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Concours Physique Centrale M 1982 (Énoncé)


ÉCOLE CENTRALE DES ARTS ET MANUFACTURES 1982 ÉCOLE SUPERIEURE D'ELECTRICITE
ÉCOLE CENTRALE DE LYON ÉCOLE SUPERIEURE D'OPTIQUE
Option M PHYSIQUE I (4 h)

ÉTUDE DE LA STABILISATION D'UN SATELLITE PAR GRADIENT DE GRAVITÉ
La terre est supposée constituée de couches concentriques homogènes de centre O. Elle exerce sur un point matériel M de masse m une force attractive : F=μmOM/OM3 avec μ=4.1014m3.s2.
Soit :
R(O,x,y,z) le repère barycentrique de la terre, considéré ici comme repère absolu Galiléen
R1(G,u,v,w) le repère associé aux coordonnées polaires d'un point G du plan x0y : u est radial, v est orthoradial.
R2(G,X,Y,Z) le repère principal d'inertie d'un satellite.
R3(G,x,y,z) le repère barycentrique d'un satellite.
On envisage dans ce problème différents satellites dont le centre d'iner¬tie G décrit une trajectoire circulaire de rayon r dans le plan xOy, à la vitesse angulaire ω, et on s'intéresse au mouvement autour du centre d'inertie.
Les 3 parties du problème sont indépendantes, à l'exception des questions II-3)c) et III-1)b).

I - SATELLITE EN FORME D'HALTĒRE

On considère un satellite constitué de deux mas¬ses ponctuelles A et B de même masse m, reliées par une tige rigide AB de masse négligeable (AB=2L).
On s'intéresse à la rotation de AB autour de Gz, repérée par l'angle α=(u,AB)
1) Pour quelles valeurs de α le moment en G des forces gravitation que la terre exerce sur l'haltère est-il nul ?
2) En effectuant un développement limité en L/r, montrer que le terme princi¬pal de ce moment est G=3μmL(Lr)3sin(2α)z
3) Calculer la période des petites oscillations autour de la position d'é¬quilibre stable.
Application numérique : r=7000km ; L=5m ; m=4kg.

II - SATELLITE PLAN

On considère un satellite en forme de plaque (P), de masse m. Dans toute cette partie, le plan GXY du satellite restera confondu avec le plan xOy.
La matrice représentant l'opérateur d'inertie en G du satellite sur la base X,Y,Z de R2 a pour expression :
(J)=(A000B000A+B)
La position du satellite est repérée par r=OGθ=(x,u) et α=(u,X)
1)a) On appelle F et G les éléments de réduction en G du torseur des for¬ces de gravitation appliquées au satellite :
[T]{F=Fru+FθvMG=Mz
Exprimer le travail élémentaire dW des forces de gravitation en fonction de dr, dθ, et dα.
b) Soit U(r,α) l'énergie potentielle du satellite dans le champ de gravi¬tation terrestre. Exprimer Fr, Fθ et M en fonction des dérivées partielles de U.
c) Calculer le moment en O des forces de gravitation appliquées au satellite. Commenter le résultat.
2)a) Calculer le moment cinétique barycentrique σG du satellite et son énergie cinétique barycentrique Ec dans R (repère barycentrique de la terre).
b) Donner deux intégrales premières du mouvement en précisant leur signification physique.
3) L'expression de U est : U=PμdmOM
On pose ρ=GM et φ=(u,GM)
a) Calculer Pρ2dm et  Pρcosφdm.
Montrer que Pρ2cos2φ dm=A+B2+BA2cos2α
b) En effectuant un développement limité en ρ/r, montrer que l'expres¬sion de U au quatrième ordre près est : U=μmrμ4r3[(A+B)+3(BA)cos2α]
c) En déduire M et Fθ. Retrouver l'expression du I-2)
d) Application : (P) est une plaque circulaire homogène de masse m, de rayon R, portant deux surcharges ponctuelles symétriques par rapport à G, distantes de 2R et situées sur GX
r=42000km m=200kg m=3kg R=4m
Calculer les valeurs maximales de |Fθ| et ||, ainsi que le terme principal de Fr. Commenter les résultats numériques.
4) On fait maintenant les approximations : Frμmr2 et Fθ0. La valeur de M est celle trouvée au 3)c)
a) Calculer ω, r et la vitesse de G pour un satellite géostationnaire (période T=23h56mn04s).
b) Ecrire le théorème du moment cinétique dans R3
c) Donner l'équation différentielle en α dans le cas des petits angles. Montrer que le mouvement n'est stable que si B>A
Application numérique : calculer la période des petites oscillations pour BAB+A=14
d) Lorsque l'angle α n'est pas petit, trouver une équation différentiel¬le du type : ˙α2=f(α)
Pour B>A et une position α0 donnée (0<α0<π/4) déterminer la condition sur ˙α0 (˙α0>0) pour que le mouvement ne soit pas révolutif.
Application numérique : α0=40


III - SATELLITE DE FORME QUELCONQUE
On note : α,β,γ les composantes dans R2 du vecteur unitaire u de OG. La matrice représentant l'opérateur d'inertie en G du satellite dans R2 est
(J)=(A000B000C)
Dans toute cette partie, on utilisera comme repère de projection le repère R2
1)a) Montrer que les composantes du moment en G des forces de gravitation ont pour équivalents
MGX=3ω2βγ(CB)
MGY=3ω2γα(AC)
MGZ=3ω2αβ(BA)
b) Retrouver le résultat du I-2)

2) La figure ci-contre indique la signification géométrique des angles d' Euler (ψ,θ,φ) repérant l'orientation de R2 par apport à R1.
N est le vecteur unitaire porté par uZ (u et Z sont supposés non colinéaires).
On rappelle que le vecteur rotation de R1 par rapport à R est ωw.
a) Exprimer en fonction de ω,ψ,θ,φ et des déri¬vées ˙ψ,˙θ,˙φ les composantes sur la base X,Y,Z de R2 du vecteur rotation Ω de R2 par rapport à R.
b) On pose θ=π/2+ε . En considérant ψ,ε,φ et leurs dérivées comme des infiniment petits, montrer que les composantes "linéarisées" de Ω s'écrivent ΩX=˙ε+ωψ;ΩY=˙ψωε;ΩZ=˙φω
c) Calculer les composantes "linéarisées" du moment cinétique σG et du moment dynamique δG barycentriques.
3)a) Former le système d'équations différentielles linéaires en ψ, ε et φ.
b) Quelle relation doivent vérifier A, B et C pour que le couplage entre ε et ψ disparaisse ? Interpréter géométriquement ce résultat.
c) En supposant pour simplifier que la condition précédente est véri¬fiée, quelles inégalités doivent vérifier A, B et C pour que le mouvement autour de la position ψ=0, θ=π/2, φ=0 soit stable ?
d) Application numérique : A=300m2.kg ; B=60m2.kg ; C=360m2.kg ; r=7000km.
e) Calculer la période orbitale et les trois périodes d'oscillations en ψ, ε et φ..
Comment peut-on envisager l'amortissement des oscillations précédentes ?
4) On suppose maintenant que A=B. On étudie les solutions de la forme, en notation complexe : ε=ε0eiΩ0t et ψ=ψ0eiΩ0tΩ0 est la pulsation des oscilla¬tions considérées.
a) Ecrire l'équation satisfaite par la pulsation Ω0.
b) Trouver la condition sur le rapport x=A/C pour que le type de solution considérée existe. Que se passe-t-il si cette condition n'est pas satis¬faite ?

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