ULM MP 2000 - Physique - Durée 6 heures
Em = v ∧B − ∂A/∂t qui produisent une f.é.m. induite $e = \int\limits_{{\rm{rayon}}} {{{\bf{E}}_m}.d{\bf{r}}} $,
et génèrent un courant induit dans le circuit ; les composantes des vecteurs sont exprimées en coordonnées cylindriques d’axe l’axe de rotation du disque. Le champ électromoteur initial est celui de Lorentz Em = ΩBrer ; si ΩB > 0, il produit un courant induit de direction et sens ceux de er dans le circuit d’où un champ magnétique propre qui agit sur les éléments du circuit et exerce sur eux des forces de Laplace tendant à s’opposer à la cause (le mouvement) conformément à la loi de Lenz, B doit avoir une composante parallèle à ez de même sens si Ω > 0, alors les forces de Laplace sur les éléments de rayon s’opposent alors à la rotation ; B produit accroît le champ initialement existant et le phénomène s’amplifie : à partir des fluctuations du champ magnétique du vide, il peut se produire une génération spontanée de champ magnétique ; il faut que le champ magnétique initial et le vecteur rotation du disque soient de mêmes sens ;
Si le sens de rotation est inversé, $\Omega $ → −$\Omega $ et si B initial n’a pas changé de sens : Em → −Em, I → −I ce qui tend à diminuer B : le système tendra à annuler le courant ; il faut en fait Ω > 0 avec le sens de B indiqué pour avoir production de courant.
L’énergie fournie par l’opérateur qui fait tourner le disque alimente le travail des forces de frottement, l’effet Joule et le reste est emmagasiné sous forme cinétique dans le disque et sous forme magnétique dans l’inductance totale du circuit ; à chaque valeur de I correspond une valeur de B ; le sens du courant et celui de la rotation sont indiqués sur le schéma du texte.
I.2) Si (SC2) est une surface s’appuyant sur un circuit (C2) fermé, le coefficient de mutuelle induction entre (C1) et (C2) est :
$M=\frac{1}{{{I}_{1}}}\iint\limits_{({{\text{S}}_{{{C}_{2}}}})}{{{\mathbf{B}}_{1}}}.d{{\mathbf{S}}_{2}}$.
Dans le cas considéré, la f.é.m. induite par le mouvement est :
$e = \int\limits_0^r {({\bf{v}} \wedge {\bf{B}}).d{\bf{r}}} = \Omega \int\limits_0^r {{B_z}(\rho )} \rho d\rho $ mise sous forme e = M I $\Omega $ avec $M = \frac{1}{I}\int\limits_0^r {{B_z}(\rho )} \rho d\rho $,
mais l’expression de M ne correspond pas à la définition d’un coefficient de mutuelle induction. En fait, le texte aurait dû introduire précisément le coefficient de mutuelle M entre la spire et le cercle autour du disque ; alors, on aurait eu :
$M = \frac{1}{I}\int\limits_0^r {{B_z}(\rho )\rho d\rho } \int\limits_0^{2\pi } {d\theta } = \frac{{2\pi }}{I}\int\limits_0^r {{B_z}(\rho )} \rho d\rho $ d’où $e = \frac{{MI\Omega }}{{2\pi }}$ et non $e = MI\Omega $.
I.3) La f.é.m. induite totale est :
$e = - {\left( {\frac{{d\phi }}{{dt}}} \right)_{\`a \;circuit\;fixe}} - {\left( {\frac{{d\phi }}{{dt}}} \right)_{\`a \;{\bf{B}}\,\;constant}} = - L\frac{{dI}}{{dt}} + \int\limits_0^r {({\bf{v}} \wedge {\bf{B}}).d{\bf{r}}} $.
Les éléments du schéma électrique correspondent :
$MI\Omega - L\frac{{dI}}{{dt}} = RI$.
I.4) La f..é.m. due au champ électromoteur de Lorentz fournit une énergie opposée au travail du système des forces de Laplace, de moment Γmez par rapport à z’z , de puissance ΓmΩ pour le disque solide en rotation autour de l’axe fixe z’z :
$eIdt + {\Gamma _m}\Omega dt = 0$ d’où ${\Gamma _m} = - \frac{{eI}}{\Omega }$ et donc ${\Gamma _m} = - M{I^2}$ (on devrait avoir${\Gamma _m} = - \frac{{M{I^2}}}{{2\pi }}$)
d’où l’équation mécanique, par application du théorème du moment cinétique scalaire au disque :
$J\frac{{d\Omega }}{{dt}} = - f\Omega - M{I^2} + \Gamma $.
I.5) À partir de l’équation électrique, pour retrouver l’équation correspondante du texte, il faut poser :
Si on suppose que B a le même ordre de grandeur au niveau du rayon du disque, alors :
$M \approx \frac{{{\mu _0}r}}{4} = {3,2.10^{ - 8}}\;{\rm{H}}$. D’où ${\Omega _0} = \frac{R}{M} \approx {3.10^7}\;{\rm{rd}}{\rm{.}}{{\rm{s}}^{ - 1}}$, soit 5.106 tours/seconde (impossible).
I.8) En assimilant le noyau sphérique, de rayon r, à un conducteur de section droite S = πr2/2 et de longueur moyenne l = πr, la résistance est grossièrement donnée par :
$R \approx \frac{{\rho l}}{S} = \frac{{2\rho }}{r} \approx {2.10^{ - 13}}\;\Omega $ et par ailleurs $M \approx \frac{{{\mu _0}r}}{4} = 0,1\pi \;{\rm{H}}$ d’où ${\Omega _0} \approx \frac{{{{2.10}^{ - 12}}}}{\pi }\;{\rm{rd}}{\rm{.}}{{\rm{s}}^{ - 1}}$
soi une période de 1013 s et puisqu’une année vaut 3,16.107 s, un tour complet se fait en 300 000 ans environ ce qui semble possible à l’échelle géologique. Le plasma fluide du noyau (électrons et ions positifs) produit des courants électriques du fait de la rotation terrestre initiale (le moteur) et de la viscosité du fluide (frottements entre couches fluides et au contact avec la partie solide externe).
I.9) Par développement limité au premier ordre, avec en régime permanent i = 0, ω = C = 1/λ :
$\frac{{dx}}{{d\tau }} \approx (C - 1)x$, $\frac{{dy}}{{d\tau }} \approx \alpha (1 - \lambda C) - \lambda \alpha y$ soit $\frac{{dx}}{{d\tau }} + (1 - C)x = 0$ et $\frac{{dy}}{{d\tau }} + \lambda \alpha y = 0$,
d’où :
$x = A{{\rm{e}}^{ - (1\, - \,C)\tau }}$ et $y = B{{\rm{e}}^{ - \lambda \alpha \tau }}$ ; $\mathop {\lim }\limits_{\tau \to \infty } (y) = 0$,
$\mathop {\lim }\limits_{\tau \to \infty } (x) = 0$ si C =1/λ < 1, stabilité si λ > 1 , mais $\mathop {\lim }\limits_{\tau \to \infty } (x) = \infty $ si C = 1/λ > 1, instabilité si λ < 1 ;
En conclusion :
$C = \frac{{{\Omega _{vide}}}}{{{\Omega _0}}} = \frac{{\Gamma M}}{{fR}} = \frac{1}{\lambda }$⇒ stabilité de la solution I = 0 si $\frac{\Gamma }{f} < \frac{R}{M}$ ou λ > 1.
I.10) Il s’agit d’un problème purement mathématique ; soit le système linéarisé au voisinage de (0,0) :
$\frac{{di}}{{d\tau }} = ai + b\omega $, $\frac{{d\omega }}{{d\tau }} = ci + d\omega $,
dont on cherche la solution sous la forme i = Aest, ω = Best. L’équation caractéristique s’obtient en annulant le déterminant du système, soit :
${s^2} - (a + d)s + ad - bc = 0$ de racines ${s_1},{s_2} \in \mathbb{C}$.
Selon les valeurs de p = a + d (trace de la matrice) et de q = ad − bc (déterminant de la matrice), on a:
I.11) Si i non nulle avec forcément λ < 1, au voisinage de ω = C = 1 et $i = \pm \sqrt {1 - \lambda } $:
$\omega = 1 + y$, $i = \pm \sqrt {1 - \lambda } + x$
d’où au premier ordre en x et y, les équations différentielles d’évolution s’écrivent :
$\frac{{dx}}{{d\tau }} \approx \pm \sqrt {1 - \lambda } \;y$, $\frac{{dy}}{{d\tau }} \approx \alpha ( - \lambda y \mp 2\sqrt {1 - \lambda } \,x)$, a = 0, $b = \pm \sqrt {1 - \lambda } $, $c = \mp 2\alpha \sqrt {1 - \lambda } $, $d = - \alpha \lambda $,
p = −λα < 0, q = 2(1 − λ)α > 0,
pour ces deux cas d’où stabilité. Ces solutions si elles existent sont stables. En conclusion :
$m\frac{{d{\bf{v}}}}{{dt}} = q{\bf{v}} \wedge {\bf{B}}$ , $P = \frac{{dE}}{{dt}} = 0$ d’où ||v|| = cste,
car la force de Lorentz perpendiculaire à la vitesse ne travaille pas.
II.2) En projections longitudinale et transversale :
$m\frac{{d{{\bf{v}}_{//}}}}{{dt}} = {\bf{0}}$ d’où ${{\bf{v}}_{//}} = {\bf{cste}}$ et donc ||v⊥|| = cste, $m\frac{{d{{\bf{v}}_ \bot }}}{{dt}} = q{{\bf{v}}_ \bot } \wedge {\bf{B}}$.
Soit ρ le rayon de courbure de la trajectoire de la projection de la charge sur un plan perpendiculaire à B, soit n sa normale et t le vecteur unitaire tangent ; l’accélération est :
$\frac{{d{{\bf{v}}_ \bot }}}{{dt}} = \frac{{m{{\bf{v}}_ \bot }^2}}{\rho }{\bf{n}}$
d’où en reportant dans l’équation en v⊥ :
$\rho = \frac{{m||{{\bf{v}}_ \bot }||}}{{|qB|}}$ ou algébriquement n et t :$\rho = - \frac{{m{v_ \bot }}}{{qB}}$,
si q > 0, rotation dans le sens négatif associé à B ; si q < 0, rotation dans le sens contraire : la trajectoire est une hélice circulaire de pas constant parcourue à la période et à la vitesse angulaire :
$T = \frac{{2\pi m}}{{|qB|}}$ et $\omega = \frac{{|qB|}}{m}$.
II.3) A.N. : la norme de la vitesse est donnée par :
$||{\bf{v}}||\; = \sqrt {\frac{{2E}}{m}} $.
II.4) L’intensité du courant est :
$I = \frac{q}{T} = \frac{{q\omega }}{{2\pi }} = \frac{{{q^2}B}}{{2\pi m}}$, $\mu = IS = \frac{{{q^2}B{\rho ^2}}}{{2m}}$, $\mu = - \frac{{{q^2}\phi }}{{2\pi m}}$,$m = - \frac{{m{v_ \bot }^2}}{{2B}}\frac{{\bf{B}}}{{||{\bf{B}}||}}$, ${E_ \bot } = \frac{1}{2}m{v_ \bot }^2$ d’où ${E_ \bot } = - \mu B$.
Le moment magnétique m et le champ magnétique B sont de sens opposés.
II.5) Il faut que la variation relative de ||B|| soit négligeable sur une distance de l’ordre du rayon local et que la courbure d’une ligne de champ soit négligeable sur une distance de l’ordre de grandeur du pas local de l’hélice. Sur quelques périodes tout se passe comme si localement le champ magnétique était uniforme. Sur une échelle de temps plus grande, il faut tenir compte de la variation de ||B|| pour avoir celles de ρ et ω par les formules déjà établies.
II.6) B est à flux conservatif, son flux à travers le cylindre de rayon ρ entre z et z + dz est nul :
$ - {B_{//\,}}(0,z)\pi {\rho ^2} + {B_{//\,}}(0,z + dz)\pi {\rho ^2} + \,2\pi \rho dz{B_ \bot } = 0$ d’où ${B_ \bot } = - \frac{\rho }{2}\frac{{d{B_{//}}}}{{dz}}$.
II.7) Algébriquement :$\rho = - \frac{{m{v_ \bot }}}{{q{B_{//}}}}$ ; en projection longitudinale de l’équation f = ma :
$m\frac{{d{{\bf{v}}_{//}}}}{{dt}} + m\frac{{d{{\bf{v}}_ \bot }}}{{dt}} = q({{\bf{v}}_{//}} + {{\bf{v}}_ \bot }) \wedge ({{\bf{B}}_{//}} + {{\bf{B}}_ \bot })$, on a : $m\frac{{d{{\bf{v}}_{//}}}}{{dt}} = q{{\bf{v}}_ \bot } \wedge {{\bf{B}}_ \bot } = q\left( {\frac{{ - q{B_{//}}\rho }}{m}} \right){{\bf{e}}_\theta } \wedge \left( { - \frac{\rho }{2}\frac{{d{B_{//}}}}{{dz}}{{\bf{e}}_r}} \right)$,
${{\bf{a}}_{//}} = - \frac{{{q^2}{\rho ^2}{B_{//}}}}{{2m}}\frac{{d{B_{//}}}}{{dz}}{{\bf{e}}_z} = - \frac{{{v_ \bot }^2}}{{2{B_{//}}}}\frac{{d{{\bf{B}}_{//}}}}{{dz}}$, or $\mu = - \frac{{m{v_ \bot }^2}}{{2{B_{//}}}}$ d’où ${{\bf{a}}_{//}} = \frac{\mu }{m}\frac{{d{{\bf{B}}_{//}}}}{{dz}}$,
${{\bf{v}}_{//}}.{{\bf{a}}_{//}} = \frac{\mu }{m}\frac{{d{B_{//}}}}{{dz}}\frac{{dz}}{{dt}}$, $d\left( {\frac{{{v_{//}}^2}}{2}} \right) = \frac{\mu }{m}d{B_{//}}$ et donc $d{E_{//}} = \mu d{B_{//}}$.
II.8) En valeurs algébriques sur ez :
${E_ \bot } = - \mu {B_{//}}$, $d{E_ \bot } = - \mu d{B_{//}} - {B_{//}}d\mu $,$d{E_{//}} = \mu d{B_{//}}$,$E = {E_ \bot } + {E_{//}}$, $dE = 0$, $dE = d{E_ \bot } + d{E_{//}}$,
${B_{//}}d\mu = 0$, $d\mu = 0$, $\mu = cste$, $\mu = - \frac{{{q^2}\phi }}{{2\pi m}}$ d’où φ = cste.
On a l’équation d’un tube de champ à symétrie de révolution, le résultat traduisant la conservation du flux du champ. La charge enveloppe un tube de champ et son centre guide se déplace sur z’z.
II.9) $\mu = - \frac{{{E_ \bot }}}{B} = - \frac{{{E_{{ \bot _0}}}}}{{{B_0}}}$ d’où $\frac{{{{\sin }^2}{\beta _0}}}{{{B_0}}} = \frac{{{{\sin }^2}\beta }}{B}$, ${E_{//}} = E{\cos ^2}\beta = E(1 - {\sin ^2}\beta ) = E(1 - \frac{B}{{{B_0}}}{\sin ^2}{\beta _0})$.
${v_{//}}^2 = \frac{{2E}}{m}(1 - \frac{B}{{{B_0}}}{\sin ^2}{\beta _0})$, ${v_{//}}^2 \ge 0$ si la section est atteinte$ \Rightarrow $$\frac{{{B_0}}}{B} \ge {\sin ^2}{\beta _0}$.
Dans une section d’étranglement, B est maximal et prend la valeur Bmax ; quand B0/Bmax = sin2β0, les particules ne peuvent progresser plus et elles rebroussent chemin. Seules les particules de β0 faible et inférieur à la valeur définie par la formule précédente pourront franchir la section d’étranglement.
${\bf{B}} = - \frac{{{\mu _0}M}}{{4\pi {r^3}}}(2\cos \theta {{\bf{e}}_r} + \sin \theta {{\bf{e}}_\theta })$, $B = \;\frac{{{\mu _0}M}}{{4\pi {r^3}}}{(3{\cos ^2}\theta + 1)^{1/2}}$,$B(\theta = \frac{\pi }{2})\; = \frac{{{\mu _0}M}}{{4\pi {R_T}^3}}$, $M = {8,13.10^{22}}\;{\rm{A}}{\rm{.}}{{\rm{m}}^2}$.
III.2) Les lignes de champ (voir figure page suivante) ont pour équation différentielle :
$\frac{{dr}}{{{B_r}}} = \frac{{rd\theta }}{{{B_\theta }}}$, $\frac{{dr}}{{2\cos \theta }} = \frac{{rd\theta }}{{\sin \theta }}$, $\frac{{dr}}{r} = \frac{{2\cos \theta d\theta }}{{\sin \theta }} = \frac{{2d\sin \theta }}{{\sin \theta }}$, $r = K{\sin ^2}\theta $.
$r = {r_0} = \lambda {R_T}$, $K = {r_0}$,$r = {r_0}{\sin ^2}\theta $,$B(\theta = \frac{\pi }{2})\; = \frac{{{\mu _0}M}}{{4\pi {r_0}^3}}$ (dans le plan équatorial),
$B = \;{B_0}{\left( {\frac{{{r_0}}}{r}} \right)^3}{(3{\cos ^2}\theta + 1)^{1/2}}$, $B = \;{B_0}\frac{{{{(3{{\cos }^2}\theta + 1)}^{1/2}}}}{{{{\sin }^6}\theta }}$ .
III.3) Une particule chargée décrit localement une hélice circulaire, son centre guide décrivant une ligne de champ magnétique ; la ligne de champ s’enroule sur un tube de champ dont la ligne centrale est la trajectoire du centre guide. Les charges dont β0 est assez grand vont se réfléchir aux extrémités du tube et effectuer des aller-retour : elles sont piégées.
III.4) Pour les particules piégées, B0/Bmax ≤ sin2β0, Bmax est obtenu pour r = RT = λRT sin2θmax soit :
${\sin ^2}{\theta _{max}} = \frac{1}{\lambda }$, $\sin {\theta _{max}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}$, ${\theta _{max}} = 35,3\;^\circ $,
$\frac{{{B_{max}}}}{{{B_0}}} = \frac{{{{(3{{\cos }^2}{\theta _{max}} + 1)}^{1/2}}}}{{{{\sin }^6}{\theta _{max}}}}$, ${\sin ^2}{\beta _0} \ge \frac{1}{{{\lambda ^3}{{(4 - 3/\lambda )}^{1/2}}}} = \frac{1}{{27\sqrt 3 }}$, $\sin {\beta _0} \ge \frac{1}{{3\sqrt {3\sqrt 3 } }} = 8,4^\circ $.
Les particules qui n’obéissent pas à cette condition fuient par les pôles où elles sont responsables des aurores polaires.
III.5) L’angle solide défini par les particules qui fuient (au sud ou au nord) est : Ω = 2 × 2π(1−cosβ0), et l’angle solide de tout l’espace est 4π . La probabilité pour une charge de rester piégée est :
$p = 100(1 - \frac{\Omega }{{4\pi }}) = 100\cos {\beta _0}$, $p = 100\sqrt {1 - {{\sin }^2}{\beta _0}} \approx 99\;\% $.
III.6) Pour la vitesse longitudinale :
${v_{//}}^2 = {\dot{r^2} + {r^2}{\dot \theta ^2}$, $r = {r_0}{\sin ^2}\theta $, $\dot r = 2{r_0}\sin \theta \cos \theta \;\dot \theta $, ${v_{//}}^2 = {r_0}^2{\sin ^2}\theta (1 + 3{\cos ^2}\theta ){\dot \theta ^2}$,
avec $\tau = {r_0}\sqrt {\frac{m}{{2E}}} = \frac{{{r_0}}}{{{v_0}}} = \frac{{\lambda {R_T}}}{{{\nu _0}}} = \frac{{3{R_T}}}{{{\nu _0}}}$ de dimension un temps, par identification avec v//2 de II.9, on a :
${\tau ^2}{\sin ^2}\theta (1 + 3{\cos ^2}\theta ){\dot \theta ^2} = \left[ {1 - \frac{{{{(3{{\cos }^2}\theta + 1)}^{1/2}}}}{{{{\sin }^6}\theta }}{{\sin }^2}{\beta _0}} \right]$.
On assimile la ligne de champ à un cercle de rayon 1,5RT de circonférence 3πRT, en négligeant la partie enfouie ; avec v// ≈ 9,4.107 m.s−1, le temps aller-retour maximal est de l’ordre de 6πRT v// ≈ 1,3 s.
On peut aussi dire que le temps aller-retour est de quelques τ avec τ = 0,2 s, soit si 4τ , 4τ = 0,8 s.
III.7) ${\tau ^2}{\dot \theta ^2} = f(\theta ) = \frac{{1 - \frac{{{{(1 + 3{{\cos }^2}\theta )}^{1/2}}{{\sin }^6}{\theta _0}}}{{{{(1 + 3{{\cos }^2}{\theta _0})}^{1/2}}{{\sin }^6}\theta }}}}{{{{\sin }^2}\theta (1 + 3{{\cos }^2}\theta )}}$, $dt = \pm \frac{{\tau d\theta }}{{\sqrt {f(\theta )} }}$ d’où la période $T = 2\tau \int\limits_{{\theta _0}}^{\pi - {\theta _0}} {\frac{{d\theta }}{{\sqrt {f(\theta )} }}} $.
Avec θ0 = π/4, par la méthode des trapèzes ou de Simpson, ou en utilisant la fonction int de Maple, on obtient T/τ = 4,522. Le temps de calcul est long (une demi-heure avec un portable 166 MHz), ce qui est sans doute dû au fait que l’intégrale est impropre aux deux bornes.
I) Génération spontanée du champ magnétique terrestre
I.1) Le disque conducteur en mouvement dans un champ magnétique est le siège des champs électromoteurs de Lorentz et Neumann (ce dernier si B est variable dans le temps) :Em = v ∧B − ∂A/∂t qui produisent une f.é.m. induite $e = \int\limits_{{\rm{rayon}}} {{{\bf{E}}_m}.d{\bf{r}}} $,
et génèrent un courant induit dans le circuit ; les composantes des vecteurs sont exprimées en coordonnées cylindriques d’axe l’axe de rotation du disque. Le champ électromoteur initial est celui de Lorentz Em = ΩBrer ; si ΩB > 0, il produit un courant induit de direction et sens ceux de er dans le circuit d’où un champ magnétique propre qui agit sur les éléments du circuit et exerce sur eux des forces de Laplace tendant à s’opposer à la cause (le mouvement) conformément à la loi de Lenz, B doit avoir une composante parallèle à ez de même sens si Ω > 0, alors les forces de Laplace sur les éléments de rayon s’opposent alors à la rotation ; B produit accroît le champ initialement existant et le phénomène s’amplifie : à partir des fluctuations du champ magnétique du vide, il peut se produire une génération spontanée de champ magnétique ; il faut que le champ magnétique initial et le vecteur rotation du disque soient de mêmes sens ;
L’énergie fournie par l’opérateur qui fait tourner le disque alimente le travail des forces de frottement, l’effet Joule et le reste est emmagasiné sous forme cinétique dans le disque et sous forme magnétique dans l’inductance totale du circuit ; à chaque valeur de I correspond une valeur de B ; le sens du courant et celui de la rotation sont indiqués sur le schéma du texte.
I.2) Si (SC2) est une surface s’appuyant sur un circuit (C2) fermé, le coefficient de mutuelle induction entre (C1) et (C2) est :
$M=\frac{1}{{{I}_{1}}}\iint\limits_{({{\text{S}}_{{{C}_{2}}}})}{{{\mathbf{B}}_{1}}}.d{{\mathbf{S}}_{2}}$.
Dans le cas considéré, la f.é.m. induite par le mouvement est :
$e = \int\limits_0^r {({\bf{v}} \wedge {\bf{B}}).d{\bf{r}}} = \Omega \int\limits_0^r {{B_z}(\rho )} \rho d\rho $ mise sous forme e = M I $\Omega $ avec $M = \frac{1}{I}\int\limits_0^r {{B_z}(\rho )} \rho d\rho $,
mais l’expression de M ne correspond pas à la définition d’un coefficient de mutuelle induction. En fait, le texte aurait dû introduire précisément le coefficient de mutuelle M entre la spire et le cercle autour du disque ; alors, on aurait eu :
$M = \frac{1}{I}\int\limits_0^r {{B_z}(\rho )\rho d\rho } \int\limits_0^{2\pi } {d\theta } = \frac{{2\pi }}{I}\int\limits_0^r {{B_z}(\rho )} \rho d\rho $ d’où $e = \frac{{MI\Omega }}{{2\pi }}$ et non $e = MI\Omega $.
I.3) La f.é.m. induite totale est :
$e = - {\left( {\frac{{d\phi }}{{dt}}} \right)_{\`a \;circuit\;fixe}} - {\left( {\frac{{d\phi }}{{dt}}} \right)_{\`a \;{\bf{B}}\,\;constant}} = - L\frac{{dI}}{{dt}} + \int\limits_0^r {({\bf{v}} \wedge {\bf{B}}).d{\bf{r}}} $.
Les éléments du schéma électrique correspondent :
- à la f.e.m. induite due au champ électromoteur de Lorenz, mise sous forme MI $\Omega $ ;
- à la f.é.m. d’autoinduction due au champ électromoteur de Neumann, représentée par L ;
- à la résistance électrique des conducteurs R.
$MI\Omega - L\frac{{dI}}{{dt}} = RI$.
$eIdt + {\Gamma _m}\Omega dt = 0$ d’où ${\Gamma _m} = - \frac{{eI}}{\Omega }$ et donc ${\Gamma _m} = - M{I^2}$ (on devrait avoir${\Gamma _m} = - \frac{{M{I^2}}}{{2\pi }}$)
d’où l’équation mécanique, par application du théorème du moment cinétique scalaire au disque :
$J\frac{{d\Omega }}{{dt}} = - f\Omega - M{I^2} + \Gamma $.
I.5) À partir de l’équation électrique, pour retrouver l’équation correspondante du texte, il faut poser :
- ${\Omega _0} = \frac{R}{M}$ (en multipliant haut et bas par I 2, c’est le rapport d’une puissance et d’une énergie : la dimension est celle de l’inverse d’un temps donc d’une vitesse angulaire ) ;
- ${t_0} = \frac{L}{R}$ (constante de temps d’un circuit R,L).
- ${I_0} = \sqrt {\frac{\Gamma }{M}} $ (un couple a la dimension d’une énergie : I0 a la dimension d’une intensité) ;
- $\lambda = \frac{{f{\Omega _0}}}{\Gamma } = \frac{{fR}}{{\Gamma M}}$ (rapport de deux moments donc sans dimension) ;
- $\alpha = \frac{{\Gamma {t_0}}}{{J{\Omega _0}}} = \frac{{\Gamma LM}}{{J{R^2}}}$ ($\frac{{J{\Omega _0}}}{{{t_0}}}$ est homogène à la dérivée d’un moment cinétique, Γ est un couple, donc α est sans dimension).
- (1) : i = 0, $\omega = C = \frac{1}{\lambda }$ ($\Omega = \frac{\Gamma }{f} = {\Omega _{vide}}$), la puissance de l’opérateur se dissipe en frottement ;
- (2) : ω = 1 ; i2 = 1 − λ ou $i = \pm \sqrt {1 - \lambda } $ ; ces 2 solutions n’existent que si λ < 1 soit ${\Omega _0} < \frac{\Gamma }{f} = {\Omega _{vide}}$, c’est-à-dire si Ω > Ω0. Dans ce cas, il y a possibilité de génération spontanée d’un champ magnétique avec deux sens possibles opposés et deux valeurs de i opposées.
Si on suppose que B a le même ordre de grandeur au niveau du rayon du disque, alors :
$M \approx \frac{{{\mu _0}r}}{4} = {3,2.10^{ - 8}}\;{\rm{H}}$. D’où ${\Omega _0} = \frac{R}{M} \approx {3.10^7}\;{\rm{rd}}{\rm{.}}{{\rm{s}}^{ - 1}}$, soit 5.106 tours/seconde (impossible).
I.8) En assimilant le noyau sphérique, de rayon r, à un conducteur de section droite S = πr2/2 et de longueur moyenne l = πr, la résistance est grossièrement donnée par :
$R \approx \frac{{\rho l}}{S} = \frac{{2\rho }}{r} \approx {2.10^{ - 13}}\;\Omega $ et par ailleurs $M \approx \frac{{{\mu _0}r}}{4} = 0,1\pi \;{\rm{H}}$ d’où ${\Omega _0} \approx \frac{{{{2.10}^{ - 12}}}}{\pi }\;{\rm{rd}}{\rm{.}}{{\rm{s}}^{ - 1}}$
soi une période de 1013 s et puisqu’une année vaut 3,16.107 s, un tour complet se fait en 300 000 ans environ ce qui semble possible à l’échelle géologique. Le plasma fluide du noyau (électrons et ions positifs) produit des courants électriques du fait de la rotation terrestre initiale (le moteur) et de la viscosité du fluide (frottements entre couches fluides et au contact avec la partie solide externe).
I.9) Par développement limité au premier ordre, avec en régime permanent i = 0, ω = C = 1/λ :
$\frac{{dx}}{{d\tau }} \approx (C - 1)x$, $\frac{{dy}}{{d\tau }} \approx \alpha (1 - \lambda C) - \lambda \alpha y$ soit $\frac{{dx}}{{d\tau }} + (1 - C)x = 0$ et $\frac{{dy}}{{d\tau }} + \lambda \alpha y = 0$,
d’où :
$x = A{{\rm{e}}^{ - (1\, - \,C)\tau }}$ et $y = B{{\rm{e}}^{ - \lambda \alpha \tau }}$ ; $\mathop {\lim }\limits_{\tau \to \infty } (y) = 0$,
$\mathop {\lim }\limits_{\tau \to \infty } (x) = 0$ si C =1/λ < 1, stabilité si λ > 1 , mais $\mathop {\lim }\limits_{\tau \to \infty } (x) = \infty $ si C = 1/λ > 1, instabilité si λ < 1 ;
En conclusion :
$C = \frac{{{\Omega _{vide}}}}{{{\Omega _0}}} = \frac{{\Gamma M}}{{fR}} = \frac{1}{\lambda }$⇒ stabilité de la solution I = 0 si $\frac{\Gamma }{f} < \frac{R}{M}$ ou λ > 1.
$\frac{{di}}{{d\tau }} = ai + b\omega $, $\frac{{d\omega }}{{d\tau }} = ci + d\omega $,
dont on cherche la solution sous la forme i = Aest, ω = Best. L’équation caractéristique s’obtient en annulant le déterminant du système, soit :
${s^2} - (a + d)s + ad - bc = 0$ de racines ${s_1},{s_2} \in \mathbb{C}$.
Selon les valeurs de p = a + d (trace de la matrice) et de q = ad − bc (déterminant de la matrice), on a:
- si q < 0 : selle ou col (point fixe instable : les trajectoires sont des branches d’hyperbole) ;
- si q = 0 : nœud dégénéré ou impropre ;
- si q > 0 :
- si p2 > 4q :
- si p < 0 : nœud asymptotiquement stable ;
- si p > 0 : nœud instable ; - si p2 = 4q :
- si p < 0 : nœud dégénéré asymptotiquement stable impropre ou avec inflexion ;
- si p > 0 : nœud dégénéré instable ou impropre ou avec inflexion ;
- si a = d et b = c = 0 : droite (étoile) ; - si p2 < 4q :
- si p < 0 : foyer asymptotiquement stable ;
- si p > 0 : foyer instable ;
- si p = 0 : centre.
$\omega = 1 + y$, $i = \pm \sqrt {1 - \lambda } + x$
d’où au premier ordre en x et y, les équations différentielles d’évolution s’écrivent :
$\frac{{dx}}{{d\tau }} \approx \pm \sqrt {1 - \lambda } \;y$, $\frac{{dy}}{{d\tau }} \approx \alpha ( - \lambda y \mp 2\sqrt {1 - \lambda } \,x)$, a = 0, $b = \pm \sqrt {1 - \lambda } $, $c = \mp 2\alpha \sqrt {1 - \lambda } $, $d = - \alpha \lambda $,
p = −λα < 0, q = 2(1 − λ)α > 0,
pour ces deux cas d’où stabilité. Ces solutions si elles existent sont stables. En conclusion :
- si λ > 1 : 1 solution à courant nul stable ;
- si λ < 1 : 3 solutions dont 2 à courants non nuls opposés, stables et 1 à courant nul, instable ;
II) Mouvement d’une particule dans un champ magnétique
II.1) Théorèmes de la quantité de mouvement et de l’énergie cinétique :$m\frac{{d{\bf{v}}}}{{dt}} = q{\bf{v}} \wedge {\bf{B}}$ , $P = \frac{{dE}}{{dt}} = 0$ d’où ||v|| = cste,
car la force de Lorentz perpendiculaire à la vitesse ne travaille pas.
II.2) En projections longitudinale et transversale :
$m\frac{{d{{\bf{v}}_{//}}}}{{dt}} = {\bf{0}}$ d’où ${{\bf{v}}_{//}} = {\bf{cste}}$ et donc ||v⊥|| = cste, $m\frac{{d{{\bf{v}}_ \bot }}}{{dt}} = q{{\bf{v}}_ \bot } \wedge {\bf{B}}$.
Soit ρ le rayon de courbure de la trajectoire de la projection de la charge sur un plan perpendiculaire à B, soit n sa normale et t le vecteur unitaire tangent ; l’accélération est :
$\frac{{d{{\bf{v}}_ \bot }}}{{dt}} = \frac{{m{{\bf{v}}_ \bot }^2}}{\rho }{\bf{n}}$
d’où en reportant dans l’équation en v⊥ :
$\rho = \frac{{m||{{\bf{v}}_ \bot }||}}{{|qB|}}$ ou algébriquement n et t :$\rho = - \frac{{m{v_ \bot }}}{{qB}}$,
si q > 0, rotation dans le sens négatif associé à B ; si q < 0, rotation dans le sens contraire : la trajectoire est une hélice circulaire de pas constant parcourue à la période et à la vitesse angulaire :
$T = \frac{{2\pi m}}{{|qB|}}$ et $\omega = \frac{{|qB|}}{m}$.
II.3) A.N. : la norme de la vitesse est donnée par :
$||{\bf{v}}||\; = \sqrt {\frac{{2E}}{m}} $.
| électron de 25 KeV | proton de 80 KeV | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| v // B | v ⊥ B | v à π/4 de B | v // B | v ⊥ B | v à π/4 de B | |
| ρ (m) |
mt rectiligne uniforme ||v|| = 9,4.107 m.s−1 |
10,7 | 7,6 | mt rectiligne uniforme ||v|| = 3,9.106 m.s−1 |
810 | 572 |
| ω (rd.s−1) |
8,8.106 | 8,8.106 | 4,8.103 | 4,8.103 |
$I = \frac{q}{T} = \frac{{q\omega }}{{2\pi }} = \frac{{{q^2}B}}{{2\pi m}}$, $\mu = IS = \frac{{{q^2}B{\rho ^2}}}{{2m}}$, $\mu = - \frac{{{q^2}\phi }}{{2\pi m}}$,$m = - \frac{{m{v_ \bot }^2}}{{2B}}\frac{{\bf{B}}}{{||{\bf{B}}||}}$, ${E_ \bot } = \frac{1}{2}m{v_ \bot }^2$ d’où ${E_ \bot } = - \mu B$.
Le moment magnétique m et le champ magnétique B sont de sens opposés.
II.5) Il faut que la variation relative de ||B|| soit négligeable sur une distance de l’ordre du rayon local et que la courbure d’une ligne de champ soit négligeable sur une distance de l’ordre de grandeur du pas local de l’hélice. Sur quelques périodes tout se passe comme si localement le champ magnétique était uniforme. Sur une échelle de temps plus grande, il faut tenir compte de la variation de ||B|| pour avoir celles de ρ et ω par les formules déjà établies.
II.6) B est à flux conservatif, son flux à travers le cylindre de rayon ρ entre z et z + dz est nul :
$ - {B_{//\,}}(0,z)\pi {\rho ^2} + {B_{//\,}}(0,z + dz)\pi {\rho ^2} + \,2\pi \rho dz{B_ \bot } = 0$ d’où ${B_ \bot } = - \frac{\rho }{2}\frac{{d{B_{//}}}}{{dz}}$.
II.7) Algébriquement :$\rho = - \frac{{m{v_ \bot }}}{{q{B_{//}}}}$ ; en projection longitudinale de l’équation f = ma :
$m\frac{{d{{\bf{v}}_{//}}}}{{dt}} + m\frac{{d{{\bf{v}}_ \bot }}}{{dt}} = q({{\bf{v}}_{//}} + {{\bf{v}}_ \bot }) \wedge ({{\bf{B}}_{//}} + {{\bf{B}}_ \bot })$, on a : $m\frac{{d{{\bf{v}}_{//}}}}{{dt}} = q{{\bf{v}}_ \bot } \wedge {{\bf{B}}_ \bot } = q\left( {\frac{{ - q{B_{//}}\rho }}{m}} \right){{\bf{e}}_\theta } \wedge \left( { - \frac{\rho }{2}\frac{{d{B_{//}}}}{{dz}}{{\bf{e}}_r}} \right)$,
${{\bf{a}}_{//}} = - \frac{{{q^2}{\rho ^2}{B_{//}}}}{{2m}}\frac{{d{B_{//}}}}{{dz}}{{\bf{e}}_z} = - \frac{{{v_ \bot }^2}}{{2{B_{//}}}}\frac{{d{{\bf{B}}_{//}}}}{{dz}}$, or $\mu = - \frac{{m{v_ \bot }^2}}{{2{B_{//}}}}$ d’où ${{\bf{a}}_{//}} = \frac{\mu }{m}\frac{{d{{\bf{B}}_{//}}}}{{dz}}$,
${{\bf{v}}_{//}}.{{\bf{a}}_{//}} = \frac{\mu }{m}\frac{{d{B_{//}}}}{{dz}}\frac{{dz}}{{dt}}$, $d\left( {\frac{{{v_{//}}^2}}{2}} \right) = \frac{\mu }{m}d{B_{//}}$ et donc $d{E_{//}} = \mu d{B_{//}}$.
II.8) En valeurs algébriques sur ez :
${E_ \bot } = - \mu {B_{//}}$, $d{E_ \bot } = - \mu d{B_{//}} - {B_{//}}d\mu $,$d{E_{//}} = \mu d{B_{//}}$,$E = {E_ \bot } + {E_{//}}$, $dE = 0$, $dE = d{E_ \bot } + d{E_{//}}$,
${B_{//}}d\mu = 0$, $d\mu = 0$, $\mu = cste$, $\mu = - \frac{{{q^2}\phi }}{{2\pi m}}$ d’où φ = cste.
On a l’équation d’un tube de champ à symétrie de révolution, le résultat traduisant la conservation du flux du champ. La charge enveloppe un tube de champ et son centre guide se déplace sur z’z.
II.9) $\mu = - \frac{{{E_ \bot }}}{B} = - \frac{{{E_{{ \bot _0}}}}}{{{B_0}}}$ d’où $\frac{{{{\sin }^2}{\beta _0}}}{{{B_0}}} = \frac{{{{\sin }^2}\beta }}{B}$, ${E_{//}} = E{\cos ^2}\beta = E(1 - {\sin ^2}\beta ) = E(1 - \frac{B}{{{B_0}}}{\sin ^2}{\beta _0})$.
${v_{//}}^2 = \frac{{2E}}{m}(1 - \frac{B}{{{B_0}}}{\sin ^2}{\beta _0})$, ${v_{//}}^2 \ge 0$ si la section est atteinte$ \Rightarrow $$\frac{{{B_0}}}{B} \ge {\sin ^2}{\beta _0}$.
Dans une section d’étranglement, B est maximal et prend la valeur Bmax ; quand B0/Bmax = sin2β0, les particules ne peuvent progresser plus et elles rebroussent chemin. Seules les particules de β0 faible et inférieur à la valeur définie par la formule précédente pourront franchir la section d’étranglement.
III) Particules piégées dans le champ magnétique terrestre
III.1) Le champ magnétique est de type dipolaire ; avec B = ||B||, M = −Mez :${\bf{B}} = - \frac{{{\mu _0}M}}{{4\pi {r^3}}}(2\cos \theta {{\bf{e}}_r} + \sin \theta {{\bf{e}}_\theta })$, $B = \;\frac{{{\mu _0}M}}{{4\pi {r^3}}}{(3{\cos ^2}\theta + 1)^{1/2}}$,$B(\theta = \frac{\pi }{2})\; = \frac{{{\mu _0}M}}{{4\pi {R_T}^3}}$, $M = {8,13.10^{22}}\;{\rm{A}}{\rm{.}}{{\rm{m}}^2}$.
III.2) Les lignes de champ (voir figure page suivante) ont pour équation différentielle :
$\frac{{dr}}{{{B_r}}} = \frac{{rd\theta }}{{{B_\theta }}}$, $\frac{{dr}}{{2\cos \theta }} = \frac{{rd\theta }}{{\sin \theta }}$, $\frac{{dr}}{r} = \frac{{2\cos \theta d\theta }}{{\sin \theta }} = \frac{{2d\sin \theta }}{{\sin \theta }}$, $r = K{\sin ^2}\theta $.
$r = {r_0} = \lambda {R_T}$, $K = {r_0}$,$r = {r_0}{\sin ^2}\theta $,$B(\theta = \frac{\pi }{2})\; = \frac{{{\mu _0}M}}{{4\pi {r_0}^3}}$ (dans le plan équatorial),
$B = \;{B_0}{\left( {\frac{{{r_0}}}{r}} \right)^3}{(3{\cos ^2}\theta + 1)^{1/2}}$, $B = \;{B_0}\frac{{{{(3{{\cos }^2}\theta + 1)}^{1/2}}}}{{{{\sin }^6}\theta }}$ .
III.4) Pour les particules piégées, B0/Bmax ≤ sin2β0, Bmax est obtenu pour r = RT = λRT sin2θmax soit :
${\sin ^2}{\theta _{max}} = \frac{1}{\lambda }$, $\sin {\theta _{max}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}$, ${\theta _{max}} = 35,3\;^\circ $,
$\frac{{{B_{max}}}}{{{B_0}}} = \frac{{{{(3{{\cos }^2}{\theta _{max}} + 1)}^{1/2}}}}{{{{\sin }^6}{\theta _{max}}}}$, ${\sin ^2}{\beta _0} \ge \frac{1}{{{\lambda ^3}{{(4 - 3/\lambda )}^{1/2}}}} = \frac{1}{{27\sqrt 3 }}$, $\sin {\beta _0} \ge \frac{1}{{3\sqrt {3\sqrt 3 } }} = 8,4^\circ $.
Les particules qui n’obéissent pas à cette condition fuient par les pôles où elles sont responsables des aurores polaires.
III.5) L’angle solide défini par les particules qui fuient (au sud ou au nord) est : Ω = 2 × 2π(1−cosβ0), et l’angle solide de tout l’espace est 4π . La probabilité pour une charge de rester piégée est :
$p = 100(1 - \frac{\Omega }{{4\pi }}) = 100\cos {\beta _0}$, $p = 100\sqrt {1 - {{\sin }^2}{\beta _0}} \approx 99\;\% $.
${v_{//}}^2 = {\dot{r^2} + {r^2}{\dot \theta ^2}$, $r = {r_0}{\sin ^2}\theta $, $\dot r = 2{r_0}\sin \theta \cos \theta \;\dot \theta $, ${v_{//}}^2 = {r_0}^2{\sin ^2}\theta (1 + 3{\cos ^2}\theta ){\dot \theta ^2}$,
avec $\tau = {r_0}\sqrt {\frac{m}{{2E}}} = \frac{{{r_0}}}{{{v_0}}} = \frac{{\lambda {R_T}}}{{{\nu _0}}} = \frac{{3{R_T}}}{{{\nu _0}}}$ de dimension un temps, par identification avec v//2 de II.9, on a :
${\tau ^2}{\sin ^2}\theta (1 + 3{\cos ^2}\theta ){\dot \theta ^2} = \left[ {1 - \frac{{{{(3{{\cos }^2}\theta + 1)}^{1/2}}}}{{{{\sin }^6}\theta }}{{\sin }^2}{\beta _0}} \right]$.
On assimile la ligne de champ à un cercle de rayon 1,5RT de circonférence 3πRT, en négligeant la partie enfouie ; avec v// ≈ 9,4.107 m.s−1, le temps aller-retour maximal est de l’ordre de 6πRT v// ≈ 1,3 s.
On peut aussi dire que le temps aller-retour est de quelques τ avec τ = 0,2 s, soit si 4τ , 4τ = 0,8 s.
III.7) ${\tau ^2}{\dot \theta ^2} = f(\theta ) = \frac{{1 - \frac{{{{(1 + 3{{\cos }^2}\theta )}^{1/2}}{{\sin }^6}{\theta _0}}}{{{{(1 + 3{{\cos }^2}{\theta _0})}^{1/2}}{{\sin }^6}\theta }}}}{{{{\sin }^2}\theta (1 + 3{{\cos }^2}\theta )}}$, $dt = \pm \frac{{\tau d\theta }}{{\sqrt {f(\theta )} }}$ d’où la période $T = 2\tau \int\limits_{{\theta _0}}^{\pi - {\theta _0}} {\frac{{d\theta }}{{\sqrt {f(\theta )} }}} $.
Avec θ0 = π/4, par la méthode des trapèzes ou de Simpson, ou en utilisant la fonction int de Maple, on obtient T/τ = 4,522. Le temps de calcul est long (une demi-heure avec un portable 166 MHz), ce qui est sans doute dû au fait que l’intégrale est impropre aux deux bornes.
