J. 5117
SESSION 2001
Filière Physique‐Chimie
PHYSIQUE
(ENS : Ulm)
Durée: 6 heures
Il est
conseillé d’border les différentes parties dans leur ordre d’apparition,
certaines questions ayant une résolution utile pour la suite du problème.
L’usage d’une calculatrice électronique de ρoche à
alimentation autonome,
sans imprimante,
est autorisé.
Une seule calculatrice à
la fois est admise sur la table et aucun échange n’est autorisé entre les candidats.
Le candidat est prié d’accorder une importance particulière aux applications numériques.
Tournez la page S.V.P.
Des progrès importants effectués dans les techniques de refroidissement des gaz d’atomes neutres permettent depuis 1995 d’atteindre des températures tellement basses que ces gaz perdent toute viscosité. Par analogie avec l’hélium liquide, qui perd lui aussi toute viscosité à très basse température, on parle de gaz superfluides.
On se propose d’établir ici quelques propriétés des gaz superfluides et de comparer les prédictions obtenues aux résultats expérimentaux. La partie I est consacrée à l’étude des propriétés à l’équilibre thermodynamique d’un gaz superfluide en l’absence de potentiel extérieur. La partie II considère la situation réalisée en pratique d’un gaz superfluide à l’équilibre dans un potentiel harmonique créé par un champ magnétique. La partie III détermine la réponse du gaz superfluide à une faible perturbation du potentiel harmonique. On rappelle la valeur du nombre d’Avogadro,
Na=6,02×1023.
1 Gaz superfluide en l’absence de potentiel extérieur
1.1 Équation d’état d’un gaz superfluide
On considère un gaz superfluide de
N particules dans une enceinte de volume
V. Les parois de l’enceinte constituent un thermostat de température
T, avec lequel le gaz est à l’équilibre thermodynamique. Les particules interagissent deux à deux avec un potentiel d’interaction
V(→ri−→r) , où
→ri, →rj sont les vecteurs positions de deux particules quelconques
i et
j du gaz. On suppose que le potentiel d’interaction est négligeable pour deux particules séparées par une distance macroscopique de l’ordre de la taille de l’enceinte. En d’autres termes, la portée du potentiel d’interaction est négligeable devant la taille de l’enceinte. De plus, la température
T du gaz est si basse que l’énergie cinétique des particules est négligeable devant l’énergie d’interaction. On suppose donc que les particules sont au repos, avec des positions réparties aléatoirement avec une densité moyenne uniforme
ρ=NV.
(a) Calculer l’énergie moyenne
Udu gaz en fonction du nombre de particules
N, du volume
V de l’enceinte et de la constante de couplage
γ=+∞∫−∞drx+∞∫−∞dry+∞∫−∞drzV(→r) (1)
Où
rx, ry, rz sont les composantes du vecteur
r→ dans une base orthonormée
(→ex,→ey,→ez) .
(b) On admet que l’entropie du gaz tend vers zéro lorsque la température tend vers zéro. En déduire l’énergie libre
Fdugaz, dans la limite
T≃O, en fonction des quantités
N, V, γ. Montrer que la pression
P du gaz est donnée par
P=12γρ2 (2)
Exprimer le coefficient de compressibilité isotherme
χ du gaz et son potentiel chimique
μ en fonction de
γ et
ρ.
1.2 Quelques contraintes sur l’équilibre thermodynamique
Il s’agit de vérifier si l’état d’équilibre considéré à la partie 1.1 précédente est bien admissible d’un point de vue thermodynamique. Pour cela, on sépare par la pensée l’enceinte de volume
V en deux parties 1 et 2 de volumes respectifs
V1 et
V2=V−V1, et l’on partage le gaz en
N1 particules dans la zone 1 et
N2=N−N1 particules dans la zone 2. Chaque zone est supposée être à l’équilibre avec le thermostat à la température
T, avec une densité uniforme de particules
ρi=NiVi, i=1,2. Les densités
ρ1 et
ρ2 peuvent
a priori être différentes. Le raisonnement va s’appuyer sur la fonction thermodynamique
Fe(N, T, V) donnant l’énergie libre du gaz à l’équilibre thermodynamique pour
N particules dans un volume
V à la température
T.
(a) Rappeler pourquoi l’énergie libre
Fe(N, T, V) est inférieure à l’énergie libre de tout état du système hors d’équilibre à
N, T, V fixés.
(b) Exprimer l’énergie libre totale du gaz en fonction des énergies libres des parties 1 et 2 du gaz. En déduire une équation fonctionnelle vérifiée par
Fe.
(c) Traduire le fait que l’énergie libre du gaz est un minimum vis‐à‐vis d’un changement de
V1 et
V2 à
N1, N2, V constants. Interpréter physiquement les résultats.
(d) Mêmes questions pour un changement de
N1 et
N2 à
V1, V2, N constants.
(e) Appliquer les conditions obtenues en (c) et (d) à l’expression de l’énergie libre obtenue dans la partie 1.1. En déduire que le gaz doit avoir une densité uniforme à l’équilibre thermodynamique, et que seul un signe de la constante de couplage
γ, que l’on précisera, est acceptable.
1.3 Mélange de deux gaz superfluides
On mélange deux gaz superfluides d’espèces atomiques différentes,
Na atomes de l’espèce
a et
Nb atomes de l’espèce
b, dans la même enceinte de volume
V. Les deux gaz sont à la même température
T, que l’on supposera très basse au sens de la partie 1.1. Les atomes de l’espèce
a (respectivement
b) interagissent par un potentiel d’interaction
Vaa(→r) (respectivement
Vbb(→r) ), où
r→ est le rayon vecteur entre deux atomes. De plus, chaque atome de l’espèce
a interagit avec chaque atome de l’espèce
b par le potentiel
Vab(→r) . Comme dans la partie 1.1 on néglige l’énergie d’interaction de deux atomes quelconques séparés par une distance macroscopique de l’ordre de la taille de l’enceinte. Il s’agit de déterminer l’état d’équilibre du mélange, en choisissant parmi deux configurations possibles.
(a) Dans la configuration I, chaque gaz superfluide remplit toute l’enceinte avec une densité moyenne uniforme,
ρa=Na/V pour l’espèce
a et
ρb=Nb/V pour l’espèce
b. Calculer l’énergie libre
FI,e de cette configuration en fonction des nombres de particules
Na, Nb, du volume
V et des constantes de couplage
γaa = +∞∫−∞drx+∞∫−∞dry+∞∫−∞drzVaa(→r) , (3)
γbb = +∞∫−∞drx+∞∫−∞dry+∞∫−∞drzVbb(→r) , (4)
γab = +∞∫−∞drx+∞∫−∞dry+∞∫−∞drzVab(→r) . (5)
(b) Dans la configuration II, les deux gaz superfluides occupent des régions de l’enceinte disjointes et complémentaires, chaque gaz ayant une densité moyenne uniforme dans son domaine respectif. L’espèce
a occupe une fraction
αdu volume
V, l’espèce
b une fraction
1−α. Calculer l’énergie libre
FII de cette configuration, en fonction de
Na, Nb, α, γaa, γbb et du volume
V.
(c)
À l’équilibre, le paramètre
α de la configuration II prend une valeur bien précise. À l’aide d’un des principes de la thermodynamique, déterminer cette valeur
αe en fonction de
Na)Nb, γaa et
γbb. En déduire
FII,e, énergie libre de la configuration II à l’équilibre, en fonction de
Na, Nb, γaa, γbb et du volume
V.
(d) Parmi les configurations I et II, laquelle est la plus favorable d’un point de vue thermodynamique? On précisera les différents cas possibles suivant les valeurs des constantes de couplage. Interpréter physiquement le résultat.
(e) Le groupe de Wolfgang Ketterle, au Massachusetts Institute of Technology de Boston (MIT), a étudié des mélanges de trois espèces différentes, appelées
a, b, c. Les constantes de couplage de chaque paire d’espèces sont données dans la table 1. À l’aide de la théorie développée ici, prédire si les paires d’espèces
a−b, b−c et
a−c sont miscibles ou pas.
a
b
c |
1,0×10−50
1,0×10−50
9,4×10−51 |
1,0×10−50
9,7×10−51
1,0×10−50 |
9,4×10−51
1,0×10−50
1,0×10−50 |
TAB.
1− Dans l’expérience du MIT sur les mélanges de trois espèces a, b, c de gaz superfluides,
constantes de couplage γij en J⋅m3 entre les espèces i et j,
avec i, j=a, b ou c.
2 Gaz superfluide au repos dans un piège
2.1 Équilibre dans un piège de forme arbitraire
Dans les expériences, le gaz superfluide est piégé, c’est‐à‐dire qu’il est confiné par un champ de forces dérivant du potentiel
Φe(→r) dépendant de la position
→r des particules dans le gaz, mais indépendant du temps. La force de pesanteur est incluse dans ce champ de forces. Contrairement au modèle spatialement homogène de la partie 1, la densité
ρe(→r) et la pression
Pe(→r)du gaz à l’équilibre thermodynamique dépendent de la position
→r.
(a) Rappeler la relation fondamentale de l’hydrostatique portant sur la pression à l’équilibre d’un fluide soumis à un champ de forces extérieures.
(b) A l’aide de l’équation d’état obtenue dans la partie 1, exprimer la densité de particules
ρe(r→) en fonction de la constante de couplage
γ définie par l’équation (1) et du potentiel de piégeage
Φe(→r) , à une constante additive près.
(c) Indiquer comment déterminer la valeur de cette constante additive, sans chercher ici à la calculer explicitement.
2.2 Équilibre dans un piège harmonique
Le plus souvent, le gaz superfluide reste confiné suffisamment près du point où le potentiel de piégeage est minimum pour que le potentiel de piégeage soit très bien représenté par son approximation harmonique. Pour simplifier, on suppose de plus dans cette partie que le potentiel
Φe(→r) est isotrope:
Φe(→r)=12mω2r2, (6)
où
m est la masse d’une particule,
r est le module du vecteur position
→r et
ω une constante.
(a) Rappeler la signification physique de la quantité
ω.
(b) Montrer que le gaz superfluide reste effectivement confiné au voisinage de
→r=→0. Quelle est la forme d’équilibre de la surface du gaz ? On appelle
R la distance maximale au centre du piège accessible au gaz.
(c) Exprimer la densité du gaz
ρe(→r) en fonction de
→r, de
R et de la densité
ρ0e au centre du piège.
(d) On connait le nombre total
N de particules dans le superfluide. En déduire
ρ0e en fonction de
N et de
R.
(e) Finalement, exprimer
ρ0e en fonction de
m, ω, N et de la constante de couplage
γ définie par l’équation (1).
2.3 Considérations thermodynamiques
On souhaite obtenir une interprétation thermodynamique de l’état d’équilibre du gaz obtenu à la partie précédente 2.2.
(a) Calculer l’énergie potentielle harmonique
Eharm du gaz en fonction de
N et
γρ0e.
(b) Faire de même pour l’énergie d’interaction
Eint du gaz due au potentiel d’interaction
V(→r) de la partie 1.1, en supposant que
V(→r) est négligeable pour deux particules séparées d’une distance
r macroscopique de l’ordre de
R.
(c) Exprimer l’énergie libre du gaz à
T≃0 en fonction de
γρ0e et
N. Montrer que la quantité
γρ0e n’est autre que le potentiel chimique du gaz.
(d) Retrouver la condition d’équilibre obtenue par l’hydrostatique à l’aide d’un argument thermodynamique.
2.4 Comparaison aux expériences
On compare les prédictions théoriques précédentes à quelques résultats expérimentaux obtenus avec un gaz superfluide d’atomes de sodium
23Na. Ces atomes interagissent avec une constante de couplage
γ=1,0×10−50J⋅m3.
(a) Le groupe de Lene Hau, au Rowland Institute (Boston), a mesuré un diamètre maximal de 73
μm pour un nuage superfluide de
N=1,6×106 atomes de sodium dans un piège harmonique de paramètre
ω=87 rad
⋅s−1. Comparer à la valeur attendue théoriquement.
(b) On coupe brutalement le potentiel de piégeage. On constate alors que le gaz entre en expansion, bien que les particules soient initialement au repos, à
T≃0. Comment expliquer ce phénomène?
(c) Après un temps assez long pour que la vitesse d’expansion du gaz ait atteint un régime stationnaire, on mesure l’énergie cinétique d’expansion
Ecindu gaz. Les valeurs obtenues par le groupe de Wolfgang Ketterle, au MIT, de l’énergie d’expansion par particule pour différentes valeurs du nombre de particules dans le gaz, sont données dans la table 2. À l’aide d’une régression linéaire des résultats expérimentaux en échelle log‐log, montrer que
Ecin varie approximativement comme une puissance de
N avec un exposant
δ que l’on précisera.
(d) Donner l’expression de
Ecin prédite par la théorie. Comparer la valeur de
δ obtenue expérimentalement à la prédiction théorique.
6, 7×104
1, 3×105
1, 1×106
1, 3×106
2, 8×106
3, 3 ×106
3,9×106
4, 3×106 |
3, 3×10−31
4,6×10−31
1, 1×10−30
1, 1×10−30
1, 7×10−30
1, 8×10−30
1, 9×10−30
2, 0×10−30 |
TAB.
2 —
Énergie d’expansion par particule en Joule,
mesurée au MIT en fonction du nombre de particules N dans le gaz superfluide.
3 Gaz superfluide en mouvement
3.1 Équations du mouvement
Le gaz superfluide, initialement à l’équilibre, est maintenant soumis à un potentiel extérieur
Φ(→r, t) pouvant dépendre du temps
t. Pour décrire le gaz superfluide en mouvement, on l’assimile à un fluide sans viscosité. On note
ρ(→r, t), P(→r, t),→v(→r, t) la densité volumique, la pression et le champ de vitesse du fluide.
(a) Rappeler l’équation de continuité portant sur la densité de particules
ρ(→r, t) et le champ de vitesse
→v(→r, t) , traduisant la conservation de la matière.
(b) Rappeler l’équation d’Euler donnant l’évolution du champ de vitesse
→v(→r, t) sous l’effet du potentiel extérieur
Φ(→r, t) pour un fluide sans viscosité de pression
P(→r, t) .
(c) À l’aide de l’équation d’état obtenue dans la partie 1 et sous l’hypothèse d’un équilibre local du gaz, transformer l’équation d’Euler en une équation sur
→v(→r, t) et
p(→r, t) .
3.2 Régime de réponse linéaire
On applique au gaz superfluide une perturbation de potentiel
δΦ sur l’intervalle de temps
[0, τ]:
Φ(→r, t)=Φe(→r)+δΦ(→r, t) (7)
où
Φe(→r) décrit le piège statique de la partie 2 et
|δΦ(→r, t)|≪Φe(→r) . Cette perturbation entraîne des déviations
δp(→r, t) et
δ→v(→r, t) de la densité et du champ de vitesse de leurs valeurs à l’équilibre
ρe(→r) et
→v(→r)=→0.
(a) En négligeant les termes quadratiques en les écarts à l’équilibre, obtenir des équations d’évolution linéaires pour
δp et
δ→v, sans chercher à les résoudre. Pour simplifier, on se limitera aux instants ultérieurs à la perturbation,
t>τ.
(b) Montrer qu’après avoir dérivé une fois par rapport au temps l’équation linéaire sur
δp, il est possible d’éliminer
δ→v. En déduire une équation d’évolution portant seulement sur
δρ.
3.3 Modes propres d’un gaz superfluide homogène
On suppose que le gaz superfluide à l’équilibre remplit tout l’espace avec une densité uniforme
ρe. On souhaite déterminer les modes propres de l’équation d’évolution sur
δρ. Pour cela, on considère une solution de la forme:
δρ(→r, t)=A cos (→k⋅→r−Ωt) (8)
où
A, Ω et le vecteur réel
→k sont des constantes.
(a) Vérifier que la forme proposée convient à condition que
Ω2 soit une certaine fonction de
→k que l’on précisera.
(b) Interpréter physiquement le résultat obtenu. On précisera à quelle vitesse une perturbation appliquée en un point du gaz superfluide se propage. Comment cette vitesse dépend‐elle de la forme de la perturbation?
(c) Après envoi d’une impulsion laser dans un gaz superfluide d’atomes de sodium
23Nainitialement au repos, l’équipe du MIT a constaté la propagation d’ondes de densité à une vitesse de
1×10−2m/s. On suppose que le gaz était initialement quasi homogène avec une densité moyenne de
3,8×1020 atomes par
m3. Comparer la vitesse mesurée à la prédiction théorique.
3.4 Modes propres dans un piège harmonique
Le gaz superfluide est initialement au repos dans un potentiel de piégeage
Φe(r→) harmonique anisotrope:
Φe(→r)=12m∑α=x,y,zω2αr2α (9)
où
rα est la composante du vecteur position
→r sur le vecteur de base
→e, α=x, y, z. On excite le gaz en modifiant faiblement l’un des paramètres
ωa pendant une durée
τ. On admet qu’on excite ainsi des modes propres du gaz superfluide de la forme
δρ(r→, t)=[B+∑α=x,y,zAαr2α] cos Ωt (10)
où
B, les coefficients
Aα et la pulsation
Ω sont des constantes.
(a) Exprimer la densité
ρe(→r) du gaz à l’équilibre à une constante additive près, en fonction des
rα, ωα, de
m et de
γ.
(b) À quelles conditions sur les coefficients
Aα la forme proposée pour
δρ satisfait‐elle l’équation d’évolution obtenue à la partie 3.2? Ces conditions peuvent‐elles être satisfaites quelle que soit la pulsation
Ω?
(c) Au MIT, le gaz superfluide, initialement piégé dans un potentiel à symétrie de révolution d’axe
z, est excité pendant la durée
τ par une petite modification du paramètre
ωz seulement. Expliquer pourquoi on a alors
Ax=Ay, et écrire les conditions que doivent satisfaire
Ax et
Az.
(d) En déduire que
X=Ω2ω2z doit vérifier une équation du second degré que l’on précisera. Donner les solutions de cette équation en fonction du paramètre
η=ωxωz.
(e) Dans l’expérience du MIT, le paramètre
η vaut 13,60. Donner les pulsations propres des deux modes excités, ainsi que les valeurs correspondantes du rapport
AzAx. Expérimentalement, on constate que le gaz bat à la pulsation
1,569±0,004ωz. Quel est l’écart relatif entre la prédiction théorique et le résultat expérimental?
(f) À quelle fréquence devrait battre le gaz en l’absence d’interaction entre les particules? Qu’en concluez‐vous?