Concours Physique ENS Lyon, Cachan (MP*) 1998 (Corrigé)

Corrigé ENS 1998 - Physique MP
Première partie : Formation des étoiles
1.1 Nuage gravitationnellement lié
1.1.1 Les dimensions des grandeurs G, M, R conduisent à résoudre
${G^\alpha }{M^\beta }{R^\gamma } \equiv {({L^3}{M^{ - 1}}{T^{ - 2}})^\alpha }{(M)^\beta }{(L)^\gamma } \equiv T$$\Rightarrow \left\{ {\alpha = - 1/2\quad \beta = - 1/2\quad \gamma = 3/2} \right\}$
l'expression cherchée est ${t_0} = \sqrt {\frac{{{R^3}}}{{GM}}}$
1.1.2 Quand on ajoute une masse dm à une sphère de rayon r et de masse m, l'énergie potentielle gravitationnelle augmente de $d{E_P} = - \frac{{Gm}}{r}dm$ soit ${E_P} = - \int_0^M {} \frac{{Gm}}{r}dm$
(ceci en vertu du théorème de Gauss et de la symétrie sphérique la masse totale est localisée au centre)
La masse volumique uniforme permet d'éliminer r au profit de m: $r = R{\left( {\frac{m}{M}} \right)^{1/3}}$
Donc finalement ${E_P} = - \frac{G}{R}{M^{1/3}}\int_0^M {} {m^{2/3}}dm = - \frac{{3G{M^2}}}{{5R}}$

1.1.3 L'énergie interne d'un gaz parfait monoatomique est $U = \frac{{3MkT}}{{2{m_H}}}$; car $\frac{M}{{{m_H}}}$ est le nombre de particules (on a m_H ≈ m_p). Si l'énergie totale E_P + U est négative le nuage est gravitationnellement lié.
1.1.4 On en déduit que les nuages se fragmentent si : $\frac{{3G{M^2}}}{{5R}} > \frac{{3MkT}}{{2{m_H}}}$
soit en fonction de la masse volumique ρ et température T
$\frac{{G4\pi \rho {R^2}}}{{15}} > \frac{{kT}}{{2{m_H}}}\quad \Rightarrow \quad R > {R_J} = \sqrt {\frac{{15kT}}{{8\pi \rho G{m_H}}}}$ ou encore $M > {M_J} = 4/3\pi R_J^3$
Si on se rappelle que kT est une énergie alors : $R_J^2 \equiv \frac{{M{L^2}{T^{ - 2}}}}{{M{L^{ - 3}}({L^3}{M^{ - 1}}{T^{ - 2}})M}} = {L^2}$; dimension correcte.
1.1.5 Pour T = 10 K et avec 1 atome d'hydrogène par cm³ R_J = 6,6.10¹⁷ m soit M_J = 10³ M
Cette valeur fait penser que les étoiles se forment en "grappe" puis se séparent ensuite.
1.1.6 La conservation de l'énergie totale de la couche i s'écrit
$d{E_P} + d{E_c} = - \frac{{Gm}}{{{r_i}}}d{m_i} + 1/2d{m_i}\,\dot r_i^2 = - \frac{{Gm}}{{{r_{i0}}}}d{m_i}$ $\Rightarrow \quad \dot r_i^2 = 2Gm\left( {\frac{1}{{{r_i}}} - \frac{1}{{{r_{i0}}}}} \right)$
où m est la masse contenue dans la sphère de rayon r_i(t) et qui est constante au cours du temps.
et dm_i est la masse de la couche soit $d{m_i} = 4/3\pi {\rho _i}r_i^3$qui est également constante en fonction de t.
Si on pose r_i(t) = r_i(0) cos²α_i(t) alors en dérivant ${\dot r_{_i}} = - 2{\dot \alpha _i}\,{r_{i0}}\cos {\alpha _i}\,\sin {\alpha _i}$
d'autre part l'équation de conservation donne $\dot r_i^2 = \frac{{2Gm}}{{{r_{i0}}}}\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}{\alpha _i}}} - 1} \right) = \frac{{2Gm}}{{{r_{i0}}}}{\tan ^2}{\alpha _i}$
On trouve ainsi que $\dot \alpha _i^2{\cos ^4}{\alpha _i} = \frac{{2Gm}}{{4r_{i0}^3}}$ soit encore : $d{\alpha _i}{\cos ^2}{\alpha _i} = \pm \frac{{2Gm}}{{4r_{i0}^3}}dt$
On doit garder le signe + pour que r_i diminue avec le temps
L'intégration de la dernière équation est élémentaire : $\left( {\frac{{{\alpha _i}}}{2} - \frac{{\sin {\alpha _i}}}{4}} \right)_0^t = \frac{{2Gm}}{{4r_{i0}^3}}(t - 0)$
ce qui donne pour la durée d'effondrement la valeur ${t_{ff}} = \frac{\pi }{4}\sqrt {\frac{{2r_{i0}^3}}{{Gm}}}$; le modèle conduit bien à un e valeur indépendante de la couche envisagée puisque $m \propto r_{i0}^3$.
Pour un nuage de densité uniforme initialement on a ${t_{ff}} = \frac{\pi }{4}\sqrt {\frac{{2{R^3}}}{{GM}}}$, on constate temps d'effondrement est du même ordre de grandeur que le temps t₀.
1.1.7 Avec un atome d'hydrogène par cm³ l'effondrement dure 1,1.10⁸ ans quel que soit R.

1.2 Stabilité d'un nuage isotherme
1.2.1 L'équation fondamentale de l'hydrostatique et le théorème de Gauss donnent $\frac{{dP}}{{dr}} = - \rho \frac{{Gm}}{{{r^2}}}$
or $dm = 4\pi \rho {r^2}dr$la relation de l'énoncé est donc équivalente à
$\frac{{d(4\pi {r^3}P)}}{{dm}} = \frac{{d(4\pi {r^3}P)}}{{4\pi \rho {r^2}dr}} = \frac{1}{{\rho {r^2}}}\left( {3{r^2}P + {r^3}\frac{{dP}}{{dr}}} \right) = \frac{{3P}}{\rho } + \frac{r}{\rho }\frac{{dP}}{{dr}} = \frac{{3P}}{\rho } - \frac{{Gm}}{r}$ cqfd
1.2.2 Pour un gaz parfait $\frac{{3P}}{\rho } = \frac{{3PV}}{M} = \frac{{3nRT}}{M} = \frac{{2U}}{M}$ c'est le double de l'énergie interne massique.
1.2.3 l'équation (1) revient à écrire $d(4\pi {r^3}P) = 2dU + d{E_p}$
Soit en intégrant sur tout le nuage $4\pi {R^3}P(R) = 2U + {E_p}$

1.2.4 En exprimant l'énergie interne et l'énergie potentielle on obtient pour la pression de surface $4\pi {R^3}P(R) = 2\frac{{3MkT}}{{2{m_H}}} - \frac{{3G{M^2}}}{{5R}}$ soit $P(R) = \frac{{3MkT}}{{4\pi {R^3}{m_H}}} - \frac{{3G{M^2}}}{{20\pi {R^4}}}$ d'où le graphe ci-contre.

1.2.5 $P'(R) = 0 \Rightarrow R = 4\frac{{GM{m_H}}}{{15kT}} = \frac{{2{R_J}}}{3}$ (à M et T fixés ${R_J} = \frac{{2GM{m_H}}}{{5kT}}$)
Puisque R > R_J, le point figuratif est au delà de l'extrémum donc dP/dR < 0 c'est à dire que le nuage se contracte si P(R) augmente. L'amorçage de l'effondrement des nuages sur eux-même est sans doute dû à une explosion "proche" d'une super-novae.

1.3 Effondrement du nuage
1.3.1 La distance minimale est de l'ordre du rayon atomique (soit a ≈ 0,1 nm)., alors les atomes sont en contact. Le nombre de particules est alors le quotient des volumes, soit
$\frac{M}{{{m_H}}} = \frac{{4/3\pi R_f^3}}{{4/3\pi {a^3}}}\quad \Rightarrow \quad {R_f} = a{\left( {\frac{M}{{{m_H}}}} \right)^{1/3}}$
1.3.2 La pression de surface étant nulle on a $P(R) = \frac{{3MkT}}{{4\pi {R^3}{m_H}}} - \frac{{3G{M^2}}}{{20\pi {R^4}}} = 0\quad \Rightarrow \quad \frac{{kT}}{{{m_H}}} = \frac{{GM}}{{5R}}$
Entre les états initial et final on a donc la relation $\quad \frac{k}{{{m_H}}}\left( {{T_f} - {T_i}} \right) = \frac{{GM}}{5}\left( {\frac{1}{{{R_f}}} - \frac{1}{{{R_i}}}} \right)$
Mais R_i >> R_f (1^ere approximation) et T_i << T_f. (2^eme approximation) donc $\frac{{k{T_f}}}{{{m_H}}} = \frac{{GM}}{{5{R_f}}}$
1.3.3 Les deux relations $\frac{{k{T_f}}}{{{m_H}}} = \frac{{GM}}{{5{R_f}}}$ et ${R_f} = a{\left( {\frac{M}{{{m_H}}}} \right)^{1/3}}$impliquent ${T_f} = \frac{{G{M^{2/3}}}}{{5ak}}m_H^{4/3}$
Si on veut T_f. < 10⁵ K il faut M < 6.10^-3 M. Le corps formé est une étoile "ratée" dont un exemple est la planète Jupiter.
1.3.4 Si T_f. >> 10⁵ K il y a pénétration des nuages électroniques et les électrons ne sont plus liés à un noyau particulier. Il y a dégénérescence c'est à dire que l'on a un mélange de deux gaz: le gaz d'électrons et le gaz de noyaux (protons).
1.3.5 Dans l'hypothèse d'un gaz parfait $3/2k{T_e} = 1/2{m_e}v_e^2$ alors ${\lambda _e} = \frac{h}{{{m_e}{v_e}}} = \frac{h}{{\sqrt {3k{m_e}{T_e}} }}$
1.3.6 Les atomes étant ionisés le nombre de particules est doublé; alors certaines relations sont à modifier $U = \frac{{3MkT}}{{{m_H}}}$ et ${R_f} = {\lambda _e}{\left( {\frac{{2M}}{{{m_H}}}} \right)^{1/3}} = \frac{h}{{\sqrt {3k{m_e}{T_e}} }}{\left( {\frac{{2M}}{{{m_H}}}} \right)^{1/3}}$
La relation qui donne la température finale est$\frac{{2k{T_e}}}{{{m_H}}} = \frac{{GM}}{{5{R_f}}}$et conduit à $k{T_e} = \frac{{3{G^2}{M^{4/3}}}}{{100{{\left( 2 \right)}^{2/3}}{h^2}}}{m_e}m_H^{8/3}$
Pour atteindre une température de 10⁷ K il faut M > 0,1 M..Les réactions nucléaires peuvent avoir lieu, le corps ainsi formé est une étoile.

Deuxième partie : Structure des étoiles
2.1 Ordres de grandeur
2.1.1 L'étoile rayonnant de façon isotrope: $E = \frac{L}{{4\pi {D^2}}}$ ce qui donne pour le soleil E ≈ 1,34 kW.m^-2.
2.1.2 Un corps noir sphérique rayonne la puissance $L = (\sigma T_{eff}^4)4\pi {R^2}$soit pour le soleil T_eff = 5740 K
2.1.3 On a simplement ${t_{KH}} = \frac{{3G{M^2}}}{{5R\,L}}$ce qui fait seulement t_KH ≈ 19 millions d'années pour le Soleil
2.1.4 On a cette fois $f\,M{c^2} = L\,{t_n}$soit pour f = 10^-3 t_n ≈ 15 milliards d'années pour le Soleil
Il faut conclure que l'énergie rayonnée par les étoiles a sa source dans les réactions nucléaires.
2.2 Les équations d'équilibre
2.2.1 $dm = 4\pi \rho (r)\,{r^2}dr$ et $\frac{{dP}}{{dr}} = - \rho (r)\frac{{Gm}}{{{r^2}}}$ (cf 1.2.1)
2.2.2 La coquille de rayon r et d'épaisseur dr génère une puissance $[\varepsilon (r)\rho (r)].4\pi \,{r^2}dr$
Elle émet par rayonnement vers la surface, la puissance: $L(r + dr) - L(r) \approx \frac{{dL}}{{dr}}dr$
A l'équilibre thermique on doit vérifier $\frac{{dL}}{{dr}} = 4\pi \,{r^2}\varepsilon (r)\rho (r)$
2.3 Les équations d'état
2.3.1 La masse totale des noyaux de type i est x_iM. Leur nombre est donc x_iM/m_i .
On en déduit que le nombre total de protons (et donc d'électrons) est $\sum\limits_i {{z_i}\frac{{{x_i}M}}{{{m_i}}}}$
Le nombre total de particules (noyaux plus électrons) est alors $N = \sum\limits_i {\frac{{{x_i}M}}{{{m_i}}}} + \sum\limits_i {{z_i}\frac{{{x_i}M}}{{{m_i}}}}$
Soit encore $N = M\sum\limits_i {{x_i}\frac{{(1 + {z_i})}}{{{m_i}}}} \Rightarrow \frac{1}{\mu } = \sum\limits_i {{x_i}\frac{{(1 + {z_i})}}{{{\mu _i}}}}$ cqfd.
2.3.2 Le quotient ${\mu _i} = \frac{{{m_i}}}{{{m_p}}}$représente sensiblement le nombre de nucléons dans les noyaux de type i (car les masses du proton et du neutron dont voisines) Or pour les noyaux lours il y a à peu près autant de protons que de neutrons soit ${\mu _i} \approx 2{z_i}$.
On peut alors écrire $\frac{1}{\mu } \approx \frac{{X(1 + 1)}}{1} + \frac{{Y(1 + 2)}}{2} + \sum\limits_i {{x_i}\frac{{(1 + {z_i})}}{{2{z_i}}}} \approx 2X + 1,5Y$
cr le dernier terme est négligeable car de l'ordre de $\sum\limits_i {{x_i}\frac{1}{2}} < < 2X + 1,5Y$
Pour le soleil le résultat précédent conduit à µ ≈ 0,58

2.3.4 Localement la loi des gaz parfaits s'écrit ${P_g} = \rho rT$, avec$r = \frac{{{\text{constante des Gaz parfaits}}}}{{{\text{masse molaire du mélange}}}}$
soit aussi $r = \frac{{{\text{constante de Boltzman}}}}{{{\text{masse moyenne d'une particule}}}}$ soit ici $r = \frac{{\,k}}{{M/N}} = \frac{k}{{\mu {m_p}}}$, d'où ${P_g} = \rho \frac{{kT}}{{\mu {m_p}}}$
2.3.5 On a pour une mole de gaz parfait ${C_v} = \frac{R}{{\gamma - 1}}\quad {C_p} = \frac{{\gamma R}}{{\gamma - 1}}$ et $dS = {C_p}\frac{{dT}}{T} - V\frac{{d{P_g}}}{T}$
soit pour une transformation isentropique $\frac{{\gamma R}}{{\gamma - 1}}\frac{{dT}}{T} = V\frac{{d{P_g}}}{T} = \frac{{Rd{P_g}}}{{{P_g}}} \Rightarrow {\left( {\frac{{dT}}{{d{P_g}}}} \right)_{ad}} = \frac{{\gamma - 1}}{\gamma }\frac{T}{{{P_g}}}$
L'équation d'état implique ${P_g} = \rho \frac{{kT}}{{\mu {m_p}}} \Rightarrow \frac{{d\rho }}{\rho } = \frac{{d{P_g}}}{{{P_g}}} - \frac{{dT}}{T}$
soit pour une transformation isentropique $\frac{{d\rho }}{\rho } = \frac{{d{P_g}}}{{{P_g}}} - \frac{{dT}}{T} = \frac{{d{P_g}}}{{{P_g}}} - \frac{{\gamma - 1}}{\gamma }\frac{{d{P_g}}}{{{P_g}}} = \frac{{d{P_g}}}{{\gamma \,{P_g}}}$
Ce qui s'intégre en ${P_g}{\rho ^{_\gamma }} = cste$
2.3.6 On intégre sur tout le domaine spectral : ${u_r}(T) = \int_0^\infty {} \frac{{8\pi h{\nu ^3}}}{{{c^3}}}\frac{{d\nu }}{{{e^{h\nu /kT}} - 1}} = \frac{{8\pi {k^4}{T^4}}}{{{h^3}{c^3}}}\int_0^\infty {} \frac{{{x^3}dx}}{{{e^x} - 1}}$
et grâce au résultat fourni on trouve ${u_r}(T) = \frac{{8\pi {k^4}{T^4}}}{{{h^3}{c^3}}}\frac{{{\pi ^4}}}{{15}} = \frac{{4\sigma {T^4}}}{c}$
2.3.7 On admet ${P_r} = \frac{{4\sigma {T^4}}}{{3c}} = \frac{1}{3}{u_r}$; une pression est une force surfacique c'est aussi un travail par unité de volume donc c'est homogène une énergie volumique comme u_r.
Remarque : pour un gaz parfait , la pression cinétique est aussi égale à u/3
2.4 Transport de l'énergie
2.4.1 Si P(x) est la probabilité de non-absorption sur un parcours de longueur x alors la probabilté de non-absorption sur un parcours de longueur x+dx sera le produit de P(x) par [1 - κρdx] (ce qui représente la probabilté de non-absorption sur un parcours dx) .
Alors P(x+dx) = P(x) + (dP /dx)dx = P(x) . [1 - κρdx] donc $\frac{{dP}}{{dx}} = - \kappa \rho P\quad \Rightarrow P = e - \kappa \rho x$
La constante d'intégration devant permettre d'avoir P(0) = 1
2.4.2 Par définition la longueur moyenne parcourue par un photon avant d'être absorbé est :
${\ell _0} = \frac{{\int_0^\infty {\ell \,P(\ell )\,dx} }}{{\int_0^\infty {\,P(\ell )\,d\ell } }} = \frac{{{{\left( {\frac{1}{{\kappa \rho }}} \right)}^2}\int_0^\infty {\,x\,e - x\,dx} }}{{\left( {\frac{1}{{\kappa \rho }}} \right)\;\int_0^\infty {\,\,e - x\,dx} }} = \frac{1}{{\kappa \rho }}$
Pour le soleil on trouve ρ ≈ 1,4.10³ kg.m^-3 et ₀ vaut environ 18 mm. C'est une longueur très petite à l'échelle du soleil, on peut considérer que les photons sont tous absorbés lorsqu'ils atteignent un élément de volume (un cube de coté quelques ₀ ), donc cet élément de volume est un corps noir puisque parfaitement absorbant.

2.4.3

Les photons se déplacent à la vitesse c, donc ceux qui traversent dS pendant une durée Δt dans le sens positif de l'axe sont contenus dans le volume dS.cΔt situé à gauche de dS sur la figure. Compte tenu de l'isotropie de l'espace, il n'y a que 1/6eme des photons qui se dirigent vers indiqué. C'est photons ne correspondent pas tous à la même température, puisque T(r). En moyenne un photon parcourt 0 on peut dire qu'ils viennent d'une zone où la température est T(r - 0) et où la

densité volumique d'énergie a la valeur : $\frac{{4\sigma }}{c}{[T(r - {\ell _0})]^4} \approx \frac{{4\sigma }}{c}[{T^4} - 4{T^3}\frac{{dT}}{{dr}}{\ell _0}]$
Alors l'énergie qui traverse dS dans le sens positif pendant Δt vaut $\frac{{2\sigma }}{{3c}}[{T^4} - 4{T^3}\frac{{dT}}{{dr}}{\ell _0}].c\Delta t.dS$
L'énergie qui traverse dS dans le sens négatif pendant Δt vaut $\frac{{2\sigma }}{{3c}}[{T^4} + 4{T^3}\frac{{dT}}{{dr}}{\ell _0}].c\Delta t.dS$
Le bilan net en puissance sera $FdS = \frac{{2\sigma }}{{3c}}[8{T^3}\frac{{dT}}{{dr}}{\ell _0}].c.dS = - \frac{{16\sigma {T^3}}}{{3\kappa \rho }}\frac{{dT}}{{dr}}dS$
Donc pour une sphère de rayon r $L(r) = \int {FdS} = F.4\pi {r^2} = - \frac{{64\pi \sigma {r^2}{T^3}}}{{3\kappa \rho }}\frac{{dT}}{{dr}}$ cqfd
2.4.4 On obtient pour le Soleil L(R) ≈ 4.10²⁶ W.m^-2. Ce qui est la valeur observée.

2.5 Les modèles homologues
2.5.1 La définition $\frac{{{m_1}(\alpha {R_1})}}{{{m_0}(\alpha {R_0})}} = \frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}$ indique que les longueurs sont homothétiques dans le rapport $\frac{{longueur\;dans\,(1)}}{{longueur\;dans\,(0)}} = \frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}$ et que les masses le sont dans le rapport $\frac{{masse\;dans\,(1)}}{{masse\;dans\,(0)}} = \frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}$
Les dimensions d'une masse volumique permettent de trouver immédiatement
$\frac{{{\rho _1}(\alpha {R_1})}}{{{\rho _0}(\alpha {R_0})}} = \left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right){\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 3}}$
2.5.2 L'échelle de temps caractéristique est ${t_0} = \sqrt {\frac{{{R^3}}}{{GM}}}$on en déduit que les temps sont homothétiques dans le rapport : $\frac{{dur\'e e\;dans\,(1)}}{{dur\'e e\;dans\,(0)}} = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{ - 1/2}}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{3/2}}$
Les dimensions d'une pression (Masse.Longueur^-1Temps^-2) conduisent alors à la relation
$\frac{{{P_1}(\alpha {R_1})}}{{{P_0}(\alpha {R_0})\;}} = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^2}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 4}}$
Si la pression gazeuse est dominante la température est la température cinétique (e_C = 3/2kT)
On en déduit que $\frac{{{T_1}(\alpha {R_1})}}{{{T_0}(\alpha {R_0})}} = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^2}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 1}}$
Si la pression de radiation est dominante la température est celle du rayonnement ($du/dV = \frac{{4\sigma {T^4}}}{c}$)
On trouve alors que $\frac{{{T_1}(\alpha {R_1})}}{{{T_0}(\alpha {R_0})}} = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{1/2}}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 1}}$
On exclut les cas intermédiaires où la convection n'est pas négligeable et qui a été écartée.
2.5.3 La première relation est : $\frac{{dL}}{{dr}} = 4\pi \,{r^2}\varepsilon (r)\rho (r)$soit avec $\varepsilon = {\varepsilon _0}\rho {T^n} \Rightarrow \frac{{dL}}{{dr}}\, = 4\pi {r^2}{\varepsilon _0}{T^n}{\rho ^2}$
compte tenu des résultats le facteur d'homothétie est tel que
Si la pression gazeuse est dominante
$\frac{{{L_1}(\alpha {R_1})}}{{{L_0}(\alpha {R_0})}} = \left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right).{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^2}{\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^2}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 6}}\,.{\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{2n}}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - n}} = {\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 3 - n}}{\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{2 + 2n}}$
Si la pression radiante est dominante
$\frac{{{L_1}(\alpha {R_1})}}{{{L_0}(\alpha {R_0})}} = \left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right).{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^2}{\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^2}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 6}}\,.{\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{n/2}}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - n}} = {\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 3 - n}}{\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{2 + n/2}}$
La 2^eme relation est $L(r) = - \frac{{64\pi \sigma {r^2}{T^3}}}{{3\kappa \rho }}\frac{{dT}}{{dr}}$ soit avec $\kappa = {\kappa _0}\rho {T^{ - 7/2}}$$\Rightarrow L(r) = - \frac{{64\pi \sigma {r^2}{T^{13/2}}}}{{3{\kappa _0}{\rho ^2}}}\frac{{dT}}{{dr}}$
Donc si la pression gazeuse est dominante
$\frac{{L(\alpha {R_1})}}{{L(\alpha {R_0})}} = {\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^2}.{\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{ - 2}}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^6}{\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{15/2}}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 15/2}}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 1}} = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{11/2}}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 1/2}}$
Si la pression radiante est dominante
$\frac{{L(\alpha {R_1})}}{{L(\alpha {R_0})}} = {\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^2}.{\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{ - 2}}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^6}{\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{15/4}}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 15/2}}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 1}} = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{7/4}}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 1/2}}$

2.5.4 La compatibilité entre les résultats impose pour une pression gazeuse dominante
${\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 3 - n}}{\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{2 + 2n}} = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{11/2}}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 1/2}}$$\Rightarrow {\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{5/2 + n}} = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{ - 7/2 + 2n}}$$\Rightarrow \left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right) = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{\frac{{4n - 7}}{{2n + 5}}}}$
et pour une pression de radiation dominante
${\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 3 - n}}{\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{2 + n/2}} = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{7/4}}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 1/2}}$$\Rightarrow {\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{5/2 + n}} = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{ - 3/4 + n/2}}$$\Rightarrow \left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right) = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{\frac{{2n - 3}}{{4n + 20}}}}$
2.5.5 De même lorsque la pression gazeuse est dominante
on a $\frac{{L(\alpha {R_1})}}{{L(\alpha {R_0})}} = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{11/2}}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 1/2}} = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{11/2}}{\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{ - \frac{{4n - 7}}{{4n + 10}}}} = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{\frac{{18n + 62}}{{4n + 10}}}}$
et lorsque la pression de radiation est dominante
on a $\frac{{L(\alpha {R_1})}}{{L(\alpha {R_0})}} = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{7/4}}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 1/2}} = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{7/4}}{\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{ - \frac{{2n - 3}}{{8n + 40}}}} = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{\frac{{12n + 73}}{{8n + 40}}}}$
2.5.6 Les diagrammes expérimentaux conduisent à
masse-rayon.: ${{\log }_{10}}\frac{R\ }{R}\approx 0,9\,\,{{\log }_{10}}\frac{M\ }{\text{M}}$ masse-luminosité: ${{\log }_{10}}\frac{L\ }{L}\approx 3,3\,\,{{\log }_{10}}\frac{M\ }{\text{M}}$
si la pression gazeuse est dominante (étoile froide, n=5) alors $\frac{{L(\alpha {R_1})}}{{L(\alpha {R_0})}} \approx {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^5}$
si la pression de radiation est dominante (étoile chaude n =18) $\frac{{L(\alpha {R_1})}}{{L(\alpha {R_0})}} \approx {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{1,6}}$

Concours Physique ENS Lyon, Cachan (MP*) 1998 (Énoncé)

ENS 1998 - Physique MP
Formation et structure des étoiles
Les galaxies sont essentiellement constituées d'étoiles, corps gazeux très chauds et très denses et de gaz interstellaire, très froid et très peu dense. Le gaz interstellaire n'est pas uniformément réparti dans les galaxies mais constitue des entités distinctes, appelées nuages. Plusieurs arguments théoriques et observationnels indiquent que les étoiles ont une durée de vie limitée et que de nouvelles étoiles se forment en permanence à partir du gaz interstellaire.
Dans une première partie, nous étudierons un scénario simple d'effondrement gravitationnel d'un nuage interstellaire, qui constitue la base de modèles plus sophistiqués de formation d'étoiles.
La deuxième partie du problème sera consacrée à l'étude de la structure d'équilibre des étoiles telle qu'elle s'établit pendant la plus grande partie de leur vie. Les deux parties du problème et leurs différentes sections sont très largement indépendantes les unes des autres mais il est conseillé de les aborder dans l'ordre de leur présentation.
Une grande attention sera portée aux applications numériques et à leur examen critique, en particulier dans la deuxième partie, lors de laquelle le Soleil sera le plus souvent pris comme exemple. Les unités du système international étant mal adaptées à l'expression des grandeurs astronomiques, nous utiliserons des unités spécifiques de masse, de longueur et de puissance, définies ci-dessous. Nous recommandons d'employer ces unités dans les applications numériques.

Nom	Symbole	Valeur à utiliser
Masse solaire	M	2,0 x 1030 kg
Rayon solaire	R	7,0 x l 08 m
Luminosité solaire	L	3,8 x 1026 W

Les constantes et les grandeurs physiques fondamentales nécessaires aux applications numériques sont rappelées ci-dessous.
Constante de gravitation G = 6,7 x 10^-11 m³ kg^-1 s^-2
Constante de Planck h = 6,6 x 10^-34 J s
Constante de Boltzmann k = 1,4 x 10^-23 J K^-1
Constante des gaz parfaits R = 8,3 x 10^-11 J K^-1 mol^-1
Constante de Stefan σ = 5,7 x 10^-8 Wm^-2 K^-4
Vitesse de la lumière dans le vide c = 3,0 x 10⁸ m s^-1
Masse du proton m_p = 1,7 x 10^-27 kg
Masse de l'électron m_e = 9,1 x 10^-31 kg
Première partie : Formation des étoiles
On considère un nuage isolé à symétrie sphérique, de rayon R et de masse M. Il est constitué d'hydrogène atomique gazeux, considéré comme un gaz parfait.
1.1 Nuage gravitationnellement lié
Le nuage n'est soumis qu'à sa propre gravité et on néglige pour l'instant toute force de pression interne ou externe.
1.1.1 En raisonnant uniquement sur les dimensions des grandeurs physiques, construire une grandeur homogène à un temps, notée t₀, en fonction des seules grandeurs G, M, R..
1.1.2 Exprimer l'énergie potentielle gravitationnelle E_P d'un nuage sphérique de rayon R, de masse M et de masse volumique uniforme.
1.1.3 Le nuage, constitué d'atomes d'hydrogène, possède une température cinétique uniforme T. Quelle est son énergie interne U ? A quelle condition sur E_P et U le nuage est-il gravitationnellement lié ?
1.1.4 En déduire qu'à masse volumique ρ et température T données, les nuages de rayon inférieur à une limite, appelée rayon de Jeans et notée R_J, que l'on précisera et dont on vérifiera l'homogénéité, se fragmentent.
1.1.5 Application numérique : Calculer le rayon de Jeans R_J et la masse de Jeans M_J correspondante d'un nuage sphérique de température uniforme T = 10 K, comportant 1 atome d'hydrogène par cm³.
1.1.6 Le nuage est découpé en couches sphériques concentriques, considérée chacune comme un système fermé. On s'intéresse au mouvement d'effondrement d'une couche, numérotée i, limitée à l' instant t par les rayons r_i(t) et r_i(t) + dr et de masse volumique ρ_i(t). Exprimer la conservation de l'énergie totale de la couche i, dont on supposera la vitesse d effondrement v_i(t) nulle à l'instant initial. On pose r_i(t) = r_i(0) cos²α_i(t) et on suppose que l'effondrement se poursuit jusqu'à un rayon nul. En déduire la durée t_ff d'effondrement, que l'on comparera au temps t₀ obtenu en 1.1.1
1.1.7 Application numérique : Quel est le temps d'effondrement t_ff d'un nuage sphérique, de rayon R = 5 x 10⁹ R, comportant un atome d'hydrogène par cm³ ?

1.2 Stabilité d'un nuage isotherme
On considère un nuage sphérique dont toutes les propriétés (masse volumique, température, pression, champ de vitesses...) possèdent la symétrie sphérique et on ne néglige plus les forces de pression.
1.2.1 En désignant par m(r) la masse contenue à l'intérieur de la sphère de rayon r et par P(r) la pression à la distance r du centre, montrer que la condition d'équilibre de la couche, de masse dm, limitée par les rayons r et r + dr conduit à la relation :
$d(4\pi {r^3}P) = \left( {\frac{{3P}}{r} - \frac{{Gm}}{r}} \right)dm$ (1)
1.2.2 Etablir que 3P/ρ est le double de l'énergie interne du gaz par unité de masse.
1.2.3 Intégrer l'équation (1) sur tout le nuage. En déduire une relation entre P(R) et les énergies interne, U, et potentielle gravitationnelle, E_P, du nuage.
1.2.4 Exprimer en fonction de M, T et R la pression de surface P(R) qui assure l'équilibre du nuage et donner l'allure de la courbe P(R) à M et T fixées.
1.2.5 Le nuage, de rayon R, est initialement en équilibre. Que se passe-t-il si la pression externe augmente légèrement ?
1.3 Effondrement du nuage
On suppose que l'effondrement du nuage s'effectue dans des conditions telles que la relation entre énergie interne U et énergie potentielle gravitationnelle E_P établie en 1.2.3 reste valable.
De plus, on néglige désormais le terme de pression de surface.
1.3.1 L'effondrement du nuage d'hydrogène atomique s'arrête lorsque la séparation entre les atomes atteint une valeur a, dont on donnera un ordre de grandeur. Quelle relation peut-on écrire entre a, le rayon final R_f du nuage et sa masse M ?
1.3.2 On note R_i le rayon du nuage au début de l'effondrement. On note T_i et T_f les températures initiale et finale du nuage, supposées uniformes. Etablir la relation qui lie R_i, R_f, T_i et T_f. Montrer qu'elle se réduit à une relation entre R_f et T_f, moyennant deux approximations, que l'on précisera.
1.3.3 En déduire l'expression de la température finale du nuage T_f. en fonction de sa masse M et de a. Quelle est la masse maximale que peut avoir un nuage pour que sa température ne dépasse pas 10⁵ K? Quelle est d'après vous la nature du corps ainsi formé ?

1.3.4 Justifier que si T_f. peut atteindre une valeur supérieure à environ 10⁵ K, le gaz constituant le nuage s'ionise.
1.3.5 Le gaz ionisé peut alors subir une nouvelle phase d'effondrement, qui s'achève, au plus tard, lorsque la distance moyenne entre les protons et les électrons est de l'ordre de la longueur d'onde de de Broglie des électrons, λ_e = h /m_ev_e , où v_e est la vitesse moyenne d'agitation thermique des électrons. Exprimer λ_e en fonction de la température T_e atteinte à la fin de la compression.
1.3.6 En déduire l'expression de la température finale du nuage T_e en fonction de sa masse M.
Quelle est la masse minimale de nuage permettant d'atteindre une température de 10⁷ K?
Quelle est d'après vous la nature du corps ainsi formé
Deuxième partie : Structure des étoiles
Lors de la plus grande partie de son existence, une étoile évolue très lentement, si bien que les distributions de masse, température, pression,... qui la caractérisent, peuvent être calculées en supposant qu'il y a constamment équilibre. De plus, toutes ces distributions sont à symétrie sphérique. Les six fonctions radiales représentant les distributions de température T(r), de pression P(r), de masse m(r), de masse volumique ρ(r), de taux de production d'énergie par unité de masse, ε(r), et de luminosité L(r) d'une étoile sont couplées par six équations. Elles sont très générales et applicables à des étoiles de masses variées. Elles nous permettront de vérifier que la masse d'une étoile est le paramètre dominant de sa structure.
2.1 Ordres de grandeur
2.1.1 Comment s'exprime la puissance reçue par unité de surface sur Terre, E, en fonction de la puissance (ou luminosité), L, rayonnée par une étoile située à la distance D de la Terre. Calculer E dans le cas le Soleil. On rappelle que la distance moyenne Terre-Soleil est de 150 millions de kilomètres.
2.1.2 En bonne approximation, une étoile de luminosité L et de rayon R rayonne comme un corps noir de température T_eff, appelée température effective de l'étoile. Rappeler la relation liant ces trois grandeurs sans démonstration. En déduire la température effective du Soleil.
2.1.3 On appelle temps de Kelvin-Helmholtz, noté t_KH, le temps nécessaire pour qu'une étoile rayonne toute son énergie potentielle gravitationnelle, en supposant que sa luminosité reste constante. Calculer t_KH, pour le Soleil (en supposant que sa masse volumique est uniforme).
2.1.4 On appelle temps nucléaire, noté t_n, le temps nécessaire pour qu'une étoile rayonne une fraction donnée f de son énergie de masse, en supposant que sa luminosité reste constante.
Calculer t_n pour le Soleil en prenant f = 10^-3 et le comparer à t_KH, Que peut-on en conclure sur l'origine probable de l'énergie rayonnée par les étoiles ?

2.2 Les équations d'équilibre
2.2.1 Donner les expressions de dm/dr et de dP/dr qui définissent respectivement la distribution de masse et l'équilibre mécanique de l'étoile.
2.2.2 Etablir l'équation d'équilibre énergétique qui lie la puissance produite par unité de volume,
ε(r)ρ(r), à la puissance L(r) qui traverse la sphère de rayon r vers la surface de l'étoile.
2.3 Les équations d'état
On suppose pour simplifier que la matière de l'étoile est totalement ionisée et de composition uniforme. L'étoile est donc constituée d'un mélange de particules massives (noyaux et électrons) et de photons. En outre, la densité est assez faible pour que les électrons, les noyaux et leur mélange se comportent comme des gaz parfaits.
2.3.1 On note x_i la fraction de masse de l'étoile due aux noyaux de type i, de numéro atomique z_i et de masse m_i. On pose µ_i = m_i/ m_p et µ. = M/Nm_p, où M est la masse de l'étoile et N le nombre de nombre de particules massives qu'elle contient. Etablir que
$\mu { ^{ - 1}} = \sum\limits_i {\frac{{{x_i}(1 + {z_i})}}{{{\mu _i}}}}$ (2)
2.3.2 Les noyaux présents sont principalement de l'hydrogène (fraction de masse X ), de l'hélium (fraction de masse Y) et des traces d'éléments plus lourds (fractions de masse Z_i >> X, Y). On supposera que pour tous les éléments lourds le rapport µ_i / z_i est voisin de 2. Justifier cette approximation et exprimer µ en fonction de X et Y. Calculer µ pour le Soleil (on prendra X = 0, 56 et Y = 0, 41).
2.3.4 Etablir que la pression du gaz parfait de particules massives, notée P_g(r), satisfait à l'équation d'état
${P_g}(r) = \frac{{\rho (r)}}{{\mu {m_p}}}kT(r)$ (3)
2.3.5 On note C_v et C_p les capacités thermiques molaires respectivement à volume constant et à pression constante du gaz parfait. On rappelle que C_p - C_v = R et l'on note γ = C_p / C_v.
Etablir que lors d'une transformation adiabatique, un gaz parfait de température T, de pression P_g et de masse volumique ρ satisfait aux relations :
${P_g}{\rho ^{_\gamma }} = cste$ et ${\left( {\frac{{dT}}{{d{P_g}}}} \right)_{ad}} = \left( {\frac{{\gamma - 1}}{\gamma }} \right)\frac{T}{{{P_g}}}$ (4)
2.3.6 Le gaz de photons, en équilibre à la température T, suit la loi de rayonnement du corps noir, c'est-à-dire que sa densité volumique d'énergie dans la bande de fréquences (ν, ν + d ν ),
notée u_ν, obéit à la loi de Planck
${u_\nu } = \frac{{8\pi h{\nu ^3}}}{{{c^3}}}{({e^{h\nu /kT}} - 1)^{ - 1}}$ (5)
Calculer la densité volumique totale d'énergie du gaz de photons, u_r(T).
On posera σ = 2π⁵k⁴/15h³c² (constante de Stefan) et on donne
$\int_0^\infty {\;{x^3}({e^x} - 1)dx = } \frac{{{\pi ^4}}}{{15}}$
2.3.7 On admettra que la pression du gaz de photons P_r. est donnée par
${P_r} = \frac{{4\sigma }}{{3\,c}}{T^4}$ (6)
Vérifier l'homogénéité de cette relation.

2.4 Transport de l'énergie
L'énergie produite par les réactions nucléaires dans es régions internes de l'étoile peut être transportée vers la surface par deux mécanismes : le rayonnement et la convection. Nous considérerons le transport par convection comme négligeable. Cette approximation est bien justifiée pour les étoiles plus massives que le Soleil, mais plus discutable pour les étoiles de faible masse.
2.4.1 On note κ le coefficient d'absorption de la matière stellaire, supposé indépendant de la fréquence : un photon parcourant une longueur dl dans une région de masse volumique ρ a une probabilité proportionnelle à κρdl d'être absorbé. Exprimer la probabilité P(l) qu'a le photon de parcourir une distance l sans être absorbé.
2.4.2 En déduire le libre parcours moyen l₀ d'un photon, c'est-à-dire la distance moyenne parcourue avant absorption. Que vaut-il dans le Soleil (on prendra κ = 0, 04 m² kg^-1 et on supposera une densité uniforme) ? En déduire qu'il est justifié de considérer que chaque élément de volume de l'étoile, situé à la distance r du centre, rayonne comme un corps noir de température T(r).
2.4.3 Soit un élément de surface dS situé à la distance r du centre de l'étoile et perpendiculaire à la direction radiale. Calculer le flux net d'énergie FdS traversant dS vers la surface de l'étoile.En déduire que la puissance transportée par rayonnement vers la surface de l'étoile est
$L(r) = - \frac{{64\sigma \pi }}{{3\,\kappa \rho }}{r^2}\frac{{dT}}{{dr}}{T^3}$ (7)
2.4.4 Au voisinage de la surface du Soleil, ρ ~ 10^-3 kg m^-3, T ~ 6000K et (dT/dr) ~ -4 x 10^-2 K m^-1, quelle y est la puissance transportée par rayonnement ? Conclusion.
2.5 Les modèles homologues
On admet que le coefficient d'absorption peut se mettre sous la forme κ = κ₀ρT ^-7/2 et que le taux de production d'énergie par unité de masse (dû aux réactions nucléaires) s'exprime par ε = ε₀PT ⁿ, où κ₀ et ε₀ sont des constantes, qui ne dépendent que de la composition chimique de l'étoile. On suppose connues les distributions P₀(r), T₀(r), ρ₀(r), m₀(r), L₀(r) d'une étoile de masse M₀ et de rayon R₀. On appelle étoile homologue une étoile de masse M₁, de rayon R₁ et de même composition chimique uniforme telle que
$\forall \alpha \in [0,1]\quad \quad {m_1}(\alpha {R_1})/{M_1} = {m_0}(\alpha {R_0})/{M_0}$
2.5.1 Exprimer ρ₁(αR_l) en fonction de ρ₀(αR₀), M₀, M₁, R₀ et R_1.
2.5.2 Etablir de façon analogue les liens qui existent entre les distributions P₁(r) et P₀(r), T₁(r) et T₀(r). On distinguera le cas des étoiles dominées par la pression gazeuse P_g et celui des étoiles dominées par la pression de radiation P_r. Pourquoi exclut-on les cas intermédiaires ?
2.5.3 En utilisant les deux relations faisant intervenir la luminosité (voir 2.2.2 et 2.4.3), établir les deux expressions liant L₁ et L₀ pour chacun des deux types d'étoiles (pression gazeuse dominante ou pression de radiation dominante).

2.5.4 En déduire que, pour chaque type d'étoiles, le rayon de l'étoile s'exprime comme une loi de puissance de sa masse (relations dites masse-rayon).
2.5.5 Etablir de même les relations dites masse-luminosité qui expriment la luminosité d'une étoile en fonction de sa masse.
2.5.6 Comparer les relations R(M) et L(M) ainsi obtenues aux diagrammes expérimentaux (voir Figure 1) en prenant n = 5 pour les étoiles plus froides que le Soleil et n = 18 pour les étoiles plus chaudes que le Soleil).

Figure 1: Corrélations masse-rayon et masse-luminosité observées.

Concours Physique ENS Lyon, Cachan (MP*) 1997 (Corrigé)

ENS Lyon Cachan 1997 section MP
I Propagation de la lumière dans deux guides d’ondes différents
A - Equations de Maxwell
a) L’équation de Maxwell-Gauss (M.G.) $div\,E = \frac{\rho }{{{\varepsilon _0}}}$ est la version locale du théorème de Gauss.
L’équation $div\,B = 0$ exprime que B est à flux conservatif (absence de “ charges magnétiques ”)
L’équation de Maxwell-Ampère (M.A.) $rot\;B - {\varepsilon _0}{\mu _0}\frac{{\partial E}}{{\partial t}} = {\mu _0}j$ est la version locale du théorème de Maxwell-Ampère qui devient le théorème d’Ampère en régime permanent.
L’équation de Maxwell-Faraday (M.F.) $rot\;E + \frac{{\partial B}}{{\partial t}} = 0$ est équivalente à $\oint {E.dl} = - \frac{{d{\Phi _B}}}{{dt}}$ (contour fixe) qui correspond dans ce cas à la loi de Faraday.

b) En prenant la divergence de (M.A.) et en utilisant (M.G.) on obtient $div\;j + \frac{{\partial \rho }}{{\partial t}} = 0$ qui est l’équation locale de conservation de la charge.
c) En régime variable les champs E et B sont couplés (voir (M.A.) et (M.F.)) ce qui n’est plus le cas en régime permanent : chaque équation fait intervenir alors soit l’un soit l’autre mais pas les deux champs en même temps.
d) En l’absence de charges et de courants ρ=0 et j=0. En prenant le rotationnel de (M.A.) et en utilisant (M.F.) et $div\,B = 0$ on obtient l’équation $\Delta B - {\varepsilon _0}{\mu _0}\frac{{{\partial ^2}B}}{{\partial {t^2}}} = 0$ . De même, le rotationnel de (M.F.) et l’utilisation de (M.A.) et (M.G.) conduisent à $\Delta E - {\varepsilon _0}{\mu _0}\frac{{{\partial ^2}E}}{{\partial {t^2}}} = 0$. Ce sont des équations de propagation de célérité $c = \frac{1}{{\sqrt {{\varepsilon _0}{\mu _0}} }}$.

B - Guide d’onde
a) Dériver par rapport à z revient à multiplier par ik. Dériver par rapport à t revient à multiplier par -iω. On en déduit alors (après simplification par le facteur exponentiel) :
(M.A.) projetée sur ${\vec e_\theta }$ devient $ik{{\rm{B}}_r} - \frac{{d{{\rm{B}}_z}}}{{dr}} + {\varepsilon _0}{\mu _0}i\omega {{\rm{E}}_\theta } = 0$ . (M.F.) projetée sur ${\vec e_r}$ devient $- ik{{\rm{E}}_\theta } - i\omega {{\rm{B}}_r} = 0$. Ces deux équations conduisent (en posant ${K^2} = \frac{{{\omega ^2}}}{{{c^2}}} - {k^2}$) à ${{\rm{B}}_r} = \frac{{ik}}{{{K^2}}}\frac{{d{{\rm{B}}_z}}}{{dr}}$ et à ${{\rm{E}}_\theta } = - \frac{{i\omega }}{{{K^2}}}\frac{{d{{\rm{B}}_z}}}{{dr}}$. De la même façon, en utilisant (M.A.) projetée sur ${\vec e_r}$ et (M.F.) projetée sur ${\vec e_\theta }$ on obtient ${{\rm{B}}_\theta } = \frac{{i\omega }}{{{K^2}{c^2}}}\frac{{d{{\rm{E}}_z}}}{{dr}}$ et ${{\rm{E}}_r} = \frac{{ik}}{{{K^2}}}\frac{{d{{\rm{E}}_z}}}{{dr}}$. Les vérifications d’homogénéité se font aisément en utilisant le fait que [E]=[B][c] [k]=[K] [k][c]=[ω] et [k][r]=1.
b) Pour une onde TEM, E_z et B_z devraient être nuls. Mais alors, d’après les équations du a), toutes les composantes sont nulles. L’onde nulle n’a que peu d’intérêt physique !
c) L’équation (M.A.) projetée sur ${\vec e_z}$ conduit (si ω est non nul) en utilisant les expressions obtenues au a) à l’équation $\frac{1}{{{K^2}}}\frac{1}{r}\frac{d}{{dr}}\left( {r\frac{{d{{\rm{E}}_z}}}{{dr}}} \right) + {{\rm{E}}_z} = 0$ tandis que (M.F.) projetée également sur ${\vec e_z}$ conduit à $\frac{1}{{{K^2}}}\frac{1}{r}\frac{d}{{dr}}\left( {r\frac{{d{{\rm{B}}_z}}}{{dr}}} \right) + {{\rm{B}}_z} = 0$ c’est à dire que E_z et B_z vérifient exactement la même équation du second ordre.
Remarque : les équations (M.G.) et $div\,B = 0$ qui sont les seules non encore utilisées sont alors vérifiées.
d) Les conditions de passage entre le conducteur parfait (où E et B sont nuls) et le vide indiquent qu’au voisinage de la paroi les composantes tangentielles de E (E_z et E_θ) et normale de B (B_r) sont nulles. Cela impose donc (d’après le a) ) que, en r=R, E_z et $\frac{{d{{\rm{B}}_z}}}{{dr}}$ sont nuls (puisque ω est non nul). Par contre, contrairement à ce que suggère l’énoncé, il n’y a pas de contrainte sur B_z.
e) Le changement de variable proposé par l’énoncé mène à $\frac{1}{x}\frac{d}{{dx}}\left( {x\frac{{d{{\rm{E}}_z}}}{{dx}}} \right) + {{\rm{E}}_z} = 0$ qui peut s’écrire aussi $\frac{{{d^2}{E_z}}}{{d{x^2}}} + \frac{1}{x}\frac{{d{{\rm{E}}_z}}}{{dx}} + {{\rm{E}}_z} = 0$ (équation de Bessel). La solution bornée en x=0 en est ${{\rm{E}}_z} = {a_0}{J_0}(Kr)$. D’après les relations du a) ${{\rm{E}}_r} = \frac{{ik}}{{{K^2}}}\frac{{d{{\rm{E}}_z}}}{{dr}} = {a_0}\frac{{ik}}{K}\frac{{d{J_0}}}{{dx}}(Kr)$ et ${{\rm{B}}_\theta } = {a_0}\frac{{i\omega }}{{K{c^2}}}\frac{{d{J_0}}}{{dx}}(Kr)$. Les autres composantes des champs sont nulles.

f) Les conditions mises en évidence au d) imposent alors seulement que E_z soit nul en r=R donc que ${J_0}(KR) = 0$. L’étude de la fonction de Bessel J₀ montre que cela correspond à des valeurs discrètes de K : K₁, K₂, K₃ etc. telles que K₁R ≈ 2,4 K₂R ≈ 5,5 K₃R ≈ 8,7 (et plus généralement K_jR ≈ jπ-π/4 pour j entier assez grand) qui sont donc fixées uniquement par la géométrie du guide. À ω et R fixé ces valeurs sont en nombre fini car il faut de plus que K soit inférieur à ω/c pour que k soit réel. Il y a donc un nombre fini (éventuellement nul si K₁>ω/c) de modes de propagation pour chaque fréquence. À chacun de ces modes (indice j) correspond une valeur k_j de k telle que $k_j^2 = \frac{{{\omega ^2}}}{{{c^2}}} - K_j^2$ . La plus grande valeur de k correspond à la plus petite de K donc à l’indice 1 : ${k_1} = \sqrt {\frac{{{\omega ^2}}}{{{c^2}}} - {{\left( {\frac{{2,4}}{R}} \right)}^2}} = 160\;{{\rm{m}}^{ - 1}}$. La longueur d’onde correspondante est $\lambda {}_1 = \frac{{2\pi }}{{{k_1}}} = 3,9\;{\rm{cm}}$. La vitesse de phase est ${v_{\varphi 1}} = \frac{\omega }{{{k_1}}} = c\frac{\omega }{{\sqrt {{\omega ^2} - {{\left( {\frac{{2,4c}}{R}} \right)}^2}} }} = 3,75\;{10^8}\,{\rm{m}}{\rm{.}}{{\rm{s}}^{ - 1}}$. La vitesse de groupe qui représente la vitesse d’ensemble (de l’enveloppe) d’un paquet d’onde est ${v_{g1}} = \frac{{d\omega }}{{d{k_1}}} = \frac{{{c^2}}}{{{v_{\varphi 1}}}} = c\frac{{\sqrt {{\omega ^2} - {{\left( {\frac{{2,4c}}{R}} \right)}^2}} }}{\omega } = 2,4\;{10^8}\,{\rm{m}}{\rm{.}}{{\rm{s}}^{ - 1}}$ et est inférieure à c ce qui est satisfaisant sur le plan de la transmission de l’information.
II Propagation d'une onde lumineuse dans un milieu d’indice variable
a) Lois de Descartes : un rayon lumineux incident sur un dioptre donne naissance (en général) à un rayon réfléchi et à un rayon réfracté.
- Le rayon réfléchi et le rayon réfracté appartiennent au plan d’incidence.
- Le rayon réfléchi est le symétrique du rayon incident par rapport à la normale.
- Les angles d’incidence et de réfraction vérifient : n₁ sin i₁ = n₂ sin i₂.
Si $\left| {\sin {\rm{ }}{i_1}} \right| > \frac{{{n_2}}}{{{n_1}}}$, le rayon réfracté n’existe pas : on a réflexion totale.

b) La continuité de l’indice en r = R impose : n₁ = n₀(1 + AR²) d’où $A = \frac{{\frac{{{n_1}}}{{{n_0}}} - 1}}{{{R^2}}}$. A est donc positif.

c) On peut raisonner sur un milieu “ stratifié ” constitué d’un grand nombre de dioptres cylindriques coaxiaux, délimitant des milieux homogènes. Autrement dit, on approxime n(r) par une fonction en escalier, et on admet que tout se passe bien lorsque la hauteur des marches tend vers zéro.
(NDLR : l’énoncé aurait pu guider davantage les candidats vers ce raisonnement, les milieux inhomogènes étant hors programme.)
Dans ces conditions, il est clair que la trajectoire est plane puisqu’à chaque réfraction le rayon reste dans le plan méridien, et que $n\left( r \right)\sin \left( {\frac{\pi }{2} - \beta } \right) = n\left( r \right)\cos \beta = {\rm{constante}}$le long du rayon lumineux. Lorsqu’on s’éloigne de l’axe, l’indice augmente, et par conséquent β augmente, d’où l’allure de la trajectoire.
d) D’après le résultat précédent, n(r) cos β = n₀ cos β₀ avec ${n_0}\sin {\beta _0} = \sin \frac{\pi }{6} = \frac{1}{2}$.
On peut alors écrire :
${\left( {\frac{{dr}}{{dz}}} \right)^2} = {\tan ^2}\beta = \frac{1}{{{{\cos }^2}\beta }} - 1 = {\left( {\frac{{n\left( r \right)}}{{{n_0}\cos {\beta _0}}}} \right)^2} - 1$
C’est l’équation différentielle demandée, avec K = n₀ cos β₀ .
e) Si n₁/n₀ est très voisin de 1, le résultat du b) indique que AR² sera très petit devant 1. Comme r≤ R , on peut considérer que Ar² est un infiniment petit et négliger les termes du second ordre :
${\left( {\frac{{dr}}{{dz}}} \right)^2} \cong \frac{{1 + 2A{r^2}}}{{{{\cos }^2}{\beta _0}}} - 1 = {\tan ^2}{\beta _0} + \frac{{2A{r^2}}}{{{{\cos }^2}{\beta _0}}}$
f) L’étude qualitative du c) montre que dr/dz va rester positif, et par conséquent :
$dz = \frac{{dr}}{{\sqrt {{{\tan }^2}{\beta _0} + \frac{{2A{r^2}}}{{{{\cos }^2}{\beta _0}}}} }}$
On peut alors utiliser une primitive donnée dans l’annexe b) avec a = tan β₀ et $x = \frac{{r\sqrt {2A} }}{{\cos {\beta _0}}}$, ce qui donne en intégrant de 0 à r :
$z = \frac{{\cos {\beta _0}}}{{\sqrt {2A} }}s{h^{ - 1}}\left( {\frac{{r\sqrt {2A} }}{{\sin {\beta _0}}}} \right)$
D’où finalement, en inversant cette relation :
$r = \frac{{\sin {\beta _0}}}{{\sqrt {2A} }}sh\left( {\frac{{z\sqrt {2A} }}{{\cos {\beta _0}}}} \right)$
Si A tend vers zéro, on peut linéariser le sinus hyperbolique et on obtient r ≅ z tan β₀ , ce qui correspond bien à une trajectoire rectiligne dans un milieu homogène. On obtient la même expression approchée si z tend vers 0 : la tangente à l’origine fait l’angle β₀ avec l’axe Oz.
g) Il faut bien entendu placer le détecteur en r = e tan β₁, avec n₁ sin β₁ = 1/2 , ce qui donne numériquement : r = 41,667 µm.
h) Le rayon lumineux est dévié, théoriquement il n’atteint plus le détecteur. En réalité, la déviation est faible, et il faut tenir compte de la largeur du faisceau laser ainsi que de la largeur du détecteur : on observera simplement une diminution du signal, le détecteur n’étant plus parfaitement centré sur le faisceau laser.
i) Il suffit d’appliquer le résultat du f), avec z = e , et on trouve r = 44,072 µm. Il faut donc éloigner le détecteur de l’axe de 2,405 µm.
(En prenant simplement r ≅ e tan β₀ , on obtient r = 44,064 µm, soit une erreur de 8 nm! Finalement, ce n'est pas le gradient d'indice qui est important, mais plutôt la variation d'indice au centre de l'échantillon.)

III Réalisation d'un milieu d'indice variable
a) Le courant thermique j (ou flux thermique surfacique) est donné par la loi de Fourier : $\vec j = - \lambda \overrightarrow {grad} T$. D'autre part, en dehors du fil, le travail échangé (autre qu'un éventuel travail des forces de pression) est nul, par conséquent l'équation exprimant le bilan local d'enthalpie s'écrit : $div\vec j + \rho C\frac{{\partial T}}{{\partial t}} = 0$. (Par analogie avec l'équation de conservation de la charge électrique.) En éliminant j, on en déduit que T satisfait à l'équation de diffusion :
$\frac{{\partial T}}{{\partial t}}D\Delta T{\text{ avec }}D = \frac{\lambda }{{\rho C}}$
b) D’après l’équation de diffusion, D se mesure en m²s^–1. Il est clair que l’argument de l’exponentielle est alors sans dimension, comme il se doit.
À chaque instant, la répartition de températures est une gaussienne centrée sur l’axe. La largeur de la gaussienne est proportionnelle à $\sqrt t$et sa hauteur à t^–1 : l’énergie “ s’étale ”. En calculant $\frac{{\partial T}}{{\partial t}}$, on montre facilement qu’à r fixé T est maximum à l’instant $t = \frac{{{r^2}}}{{4D}}$: un capteur placé en dehors de l’axe verra passer une “ bouffée de chaleur ”.
Si C tend vers 0, ou bien si λ tend vers l’infini, D tend vers l’infini, et le temps caractéristique d’évolution est très faible : en un point donné, T augmente très rapidement, puis revient presque instantanément à la valeur T₀.
Au contraire, si C tend vers l’infini, ou bien si λ tend vers 0, D tend vers 0, et le temps caractéristique d’évolution est infini : le matériau est un isolant thermique, rien ne se passe.
c) On peut déterminer B en effectuant un bilan global d’enthalpie : pour tout t positif, la variation d’enthalpie doit être égale au travail électrique reçu, ce qui s’écrit pour l’unité de longueur :
$\int_0^\infty {\rho C\left( {T - {T_0}} \right)2\pi r{\rm{ }}dr = R{I^2}\delta t}$
L’intégration est immédiate, et on obtient : $B = \frac{{R{I^2}\delta t}}{{4\pi \rho C}}$

d) L’écart de n par rapport à la valeur 1 (correspondant au vide) est proportionnel au nombre d’atomes avec lesquels interagit l’onde électromagnétique dans un volume donné, donc à ρ.
(NDLR : c’est vraiment tout ce qu’on peut exiger d’un élève de MP. D’ailleurs, c’est plutôt n² – 1 qui est proportionnel à ρ.)
e) En notant k le coefficient de dilatation volumique, on peut écrire :
$\rho = \frac{{{\rho _0}}}{{1 + k\left( {T - {T_0}} \right)}} \cong {\rho _0}\left[ {1 - k\left( {T - {T_0}} \right)} \right]$
Si t est supérieur à r²/D, on est dans la partie centrale de la gaussienne, et on peut l’approximer par une parabole :
$T - {T_0} \cong \frac{B}{{Dt}}\left( {1 - \frac{{{r^2}}}{{4Dt}}} \right)$
Utilisant le résultat du d), on obtient :
$n = 1 + \Lambda {\rho _0}\left( {1 - \frac{{kB}}{{Dt}}\left( {1 - \frac{{{r^2}}}{{4Dt}}} \right)} \right)$
qui est bien une fonction affine croissante de r².
f) Dans une première phase (partie A de la courbe) la largeur de la répartition gaussienne de températures, qui augmente en $\sqrt t$, est inférieure à la distance entre l’axe et le détecteur. Les approximations du II ne permettent pas de décrire quantitativement le phénomène, mais on peut penser que la déviation du faisceau de contrôle est d’autant plus importante que la région chaude est plus large, puisque le faisceau la traverse “ en biais ” : le signal diminue.
Le minimum de signal s’observe sans doute lorsque le détecteur voit un maximum de température (question IIIb). À partir de cet instant, on peut appliquer les résultats du II : on a vu que c’est essentiellement la valeur de n₀ qui compte (question IIi), or n₀ est une fonction croissante du temps (question IIIe), par conséquent le signal augmente : c’est bien ce que l’on observe sur la partie B.

Enfin, au bout d’un temps suffisamment long, l’équilibre thermique s’est rétabli, et le signal a retrouvé sa valeur maximale.
(NDLR : ces explications ne sont pas très satisfaisantes, j’en conviens. Je ne m’explique pas, en particulier, le temps de réponse initial (environ 5 µs), ni pourquoi le minimum de signal correspond à un point anguleux.)