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Concours Physique ENS de Paris (PC) 2001 (Énoncé)

J. 5117
SESSION 2001
Filière Physique‐Chimie
PHYSIQUE
(ENS : Ulm)
Durée: 6 heures
Il est conseillé d’border les différentes parties dans leur ordre d’apparition, certaines questions ayant une résolution utile pour la suite $du$ problème.
L’usage d’une calculatrice électronique de $\rho oche$ à alimentation autonome, sans imprimante, est autorisé. Une seule calculatrice à la fois est admise sur la table et aucun échange n’est autorisé entre les candidats. Le candidat est prié d’accorder une importance particulière aux applications numériques.
Tournez la page S.V.P.
Des progrès importants effectués dans les techniques de refroidissement des gaz d’atomes neutres permettent depuis 1995 d’atteindre des températures tellement basses que ces gaz perdent toute viscosité. Par analogie avec l’hélium liquide, qui perd lui aussi toute viscosité à très basse température, on parle de gaz superfluides.
On se propose d’établir ici quelques propriétés des gaz superfluides et de comparer les prédictions obtenues aux résultats expérimentaux. La partie I est consacrée à l’étude des propriétés à l’équilibre thermodynamique d’un gaz superfluide en l’absence de potentiel extérieur. La partie II considère la situation réalisée en pratique d’un gaz superfluide à l’équilibre dans un potentiel harmonique créé par un champ magnétique. La partie III détermine la réponse du gaz superfluide à une faible perturbation du potentiel harmonique. On rappelle la valeur du nombre d’Avogadro, ${{\mathcal{N}}_{a}}=6,02\times {{10}^{23}}.$

1 Gaz superfluide en l’absence de potentiel extérieur
1.1 Équation d’état d’un gaz superfluide
On considère un gaz superfluide de $N$ particules dans une enceinte de volume$V$. Les parois de l’enceinte constituent un thermostat de température$T$, avec lequel le gaz est à l’équilibre thermodynamique. Les particules interagissent deux à deux avec un potentiel d’interaction $\mathcal{V}\left( {\overrightarrow {{r_i}} - \vec r} \right)$ , où $\overrightarrow {{r_i}} ,$ $\overrightarrow {{r_j}} $ sont les vecteurs positions de deux particules quelconques $i$ et $j$ du gaz. On suppose que le potentiel d’interaction est négligeable pour deux particules séparées par une distance macroscopique de l’ordre de la taille de l’enceinte. En d’autres termes, la portée du potentiel d’interaction est négligeable devant la taille de l’enceinte. De plus, la température $T$ du gaz est si basse que l’énergie cinétique des particules est négligeable devant l’énergie d’interaction. On suppose donc que les particules sont au repos, avec des positions réparties aléatoirement avec une densité moyenne uniforme $\rho = \frac{N}{V}.$
(a) Calculer l’énergie moyenne $Udu$ gaz en fonction du nombre de particules $N,$ $du$ volume $V$ de l’enceinte et de la constante de couplage
$\gamma = \mathop \smallint \limits_{ - \infty }^{ + \infty } d{r_x}\mathop \smallint \limits_{ - \infty }^{ + \infty } d{r_y}\mathop \smallint \limits_{ - \infty }^{ + \infty } d{r_z}\mathcal{V}\left( {\vec r} \right)$ (1)
Où ${r_x},$ ${r_y},$ ${r_z}$ sont les composantes du vecteur ${r^ \to }$ dans une base orthonormée $\left( {{{\vec e}_x},{{\vec e}_y},{{\vec e}_z}} \right)$ .
(b) On admet que l’entropie du gaz tend vers zéro lorsque la température tend vers zéro. En déduire l’énergie libre$Fdugaz$, dans la limite$T \simeq O$, en fonction des quantités $N,$ $V,$ $\gamma $. Montrer que la pression $P$ du gaz est donnée par
$P = \frac{1}{2}\gamma {\rho ^2}$ (2)
Exprimer le coefficient de compressibilité isotherme $\chi $ du gaz et son potentiel chimique $\mu $ en fonction de $\gamma $ et $\rho .$
1.2 Quelques contraintes sur l’équilibre thermodynamique
Il s’agit de vérifier si l’état d’équilibre considéré à la partie 1.1 précédente est bien admissible d’un point de vue thermodynamique. Pour cela, on sépare par la pensée l’enceinte de volume $V$ en deux parties 1 et 2 de volumes respectifs ${V_1}$ et${V_2} = V - {V_1}$, et l’on partage le gaz en ${N_1}$ particules dans la zone 1 et ${N_2} = N - {N_1}$ particules dans la zone 2. Chaque zone est supposée être à l’équilibre avec le thermostat à la température$T$, avec une densité uniforme de particules ${\rho _i} = \frac{{{N_i}}}{{{V_i}}},$ $i = 1,2$. Les densités ${\rho _1}$ et ${\rho _2}$ peuvent a priori être différentes. Le raisonnement va s’appuyer sur la fonction thermodynamique ${{F}_{e}}\left( N,~T,~V \right)$ donnant l’énergie libre du gaz à l’équilibre thermodynamique pour $N$ particules dans un volume $V$ à la température $T.$
(a) Rappeler pourquoi l’énergie libre ${{F}_{e}}\left( N,~T,~V \right)$ est inférieure à l’énergie libre de tout état du système hors d’équilibre à $N,$ $T,$ $V$ fixés.
(b) Exprimer l’énergie libre totale du gaz en fonction des énergies libres des parties 1 et 2 du gaz. En déduire une équation fonctionnelle vérifiée par ${F_e}.$
(c) Traduire le fait que l’énergie libre du gaz est un minimum vis‐à‐vis d’un changement de ${V_1}$ et ${V_2}$ à ${N_1},$ ${N_2},$ $V$ constants. Interpréter physiquement les résultats.
(d) Mêmes questions pour un changement de ${N_1}$ et ${N_2}$ à ${V_1},$ ${V_2},$ $N$ constants.
(e) Appliquer les conditions obtenues en (c) et (d) à l’expression de l’énergie libre obtenue dans la partie 1.1. En déduire que le gaz doit avoir une densité uniforme à l’équilibre thermodynamique, et que seul un signe de la constante de couplage $\gamma ,$ que l’on précisera, est acceptable.

1.3 Mélange de deux gaz superfluides
On mélange deux gaz superfluides d’espèces atomiques différentes, ${N_a}$ atomes de l’espèce $a$ et ${N_b}$ atomes de l’espèce$b$, dans la même enceinte de volume$V$. Les deux gaz sont à la même température$T$, que l’on supposera très basse au sens de la partie 1.1. Les atomes de l’espèce $a$ (respectivement b) interagissent par un potentiel d’interaction ${\mathcal{V}_{aa}}\left( {\vec r} \right)$ (respectivement ${\mathcal{V}_{bb}}\left( {\vec r} \right)$ ), où ${r^ \to }$ est le rayon vecteur entre deux atomes. De plus, chaque atome de l’espèce $a$ interagit avec chaque atome de l’espèce $b$ par le potentiel ${\mathcal{V}_{ab}}\left( {\vec r} \right)$ . Comme dans la partie 1.1 on néglige l’énergie d’interaction de deux atomes quelconques séparés par une distance macroscopique de l’ordre de la taille de l’enceinte. Il s’agit de déterminer l’état d’équilibre du mélange, en choisissant parmi deux configurations possibles.
(a) Dans la configuration I, chaque gaz superfluide remplit toute l’enceinte avec une densité moyenne uniforme, ${\rho _a} = {N_a}/V$ pour l’espèce $a$ et ${\rho _b} = {N_b}/V$ pour l’espèce$b$. Calculer l’énergie libre ${F_{I,e}}$ de cette configuration en fonction des nombres de particules ${N_a},$ ${N_b},$ $du$ volume $V$ et des constantes de couplage
${{\gamma }_{aa}}~=~\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\mathop \int }}\,d{{r}_{x}}\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\mathop \int }}\,d{{r}_{y}}\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\mathop \int }}\,d{{r}_{z}}{{\mathcal{V}}_{aa}}\left( {\vec{r}} \right)$ , (3)
${{\gamma }_{bb}}~=~\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\mathop \int }}\,d{{r}_{x}}\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\mathop \int }}\,d{{r}_{y}}\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\mathop \int }}\,d{{r}_{z}}{{\mathcal{V}}_{bb}}\left( {\vec{r}} \right)$ , (4)
${{\gamma }_{ab}}~=~\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\mathop \int }}\,d{{r}_{x}}\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\mathop \int }}\,d{{r}_{y}}\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\mathop \int }}\,d{{r}_{z}}{{\mathcal{V}}_{ab}}\left( {\vec{r}} \right)$ . (5)
(b) Dans la configuration II, les deux gaz superfluides occupent des régions de l’enceinte disjointes et complémentaires, chaque gaz ayant une densité moyenne uniforme dans son domaine respectif. L’espèce $a$ occupe une fraction $\alpha du$ volume$V$, l’espèce $b$ une fraction $1 - \alpha $. Calculer l’énergie libre ${F_{II}}$ de cette configuration, en fonction de ${N_a},$ ${N_b},$ $\alpha ,$ ${\gamma _{aa}},$ ${\gamma _{bb}}$ et du volume $V.$
(c) À l’équilibre, le paramètre $\alpha $ de la configuration II prend une valeur bien précise. À l’aide d’un des principes de la thermodynamique, déterminer cette valeur ${\alpha _e}$ en fonction de ${N_{a)}}{N_b},$ ${\gamma _{aa}}$ et${\gamma _{bb}}$. En déduire${F_{II,e}}$, énergie libre de la configuration II à l’équilibre, en fonction de ${N_a},$ ${N_b},$ ${\gamma _{aa}},$ ${\gamma _{bb}}$ et du volume $V.$
(d) Parmi les configurations I et II, laquelle est la plus favorable d’un point de vue thermodynamique? On précisera les différents cas possibles suivant les valeurs des constantes de couplage. Interpréter physiquement le résultat.
(e) Le groupe de Wolfgang Ketterle, au Massachusetts Institute of Technology de Boston (MIT), a étudié des mélanges de trois espèces différentes, appelées $a,$ $b,$ $c$. Les constantes de couplage de chaque paire d’espèces sont données dans la table 1. À l’aide de la théorie développée ici, prédire si les paires d’espèces $a - b,$ $b - c$ et $a - c$ sont miscibles ou pas.

	a	b	c
a b c	$1,0 \times {10^{ - 50}}$ $1,0 \times {10^{ - 50}}$ $9,4 \times {10^{ - 51}}$	$1,0 \times {10^{ - 50}}$ $9,7 \times {10^{ - 51}}$ $1,0 \times {10^{ - 50}}$	$9,4 \times {10^{ - 51}}$ $1,0 \times {10^{ - 50}}$ $1,0 \times {10^{ - 50}}$

TAB. $1 - $ Dans l’expérience $du$ MIT sur les mélanges de trois espèces $a,$ $b,$ $c$ de $gaz$ superfluides, constantes de couplage ${\gamma _{ij}}$ en $J \cdot {m^3}$ entre les espèces $i$ et $j$, avec $i,$ $j = a,$ $b$ ou $c.$

2 Gaz superfluide au repos dans un piège
2.1 Équilibre dans un piège de forme arbitraire
Dans les expériences, le gaz superfluide est piégé, c’est‐à‐dire qu’il est confiné par un champ de forces dérivant du potentiel ${\Phi _e}\left( {\vec r} \right)$ dépendant de la position $\vec r$ des particules dans le gaz, mais indépendant du temps. La force de pesanteur est incluse dans ce champ de forces. Contrairement au modèle spatialement homogène de la partie 1, la densité ${\rho _e}\left( {\vec r} \right)$ et la pression ${P_e}\left( {\vec r} \right)du$ gaz à l’équilibre thermodynamique dépendent de la position $\vec r.$
(a) Rappeler la relation fondamentale de l’hydrostatique portant sur la pression à l’équilibre d’un fluide soumis à un champ de forces extérieures.
(b) A l’aide de l’équation d’état obtenue dans la partie 1, exprimer la densité de particules ${\rho _e}\left( {{r^ \to }} \right)$ en fonction de la constante de couplage $\gamma $ définie par l’équation (1) et du potentiel de piégeage ${\Phi _e}\left( {\vec r} \right)$ , à une constante additive près.
(c) Indiquer comment déterminer la valeur de cette constante additive, sans chercher ici à la calculer explicitement.
2.2 Équilibre dans un piège harmonique
Le plus souvent, le gaz superfluide reste confiné suffisamment près du point où le potentiel de piégeage est minimum pour que le potentiel de piégeage soit très bien représenté par son approximation harmonique. Pour simplifier, on suppose de plus dans cette partie que le potentiel ${\Phi _e}\left( {\vec r} \right)$ est isotrope:
${\Phi _e}\left( {\vec r} \right) = \frac{1}{2}m{\omega ^2}{r^2}$, (6)
où $m$ est la masse d’une particule, $r$ est le module du vecteur position $\vec{r}$ et $\omega $ une constante.
(a) Rappeler la signification physique de la quantité $\omega .$
(b) Montrer que le gaz superfluide reste effectivement confiné au voisinage de $\vec r = \vec 0.$ Quelle est la forme d’équilibre de la surface du gaz ? On appelle $R$ la distance maximale au centre du piège accessible au gaz.
(c) Exprimer la densité du gaz ${\rho _e}\left( {\vec r} \right)$ en fonction de$\vec r$, de $R$ et de la densité $\rho _e^0$ au centre du piège.
(d) On connait le nombre total $N$ de particules dans le superfluide. En déduire $\rho _e^0$ en fonction de $N$ et de $R.$
(e) Finalement, exprimer $\rho _e^0$ en fonction de $m,$ $\omega ,$ $N$ et de la constante de couplage $\gamma $ définie par l’équation (1).
2.3 Considérations thermodynamiques
On souhaite obtenir une interprétation thermodynamique de l’état d’équilibre du gaz obtenu à la partie précédente 2.2.
(a) Calculer l’énergie potentielle harmonique ${E_{harm}}$ du gaz en fonction de $N$ et $\gamma \rho _e^0.$
(b) Faire de même pour l’énergie d’interaction ${E_{int}}$ du gaz due au potentiel d’interaction $\mathcal{V}\left( {\vec r} \right)$ de la partie 1.1, en supposant que $\mathcal{V}\left( {\vec r} \right)$ est négligeable pour deux particules séparées d’une distance $r$ macroscopique de l’ordre de $R.$
(c) Exprimer l’énergie libre du gaz à $T \simeq 0$ en fonction de $\gamma \rho _e^0$ et$N$. Montrer que la quantité $\gamma \rho _e^0$ n’est autre que le potentiel chimique du gaz.
(d) Retrouver la condition d’équilibre obtenue par l’hydrostatique à l’aide d’un argument thermodynamique.

2.4 Comparaison aux expériences
On compare les prédictions théoriques précédentes à quelques résultats expérimentaux obtenus avec un gaz superfluide d’atomes de sodium ${}^{23}Na$. Ces atomes interagissent avec une constante de couplage $\gamma = 1,0 \times {10^{ - 50}}J \cdot {m^3}.$
(a) Le groupe de Lene Hau, au Rowland Institute (Boston), a mesuré un diamètre maximal de 73 $\mu m$ pour un nuage superfluide de $N = 1,6 \times {10^6}$ atomes de sodium dans un piège harmonique de paramètre $\omega = 87$ rad$ \cdot {s^{ - 1}}$. Comparer à la valeur attendue théoriquement.
(b) On coupe brutalement le potentiel de piégeage. On constate alors que le gaz entre en expansion, bien que les particules soient initialement au repos, à$T \simeq 0$. Comment expliquer ce phénomène?
(c) Après un temps assez long pour que la vitesse d’expansion du gaz ait atteint un régime stationnaire, on mesure l’énergie cinétique d’expansion${E_{cin}}$du gaz. Les valeurs obtenues par le groupe de Wolfgang Ketterle, au MIT, de l’énergie d’expansion par particule pour différentes valeurs du nombre de particules dans le gaz, sont données dans la table 2. À l’aide d’une régression linéaire des résultats expérimentaux en échelle log‐log, montrer que ${E_{cin}}$ varie approximativement comme une puissance de $N$ avec un exposant $\delta $ que l’on précisera.
(d) Donner l’expression de ${E_{cin}}$ prédite par la théorie. Comparer la valeur de $\delta $ obtenue expérimentalement à la prédiction théorique.

$N$	${E_{cin}}/N$
$6,~7\times {{10}^{4}}$ $1,~3\times {{10}^{5}}$ $1,~1\times {{10}^{6}}$ $1,~3\times {{10}^{6}}$ $2,~8\times {{10}^{6}}$ $3,~3~\times {{10}^{6}}$ $3,9 \times {10^6}$ $4,~3\times {{10}^{6}}$	$3,~3\times {{10}^{-31}}$ $4,6 \times {10^{ - 31}}$ $1,~1\times {{10}^{-30}}$ $1,~1\times {{10}^{-30}}$ $1,~7\times {{10}^{-30}}$ $1,~8\times {{10}^{-30}}$ $1,~9\times {{10}^{-30}}$ $2,~0\times {{10}^{-30}}$

TAB. $2$ —Énergie d’expansion par particule en Joule, mesurée au MIT en fonction $du$ nombre de particules $N$ dans le $gaz$ superfluide.
3 Gaz superfluide en mouvement
3.1 Équations du mouvement
Le gaz superfluide, initialement à l’équilibre, est maintenant soumis à un potentiel extérieur $\Phi \left( \vec{r},~t \right)$ pouvant dépendre du temps$t$. Pour décrire le gaz superfluide en mouvement, on l’assimile à un fluide sans viscosité. On note $\rho \left( \vec{r},~t \right),$ $P\left( \vec{r},~t \right),\vec{v}\left( \vec{r},~t \right)$ la densité volumique, la pression et le champ de vitesse du fluide.
(a) Rappeler l’équation de continuité portant sur la densité de particules $\rho \left( \vec{r},~t \right)$ et le champ de vitesse $\vec{v}\left( \vec{r},~t \right)$ , traduisant la conservation de la matière.
(b) Rappeler l’équation d’Euler donnant l’évolution du champ de vitesse $\vec{v}\left( \vec{r},~t \right)$ sous l’effet du potentiel extérieur $\Phi \left( \vec{r},~t \right)$ pour un fluide sans viscosité de pression $P\left( \vec{r},~t \right)$ .
(c) À l’aide de l’équation d’état obtenue dans la partie 1 et sous l’hypothèse d’un équilibre local du gaz, transformer l’équation d’Euler en une équation sur $\vec{v}\left( \vec{r},~t \right)$ et $p\left( \vec{r},~t \right)$ .

3.2 Régime de réponse linéaire
On applique au gaz superfluide une perturbation de potentiel $\delta \Phi $ sur l’intervalle de temps $\left[ 0,~\tau \right]$:
$\Phi \left( \vec{r},~t \right)={{\Phi }_{e}}\left( {\vec{r}} \right)+\delta \Phi \left( \vec{r},~t \right)$ (7)
où ${\Phi _e}\left( {\vec r} \right)$ décrit le piège statique de la partie 2 et $\left| \delta \Phi \left( \vec{r},~t \right) \right|\ll {{\Phi }_{e}}\left( {\vec{r}} \right)$ . Cette perturbation entraîne des déviations $\delta p\left( \vec{r},~t \right)$ et $\delta \vec{v}\left( \vec{r},~t \right)$ de la densité et du champ de vitesse de leurs valeurs à l’équilibre ${\rho _e}\left( {\vec r} \right)$ et $\vec v\left( {\vec r} \right) = \vec 0.$
(a) En négligeant les termes quadratiques en les écarts à l’équilibre, obtenir des équations d’évolution linéaires pour $\delta p$ et$\delta \vec v$, sans chercher à les résoudre. Pour simplifier, on se limitera aux instants ultérieurs à la perturbation, $t > \tau .$
(b) Montrer qu’après avoir dérivé une fois par rapport au temps l’équation linéaire sur$\delta p$, il est possible d’éliminer$\delta \vec v$. En déduire une équation d’évolution portant seulement sur $\delta \rho .$
3.3 Modes propres d’un gaz superfluide homogène
On suppose que le gaz superfluide à l’équilibre remplit tout l’espace avec une densité uniforme${\rho _e}$. On souhaite déterminer les modes propres de l’équation d’évolution sur $\delta \rho .$ Pour cela, on considère une solution de la forme:
$\delta \rho \left( \vec{r},~t \right)=A\text{ }\!\!~\!\!\text{ cos }\!\!~\!\!\text{ }\left( \vec{k}\cdot \vec{r}-\Omega t \right)$ (8)
où $A,$ $\Omega $ et le vecteur réel $\vec k$ sont des constantes.
(a) Vérifier que la forme proposée convient à condition que ${\Omega ^2}$ soit une certaine fonction de $\vec k$ que l’on précisera.
(b) Interpréter physiquement le résultat obtenu. On précisera à quelle vitesse une perturbation appliquée en un point du gaz superfluide se propage. Comment cette vitesse dépend‐elle de la forme de la perturbation?
(c) Après envoi d’une impulsion laser dans un gaz superfluide d’atomes de sodium ${}^{23}Na$initialement au repos, l’équipe du MIT a constaté la propagation d’ondes de densité à une vitesse de$1 \times {10^{ - 2}}m/s$. On suppose que le gaz était initialement quasi homogène avec une densité moyenne de $3,8 \times {10^{20}}$ atomes par${m^3}$. Comparer la vitesse mesurée à la prédiction théorique.
3.4 Modes propres dans un piège harmonique
Le gaz superfluide est initialement au repos dans un potentiel de piégeage ${\Phi _e}\left( {{r^ \to }} \right)$ harmonique anisotrope:
${\Phi _e}\left( {\vec r} \right) = \frac{1}{2}m\mathop \sum \limits_{\alpha = x,y,z}^{} \omega _\alpha ^2r_\alpha ^2$ (9)
où ${r_\alpha }$ est la composante du vecteur position $\vec{r}$ sur le vecteur de base $\vec e,$ $\alpha = x,$ $y,$ $z$. On excite le gaz en modifiant faiblement l’un des paramètres ${\omega _a}$ pendant une durée$\tau $. On admet qu’on excite ainsi des modes propres du gaz superfluide de la forme
$\delta \rho \left( {{r}^{\to }},~t \right)=\left[ B+\underset{\alpha =x,y,z}{\overset{{}}{\mathop \sum }}\,{{A}_{\alpha }}r_{\alpha }^{2} \right]\text{ }\!\!~\!\!\text{ cos }\!\!~\!\!\text{ }\Omega t$ (10)
où $B$, les coefficients ${A_\alpha }$ et la pulsation $\Omega $ sont des constantes.
(a) Exprimer la densité ${\rho _e}\left( {\vec r} \right)$ du gaz à l’équilibre à une constante additive près, en fonction des ${r_\alpha },$ ${\omega _\alpha }$, de $m$ et de $\gamma .$
(b) À quelles conditions sur les coefficients ${A_\alpha }$ la forme proposée pour $\delta \rho $ satisfait‐elle l’équation d’évolution obtenue à la partie 3.2? Ces conditions peuvent‐elles être satisfaites quelle que soit la pulsation $\Omega $?

(c) Au MIT, le gaz superfluide, initialement piégé dans un potentiel à symétrie de révolution d’axe$z$, est excité pendant la durée $\tau $ par une petite modification du paramètre ${\omega _z}$ seulement. Expliquer pourquoi on a alors${A_x} = {A_y}$, et écrire les conditions que doivent satisfaire ${A_x}$ et ${A_z}.$
(d) En déduire que $X = \frac{{{\Omega ^2}}}{{\omega _z^2}}$ doit vérifier une équation du second degré que l’on précisera. Donner les solutions de cette équation en fonction du paramètre $\eta = \frac{{{\omega _x}}}{{{\omega _z}}}.$
(e) Dans l’expérience du MIT, le paramètre $\eta $ vaut 13,60. Donner les pulsations propres des deux modes excités, ainsi que les valeurs correspondantes du rapport $\frac{{{A_z}}}{{{A_x}}}.$ Expérimentalement, on constate que le gaz bat à la pulsation $1,569 \pm 0,004{\omega _z}.$ Quel est l’écart relatif entre la prédiction théorique et le résultat expérimental?
(f) À quelle fréquence devrait battre le gaz en l’absence d’interaction entre les particules? Qu’en concluez‐vous?

Concours Physique ENS de Lyon et Cachan (MP) 2001 (Énoncé)

LC 116
J. 5110
SESSION 2001
Filière MP
PHYSIQUE
(Épreuve commune aux ENS: Lyon et Cachan)
Durée: 4 heures
L’usage de calculatrices électroniques de poche à alimentation $autonom{e_J}$ non imprimantes $ei$ sans document d’accompagnement, est autorisé. Cependant, une seule calculatrice à la fois est admise sur la table ou le poste de travail, et aucun échange n’est autorisé entre les candidats.
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Mouvements de molécules biologiques
Epreuve de Physique: aucune connaissance en Biologie n’est nécessaire.
Ce problème comprend trois parties qui sont relativement indépendantes. Il s’agit de caractériser les mouvements de molécules nécessaires au fonctionnement d’organismes vivants. Les raffinements de la biologie nécessitent maintenant de pouvoir détecter des molécules en très petit nombre, voire des molécules individuelles. La première partie analyse une technique expérimentale nouvelle, reposant sur l’observation optique de ces molécules, en vue de mesurer leur temps de résidence dans un volume donné. Dans la deuxième partie on analyse quelques caractéristiques du mouvement brownien, mouvement aléatoire provoqué par l’agitation thermique des molécules environnantes. La troisième partie est une application des deux premières au cas particulier de la transcription du génome.
On s’intéressera plus aux ordres de grandeurs des phénomènes, plutôt qu’à effectuer des calculs exacts. On demande une rédaction concise, claire et soignée.

I Spectroscopie de corrélation de fluorescence
On va analyser le système optique suivant, dit confocal:
Laser

Un laser bleu est focalisé sur la zone de travail dans le plan $P$ à l’aide d’un objectif de microscope modélisé par une lentille de focale $f$ et de diamètre utile$\Phi $. Sous l’illumination de ce laser, les molécules que l’on veut observer, ayant été préalablement modifiées, émettent une lumière de fluorescence dont le spectre se situe dans le jaune $(\lambda >520nm)$ . Cette lumière est émise dans toutes les directions, et elle n’a aucune relation de cohérence avec la lumière excitatrice. Un filtre coloré permet de couper la lumière du laser, et d’observer uniquement la lumière de fluorescence qui provient des molécules situées dans la zone de travail.
1) A quelle distance le plan $P$ se trouve-t-il de la première lentille ?
Le point sur lequel se focalise le faisceau laser, est conjugué, par l’intermédiaire d’une deuxième lentille de propriétés identiques à la première, avec un petit trou, derrière lequel est placé le détecteur.
2) A quelle distance se trouve le plan $P$ de la deuxième lentille ? A.N. pour $f=2mm.$
3) Quels effets physiques font que l’image du faisceau laser dans le plan $P$ n’est pas parfaitement ponctuelle ?
4) On suppose que les lentilles sont parfaites. Donner la taille de la tache de diffraction par la pupille de la première lentille, dans le plan P. On se contentera de faire un calcul à une dimension (diffraction par une fente de largeur$\Phi $). A.N. pour une lentille d’ouverture numérique$\frac{\Phi }{2f}=0.7.$

5) On s’intéresse à la profondeur de champ de la première lentille. Si l’on place un écran mobile entre les deux lentilles, on observe une tache lumineuse dont le rayon $r$ varie en fonction de la position $z$ de l’écran. Donner l’expression de $r\left( z \right)$ loin du point focal (point O). On prendra le plan $P$ comme origine de l’axe Oz. En utilisant la question précédente qui donne $r\left( 0 \right)$ , tracer l’allure de $r\left( z \right)$ dans le cas particulier $\frac{\Phi }{{2f}} = 0.7.$
6) En déduire l’allure du flux lumineux (puissance par unité de surface) pour un point situé sur l’axe optique, en fonction de$z$. Sur un graphe à la même échelle, on portera l’allure du flux lumineux en un point du plan$P$, en fonction de la distance à l’axe optique. Comparer.
On supposera dans la suite que le taux d’émission de fluorescence de chaque molécule est proportionnel à ce flux. Pour que le signal de fluorescence émis par une molécule soit détecté il faut que le flux du laser sur cette molécule soit supérieur à une certaine fraction (de l’ordre de 1/10^ème) du flux maximum (c’est à dire le flux sur l’axe optique au plan P). Sinon le système de détection ne “voit » pas la molécule. Ceci définit le volume confocal, dans lequel les molécules sont détectées.
$7\rangle $ Donner les caractéristiques du volume confocal: forme et dimensions approximatives suivant Oz et suivant Ox et Oy. A.N.
8) A.N. Calculer le volume de la zone confocale. Quel doit être la concentration d’une solution de molécules fluorescentes placée dans la zone de travail, et pour laquelle on aurait en moyenne une molécule dans le volume confocal ? Comment seraient modifiés ces résultats si l’on disposait d’une lentille d’ouverture numérique $\frac{\Phi }{{2f}} = 1.2.$

9) On a négligé l’effet de sélection spatiale du trou du détecteur. A votre avis quel est
son effet sur les dimensions du volume confocal ? Quel serait à votre avis le diamètre optimal du trou ?
Dans la suite on simplifiera en supposant que le volume confocal est une sphère de rayon $w = 1.5\mu m.$

Intensité détectée

Lorsqu’une molécule se trouve dans le volume confocal, le détecteur reçoit un signal ${{I}_{ max }},$ que l’on supposera constant. Dès qu’elle en sort, le signal disparaît. On supposera que la solution est suffisamment diluée pour que l’on puisse négliger la probabilité d’avoir plusieurs molécules au même moment dans le volume confocal. Dans un premier temps on suppose que les molécules ont toutes des vitesses proches les unes des autres. On appellera${\tau _{r\'e sid}}$, le temps moyen de résidence des molécules dans le volume confocal, et $T$ le temps moyen entre les passages de deux molécules successives.
10) donner la moyenne de l’intensité $\left\langle {I\left( t \right)} \right\rangle en$ fonction de ${\tau _{r\'e sid}}$ et $T.$
L’appareil mesure la fonction d’auto-corrélation du signal de l’intensité:
$g\left( \tau \right) = \frac{{\left\langle {\delta I\left( t \right) \cdot \delta I\left( {t + \tau } \right)} \right\rangle }}{{ < I{ > ^2}}}$, où $\delta I\left( t \right) = I\left( t \right) - \left\langle I \right\rangle $
11) que vaut $g\left( \tau \right)$pour $\tau \to 0$? (en fonction de ${\tau _{r\'e sid}}$ et $T$). Montrer que $g\left( 0 \right) = \frac{1}{{{N_s}}},$ où ${N_s}$ est le nombre moyen de molécules dans le volume confocal $({N_s} < < 1)$
12) que vaut $g\left( \tau \right)$ pour $\tau > > {\tau _{r\'e sid}}$ ? On admettra que pour deux variables a et $b$ non corrélées $\left\langle {ab} \right\rangle = \left\langle a \right\rangle \left\langle b \right\rangle .$
13) En supposant que les molécules ont toutes exactement la même vitesse, le temps de résidence est alors constant${\tau _{r\'e sid}} = {\tau _0}.$

En prenant la forme tracée ci‐dessus pour l’intensité $\{I\left( t \right)={{I}_{ max }}$ pour $0 < t < {\tau _0}$; $I\left( t \right) = 0$pour${\tau _0} < t < T\} $, calculer la fonction $g\left( \tau \right)$ , estimée à l’ordre le plus bas en $\frac{{{\tau _0}}}{T}$ $\left( {\frac{{{\tau _0}}}{T} < < 1} \right)$ et la tracer en fonction de $\tau $.

14) Pour des mouvements aléatoires cette forme est modifiée, on admettra que s’attend à une forme de $g\left( \tau \right)$ donnée par:
$g\left( \tau \right) = \frac{1}{{Ns}}{\left( {1 + \frac{\tau }{{{\tau _{r\'e sid}}}}} \right)^{ - \frac{3}{2}}}$
D’après l’allure des déterminations expérimentales de $g\left( \tau \right)$ données ci dessous, déduire une estimation du temps de résidence de l’enzyme dans le volume confocal, d’une part lorsque la molécule est en solution, et d’autre part lorsqu’elle est dans le noyau d’une cellule vivante. Commentez le résultat.

Fonction d’auto-corrélation de l’intensité, pour des enzymes de masse molaire $80000g/M$, en solution dans l’eau ( in vitro) et dams le noyau d’une cellule vivante (in vivo). Figure adaptée de: M. Wachsmuth, W. Waldeck et J.Langowski, Joumal of Molecular Biology, (2000) 298, p677.
II Mouvement aléatoire de molécules biologiques
L’avantage de la technique présentée dans la première partie est son extrême sensibilité, car elle permet de détecter des molécules individuelles. D’autre part elle reste efficace pour mesurer le temps de résidence dans un petit volume, même si les vitesses des molécules sont très changeantes. Dans cette partie nous allons calculer ce temps de résidence, dans le cas de molécules relativement grosses (enzymes) qui sont animées de mouvements erratiques, dus à l’agitation moléculaire communiquée par les chocs avec les molécules du milieu liquide dans lequel elles sont plongées. On supposera donc que de nombreuses molécules d’eau ont des chocs successifs avec l’enzyme. On supposera aussi que la vitesse de la molécule d’eau lors d’un choc est complètement indépendante de la vitesse de la molécule d’eau du choc précédent. La trajectoire des molécules qui sont dans le milieu ressemble donc au schéma suivant:
$Q = $enzyme

Les molécules d’eau ne sont pas représentées

II-a analyse d’un choc
On examinera un modèle unidimensionnel. On suppose que les molécules sont ponctuelles.
On va tout d’abord examiner un choc unique, que l’on considèrera comme élastique. Les vitesses algébriques avant le choc sont ${v_i}$ et ${V_i}$ et après elles sont ${v_f}$ et ${V_f}.$
15) Donner l’expression de ${V_f}$ en fonction de ${v_i}$ et ${V_i}.$
16) donner l’expression de l’énergie cinétique de l’enzyme après le choc en supposant données les vitesses ${v_i}$ et ${V_i}.$
17) quel argument physique pe1met d’affirmer que pour les molécules d’eau $\left\langle v \right\rangle = 0$ dans le liquide à l’équilibre?
18) Exprimer la moyenne de l’énergie cinétique de l’enzyme après le choc ${E_{cf}}$ , en fonction de son énergie cinétique avant le choc ${E_{ci}}$ La moyenne est à prendre vis à vis des nombreuses vitesses possibles de la molécule d’eau incidente ${v_i}.$
19) Montrer que le bilan d’énergie du choc pour l’enzyme (positif s’il $y$ a gain d’énergie pour l’enzyme), s’écrit en fonction de l’énergie cinétique initiale de l’enzyme et de l’énergie cinétique moyenne des molécules d’eau:
$E{c_f} - E{c_i} = \frac{{4mM}}{{{{(M + m)}^2}}}\left( {\frac{1}{2}m\left\langle {{v^2}} \right\rangle - E{c_i}} \right)$

20) Tracer sur un axe représentant l’énergie cinétique initiale de l’enzyme, les zones pour lesquelles le choc accélère l’enzyme, et celles où le choc la freine, en moyenne.
II-b vitesse quadratique moyenne
Nous allons examiner maintenant le bilan de nombreux chocs sur l’enzyme.
21) d’après les résultats précédents, que peut on dire de l’état stationnaire, après que la particule ait subi de nombreux chocs? Donner$\left\langle {{E_c}} \right\rangle $, la valeur moyenne de l’énergie cinétique de l’enzyme à l’équilibre thermique. Pouvait‐on s’attendre à ce résultat ?
22) Etant toujours dans le cadre d’un modèle unidimensionnel, l’énergie cinétique de translation d’une mole de molécules d’eau s’écrit$\frac{1}{2}RT$, où $R$ est la constante des gaz parfaits, et $T$ la température absolue. Calculer la vitesse quadratique moyenne des molécules d’enzyme à l’équilibre thermique: $\bar \nabla = \sqrt {\left\langle {{V^2}} \right\rangle } .A.N$. à ${25^o}C$, on prendra pour la masse molaire de enzyme, $M = 80{\rm{ }}000{\rm{ g/Mole}}$, celle de l’eau étant égale à 18g/Mole. $R = 8.3J/Mol/K$
II‐c déplacement aléatoire de la particule
On veut maintenant connaître de quelle distance se déplace une particule soumise à de nombreux chocs aléatoires des molécules d’eau environnantes, au bout d’un temps $t$ On place l’origine de l’axe $Ox$ là où l’enzyme se trouve au temps$t = 0$. On suppose que l’on est capable de faire un grand nombre d’obse1vations successives, et d’en faire des moyennes.
23) donner l’expression $X\left( t \right)de$ la position de l’enzyme, au bout d’un temps $t$, en supposant qu’elle a subi ${N_c}$ chocs aléatoires espacés chacun d’un temps $\tau $ , en fonction des vitesses ${V_i}$ après le ${i^{\`e me}}$ choc.
24) Quel argument physique permet d’affirmer que si l’on fait un grand nombre de fois la mesure, on trouvera $\left\langle X \right\rangle = 0.$
25) On va donc chercher à calculer l’écart quadratique moyen du déplacement de la particule : $\sqrt {\left\langle {{X^2}} \right\rangle } $. Montrer que celui‐ci est donné par:
$ < X{(t)^2} > = {\tau ^2}\mathop \sum \limits_{i = 0}^{{N_c} - 1} \mathop \sum \limits_{j = 0}^{{N_c} - 1} < {V_i}{V_j} > $
On va maintenant chercher à déterminer$er\left\langle {{V_i}{V_j}} \right\rangle $, appelée fonction d’auto‐corrélation de la vitesse.

26) quel argument permet d’affirmer que $\left\langle {{V_i}{V_j}} \right\rangle $ ne dépend que de $k,$ $k = j - i$ ?
27) on va donc calculer$\left\langle {{V_0}{V_k}} \right\rangle $. En utilisant le résultat de la question 15), donner la relation entre $\left\langle {{V_0}{V_{k + 1}}} \right\rangle $ et $\left\langle {{V_0}{V_k}} \right\rangle .$
28) en déduire que $\left\langle {{V}_{0}}{{V}_{k}} \right\rangle =\left\langle {{V}^{2}} \right\rangle \text{ }\!\!~\!\!\text{ exp }\!\!~\!\!\text{ }\left( -k\tau /{{\tau }_{m}} \right)$ . On donnera la valeur de${\tau _m}$, en utilisant le fait que $m < < M.$
29) sachant que pour deux variables a et $b$ non corrélées$\left\langle {ab} \right\rangle = \left\langle a \right\rangle \left\langle b \right\rangle $, que représente physiquement ${\tau _m}$ ?
On peut montrer que pour une enzyme de taille moyenne ${\tau _m} < {10^{ - 9}}s$ !..
30) en utilisant 25) et 28) montrer que pour des temps longs par rapport à ${\tau _m},$
$ < X{(t)^2} > = 2Dt$où le coefficient $D$ est appelé coefficient de diffusion. On donnera l’expression de $D$ et sa dimension.
31) Estimer en utilisant le résultat précédent le temps de résidence moyen d’une molécule dans le volume confocal (sphère de rayon$w = 1.5\mu m$) en fonction de $D$ et$w$. On ne demande pas un calcul exact, seulement un ordre de grandeur. A.N. pour $D = 10\mu {m^2}/s.$
32) Montrer que les questions précédentes permettent d’estimer le coefficient de diffusion des enzymes en solution (in vitro) ou dans le noyau ${d^1}une$ cellule vivante (in vivo), en s’appuyant sur les déterminations expérimentales de la question 14).
III Mouvement de l’ARN-polymérase

Schéma à deux échelles différentes du double brin d’ADN: en haut on a représenté l’enchaînement des paires de bases. En bas le dessin représente la situation à plus grande échelle.
Dans tous les organismes vivants, le double brin d’ADN recèle l’info1mation génétique sous la forme d’une suite de paires de bases, les bases étant des groupements moléculaires désignés par les lettres A, T, C ou G. L’ARN-polymérase est une enzyme pa1ticulière dont la fonction est de parcourir le double brin d’ADN, pour faire une copie d’un gène sous la forme d’un brin d’ARN qui contient lui aussi une suite de bases. Ce brin d’ARN, après de multiples transformations, servira à la fabrication de protéines ou d’enzymes qui peuvent avoir d’autres fonctions dans la cellule. L’ARN-polymérase est donc essentielle au fonctionnement des organismes vivants à tous les stades de leur vie. Pour commencer cette transcription, l’ARN-polymérase doit tout d’abord “trouver” un site de démarrage appelé promoteur. On ne connaît pas actuellement de mécanisme qui pourrait guider I’ARN-polymérase vers le promoteur, et on pense que 1’enzyme trouve celui‐ci par hasard, en coulissant le long du brin d’ADN, ballottée par les chocs des molécules d’eau environnantes.
On supposera que tous les résultats de la deuxième partie obtenus sur un modèle unidimensionnel sont encore valides, en remplaçant la coordonnée $X$ par 1’abscisse curviligne $s$ qui repère la position de l’enzyme le long du brin d’ADN.

33) calculer la distance moyenne entre deux promoteurs de gènes voisins, dans le cas d’ADN humain. On utilisera le fait que le génome humain compte environ ${310^9}$ paires de bases, qui sont espacées d’environ$3.3{A^o}$. D’autre part le nombre total de gènes ${d^1}un$ humain est estimé à 30000, bien que tous ne soient pas encore identifiés. On supposera qu’il $y$ a un promoteur par gène.
34) En déduire le temps moyen de diffusion de I’ARN polymérase pour trouver un promoteur, en utilisant le résultat de la question 30). A.N. pour $D = 10\mu {m^2}/s$
35) Le calcul précédent ne tient pas compte du frottement de la polymérase sur le double brin d’ADN. Des expériences ont montré qu’a cause de ce effet, le coefficient de diffusion vaut $D = {1.310^{ - 1}}\mu {m^2}ls$. Corrigez le calcul précédent et commentez l’ordre de grandeur des temps de recherche de promoteurs trouvés.

Concours Physique ENS de Lyon et Cachan (PC) 2001 (Énoncé)

LC 123 J. 5116
SESSION 2001
______
Filière Physique - Chimie
______
PHYSIQUE
(Épreuve commune aux ENS: Lyon et Cachan)
Durée : 5 heures
______
L'usage de calculatrices électroniques de poche à alimentation autonome, non imprimantes et sans document d'accompagnement, est autorisé. Cependant, une seule calculatrice à la fois est admise sur la table ou le poste travail, et aucun échange n'est autorisé entre les candidats.
Un liquide contenant des particules microscopiques en suspension diffuse la lumière incidente dans toutes les directions. Un objet immergé dans un tel liquide n'est donc pas toujours visible à l'oeil nu. Il peut cependant être détecté par l'analyse du rayonnement transmis dans la direction d'incidence. L'intérêt de cette détection, en imagerie biomédicale par exemple, justifie l'étude du rayonnement diffusé. Dans ce problème, on étudie la diffusion de lumière dans un milieu modèle constitué par une suspension dans l'eau de sphères de polystyrène microscopiques.
Dans la première partie, on étudie le principe d'un modulateur acousto-optique, qui permet de décaler la fréquence d'une onde optique en lui faisant traverser un cristal parcouru par une onde acoustique.
La deuxième partie est consacrée à l'étude d'un dispositif expérimental, utilisant entre autres le modulateur étudié dans la première partie, et permettant l'étude quantitative du phénomène.
On s'intéresse dans la troisième partie au calcul du champ électromagnétique diffusé par une unique sphère de polystyrène, ce qui permet de justifier l'expression de la section efficace de diffusion utilisée dans la deuxième partie.
Les trois parties sont largement indépendantes.
Il est demandé aux candidats de rappeler les numéros identifiant une question avant la solution qu'ils proposent.
Tournez la page S.V.P.

Notations

• Dans tout le problème, l'espace est rapporté à trois axes Ox, Oy, Oz, auxquels est associée la base orthonormée directe ${\vec e_x}$, ${\vec e_y}$, ${\vec e_z}$ . Le point M de l'espace est repéré par le vecteur $\vec r = \overrightarrow {OM} $ .
• On utilise pour les fonctions sinusoïdales du temps la notation complexe. La fonction réelle $x = {X_m}\cos (\omega t + \varphi )$ sera notée, en omettant, pour alléger l'écriture, le symbole Re (partie réelle) :
$x = {X_m}\exp \left[ {i(\omega t + \varphi )} \right]$
L'amplitude complexe X de x est définie par :
$\underset{\scriptscriptstyle-}{X}={{X}_{m}}\exp (i\varphi )$
On rappelle que la valeur moyenne sur une période $T = \frac{2\pi }{ \omega }$ du produit de deux fonctions sinusoïdales ${x_1}(t) = {X_{1m}}\cos (\omega t + {\varphi _1})$ et ${x_2}(t) = {X_{2m}}\cos (\omega t + {\varphi _2})$ s'exprime simplement en fonction de leurs amplitudes complexes :
$\frac{1}{T}\int_{0}^{T}{{{x}_{1}}(t)\ {{x}_{2}}(t)\ dt=}\frac{1}{2}R\text{e}\left[ {{{\underset{\scriptscriptstyle-}{X}}}_{1}}\underset{\scriptscriptstyle-}{X}_{2}^{*} \right]=\frac{1}{2}R\text{e}\left[ \underset{\scriptscriptstyle-}{X}_{1}^{*}{{{\underset{\scriptscriptstyle-}{X}}}_{2}} \right]$
où ${{\underset{\scriptscriptstyle-}{X}}^{*}}$ désigne le complexe conjugué de X.
• La notation sinc désigne le sinus cardinal défini par : ${\rm{sinc}}(x) = \frac{\sin (x)}{x}$.
• c désigne la vitesse de la lumière dans le vide, ${\varepsilon _0}$ la permittivité du vide, et ${\mu _0}$ la perméabilité du vide.

Formulaire

${\rm{div}}\,(f\,\vec A) = f\,{\rm{div}}\,\vec A + \overrightarrow {{\rm{grad}}} (f)\,.\,\vec A$ (1)
$\overrightarrow {{\rm{rot}}} \,(f\,\vec A) = f\,\overrightarrow {{\rm{rot}}} \,\vec A + \overrightarrow {{\rm{grad}}} (f)\, \wedge \,\vec A$ (2)
I Modulateur acousto-optique

I.A
On considère deux milieux diélectriques, non magnétiques, homogènes et isotropes, d'indices de réfraction n₁ et n₂ . Le milieu d'indice n₁ occupe le demi-espace z < 0 , le milieu d'indice n₂ le demi-espace z > 0. Le plan z = 0 constitue ainsi un dioptre plan.
Une onde plane progressive, monochromatique de pulsation ω , se propage dans le milieu d'indice n₁ . Le champ électrique ${\vec E_i}$ de cette onde est polarisé rectilignement selon ${\vec e_y}$ ; son vecteur d'onde ${\vec k_i}$ fait avec Oz un angle i (angle d'incidence). On admet que les ondes réfléchies et transmises par le dioptre sont planes, monochromatiques de pulsation ω , de champs électriques ${\vec E_r}$ et ${\vec E_t}$ polarisés selon ${\vec e_y}$.
Les champs électriques, à l'instant t et au point M de l'espace, sont écrits sous la forme
${\vec E_i}(\vec r,t) = {E_0}\,\exp \left[ {i(\omega t - {{\vec k}_i}\,.\,\vec r)} \right]{\vec e_y}$ (3)
${\vec E_r}(\vec r,t) = R\,{E_0}\,\exp \left[ {i(\omega t - {{\vec k}_r}\,.\,\vec r)} \right]{\vec e_y}$ (4)
${\vec E_t}(\vec r,t) = T\,{E_0}\,\exp \left[ {i(\omega t - {{\vec k}_t}\,.\,\vec r)} \right]{\vec e_y}$ (5)
ce qui définit les coefficients de réflexion R et de transmission T en amplitude.
I.A.1 Rappeler, sans les démontrer, les relations de passage du champ électromagnétique à la traversée du dioptre, qu'on exprimera pour $\vec E$ et $\vec B$.
I.A.2 En déduire les lois de la réflexion et de la réfraction de Snell-Descartes (on désignera par i' l'angle de réfraction).
I.A.3 Calculer R en fonction de n₁ , n₂ , i et i'.
I.A.4 On considère dans toute la suite que les indices n₁ et n₂ sont très proches, et on pose:
$n = {n_1} \approx {n_2}$ ,$\delta n = {n_2} - {n_1}$ et $\theta = \frac{\pi}{2 - i}$.
Montrer que le coefficient de réflexion s'écrit alors
$R = - \frac{{\delta n}}{{2n{{\sin }^2}(\theta )}}$ (6)
I.B
On se propose maintenant de montrer que l'onde réfléchie sur un dioptre en mouvement voit sa fréquence décalée par effet Doppler.
I.B.1 Le référentiel R étant associé au trièdre (Oxyz), on considère le référentiel R' en translation par rapport à R à la vitesse $ - V{\vec e_z}$ , auquel on associe le trièdre (O'xyz) avec $\overrightarrow {OO'} = - \,Vt{\vec e_z}$ .
La vitesse V est suffisamment faible devant la vitesse c de la lumière pour que l'on puisse négliger les effets relativistes et considérer que le champ électrique en un point M à l'instant t a la même valeur dans les deux référentiels R et R' .
Le champ électrique d'une onde s'écrit dans R :
$\vec E(\vec r,t) = {E_0}\exp \left[ {i(\omega t - \vec k\,.\,\vec r)} \right]{\vec e_y}$ (7)
Montrer que, dans R' , si l'on pose $\vec r' = \overrightarrow {O'M} $ , ce champ peut s'écrire:
$\vec E(\vec r',t) = {E_0}\exp \left[ {i(\omega 't - \vec k'\,.\,\vec r')} \right]{\vec e_y}$ (8)
et déterminer $\omega '$ et $\vec k'$ en fonction de ω , $\vec k$ et V .
I.B.2 Le dioptre considéré en (I.A.) est éclairé dans les mêmes conditions, mais il se translate maintenant à la vitesse $ - V{\vec e_z}$ , par rapport au référentiel R .
Montrer que, dans R , la pulsation ${\omega _r}$ de l'onde réfléchie est différente de la pulsation ${\omega _i}$ de l'onde incidente, et que le décalage $\Delta \omega = {\omega _r} - {\omega _i}$ vaut :
$\Delta \omega = \frac{{2nV\sin (\theta )}}{c}\omega $ (9)

I.C
Pour réaliser expérimentalement un dispositif permettant, sur ce principe, de décaler la fréquence d'une onde électromagnétique, on peut utiliser la propagation d'une onde acoustique dans un cristal. Une onde acoustique plane, de fréquence f et de longueur d'onde Λ , se propageant selon Oz dans la direction z < 0, induit une modulation de l'indice de réfraction du cristal autour d'une valeur moyenne n_c selon :
$n(z,t) = {n_c} + \Delta n\cos \left[ {2\pi \left( {ft + \frac{z}{\Lambda }} \right)} \right]$ (10)
avec $\Delta n > 0$ et $\Delta n < < {n_c}$. Tournez la page S.V.P.
Pour décrire l'interaction entre l'onde électromagnétique et l'onde acoustique, on adopte le modèle suivant, qui rend correctement compte des observations expérimentales. Le cristal est considéré comme une juxtaposition de petites tranches d'épaisseur $\delta z$ très inférieure à Λ , et donc d'indice pratiquement uniforme. Entre deux tranches successives, il y a un saut d'indice $\delta n = \frac{{\partial n}}{{\partial z}}\delta z$: chaque interface entre deux tranches élémentaires constitue un dioptre plan. Du fait de la propagation de l'onde acoustique, chacun de ces dioptres se déplace à vitesse $\vec V = - \,V{\vec e_z}$ constante.
Le cristal occupe la région de l'espace comprise entre les plans x = -e/2 et x = +e/2 ; on le suppose de grandes dimensions selon Oy et Oz . Le milieu extérieur, homogène, est d'indice n_a . Les faces x = -e/2 et x = +e/2 subissent un traitement anti-reflets : on considérera que les coefficients de transmission à travers ces faces sont égaux à 1.
On éclaire la face x = -e/2 du cristal par une onde plane, de champ électrique
${\vec E_i}(\vec r,t) = {E_0}\exp \left[ {i(\omega t - {{\vec k}_i}\,.\,\vec r)} \right]{\vec e_y}$ (11)
dont le vecteur d'onde ${\vec k_i}$ fait un angle ${\theta _a}$ avec ${\vec e_x}$.
L'amplitude Δn de la variation d'indice étant très faible devant n_c , l'onde réfractée dans le cristal s'y propage presque comme si l'indice était uniformément n_c , : elle est quasi plane, de vecteur d'onde ${\vec k_c}$ faisant avec ${\vec e_x}$ un angle ${\theta _c}$ d'amplitude pratiquement constante et égale à E₀. Cependant, chaque interface entre deux tranches élémentaires du cristal réfléchit une onde élémentaire, d'amplitude très faible devant E₀ (figure 1). Ces ondes élémentaires émergent du cristal en x = +e/2. Leur superposition, dans l'air, constitue l'onde réfléchie.

I.C.1 On considère un plan Σ orthogonal à la direction de l'onde réfléchie. Calculer, au niveau de Σ , le déphasage $\varphi ({z_i})$ entre l'onde élémentaire réfléchie par l'interface z = z_i et celle réfléchie en z = 0. On exprimera $\varphi ({z_i})$ en fonction de la longueur d'onde λ₀ dans le vide de l'onde incidente et on négligera évidemment pour ce calcul la célérité des ondes acoustiques devant celle de la lumière.
I.C.2 Les interfaces atteintes par l'onde incidente sont comprises entre z = -L/2 et z = +L/2. Montrer que l'amplitude complexe du champ total réfléchi peut se mettre sous la forme .
$\underset{\scriptscriptstyle-}{E}=K\exp (i\psi )\left\{ \exp \left[ i\alpha (t) \right]\text{sinc}\left[ \pi \text{L}\left( \frac{\text{1}}{\Lambda }-\frac{2{{n}_{a}}\sin ({{\theta }_{a}})}{{{\lambda }_{0}}} \right) \right]-\exp \left[ -i\alpha (t) \right]\text{sinc}\left[ \pi \text{L}\left( \frac{\text{1}}{\Lambda }+\frac{2{{n}_{a}}\sin ({{\theta }_{a}})}{{{\lambda }_{0}}} \right) \right] \right\}$
où K est un réel positif et $\psi $ un déphasage arbitraire dépendant du choix de Σ .
Préciser les expressions de K et α(t) en fonction des données.
I.C.3 Montrer que les deux termes contribuant à l'amplitude du champ réfléchi sont respectivement maximaux pour deux valeurs de ${\theta _a}$ opposées, notées respectivement ${\theta _B}$ et $ - {\theta _B}$ (angles de Bragg). On négligera pour cela la variation de K avec ${\theta _a}$ , et on justifiera a posteriori cette approximation, compte tenu des ordres de grandeur des différents paramètres
$L \approx 1mm$ $\Lambda \approx 50\mu m$ ${n_c} \approx 2$ ${\lambda _0} \approx 600nm$
Représenter l'allure de la variation avec sin(${\theta _a}$) de l'intensité lumineuse émergente.

I.C.4 Vérifier qu'à l'incidence de Bragg les ondes élémentaires réfléchies par l'interface en z = z_i et par celle en z = z_i + Λ interférent constructivement.
I.C.5 On envisage séparément ${\theta _a} = + {\theta _B}$ et${\theta _a} = - {\theta _B}$ représentés sur la figure 2 :

Montrer que l'onde optique réfléchie est décalée en fréquence de
$\frac{{\Delta \omega }}{{2\pi }} = \pm f$
avec un signe que l'on précisera pour chacune des deux configurations, et expliquer pourquoi ce décalage de fréquence est cohérent avec le résultat établi à la question (I.B.2).
Il Etude d'un dispositif expérimental
Un interféromètre de Mach-Zehnder, représenté sur la figure 3, est constitué de deux lames semi-transparentes identiques (L_E ) et (L_S ), et de deux miroirs de renvoi (M₁) et (M₂).
On éclaire la lame d'entrée (L_E) par le faisceau d'un laser hélium-néon, de longueur d'onde dans le vide λ₀ = 632, 8 nm et de pulsation $\omega = \frac{2\pi c}{{\lambda }_{0}}$.
Le faisceau transmis par (L_E ) traverse ensuite un modulateur acousto-optique, du type de celui étudié dans la première partie, dont l'effet est de décaler la fréquence du rayonnement. Ce modulateur est alimenté par un générateur de radiofréquences (R.F) , de fréquence f = 50 MHz, qui délivre un signal $m(t) = {m_0}\cos (2\pi \,ft)$ . Les ondes acoustiques produites ont ainsi la fréquence f . Comme on l'a montré dans la première partie, l'onde lumineuse émergeant du modulateur a alors pour pulsation $\omega + \Delta \omega $ , avec :
$\Delta \omega = 2\pi \,f$
Le faisceau est ensuite réfléchi sur (M₁ ) puis sur (L_S ). On désignera dans la suite par "bras de référence" le bras correspondant de l'interféromètre. Dans l'autre bras, que l'on appelera "bras de mesure", le faisceau réfléchi par (L_E) est ensuite réfléchi par (M₂) puis transmis par (Ls)
Tournez la page S.V.P.

L'interféromètre est réglé de telle façon que les deux faisceaux soient ensuite superposés au niveau d'un détecteur, qui délivre un signal électrique s(t) proportionnel à la puissance totale P(t) qu'il reçoit sur sa fenêtre d'entrée :
$s(t) = \eta P(t)$ (12)

II.A
La fenêtre d'entrée du détecteur est un carré de côté b, orthogonal à Oz et correspondant dans le plan Oxy à -b/2 < x < +b/2 et -b/2 < y < +b/2.
On désigne par ${\vec E_0}$ le champ électrique de l'onde provenant du bras de référence, et par ${\vec E_1}$ le champ provenant du bras de mesure. Au niveau du détecteur, ces deux champs s'écrivent :
${\vec E_0}(\vec r,t) = {E_0}\exp i\left[ {(\omega + \Delta \omega )t - {{\vec k}_0}\,.\,\vec r + {\varphi _0}} \right]{\vec e_y}$ (13)
${\vec E_1}(\vec r,t) = {E_1}\exp i\left[ {\omega t - {{\vec k}_1}\,.\,\vec r + {\varphi _1}} \right]{\vec e_y}$ (14)
On notera I₀ et I₁ les intensités correspondantes.
II.A.1 On suppose que les deux faisceaux émergeant de l'interféromètre sont parfaitement alignés, se propageant selon Oz. Calculer s(t) en fonction de I₀ et I₁ et montrer que l'on doit détecter un signal de battement à la fréquence f.
II.A.2 Du fait de l'inévitable imperfection du réglage de l'interféromètre, les faisceaux font en réalité entre eux un petit angle α , au niveau du détecteur. On considérera, par exemple, que l'un des faisceaux arrive sur la fenêtre sous incidence normale et l'autre sous incidence α . Que devient l'amplitude du signal de battement détecté ? Conclure.
II.A.3 La largeur de la fenêtre est b = 2 mm. Quelle valeur de l'angle α entre les deux faisceaux peut-on tolérer pour ne pas être gêné par le problème mis en évidence à la question précédente ? On supposera dans la suite que l'alignement est convenablement réalisé.
II.B
On cherche maintenant à mesurer l'amplitude du signal de battement à l'aide du dispositif électronique schématisé sur la figure 4, qui comprend deux multiplieurs analogiques et un filtre passe-bas de fréquence de coupure f_C .
Les signaux d'entrée du premier multiplieur sont le signal s(t) délivré par le photodétecteur et le signal de référence m(t) délivré par le générateur RF qui alimente aussi le modulateur.

II.B.1 Montrer qu'un choix judicieux de la valeur de f_c, permet d'obtenir un signal de sortie S₁ proportionnel à I₁ .
II.B.2 Le signal S₁ est très sensible aux perturbations extérieures, et peut varier simplement parce que l'on tapote un des miroirs de renvoi de l'interféromètre. Expliquer pourquoi.
Pour remédier à cet inconvénient, on produit un signal S₂ à l'aide d'un dispositif électronique parfaitement similaire, mais en remplaçant à l'entrée du premier multiplieur la référence m(t) par $m'(t) = {m_0}\sin (2\pi \,ft)$.
II.B.3 Comment peut-on, en pratique, obtenir le signal $m'(t)$ à partir du signal m(t) ?
II.B.4 Montrer que l'on peut effectivement, en utilisant S₁ et S₂ , produire un signal S qui ne soit plus aussi sensible aux perturbations extérieures et qui soit toujours proportionnel à I₁ .

II.C
On introduit dans le bras de mesure de l'interféromètre une cuve remplie d'une suspension de sphères de polystyrène microscopiques dans l'eau (figure 5). L'épaisseur de liquide traversée par le faisceau, dans la direction Oz , est D = 10 cm : la lumière pénètre dans la cuve en z = 0 et en ressort en z = D . L'indice de l'eau pour la longueur d'onde λ₀ est n_e = 1,33 ; celle du polystyrène n_p = 1,59. Chaque sphère diffuse la lumière, ce qui confère au liquide un aspect laiteux.
II.C.1 Expliquer pourquoi on n'attend pas, au niveau du détecteur, de signal de battements entre la lumière diffusée par la cuve et le faisceau de référence.
Quel problème de cohérence se pose-t-il ici ? On pourra s'appuyer sur les résultats de (II.A).
On observe cependant un phénomène de battements, mais il correspond aux interférences entre le faisceau de référence et la partie de la lumière qui a traversé la cuve en ligne droite et émerge dans la direction d'incidence. On appelle intensité cohérente I_C l'intensité lumineuse correspondant à cette lumière. Le signal S permet de mesurer directement l'intensité cohérente I_C à la sortie de la cuve.
Tournez la page S.V.P.

II.C.2 Montrer que, à l'intérieur de la cuve, I_C est fonction de z et vérifie l'équation :
$\frac{{d\,{I_c}(z)}}{{dz}} = - v\,{\sigma _d}\,{I_c}(z)$ (15)
où v est le nombre de sphères par unité de volume et ${\sigma _d}$ la section efficace de diffusion, définie comme le rapport entre la puissance P_d diffusée par une sphère et l'intensité incidente I_c sur cette sphère :
${\sigma _d} = \frac{{{P_d}}}{{{I_c}}}$ (16)
En déduire que l'intensité cohérente I_c(D) à la sortie de la cuve vérifie :
${I_c}(d) = {I_{c0}}\exp ( - v{\kern 1pt} {\sigma _d}{\kern 1pt} D)$ (17)
Que représente ${I_{c0}}$ ?
II.C.3 Le tableau 1 donne les valeurs expérimentales de $\ln \left[ {\frac{{{I_c}(D)}}{{{I_{c0}}}}} \right]$ mesurées pour différentes
valeurs de la fraction volumique de polystyrène, c'est-à-dire du rapport entre le volume de polystyrène et le volume total de la solution :

Commenter ces valeurs numériques.
La section efficace de diffusion ${\sigma _d}$ est fonction de n_e , n_p , λ₀ et du volume V des sphères:
${\sigma _d} = 24{\pi ^3}{\left( {\frac{{{n_e}}}{{{\lambda _0}}}} \right)^4}{\left( {\frac{{n_p^2 - n_e^2}}{{n_p^2 + 2n_e^2}}} \right)^2}{V^2}$ (18)
Déterminer le rayon a des sphères utilisées.
II.C.4 Les incertitudes relatives sur les mesures des intensités sont de 1 % ; celles sur les fractions volumiques de 0,5 %. Evaluer l'incertitude Δa sur le rayon des sphères.
III Diffusion de la lumière par une particule sphérique
Dans cette partie, on se propose de justifier l'expression de la section efficace de diffusion ${\sigma _{\rm{d}}}$ utilisée à la question (II.C.3).

III.A
On considère une sphère, de rayon a , de polarisation $\vec P$ uniforme, dans le vide. On veut calculer le champ électrostatique créé par cette distribution de polarisation.
III.A.1 Montrer que le champ créé par la polarisation $\vec P$ est identique à celui que créerait une distribution surfacique de charges ${\sigma _{{\rm{lié }}}}$ , que l'on précisera.
III.A.2 Montrer que l'on peut retrouver cette distribution surfacique de charges en superposant deux sphères de même rayon a , uniformément chargées, de densité volumique de charge respectivement + ρ et - ρ, centrées en deux points infiniment voisins, respectivement O₊ et O_- Etablir la relation liant $\vec P$, ρ , O₊ et O_- .
III.A.3 Donner l'expression du potentiel électrostatique V_ρ créé en tout point M de l'espace par une sphère de rayon a et de centre O, de densité de charge uniforme ρ . On prendra le potentiel nul lorsque M est à l'infini.
III.A.4 Déduire des résultats précédents l'expression du potentiel ${V_{\vec P}}$ à l'intérieur de la sphère uniformément polarisée; montrer que le champ ${\vec E_{\vec P}}$ orrespondant est uniforme et vaut :
${\vec E_{\vec P}} = - \frac{{\vec P}}{{3{\varepsilon _0}}}$ (19)
III.B
On considère maintenant une sphère de polystyrène, de rayon a et de centre O , dans le vide. Le polystyrène est un matériau isotrope, d'indice de réfraction n_P ; on notera ε_p sa permittivité diélectrique absolue.
On envoie sur la sphère une onde électromagnétique plane, monochromatique de pulsation ω, de champ électrique :
${\vec E_i}(\vec r,t) = {\vec E_{i0}}\exp \left[ {i(\omega t - \vec k\,.\,\vec r)} \right]$ (20)
On cherche à déterminer le champ électromagnétique $({\vec E_d},{\vec B_d})$ diffusé par la sphère, et défini par les relations :
$\vec E = {\vec E_i} + {\vec E_d}$ et $\vec B = {\vec B_i} + {\vec B_d}$ (21)
où $(\vec E,\vec B)$ représente le champ électromagnétique total et $({\vec E_i},{\vec B_i})$ le champ incident.

III.B.1 On note $({\vec E^{{\mathop{\rm int}} }},{\vec B^{{\mathop{\rm int}} }})$ et $({\vec E^{{\rm{ext}}}},{\vec B^{{\rm{ext}}}})$ les champs respectivement à l'intérieur et à l'extérieur de la sphère.
Ecrire les équations de Maxwell pour ces champs.
III.B.2 Exprimer les relations de passage vérifiées par $\vec E$ et $\vec B$ à la surface de la sphère.
III.B.3 Vérifier que, à l'extérieur de la sphère, le champ diffusé $({\vec E_d},{\vec B_d})$ vérifie simplement les équations de Maxwell dans le vide.
Tournez la page S.V.P.
III.B.4 Montrer que, à l'intérieur de la sphère, le champ diffusé vérifie aussi les équations de Maxwell dans le vide, à condition d'y introduire une distribution volumique de courant ${\vec j_{{\rm{lié }}}}$ dont on exprimera l'amplitude complexe ${{\underset{\scriptscriptstyle-}{\vec{j}}}_{\text{li }\!\!\acute{\mathrm{e}}\!\!\text{ }}}$ en fonction de celle du champ total ${\vec E^{{\mathop{\rm int}} }}$ à l'intérieur de la sphère.
III.B.5 Montrer qu'on peut alors considérer le champ diffusé comme le champ créé dans le vide par la distribution de courant ${\vec j_{{\rm{li\'e }}}}$ à condition de rajouter une distribution surfacique de charges ${\sigma _{{\rm{li\'e }}}}$ que l'on déterminera.
III.B.6 Montrer enfin que le champ créé par cette distribution de charges et de courants est équivalent au champ qui serait créé par une sphère polarisée, de polarisation :
$\vec P = ({\varepsilon _p} - {\varepsilon _0}){\vec E^{{\mathop{\rm int}} }}$ (22)
III.C
On introduit le potentiel scalaire V_d et le potentiel vecteur ${\vec A_{\rm{d}}}$ associés au champ diffusé $({\vec E_d}\,,\,{\vec B_d})$.
On impose à ces potentiels de vérifier, en tout point de l'espace, la condition de jauge de Lorentz :
${\rm{div}}\,({\vec A_{\rm{d}}}) + \frac{1}{{{c^2}}}\frac{{\partial {V_{\rm{d}}}}}{{\partial {\rm{t}}}} = 0$ (23)
On montre, à l'aide des équations de Maxwell, que ${{\underset{\scriptscriptstyle-}{\vec{A}}}_{\text{d}}}$ satisfait l'équation
$\Delta \,{{\vec{A}}_{\text{d}}}+{{\mu }_{0}}{{\varepsilon }_{0}}{{\omega }^{2}}{{\vec{A}}_{\text{d}}}=-{{\mu }_{0}}{{\underset{\scriptscriptstyle-}{\vec{j}}}_{\text{li }\!\!\acute{\mathrm{e}}\!\!\text{ }}}$ (24)
dont la solution est :
${{\underset{\scriptscriptstyle-}{\vec{A}}}_{\text{d}}}(\vec{r})=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\iiint_{\text{espace}}{{{{\underset{\scriptscriptstyle-}{\vec{j}}}}_{\text{li }\!\!\acute{\mathrm{e}}\!\!\text{ }}}}(\vec{r}')\frac{\exp (-ik\left\| \vec{r}-\vec{r}' \right\|}{\left\| \vec{r}-\vec{r}' \right\|}{{d}^{3}}r'$ (25)
où k est le nombre d'onde défini par $k = \frac{2 \pi }{\lambda _{0}} = \frac{\omega}{c}$ . La notation d³ r', représente un volume élémentaire autour du point M' tel que $\overrightarrow {OM'} = \vec r'$ .
III.C.1 Cette solution est appelée solution des potentiels retardés. Pourquoi ?
On a vu en (III.B.4.) que ${\vec j_{{\rm{lié }}}}$ était fonction de $\vec E$ , lequel n'est pas connu a priori puisqu'il dépend de ${\vec E_{\rm{d}}}$ qui dépend lui-même de ${\vec A_{\rm{d}}}$ ... La résolution dans le cas général apparaît donc délicate.
On se limite dans toute la suite au cas particulier plus simple où la sphère est de rayon très petit devant la longueur d'onde du rayonnement : a << λ₀ . Cette restriction permet, entre autres, de considérer que le champ incident est pratiquement uniforme à l'intérieur de la sphère. Il est alors tentant de chercher, pour $\vec E$ et ${\vec E_{\rm{d}}}$ une solution correspondant à une polarisation $\vec P$ uniforme dans le volume de la sphère. Il faudra évidemment ensuite vérifier à posteriori la compatibilité de la solution obtenue avec cette hypothèse.

III.C.2 Montrer que, dans ces conditions, l'intégrale permettant le calcul de ${{\underset{\scriptscriptstyle-}{\vec{A}}}_{\text{d}}}^{\operatorname{int}}$ a la même forme
que celle correspondant au potentiel électrostatique créé par une sphère uniformément chargée. En déduire l'expression de ${{\underset{\scriptscriptstyle-}{\vec{A}}}_{\text{d}}}^{\operatorname{int}}$ .
III.C.3 Calculer ${{\underset{\scriptscriptstyle-}{V}}_{\text{d}}}^{\operatorname{int}}$ puis les amplitudes complexes ${{\vec{\underset{\scriptscriptstyle-}{E}}}_{\text{d}}}^{\operatorname{int}}$ et ${{\underset{\scriptscriptstyle-}{\vec{B}}}_{\text{d}}}^{\operatorname{int}}$ des champs diffusés.
III.C.4 Exprimer ${\vec E_{\rm{d}}}^{{\mathop{\rm int}} }$ et ${\vec B_{\rm{d}}}^{{\mathop{\rm int}} }$ en fonction du champ incident ${\vec E_i}$ .
Cette solution est-elle cohérente avec l'hypothèse d'uniformité de $\vec P$ ?
IILD
On cherche maintenant à déterminer le champ ${\vec E_{\rm{d}}}$ diffusé en un point M situé à une distance r de la sphère de polystyrène très grande devant la longueur d'onde : r >> λ₀ .
III.D.1 Montrer que la solution des potentiels retardés peut alors s'écrire :
${{\underset{\scriptscriptstyle-}{\vec{A}}}_{\text{d}}}(\vec{r})={{\underset{\scriptscriptstyle-}{\vec{A}}}_{0}}\frac{\exp (-ikr)}{r}$ (26)
ou ${{\underset{\scriptscriptstyle-}{\vec{A}}}_{0}}$ est une constante vectorielle que l'on exprimera en fonction de a et ${{\underset{\scriptscriptstyle-}{\vec{j}}}_{\text{li }\!\!\acute{\mathrm{e}}\!\!\text{ }}}$ .
III.D.2 Pour repérer la position du point M , on introduit le système de coordonnées sphériques de pôle O et d'axe polaire Oz , tel que ${{\underset{\scriptscriptstyle-}{\vec{A}}}_{0}}={{A}_{0}}\,{{\vec{e}}_{z}}$ . On a ainsi $\theta = ({\vec A_0},\vec r)$ . Etablir les expressions de ${{\underset{\scriptscriptstyle-}{V}}_{\text{d}}}$ et ${{\underset{\scriptscriptstyle-}{\vec{E}}}_{\text{d}}}$ en projection sur la base $({\vec e_r},\,{\vec e_\theta },\,{\vec e_\varphi })$ associée.
IILD.3 Montrer qu'au voisinage de $\vec r = {\vec r_0}$ , le champ ${\vec E_{\rm{d}}}$ a pratiquement une structure d'onde plane (on posera $\vec r = {\vec r_0} + \vec \delta $) . En déduire que l'intensité moyenne (puissance surfacique moyenne) diffusée dans la direction de $\vec r$ est proportionnelle à ${{\left\| {{{\underset{\scriptscriptstyle-}{\vec{E}}}}_{\text{d}}} \right\|}^{2}}$ avec un coefficient de proportionnalité que l'on exprimera en fonction de c et ε₀ .

IILD.4 Déduire du résultat précédent la puissance moyenne totale ${P_d}$ diffusée par la sphère en fonction de A₀ .
III.D.5 En utilisant les relations démontrées en (III.D.1), (III.B.4) et (III.C.4), exprimer ${P_d}$ en fonction de ${{\left\| {{{\underset{\scriptscriptstyle-}{\vec{E}}}}_{i}} \right\|}^{2}}$ .
IILD.6 Exprimer l'intensité I_i du champ incident en fonction de ${{\left\| {{{\underset{\scriptscriptstyle-}{\vec{E}}}}_{i}} \right\|}^{2}}$ . On définit la section efficace de diffusion ${\sigma _{\rm{d}}}$ par :
${P_d} = {\sigma _{\rm{d}}}\,{I_i}$ (27)
Montrer que, si V représente le volume de la sphère de polystyrène, on a:
${\sigma _{\rm{d}}} = 24{\pi ^3}\frac{1}{{\lambda _0^4}}{\left( {\frac{{{\varepsilon _p} - {\varepsilon _0}}}{{{\varepsilon _p} + 2{\varepsilon _0}}}} \right)^2}\,{V^2}$ (28)
IILD.7 Comparer le résultat obtenu à l'expression de ${\sigma _{\rm{d}}}$ donnée en (ILC.3).

Concours Physique Modélisation ENS de Cachan et École Polytechnique (PSI) 2001 (Énoncé)

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Le chauffage par induction est le procédé qui permet de transférer une énergie électrique à une pièce métallique dans laquelle les pertes Joule sont transformées en chaleur.
Ce chauffage permet de transmettre l’énergie directement à l’intérieur du matériau sans contact matériel. Il est largement répandu dans l’industrie grâce à divers avantages (puissance massique plus élevée que tout procédé traditionnel, échauffement plus rapide, grande précision de température, etc.). On le trouve ainsi en fusion et dans les traitements thermiques superficiels mais aussi pour les chauffages avant déformation et pour des opérations d’assemblage comme le soudage ou le brasage.
Le problème étudié ici porte sur le chauffage avant déformation. Ceci concerne le réchauffage avant laminage ou le chauffage avant formage.
Les produits considérés sont de longs parallélépipèdes d’acier dont les dimensions typiques peuvent être de 0, 1 × 1 × 5 mètres. Un bobinage inducteur (solénoïde) entoure la barre selon le schéma de principe de la figure Afig1, Dans certains systèmes de chauffage la barre est introduite complètement dans l’inducteur et chauffée entièrement. Dans d’autres elle pénètre progressivement et n’est chauffée que sur une partie de sa longueur seulement.
La maîtrise du chauffage est complexe car elle met en jeu au sein du milieu conducteur chauffé différents phénomènes physiques partiellement couplés :

l’électromagnétisme qui régit la distribution des champs et du courant électrique dans l’acier ;
la thermique qui gouverne l’élévation de température en fonction des pertes Joule dissipées ;
la mécanique qui permet de quantifier les contraintes engendrées dans le milieu en fonction de la température.

Ce problème propose sous certaines hypothèses une modélisation des différents phénomènes impliqués. Il envisage pour chaque partie (électromagnétisme, thermique, mécanique) une étude basée sur la résolution analytique des équations physiques en cause.
Les 3 parties A, B, C sont indépendantes. Elles seront rédigées sur des copies .

ANALYSE ÉLECTROMAGNÉTIQUE

$ \mathrm{\vec{h}} $	:	champ magnétique
$ \mathrm{\vec{b}} $	:	induction magnétique
$ \mathrm{\vec{j}} $	:	densité de courant
μ	:	perméabilité magnétique
σ	:	conductivité électrique
f	:	fréquence
T_e	:	période électrique $ \mathrm{{\displaystyle \left(f=\frac{1}{T_{e}}\right)}} $
ω	:	pulsation (ω = 2πf)

On rappelle la formule d’analyse vectorielle donnant le rotationnel d’un vecteur $ \mathrm{\vec{a}(x,y,z)} $;
$$\mathrm{rot\,\vec{a}=\left(\frac{\partial a_{z}}{\partial y}-\frac{\partial a_{y}}{\partial z},\: \frac{\partial a_{x}}{\partial x}-\frac{\partial a_{z}}{\partial x},\:\frac{\partial a_{y}}{\partial x}-\frac{\partial a_{x}}{\partial y}\right)}.$$
La distribution des champs électriques est régie par les équations de Maxwell (avec le courant de déplacement négligeable):

$$\mathrm{ rot\,\vec{h}=\vec{j}}\:\:\: \text{(loi d'Amp{\`e}re)} \label{Ampere}$$

$$\mathrm{ rot\,\vec{e}=-\frac{\partial \vec{b}}{\partial t}} \:\:\: \text{(loi de Faraday)} \label{Faraday}$$
On ajoute à ces deux équations les lois de comportement suivantes au sein du milieu:
$$\mathrm{\vec{j}=\sigma \vec{e}\:\:\:\text{(loi d'Ohm)}} \label{Ohm}$$

$$\mathrm{\vec{b}=\mu \vec{h}} \label{Lhi}$$
L’étude s’effectue en régime sinusoïdal où toutes les grandeurs vectorielles ont des variations harmoniques. On adopte la forme complexe:
$$\mathrm{\vec{a}(x,y,z,t)=Re\left\{\vec{A}(x,y,z)\exp (i\omega\,t)\right\}\:\text{avec }\:\vec{A}(x,y,z)\in \mathbb{C}^{3}.}$$

Étude préliminaire

Compte tenu des dimensions de la barre, on considère que le système est infini dans les directions y et z et que tous les phénomènes sont invariants en y et z.
Dans cette étude préliminaire la pénétration des champs à l’intérieur du métal est faible ; l’épaisseur de la barre n’intervient pas. Nous assimilons alors le domaine conducteur à un demi-espace (correspondant à x ≥ 0 ).
On suppose que le champ magnétique est dirigé selon y et ne dépend que de x :
$$\mathrm{\vec{h}(x,y,z,t)=\left(0,h(x,t),0\right)} \label{Aeq5}$$
A la surface (x = 0 ), le champ magnétique est imposé par les courants inducteurs:
h(0, t)=H₀cos(ω t)
On note:
h(x, t)=Re{H(x)exp(iω t)} avec H(x)∈ℂ

Montrer à partir des équations de Maxwell que l’amplitude complexe H(x) vérifie :
$$\mathrm{ \frac{\partial^{2}H}{\partial x^{2}}-i\sigma\mu\omega\,H=0} \label{Aeq8}$$

On introduit $ \mathrm{{\displaystyle \delta=\sqrt{\frac{2}{\sigma \omega \mu}}}} $. Montrer que l’équation vérifiée par H est:
$$\mathrm{\frac{\partial^{2}H}{\partial x^{2}}-\left(\frac{1+i}{\delta}\right)^{2}H=0} \label{Aeq9}$$

Donner l’expression générale de la solution H(x) et préciser les conditions aux limites vérifiées par H(x) en x = 0 et x = +∞.

Déduire de [A.1.2.] et [A.1.3.] la solution du problème électromagnétique h(x, t) en fonction de H₀ , ω et δ .

Donner l’expression de la densité de courant j(x, t).

Quelle est la dimension de δ ? Justifier l’appellation retenue pour δ : << épaisseur de peau >> ou << profondeur de pénétration >>.

Déterminer la densité volumique de puissance dissipée :
$$\mathrm{p(x,t)=\frac{1}{\sigma}j^{2}(x,t)} \label{Aeq10}$$

Quelle est la moyenne temporelle Q(x) sur une période de p(x, t) (pertes Joule) :
$$\mathrm{Q(x)=\frac{1}{T_{e}}\int_{0}^{T_{e}}p(x,t)dt\:\:;\:T_{e} =\frac{2\pi}{\omega}} \label{Aeq11}$$

Montrer que la puissance totale dissipée dans l’ensemble de la barre, par mètre carré de surface (en y et z), est :
$$\mathrm{Q_{tot}=\frac{1}{2\sigma}\frac{H_{0}^{2}}{\delta}} \label{Aeq12}$$
Vérifier l’homogénéité de cette expression.

Etude d’une plaque de largeur 2a:

Nous supposons dans cette partie que le milieu conducteur est assimilé à une plaque, infinie en y et z, de largeur 2a. L’origine est prise au milieu de la plaque (−a ≤ x < a). Sur chacune des deux faces le champ magnétique est imposé :
h(−a, t)=h(a, t)=H₀cos(ω t)

Montrer en exploitant les symétries du problème que $ \mathrm{{\displaystyle \frac{\partial h}{\partial x}(0,t)=0}} $.
Dans les questions suivantes on utilisera la fonction exp(z) z ∈ ℂ, qui se manipule algébriquement comme exp(x) x ∈ ℝ et par suite on utilisera les fonctions ch(z) et sh(z) z ∈ ℂ.

Vérifier l’expression du champ magnétique h(x, t) :
$$\mathrm{h(x,t)=Re\left[H(x)\exp \left(i\omega\,t\right)\right]\:\: \text{avec}\:H(x)=H_{0}\frac{ch{\displaystyle \frac{\left(1+i\right)x}{\delta}}}{ch{\displaystyle \frac{\left(1+i\right)a}{\delta}}}}$$
.

Déterminer l’expression de la densité de courant j(x, t).

Déterminer l’expression de la densité de puissance volumique $ \mathrm{{\displaystyle p(x,t)=\frac{1}{\sigma}j^{2}(x,t)}} $.

Quelle est la moyenne temporelle Q(x) sur une période T_e de p(x, t) :
$$\mathrm{Q(x)=\frac{1}{T_{e}}\int_{0}^{T_{e}}p(x,t).dt\:; \:T_{e}=\frac{2\pi}{\omega}}. \label{Aeq14}$$

Donner un équivalent simple de Q(x) lorsque $ \mathrm{{\displaystyle \frac{a}{\delta} \ll 1}}. $

Donner un équivalent simple de Q(x) lorsque $ \mathrm{{\displaystyle \frac{a}{\delta} \gg 1}}. $

Déterminer la puissance totale dissipée dans la plaque, par unité de surface (en y et z), et montrer qu’elle peut s’écrire :

$$\mathrm{Q_{tot}=\frac{H_{0}^{2}}{2\sigma a}g(\alpha)\:\text{avec}\: g(\alpha)=\alpha\frac{sh \alpha - \sin \alpha}{ch \alpha + \cos \alpha}\:;\:\alpha=\frac{2a}{\delta}} \label{Aeq15}$$

On considère que $ \mathrm{H_{0}={{10}^{5}}{A.m^{-1}}} $ ; $ \mathrm{\sigma={5.10^{6}}{\Omega^{-1}.m^{-1}}} $ ; μ_r = 100 ; $ \mathrm{f={50}{Hz}} $.
Quelles sont les valeurs de Q_tot lorsque a vaut respectivement :$ 0,5 mm , \ 5 mm , \ 50 mm $ ?

Montrer que la puissance dissipée a deux équivalents simples correspondant respectivement à α ≪ 1 et α ≫ 1.

De façon générale, énoncer d’après ce qui précède un (ou des) critère(s) permettant de choisir une fréquence de travail si on souhaite un chauffage efficace en volume de la barre.

ANALYSE THERMIQUE

T :: température
T_amb :: température ambiante
θ :: élévation de la température par rapport à la température ambiante: θ(x, t)=T(x, t)−T_amb
k :: conductivité thermique
ρ :: masse volumique
C_p :: chaleur spécifique
φ :: densité surfacique du flux de chaleur : $ \mathrm{{\displaystyle \varphi(x,t)=-k\frac{\partial T}{\partial x}}} $
q :: densité volumique des sources de chaleur.

On cherche à déterminer l’évolution de la température au sein de la barre en fonction du temps de chauffage. On considère dans tout ce qui suit, comme en [A.], que la plaque est infinie dans les directions y et z et que la température n’est fonction que de x et de t. La distribution de T(x,t) est alors donnée par l’équation de la chaleur dans laquelle la densité des sources de chaleur est la densité de puissance électromagnétique induite au sein de la barre (pertes Joule):

$$\mathrm{\rho C_{p}\frac{\partial T}{\partial t}-k\frac{\partial^{2}T}{\partial x^{2}}=p(x,t)} \label{Beq1}$$
avec
$$\mathrm{p(x,t)=\frac{1}{\sigma}j^{2}(x,t)} \label{Beq2}$$
Les phénomènes électromagnétiques et thermiques possèdent deux échelles de temps différentes : dynamique << rapide >> pour l’électromagnétisme (fréquence de quelques dizaines de Hertz) et dynamique << lente >> pour la thermique (temps de chauffage de plusieurs dizaines de minutes). Il est alors possible de mener une analyse partiellement découplée : on étudie l’évolution thermique du problème en supposant qu’à chaque instant le régime périodique des phénomènes électriques est établi. On fait alors la moyenne des pertes Joule sur une période électrique T_e pour obtenir la puissance volumique injectée. On cherchera ainsi à résoudre :
$$\mathrm{\rho C_{p}\frac{\partial T}{\partial t}-k\frac{\partial^{2}T}{\partial x^{2}}=Q(x)} \label{Beq3}$$
où Q(x) est la moyenne temporelle de p(x, t).
On suppose qu’au début du chauffage la barre est à température ambiante T_amb.

Cas d’une plaque large devant la profondeur de pénétration a ≫ δ

On se place dans la situation $ \mathrm{{\displaystyle \frac{a}{\delta}\gg 1}} $. On considère alors que la puissance est dissipée dans une couche superficielle et localisée en x = −a et x = a.

La puissance totale dissipée dans l’ensemble de la plaque est donnée par [Aeq15].
Montrer que le chauffage de la plaque peut se représenter par une densité de flux thermique entrant sur les faces x = −a et x = a de valeur :

$$\mathrm{\varphi_{0}=\frac{H_{0}^{2}}{2\sigma\delta}} \label{Beq4}$$

Montrer, en exploitant la symétrie du problème que dans ces conditions θ(x, t) est solution de l’équation :
$$\mathrm{\frac{\partial \theta}{\partial t}-D\frac{\partial ^{2}\theta}{\partial x^{2}}=0} \label{Beq5}$$
où D est la diffusivité thermique $ \mathrm{{\displaystyle \left(D=\frac{k}{\rho C_{p}}\right)}} $, avec les conditions aux limites :
$$\mathrm{k\frac{\partial \theta}{\partial x}=\varphi_{0}\:\text{en}\:x=a\:\text{et}\:\frac{\partial \theta}{\partial x}=0\:\text{en}\: x=0} \label{Beq6}$$
et la condition initiale :
θ(x, 0)=0

Montrer que la fonction θ₀(x, t) définie par :
$$\mathrm{\theta_{0}(x,t) =\frac{\varphi_{0}a}{k}\left(\frac{Dt}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{2a^{2}}\right)}$$
vérifie les équations [Beq5] et [Beq6] de [B.1.2.].

Afin de résoudre le problème défini en [B.1.2.] on effectue un changement d’inconnue en posant : θ^*(x, t)=θ(x, t)−θ₀(x, t) . Montrer que θ^*(x, t) est solution du problème :
$$\mathrm{\frac{\partial \theta^{*}}{\partial t}-D\frac{\partial ^{2}\theta^{*}}{\partial x^{2}}=0} \label{Beq8}$$

$$\mathrm{\frac{\partial \theta^{*}}{\partial x}=0\:\text{en}\:x=a\:\text{et}\:\frac{\partial \theta^{*}}{\partial x}=0\:\text{en}\: x=0} \label{Beq9}$$

θ^*(x, 0)= − θ₀(x, 0)

On envisage une résolution du problème défini en [B.1.4.] par variables séparées. On pose θ^*(x, t)=u(t).v(x). Montrer que les fonctions u et v vérifient l’égalité :

$$\mathrm{\frac{{\displaystyle \frac{du(t)}{dt}}}{Du(t)}= \frac{{\displaystyle \frac{d^{2}v(x)}{dx^{2}}}}{v(x)}=K} \label{Beq11}$$
où K est une constante réelle.

On pose K = −λ² où λ est réel. Montrer en utilisant les conditions aux limites que λ est nécessairement de la forme :
$$\mathrm{\lambda =n\frac{\pi}{a}} \label{Beq12}$$
où n est entier relatif

Montrer que la solution θ^*(x, t) peut s’écrire:
$$\mathrm{\theta^{*}(x,t)=\sum_{n \geq 0}^{}A_{n}\exp\left(-D\frac{n^{2}\pi^{2}}{a^{2}}t\right)\cos \left(\frac{n\pi x}{a}\right)} \label{Beq13}$$
où les coefficients A_n sont des réels.

Calculer pour n ≥ 0 en exploitant [Beq13] les quantités :

$$\mathrm{\frac{1}{2a}\int_{0}^{2a}\theta^{*}(x,0)\cos \left(\frac{n\pi x}{a}\right)dx} \label{Beq14}$$
En déduire les coefficients A_n et donner l’expression générale de la solution θ(x, t) du problème défini en [B.1.2.].

On considère que $ \mathrm{k={45}{W.m^{-1}.K}} $; $ \mathrm{\rho C_{p}={4.10^{6}}{J.m^{-3}.K^{-1}}} $; $ \mathrm{a={50}{mm}} $ ; $ \mathrm{f={50}{Hz}} $.
Donner une estimation du temps au bout duquel on peut considérer que l’évolution temporelle de θ(x, t) est voisine de θ₀(x, t).

On suppose que t est suffisamment grand pour considérer que θ(x, t)=θ₀(x, t) . Au bout de combien de temps la température à la surface de la barre atteint-elle ? Quelle est alors l’écart de température entre la surface et le centre de la plaque ?

Cas général:

On cherche à résoudre l’équation:
$$\mathrm{\rho C_{p}\frac{\partial \theta}{\partial t}-k\frac{\partial^{2}\theta}{\partial x^{2}}=Q(x)\:\:\:0<x<a} \label{Beq15}$$
lorsque Q(x) est donnée par :

$$\mathrm{Q(x)=\frac{H_{0}^{2}}{\sigma \delta^{2}}\frac{{\displaystyle ch\frac{2x}{\delta}-\cos\frac{2x}{\delta}}}{{\displaystyle ch\frac{2a}{\delta}+\cos\frac{2a}{\delta}}}}$$
Les conditions aux limites sont données par :
$$\mathrm{k\frac{\partial \theta}{\partial x}+h\theta=0 \:\text{en}\:x=a} \label{Beq16}$$
où h est une constante traduisant la convection thermique ;
$$\mathrm{\frac{\partial \theta}{\partial x}=0\:\text{en}\:x=0.} \label{Beq17}$$

Régime permanent:[B.2.1.]

On suppose que $ \mathrm{{\displaystyle \frac{\partial \theta}{\partial t}(x,t)=0}} $. On note θ_∞(x) la solution correspondante.
B.2.1.1): Montrer que la solution du problème est alors donnée par :

$$\mathrm{\theta_{\infty}(x)=\frac{H_{0}^{2}}{k\sigma}\left[\frac{1}{4} \left(1-\frac{{\displaystyle ch\frac{2x}{\delta}+\cos \frac{2x}{\delta}}}{\mathrm{ch \alpha +\cos \alpha}}\right) +\frac{k}{2\delta h}\left(\frac{{\displaystyle sh \alpha - \sin \alpha}}{{\displaystyle ch \alpha}+\cos \alpha}\right)\right]} \label{Beq18}$$
où $ \mathrm{{\displaystyle \alpha=\frac{2a}{\delta}}} $.
B.2.1.2) Quelle est la limite de θ_∞(x) lorsque a tend vers 0. Commenter.
B.2.1.3) Quelle est la limite de θ_∞(x) lorsque a tend vers +∞ . Commenter.

Régime transitoire

B.2.2.1) Afin de résoudre le problème on effectue le changement de fonction inconnue :

θ^*(x, t)=θ(x, t)−θ_∞(x).
Montrer que θ^*(x, t) est solution de l’équation :
$$\mathrm{\frac{\partial \theta^{*}}{\partial t}-D\frac{\partial ^{2}\theta^{*}}{\partial x^{2}}=0\:\:\:0<x<a} \label{Beq20}$$
avec les conditions aux limites :
$$\mathrm{k\frac{\partial \theta^{*}}{\partial x}+h\theta^{*}=0\:\text{en}\:x=a} \label{Beq21}$$

$$\mathrm{\frac{\partial \theta^{*}}{\partial x}=0\:\text{en}\:x=0} \label{Beq22}$$
et la condition initiale :
θ^*(x, 0)= − θ_∞(x)
B.2.2.2) On envisage une résolution du problème défini en B.2.2.1) par variables séparées.
On pose θ^*(x, t)=u(t).v(x). Montrer que les fonctions u et v vérifient l’égalité :

$$\mathrm{\frac{{\displaystyle \frac{du(t)}{dt}}}{Du(t)}= \frac{{\displaystyle \frac{d^{2}v(x)}{dx^{2}}}}{v(x)}=K} \label{Beq24}$$
où K est une constante réelle.
B.2.2.3) On pose K = −λ² où λ est réel. Montrer en utilisant les conditions aux limites que les valeurs λ sont solutions de :

$$\mathrm{\tan \left(\lambda a\right)=\frac{h}{k\lambda}} \label{Beq25}$$
B.2.2.4) On note {λ_n}_n ≥ 0 la suite des solutions positives de [Beq25]. Donner une approximation de λ_n pour λ_n ≫ 1.
B.2.2.5) Montrer que la solution θ^*(x, t) peut s’écrire :

$$\mathrm{\theta^{*}(x,t)=\sum_{n\geq 0}^{}A_{n}\exp\left(-D\lambda_{n}^{2}t\right)\cos \left(\lambda_{n}x\right)} \label{Beq26}$$
où les coefficients A_n sont des réels.
B.2.2.6) Déduire l’ expression générale de θ(x, t).
B.2.2.7) Afin d’obtenir une évaluation de la montée en température de la barre, on limite le développement précédent au premier terme (n = 0).
On considère : $ \mathrm{a={50}{mm}} $; $ \mathrm{k={45}{W.m^{-1}.K^{-1}}} $. En vous aidant éventuellement d’un graphique donner une estimation de λ₀ dans les deux cas $ \mathrm{h={5}{W.m^{-2}.K^{-1}}} $ et $ \mathrm{h={500}{W.m^{-2}.K^{-1}}} $.
B.2.2.8) On considère : $ \mathrm{\rho C_{p}={4.10^{6}}{J.m^{-3}.K^{-1}}} $; $ \mathrm{H_{0}={{10}^{5}}{A.m^{-1}}} $; $ \mathrm{\sigma={5.10^{-6}}{\Omega^{-1}.m}} $; $ \mathrm{a={50}{mm}} $; $ \mathrm{k={45}{W.m^{-1}.K^{-1}}} $.
Quelle est la température atteinte au centre de la barre au bout de 3 minutes lorsque $ \mathrm{{\displaystyle \alpha=\frac{2a}{\delta}}} $ pour $ \mathrm{h={5}{W.m^{-2}.K^{-1}}} $ ? Comparer au résultat obtenu en [B.1.10.].

ANALYSE MÉCANIQUE

Dans cette partie on étudiera comment le barreau se dilate sans contrainte ou reste sans dilatation sous contrainte. L’extrémité de la barre d’abscisse x = 0 sera considérée comme fixe par rapport au repère absolu.

Données du problème:

La barre est de longueur L , de section carrée de côté b, Elle sera, ou non, chauffée à son extrémité gauche (dispositif électromagnétique placé en x < 0). Nous proposerons un modèle qui traduit la déformation de cette barre sous l’effet d’actions mécaniques et thermiques, Ce modèle pourra être statique (pas d’accélération prise en compte) ou dynamique (accélération prise en compte).

On utilisera le repère absolu $ \mathrm{\left(G_{0},\vec{x},\vec{y},\vec{z}\right)} $, où G₀ = G(0) est centre de gravité de la section d’abscisse x = 0 de la barre et les axes G₀x, G₀y, G₀z sont définis sur la figure Cfigl.
Pour étudier cette barre, on utilise le modèle géométrique présenté sur la figure Cfig2.

La barre est représentée par sa ligne moyenne qui relie les centres de gravité G(x) des sections successives de la barre.
On note u(x, t) la projection suivant l’axe G₀x du déplacement du point G(x), on suppose donc que le déplacement est le même pour tous les points d’une section d’abscisse x et qu’il est de la forme : $ \mathrm{\vec{U} = u(x, t) \vec{x} } $.
Le torseur {T_i} en G(x) des efforts intérieurs à la barre est défini comme le torseur des efforts exercés par la partie de la barre définie par les abscisses s > x sur la partie de la barre définie par les abscisses s < x. Ce torseur {T_i} a pour éléments de réduction en G(x) une résultante $ \mathrm{N(x,t)\vec{x}} $ et un moment $ \mathrm{\vec{M}(x, t) = \vec{0}} $ .
On note M = pL la masse totale de la barre où p est la masse linéique (masse par unité de longueur) supposée constante.
On note θ(x, t)=T(x, t)−T_amb l’élévation de température supposée ici connue (différence entre la température à l’instant t et la température ambiante à l’instant t = 0) au point G(x). On note Λ et λ les deux constantes qui caractérisent le comportement de la barre.
On utilisera (sans démonstration) la modélisation suivante :
$$\mathrm{\frac{\partial N(x,t)}{\partial x}-\frac{\partial^{2}u(x,t)}{\partial t^{2}}=0} \label{Ceq1}$$

$$\mathrm{N(x,t)=\Lambda\left(\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}-\lambda \theta(x,t)\right)} \label{Ceq2}$$
La première équation traduit, en projection sur l’axe $ \mathrm{\vec{x}} $, le principe fondamental de la dynamique.
Dans cette équation, $ \mathrm{{\displaystyle \frac{\partial^{2}u(x,t)}{\partial t^{2}} }} $ représente la projection sur $ \mathrm{\vec{x}} $ de l’accélération du point G(x). La deuxième équation traduit la relation en tout point entre le déplacement. u(x, t), l’effort interne N(x, t) et l’élévation de température θ(x, t).
Dans la suite, nous étudierons des problèmes dont les conditions aux limites seront définies comme suit :

Problème de Type I :: u(0, t)=d₀(t) si d₀(t) est la projection sur l’axe $ \mathrm{\vec{x}} $ du déplacement imposé au pointG(O) en x = 0 et N(L, t)=F(t) si F(t) est la projection sur l’axe $ \mathrm{\vec{x}} $ de l’effort imposé au point G(L) en x = L.
Problème de Type II :: u(0, t)=d₀(t) si d₀(t) est la projection sur l’axe $ \mathrm{\vec{x}} $ du déplacement imposé au point G(O) en x = 0 et u(L, t)=d_L(t) si d_L(t) est la projection sur l’axe $ \mathrm{\vec{x}} $ du déplacement imposé au point G(L) en x = L.

Étude de vibrations:

Dans cette partie, on considère que la variation de température est nulle θ(x, t)=0: il n’y “ donc pas d’effet thermique”.

En utilisant les équations [Ceq1] et [Ceq2], écrire l’équation (Ceq3) qui relie $ \mathrm{{\displaystyle \frac{\partial^{2}u(x,t)}{\partial t^{2}} }} $ et $ \mathrm{{\displaystyle \frac{\partial^{2}u(x,t)}{\partial x^{2}} }} $.

Nous allons rechercher une interprétation de cette équation en considérant le système continu comme la limite d’un système discret décrit sur la figure Cfig3.

Nous adoptons la modélisation suivante : la barre est représentée comme un ensemble de N masses m_i•, identiques indicées par i. On notera u_i(t)=u(x_i, t) le déplacement de chacune de ces masses sur l’axe $ \mathrm{\vec{x}} $. Elles sont reliées par N − 1 ressorts identiques de raideur k et de longueur à vide $ \mathrm{{\displaystyle l=\frac{L}{n-1}}} $.
Écrire le principe fondamental de la dynamique pour chacune des masses intérieures m_i avec i de 2 à N − 1 (équation Ceq4).

La distance l étant considérée comme petite, écrire le développement, au deuxième ordre, qui exprime u_i + 1 (avec i de 2 à N − 1) en fonction de u_i et de ses dérivées par rapport à x (équation Ceq5).

La distance l étant considérée comme petite, écrire le développement, au deuxième ordre, qui exprime u_i − 1 (avec i de 2 à N − 1) en fonction de u_i et de ses dérivées par rapport à x (équation Ceq6).

En vous inspirant de la forme de l’équation Ceq3, écrire l’équation Ceq7 à partir des équations Ceq4, Ceq5 et Ceq6. Exprimer les valeurs de m_i et de k en fonction des données initiales du problème.

On envisage de résoudre cette équation Ceq3 en utilisant la même méthode de séparation de variables que dans la partie [B.] Étude Thermique ([B.1.5.]. On pose u(x, t)=X(x).f(t). Montrer que les fonctions X(x) et f(t) vérifient l’égalité :

$$\mathrm{\frac{1}{X(x)}\frac{d^{2}X(x)}{dx^{2}} =\frac{p}{\Lambda}\frac{1}{f(t)}\frac{d^{2}f(t)}{dt^{2}} =K\:\:\:\text{o{\`u}}\:K\:\text{est une constante.}}$$

On admet queK < 0 et on poseK = −μ² où μ est réel. On adopte les conditions aux limites suivantes (problème de Type I) : la barre est fixée au point d’abscisse x = 0, elle est libre de tout effort au point d’abscisse x = L. Donner l’expression de μ.

Déduire de ce qui précède que la solution générale de l’équation (Ceq3) est de la forme :
$$\mathrm{u(x,t)=\sum_{n \geq 0}^{}\sin \left(\mu_{n}x\right).\left[A_{n}\cos\left(\omega_{n}t\right) +B_{n}\sin\left(\omega_{n}t\right)\right]}.$$

Exprimer ω_n en fonction de μ_n.

Donner l’expression finale de u(x, t). A_n et B_n sont alors déterminés, ce qui n’est pas demandé, en considérant les conditions initiales (à t = 0) du mouvement. Cette expression est celle qui traduit les vibrations libres de la barre en traction/compression.

Détermination préliminaire des efforts internes:

On se place dans le cas où il n’y a pas d’élévation de température et où les accélérations sont nulles.

Écrire l’équation Ceq8 vérifiée par N(x, t).

On applique un effort à chaque extrémité de la barre $ \mathrm{\vec{F}(0,t)=-F\vec{x}} $ en x = 0 et $ \mathrm{\vec{F}(L,t)=F\vec{x}} $ en x = L. La barre est-elle en équilibre ? Trouver l’expression de N(x, t) dans la barre en fonction de F.

Étude thermique préliminaire:

On considère dans cette partie que la barre n’est soumise à aucun effort et que les accélérations sont négligeables et donc prises nulles. Quand on chauffe la barre, on constate expérimentalement que celle-ci s’allonge.

Exprimer l’équation Ceq9 qui relie u(x, t) à θ(x, t).

On impose une élévation de température θ(0, t)=A en x = 0 et θ(0, t)=B en x = L et on suppose que le flux de chaleur est nul sur les faces $ \mathrm{{\displaystyle y =\pm\frac{b}{2}}} $ et $ \mathrm{{\displaystyle z =\pm\frac{b}{2}}} $ de la barre. Écrire l’équation de la chaleur pour la barre. Donner, en régime thermique permanent, l’expression de θ(x, t) en tout point de la barre.

Étude thermomécanique:

Dans cette partie, on se place en régime thermique permanent et on considère que les accélérations sont nulles.

En utilisant les équations Ceq1 et Ceq2, poser alors le jeu d’équations Ceq10 du problème thermomécanique avec les conditions aux limites suivantes (problème de Type I) : la barre est fixée au point d’abscisse x = 0, elle est libre de tout effort au point d’ abscisse x = L.

Exprimer N(x, t) et u(x, t) pour le champ de température θ(x, t) trouvé à la question [C.4.2.].

Effectuer l’application numérique (calcul de N(x, t) et u(x, t)) pour une barre de longueur $ \mathrm{L ={ 5}{ m}} $ avec les élévations de température $ \mathrm{A = {1000}{K}} $ et $ \mathrm{B = {0}{K}} $. On prendra le coefficient de dilatation de l’acier, soit $ \mathrm{\lambda={15.10^{-6}}{K^{-1}}} $.

En utilisant les équations [Ceq1] et [Ceq2], poser alors le jeu d’équations Ceq11 du problème thermomécanique avec les conditions aux limites suivantes (problème de Type II la barre est fixée au point d’abscisse x = 0, elle est fixée au point d’abscisse x = L.

Exprimer N(x, t) et u(x, t) pour le champ de température θ(x, t) trouvé à la question [C.4.2.].

Effectuer l’application numérique pour une barre de longueur $ \mathrm{L ={ 5}{m}} $ avec les élévations de température $ \mathrm{A = {1000}{K}} $ et $ \mathrm{B = {0}{K}} $. On prendra coefficient de dilatation de l’acier, soit $ \mathrm{\lambda={15.10^{-6}}{K^{-1}}} $.

Analyser qualitativement la différence entre les solutions des équations Ceq10 (questions [C.5.2.] et [C.5.3.]) et Ceq11 (questions [C.5.5.] et [C.5.6.]).

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