}){\vec e_z}$; dans ces expressions, ${\phi _{1,}}\;{\phi _2},\;{\phi _3}$ sont des valeurs inconnues fixées lors du premier choc subi, qui changent à chaque choc ultérieur subi, à amplitudes constantes, puisque la dépolarisation est déjà effectuée.
Les trois modes ${\vec r_ + },{\vec r_ - },{\vec r_z}$ ont des énergies mécaniques respectives:
$\frac{1}{2}\alpha \vec r_ + ^2 + \frac{1}{2}m\vec r_ + ^2 = m\omega _0^2{\left( {\frac{A}{2}} \right)^2}{e^{ - t/\tau }}$, $\frac{1}{2}\alpha \vec r_ - ^2 + \frac{1}{2}m\vec r_ - ^2 = m\omega _0^2{\left( {\frac{A}{2}} \right)^2}{e^{ - t/\tau }}$, $\frac{1}{2}\alpha \vec r_z^2 + \frac{1}{2}m\vec r_z^2 = \frac{1}{2}m\omega _0^2{B^2}{e^{ - t/\tau }}$ ; le mode initial avait l’énergie $\frac{1}{2}\alpha {y^2} + \frac{1}{2}m{\dot y^2} = \frac{1}{2}m\omega _0^2y_0^2{e^{ - t/\tau }}$; par hypothèse, lors du choc, l’énergie de l’atome se conserve: $2{(A/2)^2} + 2{(A/2)^2} + {B^2} = y_0^2$
et il se produit la dépolarisation totale $2{(A/2)^2} = 2{(A/2)^2} = {B^2} = y_0^2/3$ d’où $A = \sqrt {2/3} {y_0}$ et $x = \sqrt {2/3} {y_0}{e^{ - t/2\tau }}\sin (\Delta \phi /2)\sin ({\omega _0}t - \varphi )$
$y = \sqrt {2/3} {y_0}{e^{ - t/2\tau }}\cos (\Delta \phi /2)\sin ({\omega _0}t - \varphi )$ avec $\Delta \phi = {\phi _1} - {\phi _2}\;et\;\varphi = ({\phi _1} + {\phi _2})/2$
La composante selon z’z n’a pas d’importance car un dipôle ne rayonne pas selon la direction de son moment dipolaire et par ailleurs, on observe selon z’z.
L’angle $\Delta \phi $ va varier aléatoirement chaque fois qu’on aura un nouveau choc; avec $2K = \frac{{{\mu _0}}}{c}{\left( {\frac{{e\omega _0^2}}{{4\pi }}} \right)^2}\delta \Omega $, les puissances émises selon Ox et Oy sont $\delta {p_x} = 2K{x^2}$et $\delta {p_y} = 2K{y^2}$; on utilise un récepteur sensible à la puissance moyenne reçue sur quelques périodes ${T_0} = 2\pi /{\omega _0}$, qui ensuite intègre cette puissance sur une longue durée devant T0; on a $\left\langle {\delta {p_x}} \right\rangle = \frac{{2K}}{3}y_0^2{e^{ - t/\tau }}{\sin ^2}(\Delta \phi /2)$ et $\left\langle {\delta {p_y}} \right\rangle = \frac{{2K}}{3}y_0^2{e^{ - t/\tau }}{\cos ^2}(\Delta \phi /2)$
${W_x} = \frac{{2K}}{3}y_0^2{\sin ^2}(\Delta \phi /2)\int\limits_{u = t}^\infty {{e^{ - u/\tau }}} du$
${W_y} = Ky_0^2\int\limits_{u = 0}^t {{e^{ - u/\tau }}} du + \frac{{2K}}{3}y_0^2{\cos ^2}(\Delta \phi /2)\int\limits_{u = t}^\infty {{e^{ - u/\tau }}} du$ (en appelant t la date du premier choc)
Par intégration ${W_x} = \frac{{2K}}{3}y_0^2\tau {e^{ - t/\tau }}{\sin ^2}(\Delta \phi /2)$ et ${W_y} = Ky_0^2\tau \left[ {(1 - {e^{ - t/\tau }}) + \frac{2}{3}{e^{ - t/\tau }}{{\cos }^2}(\Delta \phi /2)} \right]$
Ensuite $\Delta \phi $ varie aléatoirement tous les temps ${\rm T}$ (à chaque choc ultérieur, sans modification des amplitudes); pour t >> ${\rm T}$, on moyenne sur toutes les valeurs possibles de $\Delta \phi $; on obtient ${W_x} = \frac{K}{3}y_0^2\tau {e^{ - t/\tau }}$ et ${W_y} = \frac{K}{3}y_0^2\tau (3 - 2{e^{ - t/\tau }})$ et ${W_x}/{W_y} = {e^{ - t/\tau }}/(3 - 2{e^{ - t/\tau }})$
On peut résumer en disant que ${\vec r_ + },{\vec r_ - }$ créent ${\vec E_ + },{\vec E_ - }$ qui leurs sont parallèles; ces deux vibrations circulaires se recomposent en une vibration rectiligne de direction fixe entre deux chocs (angle $\Delta \phi $/2, noté $\phi $ avec Oy) qui transporte les 2/3 de l’énergie disponible; alors (loi de Malus) après choc ${W_y}\alpha \frac{2}{3}{\cos ^2}\phi \int\limits_{u = t}^\infty {{e^{ - u/\tau }}} du$ et ${W_x}\alpha \frac{2}{3}{\sin ^2}\phi \int\limits_{u = t}^\infty {{e^{ - u/\tau }}} du$; après moyenne sur l’angle $\phi $ aléatoire, on retrouve $\frac{{{W_x}}}{{{W_y}}} = \frac{{\frac{1}{3}\int\limits_{u = t}^\infty {{e^{ - u/\tau }}du} }}{{\int\limits_{u = 0}^t {{e^{ - u/\tau }}du + \frac{1}{3}\int\limits_{u = t}^\infty {{e^{ - u/\tau }}du} } }} = \frac{{{e^{ - t/\tau }}}}{{3 - 2{e^{ - t/\tau }}}}$
5.8) A.N.: selon 4.2° $\tau = {4,8.10^{ - 9}}s$ et selon 5.4° ${\rm T} = {2,6.10^{ - 7}}s$ ${\rm{P = 0}}{\rm{,99}}$; forcément P est peu différent de l’unité car ${\rm T} > > \tau $. Selon 4.6° $\tau = {3,5.10^{ - 6}}s$ et alors ${\rm{P = 0}}{\rm{,10}}$; le premier résultat est inexact car la valeur théorique de $\tau $ ne peut s’établir valablement sans la mécanique quantique; seule la valeur expérimentale de $\tau $ doit être retenue; le second résultat semble correct car on utilise la valeur de $\tau $ obtenue expérimentalement en 4.6° dans les conditions où tout autre effet que la dépolarisation par champ magnétique est négligeable, en particulier la dépolarisation par choc (en se plaçant à très basse pression par exemple).
En conclusion, on voit que les chocs exercent un fort pouvoir dépolarisant.
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