Concours Physique Centrale M, P’ Physique II 1991 (Énoncé)

Concours d'admission 1991

M-P'

PHYSIQUE II
(4 pages dactylographiées)
ETUDE D'UN PIEGE A NEUTRONS
Le neutron est une particule sans charge électrique, il n'est donc pas possible de le piéger dans les anneaux de stockage traditionnels. Nous allons voir qu'il est néanmoins possible de confiner des neutrons très lents, appelés "ultra-froids", dans un champ magnétique approprié. La première partie du problème étudie le ralentissement des neutrons. La seconde partie s'intéresse au confinement des neutrons.
Les deux parties sont très largement indépendantes.
Données : Masse du neutron m = 1,67. 10⁻²⁷ kg
Moment magnétique du neutron M = 9,66. 10⁻²⁷ Am²
Constante de Boltzmann k = 1,38.10⁻²³ .J.K⁻¹
Electron-volt 1 eV = 1,6.10⁻¹⁹ J
Le référentiel du laboratoire sera supposé galiléen dans tout le problème.
<F(x)>_x représente la valeur moyenne de la fonction F(x) par rapport à la variable aléatoire x
<F(x)>_x = ∫_D F(x') dP(x') où D est le domaine de définition de x et où dP(x') = probabilité de trouver la variable x entre les valeurs x' et x' +dx' .
On donne la loi de répartition en énergie de la statistique de Boltzmann :
${\rm{dP(E) = }}\frac{{\rm{1}}}{{\sqrt {{\rm{2}}\pi } }}\frac{{\rm{1}}}{{\sqrt {{{{\rm{(kT)}}}^{\rm{3}}}} }}\sqrt {\rm{E}} \,\exp \left( {E/kT} \right)\,dE$.

PREMIERE PARTIE

Dans toute cette partie,$\vec v$ et E représentant la vitesse et l'énergie cinétique du neutron, et $\vec w$ la vitesse du noyau dans le référentiel du laboratoire. L'indice 1 sera réservé aux grandeurs avant le choc et l'indice 2 aux grandeurs après le choc.
On pose A = Masse du noyau / Masse du neutron.
On se place dans l'approximation non relativiste.
I. COLLISION NEUTRON-NOYAU AU REPOS
Un neutron de vitesse ${\vec v_1}$et d'énergie E₁ entre en collision élastique avec un noyau atomique initialement au repos (${\vec w_1} = \vec 0$).
1). Ecrire les équations de conservation de la quantité de mouvement et de l'énergie en fonction de A et des vitesses.
2). On appelle θ l'angle défini positif, que fait la direction du noyau après 1e choc avec la direction du neutron incident θ = (${\vec v_1},{\vec w_1}$) avec 0 < θ < π
a). Montrer que θ < π/2 .
b). Exprimer le rapport E₂/E₁ en fonction de A et θ.
II. MODELE DES SPHERES DURES
Dans ce modèle, on représente le neutron et le noyau par deux sphères rigides de rayons respectifs R₁ et R₂. On définit le paramètre d'impact b comme étant la distance entre la trajectoire du neutron incident et le centre du noyau initialement au repos. On admettra que les actions de contact, lors du choc sont normales aux surfaces de contact.
1). Donner la relation entre l'angle θ défini au I.2 et le paramètre b.
2). Exprimer la probabilité dP'(b) que le paramètre d'impact soit compris entre b et b+db au cours d'une collision.
3). Montrer que <− ln(1-K cos²θ)>_b = 1 + $\frac{{1 - K}}{K}$ ln(1-K) où K est une constante vérifiant K< 1 .
4). En déduire le coefficient de ralentissement γ défini par γ = <−Ln E₂/E₁>_b .
5). a). Pour quelle valeur de A le ralentissement est-il en principe le plus efficace?
b). Application numérique. Calculer γ pour les noyaux suivants :
¹H, ²H, ¹²C, ²³⁸U. On assimilera A au nombre de masse du noyau.
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III. APPLICATION AU RALENTISSEMENT DES NEUTRONS
On considère un neutron d'énergie initiale E₀ = l MeV . A l'instant t = 0 s, ce neutron entame un processus de collisions élastiques en chaîne avec un milieu, que l'on supposera homogène, illimité et constitué de noyaux tous identiques.
1). Le milieu est maintenu à la température T = 300 K. calculer l'énergie moyenne d'agitation thermique des noyaux E_300K en électron-volts (la démonstration de la relation utilisée n'est pas exigée). Est-il légitime de négliger le mouvement des noyaux ?
2).a). En utilisant la définition II.4). de γ exprimer l'énergie E_n du neutron après n collisions en fonction de E₀, γ et n. On pourra, pour justifier le calcul, considérer que n est un grand nombre.
b). Calculer, pour les 4 noyaux du II.5)., le nombre de collisions nécessaires pour faire passer l'énergie du neutron de sa valeur initiale E₀ à la valeur finale E_300K calculée plus haut.
3). On considère maintenant que l'énergie du neutron est une fonction continue du temps E(t). On note λ, le libre parcours moyen du neutron dans le milieu.
a). Exprimer la fréquence de collision dn/dt en fonction de λ, E(t) et m.
b). En déduire l'équation différentielle vérifiée par E(t).
c). Calculer E(t).
4). On donne, dans le cas du graphite, λ =2,6 cm.
a). Calculer le temps nécessaire pour abaisser l'énergie du neutron à la valeur finale E_300K.Que pensez-vous de l'influence de E₀ sur le temps de ralentissement ?
b). Calculer la distance parcourue par le neutron.

DEUXIEME PARTIE

I. CALCUL DE CHAMP MAGNETIQUE
Soit (O,$\vec i,\vec j,\vec k$) un trièdre orthonormé direct. On considère 6 fils rectilignes infinis, parallèles, de direction $\vec k$. La disposition des fils est telle que leurs traces dans le plan (O, $\vec i,\vec j$) notées A₁ B₃ A₂ B₁ A₃ B₂ sont réparties sur les sommets d'un hexagone régulier inscrit dans un cercle de centre O et de rayon a (voir Figure 1).
Le fil A₁, tel que $O{A_1} \to = a\,\vec i$, est parcouru par un courant I dans le sens de $\vec k$ et deux fils voisins sont parcourus par des courants opposés. On veut calculer le champ magnétique créé par cette distribution de courant au voisinage de O.

1).a). Soit M un point du plan (O, $\vec i,\vec j$). on pose $OM \to $$ = \vec r$. Donner rapidement en fonction de I. a, $\vec i,\vec k$ ct$\vec r$ l'expression du champ magnétique en M créé par le fil A₁ seul.
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b). On repère M par ses coordonnées polaires (r, θ) avec θ = ($\vec i,\vec r$). On pose u = r/a et B₀ = µ₀I/2πa . Donner les composantes radiale B'_r et orthoradiale B'_θ du champ crée par A₁ seul en fonction de B₀, u et θ .
c). Faire un développement limité à l'ordre 2 en u de ces expressions.
2).a). Par quelle transformation passe-t-on du champ crée par le fil A1, au champ créé par le seul fil B₁ diamétralement opposé à A₁ ?
b). En déduire, à l'ordre 2 en u. les composantes B1r et B_1θ du champ créé par le couple (A₁, B₁). I1 est conseillé, pour la suite du calcul. de linéariser les expressions en sinθ et cosθ .
3).a). Par quelle transformation obtient-on les champs créés par les deux autres couples de fils (A₂, B₂) et (A₃, B₃) ?
b). Montrer que le champ total se met sous la forme
B_r = − C B₀ u² sin3θ
B_θ = − C B₀ u² cos3θ où C est une constante numérique à déterminer.
4).a). Donner l'équation des lignes de champ.
b). Représenter l'allure des lignes de champ.
5).a). Calculer le module du champ que l'on notera B(r).
b). Comment sont les lignes isomodules B(r) = Constante ?
On conviendra que cette expression de B(r) est valable pour tout r < a.
II. ACTION DU CHAMP SUR UN NEUTRON
On admet qu'un neutron placé dans un champ magnétique oriente toujours son moment magnétique dans la direction du champ mais que son sens peut-étre, de façon équiprobable, parallèle ou antiparallèle au vecteur champ magnétique.
On pose Ω = ( 2CB₀M/ma² ) ^1/2
1).a). Exprimer en fonction de Ω, m et r l'énergie potentielle d'interaction entre le neutron et le champ magnétique $\vec B$déterminé dans la question I.. On distinguera le cas des neutrons "parallèles" et celui des neutrons "antiparallèles" au champ.
b). Exprimer la force qui s'exerce sur ces neutrons. En déduire qu'il est possible de confiner certains neutrons dans ce champ, on précisera lesquels.
Dans toute la suite du problème on ne s'intéresse qu'aux neutrons confinés.
2). Soit le repère d'axe cartésien (O, x, y, z) engendré par le trièdre (O, $\vec i,\vec j,\vec k$) défini au I.
a). Ecrire les équations différentielles du mouvement du neutron.
b). On considère un neutron qui, à t = 0 s. a pour coordonnées (x₀. 0, 0) et pour vecteur vitesse (0, u₀, v₀). Exprimer x(t). y(t) et z(t).
c). Représenter sa trajectoire.
3). Soit $\vec u$ la projection du vecteur vitesse sur le plan (O, x, y).
a). Montrer qu'il existe une vitesse critique u_C telle que si |$\vec u$| > u_C aucun neutron n'est confiné. On exprimera u_C en fonction de B₀, M et m.
b). Calculer u_C pour B₀ = 0,5 T. Calculer l'énergie cinétique critique E_C correspondante en électron-volts. Justifier, par un calcul numérique, le qualificatif d' "ultra-froids" que l'on donne aux neutrons confinés.
c). On considère un faisceau de neutrons ralentis et en équilibre thermique dans un milieu de température T = 300 K. Evaluer la fraction de ces neutrons qui sont susceptibles d'être piégés dans le champ. On utilisera la
valeur E_C calculée précédemment et on fera une approximation justifiée.
4). Expliquer pourquoi. en pratique, la durée de confinement sera forcément limitée.

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III. AMELIORATION DU CONFINEMENT
On referme le volume cylindrique de la zone de confinement sur lui-même pour former un tore de rayon moyen R et de section circulaire de rayon a. Les 6 fils rectilignes infinis du I sont donc remplacés par 6 fils circulaires coaxiaux et on définit un nouveau repère d'axe en coordonnées cylindriques (ρ, θ, z) l'axe z étant maintenant confondu avec l'axe du tore (voir Figure 2.)
1). On admet que la configuration du champ dans une section θ = constante du tore est identique à celle déjà calculée dans le cas des fils infinis.
a). Exprimer. en coordonnées cylindriques. la force qui s'exerce sur un neutron confiné en fonction de m, Ω, R, ρ et z.
b). Exprimer les composantes de l'accélération en coordonnées cylindriques.
c). En déduire les équations différentielles du mouvement.

On choisit l'origine des temps telle que dρ/dt(t=0) = 0 et l'origine des angles telle que θ(t=0) = 0 . On pose ρ(0) = ρ₀, z(0) = z₀, dθ/dt (t=0) = ω₀ et dz/dt (t=0) = vo.
2).a). Calculer z(t).
b). Montrer que ρ²dθ/dt est une constante du mouvement. Comment aurait-on pu prévoir directement ce résultat ?
c). En déduire une équation différentielle en ρ(t) uniquement.
3). Décrire complètement le mouvement dans les deux cas particuliers suivants :
a). ω₀ = 0. Donner la nature des trajectoires.
b). dθ/dt = constante. Calculer ρ en fonction de R. Ω et ω₀ et représenter les trajectoires. A quelle condition sont-elles fermées ?
4). On cherche maintenant des solutions pour lesquelles ρ varie peu autour de sa valeur moyenne.
On pose ρ(t) = ρ_m ( 1 + ε (t) ) avec ρ_m = < ρ(t) >_t et | ε | << 1.
a). En ne conservant que les termes d'ordre 1 en ε, établir l'équation différentielle linéaire vérifiée par ε(t) .
b). Donner l'équation qui lie ρ_m aux grandeurs initiales ρ₀ et ω₀ . On ne cherchera pas à la résoudre.
c). En déduire les expressions de ρ(t) et de dθ /dt en fonction de ρ_m, ω₀, Ω ,R et t.
d). Représenter l'allure des trajectoires.
5). Si on suppose l'axe z vertical, quel serait l'effet de la pesanteur sur la trajectoire du neutron ?
Faire l'application numérique pour g = 9,81 m.s⁻², B₀ = 0.5T et a =10 cm.
**** FIN ****

Concours Physique Centrale (M) Physique I 1988 (Énoncé)

ECOLE CENTRALE DES ARTS ET MANUFACTURES                    ECOLE SUPÉRIEURE D'ELECTRICITE

ECOLE CENTRALE DE LYON                                                ECOLE SUPÉRIEURE D'OPTIQUE

Concours d'Admission 1988

M

PHYSIQUE I

(4 pages dactylographiées)

Les vecteurs sont représentés par des lettres grasses sans flèche. (Exemple B à la place de B) [1].

Le but de ce problème est l'étude du mouvement d'une particule chargée dans un champ magnétique faiblement inhomogène pour deux configurations géométriques particulières. Une application est esquissée en direction des problèmes du confinement d'un plasma (gaz ionisé à très haute température qu'on cherche, malgré l'agitation thermique, à garder dans un volume clos mais en l'absence de parois matérielles). On présente la configuration magnétique tokamak qui constitue une des voies les plus prometteuses pour la réalisation d'un réacteur thermonucléaire.

QUESTION I.

En l'absence de champ électrostatique, et en présence d'un champ magnétique $\vec B$ uniforme et stationnaire $\vec B = B{\vec u_z}$ orienté selon l'axe $Oz$ d'un référentiel galiléen, on étudie le mouvement d'une particule chargée de masse $m$, de charge $q$ et de vitesse $\vec v$.

a) Écrire l'équation fondamentale de la dynamique dans le repère ${\vec u_x},{\vec u_y},{\vec u_z}$ lié au référentiel galiléen précédent.

b) En déduire les équations différentielles portant sur ${\ddot v_x},{v_x},{\ddot v_y},{v_y}$ [2]. On introduira la pulsation cyclotron ${\omega _c} = \left| q \right|B/m$, et on posera $\varepsilon  = q/\left| q \right|$.

c) Résoudre le système en notation complexe ; l'origine des phases sera déterminée de manière qu'au temps $t = 0$ on ait ${v_x} = {v_ \bot }$ (constante > 0 ), ${v_y} = 0$. On pourra dans la suite adopter pour toute vitesse $\vec v$ la décomposition $\vec v = {\vec v_{//}} + {\vec v_ \bot }$ où ${\vec v_{//}}$ est la composante de $\vec v$ parallèle au champ $\vec B$ (ici ${v_{//}} = {v_z}$) et ${\vec v_ \bot }$ la composante du vecteur vitesse dans un plan orthogonal à $\vec B$ (ici ${\vec v_ \bot } = {v_x}{\vec u_x} + {\vec v_y}{\vec u_y}$).

d) Donner alors les équations du mouvement. On fera apparaître le "rayon de Larmor" ${\rho _L} = {v_ \bot }/{\omega _c}$ et les coordonnées $\left( {{x_G},{y_G},{z_G}} \right)$ d'un point appelé "centre guide du mouvement", noté $G$ et défini à chaque instant comme le projeté de la position de la particule sur l'axe du cylindre sur lequel s'enroule la trajectoire. Faire un schéma indiquant un sens pour $\vec B$, l'allure de la trajectoire, le sens de parcours sur celle-ci suivant le signe de $q$ ainsi que la trajectoire du centre guide $G$. (On prendra $B > 0$, ${v_z} > 0$).

e) Application numérique : $B = 5T$, $\frac{1}{2}mv_ \bot ^2 = 10keV$. Calculer ${\rho _L}$ et ${\omega _c}$ pour un électron (${m_e} = {9,1.10^{ - 31}}kg$) et pour un proton ($m = {m_H} = {1,67.10^{ - 27}}kg$).

QUESTI0N II.

Au champ magnétique précédent s'ajoute maintenant un champ électrostatique $\vec E$ uniforme et stationnaire. On choisira l'axe ${\vec u_z}$ toujours suivant $\vec B$ et l'axe ${\vec u_x}$ de manière que ${E_y} = 0$.

a) Résoudre les nouvelles équations du mouvement avec les mêmes conditions initiales que précédemment.

b) En déduire que le mouvement de la particule peut être décomposé en un mouvement autour d'un centre guide de même nature que précédemment, auquel se superpose un mouvement du centre guide que l'on précisera. Exprimer la vitesse de "dérive" transversale du centre guide notée ${\vec v_{ \bot G}}$. Sur un schéma tracer $\vec E$, $\vec B$ et l'allure de la trajectoire pour une particule de charge $q > 0$. (On supposera $B > 0$, ${E_x} > 0$, ${E_z} > 0$).

c) A l'aide des résultats précédents, exprimer ${\vec v_{ \bot G}}$ vectoriellement en fonction de $\vec E$, $\vec B$et ${B^2}$.

QUESTION III.

Les résultats précédents peuvent être étendus à d'autres forces que la force électrostatique en remplaçant le terme $q\vec E$ dans les équations par l'expression de la force appliquée.

a) Quelle est alors la vitesse de dérive du centre guide en fonction de $\vec F,\vec B,q$.

b) Appliquer ceci à la force de pesanteur dans le champ uniforme $\vec g$.

c) Sur un schéma indiquant les directions de $\vec B$, de $\vec g$ (pour plus de clarté on pourra prendre $\vec B \bot \vec g$) signaler dans quel sens se déplace le centre guide d'une particule dans les cas $q > 0$, $q < 0$. Dans un plasma globalement neutre, composé d'ions (masse $M$, charge $ + e$) et d'électrons (masse $m$, charge $ - e$) de densité volumique ${n_i} = {n_e} = n$ particules par unité de volume, y a-t-il création d'une densité de courant ? Si oui, calculer son expression et reporter le résultat trouvé sur le schéma.

QUESTION IV.

On considère maintenant un champ magnétique légèrement inhomogène : les lignes de champ sont toujours parallèles à l'axe ${\vec u_z}$ mais le module de $\vec B$ dépend de $y$ : $\vec B = B\left( y \right){\vec u_z}$. La variation de $B$ est suffisamment faible pour que l'on puisse traiter son influence sur le mouvement d'une particule comme une perturbation petite de celui-ci. On se placera dans les conditions où ${\rho _L} <  < {\left( {\frac{1}{B}\frac{{dB}}{{dy}}} \right)^{ - 1}}$ et on considèrera donc que la particule suit avec une bonne approximation le mouvement décrit dans la question I.

a) Donner les expressions des coordonnées de la force de Lorentz appliquée à une particule en mouvement en introduisant $B\left( G \right) = B\left( {{x_G},{y_G},{z_G}} \right)$.

b) Quelle est l'expression de la force moyenne appliquée sur la particule pendant une révolution autour du centre guide ?

c) Quelle est alors la vitesse de dérive du centre guide due au gradient du champ $\vec B$, montrer qu'elle peut s'écrire sous la forme : ${\vec v_{ \bot G}} =  \pm \frac{1}{2}{v_ \bot }{\rho _L}\frac{{\vec B \wedge \vec \nabla B}}{{{B^2}}}$ où $\vec \nabla B = \frac{{\partial B}}{{\partial y}}{\vec u_y}$

Dans la suite, on admettra que ces relations restent applicables même dans des situations géométriquement plus complexes.

QUESTION V.

On considère maintenant le cas d'un champ magnétique inhomogène $\vec B\left( {r,z} \right)$ ayant la symétrie de révolution autour d'un axe ${\vec u_z}$ ($r$ désigne la distance à l'axe) ; on désigne par ${B_z}$ et ${B_r}$ les composantes $//{\vec u_z}$ et $ \bot {\vec u_z}$.

a) Pouvez-vous citer un dispositif simple qui puisse créer un champ $\vec B$ ayant ces caractéristiques ?

b) Montrer qu'au voisinage de l'axe $Oz$, à une distance $r$ de celui-ci telle que l'on ait $r\frac{{\partial {B_z}}}{{\partial r}} <  < {B_z}$, il existe une composante radiale ${B_r}$ du champ $\vec B$ que l'on calculera en fonction de $\frac{{\partial {B_z}}}{{\partial z}}$.

c) Ici encore on considérera que les inhomogénéités du champ sont faibles, si bien qu'en première approximation les particules chargées décrivent toujours un mouvement de révolution autour du centre guide $G$. Soit une particule dont le centre guide a un mouvement le long de l'axe de révolution $Oz$, calculer la composante moyenne sur ${\vec u_z}$ de la force due à la composante radiale de $\vec B$ sur la particule durant une révolution autour du centre guide ; en déduire que le centre guide a un mouvement d'équation : $\frac{{d{v_{//G}}}}{{dt}} =  - \frac{{v_ \bot ^2}}{{2B}}\frac{{\partial {B_z}}}{{\partial z}}$

d) En écrivant la conservation de l'énergie cinétique de la particule dans le champ magnétique, montrer que la quantité $\mu  = \frac{1}{2}m\frac{{v_ \bot ^2}}{B}$ reste constante au cours du mouvement.

e) En déduire qu'au cours du mouvement la trajectoire de la particule s'enroule toujours autour du même tube de champ.

QUESTION  VI.

On considère maintenant un champ magnétique faiblement inhomogène dont les lignes de champ ont localement un rayon de courbure fini $R >  > {\rho _L}$.

a) A partir du résultat précédent (question V-e) montrer que l'on peut considérer qu'une particule suivant un tube de champ de rayon de courbure $R$ subit en moyenne une force de type centrifuge : $\vec F =  - m\frac{{v_{//}^2}}{R}{\vec u_n}$ où ${\vec u_n}$ est le vecteur unitaire de la normale principale au tube de champ. En déduire la vitesse de dérive ${\vec v'_{ \bot G}}$ due à cet "effet de courbure".

b) Par application du théorème d'Ampère (en l'absence de courant local), montrer que le gradient du module du champ $\vec B$ possède une composante sur ${\vec u_n}$ soit : ${\left( {\vec \nabla B} \right)_n} = \frac{B}{R}{\vec u_n}$ avec $B = \left\| {\vec B} \right\|$.

c) Exprimer la vitesse de dérive ${\vec v''_{ \bot G}}$ due à cet "effet de gradient" et former l'expression de la vitesse de dérive totale ${\vec v_{ \bot G}} = {\vec v'_{ \bot G}} + {\vec v''_{ \bot G}}$.

QUESTI0N VII.

On cherche à confiner un plasma dans un champ magnétique stationnaire de révolution autour d'un axe $Oz$ et d'intensité variable en fonction de $z$ et de $r$ (distance à l'axe de révolution) selon le dispositif suivant :

En $O$ le champ $B$ est minimum, $B = {B_0}$ ; en $S$ et $S'$ le champ est maximum et prend la valeur $B\left( S \right) = B\left( {S'} \right) = {B_m}$. On néglige les collisions des particules chargées entre elles dans le plasma, si bien que le mouvement de chaque particule est décrit par les résultats de la question V.

a) Montrer qualitativement, à l'aide des résultats précédents, que dans le mouvement des particules le long des lignes de champ, il peut arriver un moment où la composante ${v_{//}}$ s'annule. Quelle est la suite du mouvement ?

b) Soit une particule en $O$ dont la vitesse ${v_0}$ fait l'angle ${\theta _0}$ avec l'axe $Oz$. Montrer que, si l'on note $\theta $ l'angle qu'elle fait ensuite avec la ligne de champ en un point où la valeur du champ est $\vec B$, on a la relation
$\frac{{{{\sin }^2}\theta }}{B} = \frac{{{{\sin }^2}{\theta _0}}}{{{B_0}}}$

c) Quelle est la valeur ${\theta _{0m}}$ de ${\theta _0}$ pour laquelle la particule est "réfléchie" au niveau de $S$ ou $S'$ ? Que se passe t-i1 pour des angles ${\theta _0}$ inférieurs ou supérieurs à ${\theta _{0m}}$ ?

d) Justifier les dénominations : effet de miroir magnétique, cône de perte.

e) Que se passe-t-il pour le plasma si l'on tient compte maintenant des collisions ? Si ${\tau _c}$ (durée moyenne entre deux collisions pour une particule) est de l'ordre de ${10^4}s$, quel est l'ordre de grandeur de la "durée de confinement" du plasma dans le système magnétique étudié ?

QUESTION VIII.

Afin de remédier à l'inconvénient de l'existence du cône de perte qui nuit à la qualité d'un confinement magnétique, on songe à refermer les lignes de champ sur elles-mêmes ; on aboutit ainsi à une configuration toroïdale :

a) On considère un solénoïde toroïdal. On note $R$ le rayon moyen du tore et ${r_m}$ le rayon d'un cercle méridien. Ce solénoïde comporte $N$ spires enroulées uniformément et parcourues par un courant $I$.

En un point repéré par l'angle "azimutal" $\phi $ et par les coordonnées $\left( {r,\theta } \right)$ dans le plan méridien, calculer le champ ${B_\phi }\left( {r,\theta } \right)$, l'exprimer en fonction de ${B_0} = {B_\phi }\left( {0,0} \right)$.

b) Montrer que la vitesse de dérive étudiée à la question VI. a pour effet de précipiter les particules situées à l'intérieur de la configuration contre les parois limitant le tore à $r = {r_m}$. Dans quelle direction ? (On distinguera le cas des ions et des électrons). Estimer numériquement l'ordre de grandeur de la durée de confinement d'un plasma d'ions et d'électrons ; on prendra$\,R = 1m\,$, ${r_m} = 20cm$, ${B_0} = 5T$, ainsi que les relations: $v_{//}^2 = v_ \bot ^2/2$ et $mv_ \bot ^2/2 = 10keV$ (relations valables pour les ions et les électrons).

QUESTION IX.

Afin d'annuler cette dérive des particules, on rajoute au champ précédent $\vec B$ une composante ${B_\theta }\left( r \right)$ appelée champ poloïdal, créée par une densité de courant ${j_\phi }\left( r \right)$ circulant dans la direction azimutale à l'intérieur du plasma lui-même.

(Ce courant est induit de l'extérieur en utilisant le plasma comme le secondaire d'un transformateur). On obtient ainsi la configuration magnétique "Tokamak".

a) Calculer ${B_\theta }$ en fonction de $r$ et de la quantité : $I\left( r \right) = \int_0^r {2\pi \rho {j_\phi }\left( \rho  \right)d\rho } $.

b) Montrer qu'une ligne du champ $\vec B = {\vec B_\phi } + {\vec B_\theta }$ s'enroule autour d'un tore de rayon moyen $R$ et de rayon de cercle méridien $r$. On appelle surfaces magnétiques ces tores emboîtés les uns dans les autres et sur lesquels s'enroulent les lignes de champ. En se limitant au cas $r <  < R$, établir que, sur une surface magnétique, l'équation d'une ligne de champ obéit à une équation de la forme : $\frac{d}{{d\theta }} = q\left( r \right)$ [3]. En utilisant ${B_0}$, $I\left( r \right)$ et la variable $r/R$, déterminer la fonction $q\left( r \right)$ de façon approchée en négligeant les termes d'ordre 2 en $r/R$. Quelle est la signification géométrique du facteur $q\left( r \right)$ ?

Application numérique : on réalise expérimentalement $q\left( 0 \right) = 1$ ; en déduire ${j_\phi }\left( 0 \right)$, en reprenant les valeurs données dans la question VIII.

c) Décrire le mouvement d'une particule chargée dans cette configuration magnétique et mettre en évidence que l'effet de dérive observé précédemment est ici compensé exactement entre les portions de trajectoire du centre guide, situées de part et d'autre du plan équatorial du tore. Ceci est valable pour les particules qu'on appelle "circulantes", qui suivent dans leur mouvement une ligne de champ.

d) Etablir que 1e long d'une ligne de champ le module du champ magnétique oscille entre deux valeurs extrêmes (on se contentera d'un développement limité à l'ordre 1 en $r/R$). En déduire l'existence d'une autre classe de particules appelées particules "piégées".

e) Quel est l'effet de dérive pour ce type de particules ?

f) Conclure quant à la qualité de la configuration Tokamak utilisée pour confiner des particules chargées en mouvement. (On notera que l'étude simplifiée menée jusqu'ici concernait les mouvements individuels et sans collisions des particules mais qu'en réalité il faut tenir compte de mouvements collectifs dépendant des collisions, de phénomènes de pression, d'instabilités électromagnétiques qui apportent des limites et des correctifs à cette première étude)

**** FIN ****

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[2] Lire ${\dot v_x},{v_x},{\dot v_y},{v_y}$.

[3] Lire $\frac{{d\phi }}{{d\theta }} = q\left( r \right)$