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Concours Physique École Polytechnique (PC) 1998 (Corrigé)

Première partie.
1.a)
L’énergie potentielle d’interaction W du dipôle (1) m=mez placé en O et du dipôle (2) m=mez placé en (r,θ,φ) est W=mB avec B=μom4πr3(2cosθer+sinθeθ).W=μom24πr3(2cos2θsin2θ)=μom24πr3(13cos2θ).
La force F exercée par le dipôle (1) sur le dipôle (2) est F=gradW=Wr er1r Wθ eθ
Fr=3μo m24π r4 (13cos2θ)    Fθ=3 μo m22π r4 cosθsinθ.
1.b)
A distance r fixée, l’énergie W=μom24πr3(13cos2θ) est minimale pour cos2θ maximal c’est-à-dire cosθ=±1;  θ=0 ou π.
Pour cosθ=±1  sinθ=0,  Fθ est nul, la force d’interaction se réduit à la composante radiale; F=3μom22πr4er; si θ=0  er=ez; si θ=π  er=ez; dans les deux cas, la force est attractive.
2.a)
En l’absence de champ magnétique extérieur l’assemblée de particules aimantées ne possède aucune propriété magnétique macroscopique, les divers moments élémentaires μ sont orientés aléatoirement, il n’y a aucune interaction notable entre les particules (le champ magnétique de l’une quelconque des particules est trop faible, au niveau de ses plus proches voisins, pour les orienter).
2.b)
L’aimantation macroscopique M d’une goutte de ferrofluide est liée au champ magnétique extérieur B par la relation M=χSBμo. Le quotient Bμo a la dimension d’une excitation magnétique H; or H et M ont même dimension [ cf. relation locale B=μo(H+M) ]. Le coefficient χS est sans dimension.
M est supposé uniforme, m=43πR3M;  m=4πχSR33μoB.
3.a)
Les gouttelettes s’alignent parce que cette configuration correspond au minimum de l’énergie d’interaction de deux dipôles adjacents (moments magnétiques et champ appliqué parallèles à ez).
3.b)
Go : gouttelette quelconque de la chaîne.
La chaîne est rectiligne et tous les moments élémentaires colinéaires à la chaîne. Un moment élémentaires colinéaires à la chaîne. Un moment m situé à la distance pd (p entier) du point Go y crée un champ Bp=2μom4π(pd)3Par exemple, les gouttelettes G2 et G2 créent en Go des champs égaux. 
Le champ magnétique B1 crée au niveau de l’une des gouttelette( Go) par toutes les autres gouttelettes de la chaîne est dû à deux demi-chaînes infinies qui créent des champs égaux au point G. On a donc B1=2×2μom4πd3(1+123+133+143+)=μomπd3p=01/p3=μomπd3ζ(3);B1=μoζ(3)πd3m.
3.c)
Le champ B agissant sur une gouttelette est dû aux sources du champ appliqué Bo et aux moments portés par les autres gouttelettes. B=Bo+B1.
m=4πχSR33μoB (cf.2.b); B=3μo4πχSR3m.  3μo4πχSR3m=Bo+μoζ(3)πd3m;  m=πBoμo(34χSR3ζ(3)d3)
4.a)
Un dipôle Gi de Ch exerce sur un dipôle Gj de Ch situé à la distance r la force fij=3μom22πr4ez.
Chaque gouttelette de Ch est soumise à l’action d’une chaîne semi-infinie de dipôles dont l’extrémité est à la distance d pour G1; 2d pour G2; 3d pour G3, etc.
La gouttelette Gi est soumise à la force : fi=3μom22π(1(id)4+1((i+1)d)4+1((i+2)d)4+)ez;fi=3μom22πd4p=i1/p4ez; Ch est soumise à la force totale : F=f1+f2+f3+F=3μom22πd4[(1+1/24+1/34+1/44+)+(1/24+1/34+1/44+)+(1/34+1/44+)+]ez;F=3μom22πd4(1+2×(1/24)+3×(1/34)+4×(1/44)+)ez=3μom22πd4ζ(3)ez.
La force F exercée par Ch sur Ch est opposée à F. Fch=±3μo2πζ(3)m2d4ez.
4.b)
En fonction de l’intensité Bo du champ appliqué, l’intensité de la force Fch est :
Fch=3μoζ(3)2πd4×π2B2oμ2o(34χSR3ζ(3)d3)2=3πζ(3)B2o2μo(34χSR3ζ(3)d3)2d4.
Dans le cas où la chaîne ne contient que deux gouttelettes de moment m distantes de d et soumises à un champ appliqué Bo, le champ B1 de l’un des dipôles au niveau de l’autre est B1=μom2πd3.
m=4πχSR33μoB et B=Bo+B13μo4πχSR3m=Bo+μo2πd3m;   m=2πBoμo(32χSR31d3).
La force Fp entre les deux gouttelettes est Fp=±3μom22πd4ez d’intensité Fp;
Fp=3μo2πd4×4π2B2oμ2o(32χSR31d3)2=6πB2oμo(32χSR31d3)2d4   FchFp=ζ(3)2×(3d3χSR33d34ζ(3)χSR3)2.
4.c)
Fch=2,22×1013 N; Fp=1,80×1013 N; Fch/Fp=1,23(FchFp).
Deuxième partie.
1.
Les gouttelettes de rayon R sont supposées incompressibles et indéformables; en présence de la seule interaction magnétique, attractive, la distance d entre deux gouttelettes est d=2R.
2.
La force répulsive Frep à courte portée ne s’exerce qu’entre deux gouttelettes voisines de la chaîne.
Frep(d)=3πζ(3)B2o2μo(34χSR3ζ(3)d3)2d4.
3.a)
La chaîne rectiligne dont les gouttelettes diffractent la lumière incidente se comporte comme un réseau optique à très grand nombre d’éléments diffractants; seules les radiations correspondant à des ondes rétrodiffusées en phase par toutes les gouttelettes donnent une intensité lumineuse résultante notable.
3.b)
La différence de marche entre les ondes rétrodiffusées par deux gouttelettes voisines est δ=2d. Ces ondes rétrodiffusées dans le milieu d’indice n seront en phase si leur longueur d’onde dans le vide λo vérifie 2nd=kλok est un nombre entier. d=kλo2n  (k entier).
A.N. λo=585k nm. La seule possibilité est k=1 : λo = 585 nm
L’échantillon apparaît jaune-orangé (cf. doublet D du sodium à 589 nm).
3.c)
Si on fait varier l’intensité du champ magnétique appliqué Bo la force Fch varie, la valeur de d à l’équilibre varie et par suite la couleur de la lumière rétrodiffusée varie.
Si Bo augmente, d et λo diminuent. d est borné inférieurement par la valeur 2R. La longueur d’onde limite observable est λo=4nR. Pour R=98 nm λo=521 nm (couleur verte).
4.a)
La force répulsive entre deux gouttelettes est Frep=Fch avec Fch=3μo2πζ(3)m2d4 (question 4.a de la première partie); avec λo=2nd : Frep=(24ζ(3)μoπ)(m2n4λ4o).
4.b)
La mesure de la valeur λo permet de calculer celle de la distance d, fonction de Bo. En augmentant l’intensité Bo on peut considérer que l’on atteint la valeur limite λo=4nR qui permet de calculer la valeur de R; on accède ainsi à h=dR.
En appliquant un champ magnétique d’intensité variable de valeur Bo connue et en mesurant λo on peut calculer d,h, et la valeur de Frep=3πζ(3)B2o2μo(34χSR3ζ(3)d3)2d4.
5.
Les gouttelettes chargées subissent une force répulsive Fel=2πεoεrψ2oRκexp(κh).
Les points expérimentaux de la figure 1 sont pratiquement alignés sur une droite qui passe par les points (h=12 nm, F=1×1011 N) et (h=50 nm, F=2×1014 N).
On en déduit κ1= 6,1 nm et ψo = 32 mV.
Troisième partie.
1.a)
La relation Π=ckBT est formellement identique à l’expression de la pression cinétique d’un gaz parfait monoatomique. Cette expression suppose l’absence d’interaction (en particulier de collisions) entre les particules (2), elle n’est valable que pour des valeurs très faibles de la concentration c.
1.b)
Il apparaît un interstice exclu pour les particules (2) entre les particules (1) pour les distances d<dm avec dm=2(R+r).
1.c)
La région interdite aux particules (2) est défini par l’angle θc vérifiant (R+r)cosθc=d/2 c’est-à-dire cosθc=dˉR. d étant supérieur à 2R, l’angle θc n’existe que pour 2Rd2ˉR.
2.a)
La collision d’une particule (2) sur une particule (1) est entièrement décrite par le mouvement du centre de masse de la particule (2) qui reste à une distance supérieure ou égale à ˉR du centre de la particule (1). Tout se passe comme s’il y avait collision de particules ponctuelles sur une particule sphérique dont le centre est confondu avec celui de la particule (1) et de rayon ˉR.
2.b)
Par hypothèse, les collisions des particules (2) sur les particules (1) ont un effet équivalent à celui d’une pression Π uniforme. Lorsqu’il existe un insterstice exclu pour les particules (2) entre les particules (1) cette force de pression ne s’exerce que sur une partie de la sphère de rayon ˉR limitant la particule (1). Par raison de symétrie, la force résultante est portée par la ligne des centres des particules (1) et a pour expression ΠSS est l’aire du cercle limitant la partie de la sphère soumise à la pression Π. Cette force Fdep est équivalente à une force d’attraction entre les deux particules (1).
Fdep=Ππ(ˉRsinθc)2;  Fdep=ckBTπˉR2sin2θc.
2.c)
sin2θc=1cos2θc=1(d2ˉR)2;  ˉR2sin2θc=ˉR2d24;  Fdep=ckBTπ(ˉR2d24).
2.d)
Lorsque la distance d entre les centres des particules (1) est supérieure à dm=2ˉR le volume de la solution aqueuse accessible aux particules (2) est égal au volume total moins le volume des deux particules (1) : (2×43πˉR2). Pour d<dm, les volumes des deux sphères de rayons ˉR ont une partie commune, le volume accessible aux particules (2) augmente. Cette augmentation est maximale pour d=2R. L’évolution du volume accessible aux particules (2) est semblable à celle de la force de déplétion. Cette évolution suit celle de l’entropie du système constitué par les particules (2), fonction croissante du volume qui leur est accessible.
2.e)
Application numérique : Fdep=1,60×1013 N.
3.
La distance entre deux gouttelettes de la chaîne est d=λo2n=201 nm pour Bo=62,7×103 T.
Cette position correspond à l’équilibre entre la force attractive Fch et la force de répulsion d’origine électrostatique Fel  Fch=Fel en intensité; Fel=3πζ(3)B2o2μo(34χSR3ζ(3)d3)2d4.
Après ajout de polymère il y a une force attractive de déplétion Fdep.
R = 98 nm; r = 10 nm; 2(R+r)=216 nm; d = 201 nm; on est bien dans le cas 2R<d<2ˉR.
On règle le champ magnétique pour retrouver la même distance d = 201 nm. La force attractive devient Fch=3πζ(3)B2o2μo(34χSR3ζ(3)d3)2d4. L’équilibre correspond à Fch+Fdep=Fel;3πζ(3)B2o2μo(34χSR3ζ(3)d3)2d4+ckBTπ(ˉR2d24)=3πζ(3)B2o2μo(34χSR3ζ(3)d3)2d4.3πζ(3)(B2oB2o)2μo(34χSR3ζ(3)d3)2d4=ckBTπ(ˉR2d24); tous calculs faits : Bo=41,4×103 T.

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