Concours Physique ENS Ulm, Lyon, Cachan (option Bio) 1997 (Corrigé)

MECANIQUE des FLUIDES (ENS Bio 1997, durée 4h)
A) Equilibre d’une plaque tectonique
I.1) Considérons la particule de fluide comprise entre les abscisses x et x+dx, les ordonnées y et y+dy, les cotes z et z+dz. Elle est soumise :
* à son poids : $\; - \;\rho \;g\;dx\;dy\;dz\;{\vec u_z}\;$
* aux forces pressantes : $\begin{array}{l}\;\;\;\;P\left( {x,y,z} \right)\;dy\;dz\;{{\vec u}_x}\; - \;P\left( {x + dx,y,z} \right)\;dy\;dz\;{{\vec u}_x}\;\\\; + \;P\left( {x,y,z} \right)\;dx\;dz\;{{\vec u}_y}\; - \;P\left( {x,y + dy,z} \right)\;dx\;dz\;{{\vec u}_y}\;\\\; + \;P\left( {x,y,z} \right)\;dx\;dy\;{{\vec u}_z}\; - \;P\left( {x,y,z + dz} \right)\;dx\;dy\;{{\vec u}_z}\;\end{array}$
$\; = \; - \;\left( {\frac{{\partial P}}{{\partial x}}\;{{\vec u}_x}\; + \;\frac{{\partial P}}{{\partial y}}\;{{\vec u}_y}\; + \;\frac{{\partial P}}{{\partial z}}\;{{\vec u}_z}\;} \right)\;dx\;dy\;dz\; = \; - \;\frac{{\partial P}}{{\partial z}}\;dx\;dy\;dz\;{\vec u_z}\;$ dans le cas présent.
* aux contraintes tangentielles liées aux frottements des couches les unes sur les autres, dans l’hypothèse d’un fluide visqueux newtonien :
$\; = \; - \;\eta \;\frac{{\partial v}}{{\partial z}}\left( {x,y,z} \right)\;dx\;dy\;{\vec u_x}\; + \;\eta \;\frac{{\partial v}}{{\partial z}}\left( {x,y,z + dz} \right)\;dx\;dy\;{\vec u_x}\; = \;\;\eta \;\frac{{{\partial ^2}v}}{{\partial {z^2}}}\left( {x,y,z} \right)\;dx\;dy\;dz\;{\vec u_x}\;$

I.2) En régime permanent, la particule de fluide a une vitesse constante par rapport au temps. Si on lui applique le principe fondamental de la dynamique, on obtient :
$\;0\; = \;\left[ {\eta \;\frac{{{\partial ^2}v}}{{\partial {z^2}}}\;{{\vec u}_x}\; + \;\left( { - \;\rho \;g\; - \;\frac{{\partial P}}{{\partial z}}} \right)\;{{\vec u}_z}} \right]\;dx\;dy\;dz$
Il s’ensuit que :
* $- \;\rho \;g\; - \;\frac{{\partial P}}{{\partial z}}\; = \;0\; \Rightarrow \;\;P(z)\; = \; - \;\rho \;g\;z\; + \;P(0)\;$
* $\;\frac{{\partial {}^2v}}{{\partial {z^2}}}\; = \;0\; \Rightarrow \;v(z)\; = \;a\;z\; + \;b\;\;avec\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{v_0}\; = \;b}\\{0\; = \; - \;a\;{h_A}\; + \;b\;}\end{array}\; \Rightarrow \;} \right.\;v(z)\; = \;{v_0}\;\left( {\frac{z}{{{h_A}}}\; + \;1} \right)\;$⇒ $\;\vec \tau \; = \; - \;\frac{{{v_0}}}{{{h_A}}}\;{\vec u_x}\;$

I.3) $\ {{D}_{V}}\ =\ \iint_{S}{\vec{v}\ .\ {{\overline{{{d}^{2}}S}}^{>}}\ =\ \int_{-\ {{h}_{A}}}^{+\ {{h}_{L}}}{v(z)\ dz\ .\ \int_{y}^{y+1}{dy\ =\ \int_{-\ {{h}_{A}}}^{0}{{{v}_{0}}\ \left( \frac{z}{{{h}_{A}}}\ +\ 1 \right)}}}}\ dz\ +\ \int_{0}^{+\ {{h}_{L}}}{{{v}_{0}}\ dz\ \Leftrightarrow }$
$\;{D_V}\; = \;{v_0}\;\left( {\frac{{{h_A}}}{2}\; + \;{h_L}} \right)\;$
II.1) Sans gradient de pression horizontal, comme nous venons de le voir à la question précédente, il est impossible d’obtenir un débit volumique nul.
Imaginons par conséquent, qu’il existe un gradient de pression horizontal uniforme : $\;\frac{{\partial P}}{{\partial x}}\; = \;\varpi \;$.
En régime permanent, la particule de fluide a une vitesse constante par rapport au temps. Si on lui applique le principe fondamental de la dynamique, on obtient :
$\;0\; = \;\left[ {\left( { - \;\frac{{\partial P}}{{\partial x}}\; + \eta \;\frac{{{\partial ^2}v}}{{\partial {z^2}}}} \right)\;{{\vec u}_x}\; + \;\left( { - \;\rho \;g\; - \;\frac{{\partial P}}{{\partial z}}} \right)\;{{\vec u}_z}} \right]\;dx\;dy\;dz$
Il s’ensuit que :
* $- \;\rho \;g\; - \;\frac{{\partial P}}{{\partial z}}\; = \;0\; \Rightarrow \;$$\;P(x,z)\; = \; - \;\rho \;g\;z\; + \;f(x)\;$
* $\;\frac{{\partial {}^2v}}{{\partial {z^2}}}\; = \;\frac{\varpi }{\eta }\; \Rightarrow \;v(z)\; = \;\frac{\varpi }{{2\;\eta }}\;{z^2}\; + \;a\;z\; + \;b\;\;avec\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{v_0}\; = \;b}\\{0\; = \;\frac{\varpi }{{\;2\eta }}\;{h_A}^2\;\; - \;a\;{h_A}\; + \;b\;}\end{array}\; \Rightarrow \;} \right.$
$\;v(z)\; = \;\frac{\varpi }{{2\;\eta }}\;\left( {{z^2}\; + \;{h_A}\;z} \right)\; + \;{v_0}\;\left( {\frac{z}{{{h_A}}}\; + \;1} \right)\;$
* $\ {{D}_{V}}\ =\ \iint_{S}{\vec{v}\ .\ {{\overline{{{d}^{2}}S}}^{>}}\ =\ \int_{-\ {{h}_{A}}}^{+\ {{h}_{L}}}{v(z)\ dz\ .\ \int_{y}^{y+1}{dy\ =\ \int_{-\ {{h}_{A}}}^{0}{\left[ \ \frac{\varpi }{2\ \eta }\ \left( {{z}^{2}}\ +\ {{h}_{A}}\ z \right)\ +\ {{v}_{0}}\ \left( \frac{z}{{{h}_{A}}}\ +\ 1 \right)\ \right]}}}}\ dz\ +\ \int_{0}^{+\ {{h}_{L}}}{{{v}_{0}}\ dz\ \Leftrightarrow }$
$\;{D_V}\; = \; - \;\frac{\varpi }{{12\;\eta }}\;{h_A}^3\; + \;{v_0}\;{h_A}\;\left( {\frac{{{h_L}}}{{{h_A}}}\; + \;\frac{1}{2}} \right)\; = \;0\; \Leftrightarrow \;$$\;\varpi \; = \;\frac{{\partial P}}{{\partial x}}\; = \;\frac{{12\;\eta \;{v_0}}}{{{h_A}^2}}\;\left( {\frac{{{h_L}}}{{{h_A}}}\; + \;\frac{1}{2}} \right)\; = \;\frac{{2A\;\eta \;{v_0}}}{{{h_A}^2}}\;$ ⇒
$\;v(z)\; = \;{v_0}\;\left[ {A\;{{\left( {\frac{z}{{{h_A}}}} \right)}^2}\; + \;\left( {A + 1} \right)\;\frac{z}{{{h_A}}}\; + \;1} \right]\;$

II.2) *$\;v(z)\; = \;{v_0}\;\left[ {A\;{{\left( {\frac{z}{{{h_A}}}} \right)}^2}\; + \;\left( {A + 1} \right)\;\frac{z}{{{h_A}}}\; + \;1} \right]\; = \;0\;$pour $\;z\; = \;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - \;{h_A}\;}\\{\frac{{ - \;{h_A}}}{A}\;}\end{array}} \right.$
* Pour $\;z\; = \;\frac{{ - \;{h_A}}}{{2\;A}}\;\left( {A + 1} \right)\;$ , la vitesse de retour est de norme maximale donnée par $\;{v_{\max }}\; = \;\frac{{{v_0}}}{{4\;A}}\;\left( {{A^2}\; - \;2\;A\; + \;1} \right)\;$ .
* Pour A = 4, $\;\frac{{v(z)}}{{{v_0}}}\; = \;4\;{\left( {\frac{z}{{{h_A}}}} \right)^2}\; + \;5\;\frac{z}{{{h_A}}}\; + \;1\;$

II.3) $\;\vec \tau \; = \; - \;\eta \;\frac{{\partial v}}{{\partial z}}\;{\vec u_x}\; = \; - \;\eta \;\left( {A + 1} \right)\;\frac{{{v_0}}}{{{h_A}}}\;{\vec u_x}\; \Leftrightarrow \;$$\;\vec \tau \; = \; - \;2\;\eta \;\frac{{{v_0}}}{{{h_A}}}\;\left( {3\;\frac{{{h_L}}}{{{h_A}}}\; + \;2} \right)\;{\vec u_x}\;$
Par rapport au résultat du A.I.2, la contrainte tangentielle dépend de la viscosité du fluide.
II.4) Nous avons déjà trouvé : $- \;\rho \;g\; - \;\frac{{\partial P}}{{\partial z}}\; = \;0\; \Rightarrow \;$$\;P(x,z)\; = \; - \;\rho \;g\;z\; + \;f(x)\;$ . Si nous traduisons en outre que : $\;\frac{{\partial P}}{{\partial x}}\; = \;\varpi \; = \;\frac{{df}}{{dx}}\; \Rightarrow \;f\; = \;\varpi \;x\; + \;P(0,0)\;$, nous en déduisons :
$\;P(x,z)\; = \; - \;\rho \;g\;z\; + \;\varpi \;x\; + \;P(0,0)\;$
Traduisons que la portion de lithosphère comprise entre x et x+dx, y et y+dy est en équilibre selon $\;{\vec u_x}\;$sous l’action de son poids et de la force pressante exercée par l’asthénosphère, on obtient :
$\; - \;\rho \;{h_L}\;dx\;dy\;g\; + \;\left( {\varpi \;x\; - \;\rho \;g\;z\; + \;{P_0}} \right)\;dx\;dy\; = \;0\; \Rightarrow \;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\;en\;\left( {x\; = \;0\;,\;z} \right)\;,\; - \;\rho \;{h_L}\;g\; - \;\rho \;g\;z\; + \;{P_0}\; = \;0\;}\\{\;en\;\left( {x\; = \;L\;,\;z + \;\Delta h} \right)\;,\; - \;\rho \;{h_L}\;g\; + \;\left( {\varpi \;L\; - \;\rho \;g\;\left[ {z + \;\Delta h} \right] + \;{P_0}} \right)\; = \;0}\end{array}} \right.$
En combinant les deux équations, on obtient : $\;\Delta h\; = \;\frac{{\varpi \;L}}{{\rho \;g}}\;$
II.5) Le poids apparent est le poids diminué de la poussée d’Archimède :
$\;\Delta F\; = \;{\rho _L}\;g\;{h_L}\;\left( {{h_L}\; + \;H} \right)\; - \;\rho \;g\;{h_L}\;H\;\;avec\;\;{\rho _L}\; = \;\rho \;\left( {1\; + \;\alpha \;\Delta T} \right)\;\;soit\;\;\Delta F = \;{3,34.10^{14}}\;N.{m^{ - 1}}\;$
II.6) Le principe fondamental de la dynamique appliqué à la lithosphère implique que :
$\;\vec \tau \;L\; + \;\Delta F\;{\vec u_x}\; = 0\; \Rightarrow \; - \;2\;\eta \;\frac{{{v_0}}}{{{h_A}}}\;\left( {3\;\frac{{{h_L}}}{{{h_A}}}\; + \;2} \right)\;L\; + \;\Delta F\; = \;0\; \Leftrightarrow \;$
$\;\eta \; = \;\frac{{{h_L}\;\Delta F}}{{2\;{v_0}\;L}}\;\frac{{{x^2}}}{{2\;x\; + \;3}}\; = \;{1,75.10^{21}}\;\frac{{{x^2}}}{{2\;x\; + \;3}}\;(en\;Pl)\;$

II.7) En combinant les résultats des questions A.II.1, A.II.4 et A.II.6, on obtient :
$\;\Delta h\; = \;\frac{{\varpi \;L}}{{\rho \;g}}\; = \;\frac{{3\;\Delta F}}{{\rho \;g\;{h_L}}}\;\frac{{x\; + \;2}}{{x\;\left( {2\;x\; + \;3} \right)}}\; = \;{3,192.10^5}\;\frac{{x\; + \;2}}{{x\;\left( {2\;x\; + \;3} \right)}}\;(en\;m)\;$
II.8) Des valeurs acceptables pour h_A sont de l’ordre de 10⁶ m, ce qui correspond à x = 10. Les valeurs de η correspondantes sont de l’ordre de 10²² Pl. Il s’agit de fluides rampants.
II.9) Pour vérifier qu’on a bien un fluide rampant, on peut aussi calculer le nombre de Reynolds correspondant : $\;{\rm{R}}\;{\rm{ = }}\;\frac{{U\;L}}{\nu }\; \approx \;\frac{{{{1,6.10}^{ - 9}}\;.\;{{10}^6}}}{{{{3,1.10}^{19}}}}\; \approx \;{5.10^{ - 23}}\; < < \;1\;$ .
B) Rebond post-glaciaire
I.1) Traduisons que le couple résultant doit être nul :
$\;\left[ {{\tau _{zx}}\left( {x,z + \frac{{dz}}{2}} \right)\; + \;{\tau _{zx}}\left( {x,z - \frac{{dz}}{2}} \right)} \right]\;dx\;dy\;{\vec u_y}\;dz\; - \;\left[ {{\tau _{xz}}\left( {x - \frac{{dx}}{2},z} \right)\; + \;{\tau _{zx}}\left( {x + \frac{{dx}}{2},z} \right)} \right]\;dy\;dz\;{\vec u_y}\;dx\; = \;0\; \Leftrightarrow \;$
$\;\left[ {{\tau _{zx}}\left( {x,z} \right)\; + \;\frac{{\partial {\tau _{zx}}}}{{\partial z}}\;\frac{{dz}}{2} + \;{\tau _{zx}}\left( {x,z} \right)\; - \;\frac{{\partial {\tau _{zx}}}}{{\partial z}}\;\frac{{dz}}{2}} \right]\; - \;\left[ {{\tau _{xz}}\left( {x,z} \right)\; - \;\frac{{\partial {\tau _{xz}}}}{{\partial z}}\;\frac{{dx}}{2}\; + \;{\tau _{xz}}\left( {x,z} \right)\; + \;\frac{{\partial {\tau _{xz}}}}{{\partial z}}\;\frac{{dx}}{2}} \right]\; = \;0\; \Leftrightarrow \;$
$\;{\tau _{xz}}\left( {x,z} \right)\; = \;{\tau _{zx}}\left( {x,z} \right)\;$
I.2)
$\begin{array}{l}\;{f_x}\;dx\;dy\;dz\; = \;\left[ {{\tau _{zx}}\left( {x,z + \frac{{dz}}{2}} \right)\; - \;{\tau _{zx}}\left( {x,z - \frac{{dz}}{2}} \right)} \right]\;dx\;dy\; + \;\left[ {{\tau _{xx}}\left( {x + \frac{{dx}}{2},z} \right)\; - \;{\tau _{xx}}\left( {x - \frac{{dx}}{2},z} \right)} \right]\;dx\;dy\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \;\frac{{\partial {\tau _{zx}}}}{{\partial z}}\;dx\;dy\;dz\; + \;\frac{{\partial {\tau _{xx}}}}{{\partial x}}\;dx\;dy\;dz\; \Leftrightarrow \;\end{array}$
$\;{f_x}\; = \;\frac{{\partial {\tau _{xx}}}}{{\partial x}}\; + \;\frac{{\partial {\tau _{zx}}}}{{\partial z}}\;$ . De même, $\;{f_z}\; = \;\frac{{\partial {\tau _{xz}}}}{{\partial x}}\; + \;\frac{{\partial {\tau _{zz}}}}{{\partial z}}\;$
I.3) Calculons le débit masse sortant de l’élément de volume : Le fluide étant incompressible, ce débit est nul.
$\begin{array}{l}\;{D_m}\;dx\;dy\;dz\; = \;\left[ {\rho \;{v_z}\left( {x,z + \frac{{dz}}{2}} \right)\; - \;\rho \;{v_z}\left( {x,z - \frac{{dz}}{2}} \right)} \right]\;dx\;dy\; + \;\left[ {\rho \;{v_x}\left( {x + \frac{{dx}}{2},z} \right)\; - \;\rho \;{v_x}\left( {x - \frac{{dx}}{2},z} \right)} \right]\;dx\;dy\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \;\rho \;\frac{{\partial {v_z}}}{{\partial z}}\;dx\;dy\;dz\; + \;\rho \;\frac{{\partial {v_x}}}{{\partial x}}\;dx\;dy\;dz\; = 0\; \Leftrightarrow \;\end{array}$
$\;\frac{{\partial {v_x}}}{{\partial x}}\; + \;\frac{{\partial {v_z}}}{{\partial z}}\; = \;0\;$
I.4) $\;{f_x}\; = \;2\;\eta \;\frac{{{\partial ^2}{v_x}}}{{\partial {x^2}}}\; + \;\eta \;\left( {\frac{{{\partial ^2}{v_x}}}{{\partial {z^2}}}\; + \;\frac{{{\partial ^2}{v_z}}}{{\partial z\;\partial x}}} \right)\; = \;\eta \;\left( {\frac{{{\partial ^2}{v_x}}}{{\partial {x^2}}}\; + \;\frac{{{\partial ^2}{v_x}}}{{\partial {z^2}}}} \right)\; + \;\eta \;\frac{\partial }{{\partial x}}\left( {\frac{{\partial {v_x}}}{{\partial x}}\; + \;\frac{{\partial {v_z}}}{{\partial z}}} \right)\; \Leftrightarrow \;$
$\;{f_x}\; = \;\eta \;\left( {\frac{{{\partial ^2}{v_x}}}{{\partial {x^2}}}\; + \;\frac{{{\partial ^2}{v_x}}}{{\partial {z^2}}}} \right)\;$ . De même, $\;{f_z}\; = \;\eta \;\left( {\frac{{{\partial ^2}{v_z}}}{{\partial {x^2}}}\; + \;\frac{{{\partial ^2}{v_z}}}{{\partial {z^2}}}} \right)\;$
I.5) Calculons l’accélération particulaire :
$\;{\vec v_p}(t)\; = \;{v_x}\;(x,\;z,\;t)\;{\vec u_x}\; + \;{v_z}\;(x,\;z,\;t)\;{\vec u_z}\;$⇒
$\;{\vec a_p}\;(t)\; = \;\left( {\;\frac{{\partial \;{v_x}}}{{\partial \;x}}\;\frac{{d\;x}}{{d\;t}}\; + \;\frac{{\partial \;{v_x}}}{{\partial \;z}}\;\frac{{d\;z}}{{d\;t}}\; + \;\frac{{\partial \;{v_x}}}{{\partial \;t}}\;\frac{{d\;t}}{{d\;t}}\;} \right)\;{\vec u_x}\; + \;\left( {\;\frac{{\partial \;{v_z}}}{{\partial \;x}}\;\frac{{d\;x}}{{d\;t}}\; + \;\frac{{\partial \;{v_z}}}{{\partial \;z}}\;\frac{{d\;z}}{{d\;t}}\; + \;\frac{{\partial \;{v_z}}}{{\partial \;t}}\;\frac{{d\;t}}{{d\;t}}\;} \right)\;{\vec u_z}\; \Leftrightarrow$
$\;{\vec a_p}\;(t)\; = \;\left( {\;\frac{{\partial \;{v_x}}}{{\partial \;x}}\;{v_x}\; + \;\frac{{\partial \;{v_x}}}{{\partial \;z}}\;{v_z}\; + \;\frac{{\partial \;{v_x}}}{{\partial \;t}}\;} \right)\;{\vec u_x}\; + \;\left( {\;\frac{{\partial \;{v_z}}}{{\partial \;x}}\;{v_x}\; + \;\frac{{\partial \;{v_z}}}{{\partial \;z}}\;{v_z}\; + \;\frac{{\partial \;{v_z}}}{{\partial \;t}}\;} \right)\;{\vec u_z}\; \Leftrightarrow$
$\;{\vec a_p}\;(t)\; = \;\frac{{D\;\vec v}}{{D\;t}}\; = \;\frac{{\partial \;\vec v}}{{\partial \;t}}\; + \;\left( {\;\vec v\;.\;{{\overline {grad} }^ > }} \right)\;\vec v\;$ : la dérivée particulaire est la somme de la dérivée locale, qui traduit le caractère non permanent de l’écoulement : $\;\frac{{\partial \;\vec v}}{{\partial \;t}}\;$et de la dérivée convective (ou accélération de transport) : $\;\left( {\;\vec v\;.\;{{\overline {grad} }^ > }} \right)\;\vec v\;$qui traduit le caractère non uniforme (spatialement) du champ de vitesse.
Appliquons le principe fondamental de la dynamique à une particule de volume unité :
* En projection sur Ox : $\;\rho \;\left( {\;\frac{{\partial \;{v_x}}}{{\partial \;x}}\;{v_x}\; + \;\frac{{\partial \;{v_x}}}{{\partial \;z}}\;{v_z}\; + \;\frac{{\partial \;{v_x}}}{{\partial \;t}}\;} \right)\; = \; - \;\frac{{\partial P}}{{\partial x}}\; + \;\eta \;\left( {\frac{{{\partial ^2}{v_x}}}{{\partial {x^2}}}\; + \;\frac{{{\partial ^2}{v_x}}}{{\partial {z^2}}}} \right)\;$
* En projection sur Oz : $\;\rho \;\left( {\;\frac{{\partial \;{v_z}}}{{\partial \;x}}\;{v_x}\; + \;\frac{{\partial \;{v_z}}}{{\partial \;z}}\;{v_z}\; + \;\frac{{\partial \;{v_z}}}{{\partial \;t}}\;} \right)\; = \; - \;\frac{{\partial P}}{{\partial z}}\; + \;\eta \;\left( {\frac{{{\partial ^2}{v_z}}}{{\partial {x^2}}}\; + \;\frac{{{\partial ^2}{v_z}}}{{\partial {z^2}}}} \right)\; - \;\rho \;g\;$

II.1) La viscosité étant très grande, le régime permanent sera très vite atteint.
Dit autrement, le nombre de Reynolds étant très petit, la durée de diffusion sera très petite devant la durée de convection.
II.2)
* Traduisons l’équation : $\;\frac{{\partial {v_x}}}{{\partial x}}\; + \;\frac{{\partial {v_z}}}{{\partial z}}\; = \;0\;$démontrée à la question B.I.3 :
$\;k\;U(z)\;\cos \;kx\; + \;\frac{{dV(z)}}{{dz}}\;\cos \;kx\; = \;0\; \Leftrightarrow \;$$\;\frac{{dV(z)}}{{dz}}\; + \;k\;U(z)\; = \;0\;$ (E1)
* Traduisons l’équation : $\; - \;\frac{{\partial P}}{{\partial x}}\; + \;\eta \;\left( {\frac{{{\partial ^2}{v_x}}}{{\partial {x^2}}}\; + \;\frac{{{\partial ^2}{v_x}}}{{\partial {z^2}}}} \right)\; = 0\;$qui représente l’état de régime permanent
atteint , d’après les questions B.I.5 et B.II.1 :
$\;k\;P(z)\;\sin \;kx\; + \;\eta \;\left( { - \;{k^2}\;U(z)\;\sin \;kx\; + \;\frac{{{d^2}U(z)}}{{d{z^2}}}\;\sin \;kx} \right)\; = \;0\; \Leftrightarrow \;$
$\;\frac{{{d^2}U(z)}}{{d{z^2}}}\; - \;{k^2}\;U(z)\; + \;\frac{k}{\eta }\;P(z)\; = \;0\;$ (E2)
* Traduisons l’équation : $\; - \;\frac{{\partial P}}{{\partial z}}\; + \;\eta \;\left( {\frac{{{\partial ^2}{v_z}}}{{\partial {x^2}}}\; + \;\frac{{{\partial ^2}{v_z}}}{{\partial {z^2}}}} \right)\; - \;\rho \;g\; = 0\;$qui représente l’état de régime
permanent atteint , d’après les questions B.I.5 et B.II.1 :
$\;\rho \;g\; - \;\frac{{dP(z)}}{{dz}}\;\cos \;kx\; + \;\eta \;\left( { - \;{k^2}\;V(z)\;\cos \;kx\; + \;\frac{{{d^2}V(z)}}{{d{z^2}}}\;\cos \;kx} \right)\; - \;\rho \;g\; = \;0\; \Leftrightarrow \;$
$\;\frac{{{d^2}V(z)}}{{d{z^2}}}\; - \;{k^2}\;V(z)\; - \;\frac{1}{\eta }\;\frac{{dP(z)}}{{dz}}\; = \;0\;$ (E3)
II.3) (E1) ⇔ $\;U(z)\; = \; - \;\frac{1}{k}\;\frac{{dV(z)}}{{dz}}\; \Rightarrow \;\frac{{{d^2}U(z)}}{{d{z^2}}}\; - \;{k^2}\;U(z) = \; - \;\frac{1}{k}\;\;\frac{{{d^3}V(z)}}{{d{z^3}}}\; + \;k\;\frac{{dV(z)}}{{dz}}\;$
En reportant le résultat précédent dans (E2) réordonnée, on obtient :
$\;P(z)\; = \; - \;\frac{\eta }{k}\;\left( {\frac{{{d^2}U(z)}}{{d{z^2}}}\; - \;{k^2}\;U(z)} \right)\; = \;\frac{\eta }{{{k^2}}}\;\;\frac{{{d^3}V(z)}}{{d{z^3}}}\; - \;\eta \;\frac{{dV(z)}}{{dz}}\; \Rightarrow \; - \;\frac{1}{\eta }\;\frac{{dP(z)}}{{dz}}\; = \; - \;\frac{1}{{{k^2}}}\;\;\frac{{{d^4}V(z)}}{{d{z^4}}}\; + \;\frac{{{d^2}V(z)}}{{d{z^2}}}\;$
En reportant dans (E3), on obtient :
$\;\frac{{{d^2}V(z)}}{{d{z^2}}}\; - \;{k^2}\;V(z)\; - \;\frac{1}{{{k^2}}}\;\;\frac{{{d^4}V(z)}}{{d{z^4}}}\; + \;\frac{{{d^2}V(z)}}{{d{z^2}}}\; = \;0\; \Leftrightarrow \;$
$\;\frac{{{d^4}V(z)}}{{d{z^4}}}\; - \;2\;{k^2}\;\frac{{{d^2}V(z)}}{{d{z^2}}}\; + \;{k^4}\;V(z)\; = \;0\;$ (E4)
L’équation (E4) admet bien les solutions proposées :
* Solutions e^kz ou e^-kz : $\;{e^{ \pm \;kz}}\;\left( {{k^4}\; - \;2\;{k^2}\;{k^2}\; + \;{k^4}} \right)\; = \;0\;$
* Solution z e^kz : $\;{e^{kz}}\;\left[ {\left( {4\;{k^3}\; + \;{k^4}\;z} \right)\; - \;2\;{k^2}\;\left( {2\;k\; + \;{k^2}\;z} \right)\; + \;{k^4}\;z} \right]\; = \;0\;$
* Solution z e^-kz : $\;{e^{ - kz}}\;\left[ {\left( { - \;4\;{k^3}\; + \;{k^4}\;z} \right)\; - \;2\;{k^2}\;\left( { - \;2\;k\; + \;{k^2}\;z} \right)\; + \;{k^4}\;z} \right]\; = \;0\;$
II.4) La solution générale de l’équation (E4) est donc de la forme :
$\;V(z)\; = \;\left( {A\; + \;B\;k\;z} \right)\;{e^{kz}}\; + \;\left( {C\; + \;D\;k\;z} \right)\;{e^{ - kz}}\; \Rightarrow \;v(x,z)\; = \;\left[ {\left( {A\; + \;B\;k\;z} \right)\;{e^{kz}}\; + \;\left( {C\; + \;D\;k\;z} \right)\;{e^{ - kz}}} \right]\;\cos \;kx\;$
Or, z peut prendre des valeurs négatives de valeur absolue importante, alors que la vitesse doit rester petite. La seule solution ayant un sens physique correspond à C = D = 0.
Les solutions ont donc bien la forme proposée.
* $\;{v_z}(x,z)\; = \;\left( {A\; + \;B\;k\;z} \right)\;{e^{kz}}\;\cos \;kx\; \Leftrightarrow \;V(z)\; = \;\;\left( {A\; + \;B\;k\;z} \right)\;{e^{kz}}\;$ (R1)
* En reportant le (R1) dans (E1), on trouve :
$\;U(z)\; = \; - \;\left[ {\left( {A\; + \;B} \right)\; + \;B\;k\;z} \right]\;{e^{kz}}\; \Rightarrow \;{v_x}(x,z)\; = \; - \;\left[ {\left( {A\; + \;B} \right)\; + \;B\;k\;z} \right]\;{e^{kz}}\;\sin \;kx\;$ (R2)
* En reportant le (R2) dans (E2), on trouve :
$\;P(z)\; = \;2\;k\;\eta \;B\;{e^{kz}}\; \Rightarrow \;{P_x}(x,z)\; = \; - \;\rho \;g\;z\; + \;2\;k\;\eta \;B\;{e^{kz}}\;\cos \;kx\;$ (R3)
* En reportant (R1) dans $\;{\tau _{zz}}\; = \;2\;\eta \;\frac{{\partial {v_z}}}{{\partial z}}\;$, on trouve :
$\;{\tau _{zz}}(x,z)\; = \;2\;k\;\eta \;\left[ {\left( {A\; + \;B} \right)\; + \;B\;k\;z} \right]\;{e^{kz}}\;\cos \;kx\;$ (R4)
II.5) Traduisons les conditions aux limites :
* $\;{v_z}(x,{h_0}\;\cos \;kx)\; = \; - \;\left[ {\left( {A\; + \;B} \right)\; + \;B\;k\;{h_0}\;\cos \;kx} \right]\;{e^{k{h_0}\;\cos \;kx}}\;\sin \;kx\; = \;0\;\;avec\;\;k\;{h_0}\; < < \;1\; \Rightarrow \;A\; + \;B\; = \;0\;$en
négligeant B k h₀ cos kx devant B.
* $\begin{array}{l}\;{P_x}(x,z)\; - \;{\tau _{zz}}(x,z)\; = \; - \;\rho \;g\;z\; + \;2\;k\;\eta \;B\;{e^{kz}}\;\cos \;kx\; - \;2\;k\;\eta \;\left[ {\left( {A\; + \;B} \right)\; + \;B\;k\;z} \right]\;{e^{kz}}\;\cos \;kx\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \; - \;\rho \;g\;z\; - \;2\;k\;\eta \;\left[ {A\; + \;B\;k\;z} \right]\;{e^{kz}}\;\cos \;kx\; \Rightarrow \;\end{array}$ $\begin{array}{l}\;{P_x}(x,{h_0}\;\cos \;kx)\; - \;{\tau _{zz}}(x,{h_0}\;\cos \;kx)\; = \; - \;\rho \;g\;{h_0}\;\cos \;kx\; - \;2\;k\;\eta \;\left[ {A\; + \;B\;k\;{h_0}\;\cos \;kx} \right]\;{e^{k{h_0}\;\cos \;kx}}\;\cos \;kx\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \;{p_0}\;\cos \;kx\;\;avec\;\;k\;{h_0}\; < < \;1\; \Rightarrow \; - \;\rho \;g\;{h_0}\; - \;2\;k\;\eta \;A\; = \;{p_0}\; \Leftrightarrow \;\end{array}$
$\;B\; = \; - \;A\; = \;\frac{{{p_0}\; + \;\rho \;g\;{h_0}}}{{2\;k\;\eta }}\;$

II.6) Du résultat précédent, on déduit :
* $\;{v_x}(x,z)\; = \; - \;B\;k\;z\;{e^{kz}}\;\sin \;kx\;$
* $\;{v_z}(x,z)\; = \; - \;B\;\left( {1\; - \;k\;z} \right)\;{e^{kz}}\;\cos \;kx\;$
Une ligne de courant est une ligne tangente en chacun de ses points au vecteur vitesse. Son équation est donc :
$\;\frac{{dx}}{{ - \;B\;k\;z\;{e^{kz}}\;\sin \;kx\;}}\; = \;\frac{{dz}}{{ - \;B\;\left( {1\; - \;k\;z} \right)\;{e^{kz}}\;\cos \;kx\;}}\; \Leftrightarrow \;dx\;\frac{{\cos \;kx}}{{\sin \;kx}}\; = \;dz\;\frac{{kz}}{{1\; - \;kz}}\; = \;dz\;\left( { - \;1\; + \;\frac{1}{{1\; - \;kz}}} \right)\;$
En intégrant, on obtient :
$\;\frac{1}{k}\;\ln \;\left| {\sin \;kx} \right|\; = \; - \;z\; - \;\frac{1}{k}\;\ln \;\left| {1\; - \;kz} \right|\; + \;\frac{1}{k}\;\ln \;\left| \alpha \right|\;$où α désigne une constante d’intégration.
En réordonnant, on obtient : $\;\left( {1\; - \;kz} \right)\;{e^{kz}}\;\sin \;kx\; = \;\alpha \;$ : équations des lignes de courant
L’allure des lignes de courant jusqu’à la profondeur 1/k est :
II.7) $\;{v_z}(x,z)\; = \; - \;\frac{{{p_0}\; + \;\rho \;g\;{h_0}}}{{2\;k\;\eta }}\;\left( {1\; - \;k\;z} \right)\;{e^{kz}}\;\cos \;kx\; = \;\frac{{dh}}{{dt}}\; \Rightarrow \;$
$\;\frac{{d{h_0}}}{{dt}}\; = \; - \;\frac{{{p_0}\; + \;\rho \;g\;{h_0}}}{{2\;k\;\eta }}\;\left( {1\; - \;k\;{h_0}\;\cos \;kx} \right)\;{e^{k{h_0}\;\cos \;kx}}\; \approx \; - \;\frac{{{p_0}\; + \;\rho \;g\;{h_0}}}{{2\;k\;\eta }}\;\;car\;\;k\;{h_0}\; < < \;1\; \Rightarrow \;$
Il faut trouver α et β tels que : $\; - \;\alpha \;\frac{{{p_0}\; + \;\rho \;g\;{h_0}}}{{2\;k\;\eta }}\; + \;{h_0}\; = \; - \;\beta \;{p_0}\; \Rightarrow \;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\alpha \; = \;\frac{{2\;k\;\eta }}{{\rho \;g}}\;}\\{\beta \; = \;\frac{1}{{\rho \;g}}\;}\end{array}} \right.$
α est homogène à un temps : α reprèsente la constante de temps du système.
En régime permanent, l’amplitude à faible distance est la même qu’en surface.
III.1) L’allure de la calotte glaciaire est la suivante :
III.2) Appliquons l’équation différentielle de la question B.II.7, soit :
$\;\alpha \;\frac{{d{h_0}}}{{dt}}\; + \;{h_0}\; = \; - \;\frac{{{\rho _g}}}{\rho }\;\frac{{{H_M}}}{{{t_M}\; - \;{t_0}}}\;t\; = \; - \;\gamma \;t\; \Rightarrow \;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\;{h_0}\left( t \right)\; = \;A\;{e^{ - t/\alpha }}\; - \;\gamma \;t\;}\\{0\; = \;A\;{e^{ - {t_0}/\alpha }}\; - \;\gamma \;{t_0}\;}\end{array}\;\; \Rightarrow \;{h_0}\left( t \right)\; = \;\frac{{{\rho _g}}}{\rho }\;\frac{{{H_M}}}{{{t_M}\; - \;{t_0}}}\;\left( {{t_0}\;{e^{ - \left( {t - {t_0}} \right)/\alpha }}\; - \;t} \right)\;} \right. \Rightarrow \;$ $\;{h_M}\; = \;\frac{{{\rho _g}}}{\rho }\;\frac{{{H_M}}}{{{t_M}\; - \;{t_0}}}\;\left( {{t_0}\;{e^{ - \left( {{t_M} - {t_0}} \right)/\alpha }}\; - \;{t_M}} \right)\;$
R] On retrouve à travers le second membre de l’équation différentielle que la calotte glaciaire flotte sur l’asthénosphère comme un glaçon sur un verre d’eau, en s’enfonçant de h₀(t) pour une hauteur de « glaçon » H(t).
III.3) Appliquons l’équation différentielle de la question B.II.7, soit :
$\;\alpha \;\frac{{d{h_0}}}{{dt}}\; + \;{h_0}\; = \;0\; \Rightarrow \;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\;{h_0}\left( t \right)\; = \;A\;{e^{ - t/\alpha }}\;}\\{{h_M}\; = \;A\;{e^{ - {t_0}/\alpha }}\;}\end{array}\;\; \Rightarrow \;{h_0}\left( t \right)\; = \;{h_M}\;} \right.{e^{ - \left( {t - {t_M}} \right)/\alpha }} \Rightarrow \;\frac{{d\;{h_0}(t)}}{{dt}}\; = \; - \;\frac{1}{\alpha }\;{h_M}\;{e^{ - \left( {t - {t_M}} \right)/\alpha }}\; \Rightarrow$
$\;{h_0}\;(0)\; = \;{h_M}\;{e^{{t_M}/\alpha }} \Rightarrow \;\frac{{d\;{h_0}}}{{dt}}(0)\; = \; - \;\frac{{{h_M}}}{\alpha }\;{e^{{t_M}/\alpha }}\;$

III.4) $\;\eta \; = \;\frac{{\rho \;g\;\lambda \;\alpha }}{{4\;\pi }}\; = \;{1,06.10^{21}}\;Pl\;$
III.5)
$\;{h_M}\; = \;\frac{{{\rho _g}}}{\rho }\;\frac{{{H_M}}}{{{t_M}\; - \;{t_0}}}\;\left( {{t_0}\;{e^{ - \left( {{t_M} - {t_0}} \right)/\alpha }}\; - \;{t_M}} \right)\; = \;104,2\;m\;$ $\;\frac{{d\;{h_0}}}{{dt}}(0)\; = \; - \;\frac{{{h_M}}}{\alpha }\;{e^{{t_M}/\alpha }}\; = \;2,5\;mm/an\;$
III.6) $\;{h_0}\;(0)\; = \;{h_M}\;{e^{{t_M}/\alpha }}\; = \;11,3\;m\;$ : La mer Baltique ne disparaîtra pas, mais deviendra peut-être une mer intérieure, si la profondeur actuelle au niveau du détroit du Grand Belt est inférieure à 11,3 m.