Concours Physique École de l’Air 1991 (Énoncé)

Ecole de l'Air 1991

Première épreuve de sciences physiques

Partie I

Un fil recti1igne infini f de dimensions transversales nég1igeables, placé dans 1e vide, porte des charges é1ectriques réparties uniformément, avec une densité 1inéique λ. Ce fil est para11èle à l'axe de coordonnées Oz et i1 a pour trace sur 1e p1an xOy le point F de coordonnes x = a et y = 0.

Pour 1es app1ications numériques de cette partie, on prendra :
$\lambda = {5.10^{ - 10}}{\rm{ }}C/m$ et a = 4 cm
On rappelle enfin que : ${\varepsilon _o} = \frac{1}{{36\pi {{.10}^9}}}$
1) En quelles unités est exprimée habituellement 1a permittivité ε ? Justifier 1e choix de ces unités.
2) Montrer que le champ é1ectrostatique E produit par ce fil est indépendant de z.
3) Déterminer 1e champ électrostatique en un point quelconque M du plan xOy en introduisant la variable FM = r.
On fera un schéma clair. App1ication numérique r = 4 cm.
4) V désignant 1e potentiel é1ectrostatique en M et V° le potentiel en 0, calculer 1a différence de potentie1 V-V°.
Faire l'application numérique.

Partie II

On étudie maintenant toujours dans le vide, le système constitué par 1e fil f associé à un second fil f' symétrique de f par rapport à Oz et portant des charges électriques uniformément réparties, avec la densité linéique -λ. La trace de f' dur le plan xOy est le point F'.
Pour les applications numériques de 1a partie II, on prendra encore $\lambda = {5.10^{ - 10}}{\rm{ }}C/m$ et a = 4 cm
l) M étant un point quelconque du p1an xOy, r sa distance à F et r' sa distance à F', V le potentiel en M et V° en 0, calculer dans ce nouveau cas la différence de potentiel V-V°. Déterminer la valeur de V° telle que V tende vers zéro quant M s'éloigne indéfiniment dans 1e plan xOy. Tracer à l'échelle 1es équipotentielles pour V = ± 14,5 V
2) Si l'on fait tendre a vers zéro, mais en gardant le produit (2λa) constant et éga1 à p, on obtient un "dipôle cylindrique" de moment p (p para11èle à Ox). Ca1cuIer 1e potentiel V(ρ,θ) en M. En déduire E_ρ et E_θ du champ E en M.
On posera $\rho = OM$

Partie III

On se donne maintenant, toujours dans 1e vide, deux cercles Γ et Γ' du plan xOy, dont les centres respectifs C et C' sont situés sur Ox, symétriquement par rapport à 0. On désigne par R leur rayon, et on pose $OC = OC' = \ell {\rm{ avec }}\ell > R$
Pour les applications numériques de cette partie. on prendra $\ell = 5{\rm{ cm}}$ et R = 3 cm
l) Montrer que l'on peut placer les fils f et f' étudiés dans la deuxième partie de façon que Γ et Γ' soient des lignes équipotentielles et calculer en fonction de et de R la valeur de a et celle du rapport $\alpha = r'/r$ correspondant au cercle Γ.
Application numérique : calculer les valeurs de a et de α.

2) Si l'on impose le potentiel V₁ de Γ. Calculer la densité linéique λ que l'on doit attribuer au fil f .
App1ication numérique : calculer λ pour V₁ = 10 V.
3) On imagine maintenant que 1'on remplace les fils f et f' par deux cylindres conducteurs ayant pour sections droites Γ et Γ' et respectivement portés aux potentiels +V₁ et -V₁ . Qu'appelle-t-on équilibre électrostatique ? Montrer que 1a distribution de potentiel à l'extérieur de Γ et Γ' satisfait toutes les conditions de l'équilibre électrostatique.

Partie IV

On imagine maintenant N fils rectilignes et chargés comme précédemment (+ λ) répartis régulièrement sur un cylindre de rayon a, centré en 0. Calculer le potentiel en un point M à grande distance des fils. On fera un développement limité au second ordre en a/r. Cas où N = 8 .

Partie V

Cette fois on considère deux cylindres conducteurs très allongés identiques, de longueur L et de rayon R placés parallèlement à une distance a. Ces cylindres constituent une ligne bifilaire : on supposera que R << a << L et on ne tiendra pas compte des effets de bords.

l) Le cylindre (1) portant la charge électrique +Q et 1e cylindre (2) portant la charge -Q , calculer en tenant compte des approximations, les potentiels V₁ et V₂ des deux cylindres; on supposera que les charges sont uniformément réparties sur chaque cylindre et, on utilisera une valeur moyenne de la densité superficielle. On donnera au préalable et sans aucun calcul, une idée de la répartition des charges sur les cylindres.
2) Déterminer la quantité (capacité 1inéique) définie par : $Q/L = \gamma ({V_1} - {V_2})$
Calculer γ pour a = 4 cm et R = 2 mm.
3) Les deux cylindres étant initialement déchargés, sont portés aux potentiels V₁ et V₂ quelconques. Calculer les charges totales Q₁ et Q₂ que prennent les deux cylindres, et déterminer 1es expressions des quatre coefficients C_ij définis comme suit: ${Q_i} = \sum {{C_{ij}}{V_j}} $
Cette écriture signifie que les charges Q₁ et Q₂ se mettent sous la forme : $\left\{ \begin{array}{l}{Q_1} = {C_{11}}{V_1} + {C_{12}}{V_2}\\{Q_2} = {C_{21}}{V_1} + {C_{22}}{V_2}\end{array} \right.$
6) Lorsque la 1ongueur L augmente indéfiniment, déterminer la 1imite des coefficients 1inéiques C_ij/L .
Comparer ces valeurs à 1a capacité γ précédente.