Concours Physique ENS (Ulm, Lyon et Cachan) BCPST 2000 (Corrigé)

A1 ⁺ sur le filet fluide r^-

On appelle τ(r) l'action du filet fluide r
L'équilibre de l'anneau (il avance à vitesse constante) s'écrit en projection sur l'axe des x
$\tau (r + dr)2\pi (r + dr)dx - \tau (r)2\pi rdx - P(x + dx)2\pi rdr + P(x)2\pi rdr = 0$ soit:
$\frac{{d\left( {r\tau \left( r \right)} \right)}}{{dr}}drdx - \frac{{dP}}{{dx}}rdxdr = 0$ ou bien: $\frac{{dP}}{{dx}} = \frac{1}{r}\frac{{d(r\tau (r))}}{{dr}}$

A2 Les filets les plus rapides sont au centre et les plus lents à la périphérie (vitesse nulle au contact du bord du tube). Ceci a deux conséquences: La contrainte tangentielle de r⁺ sur r^- est dirigée vers les x négatifs: (τ < 0)
Le gradient des v_x(r) est négatif: $\frac{d{{v}_{x}}}{dr}<0$ On peut donc écrire: $\tau =\eta \frac{dv_{x}^{{}}}{dr}$, et donc: $\frac{dP}{dx}=\eta \frac{1}{r}\frac{d(r\frac{d{{v}_{x}}}{dr})}{dr}$
On reconnaît une fonction de x seul à gauche et de r seul à droite, ce qui confirme que dP/dx est bien une constante comme l'annonce l'énoncé.
On tire: $\frac{{d(r\frac{{d{v_x}}}{{dr}})}}{{dr}} = \frac{1}{\eta }\frac{{dP}}{{dx}}r{\rm{ d'o\`u r}}\frac{{{\rm{d}}{{\rm{v}}_{\rm{x}}}}}{{{\rm{dr}}}} = \frac{1}{{2\eta }}\frac{{dP}}{{dx}}{r^2}{\rm{ }}(constante d'int\'e gration nulle ... r = 0)$
Et donc: $\frac{\text{d}{{\text{v}}_{\text{x}}}}{\text{dr}}=\frac{1}{2\eta }\frac{dP}{dx}r\text{ soit: }{{\text{v}}_{\text{x}}}=\frac{1}{4\eta }\frac{dP}{dx}{{r}^{2}}+C\text{ avec C}=-\frac{1}{4\eta }\frac{dP}{dx}{{a}^{2}}\text{ car }{{\text{v}}_{\text{x}}}=0\text{ en x}=\text{a}\text{.}$

Noter que r < a et v_x > 0 impose que dP/dx < 0:

La pression diminue vers les x croissants.

Enfin: ${{\text{v}}_{\text{x}}}=\frac{1}{4\eta }\frac{dP}{dx}\left( {{r}^{2}}-{{a}^{2}} \right)$
Le profil de vitesse est donc parabolique.
A3$Q=\int_{0}^{a}{2\pi r{{v}_{x}}dr}=\frac{\pi }{2\eta }\frac{dP}{dx}\left( \frac{{{a}^{4}}}{4}-{{a}^{2}}\frac{{{a}^{2}}}{2} \right)\text{ soit: }Q=-\frac{\pi {{a}^{4}}}{8\eta }\frac{dP}{dx}$.
La vitesse moyenne est telle que: Q = v_m πa². On retrouve bien: ${{v}_{m}}=-\frac{{{a}^{2}}}{8\eta }\frac{dP}{dx}$
On peut noter que la vitesse maximale du fluide (obtenue au centre) est le double de la vitesse moyenne: v_max = 2 v_m
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B1 $\Phi =\frac{3\left( \pi {{a}^{2}}l \right)}{{{l}^{3}}}$ soit: $\Phi =3\pi \frac{{{a}^{2}}}{{{l}^{2}}}$
La porosité est légèrement surévaluée par cette expression car on compte 3 fois au lieu d'une la partie commune des trois tubes. L'erreur est de l'ordre de 2a³/l³ il s'agit d'un infiniment petit d'ordre supérieur qu'il est bien légitime de négliger.
B2 La surface S de matériau poreux correspond à N = S/l² cubes élémentaires, et donc à N tubes de section πa² dans lesquels le débit est Q calculé précédemment. D'où V_xS = NQ = SQ/l², et donc V_x = Q/l² = $-\frac{\pi {{a}^{4}}}{8\eta {{l}^{2}}}\frac{dP}{dx}$
Or ${{a}^{4}}={{l}^{4}}\frac{{{\Phi }^{2}}}{9{{\pi }^{2}}}$ On a bien: ${{V}_{x}}=-\frac{{{\Phi }^{2}}{{l}^{2}}}{72\pi \eta }\frac{dP}{dx}$
B3 $\mathbf{V}=-\frac{k}{\eta }\mathbf{grad}P$
V en ms^-1 τ en Nm^-2 et donc η en Nsm^-2 d'après l'expression de A2 gradP en Nm^-3 k est en m²
Loi B3 projetée sur l'axe des x: V_x = $-\frac{k}{\eta }\frac{dP}{dx}$ et avec B2 $k=\frac{{{\Phi }^{2}}{{l}^{2}}}{72\pi }$. (ce qui confirme l'unité en m²)
B4 On ne s'intéresse qu'à la circulation sur l'axe des x et on néglige l'incidence de la présence des deux autres pores sur la conductance de la matrice.
On a à faire à deux conducteurs en parallèle dont les conductances s'ajoutent:
G = G_m + G_f =${{\sigma }_{m}}\frac{{{l}^{2}}}{l}+{{\sigma }_{f}}\frac{\pi {{a}^{2}}}{l}={{\sigma }_{m}}l+{{\sigma }_{f}}\frac{\pi {{a}^{2}}}{l}$
Or pour un matériau de section l² longueur l conductivité σ, la conductance vaut: G =$\sigma \frac{{{l}^{2}}}{l}=\sigma l$
On tire: $\sigma ={{\sigma }_{m}}+{{\sigma }_{f}}\frac{\pi {{a}^{2}}}{{{l}^{2}}}\approx {{\sigma }_{f}}\frac{\pi {{a}^{2}}}{{{l}^{2}}}$ car σ_f >> σ_m et avec B1: $\Phi =3\frac{\sigma }{{{\sigma }_{f}}}$.
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C1 On peut reprendre la démonstration faite en A1 pour un anneau disposé verticalement entre z et z+dz (sens ascendant)

Au bilan des forces vues plus haut il faut ajouter le poids de l'anneau dirigé vers le bas. Si le mouvement du fluide est tel que l'accélération est négligeable, la projection des forces sur l'axe vertical est nulle:
$\eta {{\left. \frac{d{{v}_{z}}}{dr} \right]}_{r+dr}}2\pi (r+dr)dz-\eta {{\left. \frac{d{{v}_{z}}}{dr} \right]}_{r}}2\pi rdz-P(z+dz)2\pi rdr+P(z)2\pi rdr-{{\rho }_{e}}g2\pi rdrdz=0$
soit: $\frac{dP}{dz}+{{\rho }_{e}}g=\eta \frac{1}{r}\frac{d\left( r\frac{d{{v}_{z}}}{dr} \right)}{dr}$ On retrouve l'expression vue en A2 où la constante dP/dz est remplacée par la constante dP/dz + ρ_eg . On attend donc le résultat trouvé en B3 où dP/dz + ρ_eg remplace dP/dz. On obtient bien: ${{V}_{z}}=-\frac{k}{\eta }\left( \frac{dP}{dz}+{{\rho }_{e}}g \right)$

C2 Cas h(t) > 0:
Au sein du fluide surnageant (au repos): P(0) = P_atm + hρ_eg
A la base du sable d'où l'eau coule goutte à goutte: P(-L) = P_atm
Puisque dP/dz est constant (énoncé) on tire: dP/dz = hρ_eg/L
Cas h(t) < 0:
La surface de l'eau (dans les pores) est à la pression atmosphérique ainsi que la base du sable où l'eau s'écoule goutte à goutte.
On a donc dans ce cas: dP/dz = 0
Avec V_z = dh/dt, on obtient les deux équations différentielles: $\frac{dh}{dt}=-\frac{k}{\eta }{{\rho }_{e}}g\left( \frac{h}{L}+1 \right)$ (si h>0), $\frac{dh}{dt}=-\frac{k}{\eta }{{\rho }_{e}}g$ (si h<0)
C3 Le modèle est satisfaisant mais il sous estime sans doute les effets de la viscosité car les capillaires sont supposés rectilignes. En négligeant la tortuosité du parcours entre les grains, il sous estime la longueur de ces parcours. Il n'est sans doute pas bien adapté à des sables de trop forte granulométrie car a devient trop grand pour considérer l'écoulement comme laminaire d'une part et pour négliger le volume des pores devant celui de la matrice d'autre part. De plus, le modèle néglige les phénomènes de capillarité qui jouent un rôle d'autant plus important que l'on approche de la fin du processus d'écoulement.
C4 Cas h(t) > 0:
_{$\frac{dh}{dt}+\frac{k}{\eta }{{\rho }_{e}}g\frac{h}{L}=-\frac{k}{\eta }{{\rho }_{e}}g\text{ }\Rightarrow \text{ }h=-L+A{{e}^{-\frac{k{{\rho }_{e}}g}{\eta L}t}}\text{ avec z}={{\text{h}}_{\text{o}}}\text{ pour t}=\text{0 d }\!\!'\!\!\text{ o }\!\!\grave{\mathrm{u}}\!\!\text{ A }={{\text{h}}_{\text{o}}}+L\text{ }$}
On obtient donc: $h=\left( {{h}_{o}}+L \right){{e}^{-\text{ }\frac{k{{\rho }_{e}}g}{\eta L}t}}-L$ pour 0 < h < h_o
La surface du sable s'assèche pour t_o tel que : $$$\frac{{{\text{h}}_{\text{o}}}+L}{L}={{e}^{\frac{k{{\rho }_{e}}g}{\eta L}{{t}_{o}}}}$ soit: ${{t}_{o}}=\frac{\eta L}{k{{\rho }_{e}}g}\ln \left( \frac{{{h}_{o}}+L}{L} \right)$
Cas h(t) < 0:
_{$h=-\frac{k}{\eta }{{\rho }_{e}}gt+B\text{ avec h}=0\text{ pour t}={{t}_{\text{o}}}\text{ d }\!\!'\!\!\text{ o }\!\!\grave{\mathrm{u}}\!\!\text{ }h=-\frac{k}{\eta }{{\rho }_{e}}g(t-{{t}_{o}})$}
L'eau écoulée à l'instant t est égale à l'eau présente à t=0 moins l'eau restant à l'instant t:
Si h(t) > 0 eau initiale = h_oSρ_e + eau dans le sable
eau restante = hSρ_e + eau dans le sable m(t) = (h_o - h)ρ_eS m(t) =$\left( {{h}_{o}}+L \right){{\rho }_{e}}S\left( 1-{{e}^{-\text{ }\frac{k{{\rho }_{e}}g}{\eta L}t}} \right)$
à t = t_o , la masse d'eau écoulée est m_o = h_oρ_eS Si h(t) < 0 l'eau écoulée depuis t_o est celle qui était présente dans pores de 0 à h(t).
Il s'est donc écoulé depuis l'instant initial: m(t) = h_oρ_eS +ΦS(-h(t))ρ_e
Soit: $m(t)={{\rho }_{e}}S\left( {{h}_{o}}+\Phi \frac{k{{\rho }_{e}}g}{\eta }\left( t-{{t}_{o}} \right) \right)$

Le changement de régime se fait à t_o = 827 s (l'eau affleure à la surface supérieure du sable).
La masse passée à cet instant est m_o= 30 kg.
Tout est vide lorsque h(t) = -L.
C'est à dire pour t_{f = $\frac{\eta L}{k{{\rho }_{e}}g}+{{t}_{o}}$}=1289 s.
La masse totale passée est m₁ = 30,6 kg.

C5 La vitesse de Darcy (V_z =$\left| \frac{dh}{dt} \right|$) est maximale à l'instant initial. On obtient donc: V_zmax = $\frac{\left( {{h}_{o}}+L \right)k{{\rho }_{e}}g}{\eta L}$= 2,6 mms^-1
D'après A3 et B2 la vitesse maximale dans un pore (au centre du pore) est: v_maxi= 2v_m = 2$\frac{Q}{\pi {{a}^{2}}}=2\frac{{{V}_{z\max }}{{l}^{2}}}{\pi {{a}^{2}}}=\frac{6}{\Phi }{{V}_{z\max }}$
Soit: ${{v}_{\max i}}=\frac{6}{\Phi }$$\frac{\left( {{h}_{o}}+L \right)k{{\rho }_{e}}g}{\eta L}$ v_maxi = 0,156 ms^-1
Le nombre de Reynolds s'écrit: R_e= $\frac{{{v}_{\max i}}a}{\upsilon }$ avec ν = η/ρ_e On trouve: R_e = $\frac{{{v}_{\max i}}l{{\rho }_{e}}}{\eta }\sqrt{\frac{\Phi }{3\pi }}=50$
Pour un milieu confiné comme les pores, l'écoulement peut effectivement être considéré comme laminaire.
C6 On a négligé les forces de capillarité. Moins il y a d'eau plus leur importance relative s'accroit. En particulier, en fin de processus, on ne parvient pas à "vider" complètement les capillaires par le seul effet de la gravité (effet "buvard").
C7 Si le fluide est forcé à traverser les pores depuis le bas, la matrice est soumise à une action verticale ascendante de la part du fluide, du fait de sa viscosité.
Si on considère une tranche de sable gorgée d'eau comprise entre z et z+ dz, elle est soumise à son poids ρ_mSdzg. A l'entrée de chaque pore le fluide extérieur exerce la pression P sur le fluide intérieur (surface πa² par pore). La surface S de "boue" comprend N = S/l² pores sur chacun desquels s'exerce la force Pπa².
La face située en z est donc soumise à P(z) S πa²/l² = P(z)SΦ/3 vers le haut. De même il s'exerce P(z+dz)SΦ/3 vers le bas.
La résultante de ces forces, projetée sur l'axe ascendant s'écrit: df_z=$-\frac{dP}{dz}\frac{\Phi }{3}Sdz-{{\rho }_{m}}gSdz$
Or, d'après C1, $-\frac{dP}{dz}=\frac{\eta }{k}{{V}_{z}}+{{\rho }_{e}}g\text{ }$d'où: df_z = Sdz $\left( \frac{\eta }{k}\frac{\Phi }{3}{{V}_{z}}+\left( \frac{\Phi }{3}{{\rho }_{e}}-{{\rho }_{m}} \right)g \right)\text{ }$
Le sable sera instable et aura tendance à se soulever (il y aura "liquéfaction" du sable) dès que df_z sera positif ou nul, c'est à dire dès que: V_z > V_z^c = $\frac{k}{\eta }\left( \frac{3}{\Phi }{{\rho }_{m}}-{{\rho }_{e}} \right)g$ soit: V_z^c = 3,2 cms^-1
Remarque:
On peut retrouver ce résultat en étudiant directement l'action, sur la matrice, de l'eau qui remonte:
Soit un grain de matrice traversé par un pore vertical. Ce grain de matrice est soumis à son poids: ρ_ml³g et à la contrainte de viscosité verticale ascendante sur la paroi d'un pore:
$-{{\left. \eta \frac{d{{v}_{z}}}{dr} \right]}_{r=a}}2\pi al=-\frac{\eta }{2\eta }\frac{dP}{dz}a2\pi al=-\pi {{a}^{2}}l\frac{dP}{dz}=\pi {{a}^{2}}l\left( \frac{\eta }{k}{{V}_{z}}+{{\rho }_{e}}g \right)$
La résultante ascendante s'écrit:$\pi {a^2}l\left( {\frac{\eta }{k}{V_z} + {\rho _e}g} \right) - {\rho _m}{l^3}g$. D'où la même expression de la vitesse critique. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

D1 Entre a et b ainsi que entre c et d où les effets de la viscosité peuvent être négligés, on peut appliquer le théorème de Bernouilli: $\frac{1}{2}{{\rho }_{e}}{{V}_{a}}^{2}+{{\rho }_{e}}g{{z}_{a}}+{{P}_{a}}=\frac{1}{2}{{\rho }_{e}}{{V}_{b}}^{2}+{{\rho }_{e}}g{{z}_{b}}+{{P}_{b}}\text{ avec }{{\text{V}}_{\text{a}}}\approx 0\text{ }\Rightarrow \text{ }{{P}_{b}}={{\rho }_{e}}gh+{{P}_{o}}-\frac{1}{2}{{\rho }_{e}}{{V}_{b}}^{2}$
$\frac{1}{2}{{\rho }_{e}}{{V}_{d}}^{2}+{{\rho }_{e}}g{{z}_{d}}+{{P}_{d}}=\frac{1}{2}{{\rho }_{e}}{{V}_{c}}^{2}+{{\rho }_{e}}g{{z}_{c}}+{{P}_{c}}\text{ avec }{{\text{V}}_{\text{d}}}\approx 0\text{ }\Rightarrow \text{ }{{P}_{c}}={{\rho }_{e}}ge+{{P}_{o}}-\frac{1}{2}{{\rho }_{e}}{{V}_{c}}^{2}$
D2 Les forces de viscosité ne peuvent plus être négligées au sein de l'aquifère et Bernoulli ne peut plus être appliqué.
Le gradient de pression moyen s'écrit: $\frac{{{P}_{c}}-{{P}_{b}}}{\pi R}=\frac{dP}{dl}$
On obtient, en remarquant que la conservation de la matière dans l'aquifère s'écrit: V_b = V_{c, $\frac{dP}{dl}=\frac{{{\rho }_{e}}g\left( e-h \right)}{\pi R}$}
D3 L'équation d'Euler s'écrit en un point de la colonne (supposée verticale) de fluide libre (supposé parfait) à la sortie de l'aquifère: $\frac{D\mathbf{V}}{Dt}=-\mathbf{grad}P+\rho \mathbf{g}$
V et g sont verticales. La projection sur les axes horizontaux Ox et Oy, donne: $\frac{\partial P}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}=0$.
La pression est donc constante dans un plan horizontal et vaut donc P_o. (Loi des pressions transverses)
On déduit de l'expression de Bernouilli dans le panache la vitesse de sortie de l'aquifère: V_c² = 2eg (Torricelli)
D4 Les résultats de A s'appliquent à l'aquifère: $v=-\frac{{{a}^{2}}}{8\eta }\frac{dP}{dl}=-\frac{S}{8\pi \eta }\frac{{{\rho }_{e}}g(e-h)}{\pi R}$
V_c est assimilable à cette vitesse moyenne, d'où: $v=\frac{S{{\rho }_{e}}g}{8{{\pi }^{2}}\eta R}\left( h-\frac{{{v}^{2}}}{2g} \right)$

Si R $\infty$ v 0
Ceci se réécrit: ${{v}^{2}}+\frac{16{{\pi }^{2}}\eta R}{S{{\rho }_{e}}}v-2gh=0$
Si R 0 v $\sqrt{2gh}$
On tire: $v=-\frac{8{{\pi }^{2}}\eta R}{S{{\rho }_{e}}}+\sqrt{{{\left( \frac{8{{\pi }^{2}}\eta R}{S{{\rho }_{e}}} \right)}^{2}}+2gh}$
D5 On obtient pour S = 1m² et h = 50m v = 29,8 ms^-1 e = 45,2 m
La perte de charge (5 m) dans la galerie est très faible. Ceci est dû à la forte dimension transversale. (conduite forcée EDF)
Le nombre de Reynolds vaut: R_e = $\frac{{{\rho }_{e}}v\sqrt{S}}{\eta }$ = 3 10⁷ . L'hypothèse laminaire dans ce type de conduite est erronée.
D6 La pression de sortie est P_c = P_o et cette fois la vitesse d'écoulement dans le milieu poreux est très faible. On peut donc écrire P_b = hρ_eg + P_o.
L'expression de la vitesse de Darcy applicable à ce milieu poreux fournit alors ici:
$v=-\frac{k}{\eta }\frac{dP}{dl}=\frac{k}{\eta }\frac{h{{\rho }_{e}}g}{\pi R}$ On tire, avec le débit: Q = vS: $k=\frac{Q\eta \pi R}{h{{\rho }_{e}}gS}$ k = 2 10^-9 m²
D7Avec les résultats obtenus dans les parties précédentes: k = $\frac{{{\Phi }^{2}}{{l}^{2}}}{72\pi }$ et $\Phi =3\pi \frac{{{a}^{2}}}{{{l}^{2}}}$ on tire:
$l=\frac{\sqrt{72\pi k}}{\Phi }=7\text{ }mm\text{ et a}=\text{l}\sqrt{\frac{\Phi }{\text{3}\pi }}=0,7\text{ mm}$

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E1 Soit S(r) la surface de la sphère de rayon r. (S(r) = 4πr²)

Il entre la puissance: q(r)S(r). Il sort: q(r+dr)S(r+dr)
La puissance échangée par la couche sphérique par conduction thermique est donc:
q(r)S(r) - q(r+dr)S(r+dr) =$-\frac{\partial (qS)}{\partial r}dr=-4\pi \frac{\partial ({{r}^{2}}q)}{\partial r}dr$
E2 La puissance produite dans le volume S(r)dr concerné s'écrit: HρS(r)dr = 4πr²ρHdr
L'élévation de température dT nécessite l'énergie: ρSdrc_pdT.
Cette variation de température est observée pour une durée dt, la puissance nécesaire est donc: 4πr²ρdrc_{p$\frac{\partial T}{\partial t}$}.
On déduit: $-4\pi \frac{\partial ({{r}^{2}}q)}{\partial r}dr+4\pi {{r}^{2}}\rho Hdr=4\pi {{r}^{2}}\rho dr{{c}_{p}}\frac{\partial T}{\partial t}$ ou bien $\rho {{c}_{p}}{{r}^{2}}\frac{\partial T}{\partial t}={{r}^{2}}\rho H-\frac{\partial ({{r}^{2}}q)}{\partial r}$
E3 L'obtention du résultat demandé est immédiat $\rho {{c}_{p}}\frac{\partial T}{\partial t}=\rho H+\frac{\lambda }{{{r}^{2}}}\frac{\partial ({{r}^{2}}\frac{\partial T}{\partial r})}{\partial r}$
Unités: ρ kgm⁻³
c_p Jkg^-1K^-1 soit: kgm²s^-2kg^-1K^-1 ou m²s^-2K^-1
H Js^-1kg^-1 soit: kgm²s^-2s^-1kg^-1 ou m²s^-3
λ Js⁻¹m^-2mK^-1 kgm²s^-2s^-1m^-1K^-1 ou kgms^-3K^-1
E4 En régime permanent $\frac{\partial T}{\partial t}=0$:
A l'interface en r = r_m il doit y avoir continuité de la température ainsi que du flux thermique, et donc de $\frac{\partial T}{\partial r}$ puisque la conductivité est la même de part et d'autre de l'interface.
Pour 0$\le$r$\le$r_{m ,} l'équation de la chaleur s'écrit: $\frac{\lambda }{{{r}^{2}}}\frac{\partial ({{r}^{2}}\frac{\partial T}{\partial r})}{\partial r}=0\Rightarrow {{r}^{2}}\frac{\partial T}{\partial r}=K$
On tire: T = $\frac{K}{r}+K'$ En r = 0 la température ne pouvant prendre de valeur infinie, K =0.
Il reste donc T = K' =T_c = T_m (où T_c est la température au centre et T_m la température à l'interface en r_m)
La température est constante (mais inconnue à ce stade du raisonnement). On en déduit que $\frac{dT}{dr}=0$ (y compris en r = r_m)
Pour r$\ge {r_m}$, l'équation de la chaleur devient: $\frac{\partial ({{r}^{2}}\frac{\partial T}{\partial r})}{\partial r}=-\frac{\rho H}{\lambda }{{r}^{2}}\Rightarrow {{r}^{2}}\frac{\partial T}{\partial r}=-\frac{\rho H}{3\lambda }{{r}^{3}}+K''$
En r = r_m $\frac{\partial T}{\partial r}=0\text{ On tire K }\!\!'\!\!\text{ }\!\!'\!\!\text{ }=\frac{\rho \text{H}}{\text{3}\lambda }r_{m}^{3}$ d'où: $\frac{\partial T}{\partial r}=-\frac{\rho H}{3\lambda }r+\frac{\rho Hr_{m}^{3}}{3\lambda }\frac{1}{{{r}^{2}}}$ et donc $$$T=-\frac{\rho H}{6\lambda }{{r}^{2}}-\frac{\rho Hr_{m}^{3}}{3\lambda }\frac{1}{r}+K'''$
En r = R , T = T_o d'où $K'''={{T}_{o}}+\frac{\rho H}{6\lambda }{{R}^{2}}+\frac{\rho Hr_{m}^{3}}{3\lambda }\frac{1}{R}$

On obtient enfin: $T={{T}_{o}}+\frac{\rho H}{3\lambda }\left( \frac{{{R}^{2}}-{{r}^{2}}}{2}+r_{m}^{3}\left( \frac{1}{R}-\frac{1}{r} \right) \right)$
La température maximale est obtenue pour $\frac{{\partial T}}{{\partial r}} = 0$, c'est à dire pour q = 0 et donc pour r = r_m. il s'agit donc de la température T_c = T_m = T(r_m).
On obtient: ${{T}_{c}}={{T}_{m}}={{T}_{o}}+\frac{\rho H}{3\lambda }\left( \frac{{{R}^{2}}}{2}+\frac{r_{m}^{3}}{R}-\frac{3}{2}r_{m}^{2} \right)$ T_c = 447K (Valeur très nettement sous estimée!)
${{\left. \frac{\partial T}{\partial r} \right]}_{r=R}}=\frac{\rho H}{3\lambda }\left( \frac{{{r}_{m}}^{3}-{{R}^{3}}}{{{R}^{2}}} \right)\text{ soit -10}\text{,45 Kk}{{\text{m}}^{\text{-1}}}$ (cette fois l'ordre de grandeur est correct)
E5
D'où:$q\left( R \right) = \frac{{\rho H}}{3}\left( {\frac{{{R^3} - r_m^3}}{{{R^2}}}} \right)$ le flux thermique total en surface s’écrit donc : ${P_{tot}} = 4\pi {R^2}q\left( R \right) = \frac{4}{3}\pi \left( {{R^3} - r_m^3} \right)\rho H$
On reconnaît précisément la totalité de la puissance radioactive dissipée dans la croûte.
La flux thermique total évacué à la surface de la planète peut donc s'écrire en généralisant ce résultat:
${{P}_{tot}}=\int_{0}^{R}{4\pi {{r}^{2}}\rho (r)H(r)dr}$
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F1 En dérivant l'équation de la chaleur par rapport à z on obtient: $\rho {{c}_{p}}\frac{\partial \left( \frac{\partial T}{\partial t} \right)}{\partial z}=\lambda \frac{{{\partial }^{3}}T}{\partial {{z}^{3}}}\,$ou bien grâce au théorème de Schwartz: $\rho {{c}_{p}}\frac{\partial \left( \frac{\partial T}{\partial z} \right)}{\partial t}=\lambda \frac{{{\partial }^{3}}T}{\partial {{z}^{3}}}\,$
Il suffit ensuite de remplacer $\frac{\partial T}{\partial z}\text{ par -}\frac{\text{q}}{\lambda }$ (Fourier), pour obtenir l'équation: $\frac{\partial q}{\partial t}=D\frac{{{\partial }^{2}}q}{\partial {{z}^{2}}}\,$
F2 A l'instant t = 0, T est uniforme (pour z$\ne$0) et vaut T_o, d'où: q(0,z) = 0 $\forall z \ne 0$
Lorsque t $+ \infty$, la planète s'est totalement refroidie pour prendre uniformément la température T_s, d'où: $q(\infty ,z)=0\text{ }\forall \text{z}$
A l'instant t = 0, la température de la surface est T_s mais au voisinage immédiat la température est T_o$\ne$T_s.
${{\left. \frac{\partial T}{\partial z} \right]}_{z=0}}$(et donc q) peut donc être considéré comme infini dans ce modèle. D'où: $q(t,0)\to \infty \text{ quand t}\to 0$
La fonction proposée satisfait aux conditions aux limites; En effet:
t$\infty$ exp(-z²/4Dt)1 et q0 $\forall z$
t0 si z$\ne$0 exp(-z²/4Dt)0 et q0 car l'exponentielle l'emporte sur la puissance
si z = 0 q(0,t) = $-\frac{A}{\sqrt{Dt}}$ et q $- \infty$

La fonction proposée satisfait à l'équation différentielle proposée. En effet:
$\frac{\partial q}{\partial t}=\frac{1}{2}\frac{A}{\sqrt{D{{t}^{3}}}}{{e}^{-\text{ }\frac{{{z}^{2}}}{4Dt}}}-\frac{A}{\sqrt{Dt}}\left( \frac{{{z}^{2}}}{4D{{t}^{2}}} \right){{e}^{-\text{ }\frac{{{z}^{2}}}{4Dt}}}=\frac{1}{2}\frac{A}{\sqrt{D{{t}^{3}}}}{{e}^{-\text{ }\frac{{{z}^{2}}}{4Dt}}}\left( 1-\frac{{{z}^{2}}}{2Dt} \right)$
$\frac{\partial q}{\partial z}=\frac{A}{\sqrt{Dt}}\frac{z}{2Dt}{{e}^{-\text{ }\frac{{{z}^{2}}}{4Dt}}}$
$\frac{{{\partial }^{2}}q}{\partial {{z}^{2}}}=\frac{A}{\sqrt{Dt}}\left( \frac{1}{2Dt}-\frac{{{z}^{2}}}{4{{D}^{2}}{{t}^{2}}} \right){{e}^{-\text{ }\frac{{{z}^{2}}}{4Dt}}}=\frac{A}{2\sqrt{D{{t}^{3}}}}{{e}^{-\text{ }\frac{{{z}^{2}}}{4Dt}}}\left( 1-\frac{{{z}^{2}}}{2Dt} \right)\frac{1}{D}$
On a bien: $\frac{\partial q}{\partial t}=D\frac{{{\partial }^{2}}q}{\partial {{z}^{2}}}\,$
Quand t augmente, l'amplitude diminue, mais la largeur augmente.
F4 On a vu en E3 les dimensions de λ, ρ et c_p:
[λ] = [M][L][T]^-3[Θ]⁻¹
[ρ] = [M][L] ^-3 On en tire: [D] = [L]²[T]^-1
[c_p] = [L]²[T]^-2[Θ]⁻¹
[q] = [M][T]^-3 a la dimension de $\frac{A}{\sqrt{Dt}}$ d'où: [A] = [M][L][T]^-3
La dimension proposée par l'expression de l'énoncé est: [A] = [Θ]^α[M]^β[L]^β[T]^−3β[Θ]^−β[M]^γ[L]^−3γ[L]^2δ[T]^−2δ[Θ]^−δ
On tire le système d'équations: α − β − δ = 0 α = 1
β + γ = 1 γ = 1 − β γ = 0
β − 3γ + 2δ = 1 β−3+3β−3β+3=1et β = 1
−3β − 2δ = −3 2δ = −3β + 3 δ = 0 On tire l'expression de A: A = aλ(Τ_ο -T_s)
F5 L'énoncé donne: $A=\frac{\left( {{T}_{o}}-{{T}_{s}} \right)\lambda }{\sqrt{\pi }}$
D'où:: $q(0,t)=-\frac{\left( {{T}_{o}}-{{T}_{s}} \right)\lambda }{\sqrt{\pi Dt}}$ et avec la loi de Fourier: ${{\left. \frac{\partial T}{\partial z} \right]}_{z=0}}=\frac{\left( {{T}_{o}}-{{T}_{s}} \right)}{\sqrt{\pi Dt}}$
L'âge de la terre déduit par Lord Kelvin est alors: $t = \frac{{{{\left( {{T_o} - {T_s}} \right)}^2}}}{{\pi D{{\left( {{{\left. {\frac{{\partial T}}{{\partial z}}} \right]}_{z = 0}}} \right)}^2}}}$ soit avec les valeurs de Lord Kelvin, un âge compris entre 10 et 40 millions d'années.

F6 Kelvin se trompe d'un facteur de plus de 100 (âge de 4,5 milliards d'année)
Il a trouvé un refroidissement trop rapide en ne prenant pas en compte l'énergie volumique produite par radioactivité au sein de la terre (1^ère partie du problème)
Thomson (ou bien Lord Kelvin) 1824-1907 fait les calculs ci-dessus vers 1862. La radioactivité n'est découverte par Becquerel qu'en 1896 (puis confirmée par Marie Curie).
En définitive, aucun des deux résultats n'est satisfaisant:
E4 En n'expliquant le flux sortant que par la radioactivité dans un cadre stationnaire. Le lent refroidissement de la terre est donc évacué.
F5 En ne prenant pas en compte la production interne de chaleur par radioactivité qui retarde le refroidissement de la terre. ===================================== FIN =============================================

Concours Physique ENS (Ulm, Lyon et Cachan) BCPST 2000 (Énoncé)

SESSION 2000
Filière BCPST
PHYSIQUE
(Épreuve commune aux ENS: Ulm, Lyon et Cachan)
DURÉE :4 heures
L’usage de calculatrices électroniques de poche à alimentation autonome, non imprimantes et sans document d’accompagnement, est autorisé. Cependant, une seule calculatrice à la fois est admise sur la table ou le poste de travail, et aucun échange n’est autorisé entre les candidats.
Le problème développe une introduction à l’hydrologie physique (sections A, B, C et D). Les sections E et F. étudient des solutions particulières de l’équation de la chaleur. Chaque section peut être résolue indépendamment.

A Écoulement de Poiseuille
On considère un tuyau cylindrique horizontal de rayon a d’axe Ox. Dans ce tuyau circule un fluide newtonien de masse volumique ρ et de viscosité dynamique η. L’écoulement est permanent et laminaire et chaque particule de fluide ne se déplace que selon Ox à la vitesse v_x(r) où r est la distance à l’axe du tuyau. On admet que la pression varie à l’intérieur du tube de façon linéaire avec x, c’est à dire que dP/dx est une constante.
A1) Établir les conditions d’équilibre d’un anneau de fluide situé entre les abscisses x et x + dx, les rayons r et r + dr. On notera τ(r) les contraintes tangentielles visqueuses par unité de surface s’exerçant sur cet anneau. Ces contraintes ont un signe tel qu’elles freinent les filets d’eau les plus rapides et accélèrent les plus lents.
A2) La contrainte τ est proportionnelle au gradient de vitesse, et, en valeur absolue,
$\left| \tau \right| = \eta .\left| {\frac{{{\rm{d}}{v_x}}}{{{\rm{d}}r}}} \right|$
Établir l’équation différentielle qui relie la vitesse v_x(r) au gradient de pression dP/dx dans le tuyau. Calculer et représenter schématiquement le profil de vitesse.
A3) Établir la relation qui relie le débit volumique de fluide dans le tuyau, Q (en m³/s), au gradient de pression. On définit la vitesse moyenne du fluide v_m comme le rapport du débit volumique par la section du tube. En déduire que cette vitesse vérifie : ${v_m} = - \frac{{{a^2}}}{{8\eta }}.\frac{{{\rm{d}}P}}{{{\rm{d}}x}}$

B Loi de Darcy
On considère un milieu poreux constitué d’un empilement régulier de cubes de côtés l, percés à travers chaque face d’un pore cylindrique de rayon a. On supposera que a << l. On appelle porosité et on note φ, le rapport du volume des pores sur le volume total (le volume total est la somme du volume des pores et du volume de la matrice).

Figure 1: Cube élémentaire
B1) Quelle est la porosité du matériau constitué des cubes élémentaires de la Figure 1 ?
B2) On maintient un gradient de pression dP/dx à travers la phase liquide du milieu poreux. On définit la vitesse macroscopique ou vitesse de Darcy V_x du liquide de telle sorte que le débit du fluide à travers une surface du matériau poreux, S, perpendiculaire à Ox, soit égale à V_x.S. On admettra que l’écoulement dans chaque pore est permanent et laminaire. Montrer que :
${V_x} = - \frac{{{\varphi ^2}.{l^2}}}{{72\pi .\eta }}.\frac{{{\rm{d}}P}}{{{\rm{d}}x}}$
B3) On va admettre, dans tout milieu poreux, la loi de Darcy :
$\vec V = - \frac{k}{\eta }.\overrightarrow {{\rm{grad}}} P$
Quelle est l’unité de k ? Exprimer la perméabilité k pour le réseau de la Figure 1.
B4) La matrice et le fluide ont des conductivités électriques respectives, σ_m et σ_f. Calculer la conductivité électrique macroscopique moyenne σ du milieu poreux saturé constitué des cubes de la Figure 1. Le milieu poreux est saturé avec un électrolyte de résistivité bien plus faible que celle de la matrice. Montrer que :
$\varphi \approx 3\frac{\sigma }{{{\sigma _f}}}$

C Perméamètre
On considère le dispositif expérimental de la Figure 2 où une épaisseur L d’un milieu poreux constitué de sable est introduit dans un cylindre de section S d’axe Oz pointant verticalement vers le haut. L’origine des ordonnées sera prise à la surface supérieure du sable. Ce cylindre est fermé dans le bas par une toile métallique recouverte d’une couche de coton. On verse de l’eau au sommet du sable. Lorsqu’une première goutte d’eau a traversé le perméamètre, la hauteur d’eau est h₀. On observe ensuite, au cours du temps t, une diminution de la hauteur d’eau h(t) à la vitesse V_z(t). La masse m(t) d’eau ayant traversée le sable est mesurée. L’écoulement est toujours suffisamment lent pour être quasi permanent, c’est à dire pour que les accélérations soient négligeables.

Figure 2 : Perméamètre
C1) La masse volumique de l’eau est ρ_e,l’attraction de la gravité a pour module g. Expliquer pourquoi, dans cette géométrie, la loi de Darcy s’écrit : INCORPORER Equation.3 C2) Calculer le gradient de pression à travers le milieu poreux. On distinguera les cas où h(t) > 0 et où h(t) < 0 (c’est à dire lorsque la partie supérieure du milieu poreux est déjà drainée). Donner, sans les résoudre, les équations différentielles vérifiées par h(t).C3) On va utiliser l’expression de la perméabilité obtenue à la question (B3) pour modéliser celle du sable. Pensez-vous que ce soit un bon modèle ?C4) Donner l’expression de h(t) en distinguant les cas h(t) > 0 et h(t) < 0. On indiquera à quel temps la surface du sable s’assèche. Donner l’expression de m(t). Étudier et représenter m(t). On utilisera : ( = 0,1 ; g = 9,8 m s2 ; L = 20 cm ; h0 = 1 m ;  = 103 Pa.s ; l = 1 mm ; e = 1000 kg m3 ; S = 3.102 m2.C5) Quelle est la vitesse maximale du fluide dans un pore ? Exprimer la valeur du nombre de Reynolds en fonction des paramètres du problème. L’écoulement est-il bien laminaire ?C6) En fait notre solution n’est pas très bonne lorsque h(t) < 0. Pouvez-vous nommer les forces que nous n’aurions pas du négliger ?C7) On note m la masse volumique de la matrice (m = 2500 kg m3). On modifie le dispositif expérimental (Figure 3) pour injecter le liquide par en dessous à vitesse Vz (positive). La surface du sable est au sommet du cylindre de telle façon que l’eau ayant traversé s’évacue.Figure 3 : Perméamètre avec injection du liquide par en dessous.Montrer qu’il existe une vitesse critique VzC au delà de laquelle le milieux est instable. Ce phénomène est appelé liquéfaction du sable. Exprimer et calculer VzC.D Étude d’un aquifèreOn considère un aquifère (Figure 4), c’est à dire une formation perméable, qui suit les couches semi circulaires d’un synclinal de rayon R. L’aquifère a une section S. L’entrée de l’aquifère (b) est à la profondeur h sous la surface d’un lac (a). La sortie de cet aquifère (c) est à la même altitude que (b). L’eau (de densité e et de viscosité dynamique ) peut éventuellement jaillir pour former une source dite artésienne et atteindre une hauteur e au point (d).La longueur totale de l’aquifère est bien supérieure à h ou e. La pression atmosphérique P0 est la même au voisinage des points (a), (c) ou (d). La pression en (b) sera notée Pb, la pression en (c), dans le panache, sera notée R → 0 et R → +∞.

Pc.Figure 4 : Aquifère (la figure n’est pas à l’échelle)D1) Exprimer le théorème de Bernoulli entre les points (a) et (b) puis entre les points (c) et (d).D2) Peut-on utiliser le théorème de Bernoulli entre (b) et (c) ? Exprimer le gradient de pression moyen le long de l’aquifère en fonction de h, e et R.D3) On admet qu’au voisinage de la sortie (c), les lignes de courant sont parallèles entre elles et verticales ; montrer que la pression est uniforme dans toute section transverse à l’axe du panache et est donc égale à P0.D4) Si l’aquifère était une galerie vide de section circulaire, parcourue par un écoulement laminaire, montrer que la vitesse moyenne du fluide serait : INCORPORER Equation.3 Indiquer l’allure de la fonction implicite qui relie la vitesse v à R. On étudiera en particulier les régimes asymptotiques
D5) On admet que S = 1 m², h = 50 m et R = 2 km. Quelle est la vitesse moyenne du fluide ? Jusqu’à quelle hauteur l’eau jaillit-elle ? La perte en charge dans la galerie est-elle importante ? L’hypothèse de laminarité est-elle raisonnable ?
D6) En fait, l’aquifère est une formation poreuse de perméabilité k et l’eau ressort sans panache artésien. Exprimer la vitesse moyenne du fluide. Le débit de la source est de 10 litres par minute. Quelle est la perméabilité de l’aquifère ?
D7) La porosité de la formation de l’aquifère est estimée à 0,1. Quelles sont les tailles caractéristiques des grains de matrice et des pores de cette formation ?
E Équation de la chaleur en coordonnées sphériques
On considère une planète sphérique, conductrice de la chaleur en l’absence de tout transfert d’énergie autre que par conduction, où la température T(r) décroît avec le rayon r. La surface de la planète se situe au rayon r = R. La planète a une conductivité λ, une masse volumique ρ et une chaleur massique c_p, toutes trois uniformes. Elle contient des sources radioactives qui dégagent une puissance thermique par unité de masse, H(r) (en W.kg⁻¹) qui peut varier avec le rayon.
E1) On note q la densité de flux thermique radial (en W.m⁻²) à la profondeur r et l’instant t. Écrire le bilan de la variation de puissance thermique dans le volume situé entre les rayons r et r + dr en fonction de la densité de flux.
E2) Par conservation de l’énergie, cette variation de puissance thermique est due à une production d’énergie et à une variation temporelle de la température. En déduire une équation différentielle reliant q, T et H.
E3) La loi de Fourier en coordonnées sphériques indique que la densité de flux thermique radial vérifie :
$q = - \lambda .\left( {\frac{{\partial T}}{{\partial r}}} \right)$
En déduire l'expression de l’équation de la chaleur :
$\rho .{c_p}.\left( {\frac{{\partial T}}{{\partial t}}} \right)= \lambda .\frac{1}{{{r^2}}}.\frac{{\partial \left( {{r^2}.\frac{{\partial T}}{{\partial r}}} \right)}}{{\partial r}} + \rho .H$
Donner les dimensions de toutes les quantités apparaissant dans cette équation en unités de base c’est à dire en kg, K, s et m.

E4) On se place en régime permanent et on suppose qu’il n’y a pas de sources radioactives de r = 0 à r = r_m et que H est uniforme entre les rayons r_m et R. La température en surface est T = T₀. Quelle condition doit-on appliquer en r = r_m ? Donner l’expression de la température T(r) et indiquer l’allure de cette fonction. Quelle est la température maximale ? Si la Terre était en régime conductif, permanent, avec tous ses éléments radioactifs contenus dans la croûte (R = 6370 km ; r_m = 6340 km ; ρ = 2800 kg m⁻³ ; H = = 5.10⁻¹⁰° W kg⁻¹ ; λ = 4 W.m⁻¹.K⁻¹, T₀ = 290 K), quelle serait la valeur du gradient de température dT/dr en K.km⁻¹ près de la surface de la Terre ? Quelle serait la température au centre de la Terre ?
E5) Exprimer le flux thermique total en surface de la planète en fonction de la quantité totale de puissance radioactive dissipée. Généraliser ce résultat à partir du résultat de la question E2 pour une puissance radioactive constante dans le temps mais qui varierait en fonction de la profondeur.
F Estimation de l’âge de la Terre par Lord Kelvin
On néglige maintenant la sphéricité et les sources radioactives de la planète de la partie E. mais on ne se place pas en régime permanent. On admet que la température ne dépend que de la profondeur z comptée positivement. La température vérifie donc l’équation de la chaleur :
$\rho .{c_p}.\left( {\frac{{\partial T}}{{\partial t}}} \right) = \lambda .\frac{{{\partial ^2}T}}{{\partial {z^2}}}$
et la loi de Fourier :
$q = - \lambda .\left( {\frac{{\partial T}}{{\partial z}}} \right)$
F1) Écrire l’équation différentielle vérifiée par la densité de flux thermique. On notera la diffusivité thermique D, D = λ/ρ.c_p .
Au milieu du XIX^ième siècle, Lord Kelvin a imaginé que la Terre a été formée à une température élevée uniforme T₀ au moment t = 0. Instantanément, sa surface a été soumise à une température T_S. Depuis ce temps là, la planète se refroidirait. Lord Kelvin a modélisé ce refroidissement pour en déduire l’âge de formation de la Terre.

F2) La densité de flux thermique est donc une fonction de la profondeur et du temps, q(z, t). Dans l’hypo-thèse de Lord Kelvin, quelle doit être la valeur de la densité de flux thermique en z = 0 lorsque t tend vers zéro, et lorsqu’il tend vers +∞ ? Quelle doit être la valeur de la densité de flux thermique à une profondeur z non nulle lorsque t tend vers zéro, et lorsqu’il tend vers +∞ ?
F3) Vérifier que la solution proposée par Lord Kelvin :
$q\left( {z,t} \right) = \frac{A}{{\sqrt {D.t} }}.\exp \left( { - \frac{{{z^2}}}{{4D.t}}} \right)$
où t est le temps écoulé depuis la formation de la Terre est bien la bonne. Dessiner schématiquement la valeur absolue de la densité de flux thermique, en fonction de la profondeur pour deux époques différentes.
F4) Les paramètres du problème sont (T₀ − T_S), λ, ρ et c_p.
On suppose que A = a.(T₀ − T_S)^α.λ^β.ρ^γ.c_p^δ où a, α, β, γ et δ sont des constantes sans dimensions. Calculer α, β, γ et δ par analyse de l’homogénéité de la formule de Lord Kelvin.
F5) Par un raisonnement que l’on ne cherchera pas à reproduire, on peut montrer que a = $\frac{1}{{\sqrt \pi }}$. Exprimer la valeur du gradient thermique en surface de la Terre $\left( {\frac{{\partial T}}{{\partial z}}} \right)$. Lord Kelvin a admis que (T₀ − T_S) était de l’ordre de 1000 à 2000 K et que D est proche de 10⁻⁶ m².s⁻¹, l’augmentation de température avec la profondeur mesurée dans les mines indiquait un gradient thermique proche de 30 K.km⁻¹. Quel âge de la Terre Lord Kelvin a-t-il déduit de son modèle ?

F6) Que pensez vous de l’estimation précédente de l’âge de la Terre ? Quel est le ou les ingrédients physiques que Lord Kelvin n’aurait pas du négliger ? Pourquoi l’a-t-il ou les a-t-il négligé ? Commenter les résultats des questions E4 et F5.

Concours Physique ENS Ulm, Lyon, Cachan (BCPST) 1999 (Corrigé)

Corrigé ENS Bio 1999 ; durée : 4 h
Marche aléatoire d’une particule libre (fait en 1 h 30)
A) 1)

$\left\langle {{a_i}} \right\rangle$	$\left\langle {{a_i}\;.\;{a_j}} \right\rangle$		$\left\langle {{r_N}} \right\rangle$	$\left\langle {{r_N}^2} \right\rangle$
	$i\; \ne \;j$	i = j
$-a\frac{1}{2}+a\frac{1}{2}$	$\begin{array}{l}\left( { - \;a\;\frac{1}{2}} \right)\;.\;\left( { - \;a\;\frac{1}{2}} \right)\\ + \;\left( { - \;a\;\frac{1}{2}} \right)\;.\;\left( { + \;a\;\frac{1}{2}} \right)\\ + \;\left( { + \;a\;\frac{1}{2}} \right)\;.\;\left( { - \;a\;\frac{1}{2}} \right)\\ + \;\left( { + \;a\;\frac{1}{2}} \right)\;.\;\left( { + \;a\;\frac{1}{2}} \right)\\ = \;\frac{{{a^2}}}{4}\; - \;\frac{{{a^2}}}{4}\; - \;\frac{{{a^2}}}{4}\; + \;\frac{{{a^2}}}{4}\end{array}$	$\begin{array}{l}\left( { - \;a\;\frac{1}{2}} \right)\;.\;\left( { - \;a\;\frac{1}{2}} \right)\\ + \;\left( { + \;a\;\frac{1}{2}} \right)\;.\;\left( { + \;a\;\frac{1}{2}} \right)\\ = \;\frac{{{a^2}}}{4}\; + \;\frac{{{a^2}}}{4}\end{array}$	$\begin{array}{l}\left\| {\sum\limits_{i = 1}^N {{a_i}} \;.\;\overrightarrow {{u_x}} } \right\|\\ = \;\sum\limits_{i = 1}^N {{a_i}} \;.\;\left\| {\overrightarrow {{u_x}} } \right\|\\ = \;N\;.\;\left\langle {{a_i}} \right\rangle \;.\;1\end{array}$	$\begin{array}{l}\sum\limits_{i = 1}^N {{a_i}^2} \\ = \;N\;.\;\left\langle {{a_i}^2} \right\rangle \end{array}$
0	0	$\frac{{{a^2}}}{2}$	0	$N\;\frac{{{a^2}}}{2}$

2) En tenant compte de l'isotropie de la distribution des vitesses, la "longueur" moyenne du déplacement sur chaque axe est $- \;\frac{a}{{\sqrt 3 }}$et $+ \;\frac{a}{{\sqrt 3 }}$ avec une probabilité égale de $\frac{1}{2}$

$\left\langle {{a_{ix}}} \right\rangle$	$\left\langle {{a_{ix}}^2} \right\rangle$	$\left\langle {{r_N}} \right\rangle$	$\left\langle {{r_N}^2} \right\rangle$
$- \;\frac{a}{{\sqrt 3 }}\;\frac{1}{2}\; + \;\frac{a}{{\sqrt 3 }}\;\frac{1}{2}$Z	$\begin{array}{l}\left( { - \;\frac{a}{{\sqrt 3 }}\;\frac{1}{2}} \right)\;.\;\left( { - \;\frac{a}{{\sqrt 3 }}\;\frac{1}{2}} \right)\\ + \;\left( { + \;\frac{a}{{\sqrt 3 }}\;\frac{1}{2}} \right)\;.\;\left( { + \;\frac{a}{{\sqrt 3 }}\;\frac{1}{2}} \right)\end{array}$Z	$\begin{array}{l}\left\| {\sum\limits_{i = 1}^N {{a_{ix}}} \;.\;\overrightarrow {{u_x}} \; + \;\sum\limits_{i = 1}^N {{a_{iy}}} \;.\;\overrightarrow {{u_y}} \; + \;\sum\limits_{i = 1}^N {{a_{iz}}} \;.\;\overrightarrow {{u_z}} } \right\|\\ = \left\| {N\left\langle {{a_{ix}}} \right\rangle \;\overrightarrow {{u_x}} \; + \;N\left\langle {{a_{iy}}} \right\rangle \;\overrightarrow {{u_y}} \; + \;N\left\langle {{a_{iz}}} \right\rangle \;\overrightarrow {{u_z}} } \right\|\\ = \;\left\| {N.0\;\overrightarrow {{u_x}} \; + \;N.0\;\overrightarrow {{u_y}} \; + \;N.0\;\overrightarrow {{u_z}} } \right\|\end{array}$Z	$\begin{array}{l}\sum\limits_{i = 1}^N {\left( {{a_{ix}}^2\; + \;{a_{iy}}^2\; + \;{a_{iz}}^2} \right)} \\ = \;N\left\langle {{a_{ix}}^2} \right\rangle \; + \;N\left\langle {{a_{iy}}^2} \right\rangle \; + \;N\left\langle {{a_{iz}}^2} \right\rangle \\ = \;N\frac{{{a^2}}}{6}\; + \;N\frac{{{a^2}}}{6}\; + \;N\frac{{{a^2}}}{6}\end{array}$Z
0	$\frac{{{a^2}}}{6}$Z	0	$N\;\frac{{{a^2}}}{2}$Z

3)
$\left[ {{p_N}\;.\;{d^3}V} \right]\; = \;1\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {{A_N}} \right]\; = \;{L^{ - 3}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left[ {{B_N}\;.\;{{\left\| {\overrightarrow r } \right\|}^2}} \right]\; = \;1\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\,\left[ {{B_N}} \right]\; = \;{L^{ - 2}}$Z

4) $\iiint_{espace}{{{A}_{N}}{{e}^{-{{B}_{N}}\ {{r}^{2}}}}\ {{d}^{3}}V}\ =\ 1\ =\ {{A}_{N}}\ \int_{0}^{+\infty }{{{e}^{-{{B}_{N}}\ {{r}^{2}}}}\ {{r}^{2}}\ dr\ .\ \int_{0}^{2\pi }{d\varphi \ .\ \int_{0}^{\pi }{\sin \theta \ d\theta }\ }}={{A}_{N}}\ \frac{1}{{{B}_{N}}^{3/2}}\ \int_{0}^{+\infty }{{{e}^{-{{u}^{2}}}}.{{u}^{2}}.du}\ .\ 2\pi \ .\ 2\ =\ \frac{4\pi \ {{A}_{N}}}{{{B}_{N}}^{3/2}}\ {{I}_{1}}\ =\ \frac{{{\pi }^{3/2}}\ {{A}_{N}}}{{{B}_{N}}^{3/2}}\ \Leftrightarrow$
$\;{\pi ^3}\;{A_N}^2\; = \;{B_N}^3\;$Z
5)$\iiint_{espace}{{{r}^{2}}{{A}_{N}}{{e}^{-{{B}_{N}}{{r}^{2}}}}{{d}^{3}}V=\frac{N{{a}^{2}}}{2}}  ={{A}_{N}}\int_{0}^{+\infty }{{{e}^{-{{B}_{N}}{{r}^{2}}}}{{r}^{4}}dr}.\int_{0}^{2\pi }{d\varphi }.\int_{0}^{\pi }{\sin \theta d\theta } ={{A}_{N}}\frac{1}{B_{N}^{5/2}}\int_{0}^{+\infty}{{{e}^{-{{u}^{2}}}}.{{u}^{4}}.du}.2\pi .2=\frac{4\pi{{A}_{N}}}{B_{N}^{5/2}}{{I}_{2}}=\frac{3{{\pi}^{3/2}}{{A}_{N}}}{2B_{N}^{5/2}} \Leftrightarrow$
$\;9{\pi ^3}\;.\;{A_N}^2\; = \;{N^2}\;{a^4}\;{B_N}^5\;$Z
En combinant les deux résultats, on obtient : $\;{p_N}\left( {\overrightarrow r } \right)\; = \;{\left( {\frac{3}{{\pi \;N\;{a^2}}}} \right)^{3/2}}\;{e^{ - \;\frac{{3\;{r^2}}}{{N\;{a^2}}}}}\;$
Ceci n'a de sens que pour $\left\| {\overrightarrow r } \right\|\; < < \;\sqrt {\frac{N}{3}} \;a$, ce qui est justifié pour N >>1, mais fini.
B) 1) La probabilité pour qu'une particule arrive en $\overrightarrow r$, à δV près, après N pas, étant : p_N δV , le nombre de particules, prises parmi n émises en O, qui arrivent en $\overrightarrow r$, à δV près, après N pas, est δn = n p_N δV.
Pour accomplir ces N pas, elles auront mis une durée t = Na/u. Donc :
$\;\frac{{\delta n}}{{\delta V}}\; = \;c\left( {\overrightarrow r ,t} \right)\; = \;n\;{\left( {\frac{3}{{\pi \;u\;a\;t}}} \right)^{3/2}}\;{e^{ - \;\frac{{3\;{r^2}}}{{u\;a\;t}}}}\;$
2) Il faut que ${e^{ - \;\frac{{3\;r{*^2}}}{{u\;a\;t}}}}\; = \;\frac{1}{{100}}\; \Leftrightarrow \;$$\;r*\; = \;\sqrt {\frac{{u\;a\;t\;2\;\ln 10}}{3}} \;$.
Ceci est censé faire penser à la loi de Fick ; mais le programme se limite pour cette loi à l'étude du régime permanent !
3) $c\left( {\overrightarrow r ,t} \right)\; = \;n\;{\left( {\frac{3}{{\pi \;u\;a\;t}}} \right)^{3/2}}\;{e^{ - \;\frac{{3\;\left[ {{x^2}\; + \;{y^2}\; + \;{z^2}} \right]}}{{u\;a\;t}}}}\; \Rightarrow$ $\frac{{\partial c\left( {\overrightarrow r ,t} \right)}}{{\partial t}}\; = \;n\;{\left( {\frac{3}{{\pi \;u\;a\;t}}} \right)^{3/2}}\;{e^{ - \;\frac{{3\;{r^2}}}{{u\;a\;t}}}}\;3\;{t^{ - 7/2}}\;\left( {\frac{{ - t}}{2}\; + \;\frac{{{r^2}}}{{u\;a}}} \right)$
et $\frac{{\partial c\left( {\overrightarrow r ,t} \right)}}{{\partial x}}\; = \; - \;n\;{\left( {\frac{3}{{\pi \;u\;a\;t}}} \right)^{3/2}}\;{e^{ - \;\frac{{3\;{r^2}}}{{u\;a\;t}}}}\;\frac{6}{{u\;a}}\;x\;{t^{ - 5/2}}$ donc $\frac{{{\partial ^2}c\left( {\overrightarrow r ,t} \right)}}{{\partial {x^2}}}\; = \;n\;{\left( {\frac{3}{{\pi \;u\;a\;t}}} \right)^{3/2}}\;{e^{ - \;\frac{{3\;{r^2}}}{{u\;a\;t}}}}\;\frac{6}{{u\;a}}\;{t^{ - 7/2}}\;\left( { - \;t\; + \;\frac{6}{{u\;a}}\;{x^2}} \right)$
On en déduit $\Delta c\left( {\overrightarrow r ,t} \right)\; = \;n\;{\left( {\frac{3}{{\pi \;u\;a\;t}}} \right)^{3/2}}\;{e^{ - \;\frac{{3\;{r^2}}}{{u\;a\;t}}}}\;\frac{{36}}{{u\;a}}\;{t^{ - 7/2}}\;\left( {\frac{{ - \;t}}{2}\; + \;\frac{1}{{u\;a}}\;{r^2}} \right)$ soit :
$\;\Delta c\left( {\overrightarrow r ,t} \right)\; = \;\frac{{12}}{{u\;a}}\;\frac{{\partial c\left( {\overrightarrow r ,t} \right)}}{{\partial t}}\; = \;\frac{1}{D}\;\frac{{\partial c\left( {\overrightarrow r ,t} \right)}}{{\partial t}}\;$ soit $\;D\; = \;\frac{{u\;a}}{{12}}\;$
4) ${k_b}\; = \;D\;\frac{{3\pi \;\eta \;d}}{T}\; = \;{1,245.10^{ - 23}}\;J.{K^{ - 1}}\; = \;{N_A}\; = \;\frac{R}{{{k_b}}}\; = \;{6,68.10^{23}}\;$soit une détermination de N_A à 11% près.

C) 1) La longueur moyenne d'une paire de base est L/M = 0,338 nm.
Le nombre de paires de base par chaînon est aM/L = 313 paires.
Le nombre N de chaînons est L/a = 155 chaînons.
$\;{r_0}\; = \;\frac{{\sqrt N \;a}}{{\sqrt 2 }}\; = \;932\;nm\;$
2) Si M est 4 fois plus grand, on peut supposer que que L sera 4 fois plus grande. Si le pas a est inchangé, ce que le texte ne dit pas, N sera 4 fois plus grand, donc r₀ sera 2 fois plus grand : La pelote peut être représentée comme une sphère de rayon double, donc de volume 8 fois plus grand.
Thermodynamique et élasticité d’une chaîne polymère (fait en 0 h 30)
D) 1) $\;S(r)\; = \;{S_0}\; - \;\frac{{3\;{k_b}\;{r^2}}}{{N\;{a^2}}}\;$
2) $\;Q\; = \;T\;\left[ {S({r_F})\; - \;{S_0}} \right]\;$ car la transformation est isotherme, soit :
$\;Q\; = \; - \;\frac{{3\;{k_b}\;T\;{r_F}^2}}{{N\;{a^2}}}\; < \;0\;$
$\begin{array}{l}\Delta U\; = \;0\;car\;la\;transformation\;est\;isotherme\\\;\;\;\;\;\, = \;W\; + \;Q\;d'après\;le\;premier\;principe\\\;\;\;\;\;\, = \;\int_0^{{r_F}} {f\;dr} \; - \;\frac{{3\;{k_b}\;T\;{r_F}^2}}{{N\;{a^2}}}\;\; = \;\int_0^{{r_F}} {f\;dr} \; - \;\int_0^{{r_F}} {\frac{{6\;{k_b}\;T\;r}}{{N\;{a^2}}}\;dr} \;\end{array}$
On en déduit que $\;f\; = \;\frac{{6\;{k_b}\;T\;r}}{{N\;{a^2}}}\;$ . L'hypotèse quasi-statique intervient dans l'assimilation de δW et δQ avec les éléments intégrateurs qui apparaissent ci-dessus : Il faut donc pouvoir définir δW et δQ, donc toutes les grandeurs thermodynamiques (T par ex.) à chaque instant. Il faut donc que la transformation soit quasistatique.
3) La force subie par la chaîne est f, destinée à compenser la tension de la chaîne : $\;{f_t}\; = \; - \;\frac{{6\;{k_b}\;T}}{{N\;{a^2}}}\;r\; = \; - \;k(T)\;\left( {r\; - \;{r_0}} \right)\; \Leftrightarrow$$\;k(T)\; = \;\frac{{6\;{k_b}\;T}}{{N\;{a^2}}}\;et\;{r_0}\; = \;0\;$ .
4) $r\; = \;\frac{{N\;{a^2}\;f}}{{6\;{k_b}\;T}}\; \Rightarrow \;{\left( {\frac{{\partial r}}{{\partial T}}} \right)_f}\; = \; - \;\frac{{N\;{a^2}\;f}}{{6\;{k_b}\;{T^2}}}\; \Rightarrow \;$
$\;\alpha \; = \; - \;\frac{1}{T}\; < \;0\;$ : toutes les matières plastiques, les fibres synthétiques possèdent cette propriété de rétrécir à la chaleur, contrairement aux solides "ordinaires".
5) $\;k(T)\; = \;\frac{{6\;{k_b}\;T}}{{N\;{a^2}}}\; = \;{1,43.10^{ - 8}}\;N.{m^{ - 1}}\; \Rightarrow \;f\; = \;k(T)\;\varepsilon \;L\; = \;{2,34.10^{ - 14}}\;N\;$
N.B. Une énergie de liaison est de l'ordre de 100 kJ.mol^-1, soit 10^-19 J.molécule^-1, pour une distance interatomique de l'ordre de 0,1 nm, soit une force de l'ordre de 10^-9 N : On ne risque donc pas de casser la molécule.

E) 1) R] La fonction th u n'est pas au programme de la classe !
Effectuons un développement limité de L(u) quand u tend vers 0 :
$L(u)\ =\ \frac{{{e}^{u}}\ +\ {{e}^{-u}}}{{{e}^{u}}\ -\ {{e}^{-u}}}\ -\ \frac{1}{u}\ \approx \ \frac{\left( 1\ +\ u\ +\ \frac{{{u}^{2}}}{2}\ +\ \frac{{{u}^{3}}}{6} \right)\ +\ \left( 1\ -\ u\ +\ \frac{{{u}^{2}}}{2}\ -\ \frac{{{u}^{3}}}{6} \right)}{\left( 1\ +\ u\ +\ \frac{{{u}^{2}}}{2}\ +\ \frac{{{u}^{3}}}{6} \right)\ -\ \left( 1\ -\ u\ +\ \frac{{{u}^{2}}}{2}\ -\ \frac{{{u}^{3}}}{6} \right)}\ -\ \frac{1}{u}\ \approx \ \frac{2\ +\ {{u}^{2}}}{2\ u\ +\ \frac{{{u}^{3}}}{3}}\ -\ \frac{1}{u}\ =\ \frac{\frac{2{{u}^{2}}}{3}}{2\ u\ +\ \frac{{{u}^{3}}}{3}}\ \approx \ \frac{u}{3}\ \xrightarrow[u\to 0]{}\ 0$
Donc r tend vers 0 quand f tend vers 0 : La molécule au repos est repliée sur elle même, jusqu'à n'occuper "qu'un point".
Remarquons que L(u) tend vers 1 quand u tend vers l'infini. Donc r tend vers Na quand f tend vers l'infini : On atteint pour r = Na la limite d'élasticité.
Ces résultats sont compatibles avec ceux de la question (D.2), car r = Na implique f = 6 k_b T/a ; donc, quand f tend vers l'infini, a tend vers 0 et N vers l'infini, ce qui correspond bien à un ressort de raideur infinie.

Manipulation d'une molécule unique à l'aide de "pinces optiques" (fait en 4 h)
F) 1) * $\;dN\; = \;\frac{{{P_0}}}{{h\nu }}\;dt\;$
* Calculons la variation de la quantité de mouvement pour un photon :
$\Delta \overrightarrow p \; = \;\frac{{h\;\nu }}{{{c_0}}}\;\left[ {\left( {\overrightarrow n \;\cos \theta \; + \;\overrightarrow {{u_T}} \;\sin \theta } \right)\; - \;\left( { - \;\overrightarrow n \;\cos \theta \; + \;\overrightarrow {{u_T}} \;\sin \theta } \right)} \right]\; = \;2\;\frac{{h\;\nu \;{n_0}}}{c}\;\cos \theta \;\overrightarrow n$
Donc pour dN photons, on a :
$\;d\overrightarrow p \; = \;2\;\frac{{{P_0}\;{n_0}}}{c}\;\cos \theta \;dt\;\overrightarrow n \;$
2) Le faisceau de photons subit de la part de la surface réfléchissante une force $\frac{{d\overrightarrow p }}{{dt}}$; donc la surface réfléchissante subit de la part du faisceau de photons une force :
$\;\overrightarrow F \; = \; - \;\frac{{d\overrightarrow p }}{{dt}}\; = \; - \;2\;\frac{{{P_0}\;{n_0}}}{c}\;\cos \theta \;\overrightarrow n \;$
3) $\;{F_0}\; = \;2\;\frac{{{P_0}\;{n_0}}}{c}\;\cos \theta \; = \;{1,77.10^{ - 10}}\;N\;$
G) 1)

En considérant deux surfaces élémentaires d²S prises symétriquement par rapport à l'axe Oz, on constate que la résultante des deux forces élémentaires s'exerçant sur ces éléments de surface est portée par Oz.
Il suffit donc d'additionner les composantes d²F_z .
$\;{d^2}{F_z}\; = \;\frac{{2\;\frac{{{P_0}\;{d^2}S\;\cos \theta }}{\sigma }\;{n_0}\;\cos \theta }}{c}\;\cos \theta \;\;où \;\;\frac{{{P_0}\;{d^2}S\;\cos \theta }}{\sigma }\;$représente la puissance qui atteint d²S
${{F}_{z}}\ =\ \iint_{1/2\ sph\grave{e}re}{\frac{2\ {{P}_{0}}\ {{n}_{0}}}{c\ \sigma }\ {{\cos }^{3}}\theta \ .\ b\ d\theta \ .\ b\ \sin \theta \ d\varphi }\ =\ \frac{4\pi \ {{b}^{2}}\ {{P}_{0}}\ {{n}_{0}}}{c\ \sigma }\ \int_{0}^{\pi /2}{{{\cos }^{3}}\theta \ \sin \theta }\ d\theta \ \Leftrightarrow$
$\;{F_z}\; = \;\frac{{\pi \;{b^2}\;{P_0}\;{n_0}}}{{c\;\sigma }}\; = \;\frac{{\pi \;{b^2}\;{I_0}\;{n_0}}}{c}\;$
2) $\;{F_z}\; = \;\frac{{\pi \;{b^2}\;{P_0}\;{n_0}}}{{c\;{\sigma _0}}}\; = \;\frac{{\pi \;{b^2}\;{I_0}\;{n_0}}}{c}\; = {F_0}\; = \;{3,72.10^{ - 12}}\;N\;$
3) Si R_e << 1, c'est-à-dire dans l'hypthèse d'un fluide rampant, la bille est soumise à la force de Stokes - 6π η b v_z. En appliquant le principe fondamental de la dynamique en projection sur Oz, on obtient :
$\frac{4}{3}\;\pi \;{b^3}\;\rho \;\frac{{d\;{v_z}}}{{dt}}\; = \;\frac{{\pi \;{b^2}\;{n_0}\;{P_0}}}{{c\;\sigma }}\; - \;6\pi \;\eta \;b\;{v_z}\; \Leftrightarrow \;\frac{{d\;{v_z}}}{{dt}}\; + \;\frac{{9\;\eta }}{{2\;{b^2}\;\rho }}\;{v_z}\; = \;\frac{{3\;{n_0}\;{P_0}}}{{4\;c\;\sigma \;b\;\rho }}\; \Rightarrow$
$\ {{v}_{z}}\ =\ \frac{{{n}_{0}}\ {{P}_{0}}\ b}{6\ \eta \ \sigma \ c}\ \left( 1\ -\ {{e}^{-\ \frac{9\ \eta }{2\ {{b}^{2}}\ \rho }\ t}} \right)\ \xrightarrow[t\to \infty ]{}{{v}_{\infty }}\ =\ \frac{{{n}_{0}}\ {{P}_{0}}\ b}{6\ \eta \ \sigma \ c}\ =\ 98,5\ \mu m.{{s}^{-1}}\ $
On déduit de la formule précédente que $\;\Delta t\; = \;\frac{{2\;{b^2}\;\rho \;\ln 10}}{{9\;\eta }}\; = \;2\;\mu s\;$ . Donc la vitesse limite est très faible et atteinte très rapidement.
Vérification de l'hypothèse : $\;{R_e}\; = \;\frac{{{v_\infty }\;2b\;\rho }}{\eta }\; = \;{3,94.10^{ - 4}}\; < < \;1\;$ : a bien un fluide rampant.

4) La force est inversement proportionelle à σ. Donc, si on s'écarte par exemple vers z > 0, la force exercée par le laser gauche sera plus faible que F₀ puisque σ_G est plus grand que σ₀, tandis que la force exercée par le laser droit sera plus grande que F₀ puisque σ_D est plus petite que σ₀. La bille sera donc ramenée vers z = 0.
$\begin{array}{l}\;{F_z}\; = \;\frac{{\pi \;{b^2}\;{P_0}\;{n_0}}}{{c\;\pi {{\left( {{w_0}\; + \;z\;\tan \alpha } \right)}^2}}}\; - \;\frac{{\pi \;{b^2}\;{P_0}\;{n_0}}}{{c\;\pi {{\left( {{w_0}\; - \;z\;\tan \alpha } \right)}^2}}}\\\;\;\;\;\; \approx \;{F_0}\;\left( {1\; - \;2\;\frac{{z\;\alpha }}{{{w_0}}}} \right)\; - \;{F_0}\;\left( {1\; + \;2\;\frac{{z\;\alpha }}{{{w_0}}}} \right)\; = \; - \;4{F_0}\;\frac{\alpha }{{{w_0}}}\;z\; = \; - \;{k_z}\;z\; \Rightarrow \end{array}$
$\;{k_z}\; = \;4\;\frac{{\pi \;{b^2}\;{P_0}\;{n_0}}}{{c\;{\sigma _0}}}\;\frac{\alpha }{{{w_0}}}\;$
5) $\;{k_z}\; = \;4\;\frac{{{\pi ^{3/2}}\;{b^2}\;{P_0}\;{n_0}\;\alpha }}{{c\;{\sigma _0}^{3/2}}}\; = \;{3,8.10^{ - 8}}\;N.{m^{ - 1}}\;$ ; k_z est légérement supérieur à la raideur de la chaîne idéale d'ADN. On peut donc agir sur la molècule.
H) 1) L'intensité moyenne sur une section droite du faisceau est I_m = P₀/π w₀². Or l'intensité est quasi-uniforme et égale à I₀ . Donc I_m = $\;{I_0}\; = \;\frac{{{P_0}}}{{\pi \;{w_0}^2}}\;$
2) La diffraction par une ouverture circulaire de rayon r conduit à $\alpha \; = \;0,61\;\frac{\lambda }{r}$. On retrouve ici cette formule.
$\;\lambda \; = \;2\;\alpha \;\sqrt {\frac{{{\sigma _0}}}{\pi }} \; = \;489\;nm\; < < \;{w_0}\; = \;\sqrt {\frac{{{\sigma _0}}}{\pi }} \; = \;9800\;nm\;$: Donc les lois de l'optique géométrique sont applicables.
3) Imaginons que la bille s'écarte selon x > 0. La partie basse de la bille sera plus proche du centre du faisceau et subira une force plus importante qu'avant vers le haut. La partie haute de la bille sera plus loin du centre du faisceau et subira une force plus faible qu'avant vers le bas. Globalement, la force sera donc orientée vers le haut et écartera encore la bille de l'axe : l'équilibre est instable.
4) Dans le schéma ci-dessous représenté, n < n₀. Il s'en suit que le rayon est rabattu vers le haut et que la variation de la quantité de mouvement du photon est d'orientation $\Delta \overrightarrow p$. Donc, la force subie par le photon est de même orientation, et la force subie par la bille est d'orientation opposée, comme l'indique le schéma.

Quand la bille s'élève selon x > 0, la force vers le bas s'exerçant sur la partie supérieure de la bille diminue d'intensité, car on s'éloigne de l'axe. La force vers le haut s'exerçant sur la partie inférieure de la bille augmente d'intensité, car on se rapproche de l'axe. Donc la résultante des forces est orientée vers le bas : cette fois, l'équilibre est instable.
Dans le schéma ci-dessous représenté, n > n₀. Il s'en suit que le rayon est rabattu vers le bas et que la variation de la quantité de mouvement du photon est d'orientation $\Delta \overrightarrow p$. Donc, la force subie par le photon est de même orientation, et la force subie par la bille est d'orientation opposée, comme l'indique le schéma.

Quand la bille s'élève selon x > 0, la force vers le haut s'exerçant sur la partie supérieure de la bille diminue d'intensité, car on s'éloigne de l'axe. La force vers le bas s'exerçant sur la partie inférieure de la bille augmente d'intensité, car on se rapproche de l'axe. Donc la résultante des forces est orientée vers le bas : cette fois, l'équilibre est stable.

5) * Dans le quadrilatère AEOI du schéma ci-dessus, la somme des angles vaut :
4π = (π - β) + θ_i + (2π - 2 θ_r) + θ_i . Donc :
$\;\beta \; = \;2\;\left( {{\theta _i}\; - \;{\theta _r}} \right)\; - \;\pi \;$ avec n₀ sinθ_i = n sinθ_r (loi de Snell-Descartes)
* Calculons la variation de la quantité de mouvement pour un photon :
$\Delta \overrightarrow p \; = \;\frac{{h\;\nu \;{n_0}}}{c}\;\left[ {\left( {\overrightarrow {{u_z}} \;\cos \beta \; - \;\overrightarrow {{u_x}} \;\sin \beta } \right)\; - \;\overrightarrow {{u_z}} } \right]$. Donc pour $\frac{{\delta P}}{{h\nu }}\;dt$ photons, on a :
$d\overrightarrow p \; = \; - \;\frac{{\delta P\;{n_0}}}{c}\;\left[ {\overrightarrow {{u_z}} \;\left( {1\; - \;\cos \beta } \right)\;\; + \;\overrightarrow {{u_x}} \;\sin \beta } \right]\;dt$ avec$\;\delta P\; = \;{I_0}\;{e^{ - \;{{\left( {\frac{{x\; + \;b\;\sin {\theta _i}}}{{{w_0}}}} \right)}^2}}}\;b\;d{\theta _i}\;b\;\sin {\theta _i}\;d\varphi \;\cos {\theta _i}\;$
où x désigne l'altitude du centre de la bille.
* Le faisceau de photons subit de la part de la surface réfléchissante une force $\frac{{d\overrightarrow p }}{{dt}}$; donc la surface réfléchissante subit de la part du faisceau de photons une force : $\;{d^2}\overrightarrow F \; = \;\frac{{{I_0}\;{n_0}\;{b^2}\;{e^{ - \;{{\left( {\frac{{x\; + \;b\;\sin {\theta _i}}}{{{w_0}}}} \right)}^2}}}\;\cos {\theta _i}\;\sin {\theta _i}\;d{\theta _i}\;d\varphi }}{c}\;\left[ {\overrightarrow {{u_z}} \;\left( {1\; + \;\cos 2\left( {{\theta _i}\; - \;{\theta _r}} \right)} \right)\; - \;\overrightarrow {{u_x}} \;\sin 2\left( {{\theta _i}\; - \;{\theta _r}} \right)} \right]\;$
donc $\;d\overrightarrow F \; = \;\frac{{2\pi \;{I_0}\;{n_0}\;{b^2}\;{e^{ - \;{{\left( {\frac{{x\; + \;b\;\sin {\theta _i}}}{{{w_0}}}} \right)}^2}}}\;\cos {\theta _i}\;\sin {\theta _i}\;d{\theta _i}}}{c}\;\left[ {\overrightarrow {{u_z}} \;\left( {1\; + \;\cos 2\left( {{\theta _i}\; - \;{\theta _r}} \right)} \right)\; - \;\overrightarrow {{u_x}} \;\sin 2\left( {{\theta _i}\; - \;{\theta _r}} \right)} \right]\;$
N.B. Une réponse qualitative est demandée à la question (H.3). Mais pour pouvoir répondre à la question (H.5), il faut donner ici une réponse quantitative !
$\overrightarrow {dF} \; = \;\frac{{4\pi \;{b^2}\;{I_0}\;{n_0}}}{c}\;{e^{ - \;{{\left( {\frac{{x\; + \;b\;\sin \theta }}{{{w_0}}}} \right)}^2}}}\;{\cos ^2}\theta \;.\;\sin \theta \;d\theta \;\left( {\cos \theta \;\overrightarrow {{u_z}} \; - \;\sin \theta \;\overrightarrow {{u_x}} } \right)$
Pour comparer les deux expressions, il faut comparer :
* sur $\overrightarrow {{u_z}}$ : (H.3) : 2 cos²θ à (H.5) : 1 + cos2(θ_i-θ_r)
* sur $\overrightarrow {{u_x}}$ : (H.3) : sin2θ à (H.5) : sin2(θ_i-θ_r)
avec n₀ sinθ_i = n sinθ_r
A.N. Pour θ_i = 45 ° , soit θ_r = 36,5° :
* sur $\overrightarrow {{u_z}}$ : (H.3) : 1 à (H.5) : 0,957 * sur $\overrightarrow {{u_x}}$ : (H.3) : 1 à (H.5) : 0,291
On constate que sur $\overrightarrow {{u_z}}$ le maintient est semblable à celui du cas de la bille réfléchissante. Sur $\overrightarrow {{u_x}}$, il est plus faible que sur $\overrightarrow {{u_z}}$, mais il est correctement orienté comme nous l'avons expliqué.
6) k_x est à nouveau un coefficient de raideur élastique. Mais la force n'est plus proportionnelle au déplacement x, à cause de la répartition énergétique du faisceau laser.
I) 1) La résultante des forces qui s'exercent sur la bille est :
$\;\overrightarrow F \; = \;\left[ {k\;\left( {X - x} \right)\; - \;{k_x}\;x\;{e^{ - \;{{\left( {\frac{x}{{{w_0}}}} \right)}^2}}}} \right]\;\overrightarrow {{u_x}} \;$
La position d'équilibre, qui correspond à $\;k\;\left( {X - x} \right)\; = \;{k_x}\;x\;{e^{ - \;{{\left( {\frac{x}{{{w_0}}}} \right)}^2}}}\;$ peut être trouvée par une résolution graphique, comme le montre le schéma ci-dessous.

2) Quand k est supérieur à la valeur absolue de la pente de la tangente au point d'inflexion de $\;{F_x}\left( x \right)\; = \;{k_x}\;x\;{e^{ - \;{{\left( {\frac{x}{{{w_0}}}} \right)}^2}}}\;$, il n'y a qu'une position d'équilibre, quel que soit X.
$\begin{array}{l}\;\frac{{d{F_x}\left( x \right)}}{{dx}}\; = \;{k_x}\;{e^{ - \;{{\left( {\frac{x}{{{w_0}}}} \right)}^2}}}\;\left( {1\; - 2{{\left( {\frac{x}{{{w_0}}}} \right)}^2}} \right)\;\\\;\frac{{{d^2}{F_x}\left( x \right)}}{{d{x^2}}}\; = \;{k_x}\;{e^{ - \;{{\left( {\frac{x}{{{w_0}}}} \right)}^2}}}\;\frac{{2\;x}}{{{w_0}^2}}\;\left( { - 3\; + \;2{{\left( {\frac{x}{{{w_0}}}} \right)}^2}} \right)\; = \;0\;pour\;x\; = \;{w_0}\;\sqrt {\frac{3}{2}} \; \Rightarrow \;\frac{{d{F_x}\left( x \right)}}{{dx}}\; = \; - \;2\;{k_x}\;{e^{ - \;\frac{3}{2}}}\;\end{array}$
Donc, il faut : $\;k\; > \;2\;{k_x}\;{e^{ - \;\frac{3}{2}}}\; = \;{k_c}\;$
3) $\;k(T)\; = \;\frac{{6\;{k_b}\;T}}{{N\;{a^2}}}\; = \;{1,43.10^{ - 8}}\;N.{m^{ - 1}}\; < \;2\;{k_x}\;{e^{ - \;\frac{3}{2}}}\; = \;{1,74.10^{ - 8}}\;N.{m^{ - 1}}\;$ : La pince est multistable.

4) Comme on le voit sur le graphe ci-dessous, $\;x*\; \in \;\left[ {{w_0}\;\frac{1}{{\sqrt 2 }}\;,\;{w_0}\;\sqrt {\frac{3}{2}} } \right]\;$ , valeurs extrêmes qui correspondent au maximum de F_x et au point d'inflexion de F_x. Les valeus correspondantes de F_x* sont : $\;{F_x}\left( {x*} \right)\; = \;{k_x}\;x\;{e^{ - \;{{\left( {\frac{x}{{{w_0}}}} \right)}^2}}}\; \in \;\left[ {\;{k_x}\;{w_0}\;\sqrt {\frac{3}{2}} \;{e^{ - \;\frac{3}{2}}}\;,\;\;{k_x}\;{w_0}\;\frac{1}{{\sqrt 2 }}\;{e^{ - \;\frac{1}{2}}}} \right]\;$

5) $\;{F_x}*\; \in \;\left[ {{{1,04.10}^{ - 13}}\;N\;;\;{{1,63.10}^{ - 13}}\;N} \right]\;$
$\;k\;Na\; = \;{2,35.10^{ - 13}}\;N\;$. Donc la pince est suffisamment forte pour étirer la molécule, mais pas hors de son domaine linéaire.
On peut donc vérifier la loi du (E.1) dans la limite d'élasticité de la molécule. Pour ce faire, il faut déplacer l'extrêmité non fixée à la bille de latex de X. X doit être de l'ordre de grandeur de a. On peut donc fixer cette extrêmité de la molécule à une lame piezzoélectrique.

Concours Physique ENS Ulm, Lyon, Cachan (BCPST) 1999 (Énoncé)

SESSION DE 1999
Groupe BCPST
COMPOSITION DE PHYSIQUE
(Épreuve commune aux ENS : Ulm, Lyon et Cachan)
DURÉE: 4 heures L'usage de calculatrices électroniques de poche à alimentation autonome, non imprimantes et sans document d'accompagnement, est autorisé. Cependant, une seule calculatrice à la fois est admise sur la table ou le poste de travail, et aucun échange n'est autorisé entre les candidats.
Tournez la page S.V.P.
Ce problème propose, dans ses deux premières parties, l'étude des propriétés mécanique et thermodynamique d'une molécule polymère en solution, à partir d'un modèle statistique de "marche aléatoire" qui s'applique raisonnablement à la molécule d'ADN. La dernière partie, largement indépendante du reste du problème, étudie le principe des "pinces optiques", dispositif utilisé avec succès ces dix dernières années en biophysique pour la manipulation et la caractérisation mécanique de molécules uniques.
Formulaire
Constante de Planck: h = 6,63 10^‑34 J s.
Constante de Boltzmann: k_B = 1,38 10^‑23 J K^{‑ 1}.
Constante des gaz parfaits: R = 8,31 J K^‑1.
Vitesse de la lumière dans le vide: c = 3,00 10⁸ m s^‑1.
${I_n} = \int_0^\infty {{u^{2n}}\;\exp \,\left( { - {u^2}} \right)} \;du\;;\;{I_0} = \frac{{\sqrt \pi }}{2}\;,\;{I_1} = \frac{{\sqrt \pi }}{4}\;,\;{I_2} = \frac{{3\,\sqrt \pi }}{8}\;.$

Marche aléatoire d'une particule libre
On observe une particule libre de même masse volumique que l'eau dans laquelle elle est en suspension : la résultante des forces macroscopiques auxquelles elle peut être soumise est nulle mais sous l'action des chocs moléculaires, elle est animée d'un mouvement erratique, dit mouvement brownien, dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen. On décrit la trajectoire ‑ ou marche aléatoire ‑ de la particule par une succession de pas de longueur constante a, chaque pas s'effectuant indépendamment des précédents et de façon isotrope. On note ${\vec a_i}$ le vecteur de norme a correspondant au i-ème pas, i ∈ [1, N]. On introduit ${\vec r_N}$ le vecteur reliant les deux extrémités d'une trajectoire de N pas. Compte tenu du caractère aléatoire de chaque pas, la mesure d'une grandeur physique quelconque associée à la marche donnerait des résultats différents pour différentes trajectoires de N pas. On ne s'intéressera donc qu'aux moyennes de cette grandeur pour un grand nombre de mesures. On note entre crochets cette moyenne, par exemple $\left\langle {{{\vec r}_N}} \right\rangle$.

A1) On se place d'abord dans le cas unidimensionnel où la particule est assujettie à se déplacer selon l'axe Ox en effectuant des pas de longueur a_i valant -a ou +a avec une égale probabilité 1/2.
Calculer < a_i > et < a_i. a_j > pour (i, j) ∈ [1, N]² et en déduire < r_N > et < r²_N > en fonction de N et a.
A2) Généraliser au cas tridimensionnel et exprimer $\left\langle {{{\vec r}_N}} \right\rangle$ et $\left\langle {{{\left\| {{{\vec r}_N}} \right\|}^2}} \right\rangle$ en fonction de N et a. On vérifiera que le résultat ne dépend pas de la dimension de l'espace et qu'on retrouve donc en particulier pour $\left\langle {{{\left\| {{{\vec r}_N}} \right\|}^2}} \right\rangle$ l'expression de la question A1).
Dans toute la suite du problème on considérera un espace à trois dimensions.
A3) La probabilité que ${\vec r_N}$ se trouve dans le volume dV autour de $\vec r$ sera notée p_N ($\vec r$) dV. On rappelle que par exemple:
$\left\langle {{\left\| {{{\vec{r}}}_{N}} \right\|}^{2}} \right\rangle =\iiint{\ {{\left\| {{{\vec{r}}}_{N}} \right\|}^{2}}\ {{p}_{N}}(\vec{r})\ dV,}$
où l'intégrale s'étend sur tout l'espace. On admettra que compte tenu des hypothèses faites sur la marche aléatoire, la loi de probabilité p_N tend asymptotiquement pour N >> 1 vers une loi gaussienne de la forme:
${p_N}(\vec r) = {A_N}\;\exp \,\left( { - {B_N}\,{{\left\| {\vec r} \right\|}^2}} \right).$
Préciser les dimensions physiques de A_N et B_N. Pourquoi la loi de probabilité ne dépend elle que de la norme de $\vec r$?
A4) Traduire le fait que la particule est nécessairement en un point de l'espace de façon à obtenir une relation entre A_N et B_N.
A5) À partir des résultats de la question A2), trouver une seconde relation entre A_N et B_N , N et a. En déduire l'expression de p_N ($\vec r$) Pour une valeur de N finie, justifier que la distribution gaussienne ne peut être valable au delà d'une valeur de $\left\| {\vec r} \right\|$ que l'on précisera. Cette limitation est-elle numériquement importante compte-tenu des hypothèses?
B1) On considère maintenant n particules identiques en suspension dans l'eau effectuant indépendamment les unes des autres des marches aléatoires régies par les propriétés statistiques établies en A). On suppose que ces n particules (n >> 1) sont concentrées à t = 0 en une tache ponctuelle située en O. Au bout d'un temps t > 0, on mesure dans un petit volume δV situé au voisinage de $\vec r$ un nombre δn de particules.
Exprimer la concentration c ($\vec r$, t) = δn / δV en fonction de la vitesse u d'une particule lors d'un pas de longueur a. On supposera que u et a sont des constantes identiques pour toutes les particules. On ne considérera que des temps t >> a/u pour lesquels les particules ont déjà effectué un grand nombre de pas.

B2) On note r*(t) la distance à l'origine pour laquelle la concentration est diminuée d'un facteur 100 par rapport à la concentration maximale à l'instant t. Donner l'expression de r*(t). À quel phénomène physique cette dépendance fonctionnelle vous fait‑elle penser?
B3) Afin de préciser la question B2) on cherche une équation différentielle (E) dont c ($\vec r$, t) est solution. Calculer $\frac{{\partial \,c}}{{\partial \,t}},\;\frac{{\partial \,c}}{{\partial \,x}},\;\frac{{{\partial ^2}\,c}}{{\partial \,{x^2}}},\;$et $\Delta \,c = \;\frac{{{\partial ^2}\,c}}{{\partial \,{x^2}}} + \frac{{{\partial ^2}\,c}}{{\partial \,{y^2}}} + \frac{{{\partial ^2}\,c}}{{\partial \,{z^2}}}$ où (x,y,z) sont les coordonnées cartésiennes de $\vec r$. Identifier (E) et commenter. On mettra en évidence un paramètre physique D, ayant la dimension d'une longueur multipliée par une vitesse, caractéristique du phénomène décrit par (E), et que l'on exprimera en fonction de a et u.
B4) Une expression théorique de D est fournie par la relation d'Einstein:
$D = \frac{{{k_b}\,T}}{{3\,\pi \,\eta \,d}}$
où k_B est la constante de Boltzmann, T la température absolue, η la viscosité dynamique du liquide et d le diamètre des particules supposées sphériques. Dans une expérience célèbre (1913), Jean Perrin a utilisé des particules de gomme‑gutte de diamètre calibré d = 0,73 µm, en suspension dans l'eau à 20°C, de viscosité η = 10^-3 kg m^-1 s^-1. En observant directement le phénomène décrit en B1), il a mesuré D = 5,3 10^‑13 m² s^‑1. Quelle estimation de la constante de Boltzmann et surtout du nombre d'Avogadro N_A en a-t-il déduit? Commenter.
Cl) Une molécule de polymère linéaire est constituée de M monomères. Placée dans un solvant ad hoc la molécule adopte une conformation qui rappelle la trajectoire d'une particule effectuant une marche aléatoire. Le pas a est ici constitué d'un ensemble de monomères formant un chaînon suffisamment souple pour pouvoir adopter toutes les orientations possibles, indépendamment de ses voisins. On décrit donc la molécule comme une marche aléatoire de N pas de longueur a, avec N >> 1.
La molécule d'ADN du bactériophage A (un virus) possède exactement M = 48 502 paires de bases prises comme unité monomère. Sa longueur lorsqu'elle est totalement étirée est L = 16,4 µm. Les propriétés de la molécule sont compatibles avec a = 106 nm. Combien de paires de bases un chaînon de pas a contient-il? Quel est le nombre N de chaînons? Calculer ${r_0} = \sqrt {\left\langle {{{\left\| {{{\vec r}_N}} \right\|}^2}} \right\rangle }$.
C2) Les différentes réalisations de la marche aléatoire permettant de définir ses propriétés statistiques sont ici observées successivement au cours du temps et correspondent aux différentes conformations adoptées par la chaîne polymère. En attachant des molécules fluorescentes le long de la chaîne, on peut visualiser celle-ci en microscopie optique. Si on superpose un grand nombre d'images vidéo d'une chaîne prises à différents instants échelonnés dans le temps, on obtient ce qu'on appelle une pelote statistique.
Représenter qualitativement une telle pelote pour deux molécules d'ADN ayant leurs nombres M de paires de bases dans un rapport 4.

Thermodynamique et élasticité d'une chaîne polymère
On modélise comme dans la partie C) une molécule polymère linéaire isolée. Le nombre N de chaînons étant grand devant 1, il s'agit d'un système macromoléculaire susceptible d'être décrit dans le cadre de la thermodynamique. On note $\vec r = \left\langle {{{\vec r}_N}} \right\rangle$ qui peut varier sous l'action d'un couple de forces extérieures de résultante nulle -$\vec f$ et $\vec f$ appliquées aux deux extrémités de la molécule. Le moment résultant en 0, origine de la chaîne, devant être nul, $\vec f$ et $\vec r$sont parallèles. Pour simplifier, on ne mentionnera plus que la valeur algébrique f appliquée à l'extrémité du N-ème chaînon; à l'équilibre, f est une mesure de l'état de tension de la chaîne.

La température absolue de la chaîne est T, son entropie S et son énergie interne U. On supposera que le volume de la molécule reste constant quoi qu'il arrive. On décrit l'équilibre thermodynamique de la chaîne par deux variables d'état, chacune étant choisie dans un couple différent de variables conjuguées (r, f) ou (T, S).
L'indépendance relative des chaînons se traduit par une énergie interne ne dépendant que de la température: U(T).
D1) On admettra que l'entropie S(r) de la chaîne est donnée par:
$S(r) - {S_0} = {k_B}\;\ln \,\left( {\frac{{{p_N}(r)}}{{{p_N}(0)}}} \right)$.
où p_N est la loi de probabilité relative à la particule libre étudiée au A). S₀ = S(0) apparaît ici comme une constante que l'on ne cherchera pas à déterminer. Exprimer S(r) pour la distribution gaussienne de A3).
D2) Lors d'une transformation isotherme et quasistatique, un opérateur extérieur allonge la chaîne de 0 à r_F. Dans l'état final, la tension de la chaîne est f_F. La relation fonctionnelle (équation d'état) entre les variables d'équilibre f, r et T est a priori inconnue.
Quelle quantité de chaleur Q la chaîne reçoit-elle du solvant qui joue le rôle de thermostat? Préciser le signe de Q. À l'aide des deux principes de la thermodynamique, déterminer l'équation d'état sous la forme f = f (r, T). Où intervient l'hypothèse quasistatique?
D3) Montrer que la chaîne se comporte comme un ressort élastique linéaire dont on exprimera la raideur isotherme κ(T) et la longueur à vide r₀ en fonction des données du problème.
D4) Calculer le coefficient de dilatation à tension constante:
$\alpha = \frac{1}{r}{\left( {\frac{{\partial \,r}}{{\partial \,T}}} \right)_f}$
En quoi diffère-t-il du coefficient de dilatation isobare d'un solide commun? Quels matériaux courants partagent cette propriété, établie ici pour une chaîne unique?
D5) Calculer la raideur κ à T = 300 K pour une chaîne isolée d'ADN du bactériophage λ (cf. C1). Quelle est la force nécessaire pour étirer la molécule d'ADN de ε fois sa longueur totale (0 < ε < 1), calculée comme si tous ses maillons étaient alignés? Montrer que cette force ne dépend pas de N et estimer à partir de cette formule l'échelle des forces pertinentes pour la déformation physique de l'ADN. Calculer f pour ε = 0,1.

E1) Comme on l'a remarqué à la question A5), la distribution gaussienne n'est plus correcte aux grands allongements et on cherche à étendre la validité de l'équation d'état établie en D2). Un raisonnement de physique statistique qu'on ne cherchera pas à reproduire donne le résultat suivant:
$r = N\,\alpha \,L\,\left( {\frac{{f\alpha }}{{{k_B}\,T}}} \right)$
avec
$L\left( u \right) = \frac{1}{{th\,(u)}} - \frac{1}{u}$
où th désigne la fonction tangente hyperbolique.
Représenter graphiquement la caractéristique f (r). On s'attachera plus particulièrement à décrire les limites asymptotiques f → 0 et f → +∞ et à en préciser la signification physique. Cette équation d'état est elle compatible avec celle trouvée en D2) ? Quel est l'allongement relatif ε correspondant à une tension dix fois supérieure à celle calculée en D5) ?
Manipulation d'une molécule unique à l'aide de "pinces optiques"
Depuis une dizaine d'années, de nombreuses techniques ont été développées afin de manipuler physiquement des objets biologiques ‑ cellules, organelles et macromolécules comme l'ADN. On se propose d'étudier le principe des "pinces optiques", dispositif permettant de piéger une petite bille dans un faisceau laser de faible puissance.
Dans la suite, on associera à un photon de fréquence ν une énergie hν et une quantité de mouvement hν /c₀ où c₀ est la vitesse de la lumière dans le milieu considéré, d'indice n₀. On traitera le problème dans le cadre de l'optique géométrique.
F1) Un faisceau de lumière monochromatique, parallèle et homogène, se propage dans un milieu d'indice n₀. Il a une section droite d'aire σ et transporte une puissance lumineuse P₀ (exprimée en watts). Il frappe sous une incidence θ un miroir plan métallique parfaitement réfléchissant.

Calculer le nombre de photons dN venant frapper la surface pendant dt, en fonction des données du problème. Quelle est la variation de quantité de mouvement $d\vec p$ de l'ensemble de ces photons lors de la reflexion? On en precisera la direction, le sens et l'intensité. On notera $\vec n$ la normale extérieure au miroir.
F2) Montrer que le miroir subit de la part du faisceau une force normale à sa surface. On pourra effectuer un bilan de quantité de mouvement pour le système { miroir + photons } entre t et t + dt dans le référentiel R₀ du laboratoire supposé galiléen. Préciser le sens d'application de cette force et exprimer son module F₀ en fonction de n₀, c, P₀, et θ.

F3) Calculer numériquement F₀ pour θ = 0, P₀ = 20 mW et n₀ = 1,33.
G1) On considère maintenant une sphère métallique de rayon b parfaitement réfléchissante en suspension dans de l'eau d'indice n₀ et éclairée par le faisceau laser. On supposera que la sphère reste entièrement plongée dans le faisceau. On munit l'espace d'un repère orthonormé direct (0, x, y, z), Oz étant pris parallèle à l'axe du faisceau.

Démontrer que la force totale $\vec F$ exercée par le faisceau sur la sphère se réduit à sa composante F_z suivant Oz:
${F_z} = \pi \,{b^2}\,\frac{{{n_0}\,{I_0}}}{c}\,,$
avec I₀ = P₀ /σ. Justifier le nom de pression de radiation attribué au phénomène décrit dans cette partie.
G2) Calculer F_z pour P₀ = 20 mW, σ = 3 10^‑10 m² , b = 2 µm et n₀ = 1,33.
G3) De masse volumique égale à celle de l'eau, la bille est au repos dans R₀ en l'absence de faisceau. À t = 0 on illumine la sphère qui se trouve en 0 avec une vitesse nulle.
Quel est le mouvement de la bille pour t ≥ 0? Quelle vitesse limite V_∞ atteint‑elle? Quelle est la loi d'évolution temporelle de la vitesse? À quel instant Δ t vaut elle 0,9 V_∞? On fera l'hypothèse que le nombre de Reynolds Re associé à l'écoulement de l'eau (viscosité dynamique η) autour de la bille est très petit devant 1 ("écoulement rampant"), hypothèse que l'on vérifiera a posteriori. On négligera l'effet des parois de la cellule.
Calculer numériquement V_∞ et Δ t pour les données numériques de G2), en supposant la bille homogène de masse volumique ρ = 10³ kg m^-3, et avec η = 10^-3 kg m^-1 s^-1.
G4) On complète le dispositif "pince optique" par un deuxième faisceau, identique au premier, mais se propageant en sens opposé le long du même axe optique Oz. Les deux faisceaux sont légèrement divergents. L'ensemble est symétrique par rapport au plan passant par 0 et perpendiculaire à Oz.

On supposera que l'expression de la force trouvée en G1) reste valable pour chacun des faisceaux et que l'effet dominant de la divergence est la variation de la section σ le long de l'axe. On ne considère dans cette question que les mouvements de la sphère le long de l'axe Oz. Pour les lasers considérés, les faisceaux sont limités par un cône de révolution autour de l'axe Oz. On notera α << 1 leur divergence, c'est à dire l'angle que fait une génératrice du cône avec Oz, et σ₀ = πω₀² leur section commune au niveau du point O. On garde toujours ω₀ > b.
Montrer qualitativement qu'en l'absence d'autre force extérieure, le point O est position d'équilibre pour la bille et que cette position est stable vis à vis de petits déplacements le long de l'axe Oz. Exprimer la force de rappel F_z(z) exercée par les faisceaux sur la bille lorsque celle-ci se trouve à l'abscisse z et montrer qu'au premier ordre en α z /ω₀ on peut définir, par analogie avec la force de rappel exercée par un ressort linéaire, la raideur longitudinale κ_z de la pince optique pour des déplacements le long de Oz. Exprimer κ_z en fonction des données du problème.
G5) Calculer κ_z pour P₀ = 20 mW, σ = 3 10^‑10 m² , α = 2.5 10^-2 rad et n₀ = 1,33. Comparer cette valeur à la raideur κ(300 K) de la chaîne idéale d'ADN à trouvée au D5).
H1) Les faisceaux laser utilisés ont en fait une intensité I(r) qui décroît avec la distance r à l'axe Oz. On définit l'intensité comme la puissance lumineuse par unité de surface transportée par un rayon de section infinitésimale appartenant au faisceau. On prendra comme distribution radiale d'intensité pour chacun des faisceaux dans une section droite contenant O:
$I\left( r \right) = {I_0}\;\exp \;\left( { - \,\frac{{{r^2}}}{{{\omega _0}^2}}} \right)$
où ω₀ est une dimension caractéristique du faisceau (gaussien). On supposera que ω₀ > b si bien que le faisceau est presque homogène sur l'étendue de la sphère. Quelle relation existe-t-il entre P₀, I₀ et ω₀? Montrer qu'il est alors cohérent avec les notations précédentes de poser comme en G4): σ₀ = πω₀² .

H2) La divergence α du faisceau et son rayon caractéristique ω₀ ne sont pas indépendants; on a en effet:
α ≈$0,5\,\frac{\lambda }{{{\omega _0}}}$
où λ est la longueur d'onde dans le vide du laser.
En vous appuyant sur vos connaissances d'optique, envisagez quel pourraît être le mécanisme physique sous-jacent à cette relation. Calculer numériquement λ et commenter l'utilisation des lois de l'optique géométrique dans ce problème.
H3) On s'intéresse maintenant à la stabilité de l'équilibre de la bille dans la pince pour des déplacements perpendiculaires à l'axe Oz. À partir de la position d'équilibre O dans la pince à deux faisceaux gaussiens, on écarte légèrement la bille suivant Ox.
En tenant compte du gradient d'intensité justifier qualitativement l'existence d'une composante F_x ≠ 0 dont l'effet est déstabilisant.
H4) En pratique, la bille n'est pas réfléchissante mais transparente, d'indice de réfraction n. On s'intéresse à un rayon du faisceau, parallèle à Oz, arrivant sur le dioptre sphérique sous incidence θ_ι. Le plan d'incidence est Oxz. On ne considérera que les rayons réfractés suivant les lois de Snell-Descartes par les dioptres eau/bille et bille/eau, en négligeant la perte d'énergie lumineuse par réflexion. On note θ_r l'angle que fait le premier rayon réfracté avec la normale au dioptre au point d'impact.
Représenter ces rayons et montrer qu'il faut envisager deux cas selon les valeurs respectives de n₀ et n. En reprenant la démarche des questions précédentes, montrer qualitativement que dans un de ces deux cas l'équilibre de la bille est stable vis-à-vis de petits déplacements suivant Ox. On se placera dans ce cas pour la suite.
H5) La puissance lumineuse transportée par le rayon incident est δP. Calculer en fonction de θ_ι et θ_r l'angle β entre le rayon deux fois réfracté et le rayon incident. Exprimer les composantes δF_x et δF_z de la force exercée sur la bille et comparer ces valeurs à celles obtenues pour une bille réfléchissante.

Comparer numériquement les deux cas pour une bille en latex (n = 1,58) et une incidence θ_i = 45°.
H6) Un calcul complet que l'on ne cherchera pas à reproduire ici montre que la composante F_x subie par la bille s'écrit, au premier ordre en b / ω₀ :
${F_x}\left( x \right) = - {\kappa _x}\;x\;\exp \;\left( { - \,\frac{{{x^2}}}{{{\omega _0}^2}}} \right)$
où κ_x ne dépend pas de x.
Quelle est la signification physique de κ_x? Justifier brièvement la dépendence F_x(x).
I1) On sait attacher, à l'aide de groupements fonctionnels spécifiques, l'extrémité d'une molécule d'ADN à une bille de latex. L'autre extrémité est maintenue à l'abscisse X, mesurée par rapport au centre de la pince optique (cf. schéma). On peut modifier X sans bouger les faisceaux. On se place dans l'approximation d'une chaîne polymère idéale de raideur κ constante (cf. D3).

Représenter $\left| {F\left( x \right)\,} \right|$(x) et proposer une méthode de détermination graphique de la position d'équilibre x_eq (X) .

I2) Montrer que pour κ > κ_c où κ_c est une raideur à déterminer, il existe une et une seule position d'équilibre pour tout X: la pince est dite monostable. En revanche, pour κ ≤ κ_c il peut exister plusieurs positions d'équilibre (stable ou instable) de la bille dans la pince: la pince est multistable.
I3) Le paramètre κ_x s'exprime en fonction des données du problème:
${\kappa _x} = C\,\frac{{{n_0}\,{P_0}}}{c}\;\frac{{{b^3}}}{{{\omega _0}^4}}$
où C est une constante numérique.
Compte tenu des valeurs numériques du problème, préciser la nature mono- ou multi- stable de la pince pour la molécule d'ADN considérée à 300 K (question D5). On prendra C = 0,5.
I4) Montrer graphiquement que dans le cas d'une pince multistable, lorsqu'on augmente X à partir de 0, la bille saute brusquement hors du piège pour une position x*. Montrer que la force limite F_x* = F_x(x*) est a priori bornée par deux valeurs que l'on exprimera en fonction de κ_x et ω₀.
I5) Encadrer numériquement F_x*: la pince est-elle suffisamment forte pour permette d’étirer la molécule d’ADN hors de son domaine d’élasticité linéaire? Proposer une méthode expérimentale permettant de tester l’équation d’état énoncée en E1).