PREMIER PROBLEME
Ce problème étudie les
mouvements de trois systèmes matériels et permet d'expliquer le rôle des roues
d'une bicyclette.
I. Calculs d'énergie cinétique
Exprimer l'énergie cinétique
des trois systèmes matériels suivants:
1. Le système S, est un
solide en translation de masse M et de vitesse v.
2. Le système S2 est un cercle de rayon R, de
masse m uniformément répartie sur le cercle. Ce cercle est animé d'une vitesse
angulaire w autour de son axe de
révolution (D), cet axe (D) possède la vitesse v parallèle au plan du cercle.
3. Le système S3 est une bicyclette. L'ensemble cadre + cycliste de
masse M est en translation de vitesse v. Chacune des roues de rayon R, de masse
m est modélisable par le système S2 et possède la vitesse angulaire w.
II. Mouvements sur un plan horizontal
1. Le système S1 repose sur le sol, le contact étant caractérisé par
le coefficient de frottement de glissement f.
S1 en mouvement
de translation, a pour vitesse initiale vo. Etablir la loi v = f( t) de la vitesse v en fonction du
temps t. Représentation graphique.
2. Le système S2 roule sans glisser sur le plan
horizontal, le contact étant caractérisé par le même coefficient de frottement
de glissement f. La vitesse initiale
du centre d'inertie est vo. Etablir la loi v = g ( t)
de la vitesse v en fonction du temps t. Représentation graphique.
3. Le système S3 possède un mouvement dans lequel
le mouvement des roues est un roulement sans glissement. L'ensemble cadre +
cycliste possède la vitesse initiale vo, le cycliste ne pédale pas
et ne freine pas. Etablir la loi v = h (t) de la vitesse v en fonction du temps
t. Représentation graphique.
III. Mouvements suivant la ligne de plus grande pente d'un plan incliné (P)
Soit b l'angle formé par le plan horizontal et le
plan (P). Soit f le coefficient de
frottement de glissement.
1. Le système S1 initialement au repos est
susceptible d'acquérir un mouvement de translation, suivant la ligne de plus
grande pente de (P).
a. Calculer, dans cette hypothèse, l'accélération aG de son centre d'inertie.
b. Montrer que le
mouvement se produit pour des valeurs de b supérieures à une valeur
limite bo .
2. On considère le système S2 lâché sans vitesse initiale.
a. La circonférence roule sans glisser. Calculer l'accélération
aG de son centre
d'inertie.
b. Quel est l'intervalle [b1 ,b2] des valeurs de b pour lequel le roulement
sans glissement est possible ? Pour b>b2, il y a glissement de la circonférence sur le sol.
c. Calculer aG pour b>b2.
3. On considère le système S3.
a. La bicyclette roule sans glisser, sur les deux roues.
Calculer aG .
b. La bicyclette roule avec glissement sur les deux roues. Calculer
aG.
c. Le roulement sans glissement a lieu pour des valeurs de b inférieures à une valeur notée b3.
On admet que pour b >b3 , le glissement se produit
simultanément sur les deux roues, et que les
composantes tangentielles des réactions du plan (P) sur les deux roues sont
égales.
Calculer
b3 .
IV. Conclusion
1. Représenter sur un même
graphique les trois fonctions aG(b) pour chacun des trois systèmes matériels, b variant de 0 à $\frac{\Pi }{2}$.
2. En déduire le rôle du
rapport $\frac{{2m}}{M}$ pour une valeur
de b donnée.
DEUXIEME
PROBLEME.
PRELIMINAIRES
P.1. Soit une spire
circulaire de rayon R placée dans l'air, d'axe ${\vec
O_1}z$, parcourue par un courant d'intensité I (figure 1). Caractériser
(direction, sens, module) le champ d'induction magnétique ${{\rm{\vec B}}_M}$ en un point M de l'axe de
la spire. L'orientation étant celle de la figure I, exprimer la mesure
algébrique de la composante axiale de ${{\rm{\vec
B}}_M}$ en fonction de mo (perméabilité du vide égale à
celle de l'air), I, z et R. $\vec k$ est un vecteur unitaire et ${\vec O_1}M = z.\vec k$.
P.2. Soit un solénoïde de
longueur L dont le nombre total de spires est N. Le rayon du solénoïde est R,
il est placé dans l'air et on considère un point M de l'axe du solénoïde situé
à une position $\overline {OM} = {z_1}$ (figure 2) du centre O
du solénoïde. Ce point M peut être caractérisé par les angles a1 et a2 définis à partir de l'axe O2 comme l'indique la figure 2.
Déterminer l'induction. ${{\rm{\vec B}}_M}$ en M et exprimer la
composante axiale de celle-ci en fonction de µo, N,
I, L, a1 et a2 .
N.B.: On
pourra se servir du résultat de P.1 en cherchant le champ élémentaire créé en M
par un ensemble de spires circulaires contenues dans l'épaisseur dz et
parcourues par le courant I.
Application numérique: Calculer l'expression de l'induction ${{\rm{B}}_o}$ au centre si N = 300; L = 10
cm; I = 0,5 A; R= 4 cm; µo = 4.P.10-7 unités SI
PREMIERE PARTIE
Soit un circuit dont la forme est celle d'une hélice circulaire
d'axe $O\vec z$ comportant 2N1 spires complètes parcourues par
un courant I. Le pas de l'hélice est noté p et elle est rapportée à un repère
(O, x, y, z) et son équation paramétrique (paramètre: j) est (figure 3):
x = R1 cos j
y = R1 sin j
$z =
\frac{p}{{2\Pi }}\varphi $ .
Les spires sont réparties
entre la cote z1 = - p N1 et la cote Z2 = + p N1. On recherche la composante
de l'induction ${{\rm{B}}_{Oz}}$suivant
l'axe Oz au point O (origine) créée par les 2N1 spires de cette hélice.
1.1. Exprimer d${{\rm{B}}_{Oz}}$ mesure algébrique de la
projection sur $O\vec z$ de l'induction magnétique
élémentaire d${\rm{\vec B}}$ créée en O
par l'élément $d\vec l$ (dx, dy, dz)
parcouru par le courant I en fonction de R1, f, µo, I et p.
1.2. Calculer ${{\rm{B}}_{Oz}}$ composante de l'induction
résultante au point O par l'intégration de l'expression précédente
(on pourra faire le
changement de variable: $u = \frac{p}{{2\Pi
{R_1}}}.\varphi $ ) .
Exprimer ${{\rm{B}}_{Oz}}$ en fonction de µo, I, p, N1, R1
1.3. Si on remarque que la
longueur du circuit hélicoïdal est L1 = 2p N1, montrer que l'expression de ${{\rm{B}}_{Oz}}$
peut se mettre sous la forme:
${{\rm{B}}_{Oz}}$ = Bo.f(R1, N1, p) où .Bo est l'induction au centre d'un
solénoïde de longueur infinie. Préciser
f(R1, N1, p).
Pour quelle valeur de R1 peut‑on considérer que f est
égal à 1 à 10‑2 près ?
Application
numérique: N1 = 150;
L1 = 0,5 m.
DEUXIEME PARTIE
Soit un tore de section
méridienne rectangulaire et d'axe Oz; les données géométriques sont précisées
sur la figure 4. Sur ce tore on a bobiné N spires régulièrement réparties et
jointives, le matériau qui le constitue est un matériau de perméabilité
magnétique µ (perméabilité absolue) que l'on supposera constante (sauf dans une
question de la 3e partie). Le vecteur excitation magnétique (ou intensité du
champ magnétique) sera noté $\vec H$ et
le vecteur induction magnétique ${\rm{\vec B}}$.
$K{A_4} = H{A_1} = R' - \frac{a}{2}$ ${A_1}{A_2} = a$ ${A_1}{A_4} = b$
2.1. Exprimer et
caractériser $\vec H$ en un point M à la
distance x de l'axe du tore. On aura soin de distinguer le cas d'un point
intérieur puis d'un point extérieur au tore.
2.2. Calculer l'induction au
point O2 du centre de la section méridienne, puis aux
points A1 et A2.
Application numérique: R' = 10 cm; a
= 4 cm; b= 3 cm; N = 300; I = 0,5
A; $\mu
= \frac{1}{{450}}$ unités Sl.
2.3. Exprimer le flux du
vecteur induction à travers une section méridienne du tore et en déduire
l'expression de l'inductance propre de la bobine torique.
Calculer le nombre de spires
(noté maintenant N') si l'inductance L a pour valeur 43 mH.
Application numérique: R' = 10 cm; a = 4 cm; b = 3 cm; $\mu = \frac{1}{{450}}$ unités Sl.
2.4. L'inductance L de la question 2.3. est insérée dans le
circuit de la figure 5 qui précise le sens des tensions VC, VL et E et du courant i Pour t < O, (K1) est ouvert et (K2) fermé depuis très
longtemps. R
représente sur la figure 5 une résistance mise en série avec le circuit
et dont la valeur est R = 60 W.
On donne E = 30 V.
2.4.1. On ferme (K1). Au bout de combien de temps peut‑on considérer que le courant dans
le circuit a atteint sa valeur finale à 10-4 près en valeur relative ? On
note Te la constante de temps de ce circuit.
2.4.2. Le régime final
précédent étant considéré comme atteint à un nouvel instant pris comme origine,
on ouvre (K2), (K1) étant maintenu fermé. A quelle équation différentielle obéit VC ?
2.4.3. C remplit la
condition:
$C = \frac{{4{\rm{L}}}}{{{{\rm{R}}^2}}}$
Exprimer VC et i en fonction de t, Te, E et .R . Préciser les expressions
numériques en fonction de t et tracer
sur un même graphe en précisant les échelles choisies:
vC(t), vL(t) et R.i(t)
2.4.4. Montrer que vL passe par un extremum. Préciser
la valeur et interpréter physiquement le signe de vL .
TROISIEME PARTIE
Le tore étudié dans la
deuxième partie présente maintenant une entaille diédrique dont l'angle a sera suffisamment petit pour qu'on puisse
négliger les distorsions des lignes de champ (cf. figure 6). Dans l'intérieur
de l'espace diédrique la perméabilité de l'air sera µo.
3.1. Calculer la nouvelle
expression de l'induction magnétique B à une distance x de l'axe
Oz.
Application numérique: Calculer B en O2 centre du rectangle méridien du
tore, avec:
I=2A; N= 300; a=3,5°.
3.2. Quelle est la nouvelle
expression du coefficient d'auto‑induction L' ? Quelle devrait être la
valeur numérique de a si ce coefficient diminue
de 40 % par rapport à la valeur obtenue quand il n'y a pas d'entaille ?
3.3. Que devient
l'expression de L si R' >> a ? Comment évolue L en fonction de a ?
3.4. La perméabilité du
matériau dans certaines conditions de fonctionnement ne peut plus être
considérée comme constante. B et H sont alors liés par la loi:
Par ailleurs on supposera la
condition R' >> a réalisée.
3.4.1. On désigne par H
l'excitation dans le matériau et Ho l'excitation dans l'entaille diédrique.
Appliquer le théorème d'Ampère le long de la ligne de champ moyenne (x= R').
3.4.2. Que peut-on dire de
l'induction dans l'entaille et dans le matériau ?
3.4.3. Calculer l'induction
en O2 pour les deux
cas numériques suivants:
1er cas {N
= 300; I = 11 = 3 A; a = 4°; R'=10cm}
2e cas {
N = 300; I = I2 = 3,8 A
; a = 0,41°; R' = 10 cm }
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