Concours Physique École Polytechnique (MP) 1997 (Corrige)

Réponse électronique des agrégats métalliques à une excitation électrique

Caractéristiques de l’agrégat

I-1-a Le champ créé par une répartition de charges à symétrie sphérique possède cette symétrie, c’est-à-dire que le champ électrostatique de la distribution s’écrit, en tout point, E(M)=E(r)u_r, où r représente la distance du point M au centre O de la distribution. On peut donc appliquer le théorème de Gauss sur des surfaces sphériques centrées sur le point O ; pour des points extérieurs à la distribution cela conduit à ${{\bf{E}}_ + }\left( r \right) = \frac{{Ne}}{{4\pi {\varepsilon _0}{r^2}}}{{\bf{u}}_r} = \frac{{ne{R^3}}}{{3{\varepsilon _0}{r^2}}}{{\bf{u}}_r}$ (r>R), et pour les points intérieurs à la sphère de rayon R, ${{\bf{E}}_ + }\left( r \right) = \frac{{Ne{\bf{r}}}}{{4\pi {\varepsilon _0}{R^3}}} = \frac{{ne{\bf{r}}}}{{3{\varepsilon _0}}}$ (r<R).

I-1-b La distribution des électrons ne diffère de la précédente que par le signe de sa charge, de sorte que, dans la partie commune aux deux sphères, ${{\bf{E}}_ - }\left( M \right) = \frac{{ne}}{{3{\varepsilon _0}}}{\bf{M}}{{\bf{G}}_e}$.
En appliquant le théorème de superposition, le champ résultant dans cette partie commune sera uniforme et vaudra ${{\bf{E}}_t}\left( M \right) = \frac{{ne}}{{3{\varepsilon _0}}}{\bf{O}}{{\bf{G}}_e}$. Ce champ induit une force identique sur chaque électron, soit ${\bf{f}} = - \frac{{n{e^2}}}{{3{\varepsilon _0}}}{\bf{O}}{{\bf{G}}_e}$, ce qui est compatible avec l’hypothèse de déplacement en bloc des électrons (en fait, s’ils sont initialement déplacés en bloc et abandonnés sans vitesse initiale, leur mouvement continuera à sa faire en bloc) ; ce type de mouvement est appelé mode collectif.
Les électrons étant en nombre égal à N, la force de rappel qu’ils subiront en bloc sera ${\bf{F}} = - \frac{{Nn{e^2}}}{{3{\varepsilon _0}}}{\bf{O}}{{\bf{G}}_e}$ si on considère que le nombre d’électrons extérieurs à la partie commune est très faible.
I-1-c L’application du théorème de la résultante cinétique au système des N électrons conduit à l’équation $N{m_e}\frac{{{d^2}{\bf{O}}{{\bf{G}}_e}}}{{d{t^2}}} = - \frac{{Nn{e^2}}}{{3{\varepsilon _0}}}{\bf{O}}{{\bf{G}}_e}$, soit $\frac{{{d^2}{\bf{O}}{{\bf{G}}_e}}}{{d{t^2}}} + \omega _M^2{\bf{O}}{{\bf{G}}_e} = {\bf{0}}$, où $\omega _M^2 = \frac{{n{e^2}}}{{3{m_e}{\varepsilon _0}}}$. Le mouvement est donc oscillant à la période ${T_M} = 1,22\;{\rm{fs}}$.
I-2-a Il se produira un phénomène de résonance pour des pulsations proches de w_M. La longueur d’onde dans le vide associée à cette vibration est l₀₌0,366 µm, c’est-à-dire qu’elle se situe dans le très proche ultraviolet.
Pour avoir un agrégat dont le rayon est de l’ordre de la longueur d’onde l₀, il faudrait un nombre d’ions de l’ordre de ${N_M} = n\frac{{4\pi }}{3}\lambda _0^3 = 5,1\;{10^9}$. Pour des agrégats contenant quelques milliers d’ions, on aura donc Rl₀, et on pourra considérer que le champ est uniforme sur tout le domaine occupé par l’agrégat.

I-2-b L’équation du mouvement des électrons devient
$\frac{{{d^2}{\bf{O}}{{\bf{G}}_e}}}{{d{t^2}}} + \frac{\alpha }{{{m_e}}}\frac{{d{\bf{O}}{{\bf{G}}_e}}}{{dt}} + \omega _M^2{\bf{O}}{{\bf{G}}_e} = - \frac{{e{E_m}}}{{{m_e}}}{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}\omega t}}{{\bf{e}}_z}$,
le mouvement étant donc la superposition du régime transitoire à une pulsation proche de w_M (pseudopériodique amorti si l’amortissement a est suffisamment faible) et du régime forcé à la pulsation w. Puisque, en outre, le moment dipolaire de la distribution s’écrit p=-NeOG_e, il vient
$\frac{{{d^2}{\bf{p}}}}{{d{t^2}}} + \frac{\alpha }{{{m_e}}}\frac{{d{\bf{p}}}}{{dt}} + \omega _M^2{\bf{p}} = \frac{{N{e^2}{E_m}}}{{{m_e}}}{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}\omega t}}{{\bf{e}}_z}$.
Le régime forcé sera donc caractérisé par $\left( { - {\omega ^2} - \frac{{{\rm{i}}\alpha \omega }}{{{m_e}}} + \omega _M^2} \right){\bf{p}} = \frac{{N{e^2}{E_m}}}{{{m_e}}}{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}\omega t}}{{\bf{e}}_z}$, soit p=p₀(w)e^-iwte_z où ${p_0}\left( \omega \right) = \frac{{N{e^2}{E_m}}}{{{m_e}\left( {\omega _M^2 - {\omega ^2}} \right) - {\rm{i}}\alpha \omega }}$.
I-1-c Par définition, $\Pi = \frac{{{\bf{E}} \times {\bf{B}}}}{{{\mu _0}}}$., et, puisque varie harmoniquement, $\Pi = \frac{{{\mu _0}{\omega ^4}{{\sin }^2}\theta }}{{16{\pi ^2}{r^2}c}}p{\left( t \right)^2}{{\bf{e}}_r}$. Sa valeur moyenne vaudra donc $\left\langle \Pi \right\rangle = \frac{{{\mu _0}{\omega ^4}{{\sin }^2}\theta }}{{16{\pi ^2}{r^2}c}}\left\langle {p{{\left( t \right)}^2}} \right\rangle {{\bf{e}}_r} = \frac{{{\mu _0}{\omega ^4}{{\sin }^2}\theta }}{{32{\pi ^2}{r^2}c}}p\left( t \right)p*\left( t \right){{\bf{e}}_r}$, en notation complexe, et, finalement, $\left\langle \Pi \right\rangle = \frac{{{\mu _0}{\omega ^4}{{\sin }^2}\theta }}{{32{\pi ^2}{r^2}c}}{\left| {{p_0}\left( \omega \right)} \right|^2}{{\bf{e}}_r}$.
La puissance moyenne totale rayonnée par le dipôle est égale au flux du vecteur de Poynting moyen à travers une sphère centrée sur O. Elle vaut donc $\left\langle P \right\rangle = \mathop{{\int\!\!\!\!\!\int}\mkern-21mu \bigcirc}\limits_{S\left( {O,r} \right)} {\Pi .d{\bf{S}}} = \int\limits_0^\pi {\int\limits_0^{2\pi } {{r^2}\Pi \sin \theta d\theta d\varphi } }$, soit $\left\langle P \right\rangle = \frac{{{\mu _0}{\omega ^4}}}{{12\pi c}}{\left| {{p_0}\left( \omega \right)} \right|^2}$.
I-1-d Avec le I-1-b, on peut écrire $\left\langle P \right\rangle = \frac{{{\mu _0}{\omega ^4}}}{{12\pi c}}\frac{{{N^2}{e^4}E_m^2}}{{m_e^2\left( {{{\left( {\omega _M^2 - {\omega ^2}} \right)}^2} + \frac{{{\alpha ^2}{\omega ^2}}}{{m_e^2}}} \right)}} = \sigma \left( \omega \right)\frac{1}{2}{\varepsilon _0}cE_m^2$, où $\sigma \left( \omega \right) = \frac{{8\pi }}{3}{\left( {\frac{{N{e^2}}}{{4\pi {\varepsilon _0}{m_e}{c^2}}}} \right)^2}\frac{{{\omega ^4}}}{{{{\left( {\omega _M^2 - {\omega ^2}} \right)}^2} + \frac{{{\alpha ^2}{\omega ^2}}}{{m_e^2}}}}$. La quantité $\frac{{{e^2}}}{{4\pi {\varepsilon _0}}}$ étant le produit d’une énergie par une distance et m_ec² étant une énergie, σ a bien la dimension d’une surface.

I-1-e Pour w=w_M+δw, on pourra écrire, si w_Mt≈1, $\frac{\sigma }{A} = \frac{1}{{4\frac{{\delta {\omega ^2}}}{{\omega _M^2}} + \frac{1}{{\omega _M^2{\tau ^2}}}}}$, en ne gardant δw que dans le terme $\omega _M^2 - {\omega ^2}$ et en écrivant w=w_M dans les autres termes. Pour δw=0, on a σ₀=(w_Mt)²A et pour w=0,05w_M, $\sigma = \frac{{{\sigma _0}}}{2}$, d’où w_Mt=10, et t=1,95 fs.

Réponse de l’agrégat à une excitation électrique

II-1-a Le proton attirera les électrons vers lui, de sorte que lorsque les électrons de l’agrégat seront plus proches de lui que les ions ; les charges des deux systèmes (électrons et ions de l’agrégat) étant les mêmes au signe près, le proton subira une force attractive de la part des électrons plus importante que la force répulsive des ions : il sera donc attiré par l’agrégat.
L’agrégat est un oscillateur dont les vibrations se font toujours à une pulsation très voisine de w_M ; en dehors d’un domaine étroit autour de cette pulsation, le système ne peut être notablement excité (courbe de résonance). La longueur d’onde associée est donc l₀=0,366 µm.
Le rayon d’un agrégat sphérique contenant N ions sera $R = {\left( {\frac{{3N}}{{4\pi n}}} \right)^{\frac{1}{3}}}$, donc si 10<N<1000, on aura 0,45 nm<R<2,12 nm. Un paramètre d’impact b≈10­→20 nm pourrait alors satisfaire à l’approximation proposée (on verra cependant que la part importante de cette approximation est b≈l₀).
Le potentiel crée par le dipôle p(t) en un point M de l’espace est, dans l’hypothèse des potentiels non retardés, $V = \frac{{{\bf{r}}.{\bf{p}}}}{{4\pi {\varepsilon _0}{r^3}}}$. Pour le proton on aura p=Nea(t), où a(t) représente le déplacement du nuage d’électrons ; on a donc a≈R. De plus $\left| {\frac{{{\bf{p}}.{\bf{r}}}}{{{r^3}}}} \right| < \frac{p}{{{r^2}}} < \frac{p}{{r_0^2}} \approx \frac{{NeR}}{{r_0^2}}$, où r₀ est la distance minimale d’approche du proton ; par conséquent, tout au long de la trajectoire du proton, on a $\left| {V\left( {{{\bf{r}}_p}} \right)} \right| \approx \frac{{NeR}}{{4\pi {\varepsilon _0}r_0^2}}$.
C’est dans l’hypothèse de potentiels non retardés que joue l’approximation b≈l₀ (l’approximation inverse b≈l₀ conduisant à la zone d’onde où les champs du I-2-c sont valables) ; la seconde contrainte sur b pour pouvoir faire l’approximation du champ dipolaire est b=r_e, ce qui est évidemment réalisé si b≈R, mais aussi si bR≈r_e !.

II-1-b Lorsque p et r_p sont colinéaires (et de sens opposés), le champ crée par le dipôle sur le proton vaut ${{\bf{E}}_d} = - \frac{{2{p_{\max }}}}{{4\pi {\varepsilon _0}r_p^3}}{{\bf{e}}_r}$, de sorte que la force que subit le proton est une force centrale attractive. On en déduit que, sous ces hypothèses, la trajectoire du proton est plane et que le moment cinétique et l’énergie mécanique totale du système se conservent.
A l’infini, ce moment cinétique et cette énergie valent ${\bf{L}} = - {m_p}{v_p}b{{\bf{e}}_y}$ et $E = \frac{1}{2}{m_p}v_p^2$ ; en r_p=r₀, ces grandeurs s’écrivent ${\bf{L}} = - {m_p}{r_0}{v_0}{{\bf{e}}_y}$ et $E = \frac{1}{2}{m_p}v_0^2 - \frac{{e{p_{{\rm{max}}}}}}{{4\pi {\varepsilon _0}r_0^2}}$. On en déduit que ${v_0} = \frac{b}{{{r_0}}}{v_p}$ et que $\frac{1}{2}{m_p}v_p^2 = \frac{1}{2}{m_p}v_p^2\frac{{{b^2}}}{{r_0^2}} - \frac{{e{p_{{\rm{max}}}}}}{{4\pi {\varepsilon _0}r_0^2}}$, d’où $\frac{{e{p_{{\rm{max}}}}}}{{4\pi {\varepsilon _0}}} = \frac{1}{2}{m_p}v_p^2\left( {{b^2} - r_0^2} \right)$.
Cette configuration est la “ plus attractive ” car, en réalité, p<p_max et p et r_p ne sont pas tout à fait colinéaires. Il en découle que le r₀ réel sera plus grand que celui qui est déterminé par la relation précédente et que, pour le mouvement réel, ${b^2} - r_0^2 < \frac{{2e{p_{{\rm{max}}}}}}{{4\pi {\varepsilon _0}{m_p}v_p^2}}$. Mais on a aussi p_max=Nea_maxNeR, donc $0 < {b^2} - r_0^2 < \frac{{2N{e^2}R}}{{4\pi {\varepsilon _0}{m_p}v_p^2}}$.
Puisque b>R, il vient, finalement, $\frac{{{b^2} - r_0^2}}{{{b^2}}} \approx \frac{{2N{e^2}}}{{4\pi {\varepsilon _0}R{m_p}v_p^2}} = \frac{e}{{2{\varepsilon _0}{E_p}}}{\left( {\frac{{{N^2}n}}{{6{\pi ^2}}}} \right)^{1/3}}$, où E_p est l’énergie initiale du proton en eV. Le majorant est minimum pour les petits agrégats et les grandes énergies, soit N=10 et E_p=100 keV (il prend alors la valeur 3,2 10^-4), et il est maximum pour les petites énergies et les grands agrégats, soit N=1000 et E_p=10 keV (il vaut alors 6,8%). On en déduit que dans tous les cas $\frac{{{b^2} - r_0^2}}{{{b^2}}} \approx 6,8\%$, soit $\frac{{b - {r_0}}}{b} \approx 3,4\%$. Le mouvement du proton peut donc être considéré comme étant rectiligne uniforme.
On remarque cependant que le résultat reste valable si b est de l’ordre de R et non pas seulement très supérieur à lui ; donc, tant que Rr_e, les contraintes sur b pour justifier les calculs précédents peuvent être alors réduites à r_e≈Rb≈l₀.

II-2-a Le proton est caractérisé par x_p=b, y_p=0 et z_p=v_pt.
II-2-b La force exercée par le proton sur le nuage électronique s’applique au centre de ce nuage. L’équation du mouvement du nuage sera donc $N{m_e}{{\bf{\ddot r}}_e} = - N{m_e}\omega _M^2{{\bf{r}}_e} + \frac{{N{e^2}}}{{4\pi {\varepsilon _0}}}\frac{{{{\bf{r}}_p} - {{\bf{r}}_e}}}{{{{\left\| {{{\bf{r}}_p} - {{\bf{r}}_e}} \right\|}^3}}}$.
En posant $C = \frac{{{e^2}}}{{4\pi {\varepsilon _0}{m_e}}}$ et en remarquant que r_pr_e, on peut simplifier cette équation en ${{\bf{\ddot r}}_e} + \omega _M^2{{\bf{r}}_e} = C\frac{{{{\bf{r}}_p}}}{{r_p^3}}$. En projection sur les axes, on trouve $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\ddot x}_e} + \omega _M^2{x_e} = C\frac{b}{{{{\left( {{b^2} + v_p^2{t^2}} \right)}^{3/2}}}}}\\{{{\ddot y}_e} - \omega _M^2{y_e} = 0}\\{{{\ddot z}_e} + \omega _M^2{z_e} = C\frac{{{v_p}t}}{{{{\left( {{b^2} + v_p^2{t^2}} \right)}^{3/2}}}}}\end{array}} \right.$.
II-2-c Les conditions initiales imposent y_e(t)=0.
Avec les nouvelles variables, on peut écrire ${\ddot x_e} + \omega _M^2{x_e} = \dot X - i{\omega _M}X$ (et de même pour z_e), et si on pose X(t)=l(t)exp(iw_Mt) et Z(t)=l(t)exp(iw_Mt), les équation scalaires se réduisent à $\dot \lambda \left( t \right) = C\frac{{b{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}{\omega _{\rm{M}}}t}}}}{{{{\left( {{b^2} + v_p^2{t^2}} \right)}^{3/2}}}}$ et $\dot \mu \left( t \right) = C\frac{{{v_p}t{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}{\omega _{\rm{M}}}t}}}}{{{{\left( {{b^2} + v_p^2{t^2}} \right)}^{3/2}}}}$. Les conditions initiales sont telles que l(-∞)=m(-∞)0, d’où les solutions $\lambda \left( t \right) = C\int\limits_{ - \infty }^t {\frac{{b{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}{\omega _{\rm{M}}}t}}}}{{{{\left( {{b^2} + v_p^2{t^2}} \right)}^{3/2}}}}dt}$ et $\mu \left( t \right) = C\int\limits_{ - \infty }^t {\frac{{{v_{\rm{p}}}t{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}{\omega _{\rm{M}}}t}}}}{{{{\left( {{b^2} + v_p^2{t^2}} \right)}^{3/2}}}}dt}$.
On a $\lambda \left( { + \infty } \right) = C\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{{b{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}{\omega _{\rm{M}}}t}}}}{{{{\left( {{b^2} + v_p^2{t^2}} \right)}^{3/2}}}}dt} = 2C\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{b\cos {\omega _M}t}}{{{{\left( {{b^2} + v_p^2{t^2}} \right)}^{3/2}}}}dt}$, soit $\lambda \left( { + \infty } \right) = \frac{{2C{\omega _M}}}{{v_p^2}}{K_1}\left( {\frac{{b{\omega _M}}}{{{v_p}}}} \right)$, et, de même, $\mu \left( { + \infty } \right) = C\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{{{v_p}t{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}{\omega _{\rm{M}}}t}}}}{{{{\left( {{b^2} + v_p^2{t^2}} \right)}^{3/2}}}}dt} = 2{\rm{i}}C\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{{v_p}t\sin {\omega _M}t}}{{{{\left( {{b^2} + v_p^2{t^2}} \right)}^{3/2}}}}dt}$, soit $\mu \left( { + \infty } \right) = \frac{{2{\rm{i}}C{\omega _M}}}{{v_p^2}}{K_0}\left( {\frac{{b{\omega _M}}}{{{v_p}}}} \right)$.
II-2-d Les formes asymptotiques de X et Z sont X≈l(+∞)exp(iw_Mt) et Z≈m(+∞)exp(iw_Mt) ; les solutions asymptotiques correspondantes pour x_e et z_e sont donc ${x_e}\left( {t \to + \infty } \right) = \frac{{2C}}{{v_p^2}}{K_1}\left( {\frac{{b{\omega _M}}}{{{v_p}}}} \right)\sin {\omega _M}t$ et ${z_e}\left( {t \to + \infty } \right) = \frac{{2C}}{{v_p^2}}{K_0}\left( {\frac{{b{\omega _M}}}{{{v_p}}}} \right)\cos {\omega _M}t$. Ce sont des mouvement sinusoïdaux de pulsation w_M et le centre du nuage décrit une ellipse dont le grand axe est porté par l’axe x.

II-2-e Les fonctions u²K₀(u) et u²K₁(u) sont maximales pour u1,5. $\frac{b}{{{v_p}}}$ est le temps que met le proton pour parcourir la distance b. Si l’on admet que le proton n’interagit fortement avec l’agrégat que s’il se trouve à une distance inférieure à b de M₀ (point d’approche maximale), la durée de l’interaction sera justement de l’ordre de $\frac{b}{{{v_p}}}$. Si cette durée d’interaction est du même ordre que la période du mouvement libre collectif des électrons, se produira une résonance entraînant un maximum de l’amplitude du mouvement final ; ceci se réalisera justement pour $\frac{{b{\omega _M}}}{{{v_p}}} = u~1$.
Alors, pour u≈1,5, $b \approx \frac{3}{{2{\omega _M}}}\sqrt {\frac{{2{E_p}}}{{{m_p}}}}$, soit b≈1,3 nm.
L’amplitude du mouvement des électrons est alors ${r_{e{\rm{max}}}} \approx \frac{{2C}}{{v_p^2}}{K_{\max }} = \frac{{{e^2}}}{{4\pi {\varepsilon _0}{E_p}}}{K_{{\rm{max}}}}$ où K_max0,5. On trouve donc r_emax0,14 pm.
On ne peut pas considérer que bR, mais les remarques du II-1-a et du II-1-b montrent que les conditions des approximations faites sont réalisées puisque r_e≈Rb≈l₀.
II-2-f Pour u→∞, K₀ et K₁ deviennent des équivalents, même si tous deux tendent vers 0. Le mouvement des électrons est alors circulaire de très petit rayon.
Un observateur dans le plan xOz perçoit le mouvement de l’agrégat comme se faisant périodiquement sur une droite ; il recevra donc une onde polarisée rectilignement.
Un observateur situé sur l’axe Oy voit les électrons se déplacer sur un cercle ; il recevra donc une onde polarisée circulairement.