Concours Physique Centrale M 1982 (Énoncé)

ÉCOLE CENTRALE DES ARTS ET MANUFACTURES 1982 ÉCOLE SUPERIEURE D'ELECTRICITE
ÉCOLE CENTRALE DE LYON ÉCOLE SUPERIEURE D'OPTIQUE
Option M PHYSIQUE I (4 h)

ÉTUDE DE LA STABILISATION D'UN SATELLITE PAR GRADIENT DE GRAVITÉ
La terre est supposée constituée de couches concentriques homogènes de centre O. Elle exerce sur un point matériel M de masse $m$ une force attractive : $\vec{F}=-\mu m\overrightarrow{OM}/O{{M}^{3}}$ avec $\mu ={{4.10}^{14}}{{m}^{3}}.{{s}^{-2}}$.
Soit :
$R\left( O,\vec{x},\vec{y},\vec{z} \right)$ le repère barycentrique de la terre, considéré ici comme repère absolu Galiléen
${{R}_{1}}\left( G,\vec{u},\vec{v},\vec{w} \right)$ le repère associé aux coordonnées polaires d'un point G du plan x0y : $\vec{u}$ est radial, $\vec{v}$ est orthoradial.
${{R}_{2}}\left( G,\vec{X},\vec{Y},\vec{Z} \right)$ le repère principal d'inertie d'un satellite.
${{R}_{3}}\left( G,\vec{x},\vec{y},\vec{z} \right)$ le repère barycentrique d'un satellite.
On envisage dans ce problème différents satellites dont le centre d'iner¬tie G décrit une trajectoire circulaire de rayon $r$ dans le plan xOy, à la vitesse angulaire $\omega $, et on s'intéresse au mouvement autour du centre d'inertie.
Les 3 parties du problème sont indépendantes, à l'exception des questions II-3)c) et III-1)b).

I - SATELLITE EN FORME D'HALTĒRE

On considère un satellite constitué de deux mas¬ses ponctuelles A et B de même masse $m$, reliées par une tige rigide AB de masse négligeable ($AB=2L$).
On s'intéresse à la rotation de AB autour de Gz, repérée par l'angle $\alpha =\left( \vec{u},\overrightarrow{AB} \right)$
1) Pour quelles valeurs de $\alpha$ le moment en G des forces gravitation que la terre exerce sur l'haltère est-il nul ?
2) En effectuant un développement limité en $L/r$, montrer que le terme princi¬pal de ce moment est ${{\vec{}}_{G}}=-\frac{3\mu m}{L}{{\left( \frac{L}{r} \right)}^{3}}\sin \left( 2\alpha  \right)\,\vec{z}$
3) Calculer la période des petites oscillations autour de la position d'é¬quilibre stable.
Application numérique : $r=7000km$ ; $L=5m$ ; $m=4kg$.

II - SATELLITE PLAN

On considère un satellite en forme de plaque (P), de masse $m$. Dans toute cette partie, le plan GXY du satellite restera confondu avec le plan xOy.
La matrice représentant l'opérateur d'inertie en G du satellite sur la base $\vec{X},\vec{Y},\vec{Z}$ de ${{R}_{2}}$ a pour expression :
$(J)=\begin{pmatrix}A & 0 & 0  \\ 0 & B & 0  \\ 0 & 0 & A+B  \\ \end{pmatrix}$
La position du satellite est repérée par $r=OG\quad \theta =\left( \vec{x},\vec{u} \right)$ et $\alpha =\left( \vec{u},\vec{X} \right)$
1)a) On appelle $\vec{F}$ et ${{\vec{}}_{G}}$ les éléments de réduction en G du torseur des for¬ces de gravitation appliquées au satellite :
\[ \left[ T \right]\quad \left\{ \begin{array}{c} & \vec{F}={{F}_{r}}\vec{u}+{{F}_{\theta }}\vec{v} \\ & {{{\vec{\mathfrak{M}}}}_{G}}=\mathfrak{M}\vec{z} \end{array} \right.\]
Exprimer le travail élémentaire $dW$ des forces de gravitation en fonction de $dr$, $d\theta $, et $d\alpha $.
b) Soit $U\left( r,\alpha  \right)$ l'énergie potentielle du satellite dans le champ de gravi¬tation terrestre. Exprimer ${{F}_{r}}$, ${{F}_{\theta }}$ et $M$ en fonction des dérivées partielles de $U$.
c) Calculer le moment en O des forces de gravitation appliquées au satellite. Commenter le résultat.
2)a) Calculer le moment cinétique barycentrique ${{\vec{\sigma }}_{G}}$ du satellite et son énergie cinétique barycentrique ${{E}_{c}}$ dans $R$ (repère barycentrique de la terre).
b) Donner deux intégrales premières du mouvement en précisant leur signification physique.
3) L'expression de $U$ est : $U=\iint_{P}{-\mu \frac{dm}{OM}}$
On pose $\rho =GM$ et $\varphi =\left( \vec{u},\overrightarrow{GM} \right)$
a) Calculer $\iint_{P}{{{\rho }^{2}}dm}$ et  $\iint_{P}{\rho \cos \varphi \,dm}$.
Montrer que $\iint_{P}{{{\rho }^{2}}{{\cos }^{2}}\varphi \ dm}=\frac{A+B}{2}+\frac{B-A}{2}\cos 2\alpha $
b) En effectuant un développement limité en $\rho /r$, montrer que l'expres¬sion de $U$ au quatrième ordre près est : $U=-\frac{\mu m}{r}-\frac{\mu }{4{{r}^{3}}}\left[ \left( A+B \right)+3\left( B-A \right)\cos 2\alpha  \right]$
c) En déduire $M$ et ${{F}_{\theta }}$. Retrouver l'expression du I-2)
d) Application : (P) est une plaque circulaire homogène de masse $m$, de rayon $R$, portant deux surcharges ponctuelles symétriques par rapport à G, distantes de $2R$ et situées sur $G\vec{X}$
$r=42000km$ $m=200kg$ ${m}'=3kg$ $R=4m$
Calculer les valeurs maximales de $\left| {{F}_{\theta }} \right|$ et $\left|  \right|$, ainsi que le terme principal de ${{F}_{r}}$. Commenter les résultats numériques.
4) On fait maintenant les approximations : ${{F}_{r}}\approx -\frac{\mu m}{{{r}^{2}}}$ et ${{F}_{\theta }}\approx 0$. La valeur de $M$ est celle trouvée au 3)c)
a) Calculer $\omega $, $r$ et la vitesse de G pour un satellite géostationnaire (période $T=23h56mn04s$).
b) Ecrire le théorème du moment cinétique dans ${{R}_{3}}$
c) Donner l'équation différentielle en $\alpha $ dans le cas des petits angles. Montrer que le mouvement n'est stable que si $B>A$
Application numérique : calculer la période des petites oscillations pour $\frac{B-A}{B+A}=\frac{1}{4}$
d) Lorsque l'angle $\alpha $ n'est pas petit, trouver une équation différentiel¬le du type : ${{\dot{\alpha }}^{2}}=f\left( \alpha  \right)$
Pour $B>A$ et une position ${{\alpha }_{0}}$ donnée ($0<{{\alpha }_{0}}<\pi /4$) déterminer la condition sur ${{\dot{\alpha }}_{0}}$ (${{\dot{\alpha }}_{0}}>0$) pour que le mouvement ne soit pas révolutif.
Application numérique : ${{\alpha }_{0}}=40{}^\circ $


III - SATELLITE DE FORME QUELCONQUE
On note : $\alpha ,\beta ,\gamma$ les composantes dans ${{R}_{2}}$ du vecteur unitaire $\vec{u}$ de $\overrightarrow{OG}$. La matrice représentant l'opérateur d'inertie en G du satellite dans ${{R}_{2}}$ est
\[ \left( J \right)= \begin{pmatrix} A & 0 & 0  \\ 0 & B & 0  \\ 0 & 0 & C \\ \end{pmatrix} \]
Dans toute cette partie, on utilisera comme repère de projection le repère ${{R}_{2}}$
1)a) Montrer que les composantes du moment en G des forces de gravitation ont pour équivalents
\[ {{\mathfrak{M}}_{GX}}=3{{\omega }^{2}}\beta \gamma (C-B) \]
\[ {{\mathfrak{M}}_{GY}}=3{{\omega }^{2}}\gamma \alpha (A-C) \]
\[ {{\mathfrak{M}}_{GZ}}=3{{\omega }^{2}}\alpha \beta (B-A) \]
b) Retrouver le résultat du I-2)

2) La figure ci-contre indique la signification géométrique des angles d' Euler $\left( \psi ,\theta ,\varphi  \right)$ repérant l'orientation de ${{R}_{2}}$ par apport à ${{R}_{1}}$.
$\vec{N}$ est le vecteur unitaire porté par $\vec{u}\wedge \vec{Z}$ ($\vec{u}$ et $\vec{Z}$ sont supposés non colinéaires).
On rappelle que le vecteur rotation de ${{R}_{1}}$ par rapport à $R$ est $\omega \vec{w}$.
a) Exprimer en fonction de $\omega ,\psi ,\theta ,\varphi $ et des déri¬vées $\dot{\psi },\dot{\theta },\dot{\varphi }$ les composantes sur la base $\vec{X},\vec{Y},\vec{Z}$ de ${{R}_{2}}$ du vecteur rotation $\vec{\Omega }$ de ${{R}_{2}}$ par rapport à $R$.
b) On pose $\theta =\pi /2+\varepsilon $ . En considérant $\psi ,\varepsilon ,\varphi $ et leurs dérivées comme des infiniment petits, montrer que les composantes "linéarisées" de $\vec{\Omega }$ s'écrivent ${{\Omega }_{X}}=\dot{\varepsilon }+\omega \psi \quad ;\quad {{\Omega }_{Y}}=\dot{\psi }-\omega \varepsilon \quad ;\quad {{\Omega }_{Z}}=\dot{\varphi }-\omega $
c) Calculer les composantes "linéarisées" du moment cinétique ${{\vec{\sigma }}_{G}}$ et du moment dynamique ${{\vec{\delta }}_{G}}$ barycentriques.
3)a) Former le système d'équations différentielles linéaires en $\psi $, $\varepsilon $ et $\varphi $.
b) Quelle relation doivent vérifier $A$, $B$ et $C$ pour que le couplage entre $\varepsilon $ et $\psi $ disparaisse ? Interpréter géométriquement ce résultat.
c) En supposant pour simplifier que la condition précédente est véri¬fiée, quelles inégalités doivent vérifier $A$, $B$ et $C$ pour que le mouvement autour de la position $\psi =0$, $\theta =\pi /2$, $\varphi =0$ soit stable ?
d) Application numérique : $A=300{{m}^{2}}.kg$ ; $B=60{{m}^{2}}.kg$ ; $C=360{{m}^{2}}.kg$ ; $r=7000km$.
e) Calculer la période orbitale et les trois périodes d'oscillations en $\psi $, $\varepsilon $ et $\varphi$..
Comment peut-on envisager l'amortissement des oscillations précédentes ?
4) On suppose maintenant que $A=B$. On étudie les solutions de la forme, en notation complexe : $\varepsilon ={{\varepsilon }_{0}}{{e}^{i{{\Omega }_{0}}t}}$ et $\psi ={{\psi }_{0}}{{e}^{i{{\Omega }_{0}}t}}$ où ${{\Omega }_{0}}$ est la pulsation des oscilla¬tions considérées.
a) Ecrire l'équation satisfaite par la pulsation ${{\Omega }_{0}}$.
b) Trouver la condition sur le rapport $x=A/C$ pour que le type de solution considérée existe. Que se passe-t-il si cette condition n'est pas satis¬faite ?