Concours Physique ENSAM 1993 (Énoncé)

SESSION 1993
Electricité ‑ Optique ‑ Mécanique
Option T ‑ Durée : 4 heures
INDICATIONS GENERALES
L'épreuve comporte 2 problèmes indépendants qui devront être traités sur des copies séparées.
Barème indicatif sur 20 points:
Electricité 13 points
Optique 7 points
L'usage du papier millimétré est exclu.
Les candidats respecteront scrupuleusement les notations des énoncés.
ELECTRICITE
Les 2 parties sont indépendantes.

PREMIERE PARTIE Calculs de champs magnétiques.
1.1 Etant donné un circuit filiforme (C) orienté, parcouru par un courant permanent d'intensité I, placé dans le vide (ou dans l'air), exprimer la contribution élémentaire dB associée à un élément dl du circuit (C) permettant de calculer le champ magnétique $\vec B$ créé en un point M de l'espace.
Donner 2 expressions du module dB =|d$\vec B$| dont l'une utilise l'angle élémentaire dα sous lequel du point M, on voit cet élément.
1.2 Déterminer le champ magnétique $\vec B$ créé en un point A par la partie rectiligne CD d'un circuit parcouru par un courant I (fig. E1). Exprimer le module B = |$\vec B$| à l'aide des angles α1 et α2 et de la distance a = HA. Calculer la valeur numérique de B avec I = 100A, a = b = 8,65 cm, c = 5cm.
1.3 Préciser la direction et le sens du champ magnétique $\vec B$ créé en un point A de son plan par un circuit carré CDEF (fig. E2) parcouru par un courant I. Calculer la valeur numérique du module B si I = 100 A, b = 8,65 cm, c = 5 cm.
1.4 Déterminer le vecteur $\vec B$ créé par une spire circulaire (C) de rayon R parcourue par un courant I, en un point A de son axe situé à une distance OA = h de son centre O (fig. E3). Exprimer le module B = |$\vec B$| à l'aide de l'angle γ; donner sa valeur particulière au centre O de la spire. Calculer numériquement B pour I = 100 A, R = 10 cm et successivement h = 0 et h = 2,5 cm.
1.5 Une plaque de cuisson par induction utilise une bobine plate de rayon intérieur R1, de rayon extérieur R2 formée d'un conducteur enroulé en spirale à spires jointives. On assimile d'abord cette bobine plate à un ensemble de N spires concentriques parcourues par le même courant I (fig. E4).
1.5.1 En admettant l'équivalence avec une répartition continue de spires, exprimer la densité radiale de courant équivalente λ en relation avec I.
1.5.2 Déterminer le vecteur $\vec B$ au centre O de la bobine; donner l'expression du module B = |$\vec B$| et
calculer sa valeur numérique avec R1 = 2,5 cm, R2 = 10 cm, N = 25 spires, I = 24 A.
1.5.3 Déterminer le vecteur $\vec B$ en un point A de l'axe de la bobine à une distance OA = h de son centre O (fig. E5); on exprimera le module B = |$\vec B$| en fonction des valeurs extrêmes γ1 et γ2 de γ. On rappelle que $\int{\frac{dx}{\cos x}}=\ln \left| \tan \left( \frac{x}{2}+\frac{\Pi }{4} \right) \right|$ . Calculer la valeur numérique de B avec les valeurs du 1.5.2 et h = 2,5 cm.
1.6 On considère maintenant la bobine plate comme une spirale d'équation R = RI + aθ parcourue par un courant I (fig. E6); déterminer le vecteur $\vec B$ au centre O de la bobine. Calculer la valeur numérique du module B = |$\vec B$| au centre O de la spirale avec I = 24 A et R = R1 = 2,5 cm pour θ = 0 associé à R = R2 = 10 cm après 25 tours complets.

DEUXIEME PARTIE: Application des équations de Maxwell.
2.1 Rappeler les équations de Maxwell dans le vide en présence d'une distribution permanente de courant caractérisée en chaque point par un vecteur densité de courant ${\rm{\vec j}}$ . Dans la suite du problème on considère un métal assimilable à un milieu idéal isotrope ayant les propriétés électrostatiques et magnétiques du vide et présentant en chaque point une densité volumique de charge ρ = 0 et une densité de courant de conduction ${\rm{\vec j}}$ = γ$\vec E$ ( γ conductivité du métal).
Le métal occupe le demi‑espace z > 0; on se propose d'étudier la pénétration d'ondes planes électromagnétiques sinusoïdales de pulsation ω suivant la direction oz (fig. E7). A la surface z = 0) de ce milieu conducteur, Ox porte le vecteur champ électrique ${\vec E_0}$ et Oy porte le vecteur excitation magnétique ${\vec H_0}$; on admettra que les vecteurs $\vec E$ et $\vec H$ conservent une direction constante à l'intérieur du conducteur.

2.2 Ecrire les équations de Maxwell concernant $\vec E$ et $\vec H$ dans le milieu conducteur;
vérifier que div $\vec E$ = 0 et div $\vec H$ = 0.
2.3 On recherche pour les champs des solutions de la forme
$E\left( {{\rm{z}}{\rm{,t}}} \right) = E\left( {\rm{z}} \right)\cos \left( {\omega {\rm{t}} - k{\rm{z}}} \right)$
et $H\left( {{\rm{z}}{\rm{,t}}} \right) = H\left( {\rm{z}} \right)\cos \left( {\omega {\rm{t}} - k{\rm{z}} + \varphi } \right)$
dans lesquelles on veut déterminer $E\left( {\rm{z}} \right)$, $H\left( {\rm{z}} \right)$ et ϕ. On suppose connu $E\left( {{\rm{z}}{\rm{,t}}} \right)$ = Eo pour z = 0 et t = 0.
2.3.1 En appliquant les équations de Maxwell du 2.2 aux formes associées
${\rm{E}}\left( {{\rm{z}}{\rm{,t}}} \right) = E\left( {\rm{z}} \right){e^{j\left( {\omega {\rm{t}} - k{\rm{z}}} \right)}}$
et ${\rm{H}}\left( {{\rm{z}}{\rm{,t}}} \right) = H\left( {\rm{z}} \right){e^{j\varphi }}{e^{j\left( {\omega {\rm{t}} - k{\rm{z}}} \right)}}$
et après simplification tenant compte de la valeur de $\frac{\gamma }{{{\varepsilon _o}\omega }}$ pour le cuivre (γ = 6 x 107 Ω-1.m-l, ε0 = 8,85 x 10‑12 F m-1) à la fréquence f = 30 kHz, montrer qu'on obtient 2 équations différentielles reliant E(z) et H(z) (certains coefficients sont complexes).
2.3.2 En déduire l'équation différentielle régissant E(z) puis la solution E(z) et la valeur de k en fonction de γ, µ0, ω .
2.3.3 Expliciter alors E(z, t) et H(z, t) en précisant la valeur de ϕ. Quelle est la vitesse de propagation u de l'onde dans le milieu conducteur ?
2.3.4 On pose $\delta = \frac{1}{k}$. Quelle est la dimension physique de δ ? Quelle interprétation simple peut‑on en donner ?
Exprimer u et δ en fonction de ω, γ et µ0 .
Application numérique: f = 30 kHz
‑ pour le cuivre γ = 6 x 107 Ω-1.m-l et µo = 4Π 10‑7 H.m-1.
Comparer à la valeur trouvée pour un acier de conductivité γ = 2 x 106 Ω-1.m-l et pour lequel on admet que la perméabilité magnétique est µ =100 µ0 .
2.4 Comment varie la densité de courant j à l'intérieur du milieu conducteur ?
(on appellera JO l'amplitude de la densité de courant à la surface du conducteur)
Déterminer la puissance P dissipée par effet Joule dans un volume de conducteur correspondant à un parallélépipède rectangle de base OABC (OC = AB = a, OA = CB = b) et de hauteur infinie suivant Oz (fig. E8).
Montrer que la puissance par unité de surface $\frac{P}{{ab}}$ s'exprime simplement, soit en fonction de Eo, γ et δ, soit en fonction de Ho, γ et δ (on appelle Ho la valeur de H(z, t) pour z = O et t = O ).
2.5 Quelle devrait être la hauteur e d'un parallélépipède rectangle de base OABC soumis à une densité de courant d'amplitude constante Jo pour que la puissance dissipée par effet Joule y soit la même que celle obtenue au 2.4 ?
2.6 Montrer que l'on peut obtenir la puissance par unité de surface $\frac{P}{{ab}}$ calculée au 2.4 à l'aide du vecteur de Poynting.

OPTIQUE

$1$ Soit le prisme de sommets A B et C, d'angles α et β, représenté sur la figure O1. Un rayon lumineux situé dans le plan de section principale et issu d'une source monochromatique de longueur d'onde λ, pénètre dans le prisme par la face AB, sous un angle d'incidence θil Soit n (avec n>1), l'indice de réfraction relatif du prisme par rapport au milieu dans lequel il est placé, à la longueur d'onde λ de la radiation incidente.
1.1 Dessiner le cheminement du rayon à travers le prisme. Faire apparaître en particulier l'angle de déviation δ entre le rayon incident représenté sur la figure O1 et le rayon émergent du prisme.
NB: Utiliser la notation suivante: θtl pour l'angle de réfraction sur la face AB du prisme; θi2 pour l'angle d'incidence sur la face AC; θt2 pour l'angle de réfraction sur la face AC. Dans cette notation, l'indice i correspond à 'incident', t à 'transmis'; l'indice 1 correspond à la face AB, 2 à la face AC, 3 à la face BC.
1.2 Donner la relation entre α, θtl et θi2 .
Donner les valeurs limites pour θil, θtl, θi2 et θt2 dans le cas de la figure O1 avec α voisin de 60°.
1.3 A partir de la relation entre α, θtl et θi2, déduire la condition sur α pour laquelle le rayon ne peut pas émerger de la face AC d'un prisme d'indice n et ceci, quel que soit l'angle d'incidence α, θi1 .
On appelle Γ l'angle tel que $\sin \Gamma = \frac{1}{n}$ avec $0 \le \Gamma \le \frac{\Pi }{2}$ .
A.N.: n = 1,5.
1.4 Quelle est la condition sur θi1 pour que le rayon puisse émerger dans le cas où n=1,5 et α = 60° ?
1.5 Calculer l'angle de déviation δ pour les valeurs particulières suivantes: n = 1,5 et θi1 = 30°, α = 60°.
1.6 Trouver la condition sur θi1 pour laquelle la déviation δ passe par un extremum. On admettra que cet extremum est un minimum.
Quelle est la déviation minimale pour un prisme d'indice n = 1,5 et α = 60°.
$2$ On considère le cas particulier d'un prisme avec β = 90° et on s'intéresse aux rayons qui entrent par la face AB, subissent une réflexion totale sur la face AC et émergent par la face BC. Soit θt3 l'angle entre le rayon émergent et la normale à la face BC.
2.1 Quelle est la condition sur α pour qu'un rayon lumineux arrivant perpendiculairement à la face AB, subisse effectivement une réflexion totale sur la face AC ?
2.2 Quelle est la valeur de θt3 si le rayon incident est normal à la face AB ?
2.3 Déterminer la variation Δθt3 de l'angle θt3 causée par une variation Δθi1 de l'angle d'incidence au voisinage de l'incidence normale.
2.4 Soit un rayon arrivant sur la face AB sous une faible incidence (θi1 petit mais différent de 0). Exprimer l'angle θt3 en fonction de n, α et θi1
A quelle condition l'angle θt3 est‑il indépendant de la longueur d'onde de la radiation incidente pour une incidence voisine de la normale ?

$3$ On considère maintenant un prisme de petits angles α et β avec α= β.
3.1 Donner une expression simplifiée pour l'angle de déviation δ subie par un rayon entrant par la face AB sous un petit angle d'incidence et sortant par la face AC.
3.2 Une source linéaire, normale au plan de figure, placée à une distance h de la face AB (Figure 02), à égale distance des sommets A et B, envoie sur le prisme une radiation monochromatique de longueur d'onde λ.
Montrer par une construction graphique, que dans cette configuration, on obtient un champ d'interférences à la sortie du prisme. Un écran est placé à droite du sommet C, à la distance d de celui‑ci, parallèlement à la face AB. Faire apparaître en particulier les 2 sources virtuelles S1 et S2 d'où semblent provenir les ondes qui interfèrent.
Dans les questions qui suivent, prendre pour les applications numériques: n=1,5, h=0,5m, α=2°, λ=0,61µm, d=0,5m.
3.3 Décrire les franges formées (orientation et forme) sur l'écran.
Exprimer la distance a entre les sources S1 et S2 en fonction de n, h et α.
Calculer a en mm.
3.4 Exprimer l'interfrange i sur l'écran en fonction de la longueur d'onde de la radiation émise par la source S.
Calculer i en µm et donner le résultat à 1 µm près.
Quel est le nombre N de franges brillantes apparaissant sur l'écran ?
3.5 On place, sur la moitié inférieure de la face AB du prisme, une lame à faces parallèles d'épaisseur e = 0,01 mm et d'indice de réfraction n1.
Déterminer la direction de déplacement des franges et donner la relation permettant de calculer ce déplacement.
Sachant que la lame provoque un déplacement des franges de 0,25 mm $ \pm $ 0,01 mm, trouver l'indice de réfraction de la lame et la précision en % sur la valeur de l'indice.

Concours Physique ENSAM Thermodynamique-Chimie 1992 (Énoncé)

THERMODYNAMIQUE ‑ CHIMIE
OPTION T
(Durée 4 heures)
Ce sujet comporte une épreuve de thermodynamique et une épreuve de chimie, notées chacune sur 10 points. Les candidats devront obligatoirement traiter chaque partie sur des feuilles de copies et des feuilles intercalaires séparées et convenablement repérées. Ils devront respecter les notations du texte.
THERMODYNAMIQUE
L'étude proposée est celle d'une centrale mixte, comportant un cycle à vapeur, dont la source chaude est un échangeur, récupérant l'énergie thermique des gaz d'échappement de trois turbines à gaz. Le schéma général de l'installation, ainsi que des informations complémentaires sont présentées à la figure 1.
Les questions 1, 2 et 3 sont indépendantes. Seule la question 4 nécessite d'avoir traité les questions précédentes. Le diagramme de Mollier donné en annexe sera rendu.
PE : pompe d'extraction TG : turbine à gaz
PR : pompe de reprise TV : turbine à vapeur
C : compresseur A1 : alternateur
Les évolutions dans PE, PR, C, TG et TV sont supposées être adiabatiques.
Cd : condenseur Rh: réchauffeur
Ec : échangeur A2: alternateur
CH : chambre de combustion
On suppose que dans Ec et Rh, les échanges thermiques avec le milieu extérieur sont nuls, et que dans Cd, Ec, CH et Rh les évolutions sont isobares.

Le rendement d'un alternateur ${\eta _{{\rm{al}}}}$ est défini par:
${\eta _{{\rm{al}}}} = \frac{{{P_e}}}{{{P_a}}} = \frac{{\text{Puissance}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}\text{électrique}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}\text{fournie}}}{{\text{Puissance}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}\text{mécanique}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}\left( {\text{ou}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}\text{sur}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}\text{l'arbre}} \right)}}$
Le rendement mécanique ${\eta _m}$ d'une machine est défini en comparant les puissances indiquée et mécanique (ou sur l'arbre) de telle sorte que:
pour une machine de compression (compresseur ou pompe):
${\eta _{mC}} = \frac{{{P_i}}}{{{P_a}}} = \frac{{\text{Puissance}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}\text{indiquée}}}{{\text{Puissance}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}\text{mécanique}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}\left( {\text{ou}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}\text{sur}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}\text{l'arbre}} \right)}}$
pour une machine de détente (turbine):
${\eta _{mT}} = \frac{{{P_a}}}{{{P_i}}} = \frac{{\text{Puissance}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}\text{mécanique}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}\left( {\text{ou}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}\text{sur}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}\text{l'arbre}} \right)}}{{\text{Puissance}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}\text{indiquée}}}$
Le rendement indiqué isentropique ${\eta _{is}}$ (ou rendement par rapport à l'isentropique) est défini en comparant la variation d'enthalpie massique de l'évolution réelle (hréelle) à la variation d'enthalpie de l'évolution (fictive) isentro­pique: (hisentropique) de telle sorte que:
pour une machine de compression : ${\eta _{isC}} = \frac{{\Delta {h_{isentropique}}}}{{\Delta {h_{réelle}}}}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}ou\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}\frac{{\Delta {h_i}}}{{\Delta {h_r}}}$
pour une machine de détente (turbine) : ${\eta _{isT}} = \frac{{\Delta {h_{réelle}}}}{{\Delta {h_{isentropique}}}}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}ou\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}\frac{{\Delta {h_r}}}{{\Delta {h_i}}}$
Données et hypothèses d'étude:
Dans toute l'étude, on néglige les variations d'énergie cinétique et d'énergie potentielle de situation. Les évolutions dans les conduites de liaison sont supposées isobares, isothermes et adiabatiques. Les débits sont supposés permanents. On appelle groupe à gaz, l'ensemble: A2 + C + CH + TG.

On adopte les notations suivantes:
p: pression
t: température en degrés Celsius (°C)
T: température en degrés Kelvin (°K) avec: T = t + 273
h: enthalpie massique (les résultats pourront être donnés en kcal/kg)
s: entropie massique
qm : débit masse en kilogrammes par seconde (kg/s)
W: travail massique en Joules par kilogramme (J/kg)
qm.W = P: puissance en watts (W)
Entre l'entrée 1 du compresseur C et la sortie 5 de l'échangeur Ec, circule un fluide (air puis gaz de combustion) de débit masse q supposé constant, et assimilé à un gaz parfait de caractéristiques:
Cp = 1 kJ.kg-1.°K-1 et = 1,4 avec
Cp : chaleur massique à pression constante
: rapport des chaleurs massiques à pression constante et à volume constant.
La chaleur disponible des gaz de combustion (à la sortie de la turbine à gaz TG) sert de source chaude pour l'autre cycle moteur. Le fluide passe de l'état liquide en G à l'état vapeur en D. Ce fluide est de l'eau, dont on pourra relever divers paramètres sur le diagramme de Mollier donné figure 2 et en annexe. Par exemple, à l'intersection de l'isobare 23 bar et de l'isotherme 440°C, on lit: h = 3325 kJ/kg (kilojoules par kilogramme).
Ce diagramme ne donnant pas les enthalpies en phase liquide, l'enthalpie massique pour la phase liquide sera déterminée par la relation:
h = c.t avec c = 1 kcal.kg-1.°C-1 , t en °C et h en kcal.kg-1
On rappelle que : 1 calorie (cal) = 4,18 joules (J).
On prendra comme température de changement de phase liquide vapeur pour l'eau à 0,08 bar: 41°C
p1 = p4 = 1 bar, t1 = 15°C, t3 = 935 °C, p3 = P2, t4 = 485 °C, t5 = 220 °C
Chaque chambre de combustion CH fournit une puissance thermique de 270 MW.
Chaque alternateur A2 délivre une puissance électrique de 76 MW.
PG = PD = 23 bar, tD = 440 °C, tG = 110 °C, PE = PA = 0,08 bars, $q_m^*$ = 110,5 kg/s
L'alternateur A1 délivre une puissance électrique de 97 MW.
Au cours de la traversée d'une pompe, le liquide subit une variation isotherme de pression.

1°) Préliminaire.
1‑1 Donner en fonction de Cp et l'expression littérale, puis la valeur numérique de la constante r (ramenée à l'unité de masse) intervenant dans l'équation d'état du gaz parfait en évolution de 1 à 5; préciser les unités.
1‑2 Calculer le rendement global de cette installation (utilisée pour produire de l'électricité).
2°) Etude d'un groupe à gaz.
2‑1 Calculer le rendement global d'un groupe à gaz.
2‑2 Calculer le débit masse qm (en kg/s) d'un groupe. (Après avoir donné le résultat exact, on arrondira au nombre entier de centaines le plus proche pour continuer la question).
2‑3 Déterminer la température t2; (donner le résultat en °C et en °K).
2‑4 Sachant que le rendement de l'alternateur A2 est égal à: ${\eta _{{\rm{al}}}}$ = 0,95 calculer la puissance mécanique (ou sur l'arbre) nécessaire pour l'entraîner.
2‑5 La turbine TG et le compresseur C ont le même rendement mécanique (noté ${\eta _m}$); calculer ${\eta _m}$ (on arrondira au 3 chiffre après la virgule).
2‑6 Représenter qualitativement dans un diagramme (T,s), les évolutions du fluide entre les points 1 et 4; on pourra y faire figurer les évolutions (fictives) de compression et détente adiabatique réversible.
2‑7 Le compresseur C et la turbine TG ont le même rendement indiqué isentropique (noté ${\eta _{is}}$). Calculer la pression p2 = p3 et la valeur de ${\eta _{is}}$ .
On pourra poser pour faciliter les calculs: $\lambda = {\left( {\frac{{{p_2}}}{{{p_1}}}} \right)^{\frac{{\gamma - 1}}{\gamma }}} = {\left( {\frac{{{p_3}}}{{{p_4}}}} \right)^{\frac{{\gamma - 1}}{\gamma }}}$.

3°) Etude du groupe à vapeur.
Le rendement de l'alternateur A1 est égal à ${\eta _{al}}$ = 0,95 , et le rendement mécanique de la turbine TV est égal à ${\eta _{mT}}$ = 0,99.
3‑1 Calculer numériquement la valeur absolue du travail indiqué |Wi| par kilogramme de vapeur provenant de l'échangeur Ec et se détendant dans la turbine TV.
Au cours de la détente dans la turbine TV, une partie de la vapeur est prélevée (on dit également: soutirée) en F. Cette vapeur se refroidit puis se condense dans le réchauffeur Rh. La chaleur disponible est utilisée pour élever la température de la phase liquide de tA à tG. On appelle m (0 < m < 1) la fraction massique soutirée en F; le débit masse qui effectue l'évolution F G est donc m.$q_m^*$ et celui effectuant l'évolution E A G est (1 - m).$q_m^*$. Les deux liquides sortant du réchauffeur Rh avec la même température se mélangent en G. L'égalité des pressions est assurée par les pompes PE et PR.
3‑2 Etablir sous forme littérale l'équation caractéristique traduisant le bilan thermique du réchauffeur Rh.
3‑3 En appliquant le premier principe de la thermodynamique au transvasement dans la turbine TV, donner l'expression de la valeur absolue du travail indiqué massique |Wi| pour un kilogramme de vapeur arrivant en D.
3‑4 Le prélèvement de vapeur ou soutirage est caractérisé par la relation: (hD ‑ hF) = (hF ‑ hE); en déduire la valeur numérique de m.
3‑5 Déduire du calcul précédent les valeurs numériques de hF et hE.
3‑6 Tracer l'évolution D E sur le diagramme de Mollier donné en annexe et en déduire par lecture la valeur du titre x de la vapeur en E.
3‑7 Calculer la valeur du rendement indiqué isentropique ${\eta _{isT}}$ de la turbine TV.
Le condenseur Cd est refroidi par un débit masse qo d'eau prélevé dans une rivière. Pour des raisons d'écologie, on limite l'échauffement de l'eau de refroidissement à la valeur t = 5°C.
3‑8 Calculer le débit volume d'eau qo nécessaire. (Les échanges thermiques sont sensés se faire intégralement; la capacité calorifique de l'eau est égale à 1 kcal.kg-1.°C-1 ; eau = 1000 kg/m3 .
4°) Conclusion.
4‑1 Vérifier (aux inévitables dispersions numériques près) le premier principe appliqué à la totalité de l'installation; (On néglige en première approximation l'énergie absorbée par les pompes PE et PR).
PE : pompe d'extraction Cd : condenseur
PR : pompe de reprise Ec : échangeur
C : compresseur CH : chambre de combustion
TG : turbine à gaz Rh : réchauffeur
TV : turbine à vapeur A2 : alternateur
A1 : alternateur

CHIMIE

Pour attaquer et dissoudre le cuivre des circuits imprimés pour l'électronique, on utilise une solution aqueuse de chlorure ferrique de densité d = 1,45, à 42% massique de FeCl3.
On donne les masses atomiques des éléments (en gxmol-1 ):
Fe: 55,85 ; Cu: 63,54 ; Cl: 35,45.
1‑ Calculer la concentration en mole.l-1 de cette solution.
2‑ On se propose de préciser le mécanisme de cette attaque à 20 °C.
2.1‑ On connaît les potentiels standards des couples suivants:
$F{e_{sol}}/F{e^{2 + }}: - 0,44V$ $F{e^{2 + }}/F{e^{3 + }}:0,77V$ $C{u_{sol}}/C{u^{2 + }}:0,34V$
( l'indice sol indique une phase solide ).
Si l'on suppose que les seules espèces chimiques en jeu sont pour le fer au n.o.2 : Fe2+ , pour le fer au n.o.3 : Fe3+ , pour le cuivre au n.o.O : Cu et pour le cuivre au n.o.2 : Cu2+ ( n.o. représente le nombre d'oxydation, écrire et justifier le schéma réactionnel de l'attaque.
2.2‑ Les 2 faces des circuits sont recouvertes de cuivre d'épaisseur 35.10-3 mm. Quel est le rendement de l'attaque, c'est-à-dire la surface de circuit livrable par unité de volume de réactif ( en dm2.l-1)?
On supposera que la réaction se déroule jusqu'à 70% de la réaction totale
On donne la masse volumique du cuivre: 8900 kg.m-3.

3‑ Le cuivre existe au n.o.1 ( cuivreux ), par exemple dans l'espèce Cu+ . On donne le potentiel standard de$C{u_{sol}}/C{u^ + }$: 0,52 V.
Pourquoi Cu+ ne peut-il pas apparaître dans l'attaque ?
4‑ Le chlorure ferrique est hydrolysé en solution aqueuse car l'hydroxyde a un produit de solubilité Ks tel que: pKs = 37,2.
( on rappelle la notation pX = ‑ log X ; logarithme à base 10 noté: log ).
4.1‑ Quel est le graphe de variation du potentiel normal du couple Fe n.o.2 / Fe n.o.3 en fonction du pH ?
4.2‑ La solution a un pH de 3, calculer le potentiel de ce dernier couple dans cette solution.
5‑ Le cuivre au n.o.1 est complexé en milieu concentré en chlorures, suivant le schéma:
$CuC{l_2}^ - \leftrightarrows Cu+ + 2 Cl^- \text{         } pKc = 4,9$
5.1‑ Quelle est l'évolution du potentiel normal du couple Cusol / Cu n.o.1, en fonction de pCl ?
5.2‑ Comment évolue le potentiel normal du couple Cu n.o.1 / Cu n.o.2 en fonction de pCl ?
5.3‑ Comment peut-on écrire la réaction sur le cuivre de la solution de Fe n.o.3 à pH = 3 et pour la concentration en chlorures indiquée au début.
5.4‑ En quoi ce résultat modifie-t-il le rendement ?

6‑ Dans une machine, la gravure du cuivre se fait par aspersion du circuit imprimé par un jet de solution provenant d'une pompe à débit constant.
La vitesse de dissolution de la couche de cuivre est telle que le cuivre disparaît à 20 °C en 5 mn 10 s.
Si l'on admet que l'enthalpie molaire de dissolution est de 58 kJ.mol-1 , quelle sera la durée de dissolution à 35 °C ?

Concours Physique ENSAM 1992 (Énoncé)

Electricité ‑ Optique ‑ Mécanique
(Options T et TA) Durée 4 heures
INDICATIONS GENERALES
L'épreuve comporte trois problèmes indépendants qui devront être traités sur des copies séparées.
Barème indicatif sur 20 points
Electricité 10 points
Optique 5 points
Mécanique 5 points
Les divers graphes demandés seront représentés sur les feuilles de copie ; l'usage du papier millimétré est exclu.
Les candidats respecteront scrupuleusement les notations des énoncés.
ELECTRICITE
Le problème suivant traite des propriétés d'un semi‑conducteur, le silicium, et de la modélisation d'une jonction PN réalisée à partir de silicium ; il ne nécessite aucune autre connaissance sur les semi-conducteurs que celles qui sont indiquées dans l'énoncé. La résolution littérale des trois parties peut être menée de manière indépendante, par contre les applications numériques font appel à des données réparties dans tout l'énoncé.

Première Partie : Mise en évidence de quelques ordres de grandeur.
Pour réaliser du silicium de "type N", on a incorporé à du silicium pur, du phosphore, à raison de ND = 1,5 1021 atomes de phosphore par m3 de silicium ; pour réaliser du silicium de "type P", on a incorporé à du silicium pur, du bore, à raison de NA = 3 1023 atomes de bore par m3 de silicium ; on suppose que les atomes de phosphore ou de bore sont régulièrement répartis dans le cristal de silicium.
DETERMINER
1.1 ‑ Pour le silicium pur le nombre d'atomes par m3
1.2 ‑ Pour un volume donné de silicium de type N le rapport du nombre d'atomes de silicium au nombre d'atomes de phosphore
1.3 ‑ La masse de phosphore à incorporer à l kg de silicium pour obtenir la concentration ND indiquée pour le silicium de type N.
On donne :
Les masses atomiques du silicium et du phosphore :
Si = 28 g.mol-1 , P = 3l g.mol-1
La masse volumique du silicium 2330 kg.m-3
Le nombre d'Avogadro 6,02.1023 mol-1
Deuxième Partie : Calculs de conductivités.
On considère un milieu conducteur homogène dans lequel coexistent 2 types de porteurs de charge régulièrement répartis :
Des porteurs de charge positive +q à raison de p porteurs par m3
Des porteurs de charge négative -q à raison de n porteurs par m3.
Dans ces conditions, $\vec v$ étant la vitesse moyenne d'un porteur de charge soumis à un champ électrique $\vec E$, on définit la mobilité µp des porteurs positifs par $\vec v$ = µp.$\vec E$ et la mobilité µn des porteurs négatifs par $\vec v$ = -µn.$\vec E$.
2.1‑ Exprimer la densité de courant j en un point quelconque de ce milieu homogène soumis à un champ électrique uniforme d'intensité E ; en déduire l'expression de la conductivité de ce milieu en fonction de q, n, p et des mobilités.
2.2 ‑ Calculer numériquement.
2.2.1 ‑ La conductivité n et la résistivité n du silicium de type N en considérant que le phénomène de conduction y est dû uniquement à la présence de n = ND électrons par m3 , ces électrons ayant une charge ‑q = ‑ 1,6 10-19 C et une mobilité µn = 0,15 m3.V-1.s-1.
2.2.2 ‑ La conductivité p et la résistivité p du silicium de type P en considérant que le phénomène de conduction y et dû uniquement à la présence de p = NA porteurs positifs par m3, ces porteurs ayant une charge +q = 1,6 10-19 C et une mobilité µp = 0,05 m3.V-1.s-1.
2.2.3 ‑ La conductivité i et la résistivité i du silicium à l'état pur en considérant que le phénomène de conduction y est dû à la fois à la présence de n = ni électrons par m3 et de p = ni porteurs positifs par m3, tous ces porteurs ayant les caractéristiques précédemment indiquées. On donne ni = 1,5 10 m-3.

Troisième Partie : Modélisation d'une jonction PN.
On suppose associés dans un barreau de section constante S (figure El) du silicium de type N (x > 0) et du silicium de type P (x < 0) obtenus à partir d'un réseau cristallin homogène et continu.
On adopte les hypothèses suivantes :
L'ensemble est au repos c'est‑à‑dire qu'aucune différence de potentiel extérieure ne lui est appliquée.
L'ensemble est à la température ambiante et dans ces conditions tous les atomes de phosphore du silicium de type N ont libéré un électron et sont devenus des ions P+, tous les atomes de bore du silicium de type P ont capté un électron et sont devenus des ions B- .
A l'intérieur d'une "zone de transition" (fig. El) limitée par les abscisses ‑ xp et + xn, il ne subsiste que des ions liés au réseau cristallin, tous les porteurs mobiles ayant quasiment disparu.
A l'extérieur de cette zone de transition, il y a à la fois des ions fixes et des porteurs mobiles régulièrement répartis de manière que la densité volumique totale de charge y soit nulle.
A l'intérieur du barreau, les relations sont obtenues à partir de celles qui s'appliquent dans le vide, en substituant à la permittivité du vide o, la permittivité = o.r avec r = 12 et o = 8,84 10-12 u S.I.
3.1 ‑ Justifier la valeur constante du potentiel dans les zones Si N et Si P (fig. El) à l'extérieur de la zone de transition ; on appellera VN le potentiel de la zone N et VP celui de la zone P.
3.2 ‑ Préciser les valeurs de la densité volumique de charge dans les différentes régions du barreau.
On pourra s'aider d'une représentation graphique.
3.3 ‑ Etudier la répartition du potentiel V et du champ électrique E à l'intérieur de la zone de transition ; en utilisant les conditions aux limites, donner les expressions du champ électrique E et du potentiel V en fonction de l'abscisse x pour chacune des deux parties de la zone de transition.
3.4 ‑ Représenter le champ E et le potentiel V en fonction de x pour l'ensemble du barreau ; justifier la continuité de E et de V pour x = O.
3.5 ‑ En exploitant cette continuité, établir une relation entre ND, NA, Xn et xp ; donner une interprétation de cette relation en invoquant des charges électriques. Exprimer ensuite xn et xp en fonction de , q, ND, NA et Vo = VN ‑ VP.
Exprimer aussi d = xn + xp (on pourra calculer d'abord d2 ).
3.6 ‑ Simplifier les expressions précédentes de xn, xp et d dans l'hypothèse NA » ND et calculer numériquement xn et xp en micromètre avec les valeurs déjà indiquées et Vo = 0,7 V. Commenter ces valeurs numériques.
3.7 ‑ Lorsqu'on relie les zones N et P à une source de tension VR très supérieure à Vo (fig. E2), on peut admettre que l'étude électrostatique précédente reste valable à condition de substituer VR à Vo dans les résultats obtenus ; calculer les valeurs numériques de xn correspondant à VR = 10 V puis VR = 100 V.
3.8 ‑ La représentation du champ électrique E au 3.4 fait apparaître l'existence d'une valeur extrémale EM; exprimer EM en fonction de q, , VR et ND. Calculer sa valeur numérique pour VR = 100 V.
3.9 ‑ Dans le silicium, le champ électrique ne peut dépasser une valeur critique Ecr = 3.10 V.m-1 ; pour quelle valeur de la tension VR, cette valeur critique est‑elle atteinte ?

OPTIQUE
Remarque: La deuxième partie peut être traitée indépendamment de la première.

Première partie ‑ Sur la figure 01, Ll représente une lentille mince convergente, utilisée dans les conditions de Gauss, de foyers F1 et F'l, de distance focale f1 ( ${f_1} = \left| {\overline {{O_1}F{'_1}} } \right|$ ). AB est un disque lumineux de diamètre , centré en H sur l'axe optique de la lentille; H est situé à une distance p du centre 01 de la lentille
($p = \left| {\overline {{O_1}H} } \right|$).
1.1 ‑ Faire la construction géométrique de l'image A'B' de AB formée par la lentille.
1.2 ‑ Soient H' le centre de A'B', ' le diamètre de l'image et p' la distance de Ol à H'. Exprimer p' en fonction de p et f1 ainsi que ' en font ion de , p et f1.
Calculer p' et ' en utilisant les données suivantes =1 cm; f1 = 2,4 cm; p =10 cm. Donner les résultats à 0,01 cm près.
1.3 ‑ On place une deuxième lentille mince convergente L2, de centre 02, de foyers F2 et F'2, à droite de la première comme indiqué sur la figure 02. Les deux lentilles sont séparées par une distance d supérieure à la somme des distances focales.
Faire la construction géométrique de l'image A"B" de AB formée par le système des deux lentilles. (Il n'est pas nécessaire de faire un dessin à l'échelle à partir des valeurs numériques données ci‑après).
1.4 ‑ Soient " le diamètre de l'image A"B", H" son centre et p" la distance de 02 à H". Exprimer p" en fonction de f1, f2, p et d. Exprimer " en fonction de , p', p" et d. Calculer p" et " pour f2 = 7,2 cm, d = 12 cm et les valeurs de , p et f1 données en 1.2.
1.5 ‑ Les deux lentilles Ll et L2 constituent un système optique caractérisé par un 'foyer objet' F et un 'foyer image' F'. Exprimer la distance s entre 02 et F' en fonction de f1, f2 et d. Donner la valeur numérique de s.
1.6 ‑ Comment faudrait-il modifier les positions des deux lentilles de la figure 02 pour que le foyer image du système soit rejeté à l'infini ?
1.7 ‑ Calculer le grandissement du système ainsi obtenu pour un objet se trouvant à l'infini.

Deuxième partie ‑ L'onde (que l'on suppose plane et monochromatique, de longueur d'onde = 0,6 µm) issue du système décrit dans la première partie, constitue le faisceau d'entrée d'un interféromètre de Michelson (Fig. 03). La lame séparatrice LS réfléchit 50% et transmet 50% de la lumière incidente et n'a pas d'autres effets sur l'onde réfléchie ou transmise.
2.1 ‑ Un photodétecteur ponctuel est placé dans le bras N°4 de l'interféromètre. On suppose que les bras 2 et 3 ont la même longueur initiale. Soit x = O la position initiale du miroir M2. On déplace M2 jusqu'à la position x = 1,2 µm.
Représenter graphiquement le signal donné par le détecteur en fonction de la position x du miroir M2.
2.2 ‑ A la place du détecteur représenté sur Fig. 03, on introduit un écran opaque incliné par rapport à la direction de propagation de la lumière. Décrire la distribution de l'intensité lumineuse observée sur l'écran. Est-ce que cette distribution dépend de l'orientation de l'écran ?
2.3 ‑ On introduit maintenant dans l'interféromètre l'onde émise par une source S en forme de fente mince, perpendiculaire au plan du dessin (Fig. 04). S émet une lumière monochromatique à = 0,6 µm; son centre est situé dans le plan de symétrie de l'interféromètre, à une distance 2L du centre C de la lame séparatrice LS. La lame LS est orientée à 45° par rapport à la direction SC. Les miroirs Ml et M2, de centres A et B, placés respectivement à une distance L de la séparatrice sont perpendiculaires entre eux et sont inclinés dans le même sens par rapport aux axes respectifs d'un angle petit (voir figure 04).
L'écran utilisé pour l'observation des franges d'interférence est situé à une distance 2L de la séparatrice. Faire la construction graphique des sources S1 et S2 dont semblent provenir les deux ondes qui se superposent dans le bras contenant l'écran. Soit O le milieu du segment S1S2. (La construction sera facilitée si vous utilisez dans cette construction l'image du miroir M2 par la séparatrice).
2.4 ‑ Exprimer la distance S1S2 en fonction de L et .
Calculer cette distance pour L = 1 m et = 5.10-3 rd .
2.5 ‑ Exprimer la distance de O à l'écran en fonction de L et .
Calculer cette distance.
2.6 ‑ Décrire les franges observées sur l'écran. Exprimer l'interfrange i et donner sa valeur numérique.

MECANIQUE
On étudie divers régimes de fonctionnement d'un dispositif mobile en rotation autour d'un axe horizontal x'x.

Première Partie · Equation générale du fonctionnement.
Le moteur d'entraînement (M) fournit un couple de moment CM(t) par rapport à l'axe x'x (figure Ml).
L'ensemble des éléments en rotation, de moment d'inertie total J par rapport à x'x, oppose un couple de frottement visqueux de moment proportionnel à la vitesse de rotation. Soit F en N.m.s.(rad)-1 la valeur du coefficient de proportionnalité correspondant (résistance mécanique).
Le récepteur mécanique (R) oppose en outre un couple résistant dont le moment Co par rapport à x'x est constant.
On appelle (t) l'angle de rotation définissant à chaque instant la position d'un point M appartenant au rotor du moteur et (t) la vitesse angulaire correspondante (figures Ml et M2).
1.1 ‑ Montrer que la loi de variation (t) s'obtient à partir d'une équation différentielle de la forme :
(1) ${T_1}\frac{{d\Omega }}{{dt}} + \Omega = {\Omega _1}$
Exprimer T et 1 à partir des données littérales : J, F, CM et Co.
1.2 ‑ Le dispositif étant initialement à l'arrêt, on suppose que le moteur applique brutalement à t = 0 un couple de moment CM = 0.50 Nm (figure M3).
Sachant que : J = 4910 g.cm2 , F = 143.10-6 N.m.s.(rad)-1 , Co = 0,48 Nm :
a) Déterminer et représenter graphiquement la loi de variation (t) .
b) Préciser la valeur de (t) à l'instant t' = 3 Tl.
c) A partir de quel instant t" peut-on considérer que la vitesse a atteint une valeur limite ${\Omega _{{{\rm{l}}_1}}}$ constante à moins de 1°/oo près. Préciser la valeur ${\Omega _{{{\rm{l}}_1}}}$ .
Deuxième Partie : Entraînement par moteur électrique.
En réalité, le moteur d'entraînement (M) est du type "à courant continu". Il est commandé par une tension u(t) et le principe de son fonctionnement impose :
CM(t) = A.u(t) ‑ B.(t)
B(t) représente un terme lié à la force contre-électromotrice du moteur.
On se contentera d'appliquer la relation donnée sans avoir à l'interpréter.
2.1 ‑ Etablir l'équation différentielle (2) permettant de déterminer (t) à partir de la tension u(t).
On l'écrira sous la forme :
(2) ${T_2}\frac{{d\Omega }}{{dt}} + \Omega = {\Omega _2}$
2.2 ‑ Le catalogue du constructeur donne pour le moteur : A = 0,111 N.m.V-1 ; B = 0,0186 N.m.s.(rad)-1.
Le moment d'inertie total est : J = 4910 g.cm2 et la résistance mécanique : F = 143.10-6 N.m.s.(rad)-1.
Le couple résistant permanent reste Co = 0,48 Nm.
Le système étant initialement immobile, on applique à t = 0 une tension u = 50 V (figure M4).
a) Déterminer et représenter graphiquement la loi (t).
b) Préciser l'accélération angulaire à t = 0 et la vitesse limite ${\Omega _{{{\rm{l}}_2}}}$ que prend l'ensemble.

Troisième Partie : Entraînement par motoréducteur (figure M5).
Le moteur entraîne, par l'intermédiaire d'un réducteur de vitesse, un récepteur mécanique de moment d'inertie JC par rapport à son axe '. Ce récepteur présente un frottement négligeable et oppose un couple résistant de moment CR par rapport à '. On appelle C(t) la vitesse angulaire du récepteur mécanique.
Le réducteur, supposé sans inertie propre et de rendement égal à 1, est défini par la relation :
$\frac{{{\Omega _C}}}{\Omega } = \frac{1}{N}$
Soit JM le moment d'inertie propre du moteur.
3.1 ‑ Montrer que l'équation différentielle (2) établie à la question 2.1 est applicable à condition de prendre pour J et Co des valeurs que l'on déterminera par des considérations énergétiques simples en fonction de JM., JC , N, CR.
3.2 ‑ a) Sachant que : JM = 2350 g.cm2 ; JC = 4 kg.m2 , déterminer N pour que J ait la valeur 4910 g.cm2 .
b) Calculer CR pour que Co = 0,48 N.m.
3.3 ‑ A t = 0, on applique au moteur supposé immobile une tension "en rampe" : u(t) = 25 t (u exprimée en volts et t en secondes) - (figure M6).
Déterminer la loi c(t).

Concours Physique ENSAM (Option T) Thermodynamique-Chimie 1991 (Énoncé)

THERMODYNAMIQUE ‑ CHIMIE
Option T
( Durée 4 heures )
L épreuve comprend une partie Thermodynamique et une partie Chimie que les candldats devront obligatoirement traiter sur des copies séparées convenablement repérées.
THERMODYNAMIQUE
Cette partie de l'épreuve comprend deux exercices indépendants à traiter dans un ordre laissé au choix du candidat.
I
Un ensemble moteur destiné à un véhicule automobile est représenté schématiquement Figure 1. On admet que le fluide qui circule dans l'installation est de l'air assimilable à un gaz parfait dont les caractéristiques thermiques sont les suivantes:
‑ Capacité thermique massique à pression constante: cp = 1 kJ.kg-1.K-1
‑ Rapport des capacités thermiques à pression constante et à volume constant: γ = 1,4.
Le débit masse qm de l'air est égal à 0,9 kg.s-1.
L'installation comporte les éléments décrits ci‑dessous.
a) Un turbocompresseur TC de caractéristiques suivantes:
‑ Rendement mécanique: ηm = 0,95
‑ Température d'aspiration de l'air : t1 = 10°C
‑ Pression d'aspiration de l'air: p1 = 1 bar
‑ Rapport de compression : ( p2 / p1 ) = 4
‑ Compression de p1 à p2 : adiabatique
‑ Rendement indiqué de la compression par rapport à l'isentropique: ηsc = 0,9
${\eta _{SC}} = \frac{{{W_{i12'}}}}{{{W_{i12}}}}$
Wi12 : travail indiqué de la compression réelle.
Wi12' : travail indiqué d'une compression isentropique fictive entre l'état 1 et la pression P2 .
L'indice 2' désigne l'état final atteint.
b) Une turbine TU de caractéristiques suivantes:
‑ Rendement mécanique: ηm = 0,95
‑ Température d'admission de l'air: t4 =927°C
‑ Détente de p4 à p5 : adiabatique
‑ Rendement indiqué de la détente par rapport à l'isentropique: ηST = 0,81
${\eta _{ST}} = \frac{{{W_{i45}}}}{{{W_{i45'}}}}$
Wi45 : travail indiqué de la détente réelle.
Wi45' : travail indiqué d'une détente isentropique fictive entre l'état 4 et la pression p5.
L'indice 5' désigne l'état final atteint.
La turbine entraîne le turbocompresseur et la transmission du véhicule.
c) Un échangeur adiabatique E d'efficacité ε égale à 0,74.
L'efficacité est définic par le rapport:
$\varepsilon = \frac{{{t_3} - {t_2}}}{{{t_5} - {t_2}}}$

d) Une chambre de combustion CH de caractéristiques suivantes:
‑ Parois : adiabatiques
‑ Combustion : isobare
‑ Rendement de combustion: η C = 0,97
C = (Quantité de chaleur reçue par le fluide) / (Quantité de chaleur fournie par le combustible)
On néglige:
‑ les pertes de charge, d où p2 = p3= p4 et p5 = p6= pl
‑ les variations d'énergie cinétique et d'énergie potentielle,
‑ les variations de température dans les canalisations reliant les divers éléments,
‑ les variations de débit dues au combustible injecté.
1‑ Calculer la température t2 du gaz à la sortie du turbocompresseur ainsi que la puissance PC fournie à l'arbre du compresseur.
2‑ Calculer la température t5 du gaz à la sortie de la turbine et la puissance PT disponible sur l'arbre de la turbine. En déduire la puissance utile Pu reçue par la transmission du véhicule.
3‑ Calculer la température t3 du gaz à l'entrée de la chambre de combustion, le rendement global ηt de l'installation et le débit masse horaire qh du combustible dont le pouvoir calorifique est égal à 4.104 kJ.kg-1.
4‑ Calculer la température t6 à la sortie de l'échangeur E.
5‑ Calculer les entropies massiques s en kJ.kg-1.K-1 pour les états 1 - 2 - 3 -4 - S et 6 du fluide en prenant s = 0 pour l'état 1. Représenter le cycle d'évolution du fluide dans le diagramme entropique, en choisissant des échelles convenables sur les deux axes.

II
Une unité de dessalement de l'eau de mer destinée à l'alimentation en eau potable des membres de l'expédition française en Terre Adélie est schématiquement représentée Figure 2.
Son fonctionnement en régime permanent peut être décrit comme suit.
L'eau de mer entre en A dans un récupérateur RC où elle est réchauffée par la saumure chaude extraite en H de l'évaporateur E2.
Elle traverse ensuite successivement les condenseurs C2 et C1. Elle entre en D dans l'échangeur principal EP où elle reçoit de la chaleur foumie par une source exteme constituée par l'eau de refroidissement des moteurs Diesel de la centrale électrique de la base.
L'eau de mer ainsi préchauffée est introduite au point E dans l'évaporateur E1 où elle est soumise au vide correspondant à la température d'extraction, soit 50°C. Une évaporation partielle a lieu et la vapeur produite se condense dans le condenseur C1, produisant ainsi de l'eau distillée qui est extraite en continu en K
La saumure restante entre en F dans l'évaporateur E2 où règne un vide correspondant à la température d'extraction de 40°C. Une nouvelle évaporation partielle a lieu et la vapeur se condense dans le condenseur C2, produisant de nouveau de l'eau distillée qui est également extraite en continu en L.
Les températures suivantes sont données aux points correspondants de la Figure 2:
tA = 2°C ; tB = 26,5°C ; tE = 60°C ; tF = tG = 50°C ; tH = tI = 40°C
‑ Enthalpies massiques de la vapeur d'eau saturée:
à 50°C h = 2591 kJ.kg-l ; à 40°C h = 2573 kJ.kg-l
Ces valeurs correspondent à h = 0 pour le liquide saturant à 0°C.
‑ Capacité thermique massique de l'eau liquide douce ou salée: c = 4,186 kJ.kg-l.K-l.
Les parois de tous les éléments de l'installation sont supposées adiabatiques.

1‑ Calculer, pour 1 kg d'eau de mer entrant en A, les masses ml et m2 d'eau distillée extraites en régime permanent des condenseurs C1 et C2 aux points K et L.
2‑ Calculer les températures tJ, tC et tD aux points correspondants de l'installation.
3‑ L'unité produit 2800 kg d'eau distillée par jour. Calculer la puissance thermique Pth foumie par l'échangeur principal.

CHIMIE
Les parties A et B sont indépendantes. Elles seront traitées dans un ordre laissé au choix du candidat .
A ‑ On étudie l'équilibre homogène en phase gazeuse décrit par le schéma réactionnel ( 1 ):
CO + H2O CO2 + H2 (1 )
1- Etudier la variance du système et exprimer la constante d'équilibre Kp en fonction des pressions partielles des différentes espèces gazeuses.
2‑ Calculer Kp aux températures de 750K et 1500K pour l'équilibre (1).
Données :
‑ Enthalpies libres réactionnelles standard des équilibres homogènes en phase gazeuse décrits par les schémas réactionnels (2) et (3).
2CO + O2 $\rightleftarrows $ 2 CO2 (2)
2H2 + O2 $\rightleftarrows $ 2 H2O (3)
ΔG° (2) = ‑ 565260 + 173,5 T
ΔG° (3) = ‑ 493570 + 112 T
où les enthalpies libres sont exprimées en joules et les températures en kelvin. La pression de référence pour les espèces gazeuses est égale à 1 bar.
‑ Constante molaire des gaz parfaits: R = 8,314 J.mol-1.K-1.
3‑ Afin d'étudier l'évolution des systèmes gazeux constitués par des mélanges quelconques de dioxyde de carbone, de monoxyde de carbone, d'hydrogène et de vapeur d'eau, on représente leur composition en utilisant le diagramme carré décrit ci-dessous ( Figure 3.) Pour un mélange constitué de:
$n_{CO}$moles de CO; n$_{C{O_2}}$ moles de CO2; n$_{{H_2}}$ moles de H2; n$_{{H_2}O}$ moles de H2O
on définit les variables:
$x = \frac{{{n_{CO}}}}{{{n_{CO}} + {n_{C{O_2}}}}}$ et $y = \frac{{{n_{{H_2}}}}}{{{n_{{H_2}}} + {n_{{H_2}O}}}}$
x et y sont les coordonnées du point représentatif de la composition du mélange étudié.

3.1 Il est facile de vérifier que le point O (0,0) représente un mélange CO2 + H2O en proportions quelconques. Que représentent :
a) le point A (0,1)?
b) le point B (1,0)?
c) le point C (1,1)?
d) un point appartenant au segment OA?
e) un point appartenant au segment OB?
f) un point appartenant au segment AC?
g) un point appartenant au segment BC?
3.2 Exprimer Kp en fonction des valeurs de x et y à l'équilibre.
3.3 Représenter graphiquement sur le diagramme carré, le lieu des points correspondant aux divers mélanges à l'équilibre à T = 750K et à T = 1500K. Les courbes seront tracées point par point en faisant varier x à partir de zéro par incréments de 0,1.
4‑ On part d'un mélange initial à la température T K contenant (nCO)0 moles de monoxyde de carbone et (n$_{{H_2}O}$)0 moles d'eau.
4.1 Montrer que l'évolution du système vers son état d'équilibre à la température T K est représentée, sur le diagramme carré, par une droite dont on donnera l'équation.
4.2 Application : On part à 1500K d'un mélange contenant 2 moles de CO et 1 mole de H2O.
Représenter l'évolution du système vers l'équilibre et donner sa composition une fois cet équilibre atteint.
5‑ A 750K, un mélange à l'équilibre est tel que le rapport du nombre de moles d'hydrogène au nombre de moles d'eau est égal à 2. Donner le lieu des points représentant les mélanges initiaux ne contenant pas de dioxyde de carbone qui conduisent à cet état d'équilibre.

B‑ On considère, à la température de 298K, le système hétérogène formé par une atmosphère contenant du CO2 gazeux en contact avec une solution aqueuse contenant du CO2 dissous et des
ions hydrogénocarbonate HC03-. Les équilibres mis en jeu sont décrits de manière simplifiée par les schémas réactionnels (4) et (5) . On néglige l'équilibre faisant intervenir les ions carbonate.
CO2 gazeux $\rightleftarrows $ CO2 dissous (4)
CO2 dissous + 2 H2O $\rightleftarrows $ HC03- + H3O+ (5)
Pour l'équilibre (4), la concentration volumique molaire de CO2 dissous est reliée à la pression partielle p$_{C{O_2}}$ de CO2 gazeux par la relation suivante valable à la température de 298K:
[CO2] dissous = 0.035.p$_{C{O_2}}$ où p$_{C{O_2}}$ est exprimée en bars et [CO2] en mol.l-1.
La constante d'équilibre relative aux concentrations volumiques molaires de la réaction (S) sera notée Kc
1. Exprimer Kc en fonction de la pression partielle p$_{C{O_2}}$ et des concentrations volumiques molaires
[CO2] dissous, [HCO3-] et [H3O+].
2. Afin de déterminer la valeur de Kc à la température de 298K, on construit la cellule de mesure représentée Figure 4.
La demi-cellule A contient une solution aqueuse de HCl de concentration volumique molaire 0,1 mol.l-1. La demi-cellule B contient une solution aqueuse de NaHCO3 de concentration volumique molaire 0,001 mol.l-1. La solution est en équilibre avec une atmosphère gazeuse dans laquelle la pression partielle de CO2 est égale à 0,01 bar. Les deux demi-cellules sont reliées par un pont d'électrolyte pour lequel les différences de potentiel de jonction sont négligeables.

On mesure la différence de potentiel E entre deux électrodes à hydrogène immergées dans les deux solutions.
2.1 Exprimer E en fonction des valeurs pHA et pHB du pH des deux solutions.
Données: R = 8,314 J.mol-1.K-1
1 Faraday = 96487 C.
2.2 A la température de 298K, on mesure E = 350mV. En déduire la valeur de la constante d'équilibre Kc.

Concours Physique ENSAM (option T et TA) 1989 (Énoncé)

Electricité‑Optique‑Mécanique

( OPTION  T  et  TA )

Durée  :  4 heures

Premier problème : ELECTROMAGNETISME

Il s'agit d'étudier dans ce problème la propagation transversale d'une onde hertzienne dans la haute atmosphère. Cette onde électromagnétique sera monochromatique, plane et polarisée rectilignement.

On rappelle les notations et valeurs numériques suivantes :

     ‑ pulsation de l'onde : $\omega $

     ‑ vecteur d'onde : $\vec k$

     ‑ célérité des ondes dans le vide : co = 3.l08 mètres par seconde

     ‑ longueur d'onde dans le vide : ${\lambda _o} = \frac{{2.\Pi .{c_o}}}{\omega }$

     ‑ perméabilité magnétique du vide : ${{\varepsilon }_{o}}$ = 4.$\Pi $.l0-7 Henry par mètre

     ‑ permittivité absolue du vide ${{\varepsilon }_{o}}$  telle que : ${{\varepsilon }_{o}}$.${{\mu }_{o}}$ .co2 = l

     ‑ charge élémentaire : e = l,6.l0-19 Coulomb

     ‑ masse de l'électron : m = 9,l.lO-31 kilogramme

     ‑ masse du proton : mp = l,67.l0-27 kilogramme

On rappelle également la relation :$r\vec ot\left( {r\vec ot\vec A} \right) = gr\vec ad\left( {div\vec A} \right) - \Delta \vec A$

Dans tout le problème, l'action du champ de pesanteur terrestre sera négligée.

I ‑ Equations générales de l'onde

1°) Ecrire les équations de Maxwell dans un milieu linéaire, homogène et isotrope de permittivité absolue $\varepsilon ={{\varepsilon }_{o}}.{{\varepsilon }_{r}}$ et de perméabilité ${{\mu }_{o}}$ en l'absence de toutes charges électriques libres et de toute densité de courant.  Pour ce faire, il suffit d'écrire ces équations comme dans le vide en remplaçant simplement ${{\varepsilon }_{o}}$ par ${{\varepsilon }}$ .

2°) Montrer simplement que le champ électrique vérifie une relation vectorielle, dite équation de propagation.

3°) Traduire cette équation lorsque le champ électrique est sinusoïdal et ne dépend que de la coordonnée x et du temps t. En déduire que la relation entre k et $\omega $ , appelée relation de dispersion, est :

${k^2} = \frac{{{\varepsilon _r}{\omega ^2}}}{{{c_o}^2}}$ .

4°) Ecrire alors les expressions vectorielles du champ électrique $\vec E$ et de l'induction magnétique $\vec B$ en fonction de t et de x. Donner également l'expression du vecteur d'onde $\vec k$ en fonction de $\omega $, co et er.

On choisira pour cela un trièdre orthonormé (0,x,y,z) tel que $\vec k$ soit porté par (0,x), $\vec E$ par (0,y) et $\vec B$ par (0,z) et on notera Eo l'amplitude du champ électrique.

Dans toute la suite, les équations précédentes seront supposées vérifiées même si la permittivité relative du milieu er dépend de la pulsation w (milieu dispersif).

II ‑ Densité de polarisation du plasma

Dans le vide, une particule de charge q et de masse M, animée de la vitesse v non relativiste (v « co), est soumise à l'action d'une onde plane, monochromatique, polarisée rectilignement comme dans la première partie.

1°) Donner l'expression de la force de Lorentz qui s'exerce sur elle par l'action du champ électrique $\vec E$ et de l'induction magnétique $\vec B$.

     Montrer que l'un de ces deux termes est négligeable.

Dans la suite de cette deuxième partie, on supposera les différentes particules (électrons et protons) soumises au seul champ électrique.

Dans un plasma, milieu ionisé, il existe des molécules neutres, des électrons libres et des ions positifs. Globalement, le milieu est neutre électriquement et est suffisamment "dilué" pour pouvoir négliger les interactions entre les différentes particules.

L'onde plane précédente se propage dans un tel milieu.

2°) Donner l'équation différentielle du mouvement d'une particule de masse M et de charge q soumise à cette onde. Résoudre cette équation en donnant l'amplitude So des oscillations forcées qu'elle subit en

fonction de l'amplitude Eo du champ électrique, de q, de M et de la pulsation $\omega $.

3°) Calculer numériquement les amplitudes des mouvements d'un électron et d'un proton pour un champ électrique d'amplitude Eo = 0,2 Volt par mètre et une longueur d'onde lo= 30 mètres.

Le plasma peut être considéré comme constitué uniquement de ces protons et électrons qui oscillent : il y a N électrons et N protons par unité de volume.

Soient ${\vec s_e}$ et ${\vec s_p}$ les vecteurs déplacement correspondant à ces deux types de charges.

On appelle polarisation du milieu le vecteur : $\vec P = N.e.\left( {{{\vec s}_p} - {{\vec s}_e}} \right)$.

4°) Sachant que la précision relative des calculs est de l0-2 , discuter l'ordre de grandeur de ce vecteur $\vec P$ et montrer que seul le mouvement des électrons intervient : on peut donc considérer dans toute la suite que les ions positifs sont fixes.

III ‑ Pulsation limite du plasma

Dans le milieu étudié précédemment se propage donc une onde électromagnétique plane, monochroma- tique, polarisée suivant (0,y). Le vecteur polarisation défini dans la deuxième partie peut alors s'exprimer de manière générale en fonction du champ électrique par la relation : $\vec P$ = eo(l - er).$\vec E$.

1°) A partie des résultats précédents, donner l'expression de la permittivité relative er en fonction de N, $\omega $, m et eo puis en fonction de N, e, lo,, m et µo,.,

Calculer numériquement er pour N = 6,l. l011 électrons par mètre cube et lo = 30 mètres.

2°) Reprendre l'équation de dispersion trouvée au I‑3°. Montrer qu'elle peut alors s'écrire sous la forme :

${k^2} = \frac{{{\omega ^2} - {\omega _p}^2}}{{{c_o}^2}}$

Donner l'expression de ${\omega}_{p} $ en fonction de N, e, m et eo.

On appelle cette pulsation la pulsation propre du plasma.

3°) Quelle condition doit remplir $\omega $ pour qu'il y ait effectivement propagation de l'onde ? Calculer la pulsation limite assurant la propagation pour N = 6,l. l011 électrons par mètre cube.

IV ‑ Influence du champ magnétique terrestre

L'existence du champ magnétique terrestre complique un peu le phénomène de propagation étudié précédemment.

1°) Etudier très brièvement le mouvement d'un particule de charge q, de masse M, animée d'une vitesse constante $\vec v$ dans un champ magnétique uniforme et permanent de vecteur induction ${\vec B_o}$. Déterminer la vitesse angulaire de rotation ${\omega}_{c} $ de la particule en fonction de q, M et Bo.

2°) Calculer numériquement la valeur de l'induction magnétique Bo pour que la pulsation ${\omega}_{c} $ d'un électron soit ${\omega}_{c} $ = l07 radians par seconde.

L'onde plane étudiée se propage dans le plasma où règne cette induction magnétique Bo.

3°) La théorie sur le mouvement des charges faite dans la partie II est-elle modifiée lorsque les directions de $\vec E$ et ${\vec B_o}$ sont parallèles ou perpendiculaires ?

Dans le cas où cette théorie est modifiée, on montre que la relation de dispersion s'écrit alors :

${k^2}.{c_o}^2 = \frac{{{{\left( {{\omega ^2} - {\omega _p}^2} \right)}^2} - {\omega _c}^2.{\omega ^2}}}{{{\omega ^2} - {\omega _p}^2 - {\omega _c}^2}}$ .

Les pulsations wp et wc étant celles déterminées précédemment.

4°) Tracer l'allure de la fonction ${k^2}.{c_o}^2\left( {{\omega ^2}} \right)$ pour les valeurs numériques suivantes :

${\omega}_{c} $ = 0,82 l07 radians par seconde et ${\omega}_{p} $ = 4,14 l07 radians par seconde.

5°) En déduire les valeurs des pulsations des ondes qui peuvent réellement se propager dans le milieu.

V ‑ Calcul de l'altitude de la couche de plasma

Lorsque k = 0, les ondes issues de la Terre, émises verticalement suivant (0,x), se réfléchissent totalement sur la couche de plasma située en haute atmosphère.

On constate que lorsque l'émission de l'onde est telle que la direction du champ électrique est parallèle à celle de l'induction magnétique terrestre ${\vec B_o}$, il y a écho (donc réflexion) pour une longueur d'onde émise    lo =  42,70 mètres. Au contraire, lorsque les directions du champ électrique de l'onde et de ${\vec B_o}$ sont perpendiculaires, l'écho se produit pour une longueur d'onde lo = 38,90 mètres.

1°) Déduire de ces deux mesures le nombre N d'électrons par mètre cube de ce plasma ainsi que la valeur de l'induction magnétique Bo qui y règne. Les calculs devront être effectués avec précision pour obtenir des résultats satisfaisants.

L'induction magnétique terrestre décroît en fonction de l'altitude suivant la loi :

${B_o}\left( x \right) = {B_o}\left( 0 \right).{\left( {1 + \frac{{{x^2}}}{{{R^2}}}} \right)^{ - \frac{3}{2}}}$ .

 Sa valeur au sol est Bo(0) = 4700. l0-8 Tesla et le rayon de la terre est R = 6360 kilomètres.

2°) Calculer l'altitude de la couche réfléchissante de plasma. Quel peut être l'intérêt de cette propriété ?

Deuxième problème : MECANIQUE

ETUDE D'UN APPAREIL ELECTROMECANIQUE VIBRANT

Dans l'entrefer d'un aimant annulaire, où règne une induction magnétique radiale $\vec B$ de module constant, se déplace longitudinalement une bobine mobile comportant une longueur de fil l.

Du point de vue électrique, cette bobine est équivalente à une inductance Lo en série avec une résistance Ro.

Cette bobine est solidaire d'une membrane ramenée en position centrale par une suspension assimilable à un ressort sans masse de raideur k avec un frottement mécanique fluide de coefficient fo. L'ensemble mobile (bobine et membrane) a une masse m.

Le rayonnement des ondes acoustiques par la membrane se modélise par une force de frottement fluide de coefficient f1,. (En appelant v la vitesse de la membrane, l'ensemble des forces de frottement est assimilable à une force de module (fo+f1).v).

I ‑ Etude Générale

Un générateur de force électromotrice e(t), de résistance interne r, alimente la bobine. Une force extérieure axiale $\vec F$(t), orientée suivant l'axe x'x est appliquée à la membrane. On appelle i(t) l'intensité du courant qui circule dans la bobine. (Voir les figures pour l'orientation des différentes grandeurs).

1°) Calculer la force électromagnétique subie par la bobine. Préciser sa direction et son sens. En appliquant le principe fondamental de la dynamique, déterminer l'équation différentielle régissant le mouvement de la bobine.

2°) Calculer la force électromotrice induite aux bornes de la bobine se déplaçant à la vitesse v suivant x'x. Déterminer l'équation différentielle régissant l'intensité du courant qui circule dans la bobine.

3°) A partir des deux équations précédentes, écrire le système d'équations différentielles en utilisant pour seules variables l'intensité i(t) et la vitesse v(t).

II ‑ Etude  en  Emetteur

La force électromotrice du générateur e(t) est e(t) = ${E_o}.\cos \left( {\omega t} \right)$. La force mécanique extérieure $\vec F$(t) est nulle.

1°) Montrer qu'il existe un régime permanent pour lequel i(t) et v(t) sont sinusoïdaux de pulsation w. Soient alors I et V les amplitudes complexes des représentations complexes de i(t) et v(t).

2°) Eliminer V entre les deux équations et en déduire la relation entre Eo et I. Montrer que cette relation peut se mettre sous la forme Eo = (R + jLw).I, avec L = Lo + L1 et R = Ro + r + R1.

Déterminer les expressions de L1 et de R1 en fonction de w et des paramètres électriques et mécaniques du système.

On pose  :         $A = \frac{{{B^2}{l^2}}}{{{f_o} + {f_1}}}$           et                $\alpha  = \frac{{k - m{\omega ^2}}}{{\left( {{f_o} + {f_1}} \right)\omega }}$

Exprimer R1 et (L1w) en fonction de A et a.

3°) Etudier les variations de R1 avec w. Montrer que R1 présente un maximum pour une valeur w0 de w. Déterminer w0 et R1(L1w).Tracer la représentation graphique de R1 en fonction de w.

4°) Etudier les variations de l'impédance (L1w) en fonction de w. Montrer que (L1w) s'annule pour une valeur w'0 de w, et passe par deux extremums pour les valeurs w1 et w2. Tracer la représentation graphique de (L1w) en fonction de w.

5°) Eliminer a entre les deux relations de R1 et (L1w). En déduire le lieu du point de coordonnées (R1,L1w) dans le plan ayant R1 comme abscisse et L1w comme ordonnée. Placer sur ce lieu les points représentatifs pour w = w0, w'0, w1, w2, et w®¥.

6°) Etudier, à partir des résultats des questions 3 et 4 les variations de R et de (Lw) en fonction de w. Tracer sur un même graphe leur représentation graphique en fonction de w. En déduire l'allure de la représentation graphique du module de l'impédance complexe Z = R+jLw.

7°) Applications numériques

La bobine comporte 50 spires de fil de 0,1 mètre de circonférence.

     B = 2 Teslas.            R0 = 4 ohms                  r = 0.                   L0 = 0,4 milliHenry.

     f1 = 28 Newtons.secondes par mètre.            f2 = 0

     m = 20 grammes.                                           k = 5 103 Newtons par mètre.

Calculer  w0, w'0, w1, w2, et A. Evaluer le module de Z à 10% près pour les 4 pulsations calculées ainsi que pour w = l0 w0.

III ‑ Etude en Récepteur

Le générateur est remplacé par une résistance pure de valeur r. La force extérieure est $\overrightarrow{F}(t)={{F}_{0}}.\cos (\omega t).\overrightarrow{x},\overrightarrow{x}$étant le vecteur unitaire de l'axe x'x

1°) Montrer qu'il existe un régime permanent pour lequel i(t) et v(t) sont sinusoïdaux de pulsation ${\omega}$.

2°) Eliminer I entre les deux équations et en déduire la relation entre F0 et V. Par analogie avec la partie II on pose F0 = ZmV où Zm est l'impédance mécanique du système.

On appelle Z$_{{m_o}}$ l'impédance mécanique obtenue pour B = 0. Montrer que Zm se déduit de Z$_{{m_o}}$ par l'introduction de deux facteurs supplémentaires :

          ‑ un coefficient de frottement f2

          ‑ une raideur k2

Donner les expressions de f2 et k2.

3°) Etudier les variations de f2 en fonction de ${\omega}$. Tracer sa représentation graphique.

4°) Etudier les variations de (k2/${\omega} $) en fonction de ${\omega}$. Introduire une pulsation ${\omega}_{3} $ caractérisant ces variations. Tracer sa représentation graphique.

5°) Par analogie avec la question II 2°), on pose $D = \frac{{{B^2}{l^2}}}{{{R_o} + r}}$ .

Proposer une expression b fonction de ${\omega}$ permettant d'exprimer simplement f2 et (k2/${\omega}$) en fonction de D et b.

Eliminer b entre ces deux expressions et en déduire le lieu géométrique du point de coordonnées (f2, k2/${\omega}_{c} $) dans le plan ayant f2 en abscisse et k2/${\omega}_{c} $ en ordonnée.

6°) Avec les valeurs numériques du II 7°), calculer ${\omega}_{3} $ ainsi que les valeurs caractéristiques de f2 et de k2/${\omega}$. En déduire l'allure de la représentation graphique du module de Zm en fonction de ${\omega} $.