Concours Physique École Polytechnique (PC) 1999 (Corrigé)

ECOLE POLYTECHNIQUE
Physique 2 PC
Première partie
1) a) On compare les courants de déplacement $\varepsilon \frac{{\partial \vec E}}{{\partial t}} = i\omega \varepsilon \vec E$ aux courants de conduction $\sigma \vec E$ : ils sont bien négligeables : $\frac{{\omega \varepsilon }}{\sigma } \approx {5.10^{ - 9}} < < 1$ ; on a donc $\overrightarrow {rot} \vec B = {\mu _0}\vec j = {\mu _0}\sigma \vec E$ (1)
1) b) Avec $\overrightarrow {rot} \vec E = - \frac{{\partial \vec B}}{{\partial t}}$ on obtient, en prenant le rotationnel de (1) :$\vec \Delta \vec B = {\mu _0}{\sigma _i}\frac{{\partial \vec B}}{{\partial t}}$ (2) dans chacun des deux domaines.

2) a) En utilisant la coordonnée orthoradiale de (2), à l’aide du formulaire, on a :
$\Delta {B_\theta }(r,z,t) - \frac{1}{{{r^2}}}{B_\theta }(r,z,t) = {\mu _0}\sigma \frac{{\partial {B_\theta }}}{{\partial t}}$ (3) ; avec ${B_\theta }(r,z,t) = \underline {{B_\theta }} (r)\exp i(\omega t - kz)$, (3) devient :
$\frac{1}{r}\frac{\partial }{{\partial r}}(r\frac{{\partial {{\underline B }_\theta }}}{{\partial r}}) - {k^2}{\underline B _\theta } - \frac{1}{{{r^2}}}{\underline B _\theta } = i{\mu _0}\sigma \omega {\underline B _\theta } \Leftrightarrow$${r^2}\frac{{{\partial ^2}{{\underline B }_\theta }}}{{\partial {r^2}}} + r\frac{{\partial {{\underline B }_\theta }}}{{\partial r}} - (({k^2} + i{\mu _0}\sigma \omega ){r^2} + 1){\underline B _\theta } = 0 \Leftrightarrow$ ${r^2}\frac{{{\partial ^2}{{\underline B }_\theta }}}{{\partial {r^2}}} + r\frac{{\partial {{\underline B }_\theta }}}{{\partial r}} - (k{'^2}{r^2} + 1){\underline B _\theta } = 0$ (4)
2) b) Mais ${k^2} = {\left( {\frac{{2\pi }}{\lambda }} \right)^2} \approx {4.10^7} > > {\mu _0}\sigma \omega \approx {2.10^{ - 3}}{\rm{ (SI) }} \Rightarrow k{'^2} \approx {k^2}$.
2) c) Cela revient à poser σ = 0 dans l’équation de Maxwell-Ampère, donc à négliger la conduction dans l’axoplasme.

Concours Physique École Polytechnique (PC) 1999 (Énoncé)

ÉCOLE POLYTECHNIQUE
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES
CONCOURS D’ADMISSION 1999 FILIÈRE PC
DEUXIÈME COMPOSITION DE PHYSIQUE
(Durée : 4 heures)
L’utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.
** *
Le thème de ce problème est l’étude de la propagation de l’influx nerveux des invertébrés le long des axones, fibres qui permettent de relier électriquement des parties éloignées de l’organisme. La propagation de l’influx nerveux (ou potentiel d’action) le long d’un axone est conditionnée par la nature de celui-ci. Schématiquement, il s’agit d’un filament cylindrique (appelé axoplasme) entouré d’une membrane très fine constituée d’une double couche lipidique qui le sépare du mi- lieu extérieur. Dans la première partie du problème nous étudierons la propagation d’un signal électromagnétique dans l’axoplasme. La deuxième partie est consacrée à l’étude des propriétés et du rôle de la membrane. Enfin, dans la troisième partie, le signal lui-même est l’objet d’intérêt.

Données numériques

$e = 1,6 \times {10^{ - 19}}C$ Charge élémentaire
${k_B} = 1,38 \times {10^{ - 23}}J{K^{ - 1}}$ Constante de Boltzmann
${\mu _0} = 4\pi \times {10^{ - 7}}H{m^{ - 1}}$ Perméabilité magnétique du vide
$c = 3,00 \times {10^8}m{s^{ - 1}}$ Célérité des ondes électromagnétiques dans le vide
$a = 5\mu m$ Rayon de l’axone
$\delta = 7$ nm Epaisseur de la membrane
${\sigma _a} = 2S{m^{ - 1}}$ Conductivité de l’axone
${g_m} = 9S{m^{ - 2}}$ Conductivité surfacique de la membrane
${ \varepsilon _m} = 8 \varepsilon 0$ Permittivité diélectrique de la membrane
${V_{Fj}} = - 70mV$ Différence de potentiel transmembrane au repos

Formulaire

1‐Pour tout champ vectoriel $\vec A$:
$r\vec{o}tr\vec{o}t\vec{A}=gr\vec{a}d\left( div\vec{A} \right)-\vec{\vartriangle }\vec{A}$
2 ‐ Pour tout champ vectoriel $\vec A$, en coordonnées cylindriques $\left( r,~\theta ,~z \right)$ :
$r\vec ot\vec A = \left[ {\frac{1}{r}\frac{{\partial {A_z}}}{{\partial \theta }} - \frac{{\partial {A_\theta }}}{{\partial z}}} \right]\vec e + \left[ {\frac{{\partial {A_r}}}{{\partial z}} - \frac{{\partial {A_z}}}{{\partial r}}} \right]\vec e + \frac{1}{r}\left[ {\frac{\partial }{{\partial r}}\left( {r{A_\theta }} \right) - \frac{{\partial {A_r}}}{{\partial \theta }}} \right]\vec e$
$\vec{\vartriangle }\vec{A}=\left[ \vartriangle {{A}_{r}}-\frac{1}{{{r}^{2}}}\left( {{A}_{r}}+2\frac{\partial {{A}_{\theta }}}{\partial \theta } \right) \right]e_{r}^{\to }+\left[ \vartriangle {{A}_{\theta }}-\frac{1}{{{r}^{2}}}\left( {{A}_{\theta }}-2\frac{\partial {{A}_{r}}}{\partial \theta } \right) \right]e_{\theta }^{\to }+\vartriangle {{A}_{z}}e_{z}^{\to }$

Concours Physique École Polytechnique (MP) 1998 (Corrigé)

Corrigé X MP 98
Première composition de physique
Partie I
1.
a.

• courbe :
  
  

• r_o : distance entre C et O à l'équilibre.
• V_o : énergie de liaison de la molécule de CO.
• β s'exprime en m^-1.

b. Dans le domaine tel que |β(r-r_o)|<<1, l'énergie potentielle s'écrit : V( r ) ≈ V_oβ²(r-r_o)², et k = 2V_oβ²_.

2. a. $\begin{array}{l}{m_1}{{\ddot x}_1} = k({x_2} - {x_1})\\{m_2}{{\ddot x}_2} = - k({x_2} - {x_1})\end{array}$

b.

• On combine les deux équations précédentes : $\mu \ddot s = - ks$.
  
• La solution s'écrit : $s = {s_o}\cos ({\omega _o}t + \phi )$.
  
• ${\omega _o} = \sqrt {\frac{k}{\mu }} \quad et\quad {\nu _o} = \frac{1}{{2\pi }}\sqrt {\frac{k}{\mu }}$.
  

c.

• ${m_1}{x_1} + {m_2}{x_2} = 0$.
  
• Le rapport des deux élongations vaut : $\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} = - \frac{{{m_2}}}{{{m_1}}}$.
  
• Le centre de masse reste immobile, la distance entre les deux atomes varie au cours du temps et les deux atomes vibrent en opposition de phase.
  

d.

• k = 1856 N.m^-1.
  
• β = 2,29.10¹⁰ m^-1.
  

e.

• ν' = 6,282.10¹³ Hz.
  
• ν_o - ν' = 14,3.10¹¹ Hz; on peut donc séparer les fréquences de vibration.
  

3.
a.
La taille de la molécule est de l'ordre de 10^-10 m, la longueur d'onde d'un rayonnement infrarouge de l'ordre de 10^-6 m. On peut donc supposer que le champ est uniforme à l'échelle de la molécule de CO.


b.
$\begin{array}{l}{m_1}{{\ddot x}_1} = k({x_2} - {x_1}) + \delta E\\{m_2}{{\ddot x}_2} = - k({x_2} - {x_1}) - \delta E\end{array}$ avec $\vec E = E{\vec u_x}$
c.

• s vérifie : $\mu \ddot s = - ks - \delta E$.
  
• $a = - \frac{{\delta {E_o}}}{{\mu (\omega _o^2 - {\omega ^2})}}$.
  

d.
$\vec p = \frac{{{\delta ^2}}}{{\mu (\omega _o^2 - {\omega ^2})}}{\vec E_o}$

e.

• ${\alpha _v}(\omega ) = \frac{{{\delta ^2}}}{{\mu {\varepsilon _o}(\omega _o^2 - {\omega ^2})}}$.
  
• Pour ω = ω_o l'effet du champ est maximal.
  
• La polarisabilité semble diverger en ω = ω_o. Il faudrait affiner le modèle et prendre en compte des termes dissipatifs par rayonnement par exemple.
  

__________________________________________________________________________________________
Partie II
1.
a.

• Au voisinage d'un métal parfait, le champ électrique est normal à la surface. Ici le champ est colinéaire à ${\vec u_x}$.
  
• Il faut que le champ électrique soit polarisé rectilignement suivant Ox et en incidence rasante pour que l'excitation des molécules soit efficace.
  

b. On peut supposer l'atome de platine immobile car sa masse est beaucoup plus grande que celles des l'atomes de C et O.
c.

• $\begin{array}{l}{m_1}{{\ddot x}_1} = k({x_2} - {x_1}) - k'{x_1}\\{m_2}{{\ddot x}_2} = - k({x_2} - {x_1})\end{array}$
  
• On obtient le système : $\begin{array}{l}( - {\omega ^2} + \frac{{k' + k}}{{{m_1}}}){a_1} - \frac{k}{{{m_1}}}{a_2} = 0\\ - \frac{k}{{{m_2}}}{a_1} + ( - {\omega ^2} + \frac{k}{{{m_2}}}){a_2} = 0\end{array}$; le rapport $\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}}$est bien réel.
  
• Les deux atomes vibrent en phase ou en opposition de phase.
  

d.

• L'équation vérifiée par ω s'écrit : ${\omega ^4} - \left( {\frac{k}{\mu } + \frac{{k'}}{{{m_1}}}} \right){\omega ^2} + \frac{{kk'}}{{{m_1}{m_2}}} = 0$.
  
• $\omega _ + ^2 = \left( {\frac{k}{{2\mu }} + \frac{{k'}}{{2{m_1}}}} \right) + \frac{1}{2}\sqrt {{{\left( {\frac{k}{\mu } + \frac{{k'}}{{{m_1}}}} \right)}^2} - 4\frac{{kk'}}{{{m_1}{m_2}}}}$et
  

$\omega _ - ^2 = \left( {\frac{k}{{2\mu }} + \frac{{k'}}{{2{m_1}}}} \right) - \frac{1}{2}\sqrt {{{\left( {\frac{k}{\mu } + \frac{{k'}}{{{m_1}}}} \right)}^2} - 4\frac{{kk'}}{{{m_1}{m_2}}}}$.

2.

1. On effectue un développement limité et on établit les deux relations :

${\omega _ + } = {\omega _o}\left( {1 + \frac{1}{2}\frac{{k'}}{k}{{\left( {\frac{\mu }{{{m_1}}}} \right)}^2}} \right)\quad et\quad {\omega _ - } = \sqrt {\frac{{k'}}{{{m_1} + {m_2}}}}$.
b.

• Dans le cas où ω = ω₊, on a pratiquement les oscillations libres : $\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} \approx - \frac{{{m_2}}}{{{m_1}}}$, les deux atomes oscillent en opposition de phase.
  
• Dans le cas où ω = ω_-, on trouve $\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} \approx 1$, la molécule de CO vibre " en bloc ", la pulsation des oscillations vaut bien ω_-.
  

c.

• $\begin{array}{l}{\nu _ + } = {6,64.10^{13}}\;Hz\\{\nu _ - } = {1,38.10^{13}}\;Hz\end{array}$.
  
• $\frac{{{\nu _ + } - {\nu _o}}}{{{\nu _o}}} \approx 0,033$.
  
• Par l'expérience on trouve : ${\left( {\frac{{{\nu _ + } - {\nu _o}}}{{{\nu _o}}}} \right)_{\expérimental}} \approx - 0,036$; on constate que le sens de variation n'est pas le bon.
  

Partie III
1.
a.
On remarque que dans le domaine x>0, les conditions aux limites sont les mêmes, on invoque alors le théorème d'unicité ( qui n'est plus au programme de MP… ).

b.

• ${\vec p_{im}} = \vec p$.
  

2.
a.
On peut évaluer le retard par la grandeur $\frac{{2d}}{c}$ qui vaut environ 10^-18 s pour d = 10^-10 m ce qui est négligeable devant la période des signaux électromagnétique utilisés.
b.
Il suffit de représenter le dipôle par un doublet de charges -q, +q. Les forces électrostatiques agissent dans le sens inverse de l'action du ressort de rappel, la fréquence de vibration d'élongation va donc diminuer ce qui est conforme avec le résultat expérimental.
c.
${\vec E_{im}}{e^{i\omega t}} = \frac{{\vec p}}{{16\pi {\varepsilon _o}{d^3}}}{e^{i\omega t}}$.
d.

• ${\vec E_{tot}}{e^{i\omega t}} = ({E_o}{\vec u_x} + \frac{{\vec p}}{{16\pi {\varepsilon _o}{d^3}}}){e^{i\omega t}}$.
  
• $\vec p = \frac{{\alpha (\omega ){\varepsilon _o}}}{{1 - \frac{{\alpha (\omega )}}{{16\pi {d^3}}}}}{E_o}{\vec u_x}$.
  

e.

• ${\alpha _{eff}}(\omega ) = \frac{{\alpha (\omega )}}{{1 - \frac{{\alpha (\omega )}}{{16\pi {d^3}}}}}$.
  
• ${\alpha _{eff}}(\omega )$relie $\vec p$au champ extérieur ${\vec E_o}$imposé par l'expérimentateur. Ce champ est différent du champ ressenti par la molécule.
  

f.

• A la résonance : ${\omega _1} = {\omega _o}\sqrt {1 - \frac{{{\alpha _v}(0)}}{{16\pi {d^3} - {\alpha _e}}}}$.
  
• ${\omega _1} < {\omega _o}$, ce résultat est donc compatible avec 2.b.
  

g.

• ${\nu _1} = {6,302.10^{13}}Hz$.
  
• $\frac{{{\nu _1} - {\nu _o}}}{{{\nu _o}}} \approx - 0,019$, cet écart est dans le bon sens mais est encore trop faible en valeur absolue.
  
• Le résultat dépend fortement de d car d intervient par son cube.
  
• $d' = {0,94.10^{ - 10}}m$.
  

Partie IV
1.

1. Pour justifier ce résultat, on peut noter que ${E_o}{\vec u_x}$est colinéaire à ${\vec u_x}$et pour les autres contributions, on peut modéliser les dipôles par des doublets et remarquer que les plans xOy et xOz sont des plans de symétrie pour la distribution des charges.
2. $\vec E'{'_{tot}}.{\vec u_x} = {E_o} + \frac{p}{{16\pi {\varepsilon _o}{d^3}}} - \frac{p}{{4\pi {\varepsilon _o}{l^3}}} + \frac{p}{{4\pi {\varepsilon _o}}}\frac{{\left( {8{d^2} - {l^2}} \right)}}{{{{\left( {{l^2} + 4{d^2}} \right)}^{\frac{5}{2}}}}}$.
3. On note que ${l^2} = {a^2}\left( {{j^2} + {k^2}} \right)$; ainsi :

$\vec E{'_{tot}} = \left( {{E_o} + \frac{p}{{4\pi {\varepsilon _o}{d^3}}}\left( {\frac{1}{4} + \frac{{{d^3}}}{{{a^3}}}\left( { - {S_o} + 2{S_1}(\frac{{2d}}{a}) - {S_2}(\frac{{2d}}{a})} \right)} \right)} \right){\vec u_x}$.
d.
$\alpha {'_{eff}}(\omega ) = \frac{1}{{\frac{1}{{\alpha (\omega )}} - \frac{1}{{4\pi {d^3}}}\left( {\frac{1}{4} + \frac{{{d^3}}}{{{a^3}}}\left( { - {S_o} + 2{S_1}(\frac{{2d}}{a}) - {S_2}(\frac{{2d}}{a})} \right)} \right)}}$
e.

• $\sigma = \frac{1}{{{a^2}}}$.
  
• Si a tend vers +∞ on retrouve bien $\alpha {'_{eff}}(\omega ) \to \frac{1}{{\frac{1}{{\alpha (\omega )}} - \frac{1}{{16\pi {d^3}}}}} = {\alpha _{eff}}(\omega )$.
  

2.
a.

• $\alpha {'_{eff}}(\omega ) \approx \frac{1}{{\frac{1}{{\alpha (\omega )}} - \frac{1}{{4\pi {d^3}}}\left( {\frac{1}{4} - 2{S_o}\frac{{{d^3}}}{{{a^3}}}} \right)}}$.
  
• a>>d ; la quantité de molécules adsorbées est faible, elles sont éloignées les unes des autres.
  

b.
${\omega _2} = {\omega _o}\sqrt {1 - \frac{{{\alpha _v}(0)}}{{ - {\alpha _e} + \frac{{16\pi {d^3}}}{{1 - 8{S_o}\frac{{{d^3}}}{{{a^3}}}}}}}}$.

c.

• Si σ → 0, ω₂ → ω₁. On retrouve le cas de la molécule unique.
  
• Si σ augmente, ω₂ augmente et donc cela n'améliore pas davantage la prédiction. La détermination de d est toujours critique pour la prédiction quantitative.
  

Concours Physique École Polytechnique (MP) 1998 (Corrigé)

Détection des planètes extra‑solaires
Première partie : caractéristiques orbitales
1.a. O est le centre de masse du système (P, E)

L’hypothèse de la répartition de matière avec la symétrie sphérique, le théorème de Gauss appliqué aux champs gravitationnels de l’étoile et de la planète, et le théorème de l’action et la réaction conduisent à l’expression demandée de la force d’interaction gravitationnelle entre la planète P et son étoile E :
${{\bf{f}}_{E \to P}} = - \frac{{G\,{M_ * }\,{m_p}\,}}{{{r^2}}}{{\bf{e}}_r} = - \,{\bf{grad}}U(r)$ avec $U(r) = - \,\frac{{G\,{M_ * }\,{m_p}}}{r}$ ,
si on choisit d’annuler l’énergie potentielle lorsque la distance PE tend vers l’infini.

1.b. Soit L_O le moment cinétique en O, de P, dans le repère barycentrique R* du système (P, E). Si L_P est le moment cinétique propre de la planète, le champ des moments cinétiques permet d’écrire :
L_O = L_P + OP ∧ m_p v(P/R*) # OP ∧ m_p v(P/R*)
en négligeant le moment cinétique propre (ce qui revient à traiter la planète comme un point matériel, en oubliant sa rotation propre).
Le théorème du moment cinétique appliqué à P, en O, dans le repère barycentrique du système, implique $\frac{{d\,{{\bf{L}}_O}}}{{dt}} = {\bf{OP}} \wedge {{\bf{f}}_{E \to P}} = {\bf{0}}\,$, car ${{\bf{f}}_{E \to P}}$ est colinéaire à OP
On en déduit que L_O se conserve ; d’où : OP ∧ m_p v(P/R*) = L_O = cte.
Le vecteur position, dans R*, du centre P de la planète, OP, est toujours orthogonal à un vecteur constant et fixe dans R* :
le point P balaye donc un plan fixe de R*
2.a. On néglige m_p devant M_∗ ; O coïncide avec le centre E de l’étoile. Le mouvement de P est circulaire de rayon a et de période T.
L_O = OP ∧ m_p v(P/R*) = a e_r ∧ m_p v (P/R*) e_θ = m_P a v e_z = cte. D’où : $v = \frac{{{{\bf{L}}_O} \cdot {{\bf{e}}_z}}}{{a\,{m_p}}}$ = cte. Le mouvement circulaire est uniforme ; l’accélération de P peut s’écrire γ (P/R*) = −v²/a e_r.
Le théorème du mouvement du centre d’inertie appliqué à P dans R* s’écrit :
m_P γ (P/R*) = f _E→P soit $- \frac{{{m_p}{v^2}}}{a}\,{{\bf{\rlap{--} e}}_r} = - \frac{{G\,{m_p}{M_ * }}}{{{a^2}}}\,{{\bf{e}}_r}$⇒ ${v^2} = - \frac{{G\,{M_ * }}}{a}$ ; or $v = \frac{{2\pi a}}{T}$, d’où :
$\frac{{4{\pi ^2}\,{a^3}}}{{{T^2}}} = G\,{M_ * }$ et C $= \frac{{{T^2}}}{{{a^3}}} = \frac{{4{\pi ^2}}}{{G{M_ * }}}$
C est une constante caractéristique de chaque étoile
On retrouve la troisième loi de Képler.
2.b. Si les durées sont mesurées en années (terrestres), les distances en unités astronomiques, et les masses (d’étoiles) en masses solaires, alors C = 1 dans le cas du soleil et :
C = M_S / M_∗ , pour une étoile quelconque de masse M_∗
L’étoile 51 Peg est analogue au soleil, donc C ≈ 1 pour cette étoile. Sa planète balaye son orbite en : T = 4 jours ; d’où le rayon a’ de son orbite circulaire :
$a' = {\left( {\frac{{{T^2}}}{C}} \right)^{1/3}} \approx {(4/365,25)^{2/3}}$UA = 0,0493151 UA ≈ 7,4 10⁶ km

3.a. On néglige encore la masse de la planète devant celle de l’étoile ; l’orbite de P n’est plus circulaire mais elliptique.
L’excentricité de l’orbite est e = c / a

En M la planète est à la distance maximale r_M de l’étoile avec r_M = a + c = a (1 + e) ; en N la distance, minimale, est r_m = a - c = a (1 - e).
Le système (P + E) est isolé ; son énergie mécanique se conserve. D’où :
$\frac{{{m_p}{v^2}}}{2} - \frac{{G\,{m_p}{M_ * }}}{r} = {E_{mécanique}} = \,cte.$
L’étoile étant supposée fixe, son énergie cinétique n’apparaît pas.
La conservation de l’énergie mécanique implique que la vitesse de la planète est v_M , maximale, lorsque la distance est minimale : EN ; inversement si la vitesse est v_m , minimale, alors la distance est maximale, EM. Soit :
les vitesses sont extrémales lorsque la planète se trouve à l’une des 2 extrémités
du grand axe de son orbite elliptique ; r_m = a (1 - e) et r_M = a (1 + e).
3.b. Par ailleurs la conservation du moment cinétique orbital de la planète, L_O = m_p r v_θ e_z , implique que les produits (v_M r_m) et (v_m r_M ) sont égaux à $\frac{{{{\bf{L}}_O} \cdot {{\bf{e}}_z}}}{{\,{m_p}}}$ = r v_θ (car v ≡ v_θ lorsque r est extrémal). D’où :
$\frac{{{v_m}}}{{{v_M}}} = \frac{{{r_m}}}{{{r_M}}} = \frac{{1 - e}}{{1 + e}}$
3.c. Le système (P + E) est isolé, d’où : $\frac{{{m_p}{v^2}}}{2} - \frac{{G\,{m_p}{M_ * }}}{r} = {E_{m\'e canique}} = \,cte.$ En se plaçant aux
extrémités du grand axe de l’orbite, il vient : $v_M^2 - \,\,\frac{{2\,G\,{M_ * }}}{{{r_m}}}\,\; = \;\,v_m^2 - \,\frac{{2\,G\,{M_ * }}}{{{r_M}}}$.
Soit, avec r_m = a (1 - e) et r_M = a (1 + e) , le résultat demandé :
$v_M^2 - \,\,\,v_m^2 = \frac{{2\,G\,{M_ * }}}{a}\left( {\frac{1}{{1 - e}}\; - \,\frac{1}{{1 + e}}} \right) = \frac{{4e\,G\,{M_ * }}}{{a\,(1 - {e^2})}}$
Enfin en remplaçant v_m par v_M$\frac{{1 - e}}{{1 + e}}$, il vient $v_M^2\left[ {1 - {{\left( {\frac{{1 - e}}{{1 + e}}\,} \right)}^2}} \right] = v_M^2\,\frac{{4e}}{{{{(1 + e)}^2}}} = \frac{{4e\,G\,{M_ * }}}{{a\,(1 - {e^2})}}$.
D’où l’expression de v_M en fonction de a, e, M_* , G :
${v_M} = {\left[ {\frac{{G\,{M_ * }}}{a}\,\left( {\frac{{1 + e}}{{1 - e}}} \right)} \right]^{1/2}}$
3.d. Si l’orbite était circulaire, e = 0, v = cte = v₀ = ${\left[ {\frac{{G\,{M_ * }}}{a}} \right]^{1/2}}.$
D’où l’expression du rapport v_M / v₀ = $\sqrt {\frac{{1 + e}}{{1 - e}}}$
A.N. : e = 0,67 , on obtient : v_M / v₀ = $\sqrt {\frac{{1 + 0,67}}{{1 - 0,67}}}$ = 2,25
4.a. On ne néglige plus m_p , mais le rapport (m_p / M_* ) reste très petit .

On définit le barycentre O du système (P,E) par la relation :
m_p OP + M_* OE = 0
En dérivant par rapport au temps cette relation, dans R*, repère barycentrique du système, on obtient la relation entre les vitesses V_* de l’étoile et v de la planète :
m_p v + M_* V_* = 0
4.b. On suppose ici que les orbites sont circulaires dans R*, centrées en O fixe ; elles sont homothétiques dans une homothétie de centre O et de rapport égal à : − m_p / M_* .
L’orbite de l’étoile a un rayon $OE = \frac{{{m_p}}}{{{M_*} + {m_p}}}\,PE$ ; la période de ce mouvement est $T = \frac{{2\pi \,OE}}{{{V_*}}}$. Le théorème du mouvement du centre d’inertie appliqué à l’étoile, projeté sur l’axe radial, s’écrit :
${M_*}\frac{{V_*^2}}{{OE}} = \,\frac{{G{M_{*\,}}{m_p}}}{{P{E^2}}}$. D’où : $V_*^2 = \frac{{G\,{m_p}\,OE}}{{P{E^2}}} = \,\frac{{G\,m_p^3}}{{{{({M_*} + {m_p})}^2}\,OE}} = \,\frac{{2\pi \,G\,m_p^3}}{{{{({M_*} + {m_p})}^2}\,{V_{*\,}}T}}$.
$\frac{{OE}}{{{m_p}}} = \frac{{OP}}{{{M_*}}} = \frac{{PE}}{{{M_*} + {m_p}}}$

Soit en se limitant au terme d’ordre minimal en m_p / M_* :
$V_*^3 = \,\frac{{2\pi \,G}}{T} \times \frac{{m_p^3}}{{M_*^2}}$ (la relation est homogène)

4.c. T = 4 jours ; V_* = 10 m.s^-1 ; M_* ≈ M_S = 2,0×10³⁰ kg ; G = 6,67×10^-11 kg^-1.m³.s^-2.
D’où :
${m_p} = \,{V_*}\,{\left( {\frac{{T\,M_*^2}}{{2\pi \,G}}} \right)^{1/3}}$= $10 \times {\left( {\frac{{4 \times 24 \times 3600 \times {{(2 \times {{10}^{30}})}^2}}}{{2\pi \times 6,67 \times {{10}^{ - 11}}}}} \right)^{1/3}} = \;\,1,49 \times {10^{26}}$ kg
c’est (149 / 6) ≈ 25 fois la masse de la Terre ≈ la masse de Jupiter divisée par 13.
Il ne s’agit pas d’une planète tellurique (ce serait une planète « intermédiaire » entre nos deux types de planètes).
4.d. Maintenant on considère les orbites elliptiques d’excentricité e = 0,67 ; la vitesse maximale de l’étoile est V_M =10 m.s^-1.
On a montré à la fin du § 3.c) que si m_p << M_* , le module maximal de la vitesse de la planète en orbite elliptique était ${v_M} = {\left[ {\frac{{G\,{M_ * }}}{a}\,\left( {\frac{{1 + e}}{{1 - e}}} \right)} \right]^{1/2}}$ ; le module maximal de la vitesse de l’étoile s’en déduit par l’homothétie de centre O et de rapport m_p / M_* , soit : ${V_M} = \frac{{{m_p}}}{{{M_*}}}{\left[ {\frac{{G\,{M_ * }}}{a}\,\left( {\frac{{1 + e}}{{1 - e}}} \right)} \right]^{1/2}}$.
Si on suppose qu’on a toujours la relation du § 2.a), C$= \frac{{{T^2}}}{{{a^3}}} = \frac{{4{\pi ^2}}}{{G{M_ * }}}$ (avec a demi-grand axe de l’orbite elliptique de la planète relativement à l’étoile), on obtient :$\frac{1}{a} = {\left( {\frac{{4\,{\pi ^2}}}{{G\,{M_*}{T^2}}}} \right)^{1/3}}$, soit $\frac{{G{M_*}}}{a} = {\left( {\frac{{2\,\pi \,G\,{M_*}}}{T}} \right)^{2/3}}$. D’où ${V_M} = \frac{{{m_p}}}{{{M_*}}}{\left( {\frac{{2\,\pi \,G\,{M_*}}}{T}} \right)^{1/3}}{\left( {\frac{{1 + e}}{{1 - e}}} \right)^{1/2}}$et :
${m_p} = {V_M}\,{\left( {\frac{{T\,M_*^2}}{{2\,\pi \,G}}} \right)^{1/3}}{\left( {\frac{{1 - e}}{{1 + e}}} \right)^{1/2}}$
On retrouve évidemment la formule du paragraphe précédent si e = 0 (orbite circulaire et V_M ≡ V_* ).
A.N. : e = 0,67 ; V_M = 10 m.s^-1 ; on a toujours T = 4 jours et M_* ≈ M_S = 2,0.10³⁰ kg.
D’où :
${m_p} = 10\,{\left( {\frac{{4 \times 24 \times 3600 \times {{(2 \times {{10}^{30}})}^2}}}{{2\,\pi \times 6,67 \times {{10}^{ - 11}}}}} \right)^{1/3}} \times {\left( {\frac{{1 - 0,67}}{{1 + 0,67}}} \right)^{1/2}} = \,1,49 \times {10^{26}} \times \,{\left( {\frac{{1 - 0,67}}{{1 + 0,67}}} \right)^{1/2}} = 6,62\,.\,{10^{25}}\;$kg.
C’est environ 11 fois la masse de la Terre.
Deuxième partie : visibilité de la planète
1.a. En posant $u = \frac{{hc}}{{\lambda {k_B}{T_*}}}$ on se ramène à la recherche du maximum de la fonction $u \mapsto \frac{{{u^5}}}{{{e^u} - 1}}$. Le plus simple est d’annuler la dérivée logarithmique, ce qui donne :
$\frac{5}{u} - \frac{{{e^u}}}{{{e^u} - 1}} = 0\quad \quad {\rm{ou encore}}\quad \quad {e^{ - u}} = 1 - \frac{u}{5}$
La résolution numérique (non exigée) fournit ${u_*} = 4,965$. On a bien le résultat demandé, avec $\eta = \frac{1}{{{u_*}}}$.
1.b. On calcule d’abord le flux surfacique hémisphérique :
$\phi = \int\limits_0^\infty {\left( {\frac{{d\phi }}{{d\lambda }}} \right)d\lambda } = 2\pi h{c^2}{\left( {\frac{{{k_B}{T_*}}}{{hc}}} \right)^4}\left[ {\int\limits_0^\infty {\frac{{{u^3}du}}{{{e^u} - 1}}} } \right] = \sigma T_*^4\quad \quad {\rm{(loi de Stefan)}}$
Il suffit de multiplier par l’aire de la surface de l’étoile pour obtenir la puissance totale rayonnée :
$\Phi = \sigma 4\pi R_*^2T_*^4$
2.a. La planète est vue du centre de l’étoile sous l’angle solide $\Omega = \pi {\left( {\frac{{{R_P}}}{a}} \right)^2}$. Le rayonnement émis par l’étoile étant isotrope, la planète reçoit une fraction $\frac{\Omega }{{4\pi }}$ de ce rayonnement :
${\Phi _P} = \frac{\Phi }{4}{\left( {\frac{{{R_P}}}{a}} \right)^2}$

2.b. On a évidemment :
${\Phi _r} = A{\Phi _P}\quad \quad {\rm{et}}\quad \quad {\Phi _a} = \left( {1 - A} \right){\Phi _P}$
2.c. Le spectre du rayonnement réfléchi par la planète est identique, à un coefficient multiplicatif près, au spectre du rayonnement incident. Le maximum est obtenu à la même température :
${T_r} = {T_*}$
2.d. L’équilibre radiatif de la planète s’obtient en écrivant que la puissance totale absorbée est réémise selon la loi de Stefan :
$\left( {1 - A} \right)\frac{{\sigma 4\pi R_*^2T_*^4}}{4}{\left( {\frac{{{R_P}}}{a}} \right)^2} = 4\pi R_P^2\sigma T_P^4$
${\rm{d'où }}\quad \quad {T_P} = {\left( {1 - A} \right)^{1/4}}{\left( {\frac{{{R_*}}}{{2a}}} \right)^{1/2}}{T_*}$
2.e. L’application numérique donne : ${T_P} = 1050K$ et ${\lambda _P} = 2,75\mu m$, le maximum d’émission se situe donc dans le domaine des infrarouges.
2.f. Pour un observateur lointain, le rapport des puissances émises par la planète et par l’étoile dans un petit intervalle spectral vaut :
$\frac{{\exp \left( {\frac{{hc}}{{\lambda {k_B}{T_*}}}} \right) - 1}}{{\exp \left( {\frac{{hc}}{{\lambda {k_B}{T_P}}}} \right) - 1}}{\left( {\frac{{{R_P}}}{{{R_*}}}} \right)^2} = f\left( \lambda \right){\left( {\frac{{{R_P}}}{{{R_*}}}} \right)^2}$
On obtient numériquement :
$\begin{array}{ccccc}f\left( {1\mu m} \right) & = 0,000012\\f\left( {5\mu m} \right) & = 0,044\\f\left( {10\mu m} \right) & = 0,096\end{array}$
Au-delà de 10µm, f(λ) continue de croître jusqu’à 0,18 , mais les puissances émises deviennent très faibles. Dans la pratique, on conseillerait d’opérer entre 3 et 10µm, mais la petitesse du rapport ${\left( {\frac{{{R_P}}}{{{R_*}}}} \right)^2}$rend la détection du spectre d’émission de la planète quasiment impossible.
3.a. L’ordre de grandeur de la taille angulaire due à la diffraction est :
${\alpha _d} = \frac{\lambda }{D}$
3.b. Pour un observateur situé à une distance d, la séparation angulaire maximale du système planète-étoile vaut :
${\alpha _{EP}} = \frac{a}{d}$
3.c. On obtient numériquement :
${{\alpha }_{EP}} =0,0039''\text{ d }\!\!'\!\!\text{ arc}$
${{\alpha }_{d}} =0,021''\text{ d }\!\!'\!\!\text{ arc pour }{{\lambda }_{*}}=0,50\mu m$
${{\alpha }_{d}} =0,11''\text{ d }\!\!'\!\!\text{ arc pour }{{\lambda }_{P}}=2,75\mu m$
Même en utilisant un télescope de 5m de diamètre dont la seule limitation serait la diffraction, on ne pourrait pas séparer « géométriquement » l’étoile et sa planète.
Troisième partie : vélocimétrie Doppler
1.a. L’observateur est à l’origine O de l’axe Ox et la source s’en éloigne à la vitesse v vers les x > 0.
À la date t₀, la source est à l’abscisse x₀ et émet un signal qui parvient en O à la date :
${t_0} + \frac{{{x_0}}}{c}$
À la date t₀ + t_S , la source est à l’abscisse x₀ + vt_S et émet un signal qui parvient en O à la date :
${t_0} + {t_S} + \frac{{{x_0} + v{t_S}}}{c}$
La période apparente est la différence de ces deux dates, soit :
${t_a} = {t_S}\left( {1 + \frac{v}{c}} \right)$
On en déduit pour les fréquences, au second ordre près en v/c :
${\nu _a} = \frac{{{\nu _S}}}{{\left( {1 + \frac{v}{c}} \right)}} \cong {\nu _S}\left( {1 - \frac{v}{c}} \right)$
1.b. Une raie spectrale « connue », par exemple une raie de l’hydrogène, émise par une source s’éloignant de l’observateur, lui apparaîtra légèrement décalée vers les basses fréquences (le rouge, s’il s’agit du spectre visible). Inversement, la raie apparaîtra décalée vers les hautes fréquences si la source se rapproche de l’observateur.
Seule importe en fait la projection V_// de la vitesse sur l’axe de visée : la projection orthogonale ferait intervenir des termes du deuxième ordre en v/c, qu’il serait de toute façon absurde de prendre en compte dans ce raisonnement non relativiste.

1.c. Reprenons maintenant les notations de la première partie, question 4. O est le barycentre du système étoile-planète, et l’étoile décrit un cercle dans le plan xOy à la vitesse V_*, l’axe Ox étant la projection de l’axe de visée sur le plan de l’orbite. Le vecteur vitesse de l’étoile est de la forme :
$\vec V = {V_*}\cos \left( {\frac{{2\pi t}}{T}} \right){\vec e_x} + {V_*}\sin \left( {\frac{{2\pi t}}{T}} \right){\vec e_y}$
On obtient V_// en le projetant sur l’axe de visée, repéré par le vecteur unitaire : $\vec u = {\vec e_x}\sin i + {\vec e_z}\cos i$
${V_{//}} = {V_*}\cos \left( {\frac{{2\pi t}}{T}} \right)\sin i$
1.d. La valeur maximale est $V_{//}^0 = {V_*}\sin i$. On utilise le résultat établi dans la première partie :
${V_*} = {m_P}{\left( {\frac{{2\pi G}}{{TM_*^2}}} \right)^{1/3}}$
Ce qui donne bien :
${m_P}\sin i = V_{//}^0{\left( {\frac{{M_*^2T}}{{2\pi G}}} \right)^{1/3}}$
2.a. On peut calculer la largeur Doppler en différentiant la relation du 1.a), comme pour faire un calcul d’incertitude :
$d\nu = - {\nu _0}\frac{{d{v_{//}}}}{c}$
On prend ensuite la valeur absolue :
$\Delta \nu = {\nu _0}\frac{{\Delta {v_{//}}}}{c} = \frac{{\Delta {v_{//}}}}{{{\lambda _0}}}$
2.b. Dans le modèle cinétique du gaz parfait, l’énergie cinétique moyenne vaut $\frac{1}{2}{m_H}v_*^2 = \frac{3}{2}{k_B}{T_*}$, d’où :
${v_*} = \sqrt {\frac{{3{k_B}{T_*}}}{{{m_H}}}}$
2.c. Numériquement, ${v_*} = 11,9km.{s^{ - 1}}$. En utilisant le résultat de la question 1.a) de la deuxième partie, on obtient ${\lambda _*} = 0,50\mu m$, ce qui donne une largeur Doppler : $\Delta {\nu _{th}} = 23,8GHz$
3.a. Calculons la décomposition spectrale :
$B\left( \nu \right) = \int\limits_{ - \tau /2}^{\tau /2} {\frac{b}{2}\left( {{e^{2i\pi {\nu _0}t}} + {e^{ - 2i\pi {\nu _0}t}}} \right){e^{ - 2i\pi \nu t}}dt} = \frac{b}{2}\left( {\frac{{\sin \pi \left( {\nu - {\nu _0}} \right)\tau }}{{\pi \left( {\nu - {\nu _0}} \right)}} + \frac{{\sin \pi \left( {\nu + {\nu _0}} \right)\tau }}{{\pi \left( {\nu + {\nu _0}} \right)}}} \right)$
Pour ν et ν₀ de l’ordre de 10¹⁵Hz (rayonnement visible) et ν − ν₀ de l’ordre de 10⁸Hz (voir plus loin), le deuxième terme est négligeable devant le premier et on trouve bien :
${\left| {B\left( \nu \right)} \right|^2} = \frac{{{b^2}}}{4}{\left( {\frac{{\sin \pi \left( {\nu - {\nu _0}} \right)\tau }}{{\pi \left( {\nu - {\nu _0}} \right)}}} \right)^2}$
La première annulation intervient pour $\nu - {\nu _0} = \frac{1}{\tau }$, on peut donc estimer que $\Delta \nu \approx \frac{1}{\tau }$.
3.b. On obtient numériquement $\tau = 23.7ns$et $\Delta {\nu _{col}} = 42MHz$.
3.c. On constate que dans ces conditions l’élargissement consécutif aux collisions est très faible devant la largeur Doppler (3 ordres de grandeur). On le négligera par la suite.
4.a. Voici l’allure du profil de raie :

Lorsque $\left| {\nu - {\nu _0}} \right| > > \Delta \nu$, on a $I\left( \nu \right) \cong {I_0}$. D’autre part, $I\left( {{\nu _0}} \right) = 0$et $I\left( {{\nu _0} + \frac{{\Delta \nu }}{2}} \right) = \frac{{{I_0}}}{2}$.
Pour calculer la pente maximale, posons $X = \frac{{\nu - {\nu _0}}}{{\Delta \nu }}$ et $Y = \frac{{I\left( \nu \right)}}{{{I_0}}}$. Il vient en dérivant deux fois :
$Y = \frac{{{X^2}}}{{{X^2} + \frac{1}{4}}}\quad \quad \quad \quad \frac{{dY}}{{dX}} = \frac{X}{{2{{\left( {{X^2} + \frac{1}{4}} \right)}^2}}}\quad \quad \quad \quad \frac{{{d^2}Y}}{{d{X^2}}} = \frac{{\frac{1}{4} - 3{X^2}}}{{2{{\left( {{X^2} + \frac{1}{4}} \right)}^3}}}$
La pente maximale est donc obtenue pour $\left| X \right| = \frac{1}{{2\sqrt 3 }}$ et vaut ${\left| {\frac{{dY}}{{dX}}} \right|_{\max }} = \frac{{3\sqrt 3 }}{4}$. D’où :
${\left| {\frac{{dI}}{{d\nu }}} \right|_{\max }} = \frac{{3\sqrt 3 }}{4}\frac{{{I_0}}}{{\Delta \nu }}\quad \quad \quad {\rm{pour}}\quad \quad \quad \nu = {\nu _0} \pm \frac{{\Delta \nu }}{{2\sqrt 3 }}\quad \quad \quad {\rm{et}}\quad \quad \quad I = \frac{{{I_0}}}{4}$

4.b. Considérons I comme une fonction des deux variables ν et ν₀. On remarque que $\left| {\frac{{\partial {\kern 1pt} I}}{{\partial {\nu _0}}}} \right| = \left| {\frac{{\partial {\kern 1pt} I}}{{\partial \nu }}} \right|$, ce qui signifie qu’il revient au même d’observer les variations d’intensité en se déplacant sur l’axe des fréquences, ou bien d’observer les variations d’intensité pour une fréquence donnée lorsque la courbe se translate. On peut alors écrire qu’une faible variation $\delta {\nu _0}$ de la fréquence centrale entraîne une variation relative d’intensité :
$\frac{{\delta I}}{I} = {\left| {\frac{{dI}}{{d\nu }}} \right|_{\max }}\frac{{\delta {\nu _0}}}{{{I_0}/4}} = 3\sqrt 3 \frac{{\delta {\nu _0}}}{{\Delta \nu }}$
4.c. En utilisant les résultats du 2.a) et du 4.b), la valeur minimale décelable de $V_{//}^0$ est :
$V_{//}^0 = {\lambda _*}\delta {\nu _0} = \frac{{{\lambda _*}\Delta {\nu _{th}}}}{{3\sqrt 3 }}\frac{{\delta I}}{I} = 11,5m{s^{ - 1}}$
ce qui est tout juste supérieur à la valeur maximale de la vitesse de l’étoile introduite 4.d) de la première partie : ${V_M} = 10m{s^{ - 1}}$.
Si on se place dans le cas le plus favorable (sin i = 1) la formule de la question 1.d) nous donne, pour la masse minimale d’une planète détectable par cette technique :

1. pour $T = 4\,jours$, ${m_P} = 1,7 \times {10^{26}}kg = 28,4{M_T}$
2. pour $T = 1\,an$, ${m_P} = 7,7 \times {10^{26}}kg = 128{M_T} = 0,38{M_J}$

Concours Physique École Polytechnique (PC) 1998 (Corrigé)

Première partie.

1.a)

L’énergie potentielle d’interaction $W$ du dipôle (1) $\vec m=m\vec e_z$ placé en $O$ et du dipôle (2) $\vec m=m\vec e_z$ placé en $(r,\theta,\varphi)$ est $W=-\vec m{{\:\scriptscriptstyle \bullet}\,}\vec B$ avec $\vec B={\displaystyle}\frac{\mu_o\,m}{4\pi\,r^3}\big( 2\cos\theta\:\vec e_r+\sin\theta\:\vec e_\theta\big). \\ W=-\frac{\mu_o\,m^2}{4\pi\,r^3}\,\big( 2\cos^2\theta-\sin^2\theta\big)= \frac{\mu_o\,m^2}{4\pi\,r^3}\,\big(1-3\cos^2\theta\big)$.
La force $\vec F$ exercée par le dipôle (1) sur le dipôle (2) est $\vec F=-\vec{grad}W= -\frac{{\partial}W}{{\partial}r}\ \vec e_r- \frac1r \ \frac{{\partial}W}{{\partial}\theta} \ \vec e_\theta$

$F_r=\frac{3\,\mu_o \ m^2}{4\pi \ r^4} \ \big(1-3\cos^2\theta\big) \ \ \ \ F_\theta=-\frac{3 \ \mu_o \ m^2}{2\pi \ r^4}\ \cos\theta\sin\theta.$

1.b)

A distance $r$ fixée, l’énergie $W={\displaystyle}\frac{\mu_o\,m^2}{4\pi\,r^3}\,\big(1-3\cos^2\theta\big)$ est minimale pour $\cos^2\theta$ maximal c’est-à-dire $\cos\theta=\pm 1;\ \ \theta= 0$ ou $\pi$.
Pour $\cos\theta=\pm 1\ \ \sin\theta=0,\ \ F_\theta$ est nul, la force d’interaction se réduit à la composante radiale; $\vec F=-{\displaystyle}\frac{3\,\mu_o\,m^2}{2\pi\,r^4}\,\vec e_r$; si $\theta=0\ \ \vec e_r=\vec e_z$; si $\theta=\pi\ \ \vec e_r=-\vec e_z$; dans les deux cas, la force est attractive.

2.a)

En l’absence de champ magnétique extérieur l’assemblée de particules aimantées ne possède aucune propriété magnétique macroscopique, les divers moments élémentaires $\vec\mu$ sont orientés aléatoirement, il n’y a aucune interaction notable entre les particules (le champ magnétique de l’une quelconque des particules est trop faible, au niveau de ses plus proches voisins, pour les orienter).

2.b)

L’aimantation macroscopique $\vec M$ d’une goutte de ferrofluide est liée au champ magnétique extérieur $\vec B$ par la relation $\vec M={\displaystyle}\frac{\chi_S\,\vec B}{\mu_o}$. Le quotient ${\displaystyle}\frac{\vec B}{\mu_o}$ a la dimension d’une excitation magnétique $\vec H$; or $\vec H$ et $\vec M$ ont même dimension [ cf. relation locale $\vec B=\mu_o(\vec H+\vec M)$ ]. Le coefficient $\chi_S$ est sans dimension.
$\vec M$ est supposé uniforme, $\vec m=\frac43\pi R^3\,\vec M; \ \ \vec m={\displaystyle}\frac{4\pi\chi_SR^3}{3\mu_o}\,\vec B$.

3.a)

Les gouttelettes s’alignent parce que cette configuration correspond au minimum de l’énergie d’interaction de deux dipôles adjacents (moments magnétiques et champ appliqué parallèles à $\vec e_z$).

3.b)

$G_o$ : gouttelette quelconque de la chaîne.
La chaîne est rectiligne et tous les moments élémentaires colinéaires à la chaîne. Un moment élémentaires colinéaires à la chaîne. Un moment $\vec m$ situé à la distance $pd\ (p$ entier) du point $G_o$ y crée un champ $\vec B_p={\displaystyle}\frac{2\mu_o\vec m}{4\pi\,(pd)^3}$. Par exemple, les gouttelettes $G'_2$ et $G_2$ créent en $G_o$ des champs égaux. 

Le champ magnétique $\vec B_1$ crée au niveau de l’une des gouttelette( $G_o$) par toutes les autres gouttelettes de la chaîne est dû à deux demi-chaînes infinies qui créent des champs égaux au point $G$. On a donc $\vec B_1=2\times \frac{2\mu_o\vec m}{4\pi\,d^3} \Big(1+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{4^3}+\cdots\Big)= \frac{\mu_o\vec m}{\pi\,d^3}\sum_{p=0}^{\infty}1/p^3= \frac{\mu_o\vec m}{\pi\,d^3}\zeta{{\scriptstyle}(3)};  \vec B_1=\frac{\mu_o\zeta{{\scriptstyle}(3)}}{\pi\,d^3}\,\vec m$.

3.c)

Le champ $\vec B$ agissant sur une gouttelette est dû aux sources du champ appliqué $\vec B_o$ et aux moments portés par les autres gouttelettes. $\vec B=\vec B_o+\vec B_1$.
$\vec m={\displaystyle}\frac{4\pi\chi_SR^3}{3\mu_o}\,\vec B$ (cf.2.b); $\vec B={\displaystyle}\frac{3\mu_o}{4\pi\chi_SR^3}\,\vec m. \ \ \frac{3\mu_o}{4\pi\chi_SR^3}\,\vec m=\vec B_o+ \frac{\mu_o\zeta{{\scriptstyle}(3)}}{\pi\,d^3}\,\vec m;\ \ \vec m=\frac{\pi\,\vec B_o}{\mu_o\Big({\displaystyle}\frac{3}{4\chi_SR^3}- \frac{\zeta{{\scriptstyle}(3)}}{d^3}\Big)}$

4.a)

Un dipôle $G_i$ de $Ch$ exerce sur un dipôle $G'_j$ de $Ch'$ situé à la distance $r$ la force $\vec f'_{ij}={\displaystyle}\frac{3\mu_o\,m^2}{2\pi\,r^4}\,\vec e_z$.
Chaque gouttelette de $Ch'$ est soumise à l’action d’une chaîne semi-infinie de dipôles dont l’extrémité est à la distance $d$ pour $G'_1;\ 2d$ pour $G'_2;\ 3d$ pour $G'_3$, etc.
La gouttelette $G'_i$ est soumise à la force : $\vec f'_i={\displaystyle}\frac{3\mu_o\,m^2}{2\pi}\Big( \frac{1}{(id)^4}+\frac{1}{((i+1)d)^4}+\frac{1}{((i+2)d)^4}+\cdots \Big)\vec e_z; \\ \vec f'_i= \frac{3\mu_o\,m^2}{2\pi\,d^4}\sum_{p=i}^\infty 1/p^4\:\vec e_z$; $Ch'$ est soumise à la force totale : $\vec F'=\vec f'_1+\vec f'_2+\vec f'_3+\cdots \\ \vec F'={\displaystyle}\frac{3\mu_o\,m^2}{2\pi\,d^4}\Bigg[ \Big(1+1/2^4+1/3^4+1/4^4+\cdots\Big)+ \Big(1/2^4+1/3^4+1/4^4+\cdots\Big)+ \Big(1/3^4+1/4^4+\cdots\Big)+\cdots\Bigg]\vec e_z; \\ \vec F'=\frac{3\mu_o\,m^2}{2\pi\,d^4}\Big( 1+2\times(1/2^4)+3\times(1/3^4)+4\times(1/4^4)+\cdots\Big)\,\vec e_z= \frac{3\mu_o\,m^2}{2\pi\,d^4}\,\zeta{{\scriptstyle}(3)}\,\vec e_z$.
La force $\vec F$ exercée par $Ch'$ sur $Ch$ est opposée à $\vec F'$. $\vec F_{ch}= \pm{\displaystyle}\frac{3\mu_o}{2\pi}\,\zeta{{\scriptstyle}(3)}\frac{m^2}{d^4}\,\vec e_z$.

4.b)

En fonction de l’intensité $B_o$ du champ appliqué, l’intensité de la force $F_{ch}$ est :
$F_{ch}={\displaystyle}\frac{3\mu_o\,\zeta{{\scriptstyle}(3)}}{2\pi\,d^4}\times \frac{\pi^2\,B_o^2}{\mu_o^2\Big({\displaystyle}\frac{3}{4\chi_SR^3}- \frac{\zeta{{\scriptstyle}(3)}}{d^3}\Big)^2}= \frac{3\pi\,\zeta{{\scriptstyle}(3)}\,B_o^2}{2\mu_o\Big( {\displaystyle}\frac{3}{4\chi_SR^3}-\frac{\zeta{{\scriptstyle}(3)}}{d^3}\Big)^2d^4}$.
Dans le cas où la chaîne ne contient que deux gouttelettes de moment $\vec m'$ distantes de $d$ et soumises à un champ appliqué $\vec B_o$, le champ $\vec B'_1$ de l’un des dipôles au niveau de l’autre est $\vec B'_1=\frac{\mu_o\vec m'}{2\pi\,d^3}$.
$\vec m'=\frac{4\pi\chi_SR^3}{3\mu_o}\,\vec B$ et $\vec B=\vec B_o+\vec B'_1 \frac{3\mu_o}{4\pi\chi_SR^3}\,\vec m'=\vec B_o+ \frac{\mu_o}{2\pi\,d^3}\,\vec m'; \ \ \  \vec m'=\frac{2\pi\,\vec B_o}{\mu_o\Big(\frac{3}{2\chi_SR^3}- \frac{1}{d^3}\Big)}$.
La force $\vec F_p$ entre les deux gouttelettes est $\vec F_p=\pm \frac{3\mu_o\,m'^2}{2\pi\,d^4}\,\vec e_z$ d’intensité $F_p$;
$F_p=\frac{3\mu_o}{2\pi\,d^4}\times \frac{4\pi^2\,B_o^2}{\mu_o^2\Big(\frac{3}{2\chi_SR^3}- \frac{1}{d^3}\Big)^2}= \frac{6\pi\,B_o^2}{\mu_o\Big(\frac{3}{2\chi_SR^3}- \frac{1}{d^3}\Big)^2d^4} \ \ \  \frac{F_{ch}}{F_p}=\frac{\zeta{{\scriptstyle}(3)}}{2}\times\Big( \frac{3d^3-\chi_SR^3}{3d^3-4\zeta{{\scriptstyle}(3)}\chi_SR^3}\Big)^2$.

4.c)

$F_{ch}=2,22\times10^{-13}$ N; $F_p=1,80\times10^{-13}$ N; $F_{ch}/F_p=1,23\hspace{5 mm} (F_{ch}\approx F_p)$.

Deuxième partie.

1.

Les gouttelettes de rayon $R$ sont supposées incompressibles et indéformables; en présence de la seule interaction magnétique, attractive, la distance $d$ entre deux gouttelettes est $d=2R$.

2.

La force répulsive $F_{rep}$ à courte portée ne s’exerce qu’entre deux gouttelettes voisines de la chaîne.
$F_{rep}{{\scriptstyle}(d)}={\displaystyle}\frac{3\pi\,\zeta{{\scriptstyle}(3)}\,B_o^2}{2\mu_o\Bigg( {\displaystyle}\frac{3}{4\chi_SR^3}-\frac{\zeta{{\scriptstyle}(3)}}{d^3}\Bigg)^2d^4}$.

3.a)

La chaîne rectiligne dont les gouttelettes diffractent la lumière incidente se comporte comme un réseau optique à très grand nombre d’éléments diffractants; seules les radiations correspondant à des ondes rétrodiffusées en phase par toutes les gouttelettes donnent une intensité lumineuse résultante notable.

3.b)

La différence de marche entre les ondes rétrodiffusées par deux gouttelettes voisines est $\delta=2d$. Ces ondes rétrodiffusées dans le milieu d’indice $n$ seront en phase si leur longueur d’onde dans le vide $\lambda_o$ vérifie $2nd=k\lambda_o$ où $k$ est un nombre entier. $d={\displaystyle}\frac{k\lambda_o}{2n}\ \ (k$ entier).
A.N. $\lambda_o={\displaystyle}\frac{585}{k}$ nm. La seule possibilité est $k=1\ :\ \lambda_o$ = 585 nm
L’échantillon apparaît jaune-orangé (cf. doublet D du sodium à 589 nm).

3.c)

Si on fait varier l’intensité du champ magnétique appliqué $B_o$ la force $F_{ch}$ varie, la valeur de $d$ à l’équilibre varie et par suite la couleur de la lumière rétrodiffusée varie.
Si $B_o$ augmente, $d$ et $\lambda_o$ diminuent. $d$ est borné inférieurement par la valeur $2R$. La longueur d’onde limite observable est $\lambda_{o\ell}=4nR$. Pour $R=98$ nm $\lambda_{o\ell}=521$ nm (couleur verte).

4.a)

La force répulsive entre deux gouttelettes est $F_{rep}=F_{ch}$ avec $F_{ch}={\displaystyle}\frac{3\mu_o}{2\pi}\,\zeta{{\scriptstyle}(3)}\frac{m^2}{d^4}$ (question 4.a de la première partie); avec $\lambda_o=2nd\ :\ F_{rep}={\displaystyle}\Bigg(\frac{24\,\zeta{{\scriptstyle}(3)}\,\mu_o}{\pi}\Bigg) \Bigg(\frac{m^2n^4}{\lambda_o^4}\Bigg)$.

4.b)

La mesure de la valeur $\lambda_o$ permet de calculer celle de la distance $d$, fonction de $B_o$. En augmentant l’intensité $B_o$ on peut considérer que l’on atteint la valeur limite $\lambda_{o\ell}=4nR$ qui permet de calculer la valeur de $R$; on accède ainsi à $h=d-R$.
En appliquant un champ magnétique d’intensité variable de valeur $B_o$ connue et en mesurant $\lambda_o$ on peut calculer $d, h,$ et la valeur de $F_{rep}= {\displaystyle}\frac{3\pi\,\zeta{{\scriptstyle}(3)}\,B_o^2}{2\mu_o\Bigg( {\displaystyle}\frac{3}{4\chi_SR^3}-\frac{\zeta{{\scriptstyle}(3)}}{d^3}\Bigg)^2d^4}$.

5.

Les gouttelettes chargées subissent une force répulsive $F_{el}=2\pi\varepsilon_o\varepsilon_r\psi_o^2R\kappa\exp(-\kappa h)$.
Les points expérimentaux de la figure 1 sont pratiquement alignés sur une droite qui passe par les points ($h=12$ nm, $F=1\times10^{-11}$ N) et ($h=50$ nm, $F=2\times10^{-14}$ N).
On en déduit $\kappa^{-1}=$ 6,1 nm et $\psi_o$ = 32 mV.

Troisième partie.

1.a)

La relation $\Pi=ck_BT$ est formellement identique à l’expression de la pression cinétique d’un gaz parfait monoatomique. Cette expression suppose l’absence d’interaction (en particulier de collisions) entre les particules (2), elle n’est valable que pour des valeurs très faibles de la concentration $c$.

1.b)

Il apparaît un interstice exclu pour les particules (2) entre les particules (1) pour les distances $d<d_m$ avec $d_m=2(R+r)$.

1.c)

La région interdite aux particules (2) est défini par l’angle $\theta_c$ vérifiant $(R+r)\cos\theta_c=d/2$ c’est-à-dire $\cos\theta_c=\frac{d}{\bar{R}}$. $d$ étant supérieur à $2R$, l’angle $\theta_c$ n’existe que pour $2R\leq d\leq 2\bar{R}$.

2.a)

La collision d’une particule (2) sur une particule (1) est entièrement décrite par le mouvement du centre de masse de la particule (2) qui reste à une distance supérieure ou égale à $\bar R$ du centre de la particule (1). Tout se passe comme s’il y avait collision de particules ponctuelles sur une particule sphérique dont le centre est confondu avec celui de la particule (1) et de rayon $\bar R$.

2.b)

Par hypothèse, les collisions des particules (2) sur les particules (1) ont un effet équivalent à celui d’une pression $\Pi$ uniforme. Lorsqu’il existe un insterstice exclu pour les particules (2) entre les particules (1) cette force de pression ne s’exerce que sur une partie de la sphère de rayon $\bar R$ limitant la particule (1). Par raison de symétrie, la force résultante est portée par la ligne des centres des particules (1) et a pour expression $\Pi\,S$ où $S$ est l’aire du cercle limitant la partie de la sphère soumise à la pression $\Pi$. Cette force $F_{dep}$ est équivalente à une force d’attraction entre les deux particules (1).
$F_{dep}=\Pi\,\pi(\bar{R}\sin\theta_c)^2;\ \ F_{dep}=ck_BT\pi \bar{R}^2\sin^2\theta_c$.

2.c)

$\sin^2\theta_c=1-\cos^2\theta_c=1-\Big({\displaystyle}\frac{d}{2\bar{R}}\Big)^2; \ \ \bar{R}^2\sin^2\theta_c=\bar{R}^2-{\displaystyle}\frac{d^2}{4};\ \ F_{dep}=ck_BT\pi\Big(\bar{R}^2-{\displaystyle}\frac{d^2}{4}\Big)$.

2.d)

Lorsque la distance $d$ entre les centres des particules (1) est supérieure à $d_m=2\bar R$ le volume de la solution aqueuse accessible aux particules (2) est égal au volume total moins le volume des deux particules (1) : $(2\times\frac43\pi \bar{R}^2$). Pour $d<d_m$, les volumes des deux sphères de rayons $\bar R$ ont une partie commune, le volume accessible aux particules (2) augmente. Cette augmentation est maximale pour $d=2R$. L’évolution du volume accessible aux particules (2) est semblable à celle de la force de déplétion. Cette évolution suit celle de l’entropie du système constitué par les particules (2), fonction croissante du volume qui leur est accessible.

2.e)

Application numérique : $F_{dep}=1,60\times10^{-13}$ N.

3.

La distance entre deux gouttelettes de la chaîne est $d={\displaystyle}\frac{\lambda_o}{2n}=201$ nm pour $B_o=62,7\times10^{-3}$ T.
Cette position correspond à l’équilibre entre la force attractive $F_{ch}$ et la force de répulsion d’origine électrostatique $F_{el}\ \ F_{ch}=F_{el}$ en intensité; $F_{el}={\displaystyle}\frac{3\pi\,\zeta{{\scriptstyle}(3)}\,B_o^2}{2\mu_o\Bigg( {\displaystyle}\frac{3}{4\chi_SR^3}-\frac{\zeta{{\scriptstyle}(3)}}{d^3}\Bigg)^2d^4}$.
Après ajout de polymère il y a une force attractive de déplétion $F_{dep}$.
$R$ = 98 nm; $r$ = 10 nm; $2(R+r)=216$ nm; $d$ = 201 nm; on est bien dans le cas $2R<d<2 \bar R$.
On règle le champ magnétique pour retrouver la même distance $d$ = 201 nm. La force attractive devient $F'_{ch}={\displaystyle}\frac{3\pi\,\zeta{{\scriptstyle}(3)}\,{B'}_o^2}{2\mu_o\Bigg( {\displaystyle}\frac{3}{4\chi_SR^3}-\frac{\zeta{{\scriptstyle}(3)}}{d^3}\Bigg)^2d^4}$. L’équilibre correspond à $F'_{ch}+F_{dep}=F_{el}; \\[5 mm] {\displaystyle}\frac{3\pi\,\zeta{{\scriptstyle}(3)}\,{B'}_o^2}{2\mu_o\Bigg( {\displaystyle}\frac{3}{4\chi_SR^3}-\frac{\zeta{{\scriptstyle}(3)}}{d^3}\Bigg)^2d^4}+ ck_BT\pi\Big(\bar{R}^2-{\displaystyle}\frac{d^2}{4}\Big)= \frac{3\pi\,\zeta{{\scriptstyle}(3)}\,B_o^2}{2\mu_o\Bigg( {\displaystyle}\frac{3}{4\chi_SR^3}-\frac{\zeta{{\scriptstyle}(3)}}{d^3}\Bigg)^2d^4}. \\[5 mm] {\displaystyle}\frac{3\pi\,\zeta{{\scriptstyle}(3)}\,(B_o^2-{B'}_o^2)}{2\mu_o\Bigg( {\displaystyle}\frac{3}{4\chi_SR^3}-\frac{\zeta{{\scriptstyle}(3)}}{d^3}\Bigg)^2d^4}= ck_BT\pi\Big( \bar{R}^2-{\displaystyle}\frac{d^2}{4}\Big);$ tous calculs faits : ${B'}_o=41,4\times10^{-3}$ T.

Concours Physique École Polytechnique (MP) 1997 (Corrige)

Réponse électronique des agrégats métalliques à une excitation électrique

Caractéristiques de l’agrégat

I-1-a Le champ créé par une répartition de charges à symétrie sphérique possède cette symétrie, c’est-à-dire que le champ électrostatique de la distribution s’écrit, en tout point, E(M)=E(r)u_r, où r représente la distance du point M au centre O de la distribution. On peut donc appliquer le théorème de Gauss sur des surfaces sphériques centrées sur le point O ; pour des points extérieurs à la distribution cela conduit à ${{\bf{E}}_ + }\left( r \right) = \frac{{Ne}}{{4\pi {\varepsilon _0}{r^2}}}{{\bf{u}}_r} = \frac{{ne{R^3}}}{{3{\varepsilon _0}{r^2}}}{{\bf{u}}_r}$ (r>R), et pour les points intérieurs à la sphère de rayon R, ${{\bf{E}}_ + }\left( r \right) = \frac{{Ne{\bf{r}}}}{{4\pi {\varepsilon _0}{R^3}}} = \frac{{ne{\bf{r}}}}{{3{\varepsilon _0}}}$ (r<R).

I-1-b La distribution des électrons ne diffère de la précédente que par le signe de sa charge, de sorte que, dans la partie commune aux deux sphères, ${{\bf{E}}_ - }\left( M \right) = \frac{{ne}}{{3{\varepsilon _0}}}{\bf{M}}{{\bf{G}}_e}$.
En appliquant le théorème de superposition, le champ résultant dans cette partie commune sera uniforme et vaudra ${{\bf{E}}_t}\left( M \right) = \frac{{ne}}{{3{\varepsilon _0}}}{\bf{O}}{{\bf{G}}_e}$. Ce champ induit une force identique sur chaque électron, soit ${\bf{f}} = - \frac{{n{e^2}}}{{3{\varepsilon _0}}}{\bf{O}}{{\bf{G}}_e}$, ce qui est compatible avec l’hypothèse de déplacement en bloc des électrons (en fait, s’ils sont initialement déplacés en bloc et abandonnés sans vitesse initiale, leur mouvement continuera à sa faire en bloc) ; ce type de mouvement est appelé mode collectif.
Les électrons étant en nombre égal à N, la force de rappel qu’ils subiront en bloc sera ${\bf{F}} = - \frac{{Nn{e^2}}}{{3{\varepsilon _0}}}{\bf{O}}{{\bf{G}}_e}$ si on considère que le nombre d’électrons extérieurs à la partie commune est très faible.
I-1-c L’application du théorème de la résultante cinétique au système des N électrons conduit à l’équation $N{m_e}\frac{{{d^2}{\bf{O}}{{\bf{G}}_e}}}{{d{t^2}}} = - \frac{{Nn{e^2}}}{{3{\varepsilon _0}}}{\bf{O}}{{\bf{G}}_e}$, soit $\frac{{{d^2}{\bf{O}}{{\bf{G}}_e}}}{{d{t^2}}} + \omega _M^2{\bf{O}}{{\bf{G}}_e} = {\bf{0}}$, où $\omega _M^2 = \frac{{n{e^2}}}{{3{m_e}{\varepsilon _0}}}$. Le mouvement est donc oscillant à la période ${T_M} = 1,22\;{\rm{fs}}$.
I-2-a Il se produira un phénomène de résonance pour des pulsations proches de w_M. La longueur d’onde dans le vide associée à cette vibration est l₀₌0,366 µm, c’est-à-dire qu’elle se situe dans le très proche ultraviolet.
Pour avoir un agrégat dont le rayon est de l’ordre de la longueur d’onde l₀, il faudrait un nombre d’ions de l’ordre de ${N_M} = n\frac{{4\pi }}{3}\lambda _0^3 = 5,1\;{10^9}$. Pour des agrégats contenant quelques milliers d’ions, on aura donc Rl₀, et on pourra considérer que le champ est uniforme sur tout le domaine occupé par l’agrégat.

I-2-b L’équation du mouvement des électrons devient
$\frac{{{d^2}{\bf{O}}{{\bf{G}}_e}}}{{d{t^2}}} + \frac{\alpha }{{{m_e}}}\frac{{d{\bf{O}}{{\bf{G}}_e}}}{{dt}} + \omega _M^2{\bf{O}}{{\bf{G}}_e} = - \frac{{e{E_m}}}{{{m_e}}}{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}\omega t}}{{\bf{e}}_z}$,
le mouvement étant donc la superposition du régime transitoire à une pulsation proche de w_M (pseudopériodique amorti si l’amortissement a est suffisamment faible) et du régime forcé à la pulsation w. Puisque, en outre, le moment dipolaire de la distribution s’écrit p=-NeOG_e, il vient
$\frac{{{d^2}{\bf{p}}}}{{d{t^2}}} + \frac{\alpha }{{{m_e}}}\frac{{d{\bf{p}}}}{{dt}} + \omega _M^2{\bf{p}} = \frac{{N{e^2}{E_m}}}{{{m_e}}}{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}\omega t}}{{\bf{e}}_z}$.
Le régime forcé sera donc caractérisé par $\left( { - {\omega ^2} - \frac{{{\rm{i}}\alpha \omega }}{{{m_e}}} + \omega _M^2} \right){\bf{p}} = \frac{{N{e^2}{E_m}}}{{{m_e}}}{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}\omega t}}{{\bf{e}}_z}$, soit p=p₀(w)e^-iwte_z où ${p_0}\left( \omega \right) = \frac{{N{e^2}{E_m}}}{{{m_e}\left( {\omega _M^2 - {\omega ^2}} \right) - {\rm{i}}\alpha \omega }}$.
I-1-c Par définition, $\Pi = \frac{{{\bf{E}} \times {\bf{B}}}}{{{\mu _0}}}$., et, puisque varie harmoniquement, $\Pi = \frac{{{\mu _0}{\omega ^4}{{\sin }^2}\theta }}{{16{\pi ^2}{r^2}c}}p{\left( t \right)^2}{{\bf{e}}_r}$. Sa valeur moyenne vaudra donc $\left\langle \Pi \right\rangle = \frac{{{\mu _0}{\omega ^4}{{\sin }^2}\theta }}{{16{\pi ^2}{r^2}c}}\left\langle {p{{\left( t \right)}^2}} \right\rangle {{\bf{e}}_r} = \frac{{{\mu _0}{\omega ^4}{{\sin }^2}\theta }}{{32{\pi ^2}{r^2}c}}p\left( t \right)p*\left( t \right){{\bf{e}}_r}$, en notation complexe, et, finalement, $\left\langle \Pi \right\rangle = \frac{{{\mu _0}{\omega ^4}{{\sin }^2}\theta }}{{32{\pi ^2}{r^2}c}}{\left| {{p_0}\left( \omega \right)} \right|^2}{{\bf{e}}_r}$.
La puissance moyenne totale rayonnée par le dipôle est égale au flux du vecteur de Poynting moyen à travers une sphère centrée sur O. Elle vaut donc $\left\langle P \right\rangle = \mathop{{\int\!\!\!\!\!\int}\mkern-21mu \bigcirc}\limits_{S\left( {O,r} \right)} {\Pi .d{\bf{S}}} = \int\limits_0^\pi {\int\limits_0^{2\pi } {{r^2}\Pi \sin \theta d\theta d\varphi } }$, soit $\left\langle P \right\rangle = \frac{{{\mu _0}{\omega ^4}}}{{12\pi c}}{\left| {{p_0}\left( \omega \right)} \right|^2}$.
I-1-d Avec le I-1-b, on peut écrire $\left\langle P \right\rangle = \frac{{{\mu _0}{\omega ^4}}}{{12\pi c}}\frac{{{N^2}{e^4}E_m^2}}{{m_e^2\left( {{{\left( {\omega _M^2 - {\omega ^2}} \right)}^2} + \frac{{{\alpha ^2}{\omega ^2}}}{{m_e^2}}} \right)}} = \sigma \left( \omega \right)\frac{1}{2}{\varepsilon _0}cE_m^2$, où $\sigma \left( \omega \right) = \frac{{8\pi }}{3}{\left( {\frac{{N{e^2}}}{{4\pi {\varepsilon _0}{m_e}{c^2}}}} \right)^2}\frac{{{\omega ^4}}}{{{{\left( {\omega _M^2 - {\omega ^2}} \right)}^2} + \frac{{{\alpha ^2}{\omega ^2}}}{{m_e^2}}}}$. La quantité $\frac{{{e^2}}}{{4\pi {\varepsilon _0}}}$ étant le produit d’une énergie par une distance et m_ec² étant une énergie, σ a bien la dimension d’une surface.

I-1-e Pour w=w_M+δw, on pourra écrire, si w_Mt≈1, $\frac{\sigma }{A} = \frac{1}{{4\frac{{\delta {\omega ^2}}}{{\omega _M^2}} + \frac{1}{{\omega _M^2{\tau ^2}}}}}$, en ne gardant δw que dans le terme $\omega _M^2 - {\omega ^2}$ et en écrivant w=w_M dans les autres termes. Pour δw=0, on a σ₀=(w_Mt)²A et pour w=0,05w_M, $\sigma = \frac{{{\sigma _0}}}{2}$, d’où w_Mt=10, et t=1,95 fs.

Réponse de l’agrégat à une excitation électrique

II-1-a Le proton attirera les électrons vers lui, de sorte que lorsque les électrons de l’agrégat seront plus proches de lui que les ions ; les charges des deux systèmes (électrons et ions de l’agrégat) étant les mêmes au signe près, le proton subira une force attractive de la part des électrons plus importante que la force répulsive des ions : il sera donc attiré par l’agrégat.
L’agrégat est un oscillateur dont les vibrations se font toujours à une pulsation très voisine de w_M ; en dehors d’un domaine étroit autour de cette pulsation, le système ne peut être notablement excité (courbe de résonance). La longueur d’onde associée est donc l₀=0,366 µm.
Le rayon d’un agrégat sphérique contenant N ions sera $R = {\left( {\frac{{3N}}{{4\pi n}}} \right)^{\frac{1}{3}}}$, donc si 10<N<1000, on aura 0,45 nm<R<2,12 nm. Un paramètre d’impact b≈10­→20 nm pourrait alors satisfaire à l’approximation proposée (on verra cependant que la part importante de cette approximation est b≈l₀).
Le potentiel crée par le dipôle p(t) en un point M de l’espace est, dans l’hypothèse des potentiels non retardés, $V = \frac{{{\bf{r}}.{\bf{p}}}}{{4\pi {\varepsilon _0}{r^3}}}$. Pour le proton on aura p=Nea(t), où a(t) représente le déplacement du nuage d’électrons ; on a donc a≈R. De plus $\left| {\frac{{{\bf{p}}.{\bf{r}}}}{{{r^3}}}} \right| < \frac{p}{{{r^2}}} < \frac{p}{{r_0^2}} \approx \frac{{NeR}}{{r_0^2}}$, où r₀ est la distance minimale d’approche du proton ; par conséquent, tout au long de la trajectoire du proton, on a $\left| {V\left( {{{\bf{r}}_p}} \right)} \right| \approx \frac{{NeR}}{{4\pi {\varepsilon _0}r_0^2}}$.
C’est dans l’hypothèse de potentiels non retardés que joue l’approximation b≈l₀ (l’approximation inverse b≈l₀ conduisant à la zone d’onde où les champs du I-2-c sont valables) ; la seconde contrainte sur b pour pouvoir faire l’approximation du champ dipolaire est b=r_e, ce qui est évidemment réalisé si b≈R, mais aussi si bR≈r_e !.

II-1-b Lorsque p et r_p sont colinéaires (et de sens opposés), le champ crée par le dipôle sur le proton vaut ${{\bf{E}}_d} = - \frac{{2{p_{\max }}}}{{4\pi {\varepsilon _0}r_p^3}}{{\bf{e}}_r}$, de sorte que la force que subit le proton est une force centrale attractive. On en déduit que, sous ces hypothèses, la trajectoire du proton est plane et que le moment cinétique et l’énergie mécanique totale du système se conservent.
A l’infini, ce moment cinétique et cette énergie valent ${\bf{L}} = - {m_p}{v_p}b{{\bf{e}}_y}$ et $E = \frac{1}{2}{m_p}v_p^2$ ; en r_p=r₀, ces grandeurs s’écrivent ${\bf{L}} = - {m_p}{r_0}{v_0}{{\bf{e}}_y}$ et $E = \frac{1}{2}{m_p}v_0^2 - \frac{{e{p_{{\rm{max}}}}}}{{4\pi {\varepsilon _0}r_0^2}}$. On en déduit que ${v_0} = \frac{b}{{{r_0}}}{v_p}$ et que $\frac{1}{2}{m_p}v_p^2 = \frac{1}{2}{m_p}v_p^2\frac{{{b^2}}}{{r_0^2}} - \frac{{e{p_{{\rm{max}}}}}}{{4\pi {\varepsilon _0}r_0^2}}$, d’où $\frac{{e{p_{{\rm{max}}}}}}{{4\pi {\varepsilon _0}}} = \frac{1}{2}{m_p}v_p^2\left( {{b^2} - r_0^2} \right)$.
Cette configuration est la “ plus attractive ” car, en réalité, p<p_max et p et r_p ne sont pas tout à fait colinéaires. Il en découle que le r₀ réel sera plus grand que celui qui est déterminé par la relation précédente et que, pour le mouvement réel, ${b^2} - r_0^2 < \frac{{2e{p_{{\rm{max}}}}}}{{4\pi {\varepsilon _0}{m_p}v_p^2}}$. Mais on a aussi p_max=Nea_maxNeR, donc $0 < {b^2} - r_0^2 < \frac{{2N{e^2}R}}{{4\pi {\varepsilon _0}{m_p}v_p^2}}$.
Puisque b>R, il vient, finalement, $\frac{{{b^2} - r_0^2}}{{{b^2}}} \approx \frac{{2N{e^2}}}{{4\pi {\varepsilon _0}R{m_p}v_p^2}} = \frac{e}{{2{\varepsilon _0}{E_p}}}{\left( {\frac{{{N^2}n}}{{6{\pi ^2}}}} \right)^{1/3}}$, où E_p est l’énergie initiale du proton en eV. Le majorant est minimum pour les petits agrégats et les grandes énergies, soit N=10 et E_p=100 keV (il prend alors la valeur 3,2 10^-4), et il est maximum pour les petites énergies et les grands agrégats, soit N=1000 et E_p=10 keV (il vaut alors 6,8%). On en déduit que dans tous les cas $\frac{{{b^2} - r_0^2}}{{{b^2}}} \approx 6,8\%$, soit $\frac{{b - {r_0}}}{b} \approx 3,4\%$. Le mouvement du proton peut donc être considéré comme étant rectiligne uniforme.
On remarque cependant que le résultat reste valable si b est de l’ordre de R et non pas seulement très supérieur à lui ; donc, tant que Rr_e, les contraintes sur b pour justifier les calculs précédents peuvent être alors réduites à r_e≈Rb≈l₀.

II-2-a Le proton est caractérisé par x_p=b, y_p=0 et z_p=v_pt.
II-2-b La force exercée par le proton sur le nuage électronique s’applique au centre de ce nuage. L’équation du mouvement du nuage sera donc $N{m_e}{{\bf{\ddot r}}_e} = - N{m_e}\omega _M^2{{\bf{r}}_e} + \frac{{N{e^2}}}{{4\pi {\varepsilon _0}}}\frac{{{{\bf{r}}_p} - {{\bf{r}}_e}}}{{{{\left\| {{{\bf{r}}_p} - {{\bf{r}}_e}} \right\|}^3}}}$.
En posant $C = \frac{{{e^2}}}{{4\pi {\varepsilon _0}{m_e}}}$ et en remarquant que r_pr_e, on peut simplifier cette équation en ${{\bf{\ddot r}}_e} + \omega _M^2{{\bf{r}}_e} = C\frac{{{{\bf{r}}_p}}}{{r_p^3}}$. En projection sur les axes, on trouve $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\ddot x}_e} + \omega _M^2{x_e} = C\frac{b}{{{{\left( {{b^2} + v_p^2{t^2}} \right)}^{3/2}}}}}\\{{{\ddot y}_e} - \omega _M^2{y_e} = 0}\\{{{\ddot z}_e} + \omega _M^2{z_e} = C\frac{{{v_p}t}}{{{{\left( {{b^2} + v_p^2{t^2}} \right)}^{3/2}}}}}\end{array}} \right.$.
II-2-c Les conditions initiales imposent y_e(t)=0.
Avec les nouvelles variables, on peut écrire ${\ddot x_e} + \omega _M^2{x_e} = \dot X - i{\omega _M}X$ (et de même pour z_e), et si on pose X(t)=l(t)exp(iw_Mt) et Z(t)=l(t)exp(iw_Mt), les équation scalaires se réduisent à $\dot \lambda \left( t \right) = C\frac{{b{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}{\omega _{\rm{M}}}t}}}}{{{{\left( {{b^2} + v_p^2{t^2}} \right)}^{3/2}}}}$ et $\dot \mu \left( t \right) = C\frac{{{v_p}t{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}{\omega _{\rm{M}}}t}}}}{{{{\left( {{b^2} + v_p^2{t^2}} \right)}^{3/2}}}}$. Les conditions initiales sont telles que l(-∞)=m(-∞)0, d’où les solutions $\lambda \left( t \right) = C\int\limits_{ - \infty }^t {\frac{{b{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}{\omega _{\rm{M}}}t}}}}{{{{\left( {{b^2} + v_p^2{t^2}} \right)}^{3/2}}}}dt}$ et $\mu \left( t \right) = C\int\limits_{ - \infty }^t {\frac{{{v_{\rm{p}}}t{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}{\omega _{\rm{M}}}t}}}}{{{{\left( {{b^2} + v_p^2{t^2}} \right)}^{3/2}}}}dt}$.
On a $\lambda \left( { + \infty } \right) = C\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{{b{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}{\omega _{\rm{M}}}t}}}}{{{{\left( {{b^2} + v_p^2{t^2}} \right)}^{3/2}}}}dt} = 2C\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{b\cos {\omega _M}t}}{{{{\left( {{b^2} + v_p^2{t^2}} \right)}^{3/2}}}}dt}$, soit $\lambda \left( { + \infty } \right) = \frac{{2C{\omega _M}}}{{v_p^2}}{K_1}\left( {\frac{{b{\omega _M}}}{{{v_p}}}} \right)$, et, de même, $\mu \left( { + \infty } \right) = C\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{{{v_p}t{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}{\omega _{\rm{M}}}t}}}}{{{{\left( {{b^2} + v_p^2{t^2}} \right)}^{3/2}}}}dt} = 2{\rm{i}}C\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{{v_p}t\sin {\omega _M}t}}{{{{\left( {{b^2} + v_p^2{t^2}} \right)}^{3/2}}}}dt}$, soit $\mu \left( { + \infty } \right) = \frac{{2{\rm{i}}C{\omega _M}}}{{v_p^2}}{K_0}\left( {\frac{{b{\omega _M}}}{{{v_p}}}} \right)$.
II-2-d Les formes asymptotiques de X et Z sont X≈l(+∞)exp(iw_Mt) et Z≈m(+∞)exp(iw_Mt) ; les solutions asymptotiques correspondantes pour x_e et z_e sont donc ${x_e}\left( {t \to + \infty } \right) = \frac{{2C}}{{v_p^2}}{K_1}\left( {\frac{{b{\omega _M}}}{{{v_p}}}} \right)\sin {\omega _M}t$ et ${z_e}\left( {t \to + \infty } \right) = \frac{{2C}}{{v_p^2}}{K_0}\left( {\frac{{b{\omega _M}}}{{{v_p}}}} \right)\cos {\omega _M}t$. Ce sont des mouvement sinusoïdaux de pulsation w_M et le centre du nuage décrit une ellipse dont le grand axe est porté par l’axe x.

II-2-e Les fonctions u²K₀(u) et u²K₁(u) sont maximales pour u1,5. $\frac{b}{{{v_p}}}$ est le temps que met le proton pour parcourir la distance b. Si l’on admet que le proton n’interagit fortement avec l’agrégat que s’il se trouve à une distance inférieure à b de M₀ (point d’approche maximale), la durée de l’interaction sera justement de l’ordre de $\frac{b}{{{v_p}}}$. Si cette durée d’interaction est du même ordre que la période du mouvement libre collectif des électrons, se produira une résonance entraînant un maximum de l’amplitude du mouvement final ; ceci se réalisera justement pour $\frac{{b{\omega _M}}}{{{v_p}}} = u~1$.
Alors, pour u≈1,5, $b \approx \frac{3}{{2{\omega _M}}}\sqrt {\frac{{2{E_p}}}{{{m_p}}}}$, soit b≈1,3 nm.
L’amplitude du mouvement des électrons est alors ${r_{e{\rm{max}}}} \approx \frac{{2C}}{{v_p^2}}{K_{\max }} = \frac{{{e^2}}}{{4\pi {\varepsilon _0}{E_p}}}{K_{{\rm{max}}}}$ où K_max0,5. On trouve donc r_emax0,14 pm.
On ne peut pas considérer que bR, mais les remarques du II-1-a et du II-1-b montrent que les conditions des approximations faites sont réalisées puisque r_e≈Rb≈l₀.
II-2-f Pour u→∞, K₀ et K₁ deviennent des équivalents, même si tous deux tendent vers 0. Le mouvement des électrons est alors circulaire de très petit rayon.
Un observateur dans le plan xOz perçoit le mouvement de l’agrégat comme se faisant périodiquement sur une droite ; il recevra donc une onde polarisée rectilignement.
Un observateur situé sur l’axe Oy voit les électrons se déplacer sur un cercle ; il recevra donc une onde polarisée circulairement.