Concours Physique TPE 1992 (Énoncé)

CONCOURS COMMUN D'ADMISSION

AUX ECOLES SUPERIEURES

DES TRAVAUX PUBLICS

DU BATIMENT

DE MECANIQUE‑ELECTRICITE

DE TOPOGRAPHIE

SESSION 1992

P H Y S 10 U E

Durée: 4 heures

PREMIER PROBLEME.
NOTA : La partie C peut être traitée indépendamment de la partie B.
ETUDE D'UN SYSTEME MASSE‑RESSORT.

On se place dans le repère (R) (0 x y z) orthonormé, direct, galiléen, de vecteurs unitaires de base$\vec i,\vec j,\vec k$. Le système envisagé est constitué d'un ressort R, d'un demi‑cercle C et d'une perle P. Le ressort R est partait, c'est‑à‑dire sans masse et développant selon sa propre direction une force proportionnelle à son élongation. On note K ce coefficient de proportionnalité et $\ell $ la longueur à vide de R. Le demi‑cercle (fixe dans (R)) C, de rayon a, de centre 0, est contenu dans le demi‑plan xOy, x ≥ 0, supposé vertical, Ox étant la verticale descendante. La perle P est un objet quasi‑ponctuel de masse M astreint à se déplacer sans frottement sur C. Le ressort R a une extrémité liée à P et l'autre à un point Ω situé aux cotes x = - a, y = 0, z = 0 de (R).
La position de P dans (R) est repérée par l'angle θ = $\left( {\vec i,O\vec P} \right)$, $\theta \in \left[ { - \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}} \right]$ . On note $\vec u$le vecteur unitaire de OP, $\vec v$ le vecteur unitaire déduit de $\vec u$ par la rotation de $ + \frac{\pi }{2}$ autour de $\vec k$. Le système est placé dans le champ de pesanteur d'accélération $\vec g = g\vec i$de module g constant.
A. Etude d'équilibres possibles.
Les expressions vectorielles demandées (questions 1, 3, 4 et 5) seront exprimées dans la base$\vec u,\vec v$.
1. Donner l'expression du vecteur $P\vec \Omega $en fonction de a et θ.
2. Donner l'expression du module PΩ de $P\vec \Omega $ en fonction de a et θ (ou mieux, de $\frac{\theta }{2}$).
3. Donner l'expression de la tension $\vec T$du ressort en fonction de a, K, $\ell $ et θ (ou mieux, de $\frac{\theta }{2}$).
4. Soit $\vec F$ la résultante des forces extérieures appliquées à la masse M. On note r le module de la réaction de C sur P. Donner l'expression de $\vec F$ en fonction de a. g, K, $\ell $, M, r et θ.
5. Donner l'expression de la vitesse $\vec V$de P dans (R) en fonction de a et de la dérivée temporelle convenable de θ. On notera : $\dot \theta = \frac{{d\theta }}{{dt}}$.
6.Donner, en fonction de a, g, K, $\ell $, M, θ et $\dot \theta $, l'expression du produit scalaire $\vec F.\vec V$. 7.En déduire, en fonction des mêmes paramètres à l'exception de $\dot \theta $, l'expression de l'énergie potentielle E_p dont dérive la force $\vec F$. 8. Ecrire l'expression de l'énergie mécanique totale E du système.
9. En déduire, lorsque le mouvement de M a lieu, son équation différentielle en fonction de a, g, K, $\ell $, M, θ et ses dérivées convenables.
10. Déterminer l'expression des positions d'équilibre θ = θ_i envisageables pour le système.
11. On veut imposer l'existence d'une position d'équilibre pour une valeur θ₁ ≠ 0 de θ comprise entre 0 et $\frac{\pi }{2}$ (ce qui implique par symétrie une position équivalente ‑ θ₁ entre 0 et$ - \frac{\pi }{2}$). Écrire les inégalités que cela implique sur les paramètres du problème. Donner une interprétation physique de ces conditions.
12. Les conditions ci‑dessus étant réalisées, étudier la stabilité des équilibres ainsi obtenus.
B. Etude d'un cas particulier.
On se donne ici les relations entre paramètres suivants : $a = 2\frac{{Mg}}{K}$ et $\ell = \sqrt 3 \left( {a - \frac{{Mg}}{K}} \right)$
13. Vérifier que les conditions établies à la question 11 sont réalisées. Expliciter les positions d'équilibre. Donner, pour ces positions, les valeurs numériques du facteur $\frac{1}{{K{a^2}}}\frac{{{d^2}{E_p}}}{{d{\theta ^2}}}$ et valider les conclusions de la question 12.
14. Pour étudier les petits mouvements autour de la position d'équilibre θ₁ , on pose θ = θ₁ + ε. Établir l'équation différentielle linéaire en ε de ces petits mouvements. On posera${\omega ^2} = \frac{K}{M}$, où $\omega $ est la pulsation naturelle intrinsèque du système masse‑ressort libre.
15. Donner l'expression de la solution de l'équation ci‑dessus pour les conditions initiales suivantes:
$\varepsilon \left( 0 \right) = 0$, $\frac{{d\varepsilon }}{{dt}}\left( 0 \right) = {\dot \varepsilon _0} = \sqrt {\frac{{Ka - Mg}}{{2Ma}}} $
Applications numériques.
Soient les valeurs numériques : g = 9,81 rn.s^‑2, K = 10³ N.m^-1, M = 1 kg.
16. Calculer la constante K’ du ressort donnant la même pulsation naturelle en régime de vibrations libres que celle obtenue à la question 14. Interpréter physiquement.
17. Calculer la longueur L du pendule simple synchrone équivalent. Interpréter le rôle de a.
C. Approche analytique complémentaire.
18. Donner, dans le repère (R) l'expression du moment cinétique ${\sigma _0}$de la masse M par rapport à 0 en fonction de a, M et$\dot \theta $.
19. Donner, en fonction de a, g, K, $\ell $, M et θ. l'expression du produit vectoriel $O\vec P \wedge \vec F$($\vec F$ étant, cf question 4, la résultante des forces extérieures appliquées à P).
20. En déduire, par application du théorème du moment cinétique, l'expression de l'équation différentielle du mouvement de P. Vérifier que l'on retrouve l'expression obtenue à la question 9.

Concours Physique ENSI P’ Physique 2 1992 (Énoncé)

DEUXIÈME PROBLÈME

Étude d'une pompe à chaleur destinée au chauffage d'une habitation

Une pompe à chaleur à fréon 22 (CHF₂Cl : difluoromonochlorométhane) prélève de la chaleur à un circuit d'eau froide et cède de la chaleur à de l'eau chaude qui circule dans le sol de l'habitation.
Le fréon décrit un cycle :
– dans l'évaporateur, il subit une évaporation complète sous la pression de vapeur saturante p₂ et à la température T₂ ;
– le fréon gazeux sort du compresseur à la température T₃ et sous la pression p₁ ;
– dans le condenseur le fréon gazeux se refroidit, puis se liquéfie complètement sous la pression de vapeur saturante p₁ et à la température T_l ;
– en traversant le détendeur, le fréon subit une détente adiabatique et isenthalpique passant de T₁, p₁ à T₂, p₂ ; cette détente s'accompagne d'une vaporisation partielle du liquide.

Tous les calculs seront réalisés pour une masse m = 1 kg de fréon et on pose :
– L_v (T) : chaleur latente de vaporisation du fréon ;
– c_L : capacité thermique massique du fréon liquide, supposée indépendante de T et de p ;
– le fréon gazeux est assimilé à un gaz parfait de masse moléculaire molaire M, et pour lequel $\gamma = 1,20$;
– l'énergie cinétique macroscopique ainsi que l'énergie potentielle de pesanteur seront négligées dans tout le problème ;
– le volume massique v_L du fréon liquide est indépendant de la pression et de la température ;
– l'installation fonctionne en régime permanent.
Données :
${T_2} = 273K;{\rm{ }}{T_1} = 305K;{\rm{ }}{L_\nu }({T_2}) = 205{\rm{ }}kJ.k{g^{ - 1}};{\rm{ }}{L_\nu }({T_1}) = 175{\rm{ }}kJ.k{g^{ - 1}};$
${c_L} = 1,38{\rm{ }}kJ.k{g^{ - 1}}.{K^{ - 1}};{\rm{ }}{p_2} = {5.10^5}{\rm{ }}Pa;{\rm{ }}{p_1} = {12,65.10^5}{\rm{ }}Pa;{\rm{ }}{v_L} = 0,75{\rm{ }}d{m^3}.k{g^{ - 1}};$
$R = 8,31{\rm{ }}J.mo{l^{ - 1}}.{K^{ - 1}};{\text{ masse molaire de fréron : }}M = {86,5.10^{ - 3}}{\rm{ kg}}{\rm{.mo}}{{\rm{l}}^{ - 1}}.$
1. Étude de la compression.
1.1. En raisonnant sur un système que l'on définira soigneusement, relier la variation d'enthalpie du fréon, durant la traversée du compresseur, à la quantité de chaleur Q et au travail W qu'il a échangés durant celle‑ci.
1.2. La compression est adiabatique et on admet que le gaz suit une compression de type polytropique $p{V^\gamma } = {\rm{constante}}$; en déduire T₃ puis le travail W en fonction des données.
1.3. Évaluer la variation d'entropie du fréon et conclure.
1.4. Utilisation d'un diagramme entropique pour le calcul de W.
a. Pour une transformation quelconque du fréon gazeux entre les états T₀, p₀, et T, p, calculer sa variation d'entropie $\Delta S = S - {S_0}$; en déduire l'équation d'une isobare dans le diagramme entropique (S en abscisse, T en ordonnée).
Tracer l'isobare p₁.
Par quel déplacement la courbe isobare correspondant à p₂ se déduira‑t‑elle de celle correspondant à p₁ ?
b. Représenter sur le diagramme précédent la compression du fréon gazeux de l'état T₂, p₂ à l'état T₃, P_l . Montrer que le travail W échangé par le fréon correspond à l'aire d'une surface que l'on hachurera sur le diagramme (pour cela, introduire le point correspondant à l'état T₂, p₁).

2. Passage dans le condenseur.
2.1. Calculer la quantité de chaleur Q₁ échangée par le fréon.
2.2. Calculer sa variation d'entropie.
3. Passage dans le détendeur à parois adiabatiques.
3.1. Démontrer que la détente est isenthalpique.
3.2. En déduire la fraction massique x de fréon gazeux à la sortie du détendeur.
3.3. Calculer la variation d'entropie du fréon.
4. Passage dans l'évaporateur.
4. 1. Évaluer la quantité de chaleur Q₂ échangée par le fréon.
4.2. Calculer sa variation d'entropie.
5.
Le compresseur est entraîné par un moteur électrique de rendement électro‑mécanique r = 0,8. Définir l'efficacité e de cette pompe à chaleur et l'évaluer.
Dans quelles conditions portant sur T_l et T₂ l'améliore‑t‑on ? Quel avantage présente ce chauffage par rapport au chauffage électrique ?
6. Étude du cycle.
6. 1. Vérifier le bilan énergétique sur le cycle.
6.2. Représenter son diagramme entropique.
7.
Cette pompe à chaleur sert à compenser les pertes de chaleur de l'habitation maintenue à la température T₄ = 293 K, alors que la température extérieure est T_e = 273 K.

7.1. Dans le but d'évaluer ces pertes, on coupe le chauffage ; la température de l'habitation passe alors en une durée $\Delta t = 4{\rm{ heures}}$ de T₄ = 293 K à T₅ = 283 K. On admet que la quantité de chaleur perdue pendant la durée dt petite s’écrit $\delta Q = - ak(T - {T_\varepsilon })dt,{\rm{ }}k = {2.10^7}{\rm{ }}J.{K^{ - 1}}$ désignant la capacité thermique de l'habitation, T sa température à l'instant t, et a une constante dépendant de l'isolation. Donner une équation différentielle décrivant l'évolution T (t) ; en déduire a.
7.2. Calculer la puissance électrique consommée ${P_\varepsilon }$ pour maintenir la température de l'habitation à la valeur constante T₄.
7.3. L'eau qui alimente la source froide subit une chute de température $\Delta T = 4$ degrés centésimaux durant la traversée de l'échangeur. En déduire son débit massique.
Capacité thermique massique de l'eau froide utilisée : ${c_f} = 4,18{\rm{ }}kJ.k{g^{ - 1}}.{K^{ - 1}}.$