Concours Physique École Polytechnique (PC) 1999 (Corrigé)

ECOLE POLYTECHNIQUE
Physique 2 PC
Première partie
1) a) On compare les courants de déplacement $\varepsilon \frac{{\partial \vec E}}{{\partial t}} = i\omega \varepsilon \vec E$ aux courants de conduction $\sigma \vec E$ : ils sont bien négligeables : $\frac{{\omega \varepsilon }}{\sigma } \approx {5.10^{ - 9}} < < 1$ ; on a donc $\overrightarrow {rot} \vec B = {\mu _0}\vec j = {\mu _0}\sigma \vec E$ (1)
1) b) Avec $\overrightarrow {rot} \vec E = - \frac{{\partial \vec B}}{{\partial t}}$ on obtient, en prenant le rotationnel de (1) :$\vec \Delta \vec B = {\mu _0}{\sigma _i}\frac{{\partial \vec B}}{{\partial t}}$ (2) dans chacun des deux domaines.

2) a) En utilisant la coordonnée orthoradiale de (2), à l’aide du formulaire, on a :
$\Delta {B_\theta }(r,z,t) - \frac{1}{{{r^2}}}{B_\theta }(r,z,t) = {\mu _0}\sigma \frac{{\partial {B_\theta }}}{{\partial t}}$ (3) ; avec ${B_\theta }(r,z,t) = \underline {{B_\theta }} (r)\exp i(\omega t - kz)$, (3) devient :
$\frac{1}{r}\frac{\partial }{{\partial r}}(r\frac{{\partial {{\underline B }_\theta }}}{{\partial r}}) - {k^2}{\underline B _\theta } - \frac{1}{{{r^2}}}{\underline B _\theta } = i{\mu _0}\sigma \omega {\underline B _\theta } \Leftrightarrow$${r^2}\frac{{{\partial ^2}{{\underline B }_\theta }}}{{\partial {r^2}}} + r\frac{{\partial {{\underline B }_\theta }}}{{\partial r}} - (({k^2} + i{\mu _0}\sigma \omega ){r^2} + 1){\underline B _\theta } = 0 \Leftrightarrow$ ${r^2}\frac{{{\partial ^2}{{\underline B }_\theta }}}{{\partial {r^2}}} + r\frac{{\partial {{\underline B }_\theta }}}{{\partial r}} - (k{'^2}{r^2} + 1){\underline B _\theta } = 0$ (4)
2) b) Mais ${k^2} = {\left( {\frac{{2\pi }}{\lambda }} \right)^2} \approx {4.10^7} > > {\mu _0}\sigma \omega \approx {2.10^{ - 3}}{\rm{ (SI) }} \Rightarrow k{'^2} \approx {k^2}$.
2) c) Cela revient à poser σ = 0 dans l’équation de Maxwell-Ampère, donc à négliger la conduction dans l’axoplasme.

2) d) Posons la variable sans dimension x = kr ; dans l’équation (4), $\frac{\partial }{{\partial r}} = k\frac{d}{{dx}}$ et (4) se réécrit : ${x^2}\frac{{{d^2}{{\underline B }_\theta }}}{{d{x^2}}} + x\frac{{d{{\underline B }_\theta }}}{{dx}} - ({x^2} + 1){\underline B _\theta } = 0$ (5) Les solutions de cette équation différentielle sont
présentées dans le formulaire (n=1) , soit : ${\underline B _\theta }(x) = \alpha {I_1}(x) + \beta {K_1}(x)$, les coefficients α et β étant à préciser dans chacun des deux domaines :
¤ dans l’axoplasme (milieu (1), r<a) , le champ magnétique doit rester borné en r = 0 ; la fonction K₁ divergeant en r = 0, on doit y avoir β = 0 . Par ailleurs, le théorème d’Ampère (qui peut s’appliquer ici puisqu’on se trouve dans l’approximation des régimes quasi-stationnaires) donne sa valeur en r = a :
$2\pi a{\underline B _\theta }(r = {a^ - }).\exp i(\omega t - kz) = {\mu _0}{i_0}\exp i(\omega t - kz){\rm{ }} \Rightarrow {\rm{ }}{\underline B _\theta }({a^ - }) = {\alpha _1}{I_1}(ka) = \frac{{{\mu _0}{i_0}}}{{2\pi a}}$ . Donc :
${\underline B _\theta }(r < a) = \frac{{{\mu _0}{i_0}}}{{2\pi a{I_1}(ka)}}{I_1}(kr)$ (6)
¤ dans le milieu extérieur (2) (r>a), le champ magnétique ne doit pas diverger pour r → ∞ : la fonction I₁ divergeant en l’infini, le coefficient α doit donc y être nul. De plus, le champ magnétique doit être continu en r = a, car la membrane lipidique séparant les deux milieux ne conduit pas de courants surfaciques. Donc : ${\rm{ }}{\underline B _\theta }({a^ - }) = \frac{{{\mu _0}{i_0}}}{{2\pi a}} = {\rm{ }}{\underline B _\theta }({a^ + }) = {\beta _2}{K_1}(ka)$. D’où :
${\underline B _\theta }(r > a) = \frac{{{\mu _0}{i_0}}}{{2\pi a{K_1}(ka)}}{K_1}(kr)$ (7)

3) a) Appliquons le théorème d’Ampère à un cercle d’axe Oz et de rayon r >> a . On a :
$2\pi r{\underline B _\theta }(r) = 2\pi r\frac{{{\mu _0}{i_0}}}{{2\pi a{K_1}(ka)}}{K_1}(kr) = {\mu _0}{i_{enlac\'e }}$ . Or au voisinage de l’infini, K₁(kr) tend vers zéro comme exp(-kr) et donc r.K₁(kr) tend aussi vers zéro, et l’intensité totale enlacée est alors nulle : l’extérieur de l’axoplasme conduit donc un courant de retour opposé à celui circulant à l’intérieur.
3) b) On a , dans l’hypothèse des régimes quasi-permanents :
$\overrightarrow {rot} \vec B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{ik{{\underline B }_\theta }(r)}\\0\\{\frac{1}{r}\frac{\partial }{{\partial r}}(r{{\underline B }_\theta })}\end{array}} \right)\exp i(\omega t - kz) = {\mu _0}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\underline j }_r}(r)}\\0\\{{{\underline j }_z}(r)}\end{array}} \right)\exp i(\omega t - kz) = {\mu _0}\sigma \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\underline E }_r}(r)}\\0\\{{{\underline E }_z}(r)}\end{array}} \right)\exp i(\omega t - kz)$ (8)
Comme on connaît les expressions de ${\underline B _\theta }(r)$, on peut en déduire celles des coordonnées de la densité de courant et du champ électrique en tout point.
- En toute rigueur, on a $\overrightarrow {rot} \vec E = - \frac{{\partial \vec B}}{{\partial t}} \ne \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over 0} \Rightarrow \vec E = - \frac{{\partial \vec A}}{{\partial t}} - \overrightarrow {grad} \psi$ . Cependant, $\vec E = \frac{1}{{{\mu _0}\sigma }}\overrightarrow {rot} \vec B \Rightarrow \overrightarrow {rot} \vec E = \frac{1}{{{\mu _0}\sigma }}\overrightarrow {rot} (\overrightarrow {rot} \vec B) = - \frac{1}{{{\mu _0}\sigma }}\vec \Delta \vec B.$ Mais le calcul du 2) b) a été mené finalement en posant au (5) que $\vec \Delta \vec B \approx \vec 0$ . D’où $\overrightarrow {rot} \vec E \approx \vec 0 \Rightarrow \vec E \approx - \overrightarrow {grad} \psi$
4) a) On a : $v(z,t) = {\psi _{{\mathop{\rm int}} }} - {\psi _{ext}} = \psi (r = {a^ - },z,t) - \psi (r = {a^ + },z,t)$ .
Par ailleurs, comme $d\psi = - \vec E(M).\overrightarrow {dM}$, on a :
$\begin{array}{l}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\psi ({a^ - },z + dz,t) - \psi ({a^ - },z,t) = - {E_{1z}}({a^ - },z,t).dz{\rm{ (9a)}}}\\{\psi ({a^ + },z + dz,t) - \psi ({a^ + },z,t) = - {E_{2z}}({a^ + },z,t).dz{\rm{ (9b)}}}\end{array}} \right] \Rightarrow {\rm{ }}\left\{ {(9a) - (9b)} \right\}\\\frac{{\partial v}}{{\partial z}}(z,t) = {E_{2z}}({a^ + },z,t) - {E_{1z}}({a^ - },z,t){\rm{ (9)}}\end{array}$
4) b) (8) donne :
- A l’intérieur :
${\underline E _{1z}}(r) = \frac{1}{{{\mu _0}{\sigma _1}}}\frac{1}{r}\frac{d}{{dr}}(r{\underline B _\theta }) = \frac{{{i_0}}}{{2\pi {\sigma _1}a{I_1}(ka)}}\frac{1}{r}\frac{d}{{dr}}(r{I_1}(kr)) = \frac{{k{i_0}}}{{2\pi {\sigma _1}a{I_1}(ka)}}\frac{1}{x}\frac{d}{{dx}}(x{I_1}(x))$
avec toujours x = kr . Le formulaire donne : $\frac{1}{x}\frac{d}{{dx}}(x{I_1}) = {I_0}(x)$. Donc :
${\underline E _{1z}}({a^ - }) = \frac{{k{i_0}}}{{2\pi {\sigma _1}a{I_1}(ka)}}{I_0}(ka){\rm{ }} \Rightarrow {\rm{ }}{E_{1z}}({a^ - },z,t) = \frac{{k{I_0}(ka){\rm{ }}}}{{2\pi {\sigma _1}a{I_1}(ka)}}{i_0}\exp i(\omega t - kz)$.
On a donc bien ${\rm{ }}{E_{1z}}({a^ - },z,t) = {Z_1}i(z,t)$ avec ${Z_1} = \frac{{k{I_0}(ka){\rm{ }}}}{{2\pi {\sigma _1}a{I_1}(ka)}}$ (10)
- De même, à l’extérieur :
${\underline E _{2z}}(r) = \frac{1}{{{\mu _0}{\sigma _2}}}\frac{1}{r}\frac{d}{{dr}}(r{\underline B _\theta }) = \frac{{{i_0}}}{{2\pi {\sigma _2}a{K_1}(ka)}}\frac{1}{r}\frac{d}{{dr}}(r{K_1}(kr)) = \frac{{k{i_0}}}{{2\pi {\sigma _2}a{K_1}(ka)}}\frac{1}{x}\frac{d}{{dx}}(x{K_1}(x))$
Le formulaire donne : $\frac{1}{x}\frac{d}{{dx}}(x{K_1}) = - {K_0}(x)$
Donc : ${\rm{ }}{E_{2z}}({a^ + },z,t) = - \frac{{k{K_0}(ka){\rm{ }}}}{{2\pi {\sigma _2}a{K_1}(ka)}}{i_0}\exp i(\omega t - kz) = - {Z_2}i(z,t)$ avec :
${Z_2} = \frac{{k{K_0}(ka){\rm{ }}}}{{2\pi {\sigma _2}a{K_1}(ka)}}$ (11)
4) c) On a $ka = \frac{{2\pi a}}{\lambda } \approx {10^{ - 2}}$ dans les conditions proposées . On peut utiliser alors les expressions équivalentes aux fonctions de Bessel au voisinage de 0. Ainsi :
${I_0}(ka) \approx 1{\rm{ ; }}{I_1}(ka) \approx \frac{{ka}}{2}{\rm{ ; }}{K_0}(ka) \approx - \ln (ka) > 0{\rm{ ; }}{K_1}(ka) \approx \frac{1}{{ka}}$
On réécrit les expressions de Z₁ et Z₂ :
${Z_1} = \frac{1}{{\pi {\sigma _1}{a^2}}}$ (10) et ${Z_2} = - \frac{{{k^2}}}{{2\pi {\sigma _2}}}\ln (ka) > 0$ (11) Rem : (10) donne la résistance linéique d’un conducteur cylindrique en régime permanent. Tout ça pour ça…
Alors : $\frac{{{Z_2}}}{{{Z_1}}} = - \frac{{{\sigma _1}}}{{2{\sigma _2}}}{\left( {ka} \right)^2}\ln (ka)$. Mais ka → 0 donc ${\left( {ka} \right)^2}\ln (ka) \to 0$ et , donc $\frac{{{Z_2}}}{{{Z_1}}} < < 1$.
A.N. : Z₁ = 6.10⁹ Ω.m^-1.
4) d) Cf (9) : $\frac{{\partial v}}{{\partial z}}(z,t) = {E_{2z}}({a^ + },z,t) - {E_{1z}}({a^ - },z,t) = ({Z_2} - {Z_1})i(z,t) \approx - Z{ _1}i(z,t)$.
On a donc bien : $\frac{{\partial v}}{{\partial z}}(z,t) = - {r_a}i(z,t)$ (12) où ${r_a} = {Z_1} = \frac{1}{{\pi {\sigma _1}{a^2}}}$
4) e) Dans ce dernier résultat, toute référence aux caractéristiques de fréquence et de longueur d’onde de l’onde harmonique envisagée a disparu : il n’y a donc pas d’effet dispersif, si bien qu’il est encore valable pour toute onde plane restant bornée se propageant selon Oz … pourvu que les fréquences de son spectre continuent à vérifier les approximations effectuées, c’est à dire :
1)a) : σ >> εω ; 2)b) : k² >> µ₀σω ; 4)c) : ka << 1 .

Deuxième partie

1) Le courant de diffusion du type d’ion considéré est : ${\vec j_{diff}} = n(r).\vec v = - D.\overrightarrow {grad} (n)$. La densité de courant électrique associé à cette diffusion est alors : ${\vec j_D} = Zen(r).\vec v = - ZeD.\overrightarrow {grad} (n) = {j_D}(r).{\vec e_r}$ , purement radial donc car n ne dépend que de r ; le vecteur radial est dirigé de l’axoplasme vers l’extérieur.

On a donc : ${j_D}(r) = - ZeD\frac{{dn}}{{dr}}(r)$ (13)
2) On a : ${\vec j_E} = Zen{u_m}\vec E(r) = {j_E}(r).{\vec e_r}{\rm{ avec }}{j_E}(r) = Zen{u_m}E(r)$ (14)
3) a) A l’équilibre pour ce type d’ion, les deux courants se compensent et donc j_E(r) + j_D(r) = 0. Donc :
$Zen(r){u_m}E(r) - ZeD\frac{{dn}}{{dr}}(r) = 0{\rm{ avec }}D = \frac{{{u_m}{k_B}T}}{{Ze}}{\rm{ }} \Rightarrow {\rm{ }}E(r) = \frac{{{k_B}T}}{{Ze}}\frac{1}{{n(r)}}\frac{{dn}}{{dr}}(r)$, soit :
${\rm{ }}\vec E(r) = \frac{{{k_B}T}}{{Ze}}\frac{d}{{dr}}(\ln (n))(r){\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over e} _r} = - \overrightarrow {grad} \psi {\text{ d'où }}\psi (r) = - \frac{{{k_B}T}}{{Ze}}\ln (n(r)) + cste$
d’où ${\rm{ }}\psi (r = {a^ - }) - \psi (r = {a^ + }) = {V_i} = \frac{{{k_B}T}}{{Ze}}\ln (\frac{{{n_{ext}}}}{{{n_{{\mathop{\rm int}} }}}})$ (15)
Si on raisonne en termes de statistique de Boltzmann, en admettant que l’énergie potentielle des ions considérés est Zeψ_k dans le milieu (k), la probabilité de présence d’un ion dans le milieu (k) à la température T est :${p_k} = \alpha \exp ( - \frac{{Ze{\psi _k}}}{{{k_B}T}})$ ; le rapport des densités particulaires est égal au rapport
des probabilités entre l’extérieur et l’intérieur, donc : $\frac{{{p_{ext}}}}{{{p_{{\mathop{\rm int}} }}}} = \frac{{{n_{ext}}}}{{{n_{{\mathop{\rm int}} }}}} = \exp [\frac{{Ze({\psi _{ext}} - {\psi _{{\mathop{\rm int}} }})}}{{{k_B}T}}]$ : on retrouve bien la relation (15).
3) b) A.N. : on trouve V_Na = + 59 mV et V_K = -83 mV .
4) a) Cf les relations (12) et (13) : les densités de courant ne dépendent que de r . Chaque densité de courant doit vérifier une équation de conservation du type$\frac{\partial }{{\partial t}}(Zen) + {\rm{div}}({\vec j_D}) = 0$. Mais on se place en régime permanent, donc $\frac{\partial }{{\partial t}}(Zen) = 0 \Rightarrow {\rm{div}}({\vec j_D}) = \frac{{d{j_D}}}{{dr}} = 0$ , et de même pour j_E.
${\vec j_i} = {\vec j_{Di}} + {\vec j_{Ei}}$ est donc uniforme dans la membrane supposée plane, pour le type d’ion (i).
4) b) La densité de courant électrique transportée par les ions de type (i) est : ${\vec j_i} = {Z_i}e[{n_i}{u_{mi}}\vec E - {D_i}\overrightarrow {grad} ({n_i})] = {Z_i}e{n_i}{u_{mi}}(\vec E - \frac{{{k_B}T}}{{{Z_i}e}}\frac{1}{{{n_i}}}\overrightarrow {grad} ({n_i})) = - {Z_i}e{n_i}{u_{mi}}\overrightarrow {grad} [\psi + \frac{{{k_B}T}}{{{Z_i}e}}\ln ({n_i})]$ C’est une loi d’Ohm locale, où Z_ie n_iu_mi joue le rôle de la conductivité, d’ailleurs non uniforme car n_i varie spatialement ; mais on peut toujours écrire la forme globale, par unité de surface de membrane :
${j_i} = {g_i}[{\psi _{{\mathop{\rm int}} }} - {\psi _{ext}} + \frac{{{k_B}T}}{{{Z_i}e}}\ln (\frac{{{n_{{\mathop{\rm int}} }}}}{{{n_{ext}}}})] = {g_i}(v - {V_i})$ (16), d’après (15), où : ${g_i} = \frac{{{Z_i}e{u_{mi}}}}{{\int\limits_{membrane} {\frac{{dr}}{{{n_i}(r)}}} }}$
(16) peut être décrit par le schéma électrocinétique équivalent (relatif à l’unité de surface de membrane) :

4) c) Les densités de courant de chaque type (i) d’ion s’ajoutent ; d’où la relation suivante (17) :
$j = \sum\limits_{i = 1}^N {{j_i}} = \sum\limits_{i = 1}^N {{g_i}(v - {V_i})} = (\sum\limits_{i = 1}^N {{g_i})} \cdot \left[ {v - \frac{{\sum\limits_{i = 1}^N {{g_i}{V_i}} }}{{\sum\limits_{i = 1}^N {{g_i}} }}} \right] = {g_m}(v - {V_E}){\rm{ o\`u }}{g_m} = (\sum\limits_{i = 1}^N {{g_i})} {\rm{ et }}{V_E} = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^N {{g_i}{V_i}} }}{{\sum\limits_{i = 1}^N {{g_i}} }}$V_E correspond bien au potentiel à l’équilibre car quand v = V_E , j = 0.

4)d) A l’équilibre, les courants des ions Na⁺ et K⁺ se compensent. Comme on a : ${V_E} = \frac{{{g_{Na}}{V_{Na}} + {g_K}{V_K}}}{{{g_{Na}} + {g_K}}} \Rightarrow \frac{{{g_{Na}}}}{{{g_K}}} = \frac{{{V_E} - {V_K}}}{{{V_{Na}} - {V_E}}} = 0,1$. Les ions potassium ont donc un rôle prépondérant dans la conduction.

5) a) La membrane forme l’isolant diélectrique d’épaisseur δ d’un condensateur plan dont les armatures sont les milieux extrêmes. Par unité de surface de membrane, la capacité est ${c_m} = \frac{\varepsilon }{\delta }$ (18).
On a : ${j_c} = {c_m}\frac{{dv}}{{dt}}$ (19)
5) b) A.N. c_m = 10 mF.m^-2.

Troisième partie

1) a) Une longueur dz d’axone porte une surface de membrane égale à 2πadz ; elle possède (Cf (17) à (19)) une conductance à travers la membrane égale à dG_m = 2πag_mdz , une capacité dC_m = 2πac_mdz et, Cf (12), une résistance d’axoplasme dR_a = r_adz .
Donc :$\frac{{\partial i}}{{\partial z}} = - 2\pi aj = - 2\pi a[{g_m}(v(z) - {V_E}) + {c_m}\frac{{\partial v}}{{\partial t}}(z)]$ (20)
2) Avec (12) : $\frac{{\partial v}}{{\partial z}}(z,t) = - {r_a}i(z,t)$qu’on dérive par rapport à z, on obtient :
$\frac{{{\partial ^2}v}}{{\partial {z^2}}}(z,t) = - {r_a}\frac{{\partial i(z,t)}}{{\partial z}} = 2\pi a{r_a}[{g_m}(v(z) - {V_E}) + {c_m}\frac{{\partial v}}{{\partial t}}(z)]{\rm{ }} \Leftrightarrow$
$\frac{1}{{2\pi a{r_a}{g_m}}}\frac{{{\partial ^2}v}}{{\partial {z^2}}}(z,t) - \frac{{{c_m}}}{{{g_m}}}\frac{{\partial v}}{{\partial t}}(z,t) - (v(z,t) - {V_E}) = {\rm{0 }}$(21), soit la forme proposée, avec :
$\lambda {{\rm{ }}^2} = \frac{1}{{2\pi a{r_a}{g_m}}}$ (22) et $\tau = \frac{{{c_m}}}{{{g_m}}}$ (23)
3) a) Si l’on s’intéresse aux solutions indépendantes du temps, (21) devient :
$\frac{{{\partial ^2}v}}{{\partial {z^2}}}(z,t) - \frac{1}{{\lambda {{\rm{ }}^{\rm{2}}}}}(v(z,t) - {V_E}) = {\rm{0 }} \Rightarrow v(z) = \alpha \exp (\frac{z}{\lambda }) + \beta \exp ( - \frac{z}{\lambda }) + {V_E}$
Si l’on s’intéresse aux solutions indépendantes de z, (21) devient :
$\frac{{\partial v}}{{\partial t}}(z,t) + \frac{1}{\tau }(v(z,t) - {V_E}) = {\rm{0 }} \Rightarrow v(t) = \gamma \exp ( - \frac{t}{\tau }) + {V_E}$
λ apparaît comme une longueur d’atténuation et τ un temps de relaxation.
A.N. : λ = 8.10^-4 m et τ = 1 ms.

4) Cf (20) : $j = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{g_m}(v(z) - {V_E}) + {c_m}\frac{{\partial v}}{{\partial t}}(z) = {g_m}V + {c_m}\frac{{\partial V}}{{\partial t}}(z){\rm{ si }}V < {V_1}}\\{g(v(z) - {V_E} - {V_2}) + {c_m}\frac{{\partial v}}{{\partial t}}(z) = g(V - {V_2}) + {c_m}\frac{{\partial V}}{{\partial t}}(z){\rm{ si }}V > {V_1}}\end{array}} \right.$ (24)
5) a) On a toujours $2\pi aj = - \frac{{\partial i}}{{\partial z}}$ et (12), donc :
$- {r_a}\frac{{\partial i}}{{\partial z}} = \frac{{{\partial ^2}V}}{{\partial {z^2}}}(z,t) = {\rm{ }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2\pi a{r_a}({g_m}V + {c_m}\frac{{\partial V}}{{\partial t}}){\rm{ si }}V < {V_1}}\\{2\pi a{r_a}[g(V - {V_2}) + {c_m}\frac{{\partial V}}{{\partial t}}]{\rm{ si }}V > {V_1}{\rm{ }}}\end{array}} \right.$or $\frac{\partial }{{\partial z}} = \frac{d}{{ds}}{\rm{ et }}\frac{\partial }{{\partial t}} = - u\frac{d}{{ds}}{\rm{ }} \Rightarrow$
$\frac{{{d^2}V}}{{d{s^2}}} = {\rm{ }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2\pi a{r_a}({g_m}V - u{c_m}\frac{{dV}}{{ds}}){\rm{ }} \approx - 2\pi a{r_a}u{c_m}\frac{{dV}}{{ds}}{\rm{ si }}V < {V_1}{\rm{ : (25a)}}}\\{2\pi a{r_a}[g(V - {V_2}) - u{c_m}\frac{{dV}}{{ds}}]{\rm{ si }}V > {V_1}{\rm{ : (25b) }}}\end{array}} \right.$
Envisageons deux « photos » du potentiel d’action le long de l’axone à deux dates différentes, t₁ = 0 et t₂ > t₁ pour un signal se propageant vers les z croissants :

Si l’on considère comme sur la figure que le point F du front montant (où le potentiel d’action V passe par la valeur V₁ en montant) se trouve en z = 0 à t = 0, on lit immédiatement que l’état V < V₁ correspond à s = z - ut > 0 et l’état V > V₁ correspond à s < 0.
5) b) ¤ si V < V₁ alors l’équation (25a) donne :
$\frac{{{d^2}V}}{{d{s^2}}} + 2\pi a{r_a}u{c_m}\frac{{dV}}{{ds}} = 0{\rm{ }} \Rightarrow {\rm{ }}V(s) = {A_1}\exp ( - {\gamma _1}s) + {B_1}{\text{ où }}{\gamma _1} = 2\pi a{r_a}u{c_m}$ (26a)
¤ si V < V₁ alors l’équation (25a) donne :
$\frac{{{d^2}V}}{{d{s^2}}} + 2\pi a{r_a}u{c_m}\frac{{dV}}{{ds}} - 2\pi a{r_a}g(V - {V_2}){\rm{ }} \Rightarrow {\rm{ }}V(s) = {A_2}\exp (ps) + A{'_2}\exp (p's) + {V_2}$
où p et p’ sont les solutions de l’équation caractéristique de l’équation différentielle (25b). On trouve :
$p = - \pi a{r_a}u{c_m} + \sqrt {{{(\pi a{r_a}u{c_m})}^2} + 2\pi a{r_a}g} > 0{\rm{ et }}p' = - \pi a{r_a}u{c_m} - \sqrt {{{(\pi a{r_a}u{c_m})}^2} + 2\pi a{r_a}g} < 0$
Le cas V < V₁ correspond à s < 0 ; il faut éviter la divergence du terme $A{'_2}\exp (p's)$pour t → ∞ : le coefficient A’₂ doit donc être nul, et, en posant γ₂ = p > 0, on a :
${\rm{ }}V(s) = {A_2}\exp ( + {\gamma _2}s) + {V_2}{\rm{ avec }}{\gamma _{\rm{2}}} = - \pi a{r_a}u{c_m} + \sqrt {{{(\pi a{r_a}u{c_m})}^2} + 2\pi a{r_a}g}$ (26b)
Les conditions aux limites donnent :
¤ V→ 0 quand s → +∞ (soit V < V₁) ⇒ B₁ = 0 ;
¤ V = V₁ pour s = 0 ⇒ A₁ = V₁ et A₂ = V₁-V₂ . En conclusion :
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{V < {V_1}{\rm{ : }}V = {V_1}\exp ( - {\gamma _1}s){\rm{ : (27a)}}}\\{V > {V_1}{\rm{ : }}V = ({V_1} - {V_2})\exp ( + {\gamma _2}s) + {V_2}{\rm{ : (27b)}}}\end{array}} \right.$
6) La continuité de i en s = 0 (c’est à dire en suivant le front montant qui passe par V₁) impose par l’équation (12) que $\frac{{dV}}{{ds}}$ doit être continue en s = 0 : on a donc d’après les équations (27) :
${\gamma _2}({V_2} - {V_1}) = {\gamma _1}{V_1}$ (28)
7) L’équation (28) donne :
$\frac{{{\gamma _2}}}{{{\gamma _1}}} = \frac{{{V_1}}}{{{V_2} - {V_1}}} = \frac{{ - \pi a{r_a}u{c_m} + \sqrt {{{(\pi a{r_a}u{c_m})}^2} + 2\pi a{r_a}g} }}{{2\pi a{r_a}u{c_m}}}{\rm{ }} \Rightarrow {\rm{ }}\frac{{{V_1} + {V_2}}}{{{V_2} - {V_1}}} = \sqrt {1 + \frac{{2g}}{{\pi a{r_a}{{(u{c_m})}^2}}}}$
Après réarrangement, on obtient bien :
${u^2} = \frac{g}{{2\pi a{r_a}c_m^2}}\frac{{{{({V_2} - {V_1})}^2}}}{{{V_1}{V_2}}}$ (29) qui est l’expression proposée.

Cf (10) : ${r_a} = {Z_1} = \frac{1}{{\pi {\sigma _1}{a^2}}}$, et comme ni g ni c_m ne dépendent de a, on en déduit que u croît en fonction de a comme $\sqrt a$ ; de plus, avec (18) on peut réécrire (29) :
${u^2} = \frac{{ga{\sigma _1}{\delta ^2}}}{{2{\varepsilon ^2}}}\frac{{{{({V_2} - {V_1})}^2}}}{{{V_1}{V_2}}}$ (30)
8) A.N. : V₂ = 129 mV.
Pour un axone de rayon a = 5 µm, on trouve u = 7 m.s^-1 ;
pour un axone géant de rayon a = 5 µm, on trouve u = 40 m.s^-1 .