ULM MP 2001 Physique (6 heures). Le frottement solide.
1.1.a) Sans glissement, le module et l’orientation de la force de frottement solide sont indéterminés et s’adaptent aux sollicitations extérieures (de manière à vérifier les théorèmes de la quantité de mouvement et du moment cinétique). Le non glissement n’est possible que si la réaction tangentielle RT et la réaction normale RN vérifient l’inégalité || RT || < µs|| RN ||, µs étant le coefficient de frottement de glissement statique.
1.1.b) Avec glissement (vitesse de glissement U), la force de frottement RT a la direction de U et le sens contraire, ce qui se traduit par RT ∧ U = 0 et RT.U < 0 ; de plus, la réaction tangentielle RT est liée à la réaction normale RN par la relation || RT || = µd|| RN || où µd est le coefficient de frottement de glissement dynamique.
1.1.c) Le passage du non-glissement au glissement se produit quand || RT || atteint µs|| RN || puis dès que U est différent de zéro, || RT || prend la valeur µd|| RN ||.
1.1.d) Le passage du glissement au non-glissement se fait quand la vitesse de glissement s’annule et ensuite || RT || peut rester inférieure à µs|| RN ||.
1.2.a) Souvent µs > µd ; du fait des forces d’interaction microscopique (force de Van der Waals, liaison hydrogène) le contact entre les deux surfaces solides se fait avec une certaine adhérence ; s’il y a glissement, le contact est moins intime, les deux solides étant un peu espacés et en conséquence, les forces d’interaction fonction décroissante de la distance diminuent un peu.
1.2.c) Ski métallique sur glace : µs ≈ 0,03.
1.2.d) Contact acier-ferrodo des freins à disque : µ ≈ 0,6 ; contact pneu-bitume : µ ≈ 0,8.
2.1.a) Le référentiel galiléen de la plaque (P).
2.1.b) Un repère Oxyz, trièdre direct, fixe dans (P), avec Ox de direction et de sens de V, Oy vertical ascendant, Oz complétant le trièdre.
2.1.c) La masse m seule.
2.1.d) Un seul degré de liberté de translation associé à x(t), abscisse sur Ox du point d’attache du ressort sur le palet.
2.2) En cas de glissement, la réaction normale est opposée au poids du palet (de module mg), la réaction tangentielle est de signe contraire à celui de la vitesse \(\dot x > 0\)du palet et vaut algébriquement −µd mg. L’allongement du ressort est l(t) = Vt − x(t) et la force appliquée par le ressort sur le palet vaut k(Vt − x). D’après le théorème de la quantité de mouvement en projection sur Ox :
\(m\ddot x = - {\mu _d}mg + k(Vt - x)\) et donc \(m\ddot l + kl = {\mu _d}mg\)
2.3.a) Recherche d’un régime permanent :
\(\dot x = cste \Rightarrow \)\({x_P} = Vt - \frac{{{\mu _d}mg}}{k}\)\( \Rightarrow \)\({\dot x_P} = V\) ; \({l_P} = Vt - {x_P} \Rightarrow \)\({l_P} = \frac{{{\mu _d}mg}}{k}\)
2.3.b) Par étude des petits mouvements :
\(l = {l_P} + \varepsilon \) ⇒ \(\ddot \varepsilon + {\omega _0}^2\varepsilon = 0\) avec \({\omega _0} = \sqrt {\frac{k}{m}} \) et donc \(\varepsilon = A\cos {\omega _0}t + B\sin {\omega _0}t\) ,
petites oscillations autour de la solution de régime permanent : le mouvement est stable.
2.3.c) En remplaçant \({\mu _d}(\dot x)\)par son développement, l’équation différentielle en l(t) s’écrit :
\(\ddot l(t) + \alpha g\dot l(t) + {\omega _0}^2l(t) \approx {\mu _d}(V)g\)
puis en remplaçant l(t) par son développement :
\(\ddot \varepsilon + \alpha g\dot \varepsilon + {\omega _0}^2\varepsilon = 0\)
L’équation caractéristique \({r^2} + \alpha gr + {\omega _0}^2 = 0\)de racines \(r = \frac{1}{2}( - \alpha g \pm i\sqrt {4{\omega _0}^2 - {\alpha ^2}{g^2}} ) \approx - \frac{1}{2}\alpha g \pm i{\omega _0}\) conduit à la solution :
\(\varepsilon (t) = \exp (\frac{{ - \alpha gt}}{2})(A\cos {\omega _0}t + B\sin {\omega _0}t)\)
2.3.d) Si\({\mu _d}(V)\) est fonction décroissante de V, α < 0, l(t) diverge, l’hypothèse des petits mouvements est vite incorrecte, le régime permanent est instable ; si \({\mu _d}(V)\) est fonction croissante de V, α > 0, l(t) effectue des oscillations amorties, le régime permanent est stable.
3.1.a) Le palet s’arrête de glisser à un instant t2 ; alors l(t) est fonction affine du temps :
\(x(t) = {x_2}\;\;{\rm{et}}\;\;l(t) = Vt - {x_2}\)
3.1.b) Le palet ne glisse pas tant que || RT || < µs|| RN || = µsmg ; or RT + kl = 0, le palet ne glisse donc pas tant que l(t) < µsmg/k ; quand l(t) atteint µsmg/k, le glissement se produit mais alors RT = −µdmg. Le palet repart à t3 tel que :
\(V{t_3} = \frac{{{\mu _s}g}}{{{\omega _0}^2}} + {x_2}\)
3.1.c) Si le palet est fixe, x = cste, l = Vt − x est fonction affine du temps. On néglige le temps de glissement comme l’autorise la figure 2.
3.1.d) 8,2 cm correspondent à 30 s et 7,4 cm à 4 périodes et à une durée de 27 s ; la durée de glissement est donc le quart de 27 s :
\({\tau _f} \approx 6,8\; \pm 0,1\,\,{\rm{s}}\)
3.2.a) Le palet arrêté commence à glisser à t3 et alors l3 = µsmg/k = µsg/ω02 ; ensuite :
\(\ddot l + {\omega _0}^2l = {\mu _d}g\) d’où \(l(t) = A\cos {\omega _0}(t - {t_3}) + B\sin {\omega _0}(t - {t_3}) + \frac{{{\mu _d}g}}{{{\omega _0}^2}}\),
\(x(t) = Vt - \frac{{{\mu _d}g}}{{{\omega _0}^2}} - A\cos {\omega _0}(t - {t_3}) - B\sin {\omega _0}(t - {t_3})\).
D’après les conditions initiales\(\dot x({t_3}) = 0 = V - B{\omega _0}\), \({x_3} = V{t_3} - \frac{{{\mu _d}g}}{{{\omega _0}^2}} - A\)soit \(B = \frac{V}{{{\omega _0}}}\), \(A = \frac{{({\mu _s} - {\mu _d})g}}{{{\omega _0}^2}}\) :
\(l(t) = \frac{{({\mu _s} - {\mu _d})g}}{{{\omega _0}^2}}\cos {\omega _0}(t - {t_3}) + \frac{V}{{{\omega _0}}}\sin {\omega _0}(t - {t_3}) + \frac{{{\mu _d}g}}{{{\omega _0}^2}}\) , \({l_3} = \frac{{{\mu _s}g}}{{{\omega _0}^2}}\)
\(x(t) = Vt - \frac{{{\mu _d}g}}{{{\omega _0}^2}} - \frac{{({\mu _s} - {\mu _d})g}}{{{\omega _0}^2}}\cos {\omega _0}(t - {t_3}) - \frac{V}{{{\omega _0}}}\sin {\omega _0}(t - {t_3})\)
3.2.b) Le palet s’arrête de glisser à la date t4 telle que \(\dot x({t_4}) = 0\) ; or :
\(\dot x(t) = V[1 - \cos {\omega _0}(t - {t_3})] + \frac{{({\mu _s} - {\mu _d})g}}{{{\omega _0}}}\sin {\omega _0}(t - {t_3}) = 0\)
\(\tan \frac{{{\omega _0}({t_4} - {t_3})}}{2} = - \frac{{({\mu _s} - {\mu _d})g}}{{V{\omega _0}}}\) ou/et \(\sin \frac{{{\omega _0}({t_4} - {t_3})}}{2} = 0\),
la 2e solution en t4 − t3 est à éliminer car seule la solution la plus petite, la 1ère atteinte, se réalise :
\({\tau _g} = {t_4} - {t_3} = \frac{2}{{{\omega _0}}}{\rm{[}}\pi - {\rm{Arctan}}\frac{{({\mu _s} - {\mu _d})g}}{{V{\omega _0}}}]\)
3.2.c) On peut estimer τg en comptant le nombre d’intervalles séparés par 1,5 ms ; il y a 14 intervalles visibles sur la phase glisse : τg ≈ 21 ms ; cependant, cette méthode est très imprécise car au début et à la fin de la durée considérée les points sont trop rapprochés et se superposent ; certains ne sont pas comptés ; la mesure se fait par défaut à plusieurs fois 1,5 ms près. De plus, la durée de 1,5 ms est approximative. Ainsi, la détermination de τg se fait avec une précision relative de 30 à 40 %.
Une méthode précise consiste à exprimer τg en fonction de τf = t3 − t2 dont le calcul exige celui de l4 :
\({l_4} = \frac{{({\mu _s} - {\mu _d})g}}{{{\omega _0}^2}}\cos {\omega _0}({t_4} - {t_3}) + \frac{V}{{{\omega _0}}}\sin {\omega _0}({t_4} - {t_3}) + \frac{{{\mu _d}g}}{{{\omega _0}^2}}\).
Avec \(\gamma \hat = \frac{{({\mu _s} - {\mu _d})g}}{{V{\omega _0}}}\), en utilisant les expressions de sin(x) et cos(x) en fonction de tan(x/2) :
\({l_4} = \frac{{\gamma V}}{{{\omega _0}}}\frac{{1 - {\gamma ^2}}}{{1 + {\gamma ^2}}} - \frac{V}{{{\omega _0}}}\frac{{2\gamma }}{{1 + {\gamma ^2}}} + \frac{{{\mu _d}g}}{{{\omega _0}^2}}\), \({l_4} = \frac{{(2{\mu _d} - {\mu _s})g}}{{{\omega _0}^2}}\)
Mais par périodicité des oscillations de l(t), l2 = l4 et comme x3 = x2 :
l4 = Vt2 − x2 = V(t2 − t3) + l3 = − V(t3 − t2) + \(\frac{{{\mu _s}g}}{{{\omega _0}^2}}\)= \(\frac{{(2{\mu _d} - {\mu _s})g}}{{{\omega _0}^2}}\), \({\tau _f} = {t_3} - {t_2} = \frac{{2({\mu _s} - {\mu _d})g}}{{V{\omega _0}^2}}\)
\({\tau _g} = \frac{2}{{{\omega _0}}}{\rm{[}}\pi - {\rm{Arctan}}(\frac{{{\omega _0}{\tau _f}}}{2})]\)
3.2.d) Arctan (en rds) \( \mathbin{\lower.3ex\hbox{$\buildrel<\over{\smash{\scriptstyle\sim}\vphantom{_x}}$}} \)π/2 ; à partir de la valeur mesurée, \({\tau _f} \approx 6,8\,\,{\rm{s}}\), on a \({\tau _g} \approx 32,509\;{\rm{ms}}\) << τf. Remarque : \(\gamma = \frac{{{\omega _0}{\tau _f}}}{2} > > 1\), τg \( \approx \;\frac{\pi }{{{\omega _0}}} = \frac{{{T_0}}}{2} = \pi \sqrt {\frac{m}{k}} \) et \(l(t) \approx \frac{{({\mu _s} - {\mu _d})g}}{{{\omega _0}^2}}\cos {\omega _0}(t - {t_3}) + \frac{{{\mu _d}g}}{{{\omega _0}^2}}\).
La précision de la méthode, m, k étant supposés bien connus, est définie par la précision sur la mesure de τf soit Δτf ≈ 0,1 s ; pour τf = 6,9 s ou 6,7 s, τg a même valeur que pour τf = 6,8 s à 0,001 ms près ; d’où \(\Delta {\tau _g} = 1\;\mu {\rm{s}}\). La formule approchée \({\tau _g} \approx {T_0}/2\) donne 32,446 ms, valeur incorrecte.
3.3.a) Sur le graphe, d’après les expressions de l3 et l4 vues en 3.2.a et 3.2.c, on détermine :
La précision relative sur la différence des coefficients est de l’ordre de 30 % alors que la précision relative sur chaque coefficient est de l’ordre de 3 %.
3.3.b) \({\tau _f} = \frac{{2({\mu _s} - {\mu _d})mg}}{{kV}} = \frac{{2 \times (0,37 - 0,34) \times 1,6 \times 9,81}}{{{{1,5.10}^4} \times {{10}^{ - 5}}}} = 6,3\;{\rm{s}}\) et \(\frac{{\Delta {\tau _f}}}{{{\tau _f}}} = \frac{{\Delta ({\mu _s} - {\mu _d})}}{{{\mu _s} - {\mu _d}}} \approx \,30\;\% \) soit \(\Delta {\tau _f} \approx 2\;{\rm{s}}\); ce calcul donne une précision bien moins bonne que la mesure directe sur la figure 2.
3.3.c) \({\tau _g} = \frac{2}{{{\omega _0}}}{\rm{[}}\pi - {\rm{Arctan}}\frac{{({\mu _s} - {\mu _d})g}}{{V{\omega _0}}}] = 2\sqrt {\frac{{1,6}}{{{{1,5.10}^4}}}} {\rm{[}}\pi - {\rm{Arctan}}\frac{{0,03 \times 9,81}}{{{{10}^{ - 5}}\sqrt {{{1,5.10}^4}/1,6} }}] \approx 32,51\;{\rm{ms}}\) ;
la précision par calcul avec µs −µd = 0,02 ou 0,04 est de l’ordre de 0,04 ms, moins bonne qu’en 3.2.c.
3.3.d) On ne voit pas très bien l’intérêt des questions 3.3.b,c, les résultats de ces questions étant moins précis que ceux obtenus par exploitation du graphe de la figure 2 et de 3.2.d.
3.4.a) Le régime fixe-glisse est périodique parce que l’évolution de l(t) est déterminée par une équation différentielle du second ordre et que l(t) et \(\dot l(t)\)reprennent les mêmes valeurs en début et fin d’une occurence fixe-glisse, ainsi à t3, l = µsmg /k et \(\dot l = V\) ; aux deux extrémités de la phase glisse, \(\dot l(t)\)= V : de ce fait la courbe représentative de la phase glisse présente un maximum tout au début et un minimum tout à la fin ce qui n’apparaît pas sur la figure 2.
3.4.b) Dans le référentiel plaque, les allures de l’énergie cinétique \({E_c} = m{\dot x^2}/2\) du palet et de l’énergie potentielle \({E_p} = k{l^2}/2\)du ressort (indépendante du référentiel) en fonction de t sont ci-dessous :
3.4.c) Sur une période, \(\Delta {E_c} = 0\),\(\Delta {E_p} = 0\) ; \(\Delta {E_{univers}} = 0\) ; en fait sur une période, le travail mécanique fourni au ressort et au palet par le moteur est transformé en chaleur par frottement au contact palet-plaque.
3.4.d) Le palet reçoit une partie de la chaleur produite par les frottements et la plaque reçoit le reste mais le palet finit par atteindre un régime permanent thermique au cours duquel sa température varie périodiquement mais assez peu à chaque occurrence fixe-glisse ; en moyenne sa température est constante : il ne reçoit plus de chaleur, son entropie ne varie pas ; le travail W de la force de frottement est alors entièrement fourni sous forme de chaleur à la plaque de température quasi constante Tplaque : la variation d’entropie de la plaque est W/Tplaque ; la force de frottement µdmg ne travaille que lors de la phase glisse de longueur x4 − x3 = V(t4 − t3) − (l4 − l3) = \(V({\tau _g} + {\tau _f}) \approx V{\tau _f}\,\,{\rm{car}}\,{\tau _f} > > {\tau _g}\):
\(W \approx {\mu _d}mgV{\tau _f}\) d’où \(\Delta {S_{plaque}} = \Delta {S_{univers}} = \frac{W}{{{T_{plaque}}}} = {\mu _d}mg{\tau _f}V\)
En d’autres termes, \({l_4} - {l_2} = V({t_4} - {t_2}) - ({x_4} - {x_2}) = 0\) car l2 = l4 d’où \({x_4} - {x_2} = V({t_4} - {t_2})\)ce qui montre que la vitesse moyenne du palet est V ; sur une occurrence fixe-glisse le déplacement du palet est le même que celui de l’extrémité du ressort : \(V({\tau _g} + {\tau _f}) \approx V{\tau _f}\) d’où le résultat déjà obtenu.
3.5.a) En reprenant les calculs de 3.2.a :
\(A = {l_4} - \frac{{{\mu _d}g}}{{{\omega _0}^2}}\), \(B = \frac{{V - {{\dot x}_4}}}{{{\omega _0}}}\), \(\dot x(t) = V + ({l_4}{\omega _0} - \frac{{{\mu _d}g}}{{{\omega _0}}})\sin {\omega _0}(t - {t_4}) - (V - {\dot x_4})\cos {\omega _0}(t - {t_4})\).
3.5.b) \(\dot x = 0 \Rightarrow \)\(V = - ({l_4}{\omega _0} - \frac{{{\mu _d}g}}{{{\omega _0}}})\sin {\omega _0}(t - {t_4}) + (V - {\dot x_4})\cos {\omega _0}(t - {t_4})\) ou \(V = {V_{max}}\cos [{\omega _0}(t - {t_4}) - \varphi ]\)
avec \({V_{max}} = \sqrt {{{({l_4}{\omega _0} - \frac{{{\mu _d}g}}{{{\omega _0}}})}^2} + {{(V - {{\dot x}_4})}^2}} \,\) et la condition \(\sqrt {{{({l_4}{\omega _0} - \frac{{{\mu _d}g}}{{{\omega _0}}})}^2} + {{(V - {{\dot x}_4})}^2}} \, \ge V\)
3.5.c) Si l4 = 0 et \({\dot x_4} = V\), la condition devient \(\sqrt {{{(\frac{{{\mu _d}g}}{{{\omega _0}}})}^2} + {V^2}} \, \ge V\) ce qui est réalisé.
3.5.d) \(\dot x\) peut s’annuler, si au départ, on n’a pas (\(\dot x\) proche de V) et (l proche de lP du 2.3.a) donc si on n’est pas trop proche du régime permanent de 2.3.a.
4.1.a) Son nettement plus aigu que celui du diapason : f0 ≈ 1000 Hz.
4.1.b) V ≈ 0,25 m.s−1. La force de pression est donnée par le poids d’une masse m équivalente statiquement : m ≈ 0,1 kg soit RN ≈ 0,98 N.
4.1.c) \({f_0} = \frac{1}{{2\pi }}\sqrt {\frac{k}{m}} \) \( \Rightarrow k = 4{\pi ^2}m{f_0}^2\) \( \Rightarrow \)\(k \approx {4.10^4}\;{\rm{N}}{\rm{.c}}{{\rm{m}}^{ - 1}}\).
4.1.d) La craie vibre ; un morceau du quart de la longueur de la craie a une raideur accrue (la raideur est inversement proportionnelle au cube de la longueur) : la fréquence de vibration augmente et sort du domaine audible (20-10000 Hz pour une oreille pas très sensible aux grandes fréquences).
4.2.a) Son voisin du la du diapason : f0 ≈ 500 Hz.
4.2.b) La porte grince lors d’une rotation lente ; si elle tourne de 90 ° en t = 15 s et si le contact grinçant se fait par la base du gond de diamètre moyen d = 0,75 cm : \(V = \frac{{\pi d}}{{4t}} \approx {4.10^{ - 4}}\;{\rm{m}}{\rm{.}}{{\rm{s}}^{ - {\rm{1}}}}\) .
La masse m est celle de la porte divisée par le nombre de gonds, disons 10 kg.
4.2.c) \(k \approx {10^5}\;{\rm{N}}{\rm{.c}}{{\rm{m}}^{ - 1}}\).
4.2.d) Huiler les gonds ; dégripper les gonds avec un anti-rouille ; mettre des rondelles en plastique.
4.3.a) Un pneu crisse par freinage sur une route goudronnée par temps chaud surtout et aussi en tournant à faible allure sur les sols des parkings recouverts de peinture.
4.3.b) Par freinage sur une route : V ≈ 30 m.s−1 (roues bloquées) ; m ≈ 500 kg (le quart de la masse de l’automobile avec bagages et passagers).
4.3.c) Prendre des pneus neufs ; réaliser un freinage progressif (système ABS).
4.3.d) Il vaut mieux supprimer le crissement pour un freinage efficace par freinage progressif.
4.4.a) Passer une résine solide sur l’archet, la colophane, résidu de la distillation de la térébenthine.
4.4.b) La fréquence du la du diapason est 440 Hz.
4.4.d) Il faudrait tenir compte de la propagation d’ondes transversales de déplacement le long de la corde avec une des conditions aux limites définie par le contact de l’archet , en plus des conditions limites aux extrémités de la corde.
dimension ; elle correspond à la distance nécessaire pour que les macromolécules à la base du palet se positionnent au plus près de celles de la plaque ou pour qu’elles s’arrachent un peu de la plaque pour autoriser le glissement.
5.1.c) \({\tau _r} \approx d/V.\) Il ne s’agit que d’un ordre de grandeur.
5.1.d) Pour τf, il faut trouver un produit en V, k, m, g de la dimension d’un temps :\({\tau _f} \approx \frac{g}{{V{\omega _0}^2}} = \frac{{mg}}{{kV}}\).
Pour τg, on peut prendre \({\tau _g} \approx \frac{{{T_0}}}{2} = \frac{\pi }{{{\omega _0}}} = \pi \sqrt {\frac{m}{k}} \).
5.2.a) On a donc, sans tenir compte des facteurs numériques : \({\tau _f} \sim \frac{1}{{kV}},\,\,{\tau _g} \sim \frac{1}{{\sqrt k }},\;{\tau _r} \sim \frac{1}{V}\) ;
5.2.b) Quand τg augmente, devient comparable à τr et que τgV devient supérieur à d, le palet ne peut plus se positionner assez près de la plaque pour qu’il puisse exister une phase fixe.
5.2.c) La reptation joue un rôle significatif quand τr prend des valeurs supérieures à τf et τg (voir ci-dessus).
5.2.d) On observe le régime permanent dans le domaine de prédominance deτg (pour des vitesses de plus en plus élevées).
5.3.a) On obtient le tableau et la courbe :
5.3.b) On s’attend à un loi en 1/V ; ce qui est approximativement le cas ; la loi est moins bien vérifiée pour les vitesses les plus faibles.
5.3.c) On obtient le tableau :
L’allongement l est continu à la transition.
5.3.d) Si α > 0, le régime permanent de type 2.3.a est stable ; une fois obtenu après augmentation de V, par diminution lente de V, le régime permanent subsiste. On ne retrouve pas le régime fixe-glisse.
Si α < 0, le régime permanent est instable et ne peut être obtenu de toute façon.
5.4.a) On trouve :
τf doit être en 1/V ce qui est vérifié à 10 % près.
5.4.b) L’allongement l est à valeur discontinue à la transition, soit de l’ordre de 1000 µm soit nulle.
5.4.c) Si τr = τf, le palet n’a pas le temps de se positionner en contact intime avec la plaque ; soit il est bien positionné immédiatement et alors la phase fixe se produit et est suivie d’une phase glisse ; soit il n’est pas bien positionné et la phase fixe ne se produit pas ; d’où l’aspect aléatoire du départ de la phase fixe et de l’occurrence d’un fixe-glisse.
5.4.d) Même réponse qu’en 5.3.d.
1.1.a) Sans glissement, le module et l’orientation de la force de frottement solide sont indéterminés et s’adaptent aux sollicitations extérieures (de manière à vérifier les théorèmes de la quantité de mouvement et du moment cinétique). Le non glissement n’est possible que si la réaction tangentielle RT et la réaction normale RN vérifient l’inégalité || RT || < µs|| RN ||, µs étant le coefficient de frottement de glissement statique.
1.1.b) Avec glissement (vitesse de glissement U), la force de frottement RT a la direction de U et le sens contraire, ce qui se traduit par RT ∧ U = 0 et RT.U < 0 ; de plus, la réaction tangentielle RT est liée à la réaction normale RN par la relation || RT || = µd|| RN || où µd est le coefficient de frottement de glissement dynamique.
1.1.d) Le passage du glissement au non-glissement se fait quand la vitesse de glissement s’annule et ensuite || RT || peut rester inférieure à µs|| RN ||.
1.2.a) Souvent µs > µd ; du fait des forces d’interaction microscopique (force de Van der Waals, liaison hydrogène) le contact entre les deux surfaces solides se fait avec une certaine adhérence ; s’il y a glissement, le contact est moins intime, les deux solides étant un peu espacés et en conséquence, les forces d’interaction fonction décroissante de la distance diminuent un peu.
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1.2.d) Contact acier-ferrodo des freins à disque : µ ≈ 0,6 ; contact pneu-bitume : µ ≈ 0,8.
2.1.b) Un repère Oxyz, trièdre direct, fixe dans (P), avec Ox de direction et de sens de V, Oy vertical ascendant, Oz complétant le trièdre.
2.1.c) La masse m seule.
2.1.d) Un seul degré de liberté de translation associé à x(t), abscisse sur Ox du point d’attache du ressort sur le palet.
2.2) En cas de glissement, la réaction normale est opposée au poids du palet (de module mg), la réaction tangentielle est de signe contraire à celui de la vitesse \(\dot x > 0\)du palet et vaut algébriquement −µd mg. L’allongement du ressort est l(t) = Vt − x(t) et la force appliquée par le ressort sur le palet vaut k(Vt − x). D’après le théorème de la quantité de mouvement en projection sur Ox :
\(m\ddot x = - {\mu _d}mg + k(Vt - x)\) et donc \(m\ddot l + kl = {\mu _d}mg\)
2.3.a) Recherche d’un régime permanent :
\(\dot x = cste \Rightarrow \)\({x_P} = Vt - \frac{{{\mu _d}mg}}{k}\)\( \Rightarrow \)\({\dot x_P} = V\) ; \({l_P} = Vt - {x_P} \Rightarrow \)\({l_P} = \frac{{{\mu _d}mg}}{k}\)
2.3.b) Par étude des petits mouvements :
\(l = {l_P} + \varepsilon \) ⇒ \(\ddot \varepsilon + {\omega _0}^2\varepsilon = 0\) avec \({\omega _0} = \sqrt {\frac{k}{m}} \) et donc \(\varepsilon = A\cos {\omega _0}t + B\sin {\omega _0}t\) ,
petites oscillations autour de la solution de régime permanent : le mouvement est stable.
2.3.c) En remplaçant \({\mu _d}(\dot x)\)par son développement, l’équation différentielle en l(t) s’écrit :
\(\ddot l(t) + \alpha g\dot l(t) + {\omega _0}^2l(t) \approx {\mu _d}(V)g\)
puis en remplaçant l(t) par son développement :
\(\ddot \varepsilon + \alpha g\dot \varepsilon + {\omega _0}^2\varepsilon = 0\)
L’équation caractéristique \({r^2} + \alpha gr + {\omega _0}^2 = 0\)de racines \(r = \frac{1}{2}( - \alpha g \pm i\sqrt {4{\omega _0}^2 - {\alpha ^2}{g^2}} ) \approx - \frac{1}{2}\alpha g \pm i{\omega _0}\) conduit à la solution :
\(\varepsilon (t) = \exp (\frac{{ - \alpha gt}}{2})(A\cos {\omega _0}t + B\sin {\omega _0}t)\)
3.1.a) Le palet s’arrête de glisser à un instant t2 ; alors l(t) est fonction affine du temps :
\(x(t) = {x_2}\;\;{\rm{et}}\;\;l(t) = Vt - {x_2}\)
3.1.b) Le palet ne glisse pas tant que || RT || < µs|| RN || = µsmg ; or RT + kl = 0, le palet ne glisse donc pas tant que l(t) < µsmg/k ; quand l(t) atteint µsmg/k, le glissement se produit mais alors RT = −µdmg. Le palet repart à t3 tel que :
\(V{t_3} = \frac{{{\mu _s}g}}{{{\omega _0}^2}} + {x_2}\)
3.1.c) Si le palet est fixe, x = cste, l = Vt − x est fonction affine du temps. On néglige le temps de glissement comme l’autorise la figure 2.
3.1.d) 8,2 cm correspondent à 30 s et 7,4 cm à 4 périodes et à une durée de 27 s ; la durée de glissement est donc le quart de 27 s :
\({\tau _f} \approx 6,8\; \pm 0,1\,\,{\rm{s}}\)
3.2.a) Le palet arrêté commence à glisser à t3 et alors l3 = µsmg/k = µsg/ω02 ; ensuite :
\(\ddot l + {\omega _0}^2l = {\mu _d}g\) d’où \(l(t) = A\cos {\omega _0}(t - {t_3}) + B\sin {\omega _0}(t - {t_3}) + \frac{{{\mu _d}g}}{{{\omega _0}^2}}\),
\(x(t) = Vt - \frac{{{\mu _d}g}}{{{\omega _0}^2}} - A\cos {\omega _0}(t - {t_3}) - B\sin {\omega _0}(t - {t_3})\).
D’après les conditions initiales\(\dot x({t_3}) = 0 = V - B{\omega _0}\), \({x_3} = V{t_3} - \frac{{{\mu _d}g}}{{{\omega _0}^2}} - A\)soit \(B = \frac{V}{{{\omega _0}}}\), \(A = \frac{{({\mu _s} - {\mu _d})g}}{{{\omega _0}^2}}\) :
\(l(t) = \frac{{({\mu _s} - {\mu _d})g}}{{{\omega _0}^2}}\cos {\omega _0}(t - {t_3}) + \frac{V}{{{\omega _0}}}\sin {\omega _0}(t - {t_3}) + \frac{{{\mu _d}g}}{{{\omega _0}^2}}\) , \({l_3} = \frac{{{\mu _s}g}}{{{\omega _0}^2}}\)
\(x(t) = Vt - \frac{{{\mu _d}g}}{{{\omega _0}^2}} - \frac{{({\mu _s} - {\mu _d})g}}{{{\omega _0}^2}}\cos {\omega _0}(t - {t_3}) - \frac{V}{{{\omega _0}}}\sin {\omega _0}(t - {t_3})\)
3.2.b) Le palet s’arrête de glisser à la date t4 telle que \(\dot x({t_4}) = 0\) ; or :
\(\dot x(t) = V[1 - \cos {\omega _0}(t - {t_3})] + \frac{{({\mu _s} - {\mu _d})g}}{{{\omega _0}}}\sin {\omega _0}(t - {t_3}) = 0\)
\(\tan \frac{{{\omega _0}({t_4} - {t_3})}}{2} = - \frac{{({\mu _s} - {\mu _d})g}}{{V{\omega _0}}}\) ou/et \(\sin \frac{{{\omega _0}({t_4} - {t_3})}}{2} = 0\),
la 2e solution en t4 − t3 est à éliminer car seule la solution la plus petite, la 1ère atteinte, se réalise :
\({\tau _g} = {t_4} - {t_3} = \frac{2}{{{\omega _0}}}{\rm{[}}\pi - {\rm{Arctan}}\frac{{({\mu _s} - {\mu _d})g}}{{V{\omega _0}}}]\)
3.2.c) On peut estimer τg en comptant le nombre d’intervalles séparés par 1,5 ms ; il y a 14 intervalles visibles sur la phase glisse : τg ≈ 21 ms ; cependant, cette méthode est très imprécise car au début et à la fin de la durée considérée les points sont trop rapprochés et se superposent ; certains ne sont pas comptés ; la mesure se fait par défaut à plusieurs fois 1,5 ms près. De plus, la durée de 1,5 ms est approximative. Ainsi, la détermination de τg se fait avec une précision relative de 30 à 40 %.
Une méthode précise consiste à exprimer τg en fonction de τf = t3 − t2 dont le calcul exige celui de l4 :
\({l_4} = \frac{{({\mu _s} - {\mu _d})g}}{{{\omega _0}^2}}\cos {\omega _0}({t_4} - {t_3}) + \frac{V}{{{\omega _0}}}\sin {\omega _0}({t_4} - {t_3}) + \frac{{{\mu _d}g}}{{{\omega _0}^2}}\).
Avec \(\gamma \hat = \frac{{({\mu _s} - {\mu _d})g}}{{V{\omega _0}}}\), en utilisant les expressions de sin(x) et cos(x) en fonction de tan(x/2) :
\({l_4} = \frac{{\gamma V}}{{{\omega _0}}}\frac{{1 - {\gamma ^2}}}{{1 + {\gamma ^2}}} - \frac{V}{{{\omega _0}}}\frac{{2\gamma }}{{1 + {\gamma ^2}}} + \frac{{{\mu _d}g}}{{{\omega _0}^2}}\), \({l_4} = \frac{{(2{\mu _d} - {\mu _s})g}}{{{\omega _0}^2}}\)
Mais par périodicité des oscillations de l(t), l2 = l4 et comme x3 = x2 :
l4 = Vt2 − x2 = V(t2 − t3) + l3 = − V(t3 − t2) + \(\frac{{{\mu _s}g}}{{{\omega _0}^2}}\)= \(\frac{{(2{\mu _d} - {\mu _s})g}}{{{\omega _0}^2}}\), \({\tau _f} = {t_3} - {t_2} = \frac{{2({\mu _s} - {\mu _d})g}}{{V{\omega _0}^2}}\)
\({\tau _g} = \frac{2}{{{\omega _0}}}{\rm{[}}\pi - {\rm{Arctan}}(\frac{{{\omega _0}{\tau _f}}}{2})]\)
La précision de la méthode, m, k étant supposés bien connus, est définie par la précision sur la mesure de τf soit Δτf ≈ 0,1 s ; pour τf = 6,9 s ou 6,7 s, τg a même valeur que pour τf = 6,8 s à 0,001 ms près ; d’où \(\Delta {\tau _g} = 1\;\mu {\rm{s}}\). La formule approchée \({\tau _g} \approx {T_0}/2\) donne 32,446 ms, valeur incorrecte.
3.3.a) Sur le graphe, d’après les expressions de l3 et l4 vues en 3.2.a et 3.2.c, on détermine :
- la valeur maximale de kl/mg : \(k{l_3}/mg = {\mu _s} = 0,37 \pm 0,01\) ;
- la valeur minimale de kl/mg : \(k{l_4}/mg = 2{\mu _d} - {\mu _s} \approx 0,31 \pm 0,01\)
La précision relative sur la différence des coefficients est de l’ordre de 30 % alors que la précision relative sur chaque coefficient est de l’ordre de 3 %.
3.3.b) \({\tau _f} = \frac{{2({\mu _s} - {\mu _d})mg}}{{kV}} = \frac{{2 \times (0,37 - 0,34) \times 1,6 \times 9,81}}{{{{1,5.10}^4} \times {{10}^{ - 5}}}} = 6,3\;{\rm{s}}\) et \(\frac{{\Delta {\tau _f}}}{{{\tau _f}}} = \frac{{\Delta ({\mu _s} - {\mu _d})}}{{{\mu _s} - {\mu _d}}} \approx \,30\;\% \) soit \(\Delta {\tau _f} \approx 2\;{\rm{s}}\); ce calcul donne une précision bien moins bonne que la mesure directe sur la figure 2.
3.3.c) \({\tau _g} = \frac{2}{{{\omega _0}}}{\rm{[}}\pi - {\rm{Arctan}}\frac{{({\mu _s} - {\mu _d})g}}{{V{\omega _0}}}] = 2\sqrt {\frac{{1,6}}{{{{1,5.10}^4}}}} {\rm{[}}\pi - {\rm{Arctan}}\frac{{0,03 \times 9,81}}{{{{10}^{ - 5}}\sqrt {{{1,5.10}^4}/1,6} }}] \approx 32,51\;{\rm{ms}}\) ;
la précision par calcul avec µs −µd = 0,02 ou 0,04 est de l’ordre de 0,04 ms, moins bonne qu’en 3.2.c.
3.3.d) On ne voit pas très bien l’intérêt des questions 3.3.b,c, les résultats de ces questions étant moins précis que ceux obtenus par exploitation du graphe de la figure 2 et de 3.2.d.
3.4.a) Le régime fixe-glisse est périodique parce que l’évolution de l(t) est déterminée par une équation différentielle du second ordre et que l(t) et \(\dot l(t)\)reprennent les mêmes valeurs en début et fin d’une occurence fixe-glisse, ainsi à t3, l = µsmg /k et \(\dot l = V\) ; aux deux extrémités de la phase glisse, \(\dot l(t)\)= V : de ce fait la courbe représentative de la phase glisse présente un maximum tout au début et un minimum tout à la fin ce qui n’apparaît pas sur la figure 2.
3.4.b) Dans le référentiel plaque, les allures de l’énergie cinétique \({E_c} = m{\dot x^2}/2\) du palet et de l’énergie potentielle \({E_p} = k{l^2}/2\)du ressort (indépendante du référentiel) en fonction de t sont ci-dessous :
3.4.d) Le palet reçoit une partie de la chaleur produite par les frottements et la plaque reçoit le reste mais le palet finit par atteindre un régime permanent thermique au cours duquel sa température varie périodiquement mais assez peu à chaque occurrence fixe-glisse ; en moyenne sa température est constante : il ne reçoit plus de chaleur, son entropie ne varie pas ; le travail W de la force de frottement est alors entièrement fourni sous forme de chaleur à la plaque de température quasi constante Tplaque : la variation d’entropie de la plaque est W/Tplaque ; la force de frottement µdmg ne travaille que lors de la phase glisse de longueur x4 − x3 = V(t4 − t3) − (l4 − l3) = \(V({\tau _g} + {\tau _f}) \approx V{\tau _f}\,\,{\rm{car}}\,{\tau _f} > > {\tau _g}\):
\(W \approx {\mu _d}mgV{\tau _f}\) d’où \(\Delta {S_{plaque}} = \Delta {S_{univers}} = \frac{W}{{{T_{plaque}}}} = {\mu _d}mg{\tau _f}V\)
En d’autres termes, \({l_4} - {l_2} = V({t_4} - {t_2}) - ({x_4} - {x_2}) = 0\) car l2 = l4 d’où \({x_4} - {x_2} = V({t_4} - {t_2})\)ce qui montre que la vitesse moyenne du palet est V ; sur une occurrence fixe-glisse le déplacement du palet est le même que celui de l’extrémité du ressort : \(V({\tau _g} + {\tau _f}) \approx V{\tau _f}\) d’où le résultat déjà obtenu.
\(A = {l_4} - \frac{{{\mu _d}g}}{{{\omega _0}^2}}\), \(B = \frac{{V - {{\dot x}_4}}}{{{\omega _0}}}\), \(\dot x(t) = V + ({l_4}{\omega _0} - \frac{{{\mu _d}g}}{{{\omega _0}}})\sin {\omega _0}(t - {t_4}) - (V - {\dot x_4})\cos {\omega _0}(t - {t_4})\).
3.5.b) \(\dot x = 0 \Rightarrow \)\(V = - ({l_4}{\omega _0} - \frac{{{\mu _d}g}}{{{\omega _0}}})\sin {\omega _0}(t - {t_4}) + (V - {\dot x_4})\cos {\omega _0}(t - {t_4})\) ou \(V = {V_{max}}\cos [{\omega _0}(t - {t_4}) - \varphi ]\)
avec \({V_{max}} = \sqrt {{{({l_4}{\omega _0} - \frac{{{\mu _d}g}}{{{\omega _0}}})}^2} + {{(V - {{\dot x}_4})}^2}} \,\) et la condition \(\sqrt {{{({l_4}{\omega _0} - \frac{{{\mu _d}g}}{{{\omega _0}}})}^2} + {{(V - {{\dot x}_4})}^2}} \, \ge V\)
3.5.c) Si l4 = 0 et \({\dot x_4} = V\), la condition devient \(\sqrt {{{(\frac{{{\mu _d}g}}{{{\omega _0}}})}^2} + {V^2}} \, \ge V\) ce qui est réalisé.
3.5.d) \(\dot x\) peut s’annuler, si au départ, on n’a pas (\(\dot x\) proche de V) et (l proche de lP du 2.3.a) donc si on n’est pas trop proche du régime permanent de 2.3.a.
4.1.a) Son nettement plus aigu que celui du diapason : f0 ≈ 1000 Hz.
4.1.b) V ≈ 0,25 m.s−1. La force de pression est donnée par le poids d’une masse m équivalente statiquement : m ≈ 0,1 kg soit RN ≈ 0,98 N.
4.1.c) \({f_0} = \frac{1}{{2\pi }}\sqrt {\frac{k}{m}} \) \( \Rightarrow k = 4{\pi ^2}m{f_0}^2\) \( \Rightarrow \)\(k \approx {4.10^4}\;{\rm{N}}{\rm{.c}}{{\rm{m}}^{ - 1}}\).
4.1.d) La craie vibre ; un morceau du quart de la longueur de la craie a une raideur accrue (la raideur est inversement proportionnelle au cube de la longueur) : la fréquence de vibration augmente et sort du domaine audible (20-10000 Hz pour une oreille pas très sensible aux grandes fréquences).
4.2.a) Son voisin du la du diapason : f0 ≈ 500 Hz.
4.2.b) La porte grince lors d’une rotation lente ; si elle tourne de 90 ° en t = 15 s et si le contact grinçant se fait par la base du gond de diamètre moyen d = 0,75 cm : \(V = \frac{{\pi d}}{{4t}} \approx {4.10^{ - 4}}\;{\rm{m}}{\rm{.}}{{\rm{s}}^{ - {\rm{1}}}}\) .
La masse m est celle de la porte divisée par le nombre de gonds, disons 10 kg.
4.2.c) \(k \approx {10^5}\;{\rm{N}}{\rm{.c}}{{\rm{m}}^{ - 1}}\).
4.2.d) Huiler les gonds ; dégripper les gonds avec un anti-rouille ; mettre des rondelles en plastique.
4.3.a) Un pneu crisse par freinage sur une route goudronnée par temps chaud surtout et aussi en tournant à faible allure sur les sols des parkings recouverts de peinture.
4.3.b) Par freinage sur une route : V ≈ 30 m.s−1 (roues bloquées) ; m ≈ 500 kg (le quart de la masse de l’automobile avec bagages et passagers).
4.3.c) Prendre des pneus neufs ; réaliser un freinage progressif (système ABS).
4.3.d) Il vaut mieux supprimer le crissement pour un freinage efficace par freinage progressif.
4.4.b) La fréquence du la du diapason est 440 Hz.
 F = T1 + T2 de module F = 2Tsinα ≈ 2Tα avec α ≈ x/L et donc F ≈ 2Tx/L de la forme kx d’où k ≈ 2T/L ; si la tension est égale au poids d’une masse de 10 kg et si L ≈ 0,2 m,\(k \approx 10\;{\rm{N}}{\rm{.c}}{{\rm{m}}^{ - 1}}\). |
 5.1.b) Le bristol est fait de cellulose dont les macromolécules comportent des motifs de 0,5 nm qui peuvent se répéter 4000 fois, soit de dimension d ≈ 2 µm. La distance de reptation est pratiquement égale à cette |
5.1.c) \({\tau _r} \approx d/V.\) Il ne s’agit que d’un ordre de grandeur.
5.1.d) Pour τf, il faut trouver un produit en V, k, m, g de la dimension d’un temps :\({\tau _f} \approx \frac{g}{{V{\omega _0}^2}} = \frac{{mg}}{{kV}}\).
Pour τg, on peut prendre \({\tau _g} \approx \frac{{{T_0}}}{2} = \frac{\pi }{{{\omega _0}}} = \pi \sqrt {\frac{m}{k}} \).
5.2.a) On a donc, sans tenir compte des facteurs numériques : \({\tau _f} \sim \frac{1}{{kV}},\,\,{\tau _g} \sim \frac{1}{{\sqrt k }},\;{\tau _r} \sim \frac{1}{V}\) ;
- τg = τf \( \Leftrightarrow k{V^2} = cste \Leftrightarrow \log k + 2\log V = cste\), droite de pente −2, dessus τg > τf, dessous τg < τf ;
- τr = τg \( \Leftrightarrow k/{V^2} = cste \Leftrightarrow \log k = 2\log V + cste\), droite de pente +2, dessus τr > τg, dessous τr < τg ;
- τr = τf \( \Leftrightarrow k = cste \Leftrightarrow \log k = cste\) : droite de pente 0, dessus τr > τf, dessous τr < τf ;
5.2.d) On observe le régime permanent dans le domaine de prédominance deτg (pour des vitesses de plus en plus élevées).
5.3.a) On obtient le tableau et la courbe :
| V((µm.s−1) | 0,25 | 0,42 | 0,59 | 0,75 | 1 |
|---|---|---|---|---|---|
| τ(s) | 23,1 ± 0,3 | 11,4 ± 0,3 | 6,9 ± 0,3 | 5,4 ± 0,3 | 4,2 ± 0,3 |
| Vτ(µm) | 5,8 | 4,8 | 4,1 | 4,1 | 4,2 |
5.3.c) On obtient le tableau :
| V((µm.s−1) | 0,25 | 0,42 | 0,59 | 0,75 | 1 |
|---|---|---|---|---|---|
| l(µm) | 2,2 | 1,5 | 0,73 | 0,36 | 0,18 |
5.3.d) Si α > 0, le régime permanent de type 2.3.a est stable ; une fois obtenu après augmentation de V, par diminution lente de V, le régime permanent subsiste. On ne retrouve pas le régime fixe-glisse.
Si α < 0, le régime permanent est instable et ne peut être obtenu de toute façon.
5.4.a) On trouve :
| V(µm.s−1) | 275 | 525 |
|---|---|---|
| τf(s) | 3,6 | 1,6 |
| Vτf(µm) | 990 | 840 |
5.4.b) L’allongement l est à valeur discontinue à la transition, soit de l’ordre de 1000 µm soit nulle.
5.4.c) Si τr = τf, le palet n’a pas le temps de se positionner en contact intime avec la plaque ; soit il est bien positionné immédiatement et alors la phase fixe se produit et est suivie d’une phase glisse ; soit il n’est pas bien positionné et la phase fixe ne se produit pas ; d’où l’aspect aléatoire du départ de la phase fixe et de l’occurrence d’un fixe-glisse.
5.4.d) Même réponse qu’en 5.3.d.
