Mines–Ponts, M, P’, TA, 1990 (Physique I)
Solutions proposées
Solutions proposées
- L’énergie interne U et l’entropie S vérifient respectivement dU=δW+δQ donc dU=CLdT+(F+h)dL et dS=δQT donc dS=CLTdT+hTdL pour des transformations réversibles; les expressions obtenues relient des différentielles de fonctions et variables d’état, donc ces expressions en sont pas limitées aux seules transformations réversibles et on peut écrire ∂U∂T=CL, ∂U∂L=F+h, ∂S∂T=CLT et ∂S∂L=hT. On peut alors affirmer le lemme de Schwartz pour les deux fonctions U(T,L) et S(T,L), ce qui conduit aux deux relations ∂CL∂L=∂F∂T+∂h∂T et ∂∂LCLT=∂∂ThT, cette dernière pouvant être recopiée sous la forme ∂CL∂L=∂h∂T−hT. L’identification des deux expressions mène à hT=−∂F∂T, cette dernière dérivée partielle (calculée à L constant) s’identifie ici à σ, d’où enfin le résultat h=−Tσ.
- Revenant aux expressions établies ci-dessus, ∂CL∂L=∂h∂T−hT s’écrit, puisque σ est constant, sous la forme ∂CL∂L=0.
- On revient enfin à l’expression dS=CLTdT+hTdL écrite dS=CLTdT−σdL qui s’intègre donc immédiatement en S(T,L)=Sm+CLlnTTm−σ(L−Lm).
- Si L augmente à température constante, σ>0 donc ΔST=−σΔL<0. Ce comportement est évidemment différent de celui d’un gaz parfait pour lequel l’identité thermodynamique dU=TdS−PdV et la première loi de Joule dU=0 si dT=0 permettent d’écrire dS=PTdV donc, au vu de l’équation d’état, dS=nRdVV soit ΔST=nRlnVfinalVinitial>0. Il n’y a rien de surprenant ici puisqu’une augmentation de volume implique une augmentation de l’indétermination sur les positions des molécules de gaz (augmentation du désordre) alors que l’augmentation de longueur d’un fil de caoutchouc se traduit par un alignement des molécules de polymère (diminution du désordre).
- À partir de la relation déjà posée dU=CLdT+(F+h)dL on peut, au vu de l’expression h=−σT, écrire dU=CLdT+[Fm−σTm+ρ(L−Lm)]dL donc U=Um+CL(T−Tm)+(Fm−σTm)(L−Lm)+ρ2(L−Lm)2 et F=U−TS s’en déduit, après regroupement des termes et en fonction de Fm=F(Tm,Lm), il vient F=Fm+[CL−Sm](T−Tm)−CLTlnTTm+[Fm−σ(T−Tm)](L−Lm)+ρ2(L−Lm)2. On remarque alors que si T=Tm, les variations de F sont données par la relation F−Fm=ρ2(L−Lm)2; plus généralement, on sait que dF=δW−SdT donc, pour une transformation isotherme, dF s’identifie au travail reçu par le fil, opposé du travail qu’il fournit δW′=−dEp; on peut donc identifier W=ΔF=ΔEp pour cette transformation réversible. La relation Ep=ρ2(L−Lm)2 identifie un ressort élastique, de longueur à vide Lm et de raideur k=ρ.
- Un cycle de Carnot est constitué de deux isothermes et de deux adiabatiques réversibles. L’équation d’une isotherme est F−Fm=ρ(L−Lm); c’est donc une droite de pente ρ. L’équation d’une adiabatique réversible (isentropique) est S−Sm=CLlnTTm−σ(L−Lm) dont on doit éliminer T avec l’équation d’état F−Fm=σ(T−Tm)+ρ(L−Lm); il vient F=Fm+ρ(L−Lm)+σTm[αexp[σCL(L−Lm)]−1] où on a posé α=exp(S−SmCL). La pente de la courbe correspondante est dFdL=ρ+ασ2TmCLexp[σCL(L−Lm)] donc dFdL>ρ, ce qui permet de tracer l’allure du diagramme de Clapeyron (cf. figure). Le sens de parcours se déduit du caractère moteur du cycle: W=∮FdL<0 donc le parcours doit être à dL<0 pour les valeurs élevées de F (sens trigonométrique).
- Moteur d’Archibald.
- →OA=→OC+→CA=a→ex+R→er en utilisant une base polaire d’angle θ; on en déduit donc (c’est en fait le théorème d’Al-Kashi) OA2=a2+2aRcosθ+R2 donc en se limitant au terme du premier ordre en a/R, OA2=R2(1+2aRcosθ) soit OA=R+acosθ.
- La longueur la plus élevée est OA=R+a, au moment où le fil se trouve à l’horizontale (θ=0) à l’entrée dans le bain d’eau chaude; la partie suivante du cycle A′B′ correspond à l’évolution isotherme avec diminution de longueur (c’est donc une droite de pente ρ) jusqu’à atteindre θ=π et la sortie de ce fil en B′ du bain d’eau chaude. À cet instant on observe une phase de diminution rapide (quasiment instantanée dans le modèle choisi) de la température à longueur constante, donc une diminution de la force donnée par ΔF=σ(T2−T1)<0. Le fil est alors passé en C′ dans l’air et subit une seconde évolution isotherme avec diminution de θ de π à 0 qui l’amène en D′, prêt à rentrer à nouveau dans le bain d’eau chaude; pendant la dernière transformation iso-longueur D′A′, le fil subit une augmentation de la force donnée par ΔF=σ(T1−T2)>0. Le cycle est parcouru dans le sens (trigonométrique) moteur selon le schéma ci-dessous.
- La relation δQ=CLdT−TσdL appliquée à une transformation isotherme réversible A′B′ fournit QA′B′=2aT1σ; il faut ajouter à ce terme de transfert thermique lors du chauffage iso-longueur D′A pour lequel on peut supposer une transformation réversible et écrire QD′A′=CL(T1−T2) et on obtient Q1=CL(T1−T2)+2aT1σ.
Remarquons que, sans supposer une transformation réversible entre D′ et A′, l’expression de U établie plus haut permet d’écrire ΔU=CLΔT à L fixé donc Q=ΔU−W s’écrit encore Q=ΔU si on se souvient que, même pour une évolution irréversible, W=∫FextdL est nul à longueur constante; finalement, le résultat affirmé ci-dessus ne dépend pas de l’hypothèse de réversibilité du changement de température iso-longueur D′A′. - Les mêmes raisonnements amènent immédiatement à Q2=CL(T2−T1)−2aT2σ. Le premier principe de la thermodynamique s’écrit, pour un cycle, ΔU=0=Q1+Q2−W si W est le travail fourni par le fil lors d’un tour; on a donc W=2aσ(T1−T2).
- Le travail fourni est égal à l’aire du cycle; l’aire du parallélogramme tracé est le produit de la largeur 2a par la hauteur σ(T1−T2), ce qui confirme le résultat W=2aσ(T1−T2).
- Lorsque le point A se trouve à la position définie par l’angle θ, le moment de la force →F est défini par →M=→CA∧→F où →F=F→u est dirigé de A vers O; on écrit alors →CA=R→er tandis que →AO=−a→ex−R→er donc le vecteur unitaire dirigé de A vers O s’écrit →u=−a→ex+R→erR(1+aRcosθ) donc, à l’ordre le plus bas, →M=aF→ez qu’on écrit →M=M→ez avec M=aF(T,L).
Le moment exercé sur la roue lors du demi-tour entre θ=0 et θ=π (le fil étant dans l’eau chaude) est donc M1=a[Fm+σ(T1−Tm)+ρ(R+acosθ−Lm)] et le travail reçu par la roue pendant ce demi-tour est W1=∫π0M1dθ. De la même manière, lors du demi-tour ultérieur (le fil étant alors dans l’air), M2=a[Fm+σ(T2−Tm)+ρ(R+acosθ−Lm)] et W2=∫0πM2dθ. L’intégration sur un tour complet conduit à W=∫π0(M1−M2)dθ donc W=∫π0aσ(T1−T2)cosθdθ soit ici encore W=2aσ(T1−T2). - La définition générale du rendement d’un moteur thermique conduit à poser η=WQ1 donc on en déduit immédiatement η=2aσ(T1−T2)CL(T1−T2)+2aT1σ.
- La relation δQ=CLdT−TσdL appliquée à une transformation isotherme réversible A′B′ fournit QA′B′=2aT1σ; il faut ajouter à ce terme de transfert thermique lors du chauffage iso-longueur D′A pour lequel on peut supposer une transformation réversible et écrire QD′A′=CL(T1−T2) et on obtient Q1=CL(T1−T2)+2aT1σ.
- Le rendement du cycle moteur de Carnot s’obtient en écrivant les premier et second principes sous la forme 0=Q1+Q2−W (comme pour le cycle de Stirling) et Q1T1+Q2T2=0 (l’inégalité de Clausius est une égalité dans le cas d’une évolution complètement réversible) donc ηC=1+Q2Q1 s’écrit aussi ηC=1−T2T1 ce qui mène à α=11+CL2aσ(1−T2T1) qu’on peut aussi écrire α=11+CLηC2aσ. On remarque bien sûr que α<1 donc η<ηC, conformément au théorème de Carnot (voir aussi la question suivante).
- On a vu que QD′A′=CL(T1−T2), et de même QB′C′=CL(T2−T1) donc QB′→C′∪D′→A′=0 donc cet ensemble est adiabatique. Toutefois, un cycle de Carnot doit être complètement adiabatique; les deux évolutions de température en B′C′ et D′A′ sont irréversibles donc le rendement dans un cycle de Stirling est plus faible que le rendement dans un cycle de Carnot.
- L’expression ci-dessus du rendement mène à η=1,2⋅10−5 (valeur intensive donc indépendante du nombre de fils). La puissance moyenne du moteur est P=2NWτ où la durée d’un cycle est τ=2πω (valeur extensive donc proportionnelle au nombre de fils fonctionnant en même temps); numériquement, P=2Nωaσ(T1−T2)π=0,51W.
- Le débit Dm s’identifie à la masse d’eau remontée par unité de temps d’une hauteur h, avec donc une puissance mécanique consommée P>Dmgh; on a donc Dm<Pgh=5,2⋅10−3kg⋅s−1 en prenant g=9,8m⋅s−2; c’est une valeur assez élevée (310 litres par minute) ce qui conduit à recommander l’utilisation de ce appareil, la valeur très faible du rendement étant compensée par le caractère gratuit de la source thermique (on peut imaginer le chauffage de l’eau par le rayonnement solaire par exemple).
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