EIVP 1994 - OPTION P’
PB 1 : FREINAGE D'UNE NAVETTE SPATIALE DANS L'ATMOSPHERE
Dans tout le problème, O désigne le centre de la terre et RT son rayon . Pour un point M quelconque, on note OM = r ur et r = OM = RT + h ce qui définit l'altitude h . Les mouvements sont étudiés dans le référentiel géocentrique supposé galiléen .
*** Dans tout le problème, on néglige l'action gravitationnelle de la terre sur la navette ***
1. Préliminaire
L'atmosphère est assimilée à un gaz parfait de masse molaire M = 29 g.mol-1 à température uniforme T, en équilibre dans le champ de gravitation G(M) supposé radial et de
norme uniforme : G(M) = - G ur , avec G = 10 m.s-2.
- montrer que la masse volumique à l'altitude h est de la forme µ(h) = µSexp(- h/d) où µS désigne la valeur de µ au sol c'est-à-dire à l'altitude h = 0 ; exprimer la constante d en fonction de M, G, T et de la constante des gaz parfaits R = 8,32 J.K-1.mol-1 ;
- dans la suite on prend d = 8.103 m et µS = 1,3 kg.m-3 ; calculer la température T .
2. Freinage vertical
Une navette spatiale, assimilée à une masse ponctuelle m = 5.103 kg, est abandonnée à la date t = 0 à l'altitude h0 = 105 m avec une vitesse V0 = 8.103 m.s-1 . Elle décrit la verticale descendante issue de son point de départ dont le vecteur unitaire ascendant est noté ur , avec un vecteur-vitesse V = - V ur .
L'atmosphère exerce sur la navette une force de frottements F = µ C1V2 ur qui dépend de l'altitude via la masse volumique de l'air µ = µSexp(-h/d) avec les valeurs numériques de la question 1 ; C1 est un coefficient numérique positif lié à la forme de la navette ; pour les applications numériques, on prendra C1 = 10 m2 .
2.1 Ecrire le principe fondamental de la dynamique et montrer en éliminant l'altitude h et le temps t que V et µ satisfont à l'équation différentielle : $\frac{{dV}}{{d\mu }}$ + (C1d/m) V = 0
2.2 En déduire l'expression de V/V0 en fonction de µ, C1d/m et de µ0 = µSexp(-h0/d) .
2.3 Les relations V/V0 = f(µ) et h = d ln(µS/µ) constituent l'équation de la courbe V(h) paramétrée par µ
dont l'allure du graphe est donnée ci-dessous (V en m.s-1 et h en km) .
Comment évolue l'efficacité du freinage en fonction de l'altitude h ? Interpréter qualitativement cette évolution . Puis calculer la vitesse V de la navette au sol .
2.4 On note δ = - dV/dt la décélération de la navette . Exprimer δ en fonction de la seule variable µ et des constantes du problème . Montrer que δ passe par un maximum δM ; calculer δM/G et commenter sachant que la navette transporte des passagers .
2.5 Calculer δ/G pour h = h0 et h = 0 . Discuter
qualitativement suivant l'altitude h la validité de l'hypothèse consistant à négliger la force gravitationnelle .
3. Freinage sur une spirale
La navette décrit dans cette partie une courbe plane telle que en tout point sa tangente t fait un angle α constant avec la verticale descendante - ur .
Soit V = V t le vecteur-vitesse de la navette ; la projection de l'action F de l'atmosphère sur la navette sur la tangente t vaut Ft = - C1µV2 où C1 a été défini plus haut .
3.1 Relier V, dh/dt et α . En déduire que V(µ) est solution d'une équation différentielle analogue à celle de
2.1 et faisant intervenir les constantes C1, d, m et α .
3.2 On conserve les conditions initiales V0 = 8.103 m.s-1 à l'altitude h0 = 105 m . Tracer sur une même figure l'
allure du graphe de V(h) pour α = 0 et α non nul ; comparer
qualitativement l'efficacité du freinage pour α = 0 et α non nul .
3.3 Calculer le nouveau maximum δM de la décélération tangencielle δ = - dV/dt ; comment faut-il choisir α pour que δM/G soit inférieur à 10 ? Calculer la longueur L parcourue par la navette entre l'altitude h = h0 et l'altitude h = 0 pour la valeur limite de α ; commenter en liaison avec
3.2 .
3.4 En pratique, on recouvre la navette d'une céramique protectrice qui se vaporise sous l'action de l'atmosphère . Proposer une estimation
grossière de l'épaisseur de céramique nécessaire .
Données : chaleur latente de fusion de la céramique lF = 103 kJ.kg-1 ; chaleur latente de vaporisation de la céramique lv = 9.103 kJ.kg-1 ; masse volumique de la céramique µc = 8.103 kg.m-3 ; surface à protéger S = 10 m2 .
PB 2 : INTERACTION ENTRE DEUX SPIRES
Dans tout le problème, on étudie deux spires identiques de masse m, de rayon a, libres de se translater sans frottements le long de leur axe commun Oz, supposé horizontal .
On repère leur mouvement par les abscisses z1 et z2 de leurs centres respectifs C1 et C2 . On suppose qu'à tout instant on a z2 - z1 positif et très supérieur au rayon a . On oriente ces deux spires dans le sens trigonométrique autour de l'axe z'z .
La spire (1), de résistance et d'inductance propre nulles, est reliée à un générateur de courant parfait qui y maintient un courant I1
stationnaire . La spire (2), de résistance R et d'inductance propre nulle est fermée sur elle-même . On pose pour simplifier certains calculs z = z2 - z1 . A la date t = 0, partant de z = z0 , on lance les spires (1) et (2) avec des vitesses opposées respectives - V0/2 et + V0/2 .
1. Etude des phénomènes électromagnétiques
1.1 Partant de la loi de Biot et Savart, établir soigneusement l'expression du champ magnétique B1(C2) créé par la spire (1) au centre C2 de la spire (2) .
Dans toute la suite on adopte l'expression approchée : B1(C2) =$\frac{{{\mu _0}{I_1}{a^2}}}{{2{z^3}}}{u_z}$.
1.2 En déduire l'expression de l'inductance mutuelle M entre les deux spires en confondant le champ B1 en tout point de la surface de la spire avec sa valeur en C2 ; en déduire l'expression du courant I2 dans la spire (2) en fonction de z, dz/dt et des données .
1.3 L'origine étant prise en O1 sur l'axe Oz, on repère un point M quelconque par ses coordonnées cylindriques (r, θ, z) et on utilise le trièdre local (ur, uθ, uz) associé .
1.3.a Montrer par des considérations de symétrie soignées que le champ B créé par la spire (1) au point M est de la forme B = Br(r,z) ur + Bz(r,z) uz .
1.3.b On suppose M proche de l'axe et on confond Bz(r,z) et sa valeur Bz(r = 0, z) prise sur l'axe Oz et qui a été déterminée en
1.1 . En exprimant le flux de B à travers un cylindre d'axe Oz, de rayon r, compris entre les cotes z et z + dz, établir l'expression de Br(r,z) en fonction de r et de $\frac{{d{B_z}}}{{dz}}$, puis en fonction de µ0, I1, a, r et z .
1.3.c En déduire que la résultante F1-2 des forces de Laplace exercée par la spire (1) sur la spire (2) est de la forme ${F_{1 - 2}} = - \frac{{km}}{2}\frac{{dz}}{{dt}}\frac{1}{{{z^8}}}{u_z}$ et exprimer la constante positive k en fonction de m, µ0, I1 et a . Que vaut alors la force F2-1 exercée par la spire (2) sur la spire (1) ?
2. Etude des mouvements des spires
2.1 Quel est le mouvement du centre d'inertie des deux spires ? Etablir l'équation différentielle du deuxième ordre dont z(t) est solution . En déduire une intégrale première de la forme dz/dt = g(z) où g est une fonction de z faisant apparaître k, z0 et V0 .
2.2.a Quel est le signe de d2z/dt2 à la date t = 0 ? On suppose g(z = + ∞) > 0 . Tracer le graphe de g et discuter
graphiquement l'évolution de z(t) et dz/dt . Décrire notamment le régime permanent atteint à la date t = + ∞ .
2.2.b On suppose g(z = + ∞) < 0 . Discuter de même à l'aide du graphe de g l'évolution de z(t) et dz/dt . Décrire notamment le régime permanent atteint à la date t = + ∞ et comparer avec la situation de la question
2.2.a .
2.2.c Dans un
diagramme des phases où on porte dz/dt en ordonnée et z en abscisse, mettre en évidence une
courbe séparatrice (S) telle qu'on ait le comportement de
2.2.a ou de
2.2.b suivant que le point M0(z0,V0) correspondant aux conditions initiales est situé au-dessus ou en dessous de (S) .
2.3 On se place dans le cas où $k = \frac{{7z_0^7{V_0}}}{2}$. Calculer entre les dates t = 0+ et t = + ∞, en fonction uniquement de m et V0 , le travail WL des forces de Laplace, l'énergie WJ dissipée par effet Joule et la variation d'énergie magnétique . Commenter .
