Concours Physique École Polytechnique (PC) 1998 (Corrigé)

Première partie.

1.a)

L’énergie potentielle d’interaction \(W\) du dipôle (1) \(\vec m=m\vec e_z\) placé en \(O\) et du dipôle (2) \(\vec m=m\vec e_z\) placé en \((r,\theta,\varphi)\) est \(W=-\vec m{{\:\scriptscriptstyle \bullet}\,}\vec B\) avec \(\vec B={\displaystyle}\frac{\mu_o\,m}{4\pi\,r^3}\big( 2\cos\theta\:\vec e_r+\sin\theta\:\vec e_\theta\big). \\ W=-\frac{\mu_o\,m^2}{4\pi\,r^3}\,\big( 2\cos^2\theta-\sin^2\theta\big)= \frac{\mu_o\,m^2}{4\pi\,r^3}\,\big(1-3\cos^2\theta\big)\).
La force \(\vec F\) exercée par le dipôle (1) sur le dipôle (2) est \(\vec F=-\vec{grad}W= -\frac{{\partial}W}{{\partial}r}\ \vec e_r- \frac1r \ \frac{{\partial}W}{{\partial}\theta} \ \vec e_\theta \)

\(  F_r=\frac{3\,\mu_o \ m^2}{4\pi \ r^4} \ \big(1-3\cos^2\theta\big) \ \ \ \ F_\theta=-\frac{3 \ \mu_o \ m^2}{2\pi \ r^4}\ \cos\theta\sin\theta.\)

1.b)

A distance \(r\) fixée, l’énergie \(W={\displaystyle}\frac{\mu_o\,m^2}{4\pi\,r^3}\,\big(1-3\cos^2\theta\big)\) est minimale pour \(\cos^2\theta\) maximal c’est-à-dire \(\cos\theta=\pm 1;\ \ \theta= 0\) ou \(\pi\).
Pour \(\cos\theta=\pm 1\ \ \sin\theta=0,\ \ F_\theta\) est nul, la force d’interaction se réduit à la composante radiale; \(\vec F=-{\displaystyle}\frac{3\,\mu_o\,m^2}{2\pi\,r^4}\,\vec e_r\); si \(\theta=0\ \ \vec e_r=\vec e_z\); si \(\theta=\pi\ \ \vec e_r=-\vec e_z\); dans les deux cas, la force est attractive.

2.a)

En l’absence de champ magnétique extérieur l’assemblée de particules aimantées ne possède aucune propriété magnétique macroscopique, les divers moments élémentaires \(\vec\mu\) sont orientés aléatoirement, il n’y a aucune interaction notable entre les particules (le champ magnétique de l’une quelconque des particules est trop faible, au niveau de ses plus proches voisins, pour les orienter).

2.b)

L’aimantation macroscopique \(\vec M\) d’une goutte de ferrofluide est liée au champ magnétique extérieur \(\vec B\) par la relation \(\vec M={\displaystyle}\frac{\chi_S\,\vec B}{\mu_o}\). Le quotient \({\displaystyle}\frac{\vec B}{\mu_o}\) a la dimension d’une excitation magnétique \(\vec H\); or \(\vec H\) et \(\vec M\) ont même dimension [ cf. relation locale \(\vec B=\mu_o(\vec H+\vec M)\) ]. Le coefficient \(\chi_S\) est sans dimension.
\(\vec M\) est supposé uniforme, \(\vec m=\frac43\pi R^3\,\vec M; \ \ \vec m={\displaystyle}\frac{4\pi\chi_SR^3}{3\mu_o}\,\vec B\).

3.a)

Les gouttelettes s’alignent parce que cette configuration correspond au minimum de l’énergie d’interaction de deux dipôles adjacents (moments magnétiques et champ appliqué parallèles à \(\vec e_z\)).

3.b)

$G_o$ : gouttelette quelconque de la chaîne.
La chaîne est rectiligne et tous les moments élémentaires colinéaires à la chaîne. Un moment élémentaires colinéaires à la chaîne. Un moment \(\vec m\) situé à la distance \(pd\ (p\) entier) du point \(G_o\) y crée un champ \(\vec B_p={\displaystyle}\frac{2\mu_o\vec m}{4\pi\,(pd)^3}\). Par exemple, les gouttelettes \(G'_2\) et \(G_2\) créent en \(G_o\) des champs égaux. 

Le champ magnétique \(\vec B_1\) crée au niveau de l’une des gouttelette( \(G_o\)) par toutes les autres gouttelettes de la chaîne est dû à deux demi-chaînes infinies qui créent des champs égaux au point \(G\). On a donc \(\vec B_1=2\times \frac{2\mu_o\vec m}{4\pi\,d^3} \Big(1+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{4^3}+\cdots\Big)= \frac{\mu_o\vec m}{\pi\,d^3}\sum_{p=0}^{\infty}1/p^3= \frac{\mu_o\vec m}{\pi\,d^3}\zeta{{\scriptstyle}(3)};  \vec B_1=\frac{\mu_o\zeta{{\scriptstyle}(3)}}{\pi\,d^3}\,\vec m\).

3.c)

Le champ \(\vec B\) agissant sur une gouttelette est dû aux sources du champ appliqué \(\vec B_o\) et aux moments portés par les autres gouttelettes. \(\vec B=\vec B_o+\vec B_1\).
\(\vec m={\displaystyle}\frac{4\pi\chi_SR^3}{3\mu_o}\,\vec B\) (cf.2.b); \(\vec B={\displaystyle}\frac{3\mu_o}{4\pi\chi_SR^3}\,\vec m. \ \ \frac{3\mu_o}{4\pi\chi_SR^3}\,\vec m=\vec B_o+ \frac{\mu_o\zeta{{\scriptstyle}(3)}}{\pi\,d^3}\,\vec m;\ \ \vec m=\frac{\pi\,\vec B_o}{\mu_o\Big({\displaystyle}\frac{3}{4\chi_SR^3}- \frac{\zeta{{\scriptstyle}(3)}}{d^3}\Big)} \)

4.a)

Un dipôle \(G_i\) de \(Ch\) exerce sur un dipôle \(G'_j\) de \(Ch'\) situé à la distance \(r\) la force \(\vec f'_{ij}={\displaystyle}\frac{3\mu_o\,m^2}{2\pi\,r^4}\,\vec e_z\).
Chaque gouttelette de \(Ch'\) est soumise à l’action d’une chaîne semi-infinie de dipôles dont l’extrémité est à la distance \(d\) pour \(G'_1;\ 2d\) pour \(G'_2;\ 3d\) pour \(G'_3\), etc.
La gouttelette \(G'_i\) est soumise à la force : \(\vec f'_i={\displaystyle}\frac{3\mu_o\,m^2}{2\pi}\Big( \frac{1}{(id)^4}+\frac{1}{((i+1)d)^4}+\frac{1}{((i+2)d)^4}+\cdots \Big)\vec e_z; \\ \vec f'_i= \frac{3\mu_o\,m^2}{2\pi\,d^4}\sum_{p=i}^\infty 1/p^4\:\vec e_z\); \(Ch'\) est soumise à la force totale : \(\vec F'=\vec f'_1+\vec f'_2+\vec f'_3+\cdots \\ \vec F'={\displaystyle}\frac{3\mu_o\,m^2}{2\pi\,d^4}\Bigg[ \Big(1+1/2^4+1/3^4+1/4^4+\cdots\Big)+ \Big(1/2^4+1/3^4+1/4^4+\cdots\Big)+ \Big(1/3^4+1/4^4+\cdots\Big)+\cdots\Bigg]\vec e_z; \\ \vec F'=\frac{3\mu_o\,m^2}{2\pi\,d^4}\Big( 1+2\times(1/2^4)+3\times(1/3^4)+4\times(1/4^4)+\cdots\Big)\,\vec e_z= \frac{3\mu_o\,m^2}{2\pi\,d^4}\,\zeta{{\scriptstyle}(3)}\,\vec e_z\).
La force \(\vec F\) exercée par \(Ch'\) sur \(Ch\) est opposée à \(\vec F'\). \(\vec F_{ch}= \pm{\displaystyle}\frac{3\mu_o}{2\pi}\,\zeta{{\scriptstyle}(3)}\frac{m^2}{d^4}\,\vec e_z\).

4.b)

En fonction de l’intensité \(B_o\) du champ appliqué, l’intensité de la force \(F_{ch}\) est :
\(F_{ch}={\displaystyle}\frac{3\mu_o\,\zeta{{\scriptstyle}(3)}}{2\pi\,d^4}\times \frac{\pi^2\,B_o^2}{\mu_o^2\Big({\displaystyle}\frac{3}{4\chi_SR^3}- \frac{\zeta{{\scriptstyle}(3)}}{d^3}\Big)^2}= \frac{3\pi\,\zeta{{\scriptstyle}(3)}\,B_o^2}{2\mu_o\Big( {\displaystyle}\frac{3}{4\chi_SR^3}-\frac{\zeta{{\scriptstyle}(3)}}{d^3}\Big)^2d^4}\).
Dans le cas où la chaîne ne contient que deux gouttelettes de moment \(\vec m'\) distantes de \(d\) et soumises à un champ appliqué \(\vec B_o\), le champ \(\vec B'_1\) de l’un des dipôles au niveau de l’autre est \(\vec B'_1=\frac{\mu_o\vec m'}{2\pi\,d^3}\).
\(\vec m'=\frac{4\pi\chi_SR^3}{3\mu_o}\,\vec B\) et \(\vec B=\vec B_o+\vec B'_1 \frac{3\mu_o}{4\pi\chi_SR^3}\,\vec m'=\vec B_o+ \frac{\mu_o}{2\pi\,d^3}\,\vec m'; \ \ \  \vec m'=\frac{2\pi\,\vec B_o}{\mu_o\Big(\frac{3}{2\chi_SR^3}- \frac{1}{d^3}\Big)}\).
La force \(\vec F_p\) entre les deux gouttelettes est \(\vec F_p=\pm \frac{3\mu_o\,m'^2}{2\pi\,d^4}\,\vec e_z\) d’intensité \(F_p\);
\(F_p=\frac{3\mu_o}{2\pi\,d^4}\times \frac{4\pi^2\,B_o^2}{\mu_o^2\Big(\frac{3}{2\chi_SR^3}- \frac{1}{d^3}\Big)^2}= \frac{6\pi\,B_o^2}{\mu_o\Big(\frac{3}{2\chi_SR^3}- \frac{1}{d^3}\Big)^2d^4} \ \ \  \frac{F_{ch}}{F_p}=\frac{\zeta{{\scriptstyle}(3)}}{2}\times\Big( \frac{3d^3-\chi_SR^3}{3d^3-4\zeta{{\scriptstyle}(3)}\chi_SR^3}\Big)^2\).

4.c)

\(F_{ch}=2,22\times10^{-13}\) N; \(F_p=1,80\times10^{-13}\) N; \(F_{ch}/F_p=1,23\hspace{5 mm} (F_{ch}\approx F_p)\).

Deuxième partie.

1.

Les gouttelettes de rayon \(R\) sont supposées incompressibles et indéformables; en présence de la seule interaction magnétique, attractive, la distance \(d\) entre deux gouttelettes est \(d=2R\).

2.

La force répulsive \(F_{rep}\) à courte portée ne s’exerce qu’entre deux gouttelettes voisines de la chaîne.
\(F_{rep}{{\scriptstyle}(d)}={\displaystyle}\frac{3\pi\,\zeta{{\scriptstyle}(3)}\,B_o^2}{2\mu_o\Bigg( {\displaystyle}\frac{3}{4\chi_SR^3}-\frac{\zeta{{\scriptstyle}(3)}}{d^3}\Bigg)^2d^4}\).

3.a)

La chaîne rectiligne dont les gouttelettes diffractent la lumière incidente se comporte comme un réseau optique à très grand nombre d’éléments diffractants; seules les radiations correspondant à des ondes rétrodiffusées en phase par toutes les gouttelettes donnent une intensité lumineuse résultante notable.

3.b)

La différence de marche entre les ondes rétrodiffusées par deux gouttelettes voisines est \(\delta=2d\). Ces ondes rétrodiffusées dans le milieu d’indice \(n\) seront en phase si leur longueur d’onde dans le vide \(\lambda_o\) vérifie \(2nd=k\lambda_o\) où \(k\) est un nombre entier. \(d={\displaystyle}\frac{k\lambda_o}{2n}\ \ (k\) entier).
A.N. \(\lambda_o={\displaystyle}\frac{585}{k}\) nm. La seule possibilité est \(k=1\ :\ \lambda_o\) = 585 nm
L’échantillon apparaît jaune-orangé (cf. doublet D du sodium à 589 nm).

3.c)

Si on fait varier l’intensité du champ magnétique appliqué \(B_o\) la force \(F_{ch}\) varie, la valeur de \(d\) à l’équilibre varie et par suite la couleur de la lumière rétrodiffusée varie.
Si \(B_o\) augmente, \(d\) et \(\lambda_o\) diminuent. \(d\) est borné inférieurement par la valeur \(2R\). La longueur d’onde limite observable est \(\lambda_{o\ell}=4nR\). Pour \(R=98\) nm \(\lambda_{o\ell}=521\) nm (couleur verte).

4.a)

La force répulsive entre deux gouttelettes est \(F_{rep}=F_{ch}\) avec \(F_{ch}={\displaystyle}\frac{3\mu_o}{2\pi}\,\zeta{{\scriptstyle}(3)}\frac{m^2}{d^4}\) (question 4.a de la première partie); avec \(\lambda_o=2nd\ :\ F_{rep}={\displaystyle}\Bigg(\frac{24\,\zeta{{\scriptstyle}(3)}\,\mu_o}{\pi}\Bigg) \Bigg(\frac{m^2n^4}{\lambda_o^4}\Bigg)\).

4.b)

La mesure de la valeur \(\lambda_o\) permet de calculer celle de la distance \(d\), fonction de \(B_o\). En augmentant l’intensité \(B_o\) on peut considérer que l’on atteint la valeur limite \(\lambda_{o\ell}=4nR\) qui permet de calculer la valeur de \(R\); on accède ainsi à \(h=d-R\).
En appliquant un champ magnétique d’intensité variable de valeur \(B_o\) connue et en mesurant \(\lambda_o\) on peut calculer \(d, h,\) et la valeur de \(F_{rep}= {\displaystyle}\frac{3\pi\,\zeta{{\scriptstyle}(3)}\,B_o^2}{2\mu_o\Bigg( {\displaystyle}\frac{3}{4\chi_SR^3}-\frac{\zeta{{\scriptstyle}(3)}}{d^3}\Bigg)^2d^4}\).

5.

Les gouttelettes chargées subissent une force répulsive \(F_{el}=2\pi\varepsilon_o\varepsilon_r\psi_o^2R\kappa\exp(-\kappa h)\).
Les points expérimentaux de la figure 1 sont pratiquement alignés sur une droite qui passe par les points (\(h=12\) nm, \(F=1\times10^{-11}\) N) et (\(h=50\) nm, \(F=2\times10^{-14}\) N).
On en déduit \(\kappa^{-1}=\) 6,1 nm et \(\psi_o\) = 32 mV.

Troisième partie.

1.a)

La relation \(\Pi=ck_BT\) est formellement identique à l’expression de la pression cinétique d’un gaz parfait monoatomique. Cette expression suppose l’absence d’interaction (en particulier de collisions) entre les particules (2), elle n’est valable que pour des valeurs très faibles de la concentration \(c\).

1.b)

Il apparaît un interstice exclu pour les particules (2) entre les particules (1) pour les distances \(d<d_m\) avec \(d_m=2(R+r)\).

1.c)

La région interdite aux particules (2) est défini par l’angle \(\theta_c\) vérifiant \((R+r)\cos\theta_c=d/2\) c’est-à-dire \(\cos\theta_c=\frac{d}{\bar{R}}\). \(d\) étant supérieur à \(2R\), l’angle \(\theta_c\) n’existe que pour \(2R\leq d\leq 2\bar{R}\).

2.a)

La collision d’une particule (2) sur une particule (1) est entièrement décrite par le mouvement du centre de masse de la particule (2) qui reste à une distance supérieure ou égale à \(\bar R\) du centre de la particule (1). Tout se passe comme s’il y avait collision de particules ponctuelles sur une particule sphérique dont le centre est confondu avec celui de la particule (1) et de rayon \(\bar R\).

2.b)

Par hypothèse, les collisions des particules (2) sur les particules (1) ont un effet équivalent à celui d’une pression \(\Pi\) uniforme. Lorsqu’il existe un insterstice exclu pour les particules (2) entre les particules (1) cette force de pression ne s’exerce que sur une partie de la sphère de rayon \(\bar R\) limitant la particule (1). Par raison de symétrie, la force résultante est portée par la ligne des centres des particules (1) et a pour expression \(\Pi\,S\) où \(S\) est l’aire du cercle limitant la partie de la sphère soumise à la pression \(\Pi\). Cette force \(F_{dep}\) est équivalente à une force d’attraction entre les deux particules (1).
\(F_{dep}=\Pi\,\pi(\bar{R}\sin\theta_c)^2;\ \ F_{dep}=ck_BT\pi \bar{R}^2\sin^2\theta_c\).

2.c)

\(\sin^2\theta_c=1-\cos^2\theta_c=1-\Big({\displaystyle}\frac{d}{2\bar{R}}\Big)^2; \ \ \bar{R}^2\sin^2\theta_c=\bar{R}^2-{\displaystyle}\frac{d^2}{4};\ \ F_{dep}=ck_BT\pi\Big(\bar{R}^2-{\displaystyle}\frac{d^2}{4}\Big)\).

2.d)

Lorsque la distance \(d\) entre les centres des particules (1) est supérieure à \(d_m=2\bar R\) le volume de la solution aqueuse accessible aux particules (2) est égal au volume total moins le volume des deux particules (1) : \((2\times\frac43\pi \bar{R}^2\)). Pour \(d<d_m\), les volumes des deux sphères de rayons \(\bar R\) ont une partie commune, le volume accessible aux particules (2) augmente. Cette augmentation est maximale pour \(d=2R\). L’évolution du volume accessible aux particules (2) est semblable à celle de la force de déplétion. Cette évolution suit celle de l’entropie du système constitué par les particules (2), fonction croissante du volume qui leur est accessible.

2.e)

Application numérique : \(F_{dep}=1,60\times10^{-13}\) N.

3.

La distance entre deux gouttelettes de la chaîne est \(d={\displaystyle}\frac{\lambda_o}{2n}=201\) nm pour \(B_o=62,7\times10^{-3}\) T.
Cette position correspond à l’équilibre entre la force attractive \(F_{ch}\) et la force de répulsion d’origine électrostatique \(F_{el}\ \ F_{ch}=F_{el}\) en intensité; \(F_{el}={\displaystyle}\frac{3\pi\,\zeta{{\scriptstyle}(3)}\,B_o^2}{2\mu_o\Bigg( {\displaystyle}\frac{3}{4\chi_SR^3}-\frac{\zeta{{\scriptstyle}(3)}}{d^3}\Bigg)^2d^4}\).
Après ajout de polymère il y a une force attractive de déplétion \(F_{dep}\).
\(R\) = 98 nm; \(r\) = 10 nm; \(2(R+r)=216\) nm; \(d\) = 201 nm; on est bien dans le cas \(2R<d<2 \bar R\).
On règle le champ magnétique pour retrouver la même distance \(d\) = 201 nm. La force attractive devient \(F'_{ch}={\displaystyle}\frac{3\pi\,\zeta{{\scriptstyle}(3)}\,{B'}_o^2}{2\mu_o\Bigg( {\displaystyle}\frac{3}{4\chi_SR^3}-\frac{\zeta{{\scriptstyle}(3)}}{d^3}\Bigg)^2d^4}\). L’équilibre correspond à \(F'_{ch}+F_{dep}=F_{el}; \\[5 mm] {\displaystyle}\frac{3\pi\,\zeta{{\scriptstyle}(3)}\,{B'}_o^2}{2\mu_o\Bigg( {\displaystyle}\frac{3}{4\chi_SR^3}-\frac{\zeta{{\scriptstyle}(3)}}{d^3}\Bigg)^2d^4}+ ck_BT\pi\Big(\bar{R}^2-{\displaystyle}\frac{d^2}{4}\Big)= \frac{3\pi\,\zeta{{\scriptstyle}(3)}\,B_o^2}{2\mu_o\Bigg( {\displaystyle}\frac{3}{4\chi_SR^3}-\frac{\zeta{{\scriptstyle}(3)}}{d^3}\Bigg)^2d^4}. \\[5 mm] {\displaystyle}\frac{3\pi\,\zeta{{\scriptstyle}(3)}\,(B_o^2-{B'}_o^2)}{2\mu_o\Bigg( {\displaystyle}\frac{3}{4\chi_SR^3}-\frac{\zeta{{\scriptstyle}(3)}}{d^3}\Bigg)^2d^4}= ck_BT\pi\Big( \bar{R}^2-{\displaystyle}\frac{d^2}{4}\Big);\) tous calculs faits : \({B'}_o=41,4\times10^{-3}\) T.