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Concours Physique I École Polytechnique (MP) 2001 (Corrigé)

ECOLE POLYTECHNIQUE Filière MP

Première composition de physique Accélérateurs linéaires

Première partie

Accélérateur électrostatique

1. La conservation de l’énergie mécanique s’écrit 12mv2A+eVA=12mv2B+eVB d’où :
vB=v2A+2eUABm
Application numérique : vB vaut 11,9 106 m.s-1 pour un proton et 1,02 106 m.s-1 pour un ion césium 137.
2. Le raisonnement de la question précédente ne faisant pas intervenir la forme des armatures, le résultat n’en dépend pas.

3.a) On commence par supposer la diode passante. Elle se comporte alors comme un court-circuit (diode idéale) et la charge de l’armature supérieure du condensateur est Q=CUC(t)=CU(t)=CU0sinωt. L’intensité qui traverse (de gauche à droite ) la diode est dans ce cas i=dQdt=CωU0cosωt. La diode reste effectivement passante tant que i est positive donc pendant le premier quart de période. Ensuite, elle se bloque donc la charge du condensateur reste constante (CU0). UC est à partir de ce moment là constamment égale à U0 et donc supérieure (ou égale) à U(t) : la diode ne redevient jamais passante.
3.b) La tension aux bornes de la diode est, en valeur absolue, |U(t)UC(t)|=U0(1sinωt) (après le premier quart de période) dont la valeur maximale est 2U0.

Concours Physique II École Polytechnique (MP) 2001 (Énoncé)

CONCOURS D'ADMISSION 2001
PREMIÈRE COMPOSITION DE PHYSIQUE
(Durée: 4 heures)
L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.
Accélérateurs linéaires
Les trois parties du problème sont largement indépendantes
Dans ce problème, on étudie diverses méthodes d'accélération d'ions positivement chargés par des champs électriques. On se place dans l'approximation des régimes quasi‑ stationnaires, et dans le cadre de la mécanique newtonienne. On donne :
Masse du proton mp = 1,7.10-27 kg
Charge élémentaire e= 1,6.10-19C
Permittivité du vide ε0 = 8,8.10-12SI
Perméabilité magnétique du vide µ0 = 4 π.10-7 SI
Première partie
Accélérateur électrostatique
1. Des particules de masse m et de charge e > 0 sont accélérées par un champ électrique E supposé uniforme, régnant entre les deux armatures A et B d’un condensateur plan, distantes de d, et de potentiels VA et VB . Le dispositif est représenté sur la figure 1. On note vA la vitesse des particules au niveau de l’armature A. Calculer leur vitesse vB au niveau de l'armature B en fonction de vA et de la différence de potentiel UAB = VA – VB entre les deux armatures.
Application numérique : On suppose vA négligeable devant vB Calculer vB pour un proton. puis pour un ion césium 137Cs+ dont la masse est approximativement 137 fois celle du prtoton. On donne UAB= 750 kV.
2. Le résultat précédent serait‑il modifié pour une forme différente des armatures du condensateur

Concours Physique II École Polytechnique (MP) 2001 (Corrigé)

ECOLE POLYTECHNIQUE FILIERE MP

CONCOURS D’ADMISSION 2001

DEUXIEME COMPOSITION DE PHYSIQUE

(durée : 4 heures)
Le traitement des eaux
Première partie
Purification par décantation en bassin
1.a) Le solide est soumis à son poids et à la poussée d’Archimède. La décantation n’est possible que si la résultante de ces deux actions est vers le bas. Or :
f=(μsolμ)Vg=(μsolμ)Vgez
Il faut donc :
μsol>μ
1.b) A l’aide de l’expression de la force de Stokes, on trouve que ν s’exprime en m2.s–1.
La vitesse de décantation est atteinte lorsque la force de Stokes équilibre la force résultante vers le bas, donc :
(μsolμ)Vg=6πμνRvd
puis, avec V=43πR3, vd=2g9ν(d1)R2
1.c) Application numérique :
R = 50 µm ; vd = 6,9 mm.s–1 T1 mètre = 2,4 minutes
R = 5 µm ; vd = 0,026 mm.s–1 T1 mètre = 4 heures
R = 0,5 µm ; vd = 2,6.10–7 m.s–1 T1 mètre = 17 jours
La durée de décantation pour les particules de 0,5 µm de rayon est rédhibitoire. Il faut employer une autre méthode que la décantation simple pour éliminer les petites particules.
2.a) Le champ électrique est dirigé de la surface de la particule, vers la solution, c’est-à-dire selon les x croissants.
Dans la solution : div E = ρ/ε avec E = – grad V, donc
ΔV+ρε=0

Concours Physique II École Polytechnique (MP) 2001 (Énoncé)

ÉCOLE POLYTECHNIQUE FILIÈRE MP
CONCOURS D'ADMISSION 2001
DEUXIÈME COMPOSITION DE PHYSIQUE
(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.
Le traitement des eaux
Le but de ce problème est d'étudier de façon simplifiée quelques étapes du traitement des eaux de rivière afin de les rendre potables. Les débris les plus gros peuvent facilement être éliminés par une filtration sur grille, mais il semble plus difficile d'ôter les particules de petite taille ou dissoutes. Les différentes parties du problème suivent, dans l'ordre chronologique, quelques étapes du parcours de l'eau en usine de traitement.
La première partie concerne la purification par décantation en bassin qui permet d'éliminer les particules de taille supérieure à une dizaine de micromètres et, après coagulation, les particules colloïdales dont la taille est inférieure à quelques micromètres. Certaines molécules ne pouvant être éliminées par simple décantation, il faut utiliser l'adsorption moléculaire par le charbon actif en poudre que décrit la seconde partie. Enfin, la troisième partie détaille les problèmes de mise à l'équilibre de calcification de l'eau. Ces trois parties peuvent être traitées indépendamment.
Constantes physiques :
Intensité du champ de pesanteur g=9,8ms2
Masse volumique de l'eau μ=1,000.103kgm3
Viscosité cinématique de l'eau à 10°C ν=1,31.106SI
Charge élémentaire e=1,6.1019C
Permittivité du vide ε0=8,84.1012SI
Constante de Boltzmann kB=1,38.1023JK1
Constante d'Avogadro NA=6,02.1023mol1
Masses molaires : C = 12 g mol–1, O = 16 g mol–1, Na = 23 g mol–1, CI = 35,5 g mol–1, Ca = 40 g mol–1.

Concours Physique II École Polytechnique (PC) 2001 (Corrigé)

Ecole Polytechnique – ESPCI

Deuxième composition de physique ; année 2001 ; filière PC
Première partie : Propagation d’une onde sonore dans un tuyau.
1. Équation d’Euler, en négligeant la pesanteur : ρDvDt=gradP. L’approximation acoustique (on ne garde que les termes d’ordre 1), et le fait que P = P0 + p, donnent alors vt+1ρ0px=0 (1)
2. a) Masse contenue à l’instant t dans une tranche [x,x+dx] : dM(t) = ρ(x,t) S(x,t) dx. Elle ne peut varier que par les flux de masse en x et x+dx :
d(dM)dt=+ρ(x,t)S(x,t)v(x,t)ρ(x+dx,t)S(x+dx,t)v(x+dx,t)
D’où l’équation t(ρS)+x(ρSv)=0 (2)
b) L’équation d’Euler est une équation locale, valable en tout point du fluide. Elle est indépendante des conditions aux limites.
c) (2) s’écrit t(ρS)+x((ρ0+δρ)(S0+δS)v)=0 ; S0 étant indépendante de x (énoncé), et en ne gardant que les termes d’ordre 1, il vient : t(ρS)+ρ0S0vx=0 (2’).

Concours Physique ENS de Paris (MP) 2001 (Corrigé)

ULM MP 2001 Physique (6 heures). Le frottement solide.
1.1.a) Sans glissement, le module et l’orientation de la force de frottement solide sont indéterminés et s’adaptent aux sollicitations extérieures (de manière à vérifier les théorèmes de la quantité de mouvement et du moment cinétique). Le non glissement n’est possible que si la réaction tangentielle RT et la réaction normale RN vérifient l’inégalité || RT || < µs|| RN ||, µs étant le coefficient de frottement de glissement statique.
1.1.b) Avec glissement (vitesse de glissement U), la force de frottement RT a la direction de U et le sens contraire, ce qui se traduit par RTU = 0 et RT.U < 0 ; de plus, la réaction tangentielle RT est liée à la réaction normale RN par la relation || RT || = µd|| RN || où µd est le coefficient de frottement de glissement dynamique.
1.1.c) Le passage du non-glissement au glissement se produit quand || RT || atteint µs|| RN || puis dès que U est différent de zéro, || RT || prend la valeur µd|| RN ||.
1.1.d) Le passage du glissement au non-glissement se fait quand la vitesse de glissement s’annule et ensuite || RT || peut rester inférieure à µs|| RN ||.
1.2.a) Souvent µs > µd ; du fait des forces d’interaction microscopique (force de Van der Waals, liaison hydrogène) le contact entre les deux surfaces solides se fait avec une certaine adhérence ; s’il y a glissement, le contact est moins intime, les deux solides étant un peu espacés et en conséquence, les forces d’interaction fonction décroissante de la distance diminuent un peu.
1.2.b) Découper un carré de papier dans le sujet de concours et le poser sur le sujet (en maintenant plan à l’aide d’une règle plate par exemple) ; à partir de la position horizontale, incliner lentement ; quand le carré commence à glisser, on peut estimer l’angle d’inclinaison du plan incliné. À l’équilibre, la réaction est opposée au poids du carré (et de même support) et fait avec la normale au plan incliné une angle égal à l’angle d’inclinaison α du plan incliné sur l’horizontale ; à l’équilibre limite, la réaction du plan incliné fait avec la normale un angle égal à l’angle de frottement statique ϕs tel que µs = tanϕs ; alors α = ϕs. On trouve ϕs ≈ 20° et donc µs ≈ 0,4.
1.2.c) Ski métallique sur glace : µs ≈ 0,03.
1.2.d) Contact acier-ferrodo des freins à disque : µ ≈ 0,6 ; contact pneu-bitume : µ ≈ 0,8.
2.1.a) Le référentiel galiléen de la plaque (P).
2.1.b) Un repère Oxyz, trièdre direct, fixe dans (P), avec Ox de direction et de sens de V, Oy vertical ascendant, Oz complétant le trièdre.
2.1.c) La masse m seule.
2.1.d) Un seul degré de liberté de translation associé à x(t), abscisse sur Ox du point d’attache du ressort sur le palet.
2.2) En cas de glissement, la réaction normale est opposée au poids du palet (de module mg), la réaction tangentielle est de signe contraire à celui de la vitesse ˙x>0du palet et vaut algébriquement −µd mg. L’allongement du ressort est l(t) = Vtx(t) et la force appliquée par le ressort sur le palet vaut k(Vtx). D’après le théorème de la quantité de mouvement en projection sur Ox :
m¨x=μdmg+k(Vtx) et donc m¨l+kl=μdmg
2.3.a) Recherche d’un régime permanent :
˙x=cstexP=Vtμdmgk˙xP=V ; lP=VtxPlP=μdmgk
2.3.b) Par étude des petits mouvements :
l=lP+ε¨ε+ω02ε=0 avec ω0=km et donc ε=Acosω0t+Bsinω0t ,
petites oscillations autour de la solution de régime permanent : le mouvement est stable.
2.3.c) En remplaçant μd(˙x)par son développement, l’équation différentielle en l(t) s’écrit :
¨l(t)+αg˙l(t)+ω02l(t)μd(V)g
puis en remplaçant l(t) par son développement :
¨ε+αg˙ε+ω02ε=0
L’équation caractéristique r2+αgr+ω02=0de racines r=12(αg±i4ω02α2g2)12αg±iω0 conduit à la solution :
ε(t)=exp(αgt2)(Acosω0t+Bsinω0t)
2.3.d) Siμd(V) est fonction décroissante de V, α < 0, l(t) diverge, l’hypothèse des petits mouvements est vite incorrecte, le régime permanent est instable ; si μd(V) est fonction croissante de V, α > 0, l(t) effectue des oscillations amorties, le régime permanent est stable.
3.1.a) Le palet s’arrête de glisser à un instant t2 ; alors l(t) est fonction affine du temps :
x(t)=x2etl(t)=Vtx2
3.1.b) Le palet ne glisse pas tant que || RT || < µs|| RN || = µsmg ; or RT + kl = 0, le palet ne glisse donc pas tant que l(t) < µsmg/k ; quand l(t) atteint µsmg/k, le glissement se produit mais alors RT = −µdmg. Le palet repart à t3 tel que :
Vt3=μsgω02+x2
3.1.c) Si le palet est fixe, x = cste, l = Vtx est fonction affine du temps. On néglige le temps de glissement comme l’autorise la figure 2.
3.1.d) 8,2 cm correspondent à 30 s et 7,4 cm à 4 périodes et à une durée de 27 s ; la durée de glissement est donc le quart de 27 s :
τf6,8±0,1s
3.2.a) Le palet arrêté commence à glisser à t3 et alors l3 = µsmg/k = µsg/ω02 ; ensuite :
¨l+ω02l=μdg d’où l(t)=Acosω0(tt3)+Bsinω0(tt3)+μdgω02,
x(t)=Vtμdgω02Acosω0(tt3)Bsinω0(tt3).
D’après les conditions initiales˙x(t3)=0=VBω0, x3=Vt3μdgω02Asoit B=Vω0, A=(μsμd)gω02 :
l(t)=(μsμd)gω02cosω0(tt3)+Vω0sinω0(tt3)+μdgω02 , l3=μsgω02
x(t)=Vtμdgω02(μsμd)gω02cosω0(tt3)Vω0sinω0(tt3)
3.2.b) Le palet s’arrête de glisser à la date t4 telle que ˙x(t4)=0 ; or :
˙x(t)=V[1cosω0(tt3)]+(μsμd)gω0sinω0(tt3)=0
tanω0(t4t3)2=(μsμd)gVω0 ou/et sinω0(t4t3)2=0,
la 2e solution en t4t3 est à éliminer car seule la solution la plus petite, la 1ère atteinte, se réalise :
τg=t4t3=2ω0[πArctan(μsμd)gVω0]
3.2.c) On peut estimer τg en comptant le nombre d’intervalles séparés par 1,5 ms ; il y a 14 intervalles visibles sur la phase glisse : τg ≈ 21 ms ; cependant, cette méthode est très imprécise car au début et à la fin de la durée considérée les points sont trop rapprochés et se superposent ; certains ne sont pas comptés ; la mesure se fait par défaut à plusieurs fois 1,5 ms près. De plus, la durée de 1,5 ms est approximative. Ainsi, la détermination de τg se fait avec une précision relative de 30 à 40 %.
Une méthode précise consiste à exprimer τg en fonction de τf = t3t2 dont le calcul exige celui de l4 :
l4=(μsμd)gω02cosω0(t4t3)+Vω0sinω0(t4t3)+μdgω02.
Avec γˆ=(μsμd)gVω0, en utilisant les expressions de sin(x) et cos(x) en fonction de tan(x/2) :
l4=γVω01γ21+γ2Vω02γ1+γ2+μdgω02, l4=(2μdμs)gω02
Mais par périodicité des oscillations de l(t), l2 = l4 et comme x3 = x2 :
l4 = Vt2x2 = V(t2t3) + l3 = − V(t3t2) + μsgω02= (2μdμs)gω02, τf=t3t2=2(μsμd)gVω02
τg=2ω0[πArctan(ω0τf2)]
3.2.d) Arctan (en rds) <xπ/2 ; à partir de la valeur mesurée, τf6,8s, on a τg32,509ms << τf. Remarque : γ=ω0τf2>>1, τg πω0=T02=πmk et l(t)(μsμd)gω02cosω0(tt3)+μdgω02.
La précision de la méthode, m, k étant supposés bien connus, est définie par la précision sur la mesure de τf soit Δτf ≈ 0,1 s ; pour τf = 6,9 s ou 6,7 s, τg a même valeur que pour τf = 6,8 s à 0,001 ms près ; d’où Δτg=1μs. La formule approchée τgT0/2 donne 32,446 ms, valeur incorrecte.
3.3.a) Sur le graphe, d’après les expressions de l3 et l4 vues en 3.2.a et 3.2.c, on détermine :
  • la valeur maximale de kl/mg : kl3/mg=μs=0,37±0,01 ;
  • la valeur minimale de kl/mg : kl4/mg=2μdμs0,31±0,01
d’où μs=0,37±0,01 et μd=0,34±0,01 μsμd=0,03±0,01
La précision relative sur la différence des coefficients est de l’ordre de 30 % alors que la précision relative sur chaque coefficient est de l’ordre de 3 %.
3.3.b) τf=2(μsμd)mgkV=2×(0,370,34)×1,6×9,811,5.104×105=6,3s et Δτfτf=Δ(μsμd)μsμd30% soit Δτf2s; ce calcul donne une précision bien moins bonne que la mesure directe sur la figure 2.
3.3.c) τg=2ω0[πArctan(μsμd)gVω0]=21,61,5.104[πArctan0,03×9,811051,5.104/1,6]32,51ms ;
la précision par calcul avec µsµd = 0,02 ou 0,04 est de l’ordre de 0,04 ms, moins bonne qu’en 3.2.c.
3.3.d) On ne voit pas très bien l’intérêt des questions 3.3.b,c, les résultats de ces questions étant moins précis que ceux obtenus par exploitation du graphe de la figure 2 et de 3.2.d.
3.4.a) Le régime fixe-glisse est périodique parce que l’évolution de l(t) est déterminée par une équation différentielle du second ordre et que l(t) et ˙l(t)reprennent les mêmes valeurs en début et fin d’une occurence fixe-glisse, ainsi à t3, l = µsmg /k et ˙l=V ; aux deux extrémités de la phase glisse, ˙l(t)= V : de ce fait la courbe représentative de la phase glisse présente un maximum tout au début et un minimum tout à la fin ce qui n’apparaît pas sur la figure 2.
3.4.b) Dans le référentiel plaque, les allures de l’énergie cinétique Ec=m˙x2/2 du palet et de l’énergie potentielle Ep=kl2/2du ressort (indépendante du référentiel) en fonction de t sont ci-dessous :
3.4.c) Sur une période, ΔEc=0,ΔEp=0 ; ΔEunivers=0 ; en fait sur une période, le travail mécanique fourni au ressort et au palet par le moteur est transformé en chaleur par frottement au contact palet-plaque.
3.4.d) Le palet reçoit une partie de la chaleur produite par les frottements et la plaque reçoit le reste mais le palet finit par atteindre un régime permanent thermique au cours duquel sa température varie périodiquement mais assez peu à chaque occurrence fixe-glisse ; en moyenne sa température est constante : il ne reçoit plus de chaleur, son entropie ne varie pas ; le travail W de la force de frottement est alors entièrement fourni sous forme de chaleur à la plaque de température quasi constante Tplaque : la variation d’entropie de la plaque est W/Tplaque ; la force de frottement µdmg ne travaille que lors de la phase glisse de longueur x4x3 = V(t4t3) − (l4l3) = V(τg+τf)Vτfcarτf>>τg:
WμdmgVτf d’où ΔSplaque=ΔSunivers=WTplaque=μdmgτfV
En d’autres termes, l4l2=V(t4t2)(x4x2)=0 car l2 = l4 d’où x4x2=V(t4t2)ce qui montre que la vitesse moyenne du palet est V ; sur une occurrence fixe-glisse le déplacement du palet est le même que celui de l’extrémité du ressort : V(τg+τf)Vτf d’où le résultat déjà obtenu.
3.5.a) En reprenant les calculs de 3.2.a :
A=l4μdgω02, B=V˙x4ω0, ˙x(t)=V+(l4ω0μdgω0)sinω0(tt4)(V˙x4)cosω0(tt4).
3.5.b) ˙x=0V=(l4ω0μdgω0)sinω0(tt4)+(V˙x4)cosω0(tt4) ou V=Vmaxcos[ω0(tt4)φ]
avec Vmax=(l4ω0μdgω0)2+(V˙x4)2 et la condition (l4ω0μdgω0)2+(V˙x4)2V
3.5.c) Si l4 = 0 et ˙x4=V, la condition devient (μdgω0)2+V2V ce qui est réalisé.
3.5.d) ˙x peut s’annuler, si au départ, on n’a pas (˙x proche de V) et (l proche de lP du 2.3.a) donc si on n’est pas trop proche du régime permanent de 2.3.a.
4.1.a) Son nettement plus aigu que celui du diapason : f0 ≈ 1000 Hz.
4.1.b) V ≈ 0,25 m.s−1. La force de pression est donnée par le poids d’une masse m équivalente statiquement : m ≈ 0,1 kg soit RN ≈ 0,98 N.
4.1.c) f0=12πkm k=4π2mf02 k4.104N.cm1.
4.1.d) La craie vibre ; un morceau du quart de la longueur de la craie a une raideur accrue (la raideur est inversement proportionnelle au cube de la longueur) : la fréquence de vibration augmente et sort du domaine audible (20-10000 Hz pour une oreille pas très sensible aux grandes fréquences).
4.2.a) Son voisin du la du diapason : f0 ≈ 500 Hz.
4.2.b) La porte grince lors d’une rotation lente ; si elle tourne de 90 ° en t = 15 s et si le contact grinçant se fait par la base du gond de diamètre moyen d = 0,75 cm : V=πd4t4.104m.s1 .
La masse m est celle de la porte divisée par le nombre de gonds, disons 10 kg.
4.2.c) k105N.cm1.
4.2.d) Huiler les gonds ; dégripper les gonds avec un anti-rouille ; mettre des rondelles en plastique.
4.3.a) Un pneu crisse par freinage sur une route goudronnée par temps chaud surtout et aussi en tournant à faible allure sur les sols des parkings recouverts de peinture.
4.3.b) Par freinage sur une route : V ≈ 30 m.s−1 (roues bloquées) ; m ≈ 500 kg (le quart de la masse de l’automobile avec bagages et passagers).
4.3.c) Prendre des pneus neufs ; réaliser un freinage progressif (système ABS).
4.3.d) Il vaut mieux supprimer le crissement pour un freinage efficace par freinage progressif.
4.4.a) Passer une résine solide sur l’archet, la colophane, résidu de la distillation de la térébenthine.
4.4.b) La fréquence du la du diapason est 440 Hz.

4.4.c) La force de rappel F est due à la forme prise par la corde lors de l’appui de l’archet ; on peut l’exprimer en fonction de la tension T dans la corde :
F = T1 + T2 de module F = 2Tsinα ≈ 2 avec αx/L et donc F ≈ 2Tx/L de la forme kx d’où k ≈ 2T/L ; si la tension est égale au poids d’une masse de 10 kg et si L ≈ 0,2 m,k10N.cm1.
4.4.d) Il faudrait tenir compte de la propagation d’ondes transversales de déplacement le long de la corde avec une des conditions aux limites définie par le contact de l’archet , en plus des conditions limites aux extrémités de la corde.
5.1.a) l(t) = Vt x(t) ; à la fin d’une phase fixe, x(t) est un peu plus grand que prévu et donc l(t) un peu plus petit que prévu ; au début, c’est le contraire ; les pointes de la courbe sont arrondies.
5.1.b) Le bristol est fait de cellulose dont les macromolécules comportent des motifs de 0,5 nm qui peuvent se répéter 4000 fois, soit de dimension d ≈ 2 µm.
La distance de reptation est pratiquement égale à cette
dimension ; elle correspond à la distance nécessaire pour que les macromolécules à la base du palet se positionnent au plus près de celles de la plaque ou pour qu’elles s’arrachent un peu de la plaque pour autoriser le glissement.
5.1.c) τrd/V. Il ne s’agit que d’un ordre de grandeur.
5.1.d) Pour τf, il faut trouver un produit en V, k, m, g de la dimension d’un temps :τfgVω02=mgkV.
Pour τg, on peut prendre τgT02=πω0=πmk.
5.2.a) On a donc, sans tenir compte des facteurs numériques : τf1kV,τg1k,τr1V ;
  • τg = τf kV2=cstelogk+2logV=cste, droite de pente −2, dessus τg > τf, dessous τg < τf ;
  • τr = τg k/V2=cstelogk=2logV+cste, droite de pente +2, dessus τr > τg, dessous τr < τg ;
  • τr = τf k=cstelogk=cste : droite de pente 0, dessus τr > τf, dessous τr < τf ;
Les 3 droites sont concourantes et délimitent six domaines.
5.2.b) Quand τg augmente, devient comparable à τr et que τgV devient supérieur à d, le palet ne peut plus se positionner assez près de la plaque pour qu’il puisse exister une phase fixe.
5.2.c) La reptation joue un rôle significatif quand τr prend des valeurs supérieures à τf et τg (voir ci-dessus).
5.2.d) On observe le régime permanent dans le domaine de prédominance deτg (pour des vitesses de plus en plus élevées).
5.3.a) On obtient le tableau et la courbe :
V((µm.s−1) 0,25 0,42 0,59 0,75 1
τ(s) 23,1 ± 0,3 11,4 ± 0,3 6,9 ± 0,3 5,4 ± 0,3 4,2 ± 0,3
(µm) 5,8 4,8 4,1 4,1 4,2
5.3.b) On s’attend à un loi en 1/V ; ce qui est approximativement le cas ; la loi est moins bien vérifiée pour les vitesses les plus faibles.
5.3.c) On obtient le tableau :
V((µm.s−1) 0,25 0,42 0,59 0,75 1
l(µm) 2,2 1,5 0,73 0,36 0,18
L’allongement l est continu à la transition.
5.3.d) Si α > 0, le régime permanent de type 2.3.a est stable ; une fois obtenu après augmentation de V, par diminution lente de V, le régime permanent subsiste. On ne retrouve pas le régime fixe-glisse.
Si α < 0, le régime permanent est instable et ne peut être obtenu de toute façon.
5.4.a) On trouve :
V(µm.s−1) 275 525
τf(s) 3,6 1,6
f(µm) 990 840
τf doit être en 1/V ce qui est vérifié à 10 % près.
5.4.b) L’allongement l est à valeur discontinue à la transition, soit de l’ordre de 1000 µm soit nulle.
5.4.c) Si τr = τf, le palet n’a pas le temps de se positionner en contact intime avec la plaque ; soit il est bien positionné immédiatement et alors la phase fixe se produit et est suivie d’une phase glisse ; soit il n’est pas bien positionné et la phase fixe ne se produit pas ; d’où l’aspect aléatoire du départ de la phase fixe et de l’occurrence d’un fixe-glisse.
5.4.d) Même réponse qu’en 5.3.d.

Concours Physique ENS de Paris (MP) 2001 (Énoncé)

SESSION 2001
Filière MP
PHYSIQUE
(ENS : Ulm)
Durée : 6 heures Les correcteurs accorderont la même importance aux raisonnements qualitatifs et aux calculs quantitatifs.
L'usage de calculatrices électroniques de poche à alimentation autonome, non imprimantes et sans document d'accompagnement, est autorisé. Cependant, une seule calculatrice à la fois est admise sur la table ou le poste travail, et aucun échange n'est autorisé entre les candidats.
Le frottement solide
Les données expérimentales présentées dans cet énoncé ont été publiées en 1994 par Baumberger, Heslot et Perrin. Leur dispositif expérimental, représenté sur la figure 1, est simple. Il s'agit d'un palet de masse m et de surface S qui glisse sur une plaque horizontale fixe. Un ressort exerce sur le palet une force k où k est sa raideur et son élongation par rapport à sa longueur à vide. Un moteur, qui se déplace en ligne droite à vitesse V, tire l'autre extrémité du ressort.
Quand la vitesse V est suffisamment rapide, la vitesse instantanée x (t) du palet est constante et vaut V ; c'est le régime "permanent". Au contraire, quand la vitesse V est basse, on observe un régime appelé "fixe‑glisse", en anglais "stick‑slip" : le palet est fixe, puis se détache brusquement et glisse, avant de s'immobiliser à nouveau un peu plus loin, et ainsi de suite. L'objet du présent problème est d'étudier d'abord le régime permanent, puis le régime fixe‑glisse, et enfin la transition entre les deux.
Rappel sur les unités : 1 µm.s-1 = 10‑6 ù.s-1 ; 1 N.cm‑1 = 102N.m‑1.
Figure 1 ‑ Le palet est relié par un ressort, dont la raideur k vaut de 1 à 104 N.cm-1 , à un moteur qui se déplace en ligne droite à vitesse V. L'expérimentateur peut choisir V entre 10-2 µm.s-1 et 5 cm.s‑1. En posant des masses calibrées sur le palet, on peut choisir à volonté sa masse m entre 300 g et 3 kg.
Les surfaces qui frottent l'une sur l'autre sont le dessous du palet, de surface S = 9 x 8 cm2 et le dessus de la piste. Elles sont toutes deux recouvertes d'une plaque de carton bristol de quelques millimètres d'épaisseur, Le bristol a été choisi pour cette étude car ses coefficients de frottement restent stables et reproductibles même quand il s'use sous l'effet d'expériences répétées.
1. La force de frottement solide
Le frottement entre deux surfaces solides est caractérisé par des coefficients sans dimension, appelés coefficients de frottement solide : le coefficient statique µS en l'absence de glissement, et le coefficient dynamique µd lorsque les surfaces glissent l'une sur l'autre. On supposera dans ce problème que ces coefficients sont constants (sauf dans les questions 2‑3 (c,d) où l'on tient compte de la variation de µd avec V).
1‑1 Lois de Coulomb du frottement solide.
(a) Lorsqu'il y a non‑glissement : que peut‑on dire du module et de l'orientation de la force de frottement solide exercée par la piste sur le palet ?
(b) Lorsqu'il y a glissement : que peut‑on dire du module et de l'orientation de la force de frottement solide exercée par la piste sur le palet ?
(c) Précisez à quelle condition on passe du non‑glissement au glissement.
(d) Précisez à quelle condition on passe du glissement au non‑glissement.
1‑2 Coefficients de frottement solide.
(a) µS est‑il plus élevé ou plus faible que µd ? Pouvez‑vous expliquer pourquoi?
(b) A l'aide d'une manipulation simple, réalisable sur une table d'examen, estimez grossièrement un ordre de grandeur de la valeur de y, pour le frottement papier‑sur‑papier.
(c) Citez un exemple de système que vous connaissez pour lequel les coefficients de frottement sont très faibles, et indiquez approximativement leur ordre de grandeur.
(d) Citez un exemple de système que vous connaissez pour lequel les coefficients de frottement sont très élevés, et indiquez approximativement leur ordre de grandeur.
2. Equations de base.
2‑1 Approche du problème.
Des réponses brèves suffisent.
(a) Choisissez un ou plusieurs référentiel(s) d'étude.
(b) Choisissez un ou plusieurs repère(s) correspondant (s).
(c) Spécifiez précisément le système étudié.
(d) Précisez son ou ses degrés de liberté.
2‑2 Equation du mouvement.
Ecrivez l'équation d'évolution du palet : c'est‑à‑dire l'équation différentielle qui régit soit l'abscisse x(t) du palet, repérée par rapport à la piste ; soit l'élongation (t) du ressort.
Attention : cette équation est indispensable pour la suite du problème.
Vérifiez‑la soigneusement, en particulier les signes et les unités. N'hésitez pas à la reprendre au cours de la suite du problème, par exemple en la comparant aux données expérimentales. Si vous souhaitez introduire des notations, par exemple pour simplifier les calculs ultérieurs, définissez‑les précisément.

2‑3 Régime permanent.

(a) Montrez que l'équation précédente admet toujours une solution permanente xP(t), où xP = V = cst, et calculez l'élongation du P dans ce régime permanent.
(b) Si à un instant t1 donné, la position du palet est légèrement différente de cette solution, c'est‑à‑dire = P + ε : écrivez l'équation différentielle qui régit ε(t). Indiquez la solution et commentez‑la.
(c) Expérimentalement, on constate que µd dépend légèrement de la vitesse instantanée. Si l'on linéarise µd( x) en l'écrivant sous forme d'un développement limité, µd µ(V) + α ( x-V) , que devient l'équation précédente et sa solution ?
(d) Déduisez‑en une discussion de la stabilité du régime permanent.
3. Le régime fixe‑glisse.
3‑1 Phase fixe.
(a) Si le palet s'arrête de glisser à un instant t2, écrire l'expression de x(t) et de (t).
(b) A quelle condition le palet se remet‑il à, glisser ?
(c) Indiquez par quelle méthode on peut estimer la valeur de la durée τf de la phase fixe sur la figure 2 avec la meilleure précision.
(d) Indiquez cette valeur et cette précision.
Figure 2 ‑ Exemple du régime non permanent appelé fixe‑glisse. La valeur de k /mg est enregistrée à raison d'un point toutes les 1,5 ms environ, avec un palet de surface S ‑= 9 x 8 cm2, de masse m= 1,6 kg, un ressort de raideur k = 1,5.102 N.cm‑1, une vitesse de traction V = 10 µm.s-1
3‑2 Phase glisse.
(a) Si le palet est arrêté et commence à glisser à un instant t3, écrire l'expression de x(t) et de (t).
(b) A quel instant la vitesse du palet s'annule‑t‑elle à nouveau ?
(c) Indiquez par quelle méthode on peut estimer la valeur de la durée τg de la phase glisse sur la figure 2, en utilisant : d'une part, la variation totale de k /mg au cours de la phase glisse ensuite, la variation de k /mg entre deux points successifs ; enfin, l'expression analytique de x(t) déterminée à partir de la question (a).
(d) Indiquez cette valeur et la précision de cette estimation.
3‑3 Modélisation de la figure 2.
Attention : celle partie nécessite des réponses soigneuses.
(a) Sur la figure 2, estimez la valeur numérique de µd µS et de leur différence, en expliquant bien quelle méthode vous utilisez. Indiquez la précision de votre estimation.
(b) Avec les paramètres utilisés pour l'expérience de la figure 2, calculez la valeur attendue de τf Indiquez la précision de cette valeur calculée.
(c) Avec les paramètres utilisés pour l'expérience de la figure 2, calculez la valeur attendue de τg. Indiquez la précision de cette valeur calculée.
(d) Comparez ces valeurs attendues de τf et τg aux valeurs estimées ci-dessus d'après la figure 2.
3‑4 Périodicité.
(a) Expliquez brièvement pourquoi le régime fixe‑glisse est périodique.
(b) Tracez l'allure de la variation des différentes formes d'énergie en fonction du temps, en précisant le référentiel choisi.
(c) Ecrivez soigneusement, et commentez physiquement, le bilan énergétique du système considéré, et celui de l'univers, à chaque période du régime fixe‑glisse.
(d) A chaque période, de combien varie l'entropie du système considéré ? et l'entropie de l'univers ?
3‑5 Rôle des conditions initiales.
(a) En régime glisse, écrivez l'expression générale de x( t) en fonction des conditions initiales à un instant t4 quelconque, x(t4) > 0.
(b) Discutez à quelle condition x peut s'annuler.
(c) Examinez le cas particulier où (t4) = 0 , x(t4)=V.
(d) Commentez brièvement.
4. Exemples quotidiens.
Ce régime fixe‑glisse se rencontre dans divers phénomènes quotidiens ‑ cette partie est consacrée à leurs ordres de grandeurs.
Ce sont des questions ouvertes, pour lesquels les correcteurs accepteront toute réponse raisonnable. Répondez‑y simplement, en vous appuyant sur des approxi­mations. Ainsi, pour fixer les idées sans entrer dans les détails, on pourra écrire que τf et τg ont le même ordre de grandeur.
4‑1 Craie qui crisse.
(a) Estimez l'ordre de grandeur de la fréquence du bruit d'une craie qui crisse sur un tableau noir.
(b) Estimez l'ordre de grandeur de V et de m pertinentes.
(c) Déduisez‑en l'ordre de grandeur de la "raideur effective" du système.
(d) Pourquoi supprime‑t‑on le crissement en cassant la craie en deux ?
4‑2 Porte qui grince.
(a) Estimez l'ordre de grandeur de la fréquence du bruit d'une porte qui grince sur ses gonds.
(b) Estimez l'ordre de grandeur de V et de m pertinentes.
(c) Déduisez‑en l'ordre de grandeur de la "raideur effective" du système.
(d) Proposez jusqu'à trois méthodes pour supprimer le grincement.
4‑3 Pneu qui crisse.
(a) Dans quelle(s) situation(s) entend‑on des pneus de voiture crisser ?
(b) Estimez l'ordre de grandeur de V et de m pertinentes.
(c) Comment supprimer le crissement des pneus ?
(d) Faut‑il le supprimer ou vaut‑il mieux le conserver ?
4‑4 Archet de violon.
(a) Comment favorise‑t‑on le régime fixe‑glisse d'un archet sur la corde ?
(b) Quelle est la fréquence d'un la du diapason ?
(c) Précisez ce qui détermine la "raideur effective" du système. Estimez‑en l'ordre de grandeur.
(d) Suggérez brièvement comment on pourrait modifier l'étude du régime fixe‑glisse pour tenir compte de la vibration de la corde.
5. Corrections au modèle classique
5‑1 Reptation. En améliorant la précision des mesures on détecte une phase intermédiaire entre la phase fixe et la phase glisse. Au début et à la fin de chaque phase fixe, le palet se déplace d'une distance d, comme on le voit dans l'agrandissement de la figure 3. On dit qu'il "rampe" sur la piste (phase de "reptation").
(a) En vous basant sur la figure 3, et en tenant compte de cette reptation, tracez grossièrement l'allure de l'élongation (t) en fonction du temps au cours d'une période.
(b) La distance sur laquelle le palet rampe a toujours la même valeur d 2 µm : elle est indépendante des autres paramètres du problème. Pouvez‑vous expliquer cette valeur en proposant une interprétation microscopique ?
(c) Estimez grossièrement (c'est‑à‑dire en ne tenant pas compte des préfac­teurs numériques) la durée τr de la phase de reptation.
(d) Estimez aussi grossièrement l'expression de τf et τg Figure 3 ‑ Mouvement du palet dans le régime fixe‑glisse : un agrandissement montre que le palet n'est pas rigoureusement fixe et rampe en fait sur une distance d 2 µm début et à la fin de chaque phase fixe. Enregistrement réalisé avec un palet de masse m = 0.8 kg, un ressort de raideur k = 580 N.cm-1 une vitesse de traction V = 1 µm.s-1.

5‑2 Diagramme de transition.
(a) Toujours sans tenir compte des préfacteurs numériques, tracez l'allure des trois courbes τr = τf , τf = τg et τg = τr dans une représentation logarithmique en fonction des variables (V, k), analogue à, celle de la figure 4, pour un palet de masse m = 1, 2 kg.
(b) Pourquoi s'attend‑on à ce que le régime fixe‑glisse disparaisse quand τg augmente ?
(c) Dans quelle région la reptation joue‑t‑elle un rôle significatif
(d) Interprétez les différentes régions du diagramme, en comparant avec la figure 4. En particulier indiquez dans quelles régions on observe le régime fixe-glisse et le régime permanent.
Figure 4 ‑ Transition entre le régime permanent et le régime fixe‑glisse. Représentation logarithmique en fonction des variables (V, k), avec un palet de masse m = 1,2 kg. Chaque point correspond à une expérience où l'on observe la disparition du régime fixe‑glisse. Les flèches indiquent les régions étudiées plus en détail dans les figures 5 et 6.
5‑3 Approche de la transition : ressort raide.
On s'approche de la transition avec un ressort raide, k = 740 N.cm-1 , en augmentant V, selon la flèche marquée sur la figure 4. Les enregistrements sont présentés sur la figure 5.
(a) Mesurez la valeur de la période pour chaque valeur de V ; tracez l'allure du graphe de la période en fonction de V, avec des barres d'erreur.
(b) Est‑ce compatible avec la dépendance en V attendue (à préciser) ?
(c) Mesurez la valeur de l'amplitude de pour chaque valeur de V. Est‑elle continue ou discontinue à la transition ?
(d) Si l'on redescend V, le régime fixe‑glisse réapparaîtra‑t‑il à la même valeur de V ?
Figure 5 ‑ Transition, lorsque k = 740 N.cm-1 et m = 1,2 kg; voir flèche sur la figure 4. Les enregistrements de l'élongation du ressort ont été décalés les uns au‑dessus des autres pour être lisibles. De bas en haut, les cinq vitesses de tirage sont respectivement : 0,25 ; 0,42 ; 0,59; 0,75 et 1 µm.s-1.
5‑4 Approche de la transition ‑ ressort souple.
On s'approche de la transition avec un ressort plus souple, k = 1 N.cm-1, et en augmentant V, selon la flèche marquée sur la figure 4. Les enregistrements sont présentés sur la figure 6.
(a) Mesurez la durée τf de la phase fixe pour V = 275 et 525 µm.s-1 ; est‑ce compatible avec la dépendance en V attendue (à préciser) ?
(b) L'amplitude d'une phase fixe, c'est‑à‑dire la variation de durant τf , est‑elle une grandeur continue ou discontinue à la transition ?
(c) Par quel mécanisme physique le régime fixe‑glisse disparaît‑il ?
(d) Si l'on redescend V, le régime fixe‑glisse réapparaîtra‑t‑il à la même valeur de V ?
Figure 6 ‑ Transition, lorsque k = 1 N. cm-1 et m= 1, 2 kg,‑ voir flèche sur la figure 4. Les enregistrements de l'élongation du ressort ont été décalés les uns au‑dessus des autres pour être lisibles. De haut en bas, les trois vitesses de tirage sont respectivement : 275; 525; et 890 µm.s-1
FIN DU PROBLEME

Concours Physique ENS de Paris (PC) 2001 (Corrigé)

G. Requin ULM - PC – 2001 – (6 h)
1 – Gaz superfluide en l’absence de potentiel extérieur
  1. – Equation d’état d’un gaz superfluide
  1. U=12Nν(r)N dτV=12N2Vγ, le facteur ½ pour ne pas compter deux fois les énergies mutuelles d’interaction et l’intégrale dans le volume étant remplacée par l’intégrale de − ∞ à + ∞ dans chaque direction compte tenu des courtes portées d’interaction.
  2. F = U − TS ≈ U ici ; F = ½ (N²/V)γ et pour un fluide dF = − P dV, par identification on retrouve l’équation d’état (2). χ=1V(VP)=2γρ2=1Pμ=(FN)V,T=γρ
    1. – Quelques contraintes sur l’équilibre thermodynamique
  1. (dF)N,T,V = − T δiS ≤ 0 par le second principe pour toute évolution à N, T, V fixés, donc Fe est minimum à l’équilibre.
  2. F est extensive : F = ½ ρ1² γV1 + ½ ρ2² γV2 = F1 + F2. Fe est le minimum de F à N, T, et V constant.
  3. Pour une modification dV1, dV2 = − dV1, dρ1 = − (N1/V1²) dV1 … alors dF = ½ (ρ1² − ρ2²) γ dV1 ; à l’équilibre en l’absence de potentiel extérieur, la densité doit être uniforme dans tout le volume : (dF)e = 0 ⇒ ρ1 = ρ2.
  4. dN1 = − dN2 et dρ1 = dN1/V … alors dF = (ρ1 − ρ2) γ dN1 ; à l’équilibre, les particules se répartissent dans les deux compartiments de manière à réaliser une densité uniforme : (dF)e = 0 ⇒ ρ1 = ρ2.
  5. Finalement vis à vis de toutes les modifications internes la fonction Fe = ½ ρ² γV est bien extensive et proportionnelle au volume, évidemment γ > 0 (déjà dans l’équation (2) ! ) pour avoir une fonction croissante de V ; ρ est bien intensif à l’équilibre.
    1. – Mélange de deux gaz superfluides
  1. Par analogie avec 1-1-(a) on obtient FI, e ≈ U = ½ ( Na² / V) γaa + ½ ( Nb² / V) γbb + (NaNb /V) γab = ( ½ ρa² γaa + ½ ρb² γbb + ρa ρb γab ) V
  2. FII, e = 12(Na2γaaα+Nb2γbb1α)1V
  3. (∂FII / ∂α)V, Na, Nb, T = − T δiS = 0 pour des évolutions réversibles autour de l’équilibre sans autres forces extérieures ; cela donne αe=11+NaNbγbbγaa et
FII e = ½ Na² γaa ( 1 + (Nb / Na) (γbb / γaa)1/2 )² × (1/V)
  1. En reprenant la formulation de FI e = ½ Na² γaa ( 1 + (Nb²/Na²)(γbb / γaa) + 2 (Nb/Na) (γab / γaa)) × (1/V), on doit privilégier le minimum entre ces deux fonctions soit à comparer γab à (γaa γbb)1/2 : si γab < (γaa γbb)1/2 alors FI e < FII e et les espèces sont miscibles mais si γab > (γaa γbb)1/2 alors FI e > FII e et les espèces sont non miscibles.
  2. Dans le tableau il apparaît que seules les espèces a-c sont miscibles.
  1. – Gaz superfluide au repos dans un piège
    1. – Equilibre dans un piège de forme arbitraire
  1. Ici la force volumique d’interaction sera fe = − ρe grad Φe et l’équilibre sera donné par l’équation : − grad Pe − ρe grad Φe = 0
  2. grad (½ γρe²) − ρe grad Φe = − ρe grad (γρe + Φe) = 0 et donc ρe (r) = − (Φe / γ) + C.
  3. En normalisant sur le volume de piégeage N = ∫V ρe (r) dτ on obtiendrait la constante.
    1. – Equilibre dans un piège harmonique
  1. La force sur une particule matérielle est − mω² r = − k r donc une force de rappel de centre O et ω est la fréquence d’oscillation de la particule libre dans le piège.
  2. D’après 2-1-(b) on obtient ρe(r) = − (mω²/2γ) r² + ρe(0) et comme ρe est une grandeur positive on doit avoir r ≤ R = (2γρe° / mω² ) ½ ; la forme d’équilibre de la surface externe du gaz est une sphère de centre O et de rayon R.
  3. ρe(r) = ρe° ( 1 − r²/R²)
  4. 0R ρe(r) 4πr² dr = N ⇒ ρe° = 15 N / (8πR3)
  5. En remplaçant R dans l’équation précédente il vient ρe0 5/3=mω22γ(15N8π)2/3 et on retiendra que ρe° ∼ N 2/5.
    1. – Considérations thermodynamiques
  1. Eh = ∫0R ρe (r) Φe(r) 4πr² dr = (3/7) Nγρe°
  2. Eint = ½ ∫0R ρe (r) {ρe(r) ∫-∞+∞ ν(r) dτ }4πr² dr = (4/7) Nγρe°
  3. En définissant l’énergie interne comme la somme de l’énergie d’interaction et de l’énergie potentielle microscopique : U = Eh + Eint, F ≅ U = Nγρe° à T nulle et µ = γρe°
  4. La condition d’équilibre obtenue en 2-1 -(b) se réécrit : γρe (r) = − Φe (r) + µ…
    1. – Comparaison aux expériences
  1. avec les données fournies on calcule ρe° = 1.95 1019 part.m-3 puis R = 36.6 µm donc un diamètre théorique de 73.2 µm très proche de la donnée expérimentale.
  2. On a créé une inhomogénéité de ρ (r) donc de P(r) avec une pression au centre maximum donc la sphère entre en expansion radiale.
  3. (d) Le système est isolé : Ecin + Eint = Cte = Eint(0) = (4/7) Nγρe° ; en régime stationnaire l’énergie d’interaction devient négligeable et Ecin = (4/7) Nγρe° ∼ N 7/5 soit Ecin / N ∼ N 0.4. La régression linéaire suggérée à partir du tableau expérimental fournit ln(Ecin/N) = 0.43×ln(N) (δ = 0.43) avec un r > 0.99, l’accord est donc bon.
  1. – Gaz superfluide en mouvement
    1. – Equations du mouvement
  1. m (∂ρ/∂t) + m div ρ v = 0 (ici ρ est une densité particulaire)
  2. mρ (dv/dt) = − grad P − ρ grad Φe
  3. m (dv/dt) = − γ grad ρ(r, t) − grad Φe
    1. – Régime de réponse linéaire
  1. Avec les approximations suggérées : m (∂δv/∂t) = − γ grad δρ − grad δΦe (du genre approximation acoustique) pour t quelconque puis pour t > τ :
(∂δv/∂t) + γ/m grad δρ = 0 ensuite : (∂δρ/∂t) + div (ρe(r, t) δv ) = 0
  1. 2δρt2(γm)div(ρegradδρ)=0
    1. – Modes propres d’un gaz superfluide homogène
  1. Equation de dispersion (avec ρe = cte) : Ω² = (γρe/m) k²
  2. Propagation dans la direction de k avec la célérité c = Ω/k = (γρe/m)1/2 ; à priori c est indépendant de la forme de la propagation tant que les linéarisations effectuées en 3-2 sont valables.
  3. cthéo = 9.96 10-3 ms-1 très voisin de la valeur mesurée.
    1. – Modes propres dans un piège harmonique
  1. ρe(r) = − (m/2γ) (Σ ωα² rα²) + ρe(0,0,0)
  2. En injectant (10) dans l’équation d’évolution de 3-2-(b) :
grad δρ = Σα(2Aαr α cosΩt) uα
div ( ) = Σα(∂ (….) /∂rα) cosΩt et on obtient :
− [B + Σ(Aαrα²)] Ω² + 2 Σ (ωα²Aαrα²) + (ΣAα) (Σωα² rα²) − 2γρ°/m (ΣAα) = 0
valable ∀ rα : Aα [ 2ωα² − Ω² ] + (ΣAα) ωα² = 0
et : − B Ω² − 2γρ°/m (ΣAα) = 0 ce qui donne une condition liant Ω et les amplitudes des modes.
  1. Dans Φe ainsi que dans δΦe on respecte la symétrie de révolution donc ωx = ωy et alors Ax = Ay dans l’équation précédente ; on obtient un système en Ax et Az :
Ax ( 4 ωx² − Ω² ) + Azωx² = 0
Ax (2 ωz²) + Az( 3 ωz² − Ω²) = 0
  1. Dont le déterminant doit être nul : ( 4 ωx² − Ω² ) ( 3 ωz² − Ω²) − 2 ωz² ωx² = 0 ou en X
et η : X² − ( 4 η² + 3) X + 10 η² = 0 dont les solutions sont :
X±=4η2+3±16η416η2+92et(AzAx)±=(X±η24)
  1. X+ = 740.34 et X- = 2.498 puis (Az/Ax)+ = 2.7 10-3 et (Az/Ax)- = − 3.98.
Avec X- on trouve Ω = √X- ωz = 1.581 ωz alors qu’expérimentalement la valeur est 1.569 ; l’écart relatif est de 7.6 10-3, supérieur à la précision des mesures.
  1. Les particules libres devraient osciller autour de 0 à ωx = ωy pour les modes radiaux et à ωz pour le mode axial ; avec une perturbation d’axe Oz on devrait exciter le mode axial donc Ω = ωz d’où X = 1 (et η = 0), les interactions couplent les modes radiaux et le mode axial.
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Concours Physique ENS de Paris (PC) 2001 (Énoncé)

J. 5117
SESSION 2001
Filière Physique‐Chimie
PHYSIQUE
(ENS : Ulm)
Durée: 6 heures
Il est conseillé d’border les différentes parties dans leur ordre d’apparition, certaines questions ayant une résolution utile pour la suite du problème.
L’usage d’une calculatrice électronique de ρoche à alimentation autonome, sans imprimante, est autorisé. Une seule calculatrice à la fois est admise sur la table et aucun échange n’est autorisé entre les candidats. Le candidat est prié d’accorder une importance particulière aux applications numériques.
Tournez la page S.V.P.
Des progrès importants effectués dans les techniques de refroidissement des gaz d’atomes neutres permettent depuis 1995 d’atteindre des températures tellement basses que ces gaz perdent toute viscosité. Par analogie avec l’hélium liquide, qui perd lui aussi toute viscosité à très basse température, on parle de gaz superfluides.
On se propose d’établir ici quelques propriétés des gaz superfluides et de comparer les prédictions obtenues aux résultats expérimentaux. La partie I est consacrée à l’étude des propriétés à l’équilibre thermodynamique d’un gaz superfluide en l’absence de potentiel extérieur. La partie II considère la situation réalisée en pratique d’un gaz superfluide à l’équilibre dans un potentiel harmonique créé par un champ magnétique. La partie III détermine la réponse du gaz superfluide à une faible perturbation du potentiel harmonique. On rappelle la valeur du nombre d’Avogadro, Na=6,02×1023.
1 Gaz superfluide en l’absence de potentiel extérieur
1.1 Équation d’état d’un gaz superfluide
On considère un gaz superfluide de N particules dans une enceinte de volumeV. Les parois de l’enceinte constituent un thermostat de températureT, avec lequel le gaz est à l’équilibre thermodynamique. Les particules interagissent deux à deux avec un potentiel d’interaction V(rir) , où ri, rj sont les vecteurs positions de deux particules quelconques i et j du gaz. On suppose que le potentiel d’interaction est négligeable pour deux particules séparées par une distance macroscopique de l’ordre de la taille de l’enceinte. En d’autres termes, la portée du potentiel d’interaction est négligeable devant la taille de l’enceinte. De plus, la température T du gaz est si basse que l’énergie cinétique des particules est négligeable devant l’énergie d’interaction. On suppose donc que les particules sont au repos, avec des positions réparties aléatoirement avec une densité moyenne uniforme ρ=NV.
(a) Calculer l’énergie moyenne Udu gaz en fonction du nombre de particules N, du volume V de l’enceinte et de la constante de couplage
γ=+drx+dry+drzV(r) (1)
rx, ry, rz sont les composantes du vecteur r dans une base orthonormée (ex,ey,ez) .
(b) On admet que l’entropie du gaz tend vers zéro lorsque la température tend vers zéro. En déduire l’énergie libreFdugaz, dans la limiteTO, en fonction des quantités N, V, γ. Montrer que la pression P du gaz est donnée par
P=12γρ2 (2)
Exprimer le coefficient de compressibilité isotherme χ du gaz et son potentiel chimique μ en fonction de γ et ρ.
1.2 Quelques contraintes sur l’équilibre thermodynamique
Il s’agit de vérifier si l’état d’équilibre considéré à la partie 1.1 précédente est bien admissible d’un point de vue thermodynamique. Pour cela, on sépare par la pensée l’enceinte de volume V en deux parties 1 et 2 de volumes respectifs V1 etV2=VV1, et l’on partage le gaz en N1 particules dans la zone 1 et N2=NN1 particules dans la zone 2. Chaque zone est supposée être à l’équilibre avec le thermostat à la températureT, avec une densité uniforme de particules ρi=NiVi, i=1,2. Les densités ρ1 et ρ2 peuvent a priori être différentes. Le raisonnement va s’appuyer sur la fonction thermodynamique Fe(N, T, V) donnant l’énergie libre du gaz à l’équilibre thermodynamique pour N particules dans un volume V à la température T.
(a) Rappeler pourquoi l’énergie libre Fe(N, T, V) est inférieure à l’énergie libre de tout état du système hors d’équilibre à N, T, V fixés.
(b) Exprimer l’énergie libre totale du gaz en fonction des énergies libres des parties 1 et 2 du gaz. En déduire une équation fonctionnelle vérifiée par Fe.
(c) Traduire le fait que l’énergie libre du gaz est un minimum vis‐à‐vis d’un changement de V1 et V2 à N1, N2, V constants. Interpréter physiquement les résultats.
(d) Mêmes questions pour un changement de N1 et N2 à V1, V2, N constants.
(e) Appliquer les conditions obtenues en (c) et (d) à l’expression de l’énergie libre obtenue dans la partie 1.1. En déduire que le gaz doit avoir une densité uniforme à l’équilibre thermodynamique, et que seul un signe de la constante de couplage γ, que l’on précisera, est acceptable.
1.3 Mélange de deux gaz superfluides
On mélange deux gaz superfluides d’espèces atomiques différentes, Na atomes de l’espèce a et Nb atomes de l’espèceb, dans la même enceinte de volumeV. Les deux gaz sont à la même températureT, que l’on supposera très basse au sens de la partie 1.1. Les atomes de l’espèce a (respectivement b) interagissent par un potentiel d’interaction Vaa(r) (respectivement Vbb(r) ), où r est le rayon vecteur entre deux atomes. De plus, chaque atome de l’espèce a interagit avec chaque atome de l’espèce b par le potentiel Vab(r) . Comme dans la partie 1.1 on néglige l’énergie d’interaction de deux atomes quelconques séparés par une distance macroscopique de l’ordre de la taille de l’enceinte. Il s’agit de déterminer l’état d’équilibre du mélange, en choisissant parmi deux configurations possibles.
(a) Dans la configuration I, chaque gaz superfluide remplit toute l’enceinte avec une densité moyenne uniforme, ρa=Na/V pour l’espèce a et ρb=Nb/V pour l’espèceb. Calculer l’énergie libre FI,e de cette configuration en fonction des nombres de particules Na, Nb, du volume V et des constantes de couplage
γaa = +drx+dry+drzVaa(r) , (3)
γbb = +drx+dry+drzVbb(r) , (4)
γab = +drx+dry+drzVab(r) . (5)
(b) Dans la configuration II, les deux gaz superfluides occupent des régions de l’enceinte disjointes et complémentaires, chaque gaz ayant une densité moyenne uniforme dans son domaine respectif. L’espèce a occupe une fraction αdu volumeV, l’espèce b une fraction 1α. Calculer l’énergie libre FII de cette configuration, en fonction de Na, Nb, α, γaa, γbb et du volume V.
(c) À l’équilibre, le paramètre α de la configuration II prend une valeur bien précise. À l’aide d’un des principes de la thermodynamique, déterminer cette valeur αe en fonction de Na)Nb, γaa etγbb. En déduireFII,e, énergie libre de la configuration II à l’équilibre, en fonction de Na, Nb, γaa, γbb et du volume V.
(d) Parmi les configurations I et II, laquelle est la plus favorable d’un point de vue thermodynamique? On précisera les différents cas possibles suivant les valeurs des constantes de couplage. Interpréter physiquement le résultat.
(e) Le groupe de Wolfgang Ketterle, au Massachusetts Institute of Technology de Boston (MIT), a étudié des mélanges de trois espèces différentes, appelées a, b, c. Les constantes de couplage de chaque paire d’espèces sont données dans la table 1. À l’aide de la théorie développée ici, prédire si les paires d’espèces ab, bc et ac sont miscibles ou pas.
a b c
a
b
c
1,0×1050
1,0×1050
9,4×1051
1,0×1050
9,7×1051
1,0×1050
9,4×1051
1,0×1050
1,0×1050
TAB. 1 Dans l’expérience du MIT sur les mélanges de trois espèces a, b, c de gaz superfluides, constantes de couplage γij en Jm3 entre les espèces i et j, avec i, j=a, b ou c.
2 Gaz superfluide au repos dans un piège
2.1 Équilibre dans un piège de forme arbitraire
Dans les expériences, le gaz superfluide est piégé, c’est‐à‐dire qu’il est confiné par un champ de forces dérivant du potentiel Φe(r) dépendant de la position r des particules dans le gaz, mais indépendant du temps. La force de pesanteur est incluse dans ce champ de forces. Contrairement au modèle spatialement homogène de la partie 1, la densité ρe(r) et la pression Pe(r)du gaz à l’équilibre thermodynamique dépendent de la position r.
(a) Rappeler la relation fondamentale de l’hydrostatique portant sur la pression à l’équilibre d’un fluide soumis à un champ de forces extérieures.
(b) A l’aide de l’équation d’état obtenue dans la partie 1, exprimer la densité de particules ρe(r) en fonction de la constante de couplage γ définie par l’équation (1) et du potentiel de piégeage Φe(r) , à une constante additive près.
(c) Indiquer comment déterminer la valeur de cette constante additive, sans chercher ici à la calculer explicitement.
2.2 Équilibre dans un piège harmonique
Le plus souvent, le gaz superfluide reste confiné suffisamment près du point où le potentiel de piégeage est minimum pour que le potentiel de piégeage soit très bien représenté par son approximation harmonique. Pour simplifier, on suppose de plus dans cette partie que le potentiel Φe(r) est isotrope:
Φe(r)=12mω2r2, (6)
m est la masse d’une particule, r est le module du vecteur position r et ω une constante.
(a) Rappeler la signification physique de la quantité ω.
(b) Montrer que le gaz superfluide reste effectivement confiné au voisinage de r=0. Quelle est la forme d’équilibre de la surface du gaz ? On appelle R la distance maximale au centre du piège accessible au gaz.
(c) Exprimer la densité du gaz ρe(r) en fonction der, de R et de la densité ρ0e au centre du piège.
(d) On connait le nombre total N de particules dans le superfluide. En déduire ρ0e en fonction de N et de R.
(e) Finalement, exprimer ρ0e en fonction de m, ω, N et de la constante de couplage γ définie par l’équation (1).
2.3 Considérations thermodynamiques
On souhaite obtenir une interprétation thermodynamique de l’état d’équilibre du gaz obtenu à la partie précédente 2.2.
(a) Calculer l’énergie potentielle harmonique Eharm du gaz en fonction de N et γρ0e.
(b) Faire de même pour l’énergie d’interaction Eint du gaz due au potentiel d’interaction V(r) de la partie 1.1, en supposant que V(r) est négligeable pour deux particules séparées d’une distance r macroscopique de l’ordre de R.
(c) Exprimer l’énergie libre du gaz à T0 en fonction de γρ0e etN. Montrer que la quantité γρ0e n’est autre que le potentiel chimique du gaz.
(d) Retrouver la condition d’équilibre obtenue par l’hydrostatique à l’aide d’un argument thermodynamique.
2.4 Comparaison aux expériences
On compare les prédictions théoriques précédentes à quelques résultats expérimentaux obtenus avec un gaz superfluide d’atomes de sodium 23Na. Ces atomes interagissent avec une constante de couplage γ=1,0×1050Jm3.
(a) Le groupe de Lene Hau, au Rowland Institute (Boston), a mesuré un diamètre maximal de 73 μm pour un nuage superfluide de N=1,6×106 atomes de sodium dans un piège harmonique de paramètre ω=87 rads1. Comparer à la valeur attendue théoriquement.
(b) On coupe brutalement le potentiel de piégeage. On constate alors que le gaz entre en expansion, bien que les particules soient initialement au repos, àT0. Comment expliquer ce phénomène?
(c) Après un temps assez long pour que la vitesse d’expansion du gaz ait atteint un régime stationnaire, on mesure l’énergie cinétique d’expansionEcindu gaz. Les valeurs obtenues par le groupe de Wolfgang Ketterle, au MIT, de l’énergie d’expansion par particule pour différentes valeurs du nombre de particules dans le gaz, sont données dans la table 2. À l’aide d’une régression linéaire des résultats expérimentaux en échelle log‐log, montrer que Ecin varie approximativement comme une puissance de N avec un exposant δ que l’on précisera.
(d) Donner l’expression de Ecin prédite par la théorie. Comparer la valeur de δ obtenue expérimentalement à la prédiction théorique.
N Ecin/N
6, 7×104
1, 3×105
1, 1×106
1, 3×106
2, 8×106
3, 3 ×106
3,9×106
4, 3×106
3, 3×1031
4,6×1031
1, 1×1030
1, 1×1030
1, 7×1030
1, 8×1030
1, 9×1030
2, 0×1030
TAB. 2Énergie d’expansion par particule en Joule, mesurée au MIT en fonction du nombre de particules N dans le gaz superfluide.
3 Gaz superfluide en mouvement
3.1 Équations du mouvement
Le gaz superfluide, initialement à l’équilibre, est maintenant soumis à un potentiel extérieur Φ(r, t) pouvant dépendre du tempst. Pour décrire le gaz superfluide en mouvement, on l’assimile à un fluide sans viscosité. On note ρ(r, t), P(r, t),v(r, t) la densité volumique, la pression et le champ de vitesse du fluide.
(a) Rappeler l’équation de continuité portant sur la densité de particules ρ(r, t) et le champ de vitesse v(r, t) , traduisant la conservation de la matière.
(b) Rappeler l’équation d’Euler donnant l’évolution du champ de vitesse v(r, t) sous l’effet du potentiel extérieur Φ(r, t) pour un fluide sans viscosité de pression P(r, t) .
(c) À l’aide de l’équation d’état obtenue dans la partie 1 et sous l’hypothèse d’un équilibre local du gaz, transformer l’équation d’Euler en une équation sur v(r, t) et p(r, t) .
3.2 Régime de réponse linéaire
On applique au gaz superfluide une perturbation de potentiel δΦ sur l’intervalle de temps [0, τ]:
Φ(r, t)=Φe(r)+δΦ(r, t) (7)
Φe(r) décrit le piège statique de la partie 2 et |δΦ(r, t)|Φe(r) . Cette perturbation entraîne des déviations δp(r, t) et δv(r, t) de la densité et du champ de vitesse de leurs valeurs à l’équilibre ρe(r) et v(r)=0.
(a) En négligeant les termes quadratiques en les écarts à l’équilibre, obtenir des équations d’évolution linéaires pour δp etδv, sans chercher à les résoudre. Pour simplifier, on se limitera aux instants ultérieurs à la perturbation, t>τ.
(b) Montrer qu’après avoir dérivé une fois par rapport au temps l’équation linéaire surδp, il est possible d’éliminerδv. En déduire une équation d’évolution portant seulement sur δρ.
3.3 Modes propres d’un gaz superfluide homogène
On suppose que le gaz superfluide à l’équilibre remplit tout l’espace avec une densité uniformeρe. On souhaite déterminer les modes propres de l’équation d’évolution sur δρ. Pour cela, on considère une solution de la forme:
δρ(r, t)=A   cos   (krΩt) (8)
A, Ω et le vecteur réel k sont des constantes.
(a) Vérifier que la forme proposée convient à condition que Ω2 soit une certaine fonction de k que l’on précisera.
(b) Interpréter physiquement le résultat obtenu. On précisera à quelle vitesse une perturbation appliquée en un point du gaz superfluide se propage. Comment cette vitesse dépend‐elle de la forme de la perturbation?
(c) Après envoi d’une impulsion laser dans un gaz superfluide d’atomes de sodium 23Nainitialement au repos, l’équipe du MIT a constaté la propagation d’ondes de densité à une vitesse de1×102m/s. On suppose que le gaz était initialement quasi homogène avec une densité moyenne de 3,8×1020 atomes parm3. Comparer la vitesse mesurée à la prédiction théorique.
3.4 Modes propres dans un piège harmonique
Le gaz superfluide est initialement au repos dans un potentiel de piégeage Φe(r) harmonique anisotrope:
Φe(r)=12mα=x,y,zω2αr2α (9)
rα est la composante du vecteur position r sur le vecteur de base e, α=x, y, z. On excite le gaz en modifiant faiblement l’un des paramètres ωa pendant une duréeτ. On admet qu’on excite ainsi des modes propres du gaz superfluide de la forme
δρ(r, t)=[B+α=x,y,zAαr2α]   cos   Ωt (10)
B, les coefficients Aα et la pulsation Ω sont des constantes.
(a) Exprimer la densité ρe(r) du gaz à l’équilibre à une constante additive près, en fonction des rα, ωα, de m et de γ.
(b) À quelles conditions sur les coefficients Aα la forme proposée pour δρ satisfait‐elle l’équation d’évolution obtenue à la partie 3.2? Ces conditions peuvent‐elles être satisfaites quelle que soit la pulsation Ω?
(c) Au MIT, le gaz superfluide, initialement piégé dans un potentiel à symétrie de révolution d’axez, est excité pendant la durée τ par une petite modification du paramètre ωz seulement. Expliquer pourquoi on a alorsAx=Ay, et écrire les conditions que doivent satisfaire Ax et Az.
(d) En déduire que X=Ω2ω2z doit vérifier une équation du second degré que l’on précisera. Donner les solutions de cette équation en fonction du paramètre η=ωxωz.
(e) Dans l’expérience du MIT, le paramètre η vaut 13,60. Donner les pulsations propres des deux modes excités, ainsi que les valeurs correspondantes du rapport AzAx. Expérimentalement, on constate que le gaz bat à la pulsation 1,569±0,004ωz. Quel est l’écart relatif entre la prédiction théorique et le résultat expérimental?
(f) À quelle fréquence devrait battre le gaz en l’absence d’interaction entre les particules? Qu’en concluez‐vous?

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