PROBLÈME
DE MÉCANIQUE (sur 75 points)
(Les
candidats sont invités à écrire en marge et en regard de chaque réponse le
numéro de la question)
I
Un point matériel M, de masse $m$, est relié à un point fixe O par une tige
rigide sans masse de longueur $a$. Le
mouvement de M sera rapporté au repère orthonormé $(O,\vec i,\vec j,\vec k)$ fixe dans un espace
galiléen. La trajectoire du point M dans l'espace est sur une sphère de rayon $a$ et de centre O. L'articulation en O est
sans frottement. La position de M sera donnée par :
$\overrightarrow {OM}
= r(\vec i\cos \phi + \vec j\sin
\phi ) + z\vec k$
avec ${r^2} + {z^2} = {a^2}$
L'accélération de la pesanteur est
donnée par : $\vec g = - g\vec k$, ($g > 0$).
1°
Montrer que la force de réaction $m\vec R$
passe par O.
2°
Calculer le moment cinétique de M par rapport à Oz (projection sur Oz du moment
cinétique par rapport à O).
3°
Démontrer que ${r^2}\dot \phi = C = Constante$.
II
1°
Calculer l'énergie cinétique ${E_c}$ du
point M.
2°
Quelle est l'énergie potentielle de M (on considérera que l'énergie potentielle
est nulle pour z = 0) ?
3°
Que peut-on dire de l'énergie mécanique totale ${E_m}$
du point M ?
4°
Donner son expression. On introduira ici la constante $K$ définie par $K = 2{E_m}/m$.
5°
Tenant compte de la relation obtenue en II.4°, et de la relation ${r^2} + {z^2} = {a^2}$, exprimer $K$ à l'aide de $z$,$\dot z$
et des constantes $a$, $g$, et $C$.
6°
En déduire que ${a^2}{\dot z^2}$ est
égal à un polynôme de degré 3 en $z$ qui
s'écrit :
${a^2}{\dot z^2} = ({a^2} - {z^2})(K - 2gz) - {C^2} =
P(z)$
7°
En déduire que $\dot z$ s'annule pour
une valeur au moins de $z$ qu'on
appellera ${z_0}$.[1]
III
On
se propose dans cette partie d'étudier le mouvement et de montrer qu'il se
situe entre deux plans horizontaux.
1°
Justifier qu'en tout point de la trajectoire où $\dot z = 0$, celle-ci est tangente à un
cercle $z = cte$ (parallèle
géographique).
2°
On prendra comme instant initial $t = 0$,
l'un de ceux où cette tangence se produit, avec ${\vec v_0} = {r_0}{\dot \phi _0}\vec j$ (${r_0} \ne 0$ et ${\dot \phi _0} \ge 0$)[2] et
avec la position initiale M0 prise dans le plan $xOz$ et définie par :
$\overrightarrow {O{M_0}} = {r_0}\vec i + {z_0}\vec k\quad (r_0^2 +
z_0^2 = {a^2})$
Exprimer
les constantes $C$ et $K$ à l'aide des conditions initiales.
3°
Décomposer alors $P(z)$, défini en
II.6°, sous la forme : $P(z) = ({z_0} -
z)Q(z)$ et exprimer $Q(z)$ en fonction des conditions initiales.
4°
Montrer qu'une racine ${z_1}$ de $Q(z)$ et
une seule est comprise entre $ - a$ et $a$.
5°
Exprimer $\dot \phi _0^2$ à l'aide de $a$, $g$,
${z_0}$ et ${z_1}$. En déduire le signe de $({z_0} + {z_1})$ et montrer que la
trajectoire reste comprise entre les plans $z =
{z_0}$ et $z = {z_1}$.
6°
Montrer que :$Q(z) = 2g({z_1} - z)(z -
{z_2})$ avec ${z_2} = -
\frac{{{a^2} + {z_0}{z_1}}}{{{z_0} + {z_1}}}$
7°
Quelle est la valeur ${v_{0C}}$ de
${v_0}$ pour que la trajectoire soit
circulaire ? Quelle est la valeur minimale ${v_{0E}}$
de ${v_0}$ pour que, ${z_0}$ étant négatif, le point atteigne le
plan de l'équateur ($z = 0$) ?
8°
Dans le cas où ${z_0}$ est négatif,
donner à l'aide d'un dessin les projections sur $xOy$ des trajectoires possibles en fonction
des valeurs de ${v_0}$ par rapport à ${v_{0C}}$ et ${v_{0E}}$.
IV
On
se propose d'étudier dans cette partie le mouvement du point M au cours du
temps.
1° Pendant
l'intervalle de temps infinitésimal $dt$,
$z$ varie de $dz$. Exprimer $dt$ en fonction de $dz$, de $a$
et du polynôme $P(z)$.
2°
Quel est le déplacement angulaire $d\phi $
correspondant à $dz$ ?
3°
On appellera $T$ la durée qui sépare
deux passages consécutifs de la trajectoire à la côte ${z_0}$ (ou ${z_1}$) ;
c'est une période temporelle. Exprimer $T/2$
à l'aide d'une intégrale prise entre ${z_0}$
et ${z_1}$.
Soit
$\Phi $ la variation de $\phi $ correspondante pendant le temps $T$ ; c'est la période angulaire.
Exprimer $\Phi /2$ à l'aide d'une
intégrale du même type.
N.B.
- On ne cherchera pas à résoudre les intégrales précédentes.
V
Dans
la suite, on n'envisagera plus que le cas des oscillations de faible amplitude,
c'est-à-dire que ${z_0}$ et ${z_1}$ resteront voisins de $ - a$. On posera alors : $z = - a + u$,
où $u$ est très petit devant $a$ ($u/a
< < 1$). Ainsi, $u$ restera compris entre ${u_0}$ et ${u_1}$.
Les intégrales introduites en IV.3° se transformeront en intégrales prises
entre ${u_0}$ et ${u_1}$, qui deviendront alors calculables
grâce à des développements limités justifiés par les hypothèses énoncées
ci-dessus.
1°
Dans ce but on donnera d'abord un développement limité de ${({z_2} - z)^{ - 1/2}}$ sous la forme : $k + lu$, les coefficients $k$ et $l$
ne dépendant que de $a$.
2°
Donner un développement limité de $\frac{1}{{{r^2}}}
= \frac{1}{{{a^2} - {z^2}}}$ sous la forme $\frac{m}{u} + n$, $m$ et $n$
ne dépendant que de $a$.
3° Même question pour le produit ${({z_2} - z)^{ - 1/2}} \times {r^{ - 2}}$
qui s'exprimera sous la forme $\frac{p}{u}
+ q$.
4°
Écrire alors l'intégrale qui exprime $T$
compte tenu des expressions précédentes.
5°
Donner l'expression de $C$ à l'aide de ${u_0}$, ${u_1}$,
$a$ et $g$
(on devra aboutir à une expression simple grâce aux approximations définies en
V.).
6°
Écrire maintenant l'intégrale qui exprime $\Phi
$.
VI
En
vue de l'achèvement des calculs, on donne ici les valeurs des intégrales
définies suivantes. Posons pour cela :
${I_n} = \int_{{u_0}}^{{u_1}}
{\frac{{{u^n}du}}{{\sqrt {(u - {u_0})({u_1} - u)} }}} $
avec :
${I_{ - 1}} = \frac{\pi }{{\sqrt {{u_0}{u_1}}
}}\;;\quad {I_0} = \pi \;;\quad {I_1} = \frac{{({u_0} + {u_1})\pi }}{2}$
1°
A l'aide de ces données, calculer $T$ et
$\Phi $.
2°
Entre deux tangences consécutives de la trajectoire au cercle de rayon ${r_0}$ (ou ${r_1}$),
le déplacement angulaire $\Phi $ est
voisin de $\pi $, dont il s'écarte de $\Delta \Phi $. Donner l'expression de $\Delta \Phi $.
3° Supposons ${r_0} \ne {r_1}$. Montrer que la trajectoire
est pratiquement elliptique[3] et
que les axes sont animés d'un mouvement de rotation lente dont on calculera la
vitesse angulaire $\Delta \Phi /T$. On
prendra $T = \pi \sqrt {a/g} $.
4° Considérer le cas où ${r_1} = 0$. Que devient $T$ ? On posera ici $\alpha =
{r_0}/a$. Que remarque-t-on ?
[1] Il
faudrait spécifier que cette racine est comprise entre $ - a$ et $ +
a$.
[2] Le
problème est plus simple si on suppose ${\dot
\phi _0} > 0$.
[3] Il
serait plus raisonnable de l’admettre.
Aucun commentaire:
Enregistrer un commentaire