Concours Physique II École Polytechnique (PC) 2001 (Corrigé)

Ecole Polytechnique – ESPCI

Deuxième composition de physique ; année 2001 ; filière PC
Première partie : Propagation d’une onde sonore dans un tuyau.
1. Équation d’Euler, en négligeant la pesanteur : $\rho \frac{{D\vec v}}{{Dt}} = - \overrightarrow {grad} P$. L’approximation acoustique (on ne garde que les termes d’ordre 1), et le fait que P = P₀ + p, donnent alors $\frac{{\partial v}}{{\partial t}} + \frac{1}{{{\rho _0}}}\frac{{\partial p}}{{\partial x}} = 0$ (1)
2. a) Masse contenue à l’instant t dans une tranche [x,x+dx] : dM(t) = ρ(x,t) S(x,t) dx. Elle ne peut varier que par les flux de masse en x et x+dx :
$\frac{{d(dM)}}{{dt}} = + \rho (x,t)S(x,t)v(x,t) - \rho (x + dx,t)S(x + dx,t)v(x + dx,t)$
D’où l’équation $\frac{\partial }{{\partial t}}\left( {\rho S} \right) + \frac{\partial }{{\partial x}}\left( {\rho Sv} \right) = 0$ (2)
b) L’équation d’Euler est une équation locale, valable en tout point du fluide. Elle est indépendante des conditions aux limites.
c) (2) s’écrit $\frac{\partial }{{\partial t}}\left( {\rho S} \right) + \frac{\partial }{{\partial x}}\left( {\left( {{\rho _0} + \delta \rho } \right)\left( {{S_0} + \delta S} \right)v} \right) = 0$ ; S₀ étant indépendante de x (énoncé), et en ne gardant que les termes d’ordre 1, il vient : $\frac{\partial }{{\partial t}}\left( {\rho S} \right) + {\rho _0}{S_0}\frac{{\partial v}}{{\partial x}} = 0$ (2’).

Concours Physique I École Polytechnique (PC) 2000 (Énoncé)

ÉCOLE POLYTECHNIQUE
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET CHIMIE INDUSTRIELLES
CONCOURS D’ADMISSION 2000 FILIÈRE PC
PREMIÈRE COMPOSITION DE PHYSIQUE
(Durée : 4 heures)
L’utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.

$\star \star \star$

Phénomènes météorologiques associés à des mouvements verticaux de masses d’air
Les phénomènes météorologiques ont des origines multiples; une compréhension complète nécessite de prendre en compte de nombreux bilans d’échange (rayonnement, cycle de l’eau). Toutefois un certain nombre de phénomènes sont uniquement dus au déplacement adiabatique de masses d’air. Nous nous proposons dans ce problème d’analyser certains d’entre eux et étudierons leurs conséquences sur la formation de certains types de nuages.
Nous nous intéresserons dans une première partie aux mouvements verticaux d’air sec puis dans une seconde partie aux mouvements d’air humide et au phénomène de condensation. Enfin la troisième partie étudie quelques aspects de l’air humide saturé.
On supposera le champ de pesanteur localement uniforme : $\vec g = - g\overrightarrow {{e_z}}$ où $\overrightarrow {{e_z}}$ est le vecteur unitaire dirigé selon la verticale ascendante.
Constantes et données numériques.
Constante des gaz parfaits Accélération de la pesanteur
$R = 8,3J{K^{ - 1}}mo{1^{ - 1}}$ $g = 9,8m{s^{ - 2}}$
Air sec
Masse molaire moyenne ${M_a} = 29gmo{1^{ - 1}}$
Capacité thermique massique à pression constante ${c_p} = 1,0 \times {10^3}J{K^{ - 1}}k{g^{ - 1}}$
Rapport des capacités thermiques à $p$ et à $V$ constants $\gamma = {c_p}/{c_v} = 1,40$
Eau
Masse molaire ${M_e} = 18gmo{1^{ - 1}}$
Température du point triple ${T_t} = 273,16K\left( {{{0,01}^ \circ }C} \right)$
Pression du point triple ${p_t} = 610{\rm{ Pa}}$
Enthalpie massique de vaporisation à ${0^o}C$ ${L_v} = 2,50 \times {10^6}Jk{g^{ - 1}}$
Enthalpie massique de vaporisation à ${100^0}C$ ${L_v} = 2,25 \times {10^6}Jk{g^{ - 1}}$

Première partie
Les mouvements d’air dans l’atmosphère peuvent se présenter sous forme d’oscillations verticales. Nous cherchons à en déterminer les principales caractéristiques.
1. Pour une atmosphère en équilibre « hydrostatique » les différentes grandeurs physiques qui la caractérisent ne dépendent que de l’altitude $z.$
a) Donner l’équation qui relie à l’équilibre la pression $p\left( z \right)$ , la masse volumique $\rho \left( z \right)$ et $g.$
b) On considère l’air sec comme un gaz parfait; on suppose de plus l’atmosphère isotherme de température ${T_0}$. Déterminer $p\left( z \right)$ et $\rho \left( z \right)$ à l’aide de $p\left( 0 \right),$ $\rho \left( 0 \right),$ ${M_a},$ $g,$ $R$ et ${T_0}$
c) Calculer la hauteur caractéristique correspondante pour une température de ${10^o}$ C.

Concours Physique II École Polytechnique (PC) 2000 (Énoncé)

ÉCOLE POLYTECHNIQUE
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES
CONCOURS D’ADMISSION 2000 FILIÈRE PC
DEUXIÈME COMPOSITION DE PHYSIQUE
(Durée : 4 heures)
L’utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.

$\star \star \star$

Commutateur optoélectronique
Dans un circuit intégré électronique l’information est véhiculée par des électrons. Un des buts de l’optoélectronique est de remplacer autant que faire se peut l’électron par le photon. On sera donc amené à acheminer des faisceaux lumineux d’un point d’un circuit où ils auront été mis en forme à un autre point où ils subiront des opérations logiques. Ce transport s’effectue à l’aide de guides optiques. Le but de ce problème est l’étude de quelques propriétés de ces guides. Dans la première partie on s’intéresse au principe de guidage des ondes lumineuses dans le cadre d’un modèle théorique simple. Une situation plus réaliste où le guidage des ondes est plus complexe est étudiée dans la deuxième partie. Dans la troisième partie on introduira un couplage entre deux guides optiques et on utilisera ce couplage dans la quatrième partie pour réaliser un commutateur électro‐optique.

Formulaire
Célérité des ondes électromagnétiques dans le vide : $c = 3 \times {10^8}m{s^{ - 1}}$
Equations de Maxwell pour les milieux diélectriques non magnétiques :
$div\vec{D}=\rho ~div\vec{B}=0$ (1)
$r\vec{o}t\vec{E}=-\partial \vec{B}/\partial t~r\vec{o}t\vec{B}={{\mu }_{0}}\left( \vec{j}+\partial \vec{D}/\partial t \right)$ (2)
Pour tout champ de vecteurs $\vec A$, on rappelle que:
$r\vec{o}tr\vec{o}t\vec{A}=gr\vec{a}d\left( div\vec{A} \right)-\vec{\vartriangle }\vec{A}$
Première partie
Principe du guidage d’une onde lumineuse
On s’intéresse à la propagation d’une onde électromagnétique monochromatique de pulsation $\omega$ dans un guide dont le schéma est représenté sur la figure 1. Ce guide est constitué d’une couche coeur infinie d’arséniure de gallium $($GaAs) , d’épaisseur $d$, insérée entre deux plans parfaitement conducteurs, totalement réfléchissants. L’arséniure de gallium est un matériau semi‐conducteur que l’on considérera comme un milieu diélectrique linéaire, homogène, isotrope et non magné‐ tique. On le caractérise par son indice de réfraction $\left( \omega \right)$ . À la pulsation $\omega$ de l’onde, on a $n\left( \omega \right) = n = 3,3.$

Concours Physique École Polytechnique (PC) 1999 (Corrigé)

Principe et mise en œuvre des pincettes optiques
Première partie: Préliminaires
1. a) L’énergie potentielle d’un dipôle rigide $\vec p$ dans un champ extérieur $B$ est ${{E}_{p}}=-\vec{p}.\vec{B}.$
b) La force qui s’exerce sur le dipôle est
$\vec{F}=\overrightarrow{grad}({{p}_{x}}{{E}_{x}}+{{p}_{y}}{{E}_{y}}+pE)$
soit, en explicitant la composante ${{F}_{x}}$ :
${{F}_{x}}={{p}_{x}}\frac{\partial {{E}_{x}}}{\partial x}+{{p}_{y}}\frac{\partial {{E}_{y}}}{\partial x}+{{p}_{z}}\frac{\partial {{E}_{z}}}{\partial x}.$
c) En admettant que l’expression précédente de ${{F}_{x}}$ reste valable pour un dipôle induit, on obtient
${{F}_{x}}={{\varepsilon }_{0}}\alpha ({{E}_{x}}\frac{\partial {{E}_{x}}}{\partial x}+{{E}_{y}}\frac{\partial {{E}_{y}}}{\partial x}+{{E}_{z}}\frac{\partial {{E}_{z}}}{\partial x})=\frac{1}{2}{{\varepsilon }_{0}}\alpha \frac{\partial ({{E}^{2}})}{\partial x}.$
En procédant de même pour les deux autres composantes, on obtient
${{F}_{x}}=\frac{1}{2}{{\varepsilon }_{0}}\alpha \overrightarrow{grad}({{E}^{2}}).$

Concours Physique École Polytechnique (PC) 1999 (Énoncé)

ÉCOLE POLYTECHNIQUE

ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET CHIMIE INDUSTRIELLES

CONCOURS D’ADMISSION 1999 FILIÈRE PC

PREMIÈRE COMPOSITION DE PHYSIQUE

(Durée: 3 heures)

L’utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.
$\star \star \star$
Principe et mise en œuvre des pincettes optiques
L’objet du problème est l’étude des pincettes optiques. Dans ce dispositif, un faisceau lumineux issu d’un laser est focalisé l’aide d’un objectif de microscope sur un petit objet diélectrique. La non-uniformité de l’intensité lumineuse permet dans certaines conditions de piéger l’objet au voisinage du point de convergence du faisceau. Cette technique, développée vers 1970, a trouvé récemment un nouveau champ d’application dans la manipulation de cellules in vitro.
Après un bref préliminaire (première partie), la seconde partie concerne le piégeage d’objets dont la dimension $a$ est petite devant la longueur d’onde $\lambda$ du rayonnement (régime de Rayleigh). La troisième partie est consacrée à la situation inverse $\lambda \ll a$; dans ce cas, il est légitime de traiter le faisceau lumineux dans le cadre de l’optique géométrique. Dans la quatrième partie est abordé le problème du calibrage d’un dispositif à pincettes optiques, conçu pour déterminer les propriétés élastiques de globules rouges.
Les trois premières parties sont largement indépendantes.
Dans tout le problème, $<A>$ désigne la valeur moyenne temporelle de la grandeur $A$. On notera $A$ la norme $\|\vec{A}\|$ du vecteur $\vec A.$

Données numériques
Les indices sont donnés pour un rayonnement situé dans le proche infrarouge $(\lambda \sim 1\mu m)$ .
Célérité de la lumière $c=3,00\times {{10}^{8}}m{{s}^{-1}}$
Indice de l’eau ${{n}_{e}}=1,33$
Indice de la silice fondue ${{n}_{s}}=1,45$
Masse volumique de la silice fondue ${{\rho }_{s}}=2,21\times {{10}^{3}}$ kg ${{m}^{-3}}$
Permittivité du vide ${{\mu }_{0}}=4\pi \times {{10}^{-7}}$ SI
Viscosité dynamique de l’eau $\eta =9,00\times {{10}^{-4}}$ kg ${{m}^{-1}}{{s}^{-1}}$ Taille caractéristique d’un globule rouge $8 \mu m$
Formulaire
$\underset{0}{\overset{\pi }{\mathop \int }}\,\text{si}{{\text{n}}^{3}}\theta d\theta =\frac{4}{3}$
$\vec{a}\wedge (\vec{b}\wedge \vec{c})=(\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{a}\cdot \vec{b})\vec{c}$
Première partie Préliminaires
1. a) Donner l’expression de l’énergie potentielle d’un dipôle électrique rigide $\vec{p}$dans un champ électrostatique extérieur $\vec{E}.$
b) En déduire l’expression de la force $\vec{F}$ qui s’exerce sur le dipôle lorsqu’il est placé dans un champ $\vec{E}$ non‐uniforme. On explicitera l’une des composantes, ${{F}_{x}}$ par exemple.
c) Le dipôle est induit par le champ $\vec{E}$ et est donné par $\vec{p}={{\varepsilon }_{0}}\alpha \vec{E}$ où $\alpha$, la polarisabilité, est une constante caractéristique du système dipolaire. Montrer que la force $F$ est donnée par :
$\vec{F}=\frac{1}{2}{{\varepsilon }_{0}}\alpha \overrightarrow{grad}({{E}^{2}})$
Dans toute la suite, on admettra que, pour un champ $\vec{E}$ variable et périodique, cette expression est valable en moyenne temporelle:
$\left\langle {\vec{F}} \right\rangle =\frac{1}{2}{{\varepsilon }_{0}}\alpha \overrightarrow{grad}\left( \left\langle {{E}^{2}} \right\rangle \right)$
où $\alpha$ est la polarisabilité dynamique, supposée réelle.

Concours Physique École Polytechnique (PC) 1999 (Corrigé)

ECOLE POLYTECHNIQUE
Physique 2 PC
Première partie
1) a) On compare les courants de déplacement $\varepsilon \frac{{\partial \vec E}}{{\partial t}} = i\omega \varepsilon \vec E$ aux courants de conduction $\sigma \vec E$ : ils sont bien négligeables : $\frac{{\omega \varepsilon }}{\sigma } \approx {5.10^{ - 9}} < < 1$ ; on a donc $\overrightarrow {rot} \vec B = {\mu _0}\vec j = {\mu _0}\sigma \vec E$ (1)
1) b) Avec $\overrightarrow {rot} \vec E = - \frac{{\partial \vec B}}{{\partial t}}$ on obtient, en prenant le rotationnel de (1) :$\vec \Delta \vec B = {\mu _0}{\sigma _i}\frac{{\partial \vec B}}{{\partial t}}$ (2) dans chacun des deux domaines.

2) a) En utilisant la coordonnée orthoradiale de (2), à l’aide du formulaire, on a :
$\Delta {B_\theta }(r,z,t) - \frac{1}{{{r^2}}}{B_\theta }(r,z,t) = {\mu _0}\sigma \frac{{\partial {B_\theta }}}{{\partial t}}$ (3) ; avec ${B_\theta }(r,z,t) = \underline {{B_\theta }} (r)\exp i(\omega t - kz)$, (3) devient :
$\frac{1}{r}\frac{\partial }{{\partial r}}(r\frac{{\partial {{\underline B }_\theta }}}{{\partial r}}) - {k^2}{\underline B _\theta } - \frac{1}{{{r^2}}}{\underline B _\theta } = i{\mu _0}\sigma \omega {\underline B _\theta } \Leftrightarrow$${r^2}\frac{{{\partial ^2}{{\underline B }_\theta }}}{{\partial {r^2}}} + r\frac{{\partial {{\underline B }_\theta }}}{{\partial r}} - (({k^2} + i{\mu _0}\sigma \omega ){r^2} + 1){\underline B _\theta } = 0 \Leftrightarrow$ ${r^2}\frac{{{\partial ^2}{{\underline B }_\theta }}}{{\partial {r^2}}} + r\frac{{\partial {{\underline B }_\theta }}}{{\partial r}} - (k{'^2}{r^2} + 1){\underline B _\theta } = 0$ (4)
2) b) Mais ${k^2} = {\left( {\frac{{2\pi }}{\lambda }} \right)^2} \approx {4.10^7} > > {\mu _0}\sigma \omega \approx {2.10^{ - 3}}{\rm{ (SI) }} \Rightarrow k{'^2} \approx {k^2}$.
2) c) Cela revient à poser σ = 0 dans l’équation de Maxwell-Ampère, donc à négliger la conduction dans l’axoplasme.

Concours Physique École Polytechnique (PC) 1999 (Énoncé)

ÉCOLE POLYTECHNIQUE
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES
CONCOURS D’ADMISSION 1999 FILIÈRE PC
DEUXIÈME COMPOSITION DE PHYSIQUE
(Durée : 4 heures)
L’utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.
** *
Le thème de ce problème est l’étude de la propagation de l’influx nerveux des invertébrés le long des axones, fibres qui permettent de relier électriquement des parties éloignées de l’organisme. La propagation de l’influx nerveux (ou potentiel d’action) le long d’un axone est conditionnée par la nature de celui-ci. Schématiquement, il s’agit d’un filament cylindrique (appelé axoplasme) entouré d’une membrane très fine constituée d’une double couche lipidique qui le sépare du mi- lieu extérieur. Dans la première partie du problème nous étudierons la propagation d’un signal électromagnétique dans l’axoplasme. La deuxième partie est consacrée à l’étude des propriétés et du rôle de la membrane. Enfin, dans la troisième partie, le signal lui-même est l’objet d’intérêt.

Données numériques

$e = 1,6 \times {10^{ - 19}}C$ Charge élémentaire
${k_B} = 1,38 \times {10^{ - 23}}J{K^{ - 1}}$ Constante de Boltzmann
${\mu _0} = 4\pi \times {10^{ - 7}}H{m^{ - 1}}$ Perméabilité magnétique du vide
$c = 3,00 \times {10^8}m{s^{ - 1}}$ Célérité des ondes électromagnétiques dans le vide
$a = 5\mu m$ Rayon de l’axone
$\delta = 7$ nm Epaisseur de la membrane
${\sigma _a} = 2S{m^{ - 1}}$ Conductivité de l’axone
${g_m} = 9S{m^{ - 2}}$ Conductivité surfacique de la membrane
${ \varepsilon _m} = 8 \varepsilon 0$ Permittivité diélectrique de la membrane
${V_{Fj}} = - 70mV$ Différence de potentiel transmembrane au repos

Formulaire

1‐Pour tout champ vectoriel $\vec A$:
$r\vec{o}tr\vec{o}t\vec{A}=gr\vec{a}d\left( div\vec{A} \right)-\vec{\vartriangle }\vec{A}$
2 ‐ Pour tout champ vectoriel $\vec A$, en coordonnées cylindriques $\left( r,~\theta ,~z \right)$ :
$r\vec ot\vec A = \left[ {\frac{1}{r}\frac{{\partial {A_z}}}{{\partial \theta }} - \frac{{\partial {A_\theta }}}{{\partial z}}} \right]\vec e + \left[ {\frac{{\partial {A_r}}}{{\partial z}} - \frac{{\partial {A_z}}}{{\partial r}}} \right]\vec e + \frac{1}{r}\left[ {\frac{\partial }{{\partial r}}\left( {r{A_\theta }} \right) - \frac{{\partial {A_r}}}{{\partial \theta }}} \right]\vec e$
$\vec{\vartriangle }\vec{A}=\left[ \vartriangle {{A}_{r}}-\frac{1}{{{r}^{2}}}\left( {{A}_{r}}+2\frac{\partial {{A}_{\theta }}}{\partial \theta } \right) \right]e_{r}^{\to }+\left[ \vartriangle {{A}_{\theta }}-\frac{1}{{{r}^{2}}}\left( {{A}_{\theta }}-2\frac{\partial {{A}_{r}}}{\partial \theta } \right) \right]e_{\theta }^{\to }+\vartriangle {{A}_{z}}e_{z}^{\to }$

Concours Physique École Polytechnique (PC) 1998 (Corrigé)

Première partie.

1.a)

L’énergie potentielle d’interaction $W$ du dipôle (1) $\vec m=m\vec e_z$ placé en $O$ et du dipôle (2) $\vec m=m\vec e_z$ placé en $(r,\theta,\varphi)$ est $W=-\vec m{{\:\scriptscriptstyle \bullet}\,}\vec B$ avec $\vec B={\displaystyle}\frac{\mu_o\,m}{4\pi\,r^3}\big( 2\cos\theta\:\vec e_r+\sin\theta\:\vec e_\theta\big). \\ W=-\frac{\mu_o\,m^2}{4\pi\,r^3}\,\big( 2\cos^2\theta-\sin^2\theta\big)= \frac{\mu_o\,m^2}{4\pi\,r^3}\,\big(1-3\cos^2\theta\big)$.
La force $\vec F$ exercée par le dipôle (1) sur le dipôle (2) est $\vec F=-\vec{grad}W= -\frac{{\partial}W}{{\partial}r}\ \vec e_r- \frac1r \ \frac{{\partial}W}{{\partial}\theta} \ \vec e_\theta$

$F_r=\frac{3\,\mu_o \ m^2}{4\pi \ r^4} \ \big(1-3\cos^2\theta\big) \ \ \ \ F_\theta=-\frac{3 \ \mu_o \ m^2}{2\pi \ r^4}\ \cos\theta\sin\theta.$

1.b)

A distance $r$ fixée, l’énergie $W={\displaystyle}\frac{\mu_o\,m^2}{4\pi\,r^3}\,\big(1-3\cos^2\theta\big)$ est minimale pour $\cos^2\theta$ maximal c’est-à-dire $\cos\theta=\pm 1;\ \ \theta= 0$ ou $\pi$.
Pour $\cos\theta=\pm 1\ \ \sin\theta=0,\ \ F_\theta$ est nul, la force d’interaction se réduit à la composante radiale; $\vec F=-{\displaystyle}\frac{3\,\mu_o\,m^2}{2\pi\,r^4}\,\vec e_r$; si $\theta=0\ \ \vec e_r=\vec e_z$; si $\theta=\pi\ \ \vec e_r=-\vec e_z$; dans les deux cas, la force est attractive.

2.a)

En l’absence de champ magnétique extérieur l’assemblée de particules aimantées ne possède aucune propriété magnétique macroscopique, les divers moments élémentaires $\vec\mu$ sont orientés aléatoirement, il n’y a aucune interaction notable entre les particules (le champ magnétique de l’une quelconque des particules est trop faible, au niveau de ses plus proches voisins, pour les orienter).

2.b)

L’aimantation macroscopique $\vec M$ d’une goutte de ferrofluide est liée au champ magnétique extérieur $\vec B$ par la relation $\vec M={\displaystyle}\frac{\chi_S\,\vec B}{\mu_o}$. Le quotient ${\displaystyle}\frac{\vec B}{\mu_o}$ a la dimension d’une excitation magnétique $\vec H$; or $\vec H$ et $\vec M$ ont même dimension [ cf. relation locale $\vec B=\mu_o(\vec H+\vec M)$ ]. Le coefficient $\chi_S$ est sans dimension.
$\vec M$ est supposé uniforme, $\vec m=\frac43\pi R^3\,\vec M; \ \ \vec m={\displaystyle}\frac{4\pi\chi_SR^3}{3\mu_o}\,\vec B$.

3.a)

Les gouttelettes s’alignent parce que cette configuration correspond au minimum de l’énergie d’interaction de deux dipôles adjacents (moments magnétiques et champ appliqué parallèles à $\vec e_z$).

3.b)

$G_o$ : gouttelette quelconque de la chaîne.
La chaîne est rectiligne et tous les moments élémentaires colinéaires à la chaîne. Un moment élémentaires colinéaires à la chaîne. Un moment $\vec m$ situé à la distance $pd\ (p$ entier) du point $G_o$ y crée un champ $\vec B_p={\displaystyle}\frac{2\mu_o\vec m}{4\pi\,(pd)^3}$. Par exemple, les gouttelettes $G'_2$ et $G_2$ créent en $G_o$ des champs égaux. 

Le champ magnétique $\vec B_1$ crée au niveau de l’une des gouttelette( $G_o$) par toutes les autres gouttelettes de la chaîne est dû à deux demi-chaînes infinies qui créent des champs égaux au point $G$. On a donc $\vec B_1=2\times \frac{2\mu_o\vec m}{4\pi\,d^3} \Big(1+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{4^3}+\cdots\Big)= \frac{\mu_o\vec m}{\pi\,d^3}\sum_{p=0}^{\infty}1/p^3= \frac{\mu_o\vec m}{\pi\,d^3}\zeta{{\scriptstyle}(3)};  \vec B_1=\frac{\mu_o\zeta{{\scriptstyle}(3)}}{\pi\,d^3}\,\vec m$.

3.c)

Le champ $\vec B$ agissant sur une gouttelette est dû aux sources du champ appliqué $\vec B_o$ et aux moments portés par les autres gouttelettes. $\vec B=\vec B_o+\vec B_1$.
$\vec m={\displaystyle}\frac{4\pi\chi_SR^3}{3\mu_o}\,\vec B$ (cf.2.b); $\vec B={\displaystyle}\frac{3\mu_o}{4\pi\chi_SR^3}\,\vec m. \ \ \frac{3\mu_o}{4\pi\chi_SR^3}\,\vec m=\vec B_o+ \frac{\mu_o\zeta{{\scriptstyle}(3)}}{\pi\,d^3}\,\vec m;\ \ \vec m=\frac{\pi\,\vec B_o}{\mu_o\Big({\displaystyle}\frac{3}{4\chi_SR^3}- \frac{\zeta{{\scriptstyle}(3)}}{d^3}\Big)}$

4.a)

Un dipôle $G_i$ de $Ch$ exerce sur un dipôle $G'_j$ de $Ch'$ situé à la distance $r$ la force $\vec f'_{ij}={\displaystyle}\frac{3\mu_o\,m^2}{2\pi\,r^4}\,\vec e_z$.
Chaque gouttelette de $Ch'$ est soumise à l’action d’une chaîne semi-infinie de dipôles dont l’extrémité est à la distance $d$ pour $G'_1;\ 2d$ pour $G'_2;\ 3d$ pour $G'_3$, etc.
La gouttelette $G'_i$ est soumise à la force : $\vec f'_i={\displaystyle}\frac{3\mu_o\,m^2}{2\pi}\Big( \frac{1}{(id)^4}+\frac{1}{((i+1)d)^4}+\frac{1}{((i+2)d)^4}+\cdots \Big)\vec e_z; \\ \vec f'_i= \frac{3\mu_o\,m^2}{2\pi\,d^4}\sum_{p=i}^\infty 1/p^4\:\vec e_z$; $Ch'$ est soumise à la force totale : $\vec F'=\vec f'_1+\vec f'_2+\vec f'_3+\cdots \\ \vec F'={\displaystyle}\frac{3\mu_o\,m^2}{2\pi\,d^4}\Bigg[ \Big(1+1/2^4+1/3^4+1/4^4+\cdots\Big)+ \Big(1/2^4+1/3^4+1/4^4+\cdots\Big)+ \Big(1/3^4+1/4^4+\cdots\Big)+\cdots\Bigg]\vec e_z; \\ \vec F'=\frac{3\mu_o\,m^2}{2\pi\,d^4}\Big( 1+2\times(1/2^4)+3\times(1/3^4)+4\times(1/4^4)+\cdots\Big)\,\vec e_z= \frac{3\mu_o\,m^2}{2\pi\,d^4}\,\zeta{{\scriptstyle}(3)}\,\vec e_z$.
La force $\vec F$ exercée par $Ch'$ sur $Ch$ est opposée à $\vec F'$. $\vec F_{ch}= \pm{\displaystyle}\frac{3\mu_o}{2\pi}\,\zeta{{\scriptstyle}(3)}\frac{m^2}{d^4}\,\vec e_z$.

4.b)

En fonction de l’intensité $B_o$ du champ appliqué, l’intensité de la force $F_{ch}$ est :
$F_{ch}={\displaystyle}\frac{3\mu_o\,\zeta{{\scriptstyle}(3)}}{2\pi\,d^4}\times \frac{\pi^2\,B_o^2}{\mu_o^2\Big({\displaystyle}\frac{3}{4\chi_SR^3}- \frac{\zeta{{\scriptstyle}(3)}}{d^3}\Big)^2}= \frac{3\pi\,\zeta{{\scriptstyle}(3)}\,B_o^2}{2\mu_o\Big( {\displaystyle}\frac{3}{4\chi_SR^3}-\frac{\zeta{{\scriptstyle}(3)}}{d^3}\Big)^2d^4}$.
Dans le cas où la chaîne ne contient que deux gouttelettes de moment $\vec m'$ distantes de $d$ et soumises à un champ appliqué $\vec B_o$, le champ $\vec B'_1$ de l’un des dipôles au niveau de l’autre est $\vec B'_1=\frac{\mu_o\vec m'}{2\pi\,d^3}$.
$\vec m'=\frac{4\pi\chi_SR^3}{3\mu_o}\,\vec B$ et $\vec B=\vec B_o+\vec B'_1 \frac{3\mu_o}{4\pi\chi_SR^3}\,\vec m'=\vec B_o+ \frac{\mu_o}{2\pi\,d^3}\,\vec m'; \ \ \  \vec m'=\frac{2\pi\,\vec B_o}{\mu_o\Big(\frac{3}{2\chi_SR^3}- \frac{1}{d^3}\Big)}$.
La force $\vec F_p$ entre les deux gouttelettes est $\vec F_p=\pm \frac{3\mu_o\,m'^2}{2\pi\,d^4}\,\vec e_z$ d’intensité $F_p$;
$F_p=\frac{3\mu_o}{2\pi\,d^4}\times \frac{4\pi^2\,B_o^2}{\mu_o^2\Big(\frac{3}{2\chi_SR^3}- \frac{1}{d^3}\Big)^2}= \frac{6\pi\,B_o^2}{\mu_o\Big(\frac{3}{2\chi_SR^3}- \frac{1}{d^3}\Big)^2d^4} \ \ \  \frac{F_{ch}}{F_p}=\frac{\zeta{{\scriptstyle}(3)}}{2}\times\Big( \frac{3d^3-\chi_SR^3}{3d^3-4\zeta{{\scriptstyle}(3)}\chi_SR^3}\Big)^2$.

4.c)

$F_{ch}=2,22\times10^{-13}$ N; $F_p=1,80\times10^{-13}$ N; $F_{ch}/F_p=1,23\hspace{5 mm} (F_{ch}\approx F_p)$.

Deuxième partie.

1.

Les gouttelettes de rayon $R$ sont supposées incompressibles et indéformables; en présence de la seule interaction magnétique, attractive, la distance $d$ entre deux gouttelettes est $d=2R$.

2.

La force répulsive $F_{rep}$ à courte portée ne s’exerce qu’entre deux gouttelettes voisines de la chaîne.
$F_{rep}{{\scriptstyle}(d)}={\displaystyle}\frac{3\pi\,\zeta{{\scriptstyle}(3)}\,B_o^2}{2\mu_o\Bigg( {\displaystyle}\frac{3}{4\chi_SR^3}-\frac{\zeta{{\scriptstyle}(3)}}{d^3}\Bigg)^2d^4}$.

3.a)

La chaîne rectiligne dont les gouttelettes diffractent la lumière incidente se comporte comme un réseau optique à très grand nombre d’éléments diffractants; seules les radiations correspondant à des ondes rétrodiffusées en phase par toutes les gouttelettes donnent une intensité lumineuse résultante notable.

3.b)

La différence de marche entre les ondes rétrodiffusées par deux gouttelettes voisines est $\delta=2d$. Ces ondes rétrodiffusées dans le milieu d’indice $n$ seront en phase si leur longueur d’onde dans le vide $\lambda_o$ vérifie $2nd=k\lambda_o$ où $k$ est un nombre entier. $d={\displaystyle}\frac{k\lambda_o}{2n}\ \ (k$ entier).
A.N. $\lambda_o={\displaystyle}\frac{585}{k}$ nm. La seule possibilité est $k=1\ :\ \lambda_o$ = 585 nm
L’échantillon apparaît jaune-orangé (cf. doublet D du sodium à 589 nm).

3.c)

Si on fait varier l’intensité du champ magnétique appliqué $B_o$ la force $F_{ch}$ varie, la valeur de $d$ à l’équilibre varie et par suite la couleur de la lumière rétrodiffusée varie.
Si $B_o$ augmente, $d$ et $\lambda_o$ diminuent. $d$ est borné inférieurement par la valeur $2R$. La longueur d’onde limite observable est $\lambda_{o\ell}=4nR$. Pour $R=98$ nm $\lambda_{o\ell}=521$ nm (couleur verte).

4.a)

La force répulsive entre deux gouttelettes est $F_{rep}=F_{ch}$ avec $F_{ch}={\displaystyle}\frac{3\mu_o}{2\pi}\,\zeta{{\scriptstyle}(3)}\frac{m^2}{d^4}$ (question 4.a de la première partie); avec $\lambda_o=2nd\ :\ F_{rep}={\displaystyle}\Bigg(\frac{24\,\zeta{{\scriptstyle}(3)}\,\mu_o}{\pi}\Bigg) \Bigg(\frac{m^2n^4}{\lambda_o^4}\Bigg)$.

4.b)

La mesure de la valeur $\lambda_o$ permet de calculer celle de la distance $d$, fonction de $B_o$. En augmentant l’intensité $B_o$ on peut considérer que l’on atteint la valeur limite $\lambda_{o\ell}=4nR$ qui permet de calculer la valeur de $R$; on accède ainsi à $h=d-R$.
En appliquant un champ magnétique d’intensité variable de valeur $B_o$ connue et en mesurant $\lambda_o$ on peut calculer $d, h,$ et la valeur de $F_{rep}= {\displaystyle}\frac{3\pi\,\zeta{{\scriptstyle}(3)}\,B_o^2}{2\mu_o\Bigg( {\displaystyle}\frac{3}{4\chi_SR^3}-\frac{\zeta{{\scriptstyle}(3)}}{d^3}\Bigg)^2d^4}$.

5.

Les gouttelettes chargées subissent une force répulsive $F_{el}=2\pi\varepsilon_o\varepsilon_r\psi_o^2R\kappa\exp(-\kappa h)$.
Les points expérimentaux de la figure 1 sont pratiquement alignés sur une droite qui passe par les points ($h=12$ nm, $F=1\times10^{-11}$ N) et ($h=50$ nm, $F=2\times10^{-14}$ N).
On en déduit $\kappa^{-1}=$ 6,1 nm et $\psi_o$ = 32 mV.

Troisième partie.

1.a)

La relation $\Pi=ck_BT$ est formellement identique à l’expression de la pression cinétique d’un gaz parfait monoatomique. Cette expression suppose l’absence d’interaction (en particulier de collisions) entre les particules (2), elle n’est valable que pour des valeurs très faibles de la concentration $c$.

1.b)

Il apparaît un interstice exclu pour les particules (2) entre les particules (1) pour les distances $d<d_m$ avec $d_m=2(R+r)$.

1.c)

La région interdite aux particules (2) est défini par l’angle $\theta_c$ vérifiant $(R+r)\cos\theta_c=d/2$ c’est-à-dire $\cos\theta_c=\frac{d}{\bar{R}}$. $d$ étant supérieur à $2R$, l’angle $\theta_c$ n’existe que pour $2R\leq d\leq 2\bar{R}$.

2.a)

La collision d’une particule (2) sur une particule (1) est entièrement décrite par le mouvement du centre de masse de la particule (2) qui reste à une distance supérieure ou égale à $\bar R$ du centre de la particule (1). Tout se passe comme s’il y avait collision de particules ponctuelles sur une particule sphérique dont le centre est confondu avec celui de la particule (1) et de rayon $\bar R$.

2.b)

Par hypothèse, les collisions des particules (2) sur les particules (1) ont un effet équivalent à celui d’une pression $\Pi$ uniforme. Lorsqu’il existe un insterstice exclu pour les particules (2) entre les particules (1) cette force de pression ne s’exerce que sur une partie de la sphère de rayon $\bar R$ limitant la particule (1). Par raison de symétrie, la force résultante est portée par la ligne des centres des particules (1) et a pour expression $\Pi\,S$ où $S$ est l’aire du cercle limitant la partie de la sphère soumise à la pression $\Pi$. Cette force $F_{dep}$ est équivalente à une force d’attraction entre les deux particules (1).
$F_{dep}=\Pi\,\pi(\bar{R}\sin\theta_c)^2;\ \ F_{dep}=ck_BT\pi \bar{R}^2\sin^2\theta_c$.

2.c)

$\sin^2\theta_c=1-\cos^2\theta_c=1-\Big({\displaystyle}\frac{d}{2\bar{R}}\Big)^2; \ \ \bar{R}^2\sin^2\theta_c=\bar{R}^2-{\displaystyle}\frac{d^2}{4};\ \ F_{dep}=ck_BT\pi\Big(\bar{R}^2-{\displaystyle}\frac{d^2}{4}\Big)$.

2.d)

Lorsque la distance $d$ entre les centres des particules (1) est supérieure à $d_m=2\bar R$ le volume de la solution aqueuse accessible aux particules (2) est égal au volume total moins le volume des deux particules (1) : $(2\times\frac43\pi \bar{R}^2$). Pour $d<d_m$, les volumes des deux sphères de rayons $\bar R$ ont une partie commune, le volume accessible aux particules (2) augmente. Cette augmentation est maximale pour $d=2R$. L’évolution du volume accessible aux particules (2) est semblable à celle de la force de déplétion. Cette évolution suit celle de l’entropie du système constitué par les particules (2), fonction croissante du volume qui leur est accessible.

2.e)

Application numérique : $F_{dep}=1,60\times10^{-13}$ N.

3.

La distance entre deux gouttelettes de la chaîne est $d={\displaystyle}\frac{\lambda_o}{2n}=201$ nm pour $B_o=62,7\times10^{-3}$ T.
Cette position correspond à l’équilibre entre la force attractive $F_{ch}$ et la force de répulsion d’origine électrostatique $F_{el}\ \ F_{ch}=F_{el}$ en intensité; $F_{el}={\displaystyle}\frac{3\pi\,\zeta{{\scriptstyle}(3)}\,B_o^2}{2\mu_o\Bigg( {\displaystyle}\frac{3}{4\chi_SR^3}-\frac{\zeta{{\scriptstyle}(3)}}{d^3}\Bigg)^2d^4}$.
Après ajout de polymère il y a une force attractive de déplétion $F_{dep}$.
$R$ = 98 nm; $r$ = 10 nm; $2(R+r)=216$ nm; $d$ = 201 nm; on est bien dans le cas $2R<d<2 \bar R$.
On règle le champ magnétique pour retrouver la même distance $d$ = 201 nm. La force attractive devient $F'_{ch}={\displaystyle}\frac{3\pi\,\zeta{{\scriptstyle}(3)}\,{B'}_o^2}{2\mu_o\Bigg( {\displaystyle}\frac{3}{4\chi_SR^3}-\frac{\zeta{{\scriptstyle}(3)}}{d^3}\Bigg)^2d^4}$. L’équilibre correspond à $F'_{ch}+F_{dep}=F_{el}; \\[5 mm] {\displaystyle}\frac{3\pi\,\zeta{{\scriptstyle}(3)}\,{B'}_o^2}{2\mu_o\Bigg( {\displaystyle}\frac{3}{4\chi_SR^3}-\frac{\zeta{{\scriptstyle}(3)}}{d^3}\Bigg)^2d^4}+ ck_BT\pi\Big(\bar{R}^2-{\displaystyle}\frac{d^2}{4}\Big)= \frac{3\pi\,\zeta{{\scriptstyle}(3)}\,B_o^2}{2\mu_o\Bigg( {\displaystyle}\frac{3}{4\chi_SR^3}-\frac{\zeta{{\scriptstyle}(3)}}{d^3}\Bigg)^2d^4}. \\[5 mm] {\displaystyle}\frac{3\pi\,\zeta{{\scriptstyle}(3)}\,(B_o^2-{B'}_o^2)}{2\mu_o\Bigg( {\displaystyle}\frac{3}{4\chi_SR^3}-\frac{\zeta{{\scriptstyle}(3)}}{d^3}\Bigg)^2d^4}= ck_BT\pi\Big( \bar{R}^2-{\displaystyle}\frac{d^2}{4}\Big);$ tous calculs faits : ${B'}_o=41,4\times10^{-3}$ T.

Concours Physique École Polytechnique (PC) 1997 (Énoncé)

ÉCOLE POLYTECHNIQUE
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES
CONCOURS D’ADMISSION 1997 OPTION PC
DEUXIÈME COMPOSITION DE PHYSIQUE
(Durée: 4 heures)
L’utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.

$\star \star \star$

Mesure de forces à courte portée entre deux surfaces
Ce problème a pour objet l’étude d’un appareil de mesure directe des forces d’interaction entre deux surfaces macroscopiques, non rugueuses à l’échelle atomique, en fonction de leur séparation.
Le schéma du montage expérimental est donné sur la figure 1. Deux lames minces transparentes de silice, d’aire voisine de 1 $c{m^2}$ et d’épaisseur $L$ de l’ordre de 1 à 3 $\mu m$ sont argentées sur une face, puis accolées par leur face argentée à deux autres lames transparentes également en silice, nettement plus épaisses et jouant le rôle de supports.

L’ensemble inférieur est fixé à l’extrémité d’une lame êlastique qui a les mêmes effets qu’un ressort de raideur K en ce qui concerne les déplacements verticaux. L’ensemble supérieur peut être déplacé en translation verticale à l’aide d’une céramique piézoélectrique dont l’expansion ou la contraction dépend linéairement d’une tension électrique $U$ appliquée.

Figure 1

Données numériques
Charge électrique élémentaire $e = 1,6 \times {10^{ - 19}}C$
Constante de Boltzmann ${k_B} = 1,38 \times {10^{ - 23}}J{K^{ - 1}}$
Permittivité diélectrique du vide ${\varepsilon _0} = 8,8 \times {10^{ - 12}}SI$
Les trois premières parties du problème sont totalement indépendantes.
Première partie
Cette partie est consacrée au principe de la détermination par une méthode optique de la séparation $D$ entre les lames (figure 1). Ces lames d’indice $n$ ont leurs faces planes et parallèles. Les couches d’argent, d’épaisseur négligeable, sont partiellement réfléchissantes. Une onde lumineuse incidente sur une telle couche donne naissance à une onde réfléchie et à une onde transmise. Pour une onde plane sous incidence normale, sa polarisation ne jouant aucun rôle, on adopte une description scalaire. Soient $r$ et $t$ les coefficients de réflexion et de transmission des amplitudes complexes sous incidence normale. On les supposera réels et indépendants de la longueur d’onde dans le domaine visible. On posera $R = {r^2}$ et $T = t,$ avec $R + T = 1.$
Dans un premier temps (questions 1. à 5 on suppose$D = 0$, les lames de silice étant en contact (figure 2).

Figure 2

L’onde incidente plane monochromatique de pulsation $\omega$ se propage dans le sens des $x$ croissants. On note respectivement ${\lambda ^0}$ et $\lambda$ sa longueur d’onde dans le vide et dans la silice. En régime stationnaire, on suppose que dans les lames de silice l’amplitude de la vibration optique est donnée par les expressions suivantes:
$x<0~\text{ }{{E}_{1}}\left( x,~t \right)=Re\left[ A{{e}^{i(kx-\left( vt \right)}}+B{{e}^{i\left( -kx-\omega t \right)}} \right]$
$0<x<2L\text{ }~{{E}_{2}}\left( x,~t \right)=Re\left[ C{{e}^{\iota \left( kx-\omega t \right)}}+F{{e}^{i(-kx-\omega t)}} \right]$
$x>2L\text{ }~{{E}_{3}}\left( x,~t \right)=Re\left[ G{{e}^{i\left( kx-\omega t \right)}} \right]$
1. Justifier le choix de ces trois expressions en précisant l’onde que représente chacun des 5 termes d’amplitudes $A,$ $B,$ $C,$ $F,$ $G$. Pourquoi ${{E}_{3}}\left( x,~t \right)$ ne comporte-t-il qu’un seul terme? Exprimer $k$ en fonction de $n$ et ${\lambda ^0}.$
2. $a)$ En analysant en $x = 0$ l’origine de l’onde d’amplitude$C$, exprimer $C$ en fonction de $A,$ de $F$ et à l’aide de $r$ et $t.$
b) Par une analyse semblable en$x = 2L$, exprimer $F$ et $G$ en fonction de $C.$
c) En déduire le facteur $\rho = {\left| {\frac{G}{A}} \right|^2}$. Que représente-t-il? Le mettre sous la forme:
$\rho = \frac{1}{{1 + \beta {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\varphi }}$
où $\beta$ et $\varphi$ sont à expliciter.
3. $a)$ Déterminer les valeurs de $k$ qui rendent $\rho$ maximal; on les désignera selon leurs valeurs croissantes par ${k_m},$ ${k_1}$ étant la plus petite valeur non nulle; l’entier $m$ sera appelé l’ordre de $k.$
b) Exprimer les longueurs d’onde (dans le vide) $\lambda _m^0$ correspondantes.
c) Pour $n = 1,5$ et $L = 2\mu m$, quelles sont les valeurs de $m$ telles que $\lambda _m^0$ soit dans le spectre visible?
4. On suppose $R$ très proche de 1. On prendra $R = 0,97$ pour les applications numériques.
a) Étudier la variation de $\rho$ en fonction de $k$. Préciser ses valeurs maximales ${{\rho }_{\text{ }\!\!~\!\!\text{ max }\!\!~\!\!\text{ }}}$ et minimales ${{\rho }_{\text{ }\!\!~\!\!\text{ min }\!\!~\!\!\text{ }}}$. Quelle est la valeur numérique de $\frac{{\rho }_{ max }}{{\rho }_{ min}}$?
b) Déterminer les valeurs $k_m^{'}$ et $k_m^{''}$ de $k$ correspondant à $\rho =\frac{{\rho }_{ max }}{2}$ et encadrant ${k_m}.$ Quel est l’écart $\Delta {k_m} = \left| {k_m^{''} - k_m^{'}} \right|$?
c) Soit $\Delta \lambda _m^0$ l’écart de longueur d’onde correspondant à $\Delta {k_m}$. Exprimer le rapport $\frac{{\lambda _m^0}}{{\Delta \lambda _m^0}}$ à l’aide de $R$ et de $m$ et l’évaluer numériquement. Commenter ce résultat.
5. $a)$ On éclaire maintenant les lames avec un faisceau parallèle de lumière blanche, toujours sous incidence normale. On analyse la lumière transmise à l’aide d’un spectrographe à réseau suffisamment résolvant. Qu’observe-t-on ?
b) Montrer qu’il est possible, sans connaître a priori l’épaisseur $L$, de déterminer ${1^ \cdot }$ordre $m$ à partir de la mesure d’une longueur d’onde transmise $\lambda _m^0$ et de la $p$ ième suivante $\lambda _{m + p}^0$ (on supposera que la loi de dispersion $n\left( {{\lambda ^0}} \right)$ de la silice est connue).
Dans la suite du problème, on négligera la dispersion de la silice et on prendra $n$ constant.

6. On écarte maintenant les lames de quelques dizaines de $nm$, l’intervalle d’épaisseur $D$ étant alors constitué d’un film liquide transparent d’indice$n'$. On néglige les effets de réflexion aux interfaces de ce film avec les lames de silice et on ne tiendra compte que du chemin optique supplémentaire ainsi introduit.
a) Donner dans ces conditions la nouvelle expression de $\rho$. Déterminer les valeurs $k_m^D$ de $k$ pour lesquelles $\rho$ est maximal.
b) On note $\lambda _m^D$ la longueur d’onde (dans le vide) transmise d’ordre $m$ pour $D \ne 0$. Exprimer $\delta {\lambda _m} = \lambda _m^D - \lambda _m^0.$
c) Proposer une procédure expérimentale permettant de déterminer le produit $n'D$ suppose inconnu.
d) En considérant des longueurs d’onde autour de 500 nm et en admettant que l’on peut déterminer la longueur d’onde à 0,01 nm près, avec quelle précision peut-on déterminer $n'D$ ?
Deuxième partie
1. ${L^ \cdot }$énergie potentielle d’interaction entre deux molécules isolées $i$ de type (1) et $j$ de type (2) placées respectivement en ${\vec r_i}$ et $\vec r$ est de la forme
$V({\vec r_i} - {\vec r_j}) = - \frac{{C{\alpha _1}.{\alpha _2}}}{{r_{ij}^6}}$
où $C$ est une constante positive, ${r_{ij}} = \left\| {{{\vec r}_i} - {{\vec r}_j}} \right\|$ et ${\alpha _1}$ et ${\alpha _2}$ deux paramètres positifs caractérisant le type de molécule. Pour les applications numériques, on prendra:
$C' = C{\alpha _1}{\alpha _2} = 0,7 \times {10^{ - 77}}J{m^6}$
a) Proposer une interprétation de cette interaction en précisant la signification de ${\alpha _1}$ et ${\alpha _2}$. L’interaction est-elle attractive ou répulsive?
b) On suppose que l’énergie potentielle d’interaction entre une molécule de type (1) et une molécule de type (2) n’est pas modifiée par la présence d’autres molécules proches. Dans ces conditions, calculer l’énergie potentielle d’interaction d’une molécule de type (2) avec un demi-espace homogène limité par un plan situé à une distance $d$ de la molécule de type (2) et contenant ${n_1}$ molécules de type (1) par unité de volume.
2. $a)$ En supposant toujours valable l’hypothèse d’additivité d’interaction de paire entre deux molécules, montrer que l’énergie d’interaction par unité d’aire entre deux surfaces planes parallèles séparant deux demi-espaces semi-infinis (1) et (2), homogènes, contenant respectivement ${n_1}$ et ${n_2}$ molécules par unité de volume, est de la forme
${E_{12}}\left( D \right) = \frac{{ - {A_{12}}}}{{{D^2}}}$
où $D$ est la séparation entre les deux surfaces ; préciser ${A_{12}}.$
b) Quel est le sens et l’expression de la force qui s’exerce par unité d’aire entre les deux surfaces?
c) Calculer ${A_{12}}$ pour ${n_1} = {n_2} = 3 \times {10^{28}}{m^{ - 3}}$

Troisième partie
Les deux éléments (lames argentées $+$supports) considérés dans la première partie sont supposés identiques et notés $A$ et $B$. Initialement non chargés, ils sont à présent immergés dans une solution aqueuse de chlorure de sodium que ${1^ \cdot }on$ supposera complètement dissocié. Le comportement de ces lames dans une telle solution est complexe; du fait de la dissociation des groupes silanol SiOH en surface qui libère des ions ${H^ + }$ dans la solution, l’interface silice/solution est chargée négativement. Cela entraîne en son voisinage une redistribution des ions dans la solution conduisant à un équilibre caractérisé par une densité volumique totale de charge $\rho \left( r \right)$ , un potentiel électrique $\psi \left( {\vec r} \right)$ , une pression $p\left( {\vec r} \right)$ , et une température uniforme $T$. On notera ${\psi _0}$ le potentiel électrique aux interfaces silice/solution; à grandes distances on prendra $\psi \left( {\vec r} \right) = 0$ et $p\left( {\vec r} \right) = {p_0}$. On ne tiendra pas compte des effets de pesanteur.
1. Soient ${n_ + }\left( {\vec r} \right)$ et ${n_ - }\left( {\vec r} \right)$ les nombres d’ions respectivement positifs et négatifs par unité de volume. On admet qu’ils sont donnés par les expressions
${{n}_{+}}\left( {\vec{r}} \right)={{n}_{0}}\text{ }\!\!~\!\!\text{ exp }\!\!~\!\!\text{ }\left[ -\frac{e\psi \left( {\vec{r}} \right)}{{{k}_{B}}T} \right]~\text{ }{{n}_{-}}\left( {\vec{r}} \right)={{n}_{0}}\text{ }\!\!~\!\!\text{ exp }\!\!~\!\!\text{ }\left[ +\frac{e\psi \left( {\bar{r}} \right)}{{{k}_{B}}T} \right]$
où ${n_0}$ est leur densité commune à grande distance.
a) Commenter les expressions de $n_ + \left( {\vec r} \right)$ et de ${n_ - }\left( {\vec r} \right)$ . Exprimer $\rho \left( {\vec r} \right)$ à l’aide de $n + \left( {\vec r} \right)$ et ${n_ - }\left( {\vec r} \right)$ , puis en fonction de $\psi \left( {\bar r} \right)$ .
b) Écrire la condition d’équilibre local d’un élément de volume de la solution. En déduire la surpression locale $p\left( {\vec r} \right) - {p_0}$ en fonction de $\left( {\vec r} \right)$ . On rappelle que:
$\overrightarrow {grad} f\left[ {g\left( {\vec r} \right)} \right] = f'\left[ {g\left( {\vec r} \right)} \right] \cdot \overrightarrow {grad} g\left( {\vec r} \right)$
2. On suppose les surfaces en regard des lames de silice planes, parallèles et distantes de $D$. On choisit un axe $Ox$ perpendiculaire à ces faces, l’origine $O'$ étant maintenant située sur l’une des faces. La distance $D$ étant supposée très faible devant les dimensions transversales des lames, toutes les grandeurs locales ne dépendent alors que de $x.$
On se propose d’évaluer la force par unité de surface qui s’exerce sur l’élément $A$ et qui est due à la présence de $B$ (figure 3).

Figure 3

a) On considère d’abord un plan, seul dans l’espace, uniformément charge avec la densité surfacique $\sigma$. Rappeler la direction et l’intensité du champ électrique qu’il crée en tout point.
b) On considère maintenant une plaque épaisse à faces parallèles chargée avec la densité volumique $\rho \left( x \right),$ l’axe $Ox$étant perpendiculaire à ses faces. Déterminer de même le champ électrique à l’extérieur de cette plaque. Préciser sa valeur dans le cas d’une plaque de charge totale nulle.
c) Montrer que, pour le système constitué par la solution et les éléments.4 et $B$ immergés. la charge totale de chaque moitié (gauche pour $x < \frac{D}{2}$ et droite pour $x > \frac{D}{2}$) est nulle. Quel est alors le champ électrique exercé en tout point de la moitié gauche du système par toutes les charges de la moitié droite?
d) Utiliser les résultats antérieurs (questions 1. $b$ et 2.$c$) pour déterminer sans calcul supplémentaire la force totale par unité d’aire exercée par la moitié droite sur la moitié gauche et transmise à l’élément A. L’exprimer à l’aide de $v'\left( {\frac{D}{2}} \right)$ et de ${p_0}.$
e) En dehors de la face en regard de $B,$l’élément $A$ est entouré de la solution qui subit la pression $Po$ qui règne à grande distance. Quelle est la résultante des forces (par unité d’aire) qui s:exerce sur la moitié gauche $\left( {x < \frac{D}{2}} \right)$ du système et donc sur $A$? Cette résultante est-elle attractive ou répulsive? Que devient-elle aux grandes valeurs de $D$ ?
3. L’équation reliant le potentiel $\psi \left( x \right)$ à la densité volumique de charge $\rho \left( x \right)$ dans un milieu diélectrique de permittivité $\varepsilon$ s’écrit: $\Delta \psi = - \frac{\rho }{\varepsilon }$, où $\Delta$ est l’opérateur laplacien.
a) Écrire l’équation différentielle vérifiée par $\psi \left( x \right)$ entre les lames.
La simplifier en supposant qu’en tout point $\psi \left( x \right)$ est suffisamment faible pour pouvoir remplacer sh $sh\left( {\frac{{\varepsilon \psi }}{{{k_B}T}}} \right)$ par $\frac{{e\psi }}{{{k_B}T}}$. On posera:
$a = {\left( {\frac{{2{n_0}{e^2}}}{{\varepsilon {k_B}T}}} \right)^{\frac{1}{2}}}$
b) Résoudre l’équation obtenue pour $0 < x < D$ sachant qu’aux interfaces entre la lame de silice et la solution le potentiel prend la valeur ${\psi _0}.$
c) Exprimer alors $\psi \left( {\frac{D}{2}} \right)$ en fonction de ${\psi _0},$ $a$ et $D.$
d) En déduire la force par unité d’aire qui s’exerce sur l’élément $A.$

4. La solution de $NaCl$ contient ${10^{ - 4}}$ mole/litre, soit $6 \times {10^{19}}$ ions de chaque espèce par litre. On donne $\left| {{\psi _0}} \right| = 25mV$ et $\frac{\varepsilon }{{{\varepsilon _0}}} = 80.$
a) On néglige dans le calcul de ${n_0}$ les ions ${H^ + }$ et $O{H^ - }$ de la solution. Cela vous paraît-il réaliste?
b) Calculer numériquement ${a^{ - 1}}$ pour $T = 290$ K. Les approximations effectuées en 3.a) Sont-elles justifiées?
c) Tracer l’allure du graphe de la force par unité d’aire qui s’exerce sur $A$ en fonction de $D.$
Quatrième partie
On étudie maintenant le fonctionnement de l’appareil représenté sur la figure 1. On suppose que les surfaces ne deviennent détectables que pour des séparations $D < 500{\rm{ }}nm$. On prendra la tension $U$ égale à zéro lorsque $D = {D_0} = 700nm$. Par rapport à cette position initiale, le déplacement de l’élément supérieur $A$ est alors donné par ${X_A} = \alpha A$. Comme valeurs typiques, on donne $\alpha = 1{\rm{ }}nm.{V^{ - 1}}$ et $K = 50{\rm{ }}N.{m^{ - 1}}.$
1. On note $F\left( D \right)$ la force totale qui s’exerce entre les surfaces. En explicitant la condition d’équilibre de l’élément inférieur $B$, exprimer $U$en fonction de $D,$ ${D_0},$ $F\left( D \right),$ $\alpha$ et $K$. Tracer l’allure de la courbe $U\left( D \right)$ dans les cas successifs où la force totale d’interaction $F\left( D \right)$ entre les surfaces est (a) purement répulsive, (b) purement attractive. A quelles situations physiques décrites dans le problème ces cas correspondent-ils? Proposer une méthode graphique pour la détermination de $\left( D \right)$ .

2. Dans le montage expérimental, les surfaces ne sont pas planes mais courbes. Le calcul de la force utilise les résultats précédents en faisant intervenir une surface effective. On admettra que dans le cas d’une interaction élémentaire en $\frac{1}{{{r^6}}}$ (deuxième partie), cette surface puisse être prise égale à $D$ , où $R$ correspond à un rayon de courbure que l’on prendra égale à 2 cm. Dans le cas traité dans la troisième partie, cette surface effective est prise égale à $\frac{{\pi R}}{a}$. Jusqu’à quelle distance $D$ les forces étudiées dans ce problème peuvent-elles être mesurées par cet appareil sachant que sa sensibilité est de ${10^{ - 7}}N$?

$\star \star \star$

Concours Physique ENS de Paris (PC) 2001 (Corrigé)

G. Requin ULM - PC – 2001 – (6 h)
1 – Gaz superfluide en l’absence de potentiel extérieur

1. – Equation d’état d’un gaz superfluide

1. $U=\frac{1}{2}N\iiint{\nu (\mathbf{r})\frac{N\ d\tau }{V}}=\frac{1}{2}\frac{N{}^\text{2}}{V}\gamma$, le facteur ½ pour ne pas compter deux fois les énergies mutuelles d’interaction et l’intégrale dans le volume étant remplacée par l’intégrale de − ∞ à + ∞ dans chaque direction compte tenu des courtes portées d’interaction.
2. F = U − TS ≈ U ici ; F = ½ (N²/V)γ et pour un fluide dF = − P dV, par identification on retrouve l’équation d’état (2). $\chi =-\frac{1}{V}\left( \frac{\partial V}{\partial P} \right)=\frac{2}{\gamma \rho {}^\text{2}}=\frac{1}{P}\quad \mu ={{\left( \frac{\partial F}{\partial N} \right)}_{V,T}}=\gamma \rho$
   
   1. – Quelques contraintes sur l’équilibre thermodynamique

1. (dF)_N,T,V = − T δ_iS ≤ 0 par le second principe pour toute évolution à N, T, V fixés, donc F_e est minimum à l’équilibre.
2. F est extensive : F = ½ ρ₁² γV₁ + ½ ρ₂² γV₂ = F₁ + F₂. F_e est le minimum de F à N, T, et V constant.
3. Pour une modification dV₁, dV₂ = − dV₁, dρ₁ = − (N₁/V₁²) dV₁ … alors dF = ½ (ρ₁² − ρ₂²) γ dV₁ ; à l’équilibre en l’absence de potentiel extérieur, la densité doit être uniforme dans tout le volume : (dF)_e = 0 ⇒ ρ₁ = ρ₂.
4. dN₁ = − dN₂ et dρ₁ = dN₁/V … alors dF = (ρ₁ − ρ₂) γ dN₁ ; à l’équilibre, les particules se répartissent dans les deux compartiments de manière à réaliser une densité uniforme : (dF)_e = 0 ⇒ ρ₁ = ρ₂.
5. Finalement vis à vis de toutes les modifications internes la fonction F_e = ½ ρ² γV est bien extensive et proportionnelle au volume, évidemment γ > 0 (déjà dans l’équation (2) ! ) pour avoir une fonction croissante de V ; ρ est bien intensif à l’équilibre.
   
   1. – Mélange de deux gaz superfluides

1. Par analogie avec 1-1-(a) on obtient F_{I, e} ≈ U = ½ ( N_a² / V) γ_aa + ½ ( N_b² / V) γ_bb + (N_aN_b /V) γ_ab = ( ½ ρ_a² γ_aa + ½ ρ_b² γ_bb + ρ_a ρ_b γ_ab ) V
2. F_{II, e} = $\frac{1}{2}\left( {\frac{{{N_a}^2{\gamma _{aa}}}}{\alpha } + \frac{{{N_b}^2{\gamma _{bb}}}}{{1 - \alpha }}} \right){\kern 1pt} \frac{1}{V}$
3. (∂F_II / ∂α)_{V, Na, Nb, T} = − T δ_iS = 0 pour des évolutions réversibles autour de l’équilibre sans autres forces extérieures ; cela donne ${\alpha _e} = \frac{1}{{1 + \frac{{{N_a}}}{{{N_b}}}\sqrt {\frac{{{\gamma _{bb}}}}{{{\gamma _{aa}}}}} }}$ et

F_{II e} = ½ N_a² γ_aa ( 1 + (N_b / N_a) (γ_bb / γ_aa)^1/2 )² × (1/V)

1. En reprenant la formulation de F_{I e} = ½ N_a² γ_aa ( 1 + (N_b²/N_a²)(γ_bb / γ_aa) + 2 (N_b/N_a) (γ_ab / γ_aa)) × (1/V), on doit privilégier le minimum entre ces deux fonctions soit à comparer γ_ab à (γ_aa γ_bb)^1/2 : si γ_ab < (γ_aa γ_bb)^1/2 alors F_{I e} < F_{II e} et les espèces sont miscibles mais si γ_ab > (γ_aa γ_bb)^1/2 alors F_{I e} > F_{II e} et les espèces sont non miscibles.
2. Dans le tableau il apparaît que seules les espèces a-c sont miscibles.

1. – Gaz superfluide au repos dans un piège
   
   1. – Equilibre dans un piège de forme arbitraire

1. Ici la force volumique d’interaction sera f_e = − ρ_e grad Φ_e et l’équilibre sera donné par l’équation : − grad P_e − ρ_e grad Φ_e = 0
2. − grad (½ γρ_e²) − ρ_e grad Φ_e = − ρ_e grad (γρ_e + Φ_e) = 0 et donc ρ_e (r) = − (Φ_e / γ) + C.
3. En normalisant sur le volume de piégeage N = ∫_V ρ_e (r) dτ on obtiendrait la constante.
   
   1. – Equilibre dans un piège harmonique

1. La force sur une particule matérielle est − mω² r = − k r donc une force de rappel de centre O et ω est la fréquence d’oscillation de la particule libre dans le piège.
2. D’après 2-1-(b) on obtient ρ_e(r) = − (mω²/2γ) r² + ρ_e(0) et comme ρ_e est une grandeur positive on doit avoir r ≤ R = (2γρ_e° / mω² ) ^½ ; la forme d’équilibre de la surface externe du gaz est une sphère de centre O et de rayon R.
3. ρ_e(r) = ρ_e° ( 1 − r²/R²)
4. ∫₀^R ρ_e(r) 4πr² dr = N ⇒ ρ_e° = 15 N / (8πR³)
5. En remplaçant R dans l’équation précédente il vient ${\rho _e}^0{\text{ }^{5/3}} = \frac{m{\omega ^2}}{2 \gamma }{\left( {\frac{15N}{8 \pi }} \right)^{2/3}}$ et on retiendra que ρ_e° ∼ N ^2/5.
6. 1. – Considérations thermodynamiques

1. E_h = ∫₀^R ρ_e (r) Φ_e(r) 4πr² dr = (3/7) Nγρ_e°
2. E_int = ½ ∫₀^R ρ_e (r) {ρ_e(r) ∫_-∞^+∞ ν(r) dτ }4πr² dr = (4/7) Nγρ_e°
3. En définissant l’énergie interne comme la somme de l’énergie d’interaction et de l’énergie potentielle microscopique : U = E_h + E_int, F ≅ U = Nγρ_e° à T nulle et µ = γρ_e°
4. La condition d’équilibre obtenue en 2-1 -(b) se réécrit : γρ_e (r) = − Φ_e (r) + µ…
   
   1. – Comparaison aux expériences

1. avec les données fournies on calcule ρ_e° = 1.95 10¹⁹ part.m^-3 puis R = 36.6 µm donc un diamètre théorique de 73.2 µm très proche de la donnée expérimentale.
2. On a créé une inhomogénéité de ρ (r) donc de P(r) avec une pression au centre maximum donc la sphère entre en expansion radiale.
3. (d) Le système est isolé : E_cin + E_int = Cte = E_int(0) = (4/7) Nγρ_e° ; en régime stationnaire l’énergie d’interaction devient négligeable et E_cin = (4/7) Nγρ_e° ∼ N ^7/5 soit E_cin / N ∼ N ^0.4. La régression linéaire suggérée à partir du tableau expérimental fournit ln(E_cin/N) = 0.43×ln(N) (δ = 0.43) avec un r > 0.99, l’accord est donc bon.

1. – Gaz superfluide en mouvement
   
   1. – Equations du mouvement

1. m (∂ρ/∂t) + m div ρ v = 0 (ici ρ est une densité particulaire)
2. mρ (dv/dt) = − grad P − ρ grad Φ_e
3. m (dv/dt) = − γ grad ρ(r, t) − grad Φ_e
   
   1. – Régime de réponse linéaire

1. Avec les approximations suggérées : m (∂δv/∂t) = − γ grad δρ − grad δΦ_e (du genre approximation acoustique) pour t quelconque puis pour t > τ :

(∂δv/∂t) + γ/m grad δρ = 0 ensuite : (∂δρ/∂t) + div (ρ_e(r, t) δv ) = 0

1. $\frac{{{\partial ^2}\delta \rho }}{{\partial {t^2}}} - \left( {\frac{\gamma }{m}} \right)\,{\rm{div}}\left( {{\rho _e}{\bf{grad}}\delta \rho } \right) = 0$
   
   1. – Modes propres d’un gaz superfluide homogène

1. Equation de dispersion (avec ρ_e = cte) : Ω² = (γρ_e/m) k²
2. Propagation dans la direction de k avec la célérité c = Ω/k = (γρ_e/m)^1/2 ; à priori c est indépendant de la forme de la propagation tant que les linéarisations effectuées en 3-2 sont valables.
3. c_théo = 9.96 10^-3 ms^-1 très voisin de la valeur mesurée.
   
   1. – Modes propres dans un piège harmonique

1. ρ_e(r) = − (m/2γ) (Σ ω_α² r_α²) + ρ_e(0,0,0)
2. En injectant (10) dans l’équation d’évolution de 3-2-(b) :

grad δρ = Σ_α(2A_αr _α cosΩt) u_α
div ( ) = Σ_α(∂ (….) /∂r_α) cosΩt et on obtient :
− [B + Σ(A_αr_α²)] Ω² + 2 Σ (ω_α²A_αr_α²) + (ΣA_α) (Σω_α² r_α²) − 2γρ°/m (ΣA_α) = 0
valable ∀ r_α : A_α [ 2ω_α² − Ω² ] + (ΣA_α) ω_α² = 0
et : − B Ω² − 2γρ°/m (ΣA_α) = 0 ce qui donne une condition liant Ω et les amplitudes des modes.

1. Dans Φ_e ainsi que dans δΦ_e on respecte la symétrie de révolution donc ω_x = ω_y et alors A_x = A_y dans l’équation précédente ; on obtient un système en A_x et A_z :

A_x ( 4 ω_x² − Ω² ) + A_zω_x² = 0
A_x (2 ω_z²) + A_z( 3 ω_z² − Ω²) = 0

1. Dont le déterminant doit être nul : ( 4 ω_x² − Ω² ) ( 3 ω_z² − Ω²) − 2 ω_z² ω_x² = 0 ou en X

et η : X² − ( 4 η² + 3) X + 10 η² = 0 dont les solutions sont :
${X_ \pm } = \frac{{4{\eta ^2} + 3 \pm \sqrt {16{\eta ^4} - 16{\eta ^2} + 9} }}{2}\quad {\rm{et}}\quad {\left( {\frac{{{{\rm{A}}_{\rm{z}}}}}{{{{\rm{A}}_{\rm{x}}}}}} \right)_ \pm } = \left( {\frac{{{X_ \pm }}}{{{\eta ^2}}} - 4} \right)$

1. X₊ = 740.34 et X_- = 2.498 puis (A_z/A_x)₊ = 2.7 10^-3 et (A_z/A_x)_- = − 3.98.

Avec X_- on trouve Ω = √X_- ω_z = 1.581 ω_z alors qu’expérimentalement la valeur est 1.569 ; l’écart relatif est de 7.6 10^-3, supérieur à la précision des mesures.

1. Les particules libres devraient osciller autour de 0 à ω_x = ω_y pour les modes radiaux et à ω_z pour le mode axial ; avec une perturbation d’axe Oz on devrait exciter le mode axial donc Ω = ω_z d’où X = 1 (et η = 0), les interactions couplent les modes radiaux et le mode axial.

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Concours Physique ENS de Paris (PC) 2001 (Énoncé)

J. 5117
SESSION 2001
Filière Physique‐Chimie
PHYSIQUE
(ENS : Ulm)
Durée: 6 heures
Il est conseillé d’border les différentes parties dans leur ordre d’apparition, certaines questions ayant une résolution utile pour la suite $du$ problème.
L’usage d’une calculatrice électronique de $\rho oche$ à alimentation autonome, sans imprimante, est autorisé. Une seule calculatrice à la fois est admise sur la table et aucun échange n’est autorisé entre les candidats. Le candidat est prié d’accorder une importance particulière aux applications numériques.
Tournez la page S.V.P.
Des progrès importants effectués dans les techniques de refroidissement des gaz d’atomes neutres permettent depuis 1995 d’atteindre des températures tellement basses que ces gaz perdent toute viscosité. Par analogie avec l’hélium liquide, qui perd lui aussi toute viscosité à très basse température, on parle de gaz superfluides.
On se propose d’établir ici quelques propriétés des gaz superfluides et de comparer les prédictions obtenues aux résultats expérimentaux. La partie I est consacrée à l’étude des propriétés à l’équilibre thermodynamique d’un gaz superfluide en l’absence de potentiel extérieur. La partie II considère la situation réalisée en pratique d’un gaz superfluide à l’équilibre dans un potentiel harmonique créé par un champ magnétique. La partie III détermine la réponse du gaz superfluide à une faible perturbation du potentiel harmonique. On rappelle la valeur du nombre d’Avogadro, ${{\mathcal{N}}_{a}}=6,02\times {{10}^{23}}.$

1 Gaz superfluide en l’absence de potentiel extérieur
1.1 Équation d’état d’un gaz superfluide
On considère un gaz superfluide de $N$ particules dans une enceinte de volume$V$. Les parois de l’enceinte constituent un thermostat de température$T$, avec lequel le gaz est à l’équilibre thermodynamique. Les particules interagissent deux à deux avec un potentiel d’interaction $\mathcal{V}\left( {\overrightarrow {{r_i}} - \vec r} \right)$ , où $\overrightarrow {{r_i}} ,$ $\overrightarrow {{r_j}}$ sont les vecteurs positions de deux particules quelconques $i$ et $j$ du gaz. On suppose que le potentiel d’interaction est négligeable pour deux particules séparées par une distance macroscopique de l’ordre de la taille de l’enceinte. En d’autres termes, la portée du potentiel d’interaction est négligeable devant la taille de l’enceinte. De plus, la température $T$ du gaz est si basse que l’énergie cinétique des particules est négligeable devant l’énergie d’interaction. On suppose donc que les particules sont au repos, avec des positions réparties aléatoirement avec une densité moyenne uniforme $\rho = \frac{N}{V}.$
(a) Calculer l’énergie moyenne $Udu$ gaz en fonction du nombre de particules $N,$ $du$ volume $V$ de l’enceinte et de la constante de couplage
$\gamma = \mathop \smallint \limits_{ - \infty }^{ + \infty } d{r_x}\mathop \smallint \limits_{ - \infty }^{ + \infty } d{r_y}\mathop \smallint \limits_{ - \infty }^{ + \infty } d{r_z}\mathcal{V}\left( {\vec r} \right)$ (1)
Où ${r_x},$ ${r_y},$ ${r_z}$ sont les composantes du vecteur ${r^ \to }$ dans une base orthonormée $\left( {{{\vec e}_x},{{\vec e}_y},{{\vec e}_z}} \right)$ .
(b) On admet que l’entropie du gaz tend vers zéro lorsque la température tend vers zéro. En déduire l’énergie libre$Fdugaz$, dans la limite$T \simeq O$, en fonction des quantités $N,$ $V,$ $\gamma$. Montrer que la pression $P$ du gaz est donnée par
$P = \frac{1}{2}\gamma {\rho ^2}$ (2)
Exprimer le coefficient de compressibilité isotherme $\chi$ du gaz et son potentiel chimique $\mu$ en fonction de $\gamma$ et $\rho .$
1.2 Quelques contraintes sur l’équilibre thermodynamique
Il s’agit de vérifier si l’état d’équilibre considéré à la partie 1.1 précédente est bien admissible d’un point de vue thermodynamique. Pour cela, on sépare par la pensée l’enceinte de volume $V$ en deux parties 1 et 2 de volumes respectifs ${V_1}$ et${V_2} = V - {V_1}$, et l’on partage le gaz en ${N_1}$ particules dans la zone 1 et ${N_2} = N - {N_1}$ particules dans la zone 2. Chaque zone est supposée être à l’équilibre avec le thermostat à la température$T$, avec une densité uniforme de particules ${\rho _i} = \frac{{{N_i}}}{{{V_i}}},$ $i = 1,2$. Les densités ${\rho _1}$ et ${\rho _2}$ peuvent a priori être différentes. Le raisonnement va s’appuyer sur la fonction thermodynamique ${{F}_{e}}\left( N,~T,~V \right)$ donnant l’énergie libre du gaz à l’équilibre thermodynamique pour $N$ particules dans un volume $V$ à la température $T.$
(a) Rappeler pourquoi l’énergie libre ${{F}_{e}}\left( N,~T,~V \right)$ est inférieure à l’énergie libre de tout état du système hors d’équilibre à $N,$ $T,$ $V$ fixés.
(b) Exprimer l’énergie libre totale du gaz en fonction des énergies libres des parties 1 et 2 du gaz. En déduire une équation fonctionnelle vérifiée par ${F_e}.$
(c) Traduire le fait que l’énergie libre du gaz est un minimum vis‐à‐vis d’un changement de ${V_1}$ et ${V_2}$ à ${N_1},$ ${N_2},$ $V$ constants. Interpréter physiquement les résultats.
(d) Mêmes questions pour un changement de ${N_1}$ et ${N_2}$ à ${V_1},$ ${V_2},$ $N$ constants.
(e) Appliquer les conditions obtenues en (c) et (d) à l’expression de l’énergie libre obtenue dans la partie 1.1. En déduire que le gaz doit avoir une densité uniforme à l’équilibre thermodynamique, et que seul un signe de la constante de couplage $\gamma ,$ que l’on précisera, est acceptable.

1.3 Mélange de deux gaz superfluides
On mélange deux gaz superfluides d’espèces atomiques différentes, ${N_a}$ atomes de l’espèce $a$ et ${N_b}$ atomes de l’espèce$b$, dans la même enceinte de volume$V$. Les deux gaz sont à la même température$T$, que l’on supposera très basse au sens de la partie 1.1. Les atomes de l’espèce $a$ (respectivement b) interagissent par un potentiel d’interaction ${\mathcal{V}_{aa}}\left( {\vec r} \right)$ (respectivement ${\mathcal{V}_{bb}}\left( {\vec r} \right)$ ), où ${r^ \to }$ est le rayon vecteur entre deux atomes. De plus, chaque atome de l’espèce $a$ interagit avec chaque atome de l’espèce $b$ par le potentiel ${\mathcal{V}_{ab}}\left( {\vec r} \right)$ . Comme dans la partie 1.1 on néglige l’énergie d’interaction de deux atomes quelconques séparés par une distance macroscopique de l’ordre de la taille de l’enceinte. Il s’agit de déterminer l’état d’équilibre du mélange, en choisissant parmi deux configurations possibles.
(a) Dans la configuration I, chaque gaz superfluide remplit toute l’enceinte avec une densité moyenne uniforme, ${\rho _a} = {N_a}/V$ pour l’espèce $a$ et ${\rho _b} = {N_b}/V$ pour l’espèce$b$. Calculer l’énergie libre ${F_{I,e}}$ de cette configuration en fonction des nombres de particules ${N_a},$ ${N_b},$ $du$ volume $V$ et des constantes de couplage
${{\gamma }_{aa}}~=~\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\mathop \int }}\,d{{r}_{x}}\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\mathop \int }}\,d{{r}_{y}}\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\mathop \int }}\,d{{r}_{z}}{{\mathcal{V}}_{aa}}\left( {\vec{r}} \right)$ , (3)
${{\gamma }_{bb}}~=~\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\mathop \int }}\,d{{r}_{x}}\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\mathop \int }}\,d{{r}_{y}}\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\mathop \int }}\,d{{r}_{z}}{{\mathcal{V}}_{bb}}\left( {\vec{r}} \right)$ , (4)
${{\gamma }_{ab}}~=~\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\mathop \int }}\,d{{r}_{x}}\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\mathop \int }}\,d{{r}_{y}}\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\mathop \int }}\,d{{r}_{z}}{{\mathcal{V}}_{ab}}\left( {\vec{r}} \right)$ . (5)
(b) Dans la configuration II, les deux gaz superfluides occupent des régions de l’enceinte disjointes et complémentaires, chaque gaz ayant une densité moyenne uniforme dans son domaine respectif. L’espèce $a$ occupe une fraction $\alpha du$ volume$V$, l’espèce $b$ une fraction $1 - \alpha$. Calculer l’énergie libre ${F_{II}}$ de cette configuration, en fonction de ${N_a},$ ${N_b},$ $\alpha ,$ ${\gamma _{aa}},$ ${\gamma _{bb}}$ et du volume $V.$
(c) À l’équilibre, le paramètre $\alpha$ de la configuration II prend une valeur bien précise. À l’aide d’un des principes de la thermodynamique, déterminer cette valeur ${\alpha _e}$ en fonction de ${N_{a)}}{N_b},$ ${\gamma _{aa}}$ et${\gamma _{bb}}$. En déduire${F_{II,e}}$, énergie libre de la configuration II à l’équilibre, en fonction de ${N_a},$ ${N_b},$ ${\gamma _{aa}},$ ${\gamma _{bb}}$ et du volume $V.$
(d) Parmi les configurations I et II, laquelle est la plus favorable d’un point de vue thermodynamique? On précisera les différents cas possibles suivant les valeurs des constantes de couplage. Interpréter physiquement le résultat.
(e) Le groupe de Wolfgang Ketterle, au Massachusetts Institute of Technology de Boston (MIT), a étudié des mélanges de trois espèces différentes, appelées $a,$ $b,$ $c$. Les constantes de couplage de chaque paire d’espèces sont données dans la table 1. À l’aide de la théorie développée ici, prédire si les paires d’espèces $a - b,$ $b - c$ et $a - c$ sont miscibles ou pas.

	a	b	c
a b c	$1,0 \times {10^{ - 50}}$ $1,0 \times {10^{ - 50}}$ $9,4 \times {10^{ - 51}}$	$1,0 \times {10^{ - 50}}$ $9,7 \times {10^{ - 51}}$ $1,0 \times {10^{ - 50}}$	$9,4 \times {10^{ - 51}}$ $1,0 \times {10^{ - 50}}$ $1,0 \times {10^{ - 50}}$

TAB. $1 -$ Dans l’expérience $du$ MIT sur les mélanges de trois espèces $a,$ $b,$ $c$ de $gaz$ superfluides, constantes de couplage ${\gamma _{ij}}$ en $J \cdot {m^3}$ entre les espèces $i$ et $j$, avec $i,$ $j = a,$ $b$ ou $c.$

2 Gaz superfluide au repos dans un piège
2.1 Équilibre dans un piège de forme arbitraire
Dans les expériences, le gaz superfluide est piégé, c’est‐à‐dire qu’il est confiné par un champ de forces dérivant du potentiel ${\Phi _e}\left( {\vec r} \right)$ dépendant de la position $\vec r$ des particules dans le gaz, mais indépendant du temps. La force de pesanteur est incluse dans ce champ de forces. Contrairement au modèle spatialement homogène de la partie 1, la densité ${\rho _e}\left( {\vec r} \right)$ et la pression ${P_e}\left( {\vec r} \right)du$ gaz à l’équilibre thermodynamique dépendent de la position $\vec r.$
(a) Rappeler la relation fondamentale de l’hydrostatique portant sur la pression à l’équilibre d’un fluide soumis à un champ de forces extérieures.
(b) A l’aide de l’équation d’état obtenue dans la partie 1, exprimer la densité de particules ${\rho _e}\left( {{r^ \to }} \right)$ en fonction de la constante de couplage $\gamma$ définie par l’équation (1) et du potentiel de piégeage ${\Phi _e}\left( {\vec r} \right)$ , à une constante additive près.
(c) Indiquer comment déterminer la valeur de cette constante additive, sans chercher ici à la calculer explicitement.
2.2 Équilibre dans un piège harmonique
Le plus souvent, le gaz superfluide reste confiné suffisamment près du point où le potentiel de piégeage est minimum pour que le potentiel de piégeage soit très bien représenté par son approximation harmonique. Pour simplifier, on suppose de plus dans cette partie que le potentiel ${\Phi _e}\left( {\vec r} \right)$ est isotrope:
${\Phi _e}\left( {\vec r} \right) = \frac{1}{2}m{\omega ^2}{r^2}$, (6)
où $m$ est la masse d’une particule, $r$ est le module du vecteur position $\vec{r}$ et $\omega$ une constante.
(a) Rappeler la signification physique de la quantité $\omega .$
(b) Montrer que le gaz superfluide reste effectivement confiné au voisinage de $\vec r = \vec 0.$ Quelle est la forme d’équilibre de la surface du gaz ? On appelle $R$ la distance maximale au centre du piège accessible au gaz.
(c) Exprimer la densité du gaz ${\rho _e}\left( {\vec r} \right)$ en fonction de$\vec r$, de $R$ et de la densité $\rho _e^0$ au centre du piège.
(d) On connait le nombre total $N$ de particules dans le superfluide. En déduire $\rho _e^0$ en fonction de $N$ et de $R.$
(e) Finalement, exprimer $\rho _e^0$ en fonction de $m,$ $\omega ,$ $N$ et de la constante de couplage $\gamma$ définie par l’équation (1).
2.3 Considérations thermodynamiques
On souhaite obtenir une interprétation thermodynamique de l’état d’équilibre du gaz obtenu à la partie précédente 2.2.
(a) Calculer l’énergie potentielle harmonique ${E_{harm}}$ du gaz en fonction de $N$ et $\gamma \rho _e^0.$
(b) Faire de même pour l’énergie d’interaction ${E_{int}}$ du gaz due au potentiel d’interaction $\mathcal{V}\left( {\vec r} \right)$ de la partie 1.1, en supposant que $\mathcal{V}\left( {\vec r} \right)$ est négligeable pour deux particules séparées d’une distance $r$ macroscopique de l’ordre de $R.$
(c) Exprimer l’énergie libre du gaz à $T \simeq 0$ en fonction de $\gamma \rho _e^0$ et$N$. Montrer que la quantité $\gamma \rho _e^0$ n’est autre que le potentiel chimique du gaz.
(d) Retrouver la condition d’équilibre obtenue par l’hydrostatique à l’aide d’un argument thermodynamique.

2.4 Comparaison aux expériences
On compare les prédictions théoriques précédentes à quelques résultats expérimentaux obtenus avec un gaz superfluide d’atomes de sodium ${}^{23}Na$. Ces atomes interagissent avec une constante de couplage $\gamma = 1,0 \times {10^{ - 50}}J \cdot {m^3}.$
(a) Le groupe de Lene Hau, au Rowland Institute (Boston), a mesuré un diamètre maximal de 73 $\mu m$ pour un nuage superfluide de $N = 1,6 \times {10^6}$ atomes de sodium dans un piège harmonique de paramètre $\omega = 87$ rad$\cdot {s^{ - 1}}$. Comparer à la valeur attendue théoriquement.
(b) On coupe brutalement le potentiel de piégeage. On constate alors que le gaz entre en expansion, bien que les particules soient initialement au repos, à$T \simeq 0$. Comment expliquer ce phénomène?
(c) Après un temps assez long pour que la vitesse d’expansion du gaz ait atteint un régime stationnaire, on mesure l’énergie cinétique d’expansion${E_{cin}}$du gaz. Les valeurs obtenues par le groupe de Wolfgang Ketterle, au MIT, de l’énergie d’expansion par particule pour différentes valeurs du nombre de particules dans le gaz, sont données dans la table 2. À l’aide d’une régression linéaire des résultats expérimentaux en échelle log‐log, montrer que ${E_{cin}}$ varie approximativement comme une puissance de $N$ avec un exposant $\delta$ que l’on précisera.
(d) Donner l’expression de ${E_{cin}}$ prédite par la théorie. Comparer la valeur de $\delta$ obtenue expérimentalement à la prédiction théorique.

$N$	${E_{cin}}/N$
$6,~7\times {{10}^{4}}$ $1,~3\times {{10}^{5}}$ $1,~1\times {{10}^{6}}$ $1,~3\times {{10}^{6}}$ $2,~8\times {{10}^{6}}$ $3,~3~\times {{10}^{6}}$ $3,9 \times {10^6}$ $4,~3\times {{10}^{6}}$	$3,~3\times {{10}^{-31}}$ $4,6 \times {10^{ - 31}}$ $1,~1\times {{10}^{-30}}$ $1,~1\times {{10}^{-30}}$ $1,~7\times {{10}^{-30}}$ $1,~8\times {{10}^{-30}}$ $1,~9\times {{10}^{-30}}$ $2,~0\times {{10}^{-30}}$

TAB. $2$ —Énergie d’expansion par particule en Joule, mesurée au MIT en fonction $du$ nombre de particules $N$ dans le $gaz$ superfluide.
3 Gaz superfluide en mouvement
3.1 Équations du mouvement
Le gaz superfluide, initialement à l’équilibre, est maintenant soumis à un potentiel extérieur $\Phi \left( \vec{r},~t \right)$ pouvant dépendre du temps$t$. Pour décrire le gaz superfluide en mouvement, on l’assimile à un fluide sans viscosité. On note $\rho \left( \vec{r},~t \right),$ $P\left( \vec{r},~t \right),\vec{v}\left( \vec{r},~t \right)$ la densité volumique, la pression et le champ de vitesse du fluide.
(a) Rappeler l’équation de continuité portant sur la densité de particules $\rho \left( \vec{r},~t \right)$ et le champ de vitesse $\vec{v}\left( \vec{r},~t \right)$ , traduisant la conservation de la matière.
(b) Rappeler l’équation d’Euler donnant l’évolution du champ de vitesse $\vec{v}\left( \vec{r},~t \right)$ sous l’effet du potentiel extérieur $\Phi \left( \vec{r},~t \right)$ pour un fluide sans viscosité de pression $P\left( \vec{r},~t \right)$ .
(c) À l’aide de l’équation d’état obtenue dans la partie 1 et sous l’hypothèse d’un équilibre local du gaz, transformer l’équation d’Euler en une équation sur $\vec{v}\left( \vec{r},~t \right)$ et $p\left( \vec{r},~t \right)$ .

3.2 Régime de réponse linéaire
On applique au gaz superfluide une perturbation de potentiel $\delta \Phi$ sur l’intervalle de temps $\left[ 0,~\tau \right]$:
$\Phi \left( \vec{r},~t \right)={{\Phi }_{e}}\left( {\vec{r}} \right)+\delta \Phi \left( \vec{r},~t \right)$ (7)
où ${\Phi _e}\left( {\vec r} \right)$ décrit le piège statique de la partie 2 et $\left| \delta \Phi \left( \vec{r},~t \right) \right|\ll {{\Phi }_{e}}\left( {\vec{r}} \right)$ . Cette perturbation entraîne des déviations $\delta p\left( \vec{r},~t \right)$ et $\delta \vec{v}\left( \vec{r},~t \right)$ de la densité et du champ de vitesse de leurs valeurs à l’équilibre ${\rho _e}\left( {\vec r} \right)$ et $\vec v\left( {\vec r} \right) = \vec 0.$
(a) En négligeant les termes quadratiques en les écarts à l’équilibre, obtenir des équations d’évolution linéaires pour $\delta p$ et$\delta \vec v$, sans chercher à les résoudre. Pour simplifier, on se limitera aux instants ultérieurs à la perturbation, $t > \tau .$
(b) Montrer qu’après avoir dérivé une fois par rapport au temps l’équation linéaire sur$\delta p$, il est possible d’éliminer$\delta \vec v$. En déduire une équation d’évolution portant seulement sur $\delta \rho .$
3.3 Modes propres d’un gaz superfluide homogène
On suppose que le gaz superfluide à l’équilibre remplit tout l’espace avec une densité uniforme${\rho _e}$. On souhaite déterminer les modes propres de l’équation d’évolution sur $\delta \rho .$ Pour cela, on considère une solution de la forme:
$\delta \rho \left( \vec{r},~t \right)=A\text{ }\!\!~\!\!\text{ cos }\!\!~\!\!\text{ }\left( \vec{k}\cdot \vec{r}-\Omega t \right)$ (8)
où $A,$ $\Omega$ et le vecteur réel $\vec k$ sont des constantes.
(a) Vérifier que la forme proposée convient à condition que ${\Omega ^2}$ soit une certaine fonction de $\vec k$ que l’on précisera.
(b) Interpréter physiquement le résultat obtenu. On précisera à quelle vitesse une perturbation appliquée en un point du gaz superfluide se propage. Comment cette vitesse dépend‐elle de la forme de la perturbation?
(c) Après envoi d’une impulsion laser dans un gaz superfluide d’atomes de sodium ${}^{23}Na$initialement au repos, l’équipe du MIT a constaté la propagation d’ondes de densité à une vitesse de$1 \times {10^{ - 2}}m/s$. On suppose que le gaz était initialement quasi homogène avec une densité moyenne de $3,8 \times {10^{20}}$ atomes par${m^3}$. Comparer la vitesse mesurée à la prédiction théorique.
3.4 Modes propres dans un piège harmonique
Le gaz superfluide est initialement au repos dans un potentiel de piégeage ${\Phi _e}\left( {{r^ \to }} \right)$ harmonique anisotrope:
${\Phi _e}\left( {\vec r} \right) = \frac{1}{2}m\mathop \sum \limits_{\alpha = x,y,z}^{} \omega _\alpha ^2r_\alpha ^2$ (9)
où ${r_\alpha }$ est la composante du vecteur position $\vec{r}$ sur le vecteur de base $\vec e,$ $\alpha = x,$ $y,$ $z$. On excite le gaz en modifiant faiblement l’un des paramètres ${\omega _a}$ pendant une durée$\tau$. On admet qu’on excite ainsi des modes propres du gaz superfluide de la forme
$\delta \rho \left( {{r}^{\to }},~t \right)=\left[ B+\underset{\alpha =x,y,z}{\overset{{}}{\mathop \sum }}\,{{A}_{\alpha }}r_{\alpha }^{2} \right]\text{ }\!\!~\!\!\text{ cos }\!\!~\!\!\text{ }\Omega t$ (10)
où $B$, les coefficients ${A_\alpha }$ et la pulsation $\Omega$ sont des constantes.
(a) Exprimer la densité ${\rho _e}\left( {\vec r} \right)$ du gaz à l’équilibre à une constante additive près, en fonction des ${r_\alpha },$ ${\omega _\alpha }$, de $m$ et de $\gamma .$
(b) À quelles conditions sur les coefficients ${A_\alpha }$ la forme proposée pour $\delta \rho$ satisfait‐elle l’équation d’évolution obtenue à la partie 3.2? Ces conditions peuvent‐elles être satisfaites quelle que soit la pulsation $\Omega$?

(c) Au MIT, le gaz superfluide, initialement piégé dans un potentiel à symétrie de révolution d’axe$z$, est excité pendant la durée $\tau$ par une petite modification du paramètre ${\omega _z}$ seulement. Expliquer pourquoi on a alors${A_x} = {A_y}$, et écrire les conditions que doivent satisfaire ${A_x}$ et ${A_z}.$
(d) En déduire que $X = \frac{{{\Omega ^2}}}{{\omega _z^2}}$ doit vérifier une équation du second degré que l’on précisera. Donner les solutions de cette équation en fonction du paramètre $\eta = \frac{{{\omega _x}}}{{{\omega _z}}}.$
(e) Dans l’expérience du MIT, le paramètre $\eta$ vaut 13,60. Donner les pulsations propres des deux modes excités, ainsi que les valeurs correspondantes du rapport $\frac{{{A_z}}}{{{A_x}}}.$ Expérimentalement, on constate que le gaz bat à la pulsation $1,569 \pm 0,004{\omega _z}.$ Quel est l’écart relatif entre la prédiction théorique et le résultat expérimental?
(f) À quelle fréquence devrait battre le gaz en l’absence d’interaction entre les particules? Qu’en concluez‐vous?