Concours Physique Concours Commun M Physique II 1994 (Énoncé)

A 94 PHYS. II - M
ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES,
ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE,
ÉCOLE POLYTECHNIQUE
(OPTION T.A.)
CONCOURS D'ADMISSION 1994
PHYSIQUE
DEUXIÈME ÉPREUVE
OPTION M
(Durée de l'épreuve : 3 heures)
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
PHYSIQUE II - M.
L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de l'option M , comporte 7 pages.
QUELQUES PROPRIÉTÉS CARACTÉRISTIQUES DES CAVITÉS OPTIQUES
Ce problème comporte trois parties pouvant être abordées indépendamment les unes des autres. Il concerne quelques propriétés caractéristiques des cavités optiques. Dans une première partie, on étudie la structure d’une cavité parallélépipédique fermée. Dans la deuxième partie, on étudie dans le cadre de l’optique géométrique une cavité ouverte, limitée par deux miroirs sphériques ; cette confi­gu­ration pallie certaines limitations des propriétés parallélépipédiques. Les effets diffractifs dans de telles cavi­tés sont pris en compte dans la troisième partie.
Dans tout le problème, l’espace est rapporté à un repère R muni d’une base orthonormée directe (e1, e2, e3). Un champ électromagnétique, mono­chromatique de pulsation $\omega $, sera représenté par l’en­semble des vecteurs ${\bf{E}}$ et ${\bf{B}}$, de composantes respectives ${E_i}$ et ${B_i}$ (i = 1, 2 ou 3) avec, par exemple, ${E_i}(M,t) = {\mathop{\rm Re}\nolimits} \left[ {\underline {{E_i}} (M,t)} \right]$. Les cavités sont supposées être vides de charge.

PREMIÈRE PARTIE : CAVITÉ PARALLÉLÉPIPÉDIQUE FERMÉE
On considère une cavité parallélépipédique limitée par des plans infiniment conducteurs ; les longueurs des arêtes sont a1, a2 et a3 dans les directions orthogonales respectives Ox1, Ox2 et Ox3.

I-1) Donner l’équation de propagation du champ électromagné­tique monochromatique de pulsa­tion $\omega $ et préciser les conditions aux limites relatives aux champs ${\bf{E}}$ et ${\bf{B}}$.
I-2) La résolution de l'équation de propagation, compte tenu des conditions aux limites, conduit à considérer trois -et trois seulement- familles de solutions, dépendant de trois nombres entiers naturels ${m_1},{m_2}$ et ${m_3}.$ On pose ${j^2} = - 1.$ Vérifier que le champ représenté par les trois relations ci-après consti­tue une solution du problème de propagation :
$\begin{array}{l}\underline {{E_1}} ({x_1},{x_2},{x_3};t) = \underline {E_1^0} \cos \left( {{m_1}\pi \frac{{{x_1}}}{{{a_1}}}} \right)\sin \left( {{m_2}\pi \frac{{{x_2}}}{{{a_2}}}} \right)\sin \left( {{m_3}\pi \frac{{{x_3}}}{{{a_3}}}} \right)\exp \left( {j\omega t} \right)\\\underline {{E_2}} ({x_1},{x_2},{x_3};t) = \underline {E_2^0} \sin \left( {{m_1}\pi \frac{{{x_1}}}{{{a_1}}}} \right)\cos \left( {{m_2}\pi \frac{{{x_2}}}{{{a_2}}}} \right)\sin \left( {{m_3}\pi \frac{{{x_3}}}{{{a_3}}}} \right)\exp \left( {j\omega t} \right)\\\underline {{E_3}} ({x_1},{x_2},{x_3};t) = \underline {E_3^0} \sin \left( {{m_1}\pi \frac{{{x_1}}}{{{a_1}}}} \right)\sin \left( {{m_2}\pi \frac{{{x_2}}}{{{a_2}}}} \right)\cos \left( {{m_3}\pi \frac{{{x_3}}}{{{a_3}}}} \right)\exp \left( {j\omega t} \right).\end{array}$
Établir aussi la relation :
$\omega ({m_1},{m_2},{m_3}) = c\sqrt {{{\left( {\frac{{{m_1}\pi }}{{{a_1}}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{{m_2}\pi }}{{{a_2}}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{{m_3}\pi }}{{{a_3}}}} \right)}^2}} ,$ où $c$ est la célérité de la lumière.
I-3) Exprimer la relation qui, en l’absence de charge dans la cavité, lie $\underline {E_1^0} ,\underline {E_2^0} {\rm{ }}$,$\underline {E_3^0} $, ${m_1},{m_2}$ et ${m_3}$ et l'interpréter géométriquement, en faisant intervenir au besoin le vecteur ${\bf{K}}$ dont les composantes dans R sont $\frac{{{m_1}}}{{{a_1}}},\,\frac{{{m_2}}}{{{a_2}}}$ et $\frac{{{m_3}}}{{{a_3}}}.$ Déduire de l’étude qui précède que la solution la plus générale du problème de propagation correspondant à une pulsation $\omega $ donnée peut être considérée comme la combinaison linéaire de deux solutions indépendantes, appelées modes, l’une d’entre elles correspondant par exemple à $\underline {E_3^0} $ = 0.
I-4) On considère, dans cette question seulement, une cavité constituée par deux miroirs plans parfaitement conducteurs, parallèles au plan (e2, e3) et situés respectivement en x1 = 0 et x1 = a1. Décrire les modes dans cette cavité (polarisations, pulsations possibles). Indiquer une analogie mé­canique simple de cette configuration.
I-5) La relation ${{U}_{\omega }}=\underset{T\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{T},$ où ${W_\omega }\left( t \right)$ est l’énergie électromagnétique instantanée au temps t dans la cavité parallélépipédique fermée, définit l’énergie électromagnétique moyenne,${U_\omega }$, dans cette cavité. Exprimer ${U_\omega }$ sous la forme d’une intégrale sur le volume V de la cavité, faisant intervenir la re­présentation complexe du champ : $\left( {\underline {{{\bf{E}}_\omega }} ,\underline {\,{{\bf{B}}_\omega }} } \right)$ et celle de son complexe conjugué $\left( {\underline {{\bf{E}}_\omega ^ * } ,\,\underline {{\bf{B}}_\omega ^ * } } \right)$.
I-6) Montrer, à partir des équations de Maxwell, des conditions aux limites et de l’i­dentité vecto­rielle $div\,(\underline {\bf{E}} \wedge rot\underline {{{\bf{E}}^ * }} ) = rot\underline {{{\bf{E}}^ * }} .rot\underline {\bf{E}} - \underline {\bf{E}} .rot(rot\underline {{{\bf{E}}^ * }} )$, que :
$\underline{\mathbf{E}_{\omega }^{*}}d\tau ={{c}^{2}},$ où $d\tau = d{x_1}d{x_2}d{x_3}.$
En déduire que la densité volumique moyenne d'énergie électromagnétique, ${u_\omega } = \frac{{{U_\omega }}}{V}$ , s’écrit
${u_\omega } = \frac{{{\varepsilon _0}}}{{16}}\left( {{{\left| {\underline {E_1^0} } \right|}^2} + {{\left| {\underline {E_2^0} } \right|}^2} + {{\left| {\underline {E_3^0} } \right|}^2}} \right)$.
I-7) Un calcul, non demandé ici, établit qu’une estimation du nombre $M$ de modes dans le do­maine de pulsa­tions $\left[ {\omega ,\omega + \Delta \omega } \right]$ suffisamment étendu pour que $M$ soit grand devant 1, est $M \approx \frac{{V{\omega ^2}}}{{{\pi ^2}{c^3}}}\Delta \omega .$ Montrer par un calcul d’ordre de grandeur qu’une cavité parallélépipé­dique fermée du type précédent n’est absolument pas appropriée pour sélectionner un petit nombre de modes (une centaine, par exemple) dans le domaine de pulsations limitant le rayonnement visible.

DEUXIÈME PARTIE : CAVITÉ OUVERTE, À RÉFLECTEURS SPHÉRIQUES
On envisage alors (fig.1) une cavité ouverte, limitée par deux miroirs sphériques (M1) et (M2) d’épais­seur négligeable, de centres respectifs C1 et C2, de sommets respectifs S1 et S2 et de diamètre d’ou­verture commune D.
On pose : $\overline {{S_1}{S_2}} = L,\;\,\,\;\overline {O{S_1}} = - {e_1},\,\,\,\;\overline {{S_1}{C_1}} = {R_1},\;\,\,\;\overline {O{S_2}} = {e_2} = L - {e_1}\,\;$et $\overline {{S_2}{C_2}} = - {R_2}.$

fig. 1 : Cavité ouverte, limitée par deux miroirs sphériques.
(Pour des raisons de lisibilité de la figure, la dimension des miroirs a été exagérée).
On se propose d’é­tudier dans cette partie les conditions permettant de confiner dans cette cavité un rayonnement mo­nochromatique de pulsation $\omega .$ On suppose à cette fin $Inf{\kern 1pt} \,\left( {\,\left| {\overline {{S_1}{C_1}} } \right|\,,\,\left| {\overline {{S_2}{C_2}} } \right|\,,L\,} \right)\,\, > > D$ et on néglige les effets de diffraction : le rayonnement sera donc supposé se propager conformément aux lois de l’op­tique géométrique.
1. Dépliement de la cavité
II-1-1) Montrer que les hypothèses faites impliquent que les conditions de Gauss sont satisfaites.
II-1-2) Montrer que l’étude de la marche d’un rayon lumineux effectuant N aller-retours dans la cavité de la figure 1 est équivalente (fig. 2, page 4) à celle d’un rayon lumineux rencontrant N fois le même motif constitué de deux lentilles minces $\left( {{L_1}} \right)$et $\left( {{L_2}} \right)$ distantes de $L$, dont on précisera les distances fo­cales images $f_1^{'}$ et$f_2^{'}$ en fonction de ${R_1}$ et de ${R_2}.$
fig. 2 : Dépliement de la cavité
Un aller-retour est équivalent à la traversée d'un motif constitué de deux lentilles minces.
2. Propagation d’un rayon lumineux
On considère le rayon issu de $\left( {L_1^{(p)}} \right)$, émergeant à une hauteur algébrique $y_1^{(p)} = \overline {O_1^{(p)}I_1^{(p)}} $ sous un angle algébrique $\alpha _1^{(p)}$, puis émergeant de $\left( {L_2^{(p)}} \right)$ sous une hauteur$y_2^{(p)} = \overline {O_2^{(p)}I_2^{(p)}} $ et ainsi de suite.
II-2-1) Établir deux relations purement géométriques entre $\;\alpha _1^{(p)},\;y_2^{(p)},y_1^{(p)}\;$ et $L$ d'une part,
$\;\alpha _2^{(p)},\;y_1^{(p + 1)},\;y_2^{(p)}$ et $L$ d'autre part.
II-2-2) Établir aussi les deux relations de récurrence : $\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\alpha _1^{(p)} - \alpha _2^{(p - 1)} = - \frac{{y_1^{(p)}}}{{f_1^{'}}}\\\alpha _2^{(p)} - \alpha _1^{(p)} = - \frac{{y_2^{(p)}}}{{f_2^{'}}}.\end{array} \right.\\\end{array}$
II-2-3) Déduire de l’ensemble de ces résultats la relation de récurrence liant $y_2^{(p)},\;y_2^{(p + 1)}$et$y_2^{(p - 1)};$ on pourra trouver commode de poser ${u_i} = \left( {2 - \frac{L}{{f_i^{'}}}} \right),\;i = 1,2.$
3. Cavité confocale
II-3-1) Montrer qu’il est possible de choisir les caractéristiques de $\left( {{L_1}} \right)$ et de $\left( {{L_2}} \right)$ de telle manière que, pour tout p, l'on ait simultanément $y_1^{(p + 1)} = - \,y_1^{(p)}$ et $\alpha _1^{\left( {p + 1} \right)} = - \,\alpha _1^{(p)}$. Représenter ce cas particu­lier sur une figure, où l’on indiquera notamment les foyers objet $F_1^{(p)},\,\;F_2^{(p)}$ et image $F_1^{'(p)},F_2^{'(p)}$ des lentilles $\left( {L_1^{(p)}} \right)$ et $\left( {L_2^{(p)}} \right)$ du mo­tif numéro p. Construire aussi un rayon issu d’un point A sur l’axe tom­bant sur $\left( {L_1^{(p)}} \right)$ et émergeant de $\left( {L_2^{(p + 1)}} \right)$après avoir traversé $\left( {L_2^{(p)}} \right)$ et $\left( {L_1^{(p + 1)}} \right)$.
II-3-2) Justifier le fait que la cavité satisfaisant les relations de la question II-3-1) soit dite “confocale” et donner la figure 1’, déduite de la figure 1 dans ce cas particulier.
II-3-3) En s’appuyant sur une construction géométrique soignée, dont on explicitera clairement l’éla­boration, trouver l’image A’ d’un point A sur l’axe optique, après un aller-retour de la lumière dans la cavité de la figure 1’.
II-3-4) De la même manière, déterminer l’image ${\bf{A}}'{\bf{B}}'$ (respectivement ) d’un petit objet ${\bf{AB}}$ or­thogonal à l’axe optique, après un ( respectivement deux) aller retour dans la cavité de la figure 2.
4. Condition de stabilité d’une cavité fermée par deux miroirs sphériques
La cavité de la figure 1 sera dite stable si, après un nombre arbitrairement élevé de traversées du motif $\left[ {\left( {{L_1}} \right) - \left( {{L_2}} \right)} \right]$, le rayon reste proche de l’axe optique. On suppose qu’il en est effectivement ainsi et l’on pose, dans le système de la question II-2-3), $y_2^{(p)} = A\exp ip\varphi + A'\exp - ip\varphi $.
II-4-1) Déterminer l’équation vérifiée par $\varphi $ et en déduire l’inégalité traduisant la stabilité de la cavité.
II-4-2) Commenter le cas particulier d’une cavité confocale, telle qu’elle a été introduite dans la ques­tion II-3-2). Quelle est la valeur de $\varphi $ dans ce cas particulier ?

TROISIÈME PARTIE : DIFFRACTION DANS UNE CAVITÉ CONFOCALE
On considère maintenant, dans la cavité de la figure 1, les phénomènes de diffrac­tion d’un rayonne­ment mo­nochromatique de longueur d’onde dans le vide $\lambda = 2\pi \frac{c}{\omega }$. Les paramètres$L,\;\overline {{S_1}{C_1}} $ et $\overline {{S_2}{C_2}} $ sont ajustés de manière à satisfaire la condition de stabilité de la question II-4-2) et l’inégalité
$Inf{\kern 1pt} \,\left( {\,\left| {\overline {{S_1}{C_1}} } \right|\,,\,\left| {\overline {{S_2}{C_2}} } \right|\,,L\,} \right)\,\, > > D$ est toujours satisfaite.
1. Arguments qualitatifs généraux
III-1-1) Donner des exemples de pertes que peut subir le rayonnement dans la cavité. En particulier, préciser comment la diffraction d’un faisceau incident sur un miroir plan de diamètre d’ouverture $D$ peut être à l’origine de pertes d’énergie électromagnétique.
III-1-2) On pose $N = \frac{{{D^2}}}{{L\lambda }}$ ; justifier par des arguments qualitatifs que le nombre $\frac{1}{N}$ permet d’évaluer les pertes de rayonnement dus aux phénomènes de diffraction. On pourra raisonner ici sur des miroirs plans de diamètre $D$.
2. Description du rayonnement dans la cavité
On se propose d’étudier le rayonnement dans la cavité, en appliquant le principe d’Huygens-Fresnel aux deux miroirs (M1) et (M2). On admettra que le diamètre d’ouverture $D$ et la longueur $L$ séparant les sommets des miroirs (fig. 3) sont suffisamment grands pour que l’on puisse appliquer la théorie scalaire de la diffraction et on se limitera à une cavité confocale (cf. II-3-2 : ${R_1} = {R_2} = L$).
fig. 3 : Cavité confocale.
Pour des raisons de lisibilité, la dimension des miroirs et la distance qui les sépare ont été exagérés.
Soient : $\begin{array}{l}{\bf{R}}_1^{'} = {{\bf{S}}_1}{{\bf{P}}_{1 \bot }} = {{\bf{S}}_1}{{\bf{P}}_1} - ({{\bf{S}}_1}{{\bf{P}}_1}.{{\bf{e}}_z}){{\bf{e}}_z} = {x_1}{{\bf{e}}_x} + {y_1}{{\bf{e}}_y},\\{\bf{R}}_2^{'} = {{\bf{S}}_2}{{\bf{P}}_{2 \bot }} = {{\bf{S}}_2}{{\bf{P}}_2} - ({{\bf{S}}_2}{{\bf{P}}_2}.{{\bf{e}}_z}){{\bf{e}}_z} = {x_2}{{\bf{e}}_x} + {y_2}{{\bf{e}}_y},\\{\bf{R}} = {\bf{HM}} = x{\kern 1pt} {{\bf{e}}_x} + y{\kern 1pt} {{\bf{e}}_y}\quad et\quad \overline {{S_1}H} = z.\end{array}$
On note $\underline {{u_i}} ({P_1})$ l’amplitude complexe d’une onde monochromatique inci­dente sur (M1) au point ${P_1}({x_1},{y_1},{z_1})$. L’amplitude complexe $\underline {{u_d}} (M)$ diffractée par (M1) au point $M$ à l’intérieur de la cavité s’écrit alors, en supposant les miroirs parfaitement réfléchissants :
$\underline{{{u}_{d}}}\left( M \right)=A\iint_{{{S}_{1}}}{\underline{{{u}_{i}}}\left( {{P}_{2}} \right)\frac{{{e}^{jk{{P}_{1}}M}}}{{{P}_{1}}M}}d{{S}_{1}}$
où $A\;\left( {A = \frac{j}{\lambda }} \right)$est une constante sans importance pour le moment. On note de façon analogue l’amplitude $\underline {{u_i}} ({P_2})$d’une onde monochromatique incidente sur le miroir (M2), de sorte que “pour l’indice 2” :
$\underline{{{u}_{d}}}\left( M \right)=A\iint_{{{S}_{2}}}{\underline{{{u}_{i}}}\left( {{P}_{2}} \right)\frac{{{e}^{jk{{P}_{2}}M}}}{{{P}_{2}}M}}d{{S}_{2}}$

III-2-1) Commenter ces relations, en s’appuyant sur le principe de Huygens. On décrira en particulier la nature et les phases relatives des différentes ondes.
III-2-2) En supposant $D$<<z, montrer que, si ${K_1}({P_1},M) = \exp \left[ {\frac{{jk}}{{2z}}\left\{ {\left( {1 - \frac{z}{L}} \right){{\left( {R_1^{'}} \right)}^2} + {R^2} - 2{\bf{R}}.{\bf{R}}_1^{'}} \right\}} \right]$, alors : $$, où $k = \frac{{2\pi }}{\lambda }$.
Il est possible de montrer que, en régime permanent et pour une cavité confocale, les amplitudes sur (M1) et sur (M2) sont liées entre elles par les relations intégrales :
$\underline{u}\left( {{P}_{1}} \right)=\frac{A{{\gamma }_{1}}}{L}\iint_{{{S}_{2}}}{\underline{u}\left( {{P}_{2}} \right)K\left( {{P}_{2}},{{P}_{1}} \right)d{{S}_{2}}}$, et
$\underline{u}\left( {{P}_{2}} \right)=\frac{A{{\gamma }_{2}}}{L}\iint_{{{S}_{1}}}{\underline{u}\left( {{P}_{1}} \right)K\left( {{P}_{1}},{{P}_{2}} \right)d{{S}_{1}}}$,
où ${\gamma _1}$ et ${\gamma _2}$ sont des constantes complexes et $K({P_1},{P_2}) = \exp ( - \frac{{jk}}{L}{\bf{R}}_1^{'}.{\bf{R}}_2^{'}).$
III-2-3) Vérifier que, si le diamètre d'ouverture $D$ est suffisamment grand, une solution possible du système couplé de la question III-2-2) est fournie par les faisceaux gaussiens :
$\underline u ({P_1}) = {K_1}\exp - \frac{{\pi {{\left( {R_1^{'}} \right)}^2}}}{{D_1^2}}\quad {\rm{et}}\quad \underline u ({P_2}) = {K_2}\exp - \frac{{\pi {{\left( {R_2^{'}} \right)}^2}}}{{D_2^2}},$
où ${K_1}$,${K_2}$,${D_1}$ et${D_2}$ sont des constantes, ${D_1}{\rm{ et }}{D_2} < < D$. Montrer que${D_1}{D_2} = \lambda L$ et en déduire la relation liant $A,\,{\gamma _1},\,{\gamma _2}\,\,{\rm{et}}\,\lambda $. On donne, pour $\alpha \in {\Re ^ + }$ et $\beta \in \Re $ : $\text{ }=\sqrt{\frac{\pi }{\alpha }}\quad $.
III-2-4) Pour cette dernière question, il faut prendre en compte explicitement l'égalité $A\; = \frac{j}{\lambda }$.
Lorsque les miroirs sont parfaitement réfléchissants, ${\gamma _1} = {\gamma _2} = \exp {\kern 1pt} \,( - {\kern 1pt} jkL).$ Montrer que cette rela­tion implique que les pulsations des modes permis dans la cavité sont $\omega = {\omega _m} = \left( {2m + 1} \right)\frac{{\pi c}}{{2L}}.$ Quelle est alors la relation (dépendant de $m$) entre ${D_1},{D_2},{K_1}\;\,et\;\,{K_2}\;?$
Conclure en comparant les propriétés de sélectivité de mode entre une cavité parallélépipédique fer­mée et une cavité confocale ouverte.

Concours Physique Concours Commun M et P’ Physique I 1994 (Énoncé)

A 94 PHYS. I - M, P’
ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES,
ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE,
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (OPTION T.A.)
CONCOURS D'ADMISSION 1994
PHYSIQUE
PREMIÈRE ÉPREUVE
OPTIONS M et P'
(Durée de l'épreuve : 3 heures)
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la co­pie : PHYSIQUE I.
L'énoncé de cette épreuve, commune aux candidats des options M et P', comporte 6 pages.
L’épreuve est constituée de deux problèmes indépendants entre eux et que l’on pourra aborder dans l’ordre qu’on voudra.
On étudie dans ce problème le fonctionnement et la mise en œuvre de circuits présentant le phé­nomène de résistance différentielle négative, c’est-à-dire tels que le rapport $r = \frac{\Delta e}{\Delta i}$ des pe­tites variations de tension et de courant autour d’un point de repos soit négatif. Les amplifica­teurs opérationnels AO (fig.1a) intervenant dans les divers montages auront des cou­rants d’en­trée ${i_1}$ et ${i_2}$ nuls et leur impédance d’entrée sera considérée comme infinie.

fig.1 a : Notations pour AO fig. 1b : Circuit pouvant exhiber $r = \frac{\Delta e}{\Delta i}<0$
Première partie : Réalisation de circuits d’impédance différentielle négative
On considère d’abord que le gain des amplificateurs est infini ; dans ces conditions, le régime li­néaire de fonctionnement se caractérise par ${V_1} = {V_2}$ ; autrement, la tension de sor­tie est
${V_s} = signe\left( {{V_2} - {V_1}} \right) \times E$ (régime dit de saturation,$E = 15V$ = tension de satura­tion ).

I -1) Déterminer la relation $i\left( e \right)$ dans le circuit de la figure 1b, d’abord en régime linéaire, puis en régime de saturation. Pour quelles inégalités portant sur $e$ ce dernier régime est-il possible (distinguer les cas ${V_s} = \pm E$) ?
I -2) Représenter le graphe complet de la relation $i\left( e \right)$ lorsque ${R_0} < R$, en précisant les points particuliers et les différents domaines de fonctionnement.
On considère maintenant que la tension de sortie des amplificateurs opérationnels s’exprime en fonction de la tension d’entrée par ${V_s} = A\left( {{V_2} - {V_1}} \right)$, où $A$ est un nombre réel très grand de­vant 1. Les relations entre tensions et courants dans le circuit représenté sur la figure 2a (redessinée en 2b) sont linéaires et peuvent donc s’écrire, avec les conventions habituelles re­latives aux gran­deurs complexes décrivant le régime harmonique : $\begin{array}{l}\underline {{I_1}} = \underline {{Y_{11}}} \,\underline {{V_1}} + \underline {{Y_{12}}} \,\underline {{V_2}} \\\underline {{I_2}} = \underline {{Y_{21}}} \,\underline {{V_1}} + \underline {{Y_{22}}} \,\underline {{V_2}} \end{array}$, soit, en notation matricielle : $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\underline {{I_1}} }\\{\underline {{I_2}} }\end{array}} \right] = \left[ {\underline Y } \right]\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\underline {{V_1}} }\\{\underline {{V_2}} }\end{array}} \right]$. La matrice $\left[ {\underline Y } \right]$ ainsi intro­duite s’appelle matrice ad­mit­tance.

fig. 2a : Un circuit à AO fig. 2b : Circuit 2a, présenté comme un quadripôle
Remarquer que les courants sont comptés positivement quand ils entrent dans le qua­dri­pôle.
I-3) Calculer la matrice$\left[ {\underline Y } \right]$ relative au circuit considéré.
I-4) Quelle est, dans le cas général, la matrice $\left[ {\underline Y } \right]$ relative à deux quadripôles de matrices admittances res­pectives $\left[ {\underline {Y\,'} } \right]$ et $\left[ {\underline {Y\,''} } \right]$, montés en pa­rallèle (c’est-à-dire en reliant ensemble leurs bornes homo­logues) ?
I-5) Calculer, pour le circuit de la fig. 2, la matrice $\left[ {\underline M } \right]$ définie par $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\underline {{V_2}} }\\{\underline {{I_2}} }\end{array}} \right] = \left[ {\underline M } \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\underline {{V_1}} }\\{\underline {{I_1}} }\end{array}} \right]$. Que devient cette relation lorsque $A$ tend vers l’infini ? Quelle relation existe-t-il alors entre les grandeurs réelles ${V_1}$ et ${V_2}$ d’une part, ${i_1}$ et ${i_2}$ d’autre part ?

I-6) Soit $\underline {{Z_1}} $ l’impédance d’entrée du montage précédent, c’est-à-dire, comme indiqué à la figure 3a, l’impédance du dipôle entre la masse et la borne (1), lorsque l’on place une charge d’impédance complexe entre la masse et la borne (2). Soit de même$\underline {{Z_2}} $ l’impédance de sortie du montage de la figure 3b. Exprimer $\underline {{Z_1}} $ et $\underline {{Z_2}} $ en fonction de ${R_1},{R_2}$ et $Z$.

fig. 3a : Montage pour $\underline {{Z_1}} $ d’un quadripôle fig. 3b: Montage pour $\underline {{Z_2}} $ d’un quadripôle
I-7) On pose $K = \frac{{{R_1}}}{{{R_2}}}$. Donner l’expression des impédances $\underline {{Z_1}} $ et $\underline {{Z_2}} $ en fonction de $K$ dans les deux cas suivants : $\underline Z = R$ d’une part, $\underline Z = \frac{1}{{jC\omega }}$ d’autre part, impédance capaci­tive.
Deuxième partie : Réalisation d’un gyrateur
Un gyrateur est un quadripôle travaillant en régime linéaire sinusoïdal dont la matrice admit­tance s’écrit :$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\underline {{I_1}} }\\{\underline {{I_2}} }\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - \frac{Y}{a}}\\{aY}&0\end{array}} \right]\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\underline {{V_1}} }\\{\underline {{V_2}} }\end{array}} \right]$. Les courants sont comptés positi­ve­ment lors­qu’ils en­trent dans le quadripôle, $Y$ est une admittance réelle positive et $a$ est un réel posi­tif.
II-1) Quel est le rapport entre la puissance moyenne sortante et la puissance moyenne en­trante ?
II-2) En déduire qu’un gyrateur fermé sur un composant qui ne consomme pas de puis­sance simule à l’entrée un composant qui ne consomme pas non plus de puissance.
II-3) Que peut-on dire du quadripôle si $a$ est strictement plus grand que l’unité ?
II-4) Exprimer$\underline {{Z_1}} $ , impédance d’entrée du gyrateur, en fonction de$\underline {{Z_u}} $ impédance placée en sortie. Préciser ces expressions lorsque le quadripôle est fermé sur une inductance $L$, ou sur une capa­cité $C$. C’est plutôt sous cette dernière forme que le gyrateur est généralement uti­lisé. Quelle en est, selon vous, la raison ?

II-5) On considère que dans le schéma de la figure 4, l’amplificateur fonctionne en régime li­néaire. Déterminer la relation entre ${R_1},\;{R_2},\;{R_3}$ et ${R_4}$ pour que la matrice admittance du quadri­pôle ainsi formé soit : $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{{{R_1}}}}&{ - \frac{1}{{{R_1}}}}\\{\frac{1}{{{R_4}}}}&0\end{array}} \right]$.

fig. 4 : Schéma de la question II-5) fig. 5 : Une réalisation de gyrateur (question II-9))
II-6) Représenter par ses éléments un quadripôle dont la matrice admittance est : $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{{{R_1}}}}&0\\0&0\end{array}} \right]$.
II-7) Représenter par ses éléments un quadripôle dont la matrice admittance est : $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - \frac{1}{{{R_1}}}}&0\\0&0\end{array}} \right]$. On utilisera à cet effet un amplificateur opérationnel, deux résistors de même ré­sistance$R$ et un résistor de résistance ${R_1}$.
II-8) Comment brancher le quadripôle déterminé à la question II-7) sur celui de la fig. 4 pour obtenir un gy­ra­teur ?
II-9) Avec le moins de calculs possibles, montrer que le schéma de la fig. 5 réalise un gyra­teur et, toujours dans le cadre d’un régime de fonctionnement linéaire, don­ner les valeurs de $Y$ et de $a$ qui lui sont associées.
Troisième partie : Utilisation du gyrateur
III-1) La fig. 6 représente le gyrateur G de la fig. 5 fermé sur l’association de $R$ et ${C_2}$ mon­tés en parallèle . Déterminer l’expression de la transmittance $\frac{\underline{{{V}_{s}}}}{\underline{{{V}_{e}}}}$du filtre ainsi réalisé (on pourra poser $\omega _0^2 = \frac{1}{{R_1^2{C_1}{C_2}}}$ et $Q = R{C_2}{\omega _0}$). Qu’a-t-on ainsi simulé ?

fig. 6 Filtre accordable utilisant un gyrateur
III-2) Quel est le rôle de l’amplificateur opérationnel en fin de montage ?
III-3) Donner l’expression de la fréquence d’accord, de la largeur de bande passante et du facteur de qualité de ce filtre, en fonction de la valeur de ses composants. Montrer que les ré­glages de la bande passante et de la fréquence d’accord sont indépendants l’un de l’autre.
FIN DE CE PROBLÈME

Première partie : Superposition d’écoulements
On considère l’écoulement d’un fluide incompressible parfait défini par le champ de vitesse ${\vec V_1} = \frac{\lambda }{{2\pi {r_1}}}{\vec u_1}$, où $\lambda $ est une constante réelle et ${r_1},\;{\theta _1}$ et $z$ les coordonnées cylindriques d’un point M par rapport au point A1 de coordonnées $\left( { - a,\;0,\;0} \right)$ dans un repère galiléen $\left( {O,\;x,\;y,\;z} \right)$ muni de la base orthonormée $\left( {\vec x,\;\vec y,\;\vec z} \right)$. Le point $H$ (fig. 1) étant la projection du point M sur le plan $\left( {xOy} \right)$, on a : $\vec{A_{1}M}= {r_1}{\vec u_1} + z\vec z$, où ${\vec u_1}$est le vecteur unitaire porté par $vec{A_{1}H}$.
I-1) Montrer que la circulation du vecteur ${\vec V_1}$ entre deux points A et B est indépendante du chemin suivi et déterminer le potentiel $\varphi {'_1}\left( {{r_1}} \right)$ associé à cet écoulement $\left( {{{\vec V}_1} = + {\bf{grad}}\left( {\varphi _1^{'}} \right)} \right)$, sa­chant qu’il est par conven­tion nul pour une certaine valeur ${r_0}$ de ${r_1}$.
I-2) Cet écoulement suit-il la loi de Laplace $\Delta \varphi _1^{'} = 0$?

fig. 1 : Écoulement défini par ${\vec V_1} = \frac{\lambda }{{2\pi {r_1}}}{\vec u_1}$ fig. 2 : Écoulement défini par ${\vec V_1} + {\vec V_2}$(cf. I-3))
I-3) On superpose à l’écoulement précédent le nouvel écoulement défini par le champ de vi­tesse ${\vec V_2} = \frac{{ - \lambda }}{{2\pi {r_2}}}{\vec u_2}$, avec $\vec{A_{2}M}= \vec{A_{2}H}+ \vec{HM}={r_2}{\vec u_2} + z\vec z$ (fig. 2), les coordonnées du point A2 étant $\left( {a,\;0,\;0} \right)$. Quelle est l’expression du potentiel des vitesses ${\varphi _1}\left( {{r_1},\;{r_2}} \right)$ associé à l’écou­lement ré­sultant, l’origine des potentiels étant prise dans le plan $\left( {yOz} \right)$ ?
I-4) On fait tendre $a$ vers 0 et $\lambda $ vers l’infini, de telle sorte que le produit $2\lambda a=M$soit constant. Montrer que le potentiel en coordonnées cylindriques (vecteurs unitaires ${\vec u_r}$ et ${\vec u_\theta }$) s’écrit alors ${{\varphi }_{1}}=\frac{M\cos \theta }{2\pi r}$, où $\theta $ est l’angle entre $Ox$ et $OH$ (voir fig. 2).
I-5) Déterminer l’équation des lignes de courant ; tracer rapidement leur allure.
I-6) On superpose à cet écoulement un écoulement uniforme, de vitesse $\vec u = u\vec x$. Montrer qu’il existe pour l’écoulement résultant une ligne de courant circulaire d’axe $Oz$, dont on préci­sera le rayon $R$ en fonction de $M$ et de $u$. Donner alors, qualitativement, la forme des lignes de courant ; on distinguera les cas $r$<$R$ et $r$>$R$.

I-7) Un cylindre rigide immobile de rayon $R$ est immergé dans le fluide. La vitesse du fluide pour $r$ très grand devant $R$ est uniforme et égale à $\vec u = u\vec x$. Montrer qu’à l’extérieur du cy­lindre le régime d’écou­lement trouvé en I-6) est solution du problème en présence du cylindre. Existe-t-il des points de vitesse nulle ? Quel est le potentiel ${\varphi _t}$ de l’écoulement ? Voyez-vous une analogie, magnétostatique ou électrostatique, à ce problème d’écoulement ?
I-8) On superpose enfin un dernier écoulement, défini par la vitesse ${\vec V_3}$ pour $r$>$R$: ${\vec V_3} = \frac{C}{{2\pi r}}{\vec u_\theta }$, où $C$ est une constante. Montrer que cet écoulement dérive d’un potentiel ${\varphi _3}$, dont on ne demande pas d’établir l’expression. Quelle est la circulation du vecteur ${\vec V_3}$ sur une courbe fermée dans les deux cas où l’origine est à l’intérieur ou à l’extérieur de la courbe ? Voyez-vous une analogie, magnétostatique ou électrostatique, à ce problème d’écoulement ?
Deuxième partie : Voile de Flettner
Un bateau est muni d’un cylindre vertical de rayon $R$ et de hauteur $h$, tournant autour d’un axe vertical à la vitesse angulaire $\vec \omega = \omega \vec z$. Le vent souffle avec une vitesse uniforme constante $\vec u = u\vec x$. L’écoulement de potentiel des vitesses ${\varphi _t}$ de la question I-7) correspond à l’écoule­ment du vent autour du cylindre de rayon $R$, satisfaisant aux conditions aux limites. L’écoulement de potentiel des vitesses ${\varphi _3}$ de la question I-8) correspond à l’effet d’entraîne­ment de l’air (de masse volumique $\rho $) par la rotation du cylindre.
II-1) Donner la relation entre la constante $C$ et $\omega $. On remarquera que, dans ce modèle, la vitesse du vent sur le cylindre est celle du cylindre, autrement dit que la vitesse tangentielle ne s’annule pas sur la paroi du cylindre (ce point relève, en fait, de la viscosité) .
II-2) Calculer, en coordonnées polaires, les composantes de la vitesse résultante pour $r$>$R$.
II-3) Sachant que, loin du bateau, le vent n’est pas perturbé et que la pression est égale à la pression atmosphérique normale ${p_c}$, déterminer, en fonction de l’angle $\theta $, la pression autour du cylindre ($r$=$R$).
II-4) Quelle est, en fonction de $R$, $C$, $\vec u$, $\vec z$ et de la masse volumique de l’air $\rho $, la résul­tante des forces de pression par unité de hauteur sur le cylindre ? On pourra aussi bien expri­mer le résultat en fonction de $R$, $\rho $, $\vec u$ et $\vec \omega $.
II-5) Préciser sur un schéma le sens de rotation du cylindre correspondant à une force pro­pulsive. Quelle est l’allure du vent la plus favorable (vent de près, vent de travers et vent arrière sont précisés sur la figure 3-a).

fig. 3a : Allures du vent fig. 3b : Voile classique et vent (cf. II-7)) fig. 3c : Bordage optimal

II-6) La vitesse du vent est $10$m.s-1 ; la masse volumique de l’air est $1,3$ kg.m-3. Le cylindre a une hauteur de $10$m et un rayon de $30$cm ; $\omega = 30\;{\rm{rad}}{\rm{.}}{{\rm{s}}^{ - {\rm{1}}}}$. Calculer la valeur numérique maximale de la force propulsive.
Troisième partie : Comparaison avec une voile classique
III-1) Une voile plane d’aire $\Sigma $ et de vecteur unitaire normal $\vec \sigma $ reçoit une veine de vent de vi­tesse $\vec u$ sous l’angle $\alpha $ et la réfléchit selon la loi de Descartes (fig. 3-b). Quel est le vecteur force exercé par le vent sur la voile ? On pourra introduire le débit $D = \rho \Sigma u\sin \alpha $.
III-2) Le bateau reçoit le vent par le travers (fig. 3-c), l’axe du bateau est perpendiculaire au vent relatif. Quelle est dans ces conditions, en fonction de $\rho $, $u$, $\Sigma $ et $\alpha $ la composante pro­pulsive de la force précédente ?
III-3) Pour quelle valeur de $\alpha $ cette composante est-elle maximale ? De quel type de vent s’agit-il ? Calculer numéri­quement la force propulsive maximale avec le même vent qu’en II-6) ($u = 10\,{\rm{m}}{\rm{.}}{{\rm{s}}^{ - {\rm{1}}}},\;\rho = 1,3\,{\rm{kg}}{\rm{.}}{{\rm{m}}^{ - {\rm{3}}}}$) pour une voile de $25$m2. Comparer avec le cylindre de Flettner (le maximum de la fonction $\left( {{{\sin }^2}\alpha } \right)\cos \alpha $ vaut $0,385$).
FIN DE CE PROBLÈME

Concours Physique ENS de Cachan et Lyon 1994 (Corrigé)

E.N.S. Cachan et Lyon 1994; physique; durée 4 h.

A.I.1°) $\Delta \varphi = \frac{{2\pi }}{\lambda }\delta $ avec $\delta =H{{M}_{2}}H'=({{\vec{u}}_{i}}-{{\vec{u}}_{t}}).\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{M}_{1}}{{M}_{2}}}}\,$, ${\vec k_i} = \frac{{2\pi }}{\lambda }{\vec u_i}$, ${\vec k_t} = \frac{{2\pi }}{\lambda }{\vec u_t}$
\( \Rightarrow \Delta \varphi = \overrightarrow {{M_1}{M_2}} .\left( {{{\overrightarrow k }_i} - {{\overrightarrow k }_t}} \right)\)
\(\Delta \varphi = \left( {{{\overrightarrow R }_2} - {{\overrightarrow R }_1}} \right)\left( {{{\overrightarrow k }_i} - {{\overrightarrow k }_t}} \right)\)
A.I.2°) $\Delta \varphi = 2\pi n,\;n \in Z$
A.I.3°) $\Delta \varphi = [({l_2} - {l_1})\vec a + ({m_2} - {m_1})\vec b + ({n_2} - {n_1})\vec c].\vec K = 2\pi n\;\forall \;{l_1},{l_2},{m_1},{m_2},{n_1},{n_2}$
si ${l_2} - {l_1} = 1,\;{m_2} - {m_1} = 0,\;{n_2} - {n_1} = 0$ soit $\vec K.\vec a = 2\pi p$
et ${l_2} - {l_1} = 0,\;{m_2} - {m_1} = 1,\;{n_2} - {n_1} = 0$ soit $\vec K.\vec b = 2\pi q$
et ${l_2} - {l_1} = 0,\;{m_2} - {m_1} = 0,\;{n_2} - {n_1} = 1$ soit $\vec K.\vec c = 2\pi r$ avec $(p,q,r) \in {Z^3}$ et $\vec K = {\vec k_i} - {\vec k_t}$
On peut développer $\vec K$ dans la base des vecteurs réciproques: $\vec K = \alpha \vec A + \beta \vec B + \gamma \vec C$ et tenir compte que $\vec a.\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over A} = 2\pi $, $\vec a.\vec B = 0$ et $\vec a.\vec C = 0$ d’où $\vec K.\vec a = 2\pi \alpha = 2\pi p$ et $\alpha = p$ et de même $\beta = q$, $\gamma = r$; on en déduit:
$\vec K = p\vec A + q\vec B + r\vec C$

Les deux vecteurs d’onde ont la même norme $\left\| {{{\vec k}_i}} \right\| = \left\| {{{\vec k}_t}} \right\|$ et ont leurs extrémités sur un cercle dont le rayon est cette norme; en projetant ces deux vecteurs sur $\vec K$, on obtient: $2{\vec k_i}.\frac{{\vec K}}{K} = \frac{K}{2}$ soit $2{\vec k_i}.\vec K = {K^2}$

A.II.1°) Le volume de la cellule élémentaire est $V = \vec a.(\vec b \wedge \vec c)$; or la surface du parallélélogramme construit sur les vecteurs $\vec a$et $\vec b$ est $S = \left\| {\vec a \wedge \vec b} \right\|$ et si d est la distance entre deux plans atomiques successifs perpendiculaires à $\vec C$ alors V=Sd d’où $d = \frac{{2\pi }}{{\left\| {\vec C} \right\|}}$
A.II.2°) La relation démontrée en A.I.3° s’écrit $2{k_i}\sin \alpha = K$; or $\vec K = r\vec C$ implique $K = r\frac{{2\pi }}{d}$; comme ${k_i} = \frac{{2\pi }}{\lambda }$ on en déduit la relation cherchée: $2d\sin \alpha = r\lambda $ $r \in Z$ (on peut toujours noter s à la place de r).
A.II.3°) La distance interatomique est de l’ordre de 0,1 nm; il faut $\sin \alpha \le 1$ ce qui implique $\lambda \le 2d,\;domaine\;des\;rayons\;X$.
A.III.1°) Par réflexion sur la surface du cristal (parallèle aux plans atomiques équidistants de d), seules les radiations vérifiant la relation $2d\sin \alpha = r\lambda $ont une amplitude non nulle ce qui sélectionne ces radiations; si on veut sélectionner une seule radiation, il faut $\lambda > d$ ce qui correspond à une seule valeur possible de r égale à l’unité.

A.III.2°) Pour faire varier la longueur d’onde, il suffit de faire tourner le cristal; si on dispose de deux cristaux identiques à faces parallèles, le faisceau émergent est parallèle au faisceau incident.
A.IV) La normale en M au cristal est MC; par réflexion, l’angle entre MP et MC est égal à l’angle entre MC et MP’; ils valent $\frac{\pi }{2} - \alpha $; l’angle entre MP et MP’ est constant et vaut$\pi - \alpha $; le point M est sur le cercle de centre C et donc pratiquement sur le cercle de centre C’ au deuxième ordre près; de ce fait P étant fixé, P’ est à l’extrémité d’une corde fixe du cercle de centre C’; en fait P’ est symétrique de P par rapport à CC’.
B.I.1°) On fait un calcul approché voire faux en supposant que les coordonnées de M dépendent peu de celles de P (quasiment fixe); çe qui donne un résultat exact pour le champ magnétique mais pas pour le champ électrique! mais le calcul rigoureux est bien trop difficile pour les étudiants; visiblement, le texte imposait de faire ce calcul faux.
$\vec B = \vec \nabla \wedge \vec A$ soit $\vec B = \frac{{{\mu _0}}}{{4\pi }}\frac{{q\vec \nabla \wedge \vec v(t - \frac{r}{c})}}{r}$ = $\frac{{{\mu _0}q}}{{4\pi }}\left( {\frac{1}{r}\vec \nabla \wedge \vec v(t - \frac{r}{c}) + \vec \nabla \frac{1}{r} \wedge \vec v(t - \frac{r}{c})} \right)$; or $\vec \nabla \frac{1}{r} = - \frac{{\vec r}}{{{r^3}}}$
$\left( {\vec \nabla \wedge \vec v(t - \frac{r}{c})} \right).{\vec u_x} = \frac{\partial }{{\partial y}}{v_z}(t - \frac{r}{c}) - \frac{\partial }{{\partial z}}{v_y}(t - \frac{r}{c})$ d’où $\left( {\vec \nabla \wedge \vec v(t - \frac{r}{c})} \right).{\vec u_x} = \frac{\partial }{{\partial r}}{v_z}(t - \frac{r}{c})\frac{{\partial r}}{{\partial y}} - \frac{\partial }{{\partial r}}{v_y}(t - \frac{r}{c})\frac{{\partial r}}{{\partial z}}$; soit x, y, z les coordonnées de M dans un repère cartésien fixe Oxyz et ${x_P},{y_P},{z_P}$ celles de la charge q, au point P; ${r^2} = {(x - {x_P})^2} + {(y - {y_P})^2} + {(z - {z_P})^2}$; par différentiation: $\frac{{\partial r}}{{\partial x}} = \frac{{x - {x_P}}}{r}$; idem en y et z; par ailleurs $\frac{{\partial f(t - \frac{r}{c})}}{{\partial r}} = - \frac{1}{c}\frac{{\partial f(t - \frac{r}{c})}}{{\partial t}}$; d’où $\left( {\vec \nabla \wedge \vec v(t - \frac{r}{c})} \right).{\vec u_x} = - \frac{1}{c}\left( {\frac{\partial }{{\partial t}}{v_z}(t - \frac{r}{c})\frac{{(x - {x_P})}}{r} - \frac{\partial }{{\partial t}}{v_y}(t - \frac{r}{c})\frac{{(y - {y_P})}}{r}} \right)$; idem pour les composantes y et z; on introduit l’accélération retardée: $\vec a(t - \frac{r}{c}) = \frac{{\partial \vec v(t - \frac{r}{c})}}{{\partial t}}$ et on en déduit: $\vec \nabla \wedge \vec v(t - \frac{r}{c}) = - \frac{1}{c}\vec a(t - \frac{r}{c}) \wedge \frac{{\vec r}}{r}$ et $\vec B = \frac{{{\mu _0}q}}{{4\pi }}\left( {\frac{1}{c}\vec a(t - \frac{r}{c}) \wedge \frac{{\vec r}}{{{r^2}}} - \frac{{\vec r}}{{{r^3}}} \wedge \vec v(t - \frac{r}{c})} \right)$.

B.I.2°) Si M est à grande distance, le second terme en $\frac{1}{{{r^2}}}$ est négligeable devant le premier en $\frac{1}{r}$; d’où $\vec B = \frac{{{\mu _0}q}}{{4\pi c}}\vec a(t - \frac{r}{c}) \wedge \frac{{\vec r}}{{{r^2}}}$; en fait l’approximation correspond à $r > > c\frac{{{v_{ret}}}}{{{a_{ret}}}}$; la dépendance en $\frac{1}{r}$ est prévisible car la puissance rayonnée dans toutes les directions est indépendante de la distance et est proportionnelle au carré de l’amplitude; l’amplitude est donc inversement proportionnelle à la distance r.
B.I.3°) L’onde étant quasi-plane: $\vec E = \vec B \wedge \vec c$ d’où $\vec E = \frac{{{\mu _0}q}}{{4\pi c}}\left( {\vec a(t - \frac{r}{c}) \wedge \frac{{\vec r}}{{{r^2}}}} \right) \wedge \vec c$; avec $\vec c = c\frac{{\vec r}}{r}$, on obtient:
$\vec E = \frac{{{\mu _0}q}}{{4\pi {r^3}}}\left( {\vec a(t - \frac{r}{c}) \wedge \vec r} \right) \wedge \vec r$

B.I.4°) Le vecteur de Poynting est $\vec R = \frac{1}{{{\mu _0}}}\vec E \wedge \vec B$; or $\vec E = \vec B \wedge \vec c$ d’où en remplaçant le champ électrique par sa valeur et en développant le double produit vectoriel, on a: $\vec R = \frac{{{B^2}}}{{{\mu _0}}}\vec c = \frac{{{\mu _0}{e^2}}}{{16{\pi ^2}c{r^2}}}a_{ret}^2{\sin ^2}\theta \frac{{\vec r}}{r}$ ; la puissance rayonnée à travers l’élément de surface (normal à PM) $dS = {r^2}d\Omega $ est $dP = \vec R.d\vec S$; on en déduit:
$\frac{{dP}}{{d\Omega }} = \frac{{{\mu _0}{e^2}}}{{16{\pi ^2}c}}a_{ret}^2{\sin ^2}\theta $ d’où la courbe ci-contre:
B.I.5°) $d\Omega = \sin \theta d\theta d\varphi $
$P=\frac{{{\mu }_{0}}{{e}^{2}}a_{ret}^{2}}{16{{\pi }^{2}}c}\iint\limits_{\begin{smallmatrix}
\theta \in \left[ 0,\pi \right] \\
\varphi \in \left[ 0,2\pi \right]
\end{smallmatrix}}{{{\sin }^{3}}\theta d\theta d\varphi }$ ; l’intégrale $\int\limits_0^\pi {{{\sin }^3}\theta d\theta } = \frac{4}{3}$ et ${\varepsilon _0}{\mu _0}{c^2} = 1$; on en déduit
$P = \frac{{{\mu _0}{e^2}a_{ret}^2}}{{6\pi c}}$ soit une forme plus classique: $P = \frac{2}{3}\;\frac{{{e^2}}}{{4\pi {\varepsilon _0}}}\frac{{a_{ret}^2}}{{{c^3}}}$
B.I.6°) $\vec a_{ret}^2 = \frac{d}{{dt}}({\vec v_{ret}}.{\vec a_{ret}}) - {\vec v_{ret}}.\frac{{d{{\vec a}_{ret}}}}{{dt}}$; on considère les valeurs moyennes sur une période;
$\left\langle {\frac{d}{{dt}}({{\vec v}_{ret}}.{{\vec a}_{ret}})} \right\rangle = \frac{1}{T}\int\limits_0^T {\frac{d}{{dt}}({{\vec v}_{ret}}.{{\vec a}_{ret}})\;} dt = \frac{1}{T}\left[ {{{\vec v}_{ret}}.{{\vec a}_{ret}}} \right]_0^T = 0$ du fait de la périodicité, d’où $\left\langle {\vec a_{ret}^2} \right\rangle = - \left\langle {{{\vec v}_{ret}}.\frac{d}{{dt}}{{\vec a}_{ret}}} \right\rangle $; la puissance perdue en moyenne se met sous la forme: ${P_{perdue}} = + \frac{{{\mu _0}{e^2}}}{{16\pi c}}{\vec v_{ret}}.\frac{{d{{\vec a}_{ret}}}}{{dt}}$
soit sous la forme: ${P_{perdue}} = {\vec F_{ret}}.{\vec v_{ret}}$ c’est-à-dire la puissance d’une force de freinage retardée ${\vec F_{ret}} = + \frac{{{\mu _0}{e^2}}}{{16\pi c}}\;\frac{{d{{\vec a}_{ret}}}}{{dt}}$ soit une force de freinage instantanée: $\vec F = + \frac{{{\mu _0}{e^2}}}{{16\pi c}}\;\frac{{d{{\vec a}_P}}}{{dt}}$.
B.II.1°) Force de Lorentz: $\vec f = - e(\vec E + \vec v \wedge \vec B)$; onde quasi-plane: $\vec E = \vec B \wedge \vec c$; $\left\| {\vec v \wedge \vec B} \right\| \approx vB = \frac{v}{c}E < < E$ car la charge n’est pas relativiste d’où $\vec f \approx - e\vec E$.
B.II.2°) Théorème de la quantité de mouvement pour l’électron: $m\frac{{{d^2}\vec r}}{{d{t^2}}} = - m\omega _0^2\vec r - m\Gamma \vec v + \frac{{{\mu _0}{e^2}}}{{16\pi c}}\;\frac{{d{{\vec a}_P}}}{{dt}} - e\vec E$
B.II.3°) L’équation peut se mettre sous la forme: $-\frac{{{\mu }_{0}}{{e}^{2}}}{16\pi cm}+\ddot{\vec{r}}+\Gamma \dot{\vec{r}}+\omega _{0}^{2}\vec{r}=-\frac{e}{m}\overrightarrow{E}$
On a un mouvement sinusoïdal forcé de pulsation ω; de ce fait la dérivation par rapport au temps est la multiplication par -iω; on en déduit $\vec r = \frac{{\frac{{ - e}}{m}\vec E}}{{\omega _0^2 - {\omega ^2} + i\left( {\Gamma + \frac{{{\mu _0}{e^2}}}{{16\pi cm}}{\omega ^2}} \right)\omega }}$ et l’accélération instantanée en multipliant par -${\omega ^2}$ soit \(\overrightarrow a = \frac{{\frac{e}{m}{\omega ^2}{{\overrightarrow E }_0}{e^{i\left( {{{\vec k}_i}.\overrightarrow {OP} - \omega t} \right)}}}}{{\omega _0^2 - {\omega ^2} + i\left( {\Gamma + \frac{{{\mu _0}{e^2}}}{{16\pi cm}}{\omega ^2}} \right)\omega }}\); l’accélération retardée s’en déduit en remplaçant t par $t - \frac{{PM}}{c}$; attention! ne pas confondre OP et r=PM;
${{\vec{a}}_{ret}}=\frac{\frac{e}{m}{{\omega }^{2}}{{{\vec{E}}}_{0}}{{e}^{i({{{\vec{k}}}_{i}}.\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{OP}}\,-\omega (t-\frac{PM}{c}))}}}{\omega _{0}^{2}-{{\omega }^{2}}-i\left( \Gamma +\frac{{{\mu }_{0}}{{e}^{2}}}{16\pi cm}{{\omega }^{2}} \right)\omega }$ soit en introduisant ${{\vec{k}}_{r}}=\frac{\omega }{c}\frac{{\vec{r}}}{r}$ et $\vec K = {\vec k_i} - {\vec k_r}$
${{\vec{a}}_{ret}}=\frac{\frac{e}{m}{{\omega }^{2}}{{{\vec{E}}}_{0}}{{e}^{i\vec{K}.\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{OP}}\,}}}{\omega _{0}^{2}-{{\omega }^{2}}+i\left( \Gamma +\frac{{{\mu }_{0}}{{e}^{2}}}{16\pi cm}{{\omega }^{2}} \right)\omega }{{e}^{i({{{\vec{k}}}_{r}}.\vec{r}-\omega t)}}$ et $\vec{B}=-\frac{{{\mu }_{0}}{{e}^{2}}{{\omega }^{2}}}{4\pi {{r}^{2}}cm}\frac{{{{\vec{E}}}_{0}}\wedge \vec{r}\ {{e}^{i\vec{K}.\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{OP}}\,}}}{\omega _{0}^{2}-{{\omega }^{2}}+i\left( \Gamma +\frac{{{\mu }_{0}}{{e}^{2}}}{16\pi cm}{{\omega }^{2}} \right)\omega }{{e}^{i({{{\vec{k}}}_{r}}.\vec{r}-\omega t)}}$
On a le champ magnétique d’une onde sphérique issue de O (en $\frac{1}{r}{e^{i({k_r}r - \omega t)}}$) d’amplitude proportionnelle à celle de l’onde plane primaire incidente soit ${\vec E_0}$ et de même pulsation que l’onde primaire (diffusion sans changement de fréquence).
B.II.4°) $\vec R = \frac{1}{{{\mu _0}}}\vec E \wedge \vec B = \frac{{(\vec E + {{\vec E}^*}) \wedge (\vec B + {{\vec B}^*})}}{{4{\mu _0}}}$
$\left\langle {\vec R} \right\rangle = \frac{{\left\langle {\vec E \wedge {{\vec B}^*} + {{\vec E}^*} \wedge \vec B} \right\rangle }}{{4{\mu _0}}}$ avec $\vec E = \vec B \wedge \vec c$ donne $\left\langle {\vec R} \right\rangle = \frac{{\left\langle {\vec B.\vec B} \right\rangle \vec c}}{{2{\mu _0}}} = f(\omega )\frac{{{\mu _0}{e^4}}}{{32{\pi ^2}c{m^2}}}\frac{{{{\sin }^2}\theta }}{{{r^2}}}{\left\| {{{\vec E}_0}} \right\|^2}{\vec u_r}$ avec
$f(\omega ) = \frac{{{\omega ^4}}}{{{{(\omega _0^2 - {\omega ^2})}^2} + {{\left( {\Gamma + \frac{{{\mu _0}{e^2}{\omega ^2}}}{{16\pi cm}}} \right)}^2}{\omega ^2}}}$; $d{P_1} = \left\langle {\vec R} \right\rangle .d\vec S = \left\langle R \right\rangle {r^2}d\Omega $soit $d{P_1} = f(\omega )\frac{{{\mu _0}{e^4}}}{{32{\pi ^2}c{m^2}}}{\sin ^2}\theta {\left\| {{{\vec E}_0}} \right\|^2}d\Omega $

B.II.6°) Avec les valeurs du texte: $T = \frac{{{\mu _0}{e^2}{\omega ^2}}}{{16\pi cm}} < < \Gamma $ si $\omega < < {6,5.10^{18}}\;{s^{ - 1}}$; on ne peut négliger le terme T dans le domaine des rayons X. Si ω → 0 $f(\omega ) \approx {\left( {\frac{\omega }{{{\omega _0}}}} \right)^4} \to 0$ et si ω → ∞ $f(\omega ) = {\left( {\frac{{6\pi cm}}{{{\mu _0}{e^2}}}} \right)^2}\frac{1}{{{\omega ^2}}} \to 0$; pour $\omega = {\omega _0}$, T est négligeable, d’où l’existence du maximum au voisinage de ${\omega _0}$ et la courbe.

B.III.1°) $\frac{{d{P_{1e}}}}{{d{P_{1p}}}} \approx {\left( {\frac{{{m_p}}}{{{m_e}}}} \right)^2} = {1830^2} = {3,3.10^6}$
L’électron rayonne plusieurs millions de fois plus que le proton.
B.III.2°) ${\vec B_p} = - \frac{{{\mu _0}{e^2}{\omega ^2}}}{{4\pi rcm}}\frac{{{{\vec E}_0} \wedge \vec u\;{e^{i\vec K.{{\vec r}_P}}}}}{{\omega _0^2 - {\omega ^2} + i\left( {\Gamma + \frac{{{\mu _0}{e^2}}}{{16\pi cm}}{\omega ^2}} \right)\omega }}{e^{i({{\vec k}_r}.\vec r - \omega t)}}$
B.III.3°) $\vec B = \sum\limits_1^Z {{{\vec B}_p}} $ avec $\vec r$et donc $\vec u$quasiment indépendants du proton, du fait que la distance à l’atome est très supérieure aux dimensions de l’atome.
${\vec B_p} = - \frac{{{\mu _0}{e^2}{\omega ^2}}}{{4\pi rcm}}\frac{{{{\vec E}_0} \wedge \vec u\;\sum\limits_1^Z {{e^{i\vec K.{{\vec r}_P}}}} }}{{\omega _0^2 - {\omega ^2} + i\left( {\Gamma + \frac{{{\mu _0}{e^2}}}{{16\pi cm}}{\omega ^2}} \right)\omega }}{e^{i({{\vec k}_r}.\vec r - \omega t)}}$
B.III.4°) On trouve $\frac{{d{P_Z}}}{{d\Omega }} = \frac{{d{P_1}}}{{d\Omega }}\left\langle {{{\left\| {S(\vec K)} \right\|}^2}} \right\rangle $ avec $S(\vec K) = \sum\limits_1^Z {{e^{i\vec K.{{\vec r}_P}}}} $
B.III.5°) Le déplacement forcé de tous les électrons est le même mais les positions de départ ne sont pas forcément les mêmes: ${\vec r_p} = \vec r + {\vec r_{op}}$.
${\left\| {S(\vec K)} \right\|^2} = \sum\limits_{p = 1}^Z {\sum\limits_{q = 1}^Z {{e^{i\vec K.({{\vec r}_p} - {{\vec r}_q})}}} } $ avec $\vec K = \frac{{2\pi }}{\lambda }(\vec u - {\vec u_z})$
${\left\| {S(\vec K)} \right\|^2} = \sum\limits_{p = 1}^Z {\sum\limits_{q = 1}^Z {{e^{i\vec K.({{\vec r}_{0p}} - {{\vec r}_{0q}}).(\vec u - {{\vec u}_z})}}} } $
${\vec r_{0P}} - {\vec r_{0Q}}$ est de l’ordre de a;
si $\lambda > > a$ les exponentielles valent 1 et ${\left\| {S(\vec K)} \right\|^2} = {Z^2}$; en fait tous les facteurs de phase sont nuls et les Z ondes sont en phase: il s’agit de diffusion cohérente dans ces conditions;
si $\lambda < < a$, on peut écrire ${\left\| {S(\vec K)} \right\|^2} = Z + 2\sum\limits_{\scriptstyle{p = 1}\atop\scriptstyle{p < q}}^Z {\sum\limits_{q = 1}^Z {\cos \frac{{2\pi }}{\lambda }} } (\vec u - {\vec u_z}).({\vec r_{0P}} - {\vec r_{0Q}})$ et si on admet que les valeurs de ${\vec r_{0P}}$ sont aléatoires et que Z est élévé la double somme est nulle; cette fois ${\left\| {S(\vec K)} \right\|^2} = Z$ sauf si $\vec u = {\vec u_z}$ auquel cas ${\left\| {S(\vec K)} \right\|^2} = {Z^2}$; en général, la diffusion est incohérente sauf dans la direction de z’z.
B.IV.1°) ${\vec B_p} = - \frac{{{\mu _0}{e^2}{\omega ^2}}}{{4\pi rcm}}\frac{{{{\vec E}_0} \wedge \vec u\;\sum\limits_1^N {\sum\limits_1^Z {{e^{i\vec K.{{\vec r}_{nP}}}}} } }}{{\omega _0^2 - {\omega ^2} + i\left( {\Gamma + \frac{{{\mu _0}{e^2}}}{{16\pi cm}}{\omega ^2}} \right)\omega }}{e^{i({{\vec k}_r}.(\vec r - {{\vec R}_n}) - \omega t)}}{e^{i{{\vec k}_i}.{{\vec R}_n}}}$; le dernier facteur exponentiel tient compte de la différence de placement des atomes quand ils reçoivent l’onde incidente; par ailleurs $\vec r - {\vec R_n}$ représente le vecteur allant de l’atome considéré au point M considéré.
On en déduit: $\frac{{d{P_N}}}{{d\Omega }} = \frac{{d{P_1}}}{{d\Omega }}\left\langle {{{\left\| {\sum\limits_{n = 1}^N {\left( {\sum\limits_{p = 1}^Z {{e^{i\vec K.{{\vec r}_{nP}}}}} } \right){e^{i\vec K.{{\vec R}_n}}}} } \right\|}^2}} \right\rangle $
B.IV.2°) $\lambda > > \left\| {{{\vec r}_{nP}}} \right\|$ et $\vec K = \frac{{2\pi }}{\lambda }(\vec u - {\vec u_z})$ d’où $\sum\limits_{p = 1}^Z {{e^{i\vec K.{{\vec r}_{nP}}}}} \cong Z$ et $S = Z{S_N}(\vec K)$ avec ${S_N}(\vec K) = \sum\limits_{n = 1}^N {{e^{i\vec K.{{\vec R}_n}}}} $.
B.IV.3°.a) $l = 20\lambda $ et $\vec K \ne \vec 0$; $\left\langle {{{\left\| {{S_N}(\vec K)} \right\|}^2}} \right\rangle = \sum\limits_{n = 1}^N {\sum\limits_{q = 1}^N {{e^{i\vec K.({{\vec R}_n} - {{\vec R}_q})}}} } = N + 2\sum\limits_{\scriptstyle{n = 1}\atop\scriptstyle{n < q}}^N {\sum\limits_{q = 1}^N {\cos (\vec K.({{\vec R}_n} - {{\vec R}_q}))} } $; la double somme est nulle car les vecteurs ${\vec R_n}$ sont aléatoires; d’où $\left\langle {{{\left\| {{S_N}(\vec K)} \right\|}^2}} \right\rangle = N$; on en déduit:
$\frac{{d{P_N}}}{{d\Omega }} = N{Z^2}\frac{{d{P_1}}}{{d\Omega }}$.

B.IV.3°.b) On a la même dépendance que pour un seul électron; mais dans le visible on peut supposer $\omega \cong {\omega _0}$ et $f(\omega ) \cong \frac{{{\omega ^4}}}{{{{(\omega _0^2 - {\omega ^2})}^2}}}$
B.IV.3°.c) On a le phénomène de résonance optique.
B.IV.4°.a) ${S_N}(\vec K) = \sum\limits_{l = 0}^{N - 1} {\sum\limits_{m = 0}^{N - 1} {\sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {{e^{i\vec K.(l\vec a + m\vec b + n\vec c)}}} } } $
${S_N}(\vec K) = \sum\limits_{l = 0}^{N - 1} {{e^{i\vec K.l\vec a}}} \sum\limits_{m = 0}^{N - 1} {{e^{i\vec K.l\vec b}}} \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {{e^{i\vec K.l\vec c}}} $
${S_N}(\vec K) = \frac{{{e^{i\vec K.N\vec a}} - 1}}{{{e^{i\vec K.\vec a}} - 1}}\;\frac{{{e^{i\vec K.N\vec b}} - 1}}{{{e^{i\vec K.\vec b}} - 1}}\;\frac{{{e^{i\vec K.N\vec c}} - 1}}{{{e^{i\vec K.\vec c}} - 1}}$
${S_N}(\vec K) = {e^{i\frac{{(N - 1)}}{2}\vec K.(\vec a + \vec b + \vec c)}}\frac{{\sin (\vec K.\frac{N}{2}\vec a)}}{{\sin (\vec K.\frac{{\vec a}}{2})}}\frac{{\sin (\vec K.\frac{N}{2}\vec b)}}{{\sin (\vec K.\frac{{\vec b}}{2})}}\frac{{\sin (\vec K.\frac{N}{2}\vec c)}}{{\sin (\vec K.\frac{{\vec c}}{2})}}$
B.IV.4°.b) $\frac{{d{P_N}}}{{d\Omega }} = {Z^2}{\left( {\frac{{\sin (\vec K.\frac{N}{2}\vec a)}}{{\sin (\vec K.\frac{{\vec a}}{2})}}\frac{{\sin (\vec K.\frac{N}{2}\vec b)}}{{\sin (\vec K.\frac{{\vec b}}{2})}}\frac{{\sin (\vec K.\frac{N}{2}\vec c)}}{{\sin (\vec K.\frac{{\vec c}}{2})}}} \right)^2}\frac{{d{P_1}}}{{d\Omega }}$
Cette fonction est maximale si $\vec K.\vec a = 2\pi p,\;\vec K.\vec b = 2\pi q,\;\vec K.\vec c = 2\pi r$ ce qui est bien le résultat obtenu en A.

B.IV.4°.c)

B.IV.4°.d) $\frac{{d{P_N}}}{{d\Omega }} = {Z^2}{N^4}{\left( {\frac{{\sin (\vec K.\frac{N}{2}\vec c)}}{{\sin (\vec K.\frac{{\vec c}}{2})}}} \right)^2}\frac{{d{P_1}}}{{d\Omega }}$; la largeur angulaire est déterminée par les deux premières annulations de part et d’autre d’un pic principal soit par $\vec K.\frac{N}{2}\vec c = \frac{N}{2}\pi r \pm \pi $ ou $d{\vec k_r}.\vec c = \pm \frac{{2\pi }}{N}$
soit $\Delta {\vec k_r}.\vec c = \frac{{4\pi }}{N}$; or $\left\| {{{\vec k}_r}} \right\| = \frac{{2\pi }}{\lambda }$ et en plus, c’est un vecteur perpendiculaire à ${\vec k_r}$; on en déduit:
$\Delta \theta = \frac{{2\lambda }}{{Nd\cos \theta }}$.
B.IV.5°.a) Au troisième ordre près, ${S_N}(\vec K) \cong \sum\limits_{n = 1}^N {{e^{\vec iK.{{\vec R}_{n0}}}}} (1 + i\vec K.{\vec \rho _n}(t) - \frac{1}{2}{(\vec K.{\vec \rho _n}(t))^2})$
$\left\langle {{{\left\| {{S_N}(\vec K)} \right\|}^2}} \right\rangle = \sum\limits_{n = 1}^N {\sum\limits_{n = q}^N {{e^{i\vec K.({{\vec R}_{n0}} - {{\vec R}_{q0}})}}} \left\langle {(1 + i\vec K.{{\vec \rho }_n}(t) - \frac{1}{2}{{(\vec K.{{\vec \rho }_n}(t))}^2})(1 + i\vec K.{{\vec \rho }_q}(t) - \frac{1}{2}{{(\vec K.{{\vec \rho }_q}(t))}^2})} \right\rangle } $
$\left\langle {{{\left\| {{S_N}(\vec K)} \right\|}^2}} \right\rangle = \sum\limits_{n = 1}^N {\sum\limits_{n = q}^N {{e^{i\vec K.({{\vec R}_{n0}} - {{\vec R}_{q0}})}}} \left\langle {(1 + i\vec K.({{\vec \rho }_n}(t) - {{\vec \rho }_q}(t)) - \frac{1}{2}{{(\vec K.{{\vec \rho }_n}(t))}^2}) - \frac{1}{2}{{(\vec K.{{\vec \rho }_q}(t))}^2} + (\vec K.{{\vec \rho }_n}(t))(\vec K.{{\vec \rho }_q}(t))} \right\rangle } $
or $\left\langle {\vec K.({{\vec \rho }_n}(t) - {{\vec \rho }_q}(t))} \right\rangle = 0$; il reste $\left\langle {{{\left\| {{S_N}(\vec K)} \right\|}^2}} \right\rangle = \sum\limits_{n = 1}^N {\sum\limits_{n = q}^N {{e^{i\vec K.({{\vec R}_{n0}} - {{\vec R}_{q0}})}}} \left\langle {(1 - \frac{1}{2}{{(\vec K.{{\vec \rho }_n}(t))}^2} - \frac{1}{2}{{(\vec K.{{\vec \rho }_q}(t))}^2} + (\vec K.{{\vec \rho }_n}(t))(\vec K.{{\vec \rho }_q}(t))} \right\rangle } $
$\left\langle {{{\left\| {{S_N}(\vec K)} \right\|}^2}} \right\rangle = \sum\limits_{n = 1}^N {\sum\limits_{n = q}^N {{e^{i\vec K.({{\vec R}_{n0}} - {{\vec R}_{q0}})}}} \left\langle {(1 - \frac{1}{2}(\vec K.{{({{\vec \rho }_n}(t) - {{\vec \rho }_q}(t))}^2})} \right\rangle } $
Soit z’z la direction de $\vec K$; $\left\langle {{{\left\| {{S_N}(\vec K)} \right\|}^2}} \right\rangle = \sum\limits_{n = 1}^N {\sum\limits_{n = q}^N {{e^{i\vec K.({{\vec R}_{n0}} - {{\vec R}_{q0}})}}} \left\langle {(1 - \frac{1}{2}({K^2}{{({\rho _{nz}}(t) - {\rho _{qz}}(t))}^2})} \right\rangle } $; en développant le carré parfait, on fait apparaître le double produit de deux déplacements, sans corrélations entre eux; en moyenne, il est nul; on fait apparaître deux carrés de deplacement selon z’z; chaque terme quadratique indépendant représente un degré de liberté et est affecté d’une énergie moyenne kT/2 (k constante de Boltzmann); en appelant C la constante de rappel des atomes à leur position d’équilibre, l’énergie potentielle élastique liée à ce degré de liberté est donnée par $\frac{1}{2}C\left\langle {{\rho ^2}} \right\rangle = \frac{3}{2}kT$ et donc $\left\langle {\rho _{nz}^2} \right\rangle = \frac{{kT}}{C}$

$\left\langle {{{\left\| {{S_N}(\vec K)} \right\|}^2}} \right\rangle = \sum\limits_{n = 1}^N {\sum\limits_{n = q}^N {{e^{i\vec K.({{\vec R}_{n0}} - {{\vec R}_{q0}})}}} (1 - {K^2}} \frac{{kT}}{C})$
On en déduit $\frac{{d{P_N}}}{{d\Omega }} = {Z^2}\frac{{d{P_1}}}{{d\Omega }}\sum\limits_{n = 1}^N {\sum\limits_{n = q}^N {{e^{i\vec K.({{\vec R}_{n0}} - {{\vec R}_{q0}})}}} (1 - {K^2}} \frac{{kT}}{C})$
soit ${\left( {\frac{{d{P_N}}}{{d\Omega }}} \right)_T} = {\left( {\frac{{d{P_N}}}{{d\Omega }}} \right)_{T = 0}}(1 - \varepsilon ) + \xi $ avec $\varepsilon = {K^2}\frac{{kT}}{C}$ et $\xi $représentant le reste du développement.
En conséquence $\varepsilon $est proportionnel à la température absolue.
B.IV.5°.b) ${\left( {\frac{{d{P_N}}}{{d\Omega }}} \right)_T}$ et ${\left( {\frac{{d{P_N}}}{{d\Omega }}} \right)_{T = 0}}$sont proportionnelles et de cefait les maximums et les annulations ont lieu pour les mêmes valeurs de $\theta $; les pics ont donc la même largeur angulaire à T quelconque et au zéro absolu.

Concours Physique ENS de Paris P’ 1994 (Corrigé)

ENS de PARIS P’ 94
ASPECTS D’UN PROCÉDÉ DE MESURE
DE TEMPÉRATURE DE FLAMME
I. Dispositif de mesure.
I.1.a. À l’équilibre thermique, la somme des puissances reçues par le tube est nulle : Wf1 + W21 = 0. On en déduit ${T_f} = {T_1} + \frac{{{h_r}}}{{{h_c}}}\left( {{T_1} - {T_2}} \right)$ .
b. Application numérique : On relève sur la courbe d’étalonnage T1 = 1001,5 °C et T2 = 954 °C, d’où ${T_f} = 1112{\rm{ ^\circ }}C$.
c. Le raisonnement précédent ne tient pas compte des échanges par rayonnement entre la flamme et le tube et des échanges par conduction entre le tube et la paroi du four.
I.2.a. L’application du premier principe de la thermodynamique pendant le temps dt s’écrit : W21 dt = C1 dT1, d’où l’équation $\frac{{d\left( {{T_1} - {T_2}} \right)}}{{dt}} = - \frac{{{h_r}A}}{{{C_1}}}\left( {{T_1} - {T_2}} \right)$, dont la solution est ${T_1} = {T_2} + \left( {{T_1} - {T_2}} \right)\exp \left( { - \frac{{{h_r}{A_t}}}{{{C_1}}}} \right)$.
b. En prenant ΔRs << Rs, on peut utiliser l’expression différentielle : $\Delta t = \frac{{{C_1}}}{{{h_r}A}}\frac{1}{{|{T_2} - {T_1}|}}\frac{{dT}}{{d{R_s}}}\Delta {R_s}$.
c. Application numérique : On tire du graphique $\frac{{dT}}{{d{R_s}}} = 2,6K.{\Omega ^{ - 1}}$, d’où $\Delta t = {8,3.10^{ - 2}}s$.
d. La température du four peut être considérée comme constante pendant la durée de refroidissement précédant l’alarme si son temps caractéristique de variation est petit devant celui du tube, ce qui est le cas si le four est suffisamment thermo-isolé et si sa capacité thermique est grande devant celle du tube.

II. Approche microscopique de la conduction électrique.
II.1.a. On vérifie la condition de normalisation : $\int_0^\infty {p\left( \theta \right)} d\theta = {I_0} = 1$.
b. $\left\langle \theta \right\rangle = \int_0^\infty {\theta p\left( \theta \right)} d\theta = {I_1} = \tau {I_0} = \tau $.
c. $\left\langle {{\theta ^2}} \right\rangle = \int_0^\infty {{\theta ^2}p\left( \theta \right)} d\theta = 2\tau {I_1} = 2{\tau ^2}$.
II.2.a. Les vitesses ${\vec v_k}$ayant une distribution isotrope, leur valeur moyenne est nulle.
b. L’énergie cinétique moyenne d’un électron est $K = \frac{1}{2}m\left\langle {\vec v_k^2} \right\rangle = \frac{1}{2}mv_k^2$, d’où ${v_k} = \sqrt {\frac{{2K}}{m}} $.
c. Application numérique : on obtient ${v_K} = {1,57.10^6}m.{s^{ - 1}}$.
II.3.a. Sous l’action de la force électrique $ - e{\vec E_0}$, un électron prend l’accélération $ - \frac{e}{m}{\vec E_0}$. Sa vitesse devient $\vec v = {\vec v_k} - \frac{e}{m}{E_0}{\vec e_x}t$ et son rayon-vecteur ${\vec r_{k + 1}} = {\vec r_k} - \frac{e}{{2m}}{E_0}{\vec e_x}{\left( {{t_{k + 1}} - {t_k}} \right)^2}$. On en déduit la valeur moyenne $\left\langle {{{\vec r}_{k + 1}} - {{\vec r}_k}} \right\rangle = - N\frac{e}{m}{E_0}{\tau ^2}{\vec e_x}$.
b. La vitesse de dérive s’obtient en prenant la moyenne de $\vec v$ ou en faisant le rapport $\frac{{\left\langle {{{\vec r}_{k + 1}} - {{\vec r}_k}} \right\rangle }}{{N\tau }}:{\vec v_d} = - \frac{{e\tau }}{m}{E_0}{\vec e_x}$.
c. L’équation du mouvement $m\frac{{d\vec v}}{{dt}} = - \zeta \vec v - e{\vec E_0}$conduit au régime permanent $\vec v = - \frac{{e{{\vec E}_0}}}{\zeta }$.
d. $\vec v = {\vec v_d}$en prenant $\zeta = \frac{m}{\tau }$.
II.4.a. De l’expression de la densité de courant $\vec j = - {n_o}e{\vec v_d} = \frac{{{n_o}{e^2}\tau }}{m}{E_0}{\vec e_x}$on tire la conductivité $\sigma = \frac{{{n_o}{e^2}\tau }}{m}$.
b. Application numérique : on obtient $\tau = \frac{{m\sigma }}{{{n_o}{e^2}}} = {4,2.10^{ - 15}}s$.
Les chocs sont très fréquents et le libre parcours moyen $\left( {{v_k}\tau = {{7.10}^{ - 9}}{\rm{ m}}} \right)$est faible.
c. Application numérique : ${v_d} = \frac{\sigma }{{{n_o}e}}{E_0} = 0,73{\rm{ }}m.{s^{ - 1}} < < {v_k}$.
d. Dans un métal $\tau $et $\sigma $diminuent quand la température augmente. Dans un semi-conducteur no et σ augmentent.

II.5.a. L’équation du mouvement de la question 3.c s’écrit en représentation complexe $\left( {1 + i\omega \tau } \right){\vec v_d} = - \frac{{e\tau }}{m}{\vec E_0}$ soit ${\vec v_d} = - \frac{{e\tau }}{m}\frac{{{{\vec E}_0}}}{{1 + i\omega \tau }}$.
b. Comme en 4.a on en déduit la conductivité complexe $\sigma = \frac{{{n_o}{e^2}\tau }}{{m\left( {1 + i\omega \tau } \right)}}$.
c. La conductivité est la même qu’en régime continu pour ωτ << 1 soit pour une fréquence $f < < \frac{1}{{2\pi \tau }} = {3,8.10^{13}}Hz$.
III. Étalonnage.
III.1. On réalise des points fixes au moyen d’équilibres entre phases d’un corps pur. Dans le cas d’un point triple (à trois phases, solide-liquide-vapeur par exemple) le système est monovariant et la température est fixe. Dans le cas d’un équilibre diphasé, la variance est égale à 2 et la température n’est fixée que si l’on fixe la pression (à la valeur de référence de 1 bar par exemple).
III.2. Dans la gamme de quelques centaines d’ohms, le pont de Wheatstone est bien adapté à des mesures de précision.
IV. Étalons de résistance.
IV.1. Résolution.
a. Pour le potentiel considéré, le produit X(x)·Y(y) permet le découplage de l’équation de Schrödinger en deux équations en X(x) et Y(y) : $ - \frac{{{{\rlap{--} h}^2}}}{{2m}}\frac{{{d^2}X}}{{d{x^2}}} = {E_x}X{\rm{ et }} - \frac{{{{\rlap{--} h}^2}}}{{2m}}\frac{{{d^2}Y}}{{d{y^2}}}{E_y}Y$.
b. La solution générale de la première équation est X = A coskx + B sinkx où $k = \frac{{\sqrt {2m{E_x}} }}{{\rlap{--} h}}$.
Les conditions aux limites imposent $\left\{ {B = 0,k = \frac{{\pi + p2\pi }}{{{1_x}}}} \right\}$ou $\left\{ {A = 0,k = \frac{{p2\pi }}{{{1_x}}}} \right\}$, où p est un entier positif, ce qui conduit aux valeurs ${E_x} = {p^2}\frac{{{\pi ^2}{{\rlap{--} h}^2}}}{{2m1_x^2}}$.
c. L’équation en Y(y) conduit à des solutions analogues avec un entier positif q. Les niveaux d’énergie permis ont donc pour valeurs $E = \frac{{{\pi ^2}{{\rlap{--} h}^2}}}{{2m}}\left( {\frac{{{p^2}}}{{1_x^2}} + \frac{{{q^2}}}{{1_y^2}}} \right)$.

IV.2. Conditions aux limites périodiques.
a. kx et ky s’expriment en ${m^{ - 1}}$.
b. La condition de périodicité impose $\exp \left( {i{k_x}{1_x}} \right) = \exp \left( {i{k_y}{1_y}} \right) = 1$, soit ${k_x} = p\frac{{2\pi }}{{{1_x}}}$ et ${k_y} = q\frac{{2\pi }}{{{1_y}}}$, où p et q sont des entiers relatifs non nuls. Les énergies permises s’obtiennent avec l’équation de Schrödinger : $E = \frac{{{{\rlap{--} h}^2}}}{{2m}}\left( {k_x^2 + k_y^2} \right)$.
IV.3. Densité d’états.
a. Les points de coordonnées {kx, ky} se trouvent aux nœuds d’un réseau carré (origine exclue) dont la maille a pour longueurs de base $\Delta {k_x} = \frac{{2\pi }}{{{1_x}}}{\rm{ et }}\Delta {k_y} = \frac{{2\pi }}{{{1_y}}}$.
b. Dans l’espace des $\vec k$, les lignes d’égale énergie sont des cercles centrés sur l’origine, dont l’intérieur correspond aux énergies plus faibles : $k < \frac{{\sqrt {2mE} }}{{\rlap{--} h}}$. Si le nombre de points de ce disque est très grand, ce nombre peut être considéré comme égal au rapport de l’aire du disque à l’aire de la maille : $N\left( E \right)\frac{{\pi {k^2}}}{{ - \Delta {k_x}.\Delta {k_y}}} = \frac{{m{1_x}{1_y}}}{{2\pi {{\rlap{--} h}^2}}}E$.
c. On en déduit $\gamma \left( E \right) = \frac{{m{1_x}{1_y}}}{{2\pi {{\rlap{--} h}^2}}}$.
d. En tenant compte du spin, la densité d’états double : ${\gamma _s}\left( E \right) = \frac{{m{1_x}{1_y}}}{{\pi {{\rlap{--} h}^2}}}$.
IV.4.a. Des expressions obtenues en IV.1.b on déduit les valeurs permises ${k_x} = {p_1}\frac{\pi }{{{1_x}}}$et ${k_y} = {q_1}\frac{\pi }{{{1_{y'}}}}$, avec p et q entiers positifs.
b. La densité d’état s’obtient par les mêmes raisonnements qu’en IV.3.b c et d en les appliquant au quart de disque p>0, q>0, ce qui conduit au même résultat.
IV.5.a. Dans le domaine d’énergie considéré, le nombre d’états est $N = \frac{{m{1_x}{1_y}}}{{\pi {{\rlap{--} h}^2}}}{k_B}T$.
b. Application numérique : on obtient $N = {3,6.10^8}$.
IV.6.a. L’équation du mouvement d’un électron est maintenant $m\frac{{d\vec v}}{{dt}} + \frac{m}{\tau }\vec v = - e\vec E - e\vec v \wedge {\vec B_o}$. On en déduit l’équation en $\vec J$ en régime permanent : ${n_e}{e^2}\vec E = \frac{m}{\tau }\vec J + e\vec J \wedge {\vec B_o}$, qui se met sous la forme matricielle $\left( \begin{array}{l}{E_x}\\{E_y}\end{array} \right) = \frac{1}{{{n_e}e}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{m}{{e\tau }}}&{{B_o}}\\{ - {B_o}}&{\frac{m}{{e\tau }}}\end{array}} \right).\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{J_x}}\\{{J_y}}\end{array}} \right)$.
b. L’unité SI de densité de courant de surface est l’ampère par mètre et celle des coefficients de résistivité de surface l’ohm.
c. Avec les nouvelles notations, la matrice s’écrit $\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{{{\sigma _e}}}}&{\frac{\tau }{{{\sigma _e}}}{\omega _c}}\\{ - \frac{\tau }{{{\sigma _e}}}{\omega _e}}&{\frac{1}{{{\sigma _e}}}}\end{array}} \right)$.
ωc est la pulsation cyclotron, vitesse angulaire du mouvement de l’électron dans le champ magnétique.
d. Avec des champs uniformes la tension de Hall est ${V_{Hy}} = - {E_y}{1_y} = \frac{\tau }{{{\sigma _e}}}{\omega _c}\frac{{{1_x}}}{{{1_y}}}{1_y} = \frac{\tau }{{{\sigma _e}}}{\omega _c}{1_x}$, soit ${R_H}\frac{{\tau {\omega _c}}}{{{\sigma _e}}}$qui ne dépend pas des paramètres géométriques.
e. La résistivité longitudinale, coefficient liant Ex et Jx, ne dépend pas de Bo, alors que les trajectoires des électrons entre deux chocs sont courbées par le champ magnétique. L’absence d’un effet magnétorésistif est due à l’hypothèse simplificatrice de régime permanent $\frac{{d\vec v}}{{dt}} = \vec 0$.

IV.7.a. Dans le cas considéré, une température est très basse quand le nombre d’états situés dans l’intervalle kBT est suffisamment petit pour que la quantification ne puisse pas être négligée.
b. Avec les directions imposées ${{B}_{o}}=\frac{{{\underline{A}}_{y}}}{{\underset{\scriptscriptstyle-}{x}}}$, d’où ${A_y} = {B_o}x$.
c. L’équation de la fonction d’onde devient $-\frac{{{{}}^{2}}}{2m}\left( \frac{\underline{{{\Psi }^{2}}}}{{{{\underset{\scriptscriptstyle-}{x}}}^{2}}}+\frac{\underline{{{\Psi }^{2}}}}{{{{\underset{\scriptscriptstyle-}{y}}}^{2}}} \right)+\frac{e}{im}\frac{\underline{\Psi }}{{\underset{\scriptscriptstyle-}{y}}}+\frac{{{e}^{2}}}{2m}B_{o}^{2}{{x}^{2}}\Psi =\varepsilon \Psi $.
d. Les conditions aux limites imposent comme précédemment ${k_y} = q\frac{{2\pi }}{{{1_v}}}$. L’équation prend alors la forme indiquée avec ${V_o}(x) = - \frac{{{{\rlap{--} h}^2}}}{{2m}}k_y^2 + \frac{{\rlap{--} he}}{m}{k_y}{B_o}x + \frac{{{e^2}}}{{2m}}B_o^2{x^2} = \frac{m}{2}{\left( {\frac{{e{B_o}}}{m}} \right)^2}{\left[ {x - \left( { - \frac{{\rlap{--} h{k_y}}}{{e{B_o}}}} \right)} \right]^2}$, d’où ${\omega _o} = \frac{{e{B_o}}}{m}{\omega _c}$et ${x_o} = - \frac{{\rlap{--} h{k_y}}}{{e{B_o}}}$.
e. Vo(x) est un potentiel effectif parabolique pour la fonction Ω(x), équivalent à celui d’un oscillateur harmonique.
IV.8.a. Il faut que $|{k_y}| < \frac{{e{B_o}}}{{\rlap{--} h}}\frac{{{1_x}}}{2}$, ce qui correspond à un nombre de niveaux ${N_y} = 2Ent\left( {\frac{{{1_y}}}{{2\pi }}\frac{{e{B_o}}}{{\rlap{--} h}}\frac{{{1_x}}}{2}} \right) - \frac{{e{B_o}}}{{2\pi \rlap{--} h}}{1_x}{1_y}$. En multipliant ce nombre par 2 pour tenir compte du spin, on obtient bien l’expression de gp.
b. Tous les électrons nelxly se trouve sur le premier niveau (p=0) s’ils sont en nombre inférieur ou égal à g0, soit si ${B_o} = {B_1} = \frac{{\pi \rlap{--} h{n_e}}}{e}$. Les électrons se trouvent au plus sur p niveaux d’énergie si leur nombre est inférieur à $\sum\limits_0^{p - 1} {{g_p} = p{g_0}} $soit pour ${B_o} = {B_p} = \frac{{{B_1}}}{p}$.
c. Pour la valeur Bp, l’expression de la résistance de Hall s’écrit bien $R_H^{(p)} = \frac{{\pi \rlap{--} h}}{{{e^2}}}\frac{1}{p}$, qui ne dépend d’aucune caractéristique du milieu mais des constantes universelles $\rlap{--} h$ et e (effet Hall quantique). Ces résistances s’expriment en ohm.
IV.9.a. On obtient RK = 25,812806·103 Ω (± 12·10‑7 RK).
b. Les deux valeurs de RK concordent à mieux que la précision la plus faible. Il est remarquable que la précision est meilleure pour la valeur expérimentale, ce qui conduit à améliorer notre connaissance de la valeur numérique du rapport $\frac{{\rlap{--} h}}{{{e^2}}}$ de plus d’un ordre de grandeur.
c. La résistance de Hall quantique est reproductible avec une précision meilleure que ce que permettent les définitions du système international d’unités. Il est donc possible et intéressant de l’utiliser comme référence pour la mesure des résistances.
Il faut alors comparer une résistance de Hall à la résistance à mesurer. Comme l’une est longitudinale et l’autre transversale, un montage du type de ceux envisagés à la question III.2 ne convient plus.
IV.10. Quand τ est infini les coefficients ρxx et ρyy sont nuls. La matrice de résistivité est alors $\left( \rho \right) = R_H^{(p)}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}0&1\\{ - 1}&0\end{array}} \right)$.
La matrice conductivité est son inverse $\sigma = R_H^{(p) - 1}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 1}\\1&0\end{array}} \right)$. On constate que σxx n’est pas l’inverse de ρxx : la résistivité et la conductivité longitudinales sont simultanément nulles.

V. Système de détection.
V.1.a. C’est le montage classique amplificateur non-inverseur : ${V_o} = \frac{{{R_1} + {R_2}}}{{{R_2}}}{I_o}{R_s}$.
b. On en tire ${G_o} = \frac{{{R_1} + {R_2}}}{{{R_2}}}$ .
V.2.a. En égalant ${V_ - } = \frac{{{R_2}}}{{{R_1} + {R_2}}}{V_1}$ et ${V_ + } = {R_s}\frac{{{V_1} + {R_3}{I_o}}}{{{R_s} + {R_3}}}$ on obtient l’équation d’où on tire ${G_1} = {R_3}\frac{{{R_1} + {R_2}}}{{{R_2}{R_3} - {R_1}{R_s}}} = {G_o}\frac{{{R_3}}}{{{R_3} + \left( {1 - {G_o}} \right){R_s}}}$.
b. Quand R3 tend vers l’infini, G1 tend vers Go, comme il était prévisible.
V.3.a. En remplaçant Rs par son expression, on obtient ${V_1} = {V_3}\frac{{1 + aT + b{T^2}}}{{{r_3} + \alpha \left( {1 + aT + b{T^2}} \right)}}$.
On peut développer la fraction rationnelle selon les puissances croissantes de T.
b. En utilisant le paramètre $c = \frac{\alpha }{{{r_3} + \alpha }}$, l’expression s’écrit ${V_1} = \frac{{{V_3}}}{{{r_3} + \alpha }}\frac{{1 + aT + b{T^2}}}{{1 + caT + cb{T^2}}}$. Comme c << 1 (puisque R3 >> Rs) des approximations conduisent à ${V_1} = \frac{{{V_3}}}{{{r_3} + \alpha }}\left[ {1 + aT + \left( {b - c{a^2}} \right){T^2}} \right]$.
c. Pour annuler le terme du second degré, il faut prendre b=ca2, soit ${r_3} = \alpha \left( {\frac{{{a^2}}}{b} - 1} \right)$.
d. α ne devant pas être nul pour réaliser la condition précédente, la plus petite valeur entière possible pour Go est 2. On a alors α = ‑ 1 et ${R_3} = {2,86.10^3}\Omega $ qui est assez grand devant Rs.
Le premier terme négligé dans le développement de V1 est d’ordre 3. Les ordres de grandeurs donnés pour le développement de Rs conduisent à penser que le terme ignoré d’ordre 3 n’a pas d’influence sensible. Il suffit alors de pousser à l’ordre 3 le développement du 3.b. On obtient le coefficient ac(a2c‑2b)=‑8·10‑11. En prenant T=300K, la valeur relative du premier terme négligé est de l’ordre de ${2.10^{ - 3}}$.
V.4.a. En connectant la sonde par deux fils seulement, on mesure la somme de Rs et des résistances des fils de liaisons, mal déterminées (par suite de la non-uniformité de la température par exemple). Le nouvel amplificateur opérationnel permet le passage du courant dans la sonde tout en maintenant la borne C au potentiel de la masse, quelle que soit la résistance du fil parcouru par le courant.
b. Les résultats précédents restent valables puisque les chutes de tension dans les fils d’alimentation de la sonde y ont été supposées nulles. Il faut cependant remarquer que le montage ne permet pas de s’affranchir totalement de l’influence de la résistance R’ du fil reliant la source de courant à la sonde, qui intervient sur la fraction de Io qui traverse la sonde. En en tenant compte, on obtient ${V_1} = \frac{{{R_s}{V_3}}}{{{R_3} + R' + \left( {1 - {G_o}} \right){R_s}}}$. La résistance R’ n’y apparaît qu’au dénominateur alors que, dans le montage à deux fils, elle intervient en se rajoutant à Rs et figure ainsi au numérateur. Devant R3 grande, son influence est bien plus faible dans le montage à quatre fils même si elle n’est pas négligeable devant Rs.
c. Les fils reliant la sonde aux entrées des amplificateurs opérationnels ne sont parcourus que par les courants de polarisation très faibles de ceux-ci et ne servent qu’à la mesure de la tension. Les deux autres servent à l’alimentation en courant de la sonde.
Cette méthode de mesure, dite à quatre fils, permet de mesurer pratiquement la résistance de la sonde même si les longueurs des fils utilisés sont grandes et leur résistances non-négligeable.
VI. Puissance rayonnée par un « corps noir ».

VI.1.a. Les photons frappant la surface δΣ pendant le temps δt sous l’angle d’incidence η se trouvent dans le volume δΣ·cδt·cosη. Parmi les nϕ·δΣ·cδt·cosη photons occupant ce volume, ceux qui arrivent sous un angle d’incidence compris entre η et η+dη en constituent, par suite de l’isotropie à l’équilibre, la proportion égale à la fraction d’angle solide correspondant : ${d^3}N = n\varphi .\delta \Sigma .c\delta .\cos \eta \frac{{2\pi \sin \eta d\eta }}{{4\pi }}$, soit ${d^3}N = \frac{1}{2}{n_\varphi }c\sin \eta \cos \eta \delta \Sigma d\eta \delta t$.
b. La quantité de mouvement du photon a varié de $\Delta p = 2\frac{{hv}}{c}\cos \eta $ selon la normale interne à la paroi, qui a donc reçu la quantité de mouvement opposée.
c. Le théorème de la quantité de mouvement permet de calculer la force exercée sur l’élément de paroi selon la normale externe : ${d^3}F = \frac{{\Delta p}}{{\delta t}}{d^3}NP(E)dE = {n_\varphi }hv\sin \eta {\cos ^2}\eta \delta \Sigma d\eta P(E)dE$. En intégrant sur l’ensemble des énergies des photons on obtient, ${d^2}F = {n_\varphi }\sin \eta {\cos ^2}\eta \delta \Sigma d\eta \int_0^\infty {EP(E)dE} $.
d. En intégrant sur le demi-espace, $\int_0^{\pi /2} {\sin \eta {{\cos }^2}\eta d\eta = \frac{1}{3}} $et $u = {n_\varphi }\int_0^\infty {EP(E)dE} $, d’où $P = \frac{1}{3}u$.
VI.2.a. L’énergie interne est U = uV = 3PV. La différentielle de U est dU = ‑P dV + TdS, d’où on tire $dS = \frac{{dU}}{T} + \frac{P}{T}dV = \frac{V}{T}du + \frac{{4u}}{{3T}}dV$.
b. Sachant que u ne dépend que de T, le théorème de Schwarz appliqué à la fonction S(u,V) donne $\frac{1}{T} = \frac{4}{3}\left( {\frac{1}{T} - \frac{u}{{{T^2}}}\frac{{dT}}{{du}}} \right)$, soit $\frac{{du}}{u} = 4\frac{{dT}}{T}$ qui s’intègre en $u = \zeta .{T^4}$.
c. La différentielle de S(u,V) devient $dS = 4\zeta {T^2}VdT + \frac{4}{3}\zeta {T^3}dV$qui s’intègre en $S = \frac{4}{3}\zeta {T^3}V$.
On en déduit G = U + PV ‑ TS = 0. L’enthalpie libre du gaz de photons est donc toujours nulle. Ce résultat veut dire qu’à T et donc P donnés, G est toujours minimale, et que l’équilibre est toujours possible quel que soit le volume. Cette propriété est due au fait que le nombre de photons est indéterminé par suite de l’existence de l’émission-absorption avec la paroi pour la réalisation de l’équilibre.
VI.3.a. On calcule l’énergie volumique par intégration : $u = \int_0^\infty {{u_v}} dv = \frac{{8\pi h}}{{{c^3}}}{\left( {\frac{{{k_B}T}}{h}} \right)^4}\int_0^\infty {\frac{{{x^3}}}{{\exp \left( x \right) - 1}}} dx = \frac{{8{\pi ^5}}}{{15}}\frac{{k_B^4}}{{{c^3}{h^3}}}{T^4}$, d’où $\zeta = \frac{{8{\pi ^5}}}{{15}}\frac{{k_B^4}}{{{c^3}{h^3}}}$.
b. On reprend le calcul du 1.a en remplaçant la densité des photons nϕ par l’énergie volumique u, ce qui donne $\delta {W_s} = \frac{1}{2}uc\sin \eta \cos \eta d\eta $qui s’intègre en ${W_s} = \frac{1}{4}uc = \frac{{\zeta c}}{4}{T^4}$, et conduit à la valeur annoncée du coefficient σs.
c. On obtient pour la constante de Stefan ${\sigma _s} = {5,66.10^{ - 8}}W.{m^{ - 2}}.{K^{ - 4}}$.
VII. Pyromètre.
VII.1.a. La puissance échangée est égale à la différence entre les puissances reçues et émises dues aux rayonnements en équilibre avec chacune des parois : ${W_{21}} = A{\sigma _s}\left( {T_2^4 - T_1^4} \right)$. Pour une différence de température faible, on peut utiliser le développement limité au premier ordre :
${W_{21}} = 4A{\sigma _s}{T^3}\left( {{T_2} - {T_1}} \right)$.
b. On en déduit la constante $h_r^{th} = 4{\sigma _s}{T^3} = 442W.{m^{ - 2}}.{K^{ - 1}}$, qui est environ trois fois plus grande que la constante hr donnée en I.

c. Si on suppose que le four est un bon corps noir et donc que son facteur d’émissivité est égal à 1, le facteur ε du tube est le seul à intervenir dans les puissances reçues et émises, ce qui entraine $\varepsilon = \frac{{{h_r}}}{{h_r^{th}}}0,32$.
VII.2.a. Le rapport des deux mesures pyrométriques est égal au facteur εν et s’exprime en fonction des températures mesurées T1 et TA selon la loi d’étalonnage de VI.3. à la fréquence ν, en négligeant 1 devant les exponentielles : $\exp \left( {\frac{{hc}}{{{\lambda _o}{k_B}{T_1}}}} \right) = {\varepsilon _v}\exp \left( {\frac{{{h_c}}}{{{\lambda _o}{k_B}{T_A}}}} \right)$.
b. On en tire $\frac{1}{{{T_A}}} = \frac{1}{{{T_1}}} - \frac{{{\lambda _o}{k_B}}}{{hc}}\ln {\varepsilon _v}$.
c. En supposant que le facteur d’émissivité εν est très voisin du facteur d’émissivité moyenne, l’application numérique donne TA = 1195 K soit 922°C. L’écart par rapport à la température réelle est grand : près de 80 K.
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