Concours Physique ENSI Chimie Sud 1985 (Énoncé)

PROBLÈME DE MÉCANIQUE (sur 75 points)

(Les candidats sont invités à écrire en marge et en regard de chaque réponse le numéro de la question)

I

Un point matériel M, de masse $m$, est relié à un point fixe O par une tige rigide sans masse de longueur $a$. Le mouvement de M sera rapporté au repère orthonormé $(O,\vec i,\vec j,\vec k)$ fixe dans un espace galiléen. La trajectoire du point M dans l'espace est sur une sphère de rayon $a$ et de centre O. L'articulation en O est sans frottement. La position de M sera donnée par :

$\overrightarrow {OM}  = r(\vec i\cos \phi  + \vec j\sin \phi ) + z\vec k$

avec                                                                                       ${r^2} + {z^2} = {a^2}$

L'accélération de la pesanteur est donnée par : $\vec g =  - g\vec k$, ($g > 0$).

1° Montrer que la force de réaction $m\vec R$ passe par O.

2° Calculer le moment cinétique de M par rapport à Oz (projection sur Oz du moment cinétique par rapport à O).

3° Démontrer que ${r^2}\dot \phi  = C = Constante$.

II

1° Calculer l'énergie cinétique ${E_c}$ du point M.

2° Quelle est l'énergie potentielle de M (on considérera que l'énergie potentielle est nulle pour z = 0) ?

3° Que peut-on dire de l'énergie mécanique totale ${E_m}$ du point M ?

4° Donner son expression. On introduira ici la constante $K$ définie par $K = 2{E_m}/m$.

5° Tenant compte de la relation obtenue en II.4°, et de la relation ${r^2} + {z^2} = {a^2}$, exprimer $K$ à l'aide de $z$,$\dot z$ et des constantes $a$, $g$, et $C$.

6° En déduire que ${a^2}{\dot z^2}$ est égal à un polynôme de degré 3 en $z$ qui s'écrit :

${a^2}{\dot z^2} = ({a^2} - {z^2})(K - 2gz) - {C^2} = P(z)$

7° En déduire que $\dot z$ s'annule pour une valeur au moins de $z$ qu'on appellera ${z_0}$.[1]

III

On se propose dans cette partie d'étudier le mouvement et de montrer qu'il se situe entre deux plans horizontaux.

1° Justifier qu'en tout point de la trajectoire où $\dot z = 0$, celle-ci est tangente à un cercle $z = cte$ (parallèle géographique).

2° On prendra comme instant initial $t = 0$, l'un de ceux où cette tangence se produit, avec ${\vec v_0} = {r_0}{\dot \phi _0}\vec j$ (${r_0} \ne 0$ et ${\dot \phi _0} \ge 0$)[2] et avec la position initiale M₀ prise dans le plan $xOz$ et définie par :

$\overrightarrow {O{M_0}}  = {r_0}\vec i + {z_0}\vec k\quad (r_0^2 + z_0^2 = {a^2})$

Exprimer les constantes $C$ et $K$ à l'aide des conditions initiales.

3° Décomposer alors $P(z)$, défini en II.6°, sous la forme : $P(z) = ({z_0} - z)Q(z)$ et exprimer $Q(z)$ en fonction des conditions initiales.

4° Montrer qu'une racine ${z_1}$ de $Q(z)$ et une seule est comprise entre $- a$ et $a$.

5° Exprimer $\dot \phi _0^2$ à l'aide de $a$, $g$, ${z_0}$ et ${z_1}$. En déduire le signe de $({z_0} + {z_1})$ et montrer que la trajectoire reste comprise entre les plans $z = {z_0}$ et $z = {z_1}$.

6° Montrer que :$Q(z) = 2g({z_1} - z)(z - {z_2})$  avec ${z_2} =  - \frac{{{a^2} + {z_0}{z_1}}}{{{z_0} + {z_1}}}$

7° Quelle est la valeur ${v_{0C}}$ de ${v_0}$ pour que la trajectoire soit circulaire ? Quelle est la valeur minimale ${v_{0E}}$ de ${v_0}$ pour que, ${z_0}$ étant négatif, le point atteigne le plan de l'équateur ($z = 0$) ?

8° Dans le cas où ${z_0}$ est négatif, donner à l'aide d'un dessin les projections sur $xOy$ des trajectoires possibles en fonction des valeurs de ${v_0}$ par rapport à ${v_{0C}}$ et ${v_{0E}}$.

IV

On se propose d'étudier dans cette partie le mouvement du point M au cours du temps.

1° Pendant l'intervalle de temps infinitésimal $dt$, $z$ varie de $dz$. Exprimer $dt$ en fonction de $dz$, de $a$ et du polynôme $P(z)$.

2° Quel est le déplacement angulaire $d\phi$ correspondant à $dz$ ?

3° On appellera $T$ la durée qui sépare deux passages consécutifs de la trajectoire à la côte ${z_0}$ (ou ${z_1}$) ; c'est une période temporelle. Exprimer $T/2$ à l'aide d'une intégrale prise entre ${z_0}$ et ${z_1}$.

Soit $\Phi$ la variation de $\phi$ correspondante pendant le temps $T$ ; c'est la période angulaire. Exprimer $\Phi /2$ à l'aide d'une intégrale du même type.

N.B. - On ne cherchera pas à résoudre les intégrales précédentes.

V

Dans la suite, on n'envisagera plus que le cas des oscillations de faible amplitude, c'est-à-dire que ${z_0}$ et ${z_1}$ resteront voisins de $- a$. On posera alors : $z =  - a + u$, où $u$ est très petit devant $a$ ($u/a <  < 1$). Ainsi, $u$ restera compris entre ${u_0}$ et ${u_1}$. Les intégrales introduites en IV.3° se transformeront en intégrales prises entre ${u_0}$ et ${u_1}$, qui deviendront alors calculables grâce à des développements limités justifiés par les hypothèses énoncées ci-dessus.

1° Dans ce but on donnera d'abord un développement limité de ${({z_2} - z)^{ - 1/2}}$ sous la forme : $k + lu$, les coefficients $k$ et $l$ ne dépendant que de $a$.

 2° Donner un développement limité de $\frac{1}{{{r^2}}} = \frac{1}{{{a^2} - {z^2}}}$ sous la forme $\frac{m}{u} + n$, $m$ et $n$ ne dépendant que de $a$.

3° Même question pour le produit ${({z_2} - z)^{ - 1/2}} \times {r^{ - 2}}$ qui s'exprimera sous la forme $\frac{p}{u} + q$.

4° Écrire alors l'intégrale qui exprime $T$ compte tenu des expressions précédentes.

5° Donner l'expression de $C$ à l'aide de ${u_0}$, ${u_1}$, $a$ et $g$ (on devra aboutir à une expression simple grâce aux approximations définies en V.).

6° Écrire maintenant l'intégrale qui exprime $\Phi$.

VI

En vue de l'achèvement des calculs, on donne ici les valeurs des intégrales définies suivantes. Posons pour cela :

${I_n} = \int_{{u_0}}^{{u_1}} {\frac{{{u^n}du}}{{\sqrt {(u - {u_0})({u_1} - u)} }}}$

avec :                                                 ${I_{ - 1}} = \frac{\pi }{{\sqrt {{u_0}{u_1}} }}\;;\quad {I_0} = \pi \;;\quad {I_1} = \frac{{({u_0} + {u_1})\pi }}{2}$

1° A l'aide de ces données, calculer $T$ et $\Phi$.

2° Entre deux tangences consécutives de la trajectoire au cercle de rayon ${r_0}$ (ou ${r_1}$), le déplacement angu­laire $\Phi$ est voisin de $\pi$, dont il s'écarte de $\Delta \Phi$. Donner l'expression de $\Delta \Phi$.

3° Supposons ${r_0} \ne {r_1}$. Montrer que la trajectoire est pratiquement elliptique[3] et que les axes sont animés d'un mouvement de rotation lente dont on calculera la vitesse angulaire $\Delta \Phi /T$. On prendra $T = \pi \sqrt {a/g}$.

4° Considérer le cas où ${r_1} = 0$. Que devient $T$ ? On posera ici $\alpha  = {r_0}/a$. Que remarque-t-on ?

---

[1] Il faudrait spécifier que cette racine est comprise entre $- a$ et $+ a$.

[2] Le problème est plus simple si on suppose ${\dot \phi _0} > 0$.

[3] Il serait plus raisonnable de l’admettre.