Concours Physique École Polytechnique (MP) 1998 (Corrigé)

Corrigé X MP 98
Première composition de physique
Partie I
1.
a.

• courbe :
  
  

• r_o : distance entre C et O à l'équilibre.
• V_o : énergie de liaison de la molécule de CO.
• β s'exprime en m^-1.

b. Dans le domaine tel que |β(r-r_o)|<<1, l'énergie potentielle s'écrit : V( r ) ≈ V_oβ²(r-r_o)², et k = 2V_oβ²_.

2. a. $\begin{array}{l}{m_1}{{\ddot x}_1} = k({x_2} - {x_1})\\{m_2}{{\ddot x}_2} = - k({x_2} - {x_1})\end{array}$

b.

• On combine les deux équations précédentes : $\mu \ddot s = - ks$.
  
• La solution s'écrit : $s = {s_o}\cos ({\omega _o}t + \phi )$.
  
• ${\omega _o} = \sqrt {\frac{k}{\mu }} \quad et\quad {\nu _o} = \frac{1}{{2\pi }}\sqrt {\frac{k}{\mu }}$.
  

c.

• ${m_1}{x_1} + {m_2}{x_2} = 0$.
  
• Le rapport des deux élongations vaut : $\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} = - \frac{{{m_2}}}{{{m_1}}}$.
  
• Le centre de masse reste immobile, la distance entre les deux atomes varie au cours du temps et les deux atomes vibrent en opposition de phase.
  

d.

• k = 1856 N.m^-1.
  
• β = 2,29.10¹⁰ m^-1.
  

e.

• ν' = 6,282.10¹³ Hz.
  
• ν_o - ν' = 14,3.10¹¹ Hz; on peut donc séparer les fréquences de vibration.
  

3.
a.
La taille de la molécule est de l'ordre de 10^-10 m, la longueur d'onde d'un rayonnement infrarouge de l'ordre de 10^-6 m. On peut donc supposer que le champ est uniforme à l'échelle de la molécule de CO.


b.
$\begin{array}{l}{m_1}{{\ddot x}_1} = k({x_2} - {x_1}) + \delta E\\{m_2}{{\ddot x}_2} = - k({x_2} - {x_1}) - \delta E\end{array}$ avec $\vec E = E{\vec u_x}$
c.

• s vérifie : $\mu \ddot s = - ks - \delta E$.
  
• $a = - \frac{{\delta {E_o}}}{{\mu (\omega _o^2 - {\omega ^2})}}$.
  

d.
$\vec p = \frac{{{\delta ^2}}}{{\mu (\omega _o^2 - {\omega ^2})}}{\vec E_o}$

e.

• ${\alpha _v}(\omega ) = \frac{{{\delta ^2}}}{{\mu {\varepsilon _o}(\omega _o^2 - {\omega ^2})}}$.
  
• Pour ω = ω_o l'effet du champ est maximal.
  
• La polarisabilité semble diverger en ω = ω_o. Il faudrait affiner le modèle et prendre en compte des termes dissipatifs par rayonnement par exemple.
  

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Partie II
1.
a.

• Au voisinage d'un métal parfait, le champ électrique est normal à la surface. Ici le champ est colinéaire à ${\vec u_x}$.
  
• Il faut que le champ électrique soit polarisé rectilignement suivant Ox et en incidence rasante pour que l'excitation des molécules soit efficace.
  

b. On peut supposer l'atome de platine immobile car sa masse est beaucoup plus grande que celles des l'atomes de C et O.
c.

• $\begin{array}{l}{m_1}{{\ddot x}_1} = k({x_2} - {x_1}) - k'{x_1}\\{m_2}{{\ddot x}_2} = - k({x_2} - {x_1})\end{array}$
  
• On obtient le système : $\begin{array}{l}( - {\omega ^2} + \frac{{k' + k}}{{{m_1}}}){a_1} - \frac{k}{{{m_1}}}{a_2} = 0\\ - \frac{k}{{{m_2}}}{a_1} + ( - {\omega ^2} + \frac{k}{{{m_2}}}){a_2} = 0\end{array}$; le rapport $\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}}$est bien réel.
  
• Les deux atomes vibrent en phase ou en opposition de phase.
  

d.

• L'équation vérifiée par ω s'écrit : ${\omega ^4} - \left( {\frac{k}{\mu } + \frac{{k'}}{{{m_1}}}} \right){\omega ^2} + \frac{{kk'}}{{{m_1}{m_2}}} = 0$.
  
• $\omega _ + ^2 = \left( {\frac{k}{{2\mu }} + \frac{{k'}}{{2{m_1}}}} \right) + \frac{1}{2}\sqrt {{{\left( {\frac{k}{\mu } + \frac{{k'}}{{{m_1}}}} \right)}^2} - 4\frac{{kk'}}{{{m_1}{m_2}}}}$et
  

$\omega _ - ^2 = \left( {\frac{k}{{2\mu }} + \frac{{k'}}{{2{m_1}}}} \right) - \frac{1}{2}\sqrt {{{\left( {\frac{k}{\mu } + \frac{{k'}}{{{m_1}}}} \right)}^2} - 4\frac{{kk'}}{{{m_1}{m_2}}}}$.

2.

1. On effectue un développement limité et on établit les deux relations :

${\omega _ + } = {\omega _o}\left( {1 + \frac{1}{2}\frac{{k'}}{k}{{\left( {\frac{\mu }{{{m_1}}}} \right)}^2}} \right)\quad et\quad {\omega _ - } = \sqrt {\frac{{k'}}{{{m_1} + {m_2}}}}$.
b.

• Dans le cas où ω = ω₊, on a pratiquement les oscillations libres : $\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} \approx - \frac{{{m_2}}}{{{m_1}}}$, les deux atomes oscillent en opposition de phase.
  
• Dans le cas où ω = ω_-, on trouve $\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} \approx 1$, la molécule de CO vibre " en bloc ", la pulsation des oscillations vaut bien ω_-.
  

c.

• $\begin{array}{l}{\nu _ + } = {6,64.10^{13}}\;Hz\\{\nu _ - } = {1,38.10^{13}}\;Hz\end{array}$.
  
• $\frac{{{\nu _ + } - {\nu _o}}}{{{\nu _o}}} \approx 0,033$.
  
• Par l'expérience on trouve : ${\left( {\frac{{{\nu _ + } - {\nu _o}}}{{{\nu _o}}}} \right)_{\expérimental}} \approx - 0,036$; on constate que le sens de variation n'est pas le bon.
  

Partie III
1.
a.
On remarque que dans le domaine x>0, les conditions aux limites sont les mêmes, on invoque alors le théorème d'unicité ( qui n'est plus au programme de MP… ).

b.

• ${\vec p_{im}} = \vec p$.
  

2.
a.
On peut évaluer le retard par la grandeur $\frac{{2d}}{c}$ qui vaut environ 10^-18 s pour d = 10^-10 m ce qui est négligeable devant la période des signaux électromagnétique utilisés.
b.
Il suffit de représenter le dipôle par un doublet de charges -q, +q. Les forces électrostatiques agissent dans le sens inverse de l'action du ressort de rappel, la fréquence de vibration d'élongation va donc diminuer ce qui est conforme avec le résultat expérimental.
c.
${\vec E_{im}}{e^{i\omega t}} = \frac{{\vec p}}{{16\pi {\varepsilon _o}{d^3}}}{e^{i\omega t}}$.
d.

• ${\vec E_{tot}}{e^{i\omega t}} = ({E_o}{\vec u_x} + \frac{{\vec p}}{{16\pi {\varepsilon _o}{d^3}}}){e^{i\omega t}}$.
  
• $\vec p = \frac{{\alpha (\omega ){\varepsilon _o}}}{{1 - \frac{{\alpha (\omega )}}{{16\pi {d^3}}}}}{E_o}{\vec u_x}$.
  

e.

• ${\alpha _{eff}}(\omega ) = \frac{{\alpha (\omega )}}{{1 - \frac{{\alpha (\omega )}}{{16\pi {d^3}}}}}$.
  
• ${\alpha _{eff}}(\omega )$relie $\vec p$au champ extérieur ${\vec E_o}$imposé par l'expérimentateur. Ce champ est différent du champ ressenti par la molécule.
  

f.

• A la résonance : ${\omega _1} = {\omega _o}\sqrt {1 - \frac{{{\alpha _v}(0)}}{{16\pi {d^3} - {\alpha _e}}}}$.
  
• ${\omega _1} < {\omega _o}$, ce résultat est donc compatible avec 2.b.
  

g.

• ${\nu _1} = {6,302.10^{13}}Hz$.
  
• $\frac{{{\nu _1} - {\nu _o}}}{{{\nu _o}}} \approx - 0,019$, cet écart est dans le bon sens mais est encore trop faible en valeur absolue.
  
• Le résultat dépend fortement de d car d intervient par son cube.
  
• $d' = {0,94.10^{ - 10}}m$.
  

Partie IV
1.

1. Pour justifier ce résultat, on peut noter que ${E_o}{\vec u_x}$est colinéaire à ${\vec u_x}$et pour les autres contributions, on peut modéliser les dipôles par des doublets et remarquer que les plans xOy et xOz sont des plans de symétrie pour la distribution des charges.
2. $\vec E'{'_{tot}}.{\vec u_x} = {E_o} + \frac{p}{{16\pi {\varepsilon _o}{d^3}}} - \frac{p}{{4\pi {\varepsilon _o}{l^3}}} + \frac{p}{{4\pi {\varepsilon _o}}}\frac{{\left( {8{d^2} - {l^2}} \right)}}{{{{\left( {{l^2} + 4{d^2}} \right)}^{\frac{5}{2}}}}}$.
3. On note que ${l^2} = {a^2}\left( {{j^2} + {k^2}} \right)$; ainsi :

$\vec E{'_{tot}} = \left( {{E_o} + \frac{p}{{4\pi {\varepsilon _o}{d^3}}}\left( {\frac{1}{4} + \frac{{{d^3}}}{{{a^3}}}\left( { - {S_o} + 2{S_1}(\frac{{2d}}{a}) - {S_2}(\frac{{2d}}{a})} \right)} \right)} \right){\vec u_x}$.
d.
$\alpha {'_{eff}}(\omega ) = \frac{1}{{\frac{1}{{\alpha (\omega )}} - \frac{1}{{4\pi {d^3}}}\left( {\frac{1}{4} + \frac{{{d^3}}}{{{a^3}}}\left( { - {S_o} + 2{S_1}(\frac{{2d}}{a}) - {S_2}(\frac{{2d}}{a})} \right)} \right)}}$
e.

• $\sigma = \frac{1}{{{a^2}}}$.
  
• Si a tend vers +∞ on retrouve bien $\alpha {'_{eff}}(\omega ) \to \frac{1}{{\frac{1}{{\alpha (\omega )}} - \frac{1}{{16\pi {d^3}}}}} = {\alpha _{eff}}(\omega )$.
  

2.
a.

• $\alpha {'_{eff}}(\omega ) \approx \frac{1}{{\frac{1}{{\alpha (\omega )}} - \frac{1}{{4\pi {d^3}}}\left( {\frac{1}{4} - 2{S_o}\frac{{{d^3}}}{{{a^3}}}} \right)}}$.
  
• a>>d ; la quantité de molécules adsorbées est faible, elles sont éloignées les unes des autres.
  

b.
${\omega _2} = {\omega _o}\sqrt {1 - \frac{{{\alpha _v}(0)}}{{ - {\alpha _e} + \frac{{16\pi {d^3}}}{{1 - 8{S_o}\frac{{{d^3}}}{{{a^3}}}}}}}}$.

c.

• Si σ → 0, ω₂ → ω₁. On retrouve le cas de la molécule unique.
  
• Si σ augmente, ω₂ augmente et donc cela n'améliore pas davantage la prédiction. La détermination de d est toujours critique pour la prédiction quantitative.