Concours Physique École Polytechnique (MP') 1995 (Corrigé)

Corrigé
Première partie
1.a. L’équation de continuité (conservation de la matière) s’écrit ici:
$div\left( {\rho \vec v} \right) + \frac{{\partial \rho }}{{\partial t}} = 0 \Rightarrow div\;\vec v = 0$
puisque le fluide est incompressible, ce qui montre l’existence d’au moins une fonction potentiel-vecteur $\vec A$, telle que:
$\vec v = \mathop {rot}\limits^ \to \vec A$
Le choix proposé par l’énoncé amène à réécrire cette équation sous la forme:
$\vec A = A\left( {x,y} \right){\vec e_z} \Rightarrow \vec v = \mathop {rot}\limits^ \to \vec A = \frac{{\partial A}}{{\partial y}}{\vec e_x} - \frac{{\partial A}}{{\partial x}}{\vec e_y}$
et il sera donc a priori possible de déterminer A en résolvant les deux équations aux dérivées partielles:
${v_x}\left( {x,y} \right) = \frac{{\partial A}}{{\partial y}}{\rm{ et }}{v_y}\left( {x,y} \right) = - \frac{{\partial A}}{{\partial x}}$
la fonction A étant alors bien sûr déterminée à une constante additive près.
On vérifie alors immédiatement que ce potentiel vecteur vérifie la « jauge de Coulomb », ou plutôt son extension à ce domaine de la physique:
$div\;\vec A = \frac{{\partial A}}{{\partial z}}{\rm{ = 0}}$
1.b. Les équations écrites ci-dessus deviennent:
$\frac{{\partial A}}{{\partial y}}{\rm{ = }}{v_0}{\rm{ et }}\frac{{\partial A}}{{\partial x}} = 0$
d’où la solution possible:
${A_0} = {v_0}y = {v_0}r\sin \theta$

2.a. Si l’écoulement est irrotationnel, on pourra écrire:
$\mathop {rot}\limits^ \to \vec v = \vec 0 \Rightarrow \vec \Delta \vec A = \vec 0$
puisque la divergence du potentiel vecteur est nulle, soit encore pour la fonction A scalaire:
ΔA = 0
qui constitue l’équation demandée (sauf éventuellement sur l’axe Oz).
2.b. Il suffit de vérifier cette équation différentielle soit, compte tenu du formulaire proposé:
$\Delta {A_1} = \frac{1}{r}\frac{\partial }{{\partial r}}\left( {r\frac{{\partial {A_1}}}{{\partial r}}} \right) = 0 \Rightarrow r\frac{{\partial {A_1}}}{{\partial r}} = {C_1}$
où C₁ est une certaine constante. On en déduit encore:
A₁ = C₁ ln r
à une constante près qu’on omettra car elle ne présente pas d’intérêt dans la suite.
On en déduit la vitesse correspondante, utilisant l’expression cylindrique du rotationnel fournie dans l’énoncé:
${\vec v_1} = - \frac{{{C_1}}}{r}{\vec u_\theta }$
On remarque bien sûr qu’il s’agit de l’analogue d’un champ magnétique (celui créé par un fil infini), d’où deux remarques. D’abord, le rotationnel n’est pas nul sur le fil lui-même (là où sont localisées les sources de ce champ. Ensuite, la circulation calculée à la question suivante est indépendante du choix du contour (cercle ou non) du moment qu’il entoure bien le fil une seule fois et dans le même sens que le cercle.
2.c. La circulation Γ s’écrit:
$\Gamma = \int_{\theta = - \pi }^\pi {{{\vec v}_1} \cdot d\vec r} = - \int_{\theta = - \pi }^\pi {\frac{{{C_1}}}{r}{{\vec u}_\theta } \cdot rd\theta {{\vec u}_\theta }} = = - 2\pi {C_1}$
ce qui permet aussi d’écrire:
${\vec v_1} = \frac{\Gamma }{{2\pi r}}{\vec u_\theta }{\rm{ et }}{A_1} = - \frac{\Gamma }{{2\pi }}\ln r$
3.a. Le fluide ne peut passer à travers les parois du fil ni dans un sens ni dans l’autre; la vitesse doit donc rester tangente au fil:
$\vec v\left( {r = a} \right) \cdot {\vec u_r} = 0$
3.b. A grande distance du fil, la perturbation qu’il apporte doit disparaître et on doit donc retrouver le potentiel A₀:
$A\left( {r,\theta } \right)\mathop \approx \limits_{r > > a} {v_0}r\sin \theta$

3.c. La forme A₂(r, θ) suggérée convient si elle vérifie trois conditions:
i. L’équation différentielle ΔA₂ = 0 soit:
$\frac{\alpha }{r}\frac{\partial }{{\partial r}}\left( {r\frac{\partial }{{\partial r}}\left( {r + \frac{\beta }{r}} \right)} \right)\sin \theta - \frac{\alpha }{{{r^2}}}\left( {r + \frac{\beta }{r}} \right)\sin \theta = 0$
dont on constate après développement qu’elle est automatiquement vérifiée, quels que soient α et β.
ii. La condition à la limite r >> a:
$f\left( r \right) = \alpha \left( {r + \frac{\beta }{r}} \right)\mathop \approx \limits_{r > > a} {v_0}r \Rightarrow \alpha = {v_0}$
iii. La condition à la limite r = a:
$0 = {\vec u_r} \cdot \mathop {rot}\limits^ \to {\vec A_{r = a}} \Rightarrow \frac{1}{r}{\frac{{\partial f}}{{\partial \theta }}_{r = a}} = 0\;\forall \theta \Rightarrow \left( {a + \frac{\beta }{a}} \right) = 0 \Rightarrow \beta = - {a^2}$
Finalement la solution qui convient s’écrit:
$f\left( r \right) = {v_0}r\left( {1 - \frac{{{a^2}}}{{{r^2}}}} \right)$
La vitesse correspondante s’écrit, après développement du rotationnel de A₂:
${\vec v_2} = {v_0}\cos \theta \left( {1 - {\textstyle{{{a^2}} \over {{r^2}}}}} \right){\vec u_r} - {v_0}\sin \theta \left( {1 + {\textstyle{{{a^2}} \over {{r^2}}}}} \right){\vec u_\theta }$
Il s’agit de la somme d’un champ uniforme et d’un dipôle linéique, qui est naturellement de rotationnel nul, donc de circulation identiquement nulle autour du fil, comme l’énoncé l’admet d’ailleurs.
4.a. On vérifie à nouveau les trois conditions déjà énoncées:
i. L’équation de Laplace ΔA = 0 étant linéaire, la somme de deux de ses solutions A₁ et A₂ est encore solution de l’équation de Laplace.
ii. A grande distance du fil, le terme ${\vec v_1}$ s’annule et on retrouve bien ${\vec v_2}$ seul qui redonne alors l’écoulement non perturbé ${\vec v_0}$.
iii. Enfin au voisinage du fil, on a vu que les deux champs ${\vec v_1}$ et ${\vec v_2}$ sont tous deux tangents au fil; il en va de même de leur somme.
La circulation demandée est la somme des deux circulations précédemment calculées; elle vaut donc simplement Γ.
4.b. Puisqu’à l’extérieur du fil, les deux champs de vitesse (et donc leur somme aussi) sont irrotationnels, on applique le théorème de Bernoulli:
$\frac{p}{\rho } + \frac{{{v^2}}}{2} = cte$
en l’absence de champ de pesanteur, en particulier entre la surface du fil (où le champ est orthoradial) et un point situé à grande distance:
$\frac{{{p_0}}}{\rho } + \frac{{v_0^2}}{2} = \frac{{p\left( {r = a,\theta } \right)}}{\rho } + \frac{1}{2}{\left( {\frac{\Gamma }{{2\pi r}} - {v_0}\sin \theta \left( {1 + {\textstyle{{{r^2}} \over {{a^2}}}}} \right)} \right)_{r = a}}$
ou, après développement:
$p = {p_0} + {\textstyle{1 \over 2}}\rho \left[ {v_0^2 - {{\left( {\frac{\Gamma }{{2\pi a}} - 2{v_0}\sin \theta } \right)}^2}} \right]$

4.c. C’est bien sûr une conséquence de la symétrie particulière de la répartition des pressions. On peut par exemple écrire les forces de pression exercées sur le fil:
${d^2}\vec F = - p{\vec u_r}adzd\theta \Rightarrow \frac{{{d^2}{F_x}}}{{dz}} = - ap\left( {\sin \theta } \right)\cos \theta d\theta$
ou, en effectuant le changement de variable s = sin θ:
$\frac{{{d^2}{F_x}}}{{dz}} = - ap\left( s \right)ds \Rightarrow \frac{{d{F_x}}}{{dz}} = - a\int_{\theta = - \pi }^\pi {p\left( s \right)ds}$
mais p(s) étant un polynôme (de degré 2), sa primitive est une fonction polynôme de s qui prend la même valeur en -π et +π d’où:
$\frac{{d{F_x}}}{{dz}} = 0$
On aurait aussi pu faire un simple schéma de la répartition des pressions:

et les points A et B subissant les mêmes pressions, les composantes horizontales des forces exercées se compensent.
Le même calcul que ci-dessus mène à l’expression de l’autre composante de la force:
$\frac{{d{F_y}}}{{dz}} = - \int_{ - \pi }^\pi {\left\{ {{p_0} + {\textstyle{1 \over 2}}\rho \left[ {v_0^2 - {{\left( {\frac{\Gamma }{{2\pi a}} - 2{v_0}\sin \theta } \right)}^2}} \right]} \right\}a\sin \theta d\theta }$
Les trois intégrales qui apparaissent après dévelopement s’écrivent:
$\int_{ - \pi }^\pi {\sin \theta d\theta } = 0\;\;\;\int_{ - \pi }^\pi {{{\sin }^2}\theta d\theta } = \pi \;\;\;\int_{ - \pi }^\pi {{{\sin }^3}\theta d\theta } = 0$
et seul le double produit du développemt n’est pas nul:
$\frac{{d{F_y}}}{{dz}} = - \rho \Gamma {v_0}$
4.d. Le problème évoqué ici est le même que celui précédemment évoqué à un changement de référentiel galiléen près, avec pour vitesse d’entraînement $\vec u$. La force exercée est bien sûr indépendante du référentiel galiléen choisi et on applique la relation suivante avec $\vec u = - {v_0}{\vec e_x}$. L’expression de l’énoncé est bien égale à:
${\vec F_M} = \rho \Gamma {\vec e_z} \wedge \vec u$
Seconde partie
1.a. Puisque la tension exercée sur les différents points du fil est constante en norme, seule sa direction varie; on peut donc l’écrire:

$\vec T\left( {z + \Delta z} \right) = {T_0}\vec u\left( {z + \Delta z} \right){\rm{ et }}\vec T\left( z \right) = - {T_0}\vec u\left( z \right)$
où le vecteur unitaire tangent en un point de la courbe s’écrit, de façon exacte:
$\vec u\left( z \right) = \frac{{d\vec r}}{{ds}} \approx \frac{{\partial \vec r}}{{\partial z}}$
de façon approchée, le fil restant tendu et l’élément d’abscisse curviligne ds étant pratiquement confondu avec le déplacement horizontal dz.
On aura donc pour somme des deux forces exercées sur le brin de fil de longueur Δz:
${\vec F_T}\Delta z = \frac{\partial }{{\partial z}}\left( {{T_0}\vec u\left( z \right)} \right)\Delta z$
soit enfin:
${\vec F_T} = {T_0}\frac{{{\partial ^2}\vec r}}{{\partial {z^2}}}$
1.b. En l’absence de toute force, l’application du principe fondamental de la dynamique au déplacement transversal de l’élément de longueur Δz de fil s’écrit:
$dm\;\vec a = {\vec F_T}\Delta z \Rightarrow \mu \Delta z\frac{{{\partial ^2}\vec r}}{{\partial {t^2}}} = {T_0}\frac{{{\partial ^2}\vec r}}{{\partial {z^2}}}\Delta z$
qu’on écrira encore:
$\frac{{{\partial ^2}\vec r}}{{\partial {t^2}}} = {c^2}\frac{{{\partial ^2}\vec r}}{{\partial {z^2}}}{\rm{ où }}c = \sqrt {\frac{{{T_0}}}{\mu }}$
qui constitue l’équation d’onde demandée, à la vitesse de propagation c.

2.a. Une vibration monochromatique à la fréquence ν impose:
$\vec r\left( {z,t} \right) = \vec R\left( z \right){e^{ - i2\pi \nu t}} \Rightarrow - {\left( {2\pi \nu } \right)^2}\vec R\left( z \right) = {c^2}\frac{{{d^2}\vec R}}{{d{z^2}}}$
dont la solution générale s’écrit:
$\vec R\left( z \right) = {\vec K_1}\cos \left( {\Lambda z} \right) + {\vec K_2}\sin \left( {\Lambda z} \right){\rm{ o\`u }}\Lambda = \frac{{2\pi \nu }}{c}$
mais la fixation du fil aux deux extrémités impose:
$\vec R\left( 0 \right) = \vec R\left( \ell \right) = 0 \Rightarrow {\vec K_2} = \vec 0{\rm{ et }}\sin \left( {\Lambda \ell } \right) = 0$
Les valeurs de Λ sont donc quantifiées, avec:
$\Lambda = n\frac{\pi }{\ell }$
où n est un entier qui prend la plus petite valeur possible (n = 1) pour le mode fondamental. On aura donc dans ce cas:
${\nu _0} = \frac{c}{{2\ell }}$
On peut donner une autre démonstration de cette expression (ou une interprétation physique) en remarquant ue la longueur d’onde des oscillations doit, dans le mode fondamental, vérifier:
$\ell = \frac{\lambda }{2}{\rm{ où }}\lambda = \frac{c}{{{\nu _0}}}$
qui mène bien sûr au même résultat.
Les expressions demandées s’écrivent enfin:
$x\left( {z,t} \right) = {x_0}\sin \left( {\pi \frac{z}{\ell }} \right){e^{ - 2i\pi {\nu _0}t}}\;\;\;y\left( {z,t} \right) = {y_0}\sin \left( {\pi \frac{z}{\ell }} \right){e^{ - 2i\pi {\nu _0}t}}$
où on passera aux parties réelles avant toute interprétation physique.
2.b. Calculons d‘abord la masse linéique du fil:
$\mu = {\rho _Q}\pi \frac{{{d^2}}}{4} = 4,42\;{10^{ - 9}}kg.{m^{ - 1}}$
puis la tension demandée:
${T_0} = \mu {c^2} = 4{\ell ^2}\nu _0^2\mu = 1,1\;{10^{ - 5}}N$
Cette valeur semble faible mais il faut la comparer au poids du fil:
$mg = \ell \mu g = 2,2\;{10^{ - 9}}N$
3.a. Il suffit de prendre en compte la force supplémentaire:
$\mu \frac{{{\partial ^2}\vec r}}{{\partial {t^2}}} = {T_0}\frac{{{\partial ^2}\vec r}}{{\partial {z^2}}} + \rho \Gamma {\vec e_z} \wedge \frac{{\partial \vec r}}{{\partial t}}$
après simplification par la longueur de l’élément étudié Δz.
3.b. Dans un référentiel tournant, il faut ajouter les forces d’inertie, obtenues par les lois de composition des vitesses:
$\vec u = \vec u' + \vec \Omega \wedge \vec r$
et des accélérations:
$\vec a = \vec a' + 2\vec \Omega \wedge \vec u' - {\vec \Omega ^2}\vec r$
où on a utilisé le fait que $\vec r$ représente la seule partie radiale du vecteur position du point étudié; le composante longitudinale s’annule d’ailleurs dans les différents produits vectoriels.
On en déduit enfin:
$\mu \frac{{{\partial ^2}\vec r'}}{{\partial {t^2}}} = {T_0}\frac{{{\partial ^2}\vec r'}}{{\partial {z^2}}} + \rho \Gamma {\vec e_z} \wedge \left( {\vec u' + \vec \Omega \wedge \vec r} \right) - 2\mu \vec \Omega \wedge \vec u' + \mu {\Omega ^2}\vec r$
3.c. Il suffit de choisir:
$\vec \Omega = \frac{{\rho \Gamma }}{{2\mu }}{\vec e_z}$
pour obtenir l’équation simplifiée:
$\mu \frac{{{\partial ^2}\vec r'}}{{\partial {t^2}}} = {T_0}\frac{{{\partial ^2}\vec r'}}{{\partial {z^2}}} + \rho \Gamma \left[ {\vec \Omega \left( {\vec r \cdot {{\vec e}_z}} \right) - \vec r\Omega } \right] + \mu {\Omega ^2}\vec r$
soit encore:
$\mu \frac{{{\partial ^2}\vec r'}}{{\partial {t^2}}} = {T_0}\frac{{{\partial ^2}\vec r'}}{{\partial {z^2}}} - \mu {\Omega ^2}\vec r$

3.d. Le terme demandé est néglgeable si:
$\left\| {\mu \frac{{{\partial ^2}\vec r'}}{{\partial {t^2}}}} \right\| > > \left\| {\mu {\Omega ^2}\vec r} \right\|$
or à la fréquence d’oscillation ν₀ on peut écrire:
$\left\| {\mu \frac{{{\partial ^2}\vec r'}}{{\partial {t^2}}}} \right\| = \mu {\left( {2\pi {\nu _0}} \right)^2}\left\| {\vec r} \right\|$
On en conclut immédiatement qu’il suffit que Ω << 2 π ν₀; le mouvement du fil dans ce référentiel tournant est alors régi par la même équation qu’en 1.b. et on retrouve des oscillations de mode fondamental à la pulsation ν₀.
4. L’expression de Ω est:
$\Omega = \frac{{\rho h}}{{2\mu m}} = 1,70\;{10^3}rad.{s^{ - 1}}$
Dans l’expression négligée, les pulsations sont au carré et on vérifie assez bien:
${\left( {\frac{\Omega }{{2\pi {\nu _0}}}} \right)^2} = 7,3\;{10^{ - 2}} < < 1$
Troisième Partie
1. Le champ électromoteur qui apparaît le long du fil vibrant se met sous la forme:
${\vec E_m} = \vec u \wedge {\vec B_0} = - \frac{{\partial y}}{{\partial t}}{B_0}{\vec e_z}$
dont la circulation le long du fil fournit la tension demandée:
$e = V\left( A \right) - V\left( 0 \right) = - {B_0}\int_{z = 0}^\ell {\frac{\partial }{{\partial t}}y\left( {z,t} \right)dz}$
2.a. On aura d’abord excitation seulement dans la direction y par la seule force de Laplace:
$d\vec f = idz{\vec e_z} \wedge {B_0}{\vec e_x} = idz{B_0}{\vec e_y}$
et c’est donc dans cette direction qu’on observera l’oscillation:
$y\left( {z,t} \right) = \varepsilon \sin \left( {\pi \frac{z}{\ell }} \right)\cos \left( {2\pi {\nu _0}t} \right)$
moyennant un choix arbitraire de l’origine des temps.
On en déduit par intégration immédiate:
$e\left( t \right) = - 4\pi {\nu _0}\varepsilon {B_0}\sin \left( {2\pi {\nu _0}t} \right)$
La tension de crête a pour valeur:
${e_{\max }} = 4\pi {\nu _0}\varepsilon {B_0} = 4,24mV$
2.b. Le mouvement du fil est une oscillation de mde fondamental dans le référentiel tournant; on passe de ce référentiel au référentiel du laboratoire par le schéma ci-dessous:

Si l’instant 0 choisi est celui de l’excitation, on aura dans le référentiel tournant:
$y'\left( {z,t} \right) = \varepsilon \sin \left( {\pi \frac{z}{\ell }} \right)\cos \left( {2\pi {\nu _0}t} \right)$ et x’ = 0
donc dans le référentiel du laboratoire:
$\left. \begin{array}{c}y\left( {z,t} \right) = \varepsilon \sin \left( {\pi \frac{z}{\ell }} \right)\cos \left( {2\pi {\nu _0}t} \right)\cos \left( {\Omega t} \right)\\x\left( {z,t} \right) = - \varepsilon \sin \left( {\pi \frac{z}{\ell }} \right)\cos \left( {2\pi {\nu _0}t} \right)\sin \left( {\Omega t} \right)\end{array} \right\}{\rm{o\`u }}\Omega = \frac{{\rho \Gamma }}{{2\mu }}$
d’où enfin par intégration la forme de la tension mesurée:
$e\left( t \right) = - 4\pi {\nu _0}\varepsilon {B_0}\sin \left( {2\pi {\nu _0}t} \right)\cos \left( {\Omega t} \right)$
Comme on a déjà eu l’occasion de le faire remarquer, Ω est une pulsation plus faible que 2πν₀ et il s’agit donc d’un signal sinusoïdal de fréquence ν₀ enveloppé par une variation plus lente de sa valeur de crête, à la pulsation Ω, qu’on mesure ainsi directement à l’oscilloscope.

3. On obtient ainsi une excitation sur les deux axes avec des amplitudes différentes:
$\begin{array}{c}y'\left( {z,t} \right) = {\varepsilon _0}\sin \left( {\pi \frac{z}{\ell }} \right)\cos \left( {2\pi {\nu _0}t} \right)\\x'\left( {z,t} \right) = {\varepsilon _1}\sin \left( {\pi \frac{z}{\ell }} \right)\cos \left( {2\pi {\nu _0}t} \right)\end{array}$
d’où une amplitude de vibration selon l’axe y du référentiel du laboratoire donnée par:
$y = y'\cos \Omega t + x'\sin \Omega t$
qui s’écrit donc:
$y\left( {z,t} \right) = \sin \left( {\pi \frac{z}{\ell }} \right)\cos \left( {2\pi {\nu _0}t} \right)\left[ {{\varepsilon _0}\cos \left( {\Omega t} \right) + {\varepsilon _1}\sin \left( {\Omega t} \right)} \right]$
La mesure de e est celle d’une tension de la forme:
$e\left( t \right) = - 4{B_0}{\nu _0}\ell \varepsilon \cos \left( {2\pi {\nu _0}t} \right)\left[ {{\varepsilon _0}\cos \left( {\Omega t} \right) + {\varepsilon _1}\sin \left( {\Omega t} \right)} \right]$
Si les signes respectifs de B₀ et ε₀ étaient forcemént corrélés, il n’en va pas de même de ceux de B₀ et ε₁ qui peuvent être réglés séparément. L’observation de la modification de la forme de l’enveloppe des signaux lorsqu’on augmente ou diminue B₁ fournit le signe de Ω, donc celui de Γ.

Concours Physique École Polytechnique (MP') 1995 (Énoncé)

Une mise en évidence du caractère superfluide de l’Hélium

X M’P' 1995

Énoncé
L’hélium, refroidi à des températures de l’ordre de 1K, est dans un état dit « superfluide ». Une caractéristique remarquable des superfluides est que des effets quantiques s’y manifestent à l’échelle macroscopique. Ainsi, la circulation de la vitesse d’un superfluide le long d’un contour fermé quelconque est quantifiée: ses valeurs sont des multiples entiers de h/m, h étant la constante de Planck et m la masse d’un atome d’hélium. Ce phénomène, prédit dès 1949 par Onsager, a été observé expérimentalement en 1961.

L’objet de ce problème est d’expliquer le principe de l’expérience qui a permis d’observer cet effet, en mesurant directement la circulation de la vitesse autour d’un fil plongé dans l’hélium superfluide.
Dans tout le problème, $\left\{ {O,{{\vec e}_x},{{\vec e}_y},{{\vec e}_z}} \right\}$ désigne un repère galiléen orthonormé direct. Les coordonnées cartésiennes d’un point dans ce repère seront notées (x, y, z) et les coordonnées cylindriques d’axe Oz seront notées (r, θ, z).
Formulaire:
• $\mathop {rot}\limits^ \to \mathop {rot}\limits^ \to \vec a = \mathop {grad}\limits^ \to div\;\vec a - \vec \Delta \vec a$ $\mathop {rot}\limits^ \to \left( {f\;\vec a} \right) = f\mathop {rot}\limits^ \to \vec a + \mathop {grad}\limits^ \to \;f \wedge \vec a$
• En coordonnées cylindriques:
$\Delta f = \frac{1}{r}\frac{\partial }{{\partial r}}\left( {r\frac{{\partial f}}{{\partial r}}} \right) + \frac{1}{{{r^2}}}\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {\theta ^2}}} + \frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {z^2}}}$
Pour $\vec a = f\left( {r,\theta ,z} \right){\vec e_z}$, on a:
$\mathop {rot}\limits^ \to \vec a = \mathop {grad}\limits^ \to f \wedge {\vec e_z} = \frac{1}{r}\frac{{\partial f}}{{\partial \theta }}{\vec e_r} - \frac{{\partial f}}{{\partial r}}{\vec e_\theta }$
Première partie
On étudie dans cette partie des écoulements stationnaires d’un fluide incompressible et non visqueux, de masse volumique ρ. On les suppose de plus bidimensionnels: ${v_z} = 0,\;\frac{{\partial \vec v}}{{\partial z}} = \vec 0{\rm{ o\`u }}\vec v\left( {x,y,z} \right)$ est le champ des vitesses du fluide. On négligera les forces de pesanteur.

1.a. Montrer que le champ des vitesses dérive d’un potentiel-vecteur $\vec A$, que l’on peut choisir de la forme $\vec A = A\left( {x,y} \right){\vec e_z}$, la fonction A étant déterminée à une constante additive près. Que vaut alors $div\;\vec A$ ?
1.b. Dans le cas particulier d’un écoulement uniforme $\vec v = {v_0}{\vec e_x}$, déterminer l’expression correspondante A₀ de A.
2. On s’intéressera dans toute la suite à des écoulements irrotationnels, sauf éventuellement sur l’axe Oz.
2.a. A quelle équation aux dérivées partielles obéit A(x,y) dans le cas général ?
2.b. Montrer qu’il existe pour r ≠ 0 des solutions A₁(r) de cette équation possédant la symétrie de révolution autour de Oz. Déterminer A₁(r) et le champ des vitesses correspondant.
2.c. Calculer la circulation Γ de la vitesse sur un cercle centré sur Oz. Exprimer $\vec v$ et A₁ à l’aide de r et Γ.
3. Un fil cylindrique, de section circulaire de rayon a et d’axe Oz, est immergé dans le fluide, dont la vitesse et la pression, loin du fil, valent respectivement ${v_0}{\vec e_x}$ et p₀.
3.a. Préciser la condition que doit satisfaire $\vec v$ à la surface du fil.
3.b. Quelle doit être, en coordonnées cylindriques, la forme asymptotique de A(r, θ) loin du fil ?
3.c. Cette forme asymptotique suggère de chercher pour A une solution A₂ de la forme A₂(r, θ) = f(r) sin θ. Vérifier que l’expression $f\left( r \right) = \alpha \left( {r + \frac{\beta }{r}} \right)$ convient. Déterminer α et β en fonction de v₀ et a.
On admettra que pour cette solution, symétrique par rapport à Ox, la circulation du champ des vitesses correspondant sur une courbe fermée entourant le fil est nulle.

4.a. Montrer que pour r ≥ a la somme A₁ + A₂ correspond à un autre champ de vitesses possible pour le fluide avec le fil; quelle est pour ce champ la circulation sur une courbe fermée entourant le fil ?
On admettra que cette somme est la solution générale correspondant à la situation physique étudiée dans la suite du problème.
4.b. Donner l’expression de la pression p du fluide à la surface du fil en fonction de p₀, v₀, ρ, Γ, a et θ.
4.c. Montrer que la résultante des forces de pression s’exerçant sur le fil par unité de longueur est parallèle à Oy et calculer sa valeur.
4.d. En déduire que si un fil cylindrique est en mouvement uniforme à la vitesse $\vec u$ dans un fluide en rotation autour du fil, il subit par unité de longueur une force, dite force de Magnus, donnée par:
${\vec F_M} = \rho \Gamma {\vec e_z} \wedge \vec u$
Seconde partie
Un fil de quartz souple, de diamètre d très faible, de masse linéique µ, est tendu entre ses deux extrémités fixes O et A, distantes de $\ell$. Il est supposé peu extensible.
L’axe Oz est choisi selon $\mathop {OA}\limits^ \to$. On s’intéresse aux déplacements transversaux du fil que l’on désigne, à l’instant t, par $\vec r\left( {z,t} \right) = \left\{ {x\left( {z,t} \right),y\left( {z,t} \right)} \right\}$; les déplacements sont supposés suffisamment faibles pour que le fil reste peu incliné par rapport à Oz et que la tension du fil puisse être considérée comme constante et égale en tout point à T₀.
1.a. Calculer la résultante des forces de tension appliquées à une petite longueur Δz du fil et montrer, en justifiant les approximations, que la force par unité de longueur a pour expression ${\vec F_T} = {T_0}\frac{{{\partial ^2}\vec r}}{{\partial {z^2}}}$.
1.b. On suppose qu’il n’y a pas d’autres forces s’exerçant sur le fil. Montrer que $\vec r$ satisfait à une équation d’onde. Quelle est la vitesse de propagation correspondante, notée c ?

2.a. Donner les expressions de x(z,t) et y(z,t) correspondant au mode propre de vibration fondamental, de fréquence ν₀ que l’on déterminera.
2.b. Application numérique. On donne:
Longueur du fil $\ell$ = 5cm
Diamètre du fil d = 75µm
Masse volumique du quartz ρ_Q = 2,2 10³kg.m^-3
Calculer la tension T₀ nécessaire pour obtenir ν₀ = 500Hz.
3. Le fil et son support sont maintenant plongés dans un récipient rempli d’hélium superfluide. On fait tourner ce récipient autour de Oz, ce qui permet d’engendrer une circulation Γ non nulle de la vitesse du fluide autour du fil, qui persiste même une fois le récipient arrêté. Lorsque le fil vibre, il subit alors de la part du fluide la force de Magnus étudiée dans la partie précédente. On admettra que cette force est donnée en tout point du fluide par l’équation établie plus haut, même pour un mouvement non uniforme, $\vec u = \frac{{\partial \vec r}}{{\partial t}}$ désignant la vitesse instantanée du fil en ce point. On admettra que la circulation Γ est la même pour toute courbe fermée entourant le fil dans son voisinage et qu’elle ne dépend pas du temps.
3.a. Écrire l’équation d’évolution de $\vec r\left( {z,t} \right)$.
3.b. Récrire cette équation dans un référentiel R’ tournant autour de Oz à la vitesse angulaire constante $\Omega {\vec e_z}$. On notera $\vec u'$ le vecteur vitesse dans R’.
3.c. Montrer qu’on peut choisir Ω de telle sorte que la force de Coriolis y compense la partie dépendant de $\vec u'$ de la force de Magnus.
3.d. Montrer en outre que pour cette valeur de Ω, le terme de force centrifuge et le terme restant de la force de Magnus sont négligeables devant les autres termes si Ω << 2 π ν₀. On supposera cette condition réalisée dans la suite. Quel est alors le mouvement du fil dans ce référentiel tournant ?

4. Application numérique: Calculer Ω lorsqu’il n’y a qu’un quantum de circulation, c’est-à-dire lorsque Γ = h/m, et vérifier la condition Ω << 2 π ν₀. On donne:
Constante de Planck h = 6,6 10^-34 J.s
Masse d’un atome d’hélium m = 6,6 10^-27kg
Masse volumique du superfluide ρ = 0,15 10³kg.m^-3
Troisième Partie
Le fil de quartz est recouvert d’une fine pellicule d’or qui le rend conducteur, et branché aux bornes d’un circuit électrique fixe. L’ensemble du dispositif est placé dans l’entrefer d’un aimant permanent, qui crée un champ magnétique uniforme B₀ ${\vec e_x}$.
1. Montrer que la vibration du fil dans le champ magnétique induit une force électromotrice e(t) entre ses extrémités, qui peut être mesurée au moyen d’un oscilloscope. Donner l’expression de e(t) en fonction de B₀ et y(z,t) en précisant sur un schéma l’orientation choisie.
2. Le fil est initialement au repos. Pour le mettre en vibration, on y fait passer à t = 0 une très brève impulsion de courant, de O vers A, le circuit étant ensuite maintenu ouvert.
2.a. On suppose dans un premier temps que Γ = 0. On admettra pour simplifier que seul le mode fondamental ν₀ est excité et on notera ε l’amplitude maximale du mouvement du fil (c’est-à-dire la valeur maximale de $\left\| {\vec r\left( {z,t} \right)} \right\|$). Donner l’expression de e(t) en fonction de ν₀, ε, $\ell$, B₀ et t.
Application numérique: Calculer la tension de crête pour ε = 5µm, B₀ = 0,135T.
2.b. Décrire le mouvement du fil si Γ ≠ 0. Donner les expressions de x(z,t) et y(z,t) puis de e(t). Représenter les variations de e(t). Comment peut-on déduire Γ, en valeur absolue, de la mesure de e(t) ?

3. On dispose d’un électro-aimant qui permet de superposer au champ magnétique précédent un champ magnétique perpendiculaire ${B_1}{\vec e_y}$. On branche cet électro-aimant pendant la durée de l’impulsion qui met en vibration le fil, puis on le débranche. Montrer sans faire de calcul qu’on peut alors déduire de la mesure de e(t) le signe de Γ.

Concours Physique Mines-Ponts MP’ (deuxième partie) Physique I 1995

Concours Physique Mines-Ponts MP’ (deuxième partie) Physique I 1995 : énoncé, corrigé
Modulation de fréquence

Concours Physique Mines-Ponts MP’ (première partie) Physique I 1995

Concours Physique Mines-Ponts MP’ (première partie) Physique I 1995 : énoncé, corrigé
Diffusion élastique cohérente de neutrons sur un cristal.

Concours Physique X MP’ Physique II 1995

Concours Physique X MP’ Physique II 1995 : énoncé, corrigé

Une mise en évidence du caractère superfluide de l’Hélium