Concours Physique ENS de Cachan et Lyon 1994 (Corrigé)

E.N.S. Cachan et Lyon 1994; physique; durée 4 h.

A.I.1°) $\Delta \varphi = \frac{{2\pi }}{\lambda }\delta$ avec $\delta =H{{M}_{2}}H'=({{\vec{u}}_{i}}-{{\vec{u}}_{t}}).\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{M}_{1}}{{M}_{2}}}}\,$, ${\vec k_i} = \frac{{2\pi }}{\lambda }{\vec u_i}$, ${\vec k_t} = \frac{{2\pi }}{\lambda }{\vec u_t}$
$\Rightarrow \Delta \varphi = \overrightarrow {{M_1}{M_2}} .\left( {{{\overrightarrow k }_i} - {{\overrightarrow k }_t}} \right)$
$\Delta \varphi = \left( {{{\overrightarrow R }_2} - {{\overrightarrow R }_1}} \right)\left( {{{\overrightarrow k }_i} - {{\overrightarrow k }_t}} \right)$
A.I.2°) $\Delta \varphi = 2\pi n,\;n \in Z$
A.I.3°) $\Delta \varphi = [({l_2} - {l_1})\vec a + ({m_2} - {m_1})\vec b + ({n_2} - {n_1})\vec c].\vec K = 2\pi n\;\forall \;{l_1},{l_2},{m_1},{m_2},{n_1},{n_2}$
si ${l_2} - {l_1} = 1,\;{m_2} - {m_1} = 0,\;{n_2} - {n_1} = 0$ soit $\vec K.\vec a = 2\pi p$
et ${l_2} - {l_1} = 0,\;{m_2} - {m_1} = 1,\;{n_2} - {n_1} = 0$ soit $\vec K.\vec b = 2\pi q$
et ${l_2} - {l_1} = 0,\;{m_2} - {m_1} = 0,\;{n_2} - {n_1} = 1$ soit $\vec K.\vec c = 2\pi r$ avec $(p,q,r) \in {Z^3}$ et $\vec K = {\vec k_i} - {\vec k_t}$
On peut développer $\vec K$ dans la base des vecteurs réciproques: $\vec K = \alpha \vec A + \beta \vec B + \gamma \vec C$ et tenir compte que $\vec a.\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over A} = 2\pi$, $\vec a.\vec B = 0$ et $\vec a.\vec C = 0$ d’où $\vec K.\vec a = 2\pi \alpha = 2\pi p$ et $\alpha = p$ et de même $\beta = q$, $\gamma = r$; on en déduit:
$\vec K = p\vec A + q\vec B + r\vec C$

Les deux vecteurs d’onde ont la même norme $\left\| {{{\vec k}_i}} \right\| = \left\| {{{\vec k}_t}} \right\|$ et ont leurs extrémités sur un cercle dont le rayon est cette norme; en projetant ces deux vecteurs sur $\vec K$, on obtient: $2{\vec k_i}.\frac{{\vec K}}{K} = \frac{K}{2}$ soit $2{\vec k_i}.\vec K = {K^2}$

A.II.1°) Le volume de la cellule élémentaire est $V = \vec a.(\vec b \wedge \vec c)$; or la surface du parallélélogramme construit sur les vecteurs $\vec a$et $\vec b$ est $S = \left\| {\vec a \wedge \vec b} \right\|$ et si d est la distance entre deux plans atomiques successifs perpendiculaires à $\vec C$ alors V=Sd d’où $d = \frac{{2\pi }}{{\left\| {\vec C} \right\|}}$
A.II.2°) La relation démontrée en A.I.3° s’écrit $2{k_i}\sin \alpha = K$; or $\vec K = r\vec C$ implique $K = r\frac{{2\pi }}{d}$; comme ${k_i} = \frac{{2\pi }}{\lambda }$ on en déduit la relation cherchée: $2d\sin \alpha = r\lambda$ $r \in Z$ (on peut toujours noter s à la place de r).
A.II.3°) La distance interatomique est de l’ordre de 0,1 nm; il faut $\sin \alpha \le 1$ ce qui implique $\lambda \le 2d,\;domaine\;des\;rayons\;X$.
A.III.1°) Par réflexion sur la surface du cristal (parallèle aux plans atomiques équidistants de d), seules les radiations vérifiant la relation $2d\sin \alpha = r\lambda$ont une amplitude non nulle ce qui sélectionne ces radiations; si on veut sélectionner une seule radiation, il faut $\lambda > d$ ce qui correspond à une seule valeur possible de r égale à l’unité.

A.III.2°) Pour faire varier la longueur d’onde, il suffit de faire tourner le cristal; si on dispose de deux cristaux identiques à faces parallèles, le faisceau émergent est parallèle au faisceau incident.
A.IV) La normale en M au cristal est MC; par réflexion, l’angle entre MP et MC est égal à l’angle entre MC et MP’; ils valent $\frac{\pi }{2} - \alpha$; l’angle entre MP et MP’ est constant et vaut$\pi - \alpha$; le point M est sur le cercle de centre C et donc pratiquement sur le cercle de centre C’ au deuxième ordre près; de ce fait P étant fixé, P’ est à l’extrémité d’une corde fixe du cercle de centre C’; en fait P’ est symétrique de P par rapport à CC’.
B.I.1°) On fait un calcul approché voire faux en supposant que les coordonnées de M dépendent peu de celles de P (quasiment fixe); çe qui donne un résultat exact pour le champ magnétique mais pas pour le champ électrique! mais le calcul rigoureux est bien trop difficile pour les étudiants; visiblement, le texte imposait de faire ce calcul faux.
$\vec B = \vec \nabla \wedge \vec A$ soit $\vec B = \frac{{{\mu _0}}}{{4\pi }}\frac{{q\vec \nabla \wedge \vec v(t - \frac{r}{c})}}{r}$ = $\frac{{{\mu _0}q}}{{4\pi }}\left( {\frac{1}{r}\vec \nabla \wedge \vec v(t - \frac{r}{c}) + \vec \nabla \frac{1}{r} \wedge \vec v(t - \frac{r}{c})} \right)$; or $\vec \nabla \frac{1}{r} = - \frac{{\vec r}}{{{r^3}}}$
$\left( {\vec \nabla \wedge \vec v(t - \frac{r}{c})} \right).{\vec u_x} = \frac{\partial }{{\partial y}}{v_z}(t - \frac{r}{c}) - \frac{\partial }{{\partial z}}{v_y}(t - \frac{r}{c})$ d’où $\left( {\vec \nabla \wedge \vec v(t - \frac{r}{c})} \right).{\vec u_x} = \frac{\partial }{{\partial r}}{v_z}(t - \frac{r}{c})\frac{{\partial r}}{{\partial y}} - \frac{\partial }{{\partial r}}{v_y}(t - \frac{r}{c})\frac{{\partial r}}{{\partial z}}$; soit x, y, z les coordonnées de M dans un repère cartésien fixe Oxyz et ${x_P},{y_P},{z_P}$ celles de la charge q, au point P; ${r^2} = {(x - {x_P})^2} + {(y - {y_P})^2} + {(z - {z_P})^2}$; par différentiation: $\frac{{\partial r}}{{\partial x}} = \frac{{x - {x_P}}}{r}$; idem en y et z; par ailleurs $\frac{{\partial f(t - \frac{r}{c})}}{{\partial r}} = - \frac{1}{c}\frac{{\partial f(t - \frac{r}{c})}}{{\partial t}}$; d’où $\left( {\vec \nabla \wedge \vec v(t - \frac{r}{c})} \right).{\vec u_x} = - \frac{1}{c}\left( {\frac{\partial }{{\partial t}}{v_z}(t - \frac{r}{c})\frac{{(x - {x_P})}}{r} - \frac{\partial }{{\partial t}}{v_y}(t - \frac{r}{c})\frac{{(y - {y_P})}}{r}} \right)$; idem pour les composantes y et z; on introduit l’accélération retardée: $\vec a(t - \frac{r}{c}) = \frac{{\partial \vec v(t - \frac{r}{c})}}{{\partial t}}$ et on en déduit: $\vec \nabla \wedge \vec v(t - \frac{r}{c}) = - \frac{1}{c}\vec a(t - \frac{r}{c}) \wedge \frac{{\vec r}}{r}$ et $\vec B = \frac{{{\mu _0}q}}{{4\pi }}\left( {\frac{1}{c}\vec a(t - \frac{r}{c}) \wedge \frac{{\vec r}}{{{r^2}}} - \frac{{\vec r}}{{{r^3}}} \wedge \vec v(t - \frac{r}{c})} \right)$.

B.I.2°) Si M est à grande distance, le second terme en $\frac{1}{{{r^2}}}$ est négligeable devant le premier en $\frac{1}{r}$; d’où $\vec B = \frac{{{\mu _0}q}}{{4\pi c}}\vec a(t - \frac{r}{c}) \wedge \frac{{\vec r}}{{{r^2}}}$; en fait l’approximation correspond à $r > > c\frac{{{v_{ret}}}}{{{a_{ret}}}}$; la dépendance en $\frac{1}{r}$ est prévisible car la puissance rayonnée dans toutes les directions est indépendante de la distance et est proportionnelle au carré de l’amplitude; l’amplitude est donc inversement proportionnelle à la distance r.
B.I.3°) L’onde étant quasi-plane: $\vec E = \vec B \wedge \vec c$ d’où $\vec E = \frac{{{\mu _0}q}}{{4\pi c}}\left( {\vec a(t - \frac{r}{c}) \wedge \frac{{\vec r}}{{{r^2}}}} \right) \wedge \vec c$; avec $\vec c = c\frac{{\vec r}}{r}$, on obtient:
$\vec E = \frac{{{\mu _0}q}}{{4\pi {r^3}}}\left( {\vec a(t - \frac{r}{c}) \wedge \vec r} \right) \wedge \vec r$

B.I.4°) Le vecteur de Poynting est $\vec R = \frac{1}{{{\mu _0}}}\vec E \wedge \vec B$; or $\vec E = \vec B \wedge \vec c$ d’où en remplaçant le champ électrique par sa valeur et en développant le double produit vectoriel, on a: $\vec R = \frac{{{B^2}}}{{{\mu _0}}}\vec c = \frac{{{\mu _0}{e^2}}}{{16{\pi ^2}c{r^2}}}a_{ret}^2{\sin ^2}\theta \frac{{\vec r}}{r}$ ; la puissance rayonnée à travers l’élément de surface (normal à PM) $dS = {r^2}d\Omega$ est $dP = \vec R.d\vec S$; on en déduit:
$\frac{{dP}}{{d\Omega }} = \frac{{{\mu _0}{e^2}}}{{16{\pi ^2}c}}a_{ret}^2{\sin ^2}\theta$ d’où la courbe ci-contre:
B.I.5°) $d\Omega = \sin \theta d\theta d\varphi$
$P=\frac{{{\mu }_{0}}{{e}^{2}}a_{ret}^{2}}{16{{\pi }^{2}}c}\iint\limits_{\begin{smallmatrix} \theta \in \left[ 0,\pi \right] \\ \varphi \in \left[ 0,2\pi \right] \end{smallmatrix}}{{{\sin }^{3}}\theta d\theta d\varphi }$ ; l’intégrale $\int\limits_0^\pi {{{\sin }^3}\theta d\theta } = \frac{4}{3}$ et ${\varepsilon _0}{\mu _0}{c^2} = 1$; on en déduit
$P = \frac{{{\mu _0}{e^2}a_{ret}^2}}{{6\pi c}}$ soit une forme plus classique: $P = \frac{2}{3}\;\frac{{{e^2}}}{{4\pi {\varepsilon _0}}}\frac{{a_{ret}^2}}{{{c^3}}}$
B.I.6°) $\vec a_{ret}^2 = \frac{d}{{dt}}({\vec v_{ret}}.{\vec a_{ret}}) - {\vec v_{ret}}.\frac{{d{{\vec a}_{ret}}}}{{dt}}$; on considère les valeurs moyennes sur une période;
$\left\langle {\frac{d}{{dt}}({{\vec v}_{ret}}.{{\vec a}_{ret}})} \right\rangle = \frac{1}{T}\int\limits_0^T {\frac{d}{{dt}}({{\vec v}_{ret}}.{{\vec a}_{ret}})\;} dt = \frac{1}{T}\left[ {{{\vec v}_{ret}}.{{\vec a}_{ret}}} \right]_0^T = 0$ du fait de la périodicité, d’où $\left\langle {\vec a_{ret}^2} \right\rangle = - \left\langle {{{\vec v}_{ret}}.\frac{d}{{dt}}{{\vec a}_{ret}}} \right\rangle$; la puissance perdue en moyenne se met sous la forme: ${P_{perdue}} = + \frac{{{\mu _0}{e^2}}}{{16\pi c}}{\vec v_{ret}}.\frac{{d{{\vec a}_{ret}}}}{{dt}}$
soit sous la forme: ${P_{perdue}} = {\vec F_{ret}}.{\vec v_{ret}}$ c’est-à-dire la puissance d’une force de freinage retardée ${\vec F_{ret}} = + \frac{{{\mu _0}{e^2}}}{{16\pi c}}\;\frac{{d{{\vec a}_{ret}}}}{{dt}}$ soit une force de freinage instantanée: $\vec F = + \frac{{{\mu _0}{e^2}}}{{16\pi c}}\;\frac{{d{{\vec a}_P}}}{{dt}}$.
B.II.1°) Force de Lorentz: $\vec f = - e(\vec E + \vec v \wedge \vec B)$; onde quasi-plane: $\vec E = \vec B \wedge \vec c$; $\left\| {\vec v \wedge \vec B} \right\| \approx vB = \frac{v}{c}E < < E$ car la charge n’est pas relativiste d’où $\vec f \approx - e\vec E$.
B.II.2°) Théorème de la quantité de mouvement pour l’électron: $m\frac{{{d^2}\vec r}}{{d{t^2}}} = - m\omega _0^2\vec r - m\Gamma \vec v + \frac{{{\mu _0}{e^2}}}{{16\pi c}}\;\frac{{d{{\vec a}_P}}}{{dt}} - e\vec E$
B.II.3°) L’équation peut se mettre sous la forme: $-\frac{{{\mu }_{0}}{{e}^{2}}}{16\pi cm}+\ddot{\vec{r}}+\Gamma \dot{\vec{r}}+\omega _{0}^{2}\vec{r}=-\frac{e}{m}\overrightarrow{E}$
On a un mouvement sinusoïdal forcé de pulsation ω; de ce fait la dérivation par rapport au temps est la multiplication par -iω; on en déduit $\vec r = \frac{{\frac{{ - e}}{m}\vec E}}{{\omega _0^2 - {\omega ^2} + i\left( {\Gamma + \frac{{{\mu _0}{e^2}}}{{16\pi cm}}{\omega ^2}} \right)\omega }}$ et l’accélération instantanée en multipliant par -${\omega ^2}$ soit $\overrightarrow a = \frac{{\frac{e}{m}{\omega ^2}{{\overrightarrow E }_0}{e^{i\left( {{{\vec k}_i}.\overrightarrow {OP} - \omega t} \right)}}}}{{\omega _0^2 - {\omega ^2} + i\left( {\Gamma + \frac{{{\mu _0}{e^2}}}{{16\pi cm}}{\omega ^2}} \right)\omega }}$; l’accélération retardée s’en déduit en remplaçant t par $t - \frac{{PM}}{c}$; attention! ne pas confondre OP et r=PM;
${{\vec{a}}_{ret}}=\frac{\frac{e}{m}{{\omega }^{2}}{{{\vec{E}}}_{0}}{{e}^{i({{{\vec{k}}}_{i}}.\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{OP}}\,-\omega (t-\frac{PM}{c}))}}}{\omega _{0}^{2}-{{\omega }^{2}}-i\left( \Gamma +\frac{{{\mu }_{0}}{{e}^{2}}}{16\pi cm}{{\omega }^{2}} \right)\omega }$ soit en introduisant ${{\vec{k}}_{r}}=\frac{\omega }{c}\frac{{\vec{r}}}{r}$ et $\vec K = {\vec k_i} - {\vec k_r}$
${{\vec{a}}_{ret}}=\frac{\frac{e}{m}{{\omega }^{2}}{{{\vec{E}}}_{0}}{{e}^{i\vec{K}.\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{OP}}\,}}}{\omega _{0}^{2}-{{\omega }^{2}}+i\left( \Gamma +\frac{{{\mu }_{0}}{{e}^{2}}}{16\pi cm}{{\omega }^{2}} \right)\omega }{{e}^{i({{{\vec{k}}}_{r}}.\vec{r}-\omega t)}}$ et $\vec{B}=-\frac{{{\mu }_{0}}{{e}^{2}}{{\omega }^{2}}}{4\pi {{r}^{2}}cm}\frac{{{{\vec{E}}}_{0}}\wedge \vec{r}\ {{e}^{i\vec{K}.\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{OP}}\,}}}{\omega _{0}^{2}-{{\omega }^{2}}+i\left( \Gamma +\frac{{{\mu }_{0}}{{e}^{2}}}{16\pi cm}{{\omega }^{2}} \right)\omega }{{e}^{i({{{\vec{k}}}_{r}}.\vec{r}-\omega t)}}$
On a le champ magnétique d’une onde sphérique issue de O (en $\frac{1}{r}{e^{i({k_r}r - \omega t)}}$) d’amplitude proportionnelle à celle de l’onde plane primaire incidente soit ${\vec E_0}$ et de même pulsation que l’onde primaire (diffusion sans changement de fréquence).
B.II.4°) $\vec R = \frac{1}{{{\mu _0}}}\vec E \wedge \vec B = \frac{{(\vec E + {{\vec E}^*}) \wedge (\vec B + {{\vec B}^*})}}{{4{\mu _0}}}$
$\left\langle {\vec R} \right\rangle = \frac{{\left\langle {\vec E \wedge {{\vec B}^*} + {{\vec E}^*} \wedge \vec B} \right\rangle }}{{4{\mu _0}}}$ avec $\vec E = \vec B \wedge \vec c$ donne $\left\langle {\vec R} \right\rangle = \frac{{\left\langle {\vec B.\vec B} \right\rangle \vec c}}{{2{\mu _0}}} = f(\omega )\frac{{{\mu _0}{e^4}}}{{32{\pi ^2}c{m^2}}}\frac{{{{\sin }^2}\theta }}{{{r^2}}}{\left\| {{{\vec E}_0}} \right\|^2}{\vec u_r}$ avec
$f(\omega ) = \frac{{{\omega ^4}}}{{{{(\omega _0^2 - {\omega ^2})}^2} + {{\left( {\Gamma + \frac{{{\mu _0}{e^2}{\omega ^2}}}{{16\pi cm}}} \right)}^2}{\omega ^2}}}$; $d{P_1} = \left\langle {\vec R} \right\rangle .d\vec S = \left\langle R \right\rangle {r^2}d\Omega$soit $d{P_1} = f(\omega )\frac{{{\mu _0}{e^4}}}{{32{\pi ^2}c{m^2}}}{\sin ^2}\theta {\left\| {{{\vec E}_0}} \right\|^2}d\Omega$

B.II.6°) Avec les valeurs du texte: $T = \frac{{{\mu _0}{e^2}{\omega ^2}}}{{16\pi cm}} < < \Gamma$ si $\omega < < {6,5.10^{18}}\;{s^{ - 1}}$; on ne peut négliger le terme T dans le domaine des rayons X. Si ω → 0 $f(\omega ) \approx {\left( {\frac{\omega }{{{\omega _0}}}} \right)^4} \to 0$ et si ω → ∞ $f(\omega ) = {\left( {\frac{{6\pi cm}}{{{\mu _0}{e^2}}}} \right)^2}\frac{1}{{{\omega ^2}}} \to 0$; pour $\omega = {\omega _0}$, T est négligeable, d’où l’existence du maximum au voisinage de ${\omega _0}$ et la courbe.

B.III.1°) $\frac{{d{P_{1e}}}}{{d{P_{1p}}}} \approx {\left( {\frac{{{m_p}}}{{{m_e}}}} \right)^2} = {1830^2} = {3,3.10^6}$
L’électron rayonne plusieurs millions de fois plus que le proton.
B.III.2°) ${\vec B_p} = - \frac{{{\mu _0}{e^2}{\omega ^2}}}{{4\pi rcm}}\frac{{{{\vec E}_0} \wedge \vec u\;{e^{i\vec K.{{\vec r}_P}}}}}{{\omega _0^2 - {\omega ^2} + i\left( {\Gamma + \frac{{{\mu _0}{e^2}}}{{16\pi cm}}{\omega ^2}} \right)\omega }}{e^{i({{\vec k}_r}.\vec r - \omega t)}}$
B.III.3°) $\vec B = \sum\limits_1^Z {{{\vec B}_p}}$ avec $\vec r$et donc $\vec u$quasiment indépendants du proton, du fait que la distance à l’atome est très supérieure aux dimensions de l’atome.
${\vec B_p} = - \frac{{{\mu _0}{e^2}{\omega ^2}}}{{4\pi rcm}}\frac{{{{\vec E}_0} \wedge \vec u\;\sum\limits_1^Z {{e^{i\vec K.{{\vec r}_P}}}} }}{{\omega _0^2 - {\omega ^2} + i\left( {\Gamma + \frac{{{\mu _0}{e^2}}}{{16\pi cm}}{\omega ^2}} \right)\omega }}{e^{i({{\vec k}_r}.\vec r - \omega t)}}$
B.III.4°) On trouve $\frac{{d{P_Z}}}{{d\Omega }} = \frac{{d{P_1}}}{{d\Omega }}\left\langle {{{\left\| {S(\vec K)} \right\|}^2}} \right\rangle$ avec $S(\vec K) = \sum\limits_1^Z {{e^{i\vec K.{{\vec r}_P}}}}$
B.III.5°) Le déplacement forcé de tous les électrons est le même mais les positions de départ ne sont pas forcément les mêmes: ${\vec r_p} = \vec r + {\vec r_{op}}$.
${\left\| {S(\vec K)} \right\|^2} = \sum\limits_{p = 1}^Z {\sum\limits_{q = 1}^Z {{e^{i\vec K.({{\vec r}_p} - {{\vec r}_q})}}} }$ avec $\vec K = \frac{{2\pi }}{\lambda }(\vec u - {\vec u_z})$
${\left\| {S(\vec K)} \right\|^2} = \sum\limits_{p = 1}^Z {\sum\limits_{q = 1}^Z {{e^{i\vec K.({{\vec r}_{0p}} - {{\vec r}_{0q}}).(\vec u - {{\vec u}_z})}}} }$
${\vec r_{0P}} - {\vec r_{0Q}}$ est de l’ordre de a;
si $\lambda > > a$ les exponentielles valent 1 et ${\left\| {S(\vec K)} \right\|^2} = {Z^2}$; en fait tous les facteurs de phase sont nuls et les Z ondes sont en phase: il s’agit de diffusion cohérente dans ces conditions;
si $\lambda < < a$, on peut écrire ${\left\| {S(\vec K)} \right\|^2} = Z + 2\sum\limits_{\scriptstyle{p = 1}\atop\scriptstyle{p < q}}^Z {\sum\limits_{q = 1}^Z {\cos \frac{{2\pi }}{\lambda }} } (\vec u - {\vec u_z}).({\vec r_{0P}} - {\vec r_{0Q}})$ et si on admet que les valeurs de ${\vec r_{0P}}$ sont aléatoires et que Z est élévé la double somme est nulle; cette fois ${\left\| {S(\vec K)} \right\|^2} = Z$ sauf si $\vec u = {\vec u_z}$ auquel cas ${\left\| {S(\vec K)} \right\|^2} = {Z^2}$; en général, la diffusion est incohérente sauf dans la direction de z’z.
B.IV.1°) ${\vec B_p} = - \frac{{{\mu _0}{e^2}{\omega ^2}}}{{4\pi rcm}}\frac{{{{\vec E}_0} \wedge \vec u\;\sum\limits_1^N {\sum\limits_1^Z {{e^{i\vec K.{{\vec r}_{nP}}}}} } }}{{\omega _0^2 - {\omega ^2} + i\left( {\Gamma + \frac{{{\mu _0}{e^2}}}{{16\pi cm}}{\omega ^2}} \right)\omega }}{e^{i({{\vec k}_r}.(\vec r - {{\vec R}_n}) - \omega t)}}{e^{i{{\vec k}_i}.{{\vec R}_n}}}$; le dernier facteur exponentiel tient compte de la différence de placement des atomes quand ils reçoivent l’onde incidente; par ailleurs $\vec r - {\vec R_n}$ représente le vecteur allant de l’atome considéré au point M considéré.
On en déduit: $\frac{{d{P_N}}}{{d\Omega }} = \frac{{d{P_1}}}{{d\Omega }}\left\langle {{{\left\| {\sum\limits_{n = 1}^N {\left( {\sum\limits_{p = 1}^Z {{e^{i\vec K.{{\vec r}_{nP}}}}} } \right){e^{i\vec K.{{\vec R}_n}}}} } \right\|}^2}} \right\rangle$
B.IV.2°) $\lambda > > \left\| {{{\vec r}_{nP}}} \right\|$ et $\vec K = \frac{{2\pi }}{\lambda }(\vec u - {\vec u_z})$ d’où $\sum\limits_{p = 1}^Z {{e^{i\vec K.{{\vec r}_{nP}}}}} \cong Z$ et $S = Z{S_N}(\vec K)$ avec ${S_N}(\vec K) = \sum\limits_{n = 1}^N {{e^{i\vec K.{{\vec R}_n}}}}$.
B.IV.3°.a) $l = 20\lambda$ et $\vec K \ne \vec 0$; $\left\langle {{{\left\| {{S_N}(\vec K)} \right\|}^2}} \right\rangle = \sum\limits_{n = 1}^N {\sum\limits_{q = 1}^N {{e^{i\vec K.({{\vec R}_n} - {{\vec R}_q})}}} } = N + 2\sum\limits_{\scriptstyle{n = 1}\atop\scriptstyle{n < q}}^N {\sum\limits_{q = 1}^N {\cos (\vec K.({{\vec R}_n} - {{\vec R}_q}))} }$; la double somme est nulle car les vecteurs ${\vec R_n}$ sont aléatoires; d’où $\left\langle {{{\left\| {{S_N}(\vec K)} \right\|}^2}} \right\rangle = N$; on en déduit:
$\frac{{d{P_N}}}{{d\Omega }} = N{Z^2}\frac{{d{P_1}}}{{d\Omega }}$.

B.IV.3°.b) On a la même dépendance que pour un seul électron; mais dans le visible on peut supposer $\omega \cong {\omega _0}$ et $f(\omega ) \cong \frac{{{\omega ^4}}}{{{{(\omega _0^2 - {\omega ^2})}^2}}}$
B.IV.3°.c) On a le phénomène de résonance optique.
B.IV.4°.a) ${S_N}(\vec K) = \sum\limits_{l = 0}^{N - 1} {\sum\limits_{m = 0}^{N - 1} {\sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {{e^{i\vec K.(l\vec a + m\vec b + n\vec c)}}} } }$
${S_N}(\vec K) = \sum\limits_{l = 0}^{N - 1} {{e^{i\vec K.l\vec a}}} \sum\limits_{m = 0}^{N - 1} {{e^{i\vec K.l\vec b}}} \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {{e^{i\vec K.l\vec c}}}$
${S_N}(\vec K) = \frac{{{e^{i\vec K.N\vec a}} - 1}}{{{e^{i\vec K.\vec a}} - 1}}\;\frac{{{e^{i\vec K.N\vec b}} - 1}}{{{e^{i\vec K.\vec b}} - 1}}\;\frac{{{e^{i\vec K.N\vec c}} - 1}}{{{e^{i\vec K.\vec c}} - 1}}$
${S_N}(\vec K) = {e^{i\frac{{(N - 1)}}{2}\vec K.(\vec a + \vec b + \vec c)}}\frac{{\sin (\vec K.\frac{N}{2}\vec a)}}{{\sin (\vec K.\frac{{\vec a}}{2})}}\frac{{\sin (\vec K.\frac{N}{2}\vec b)}}{{\sin (\vec K.\frac{{\vec b}}{2})}}\frac{{\sin (\vec K.\frac{N}{2}\vec c)}}{{\sin (\vec K.\frac{{\vec c}}{2})}}$
B.IV.4°.b) $\frac{{d{P_N}}}{{d\Omega }} = {Z^2}{\left( {\frac{{\sin (\vec K.\frac{N}{2}\vec a)}}{{\sin (\vec K.\frac{{\vec a}}{2})}}\frac{{\sin (\vec K.\frac{N}{2}\vec b)}}{{\sin (\vec K.\frac{{\vec b}}{2})}}\frac{{\sin (\vec K.\frac{N}{2}\vec c)}}{{\sin (\vec K.\frac{{\vec c}}{2})}}} \right)^2}\frac{{d{P_1}}}{{d\Omega }}$
Cette fonction est maximale si $\vec K.\vec a = 2\pi p,\;\vec K.\vec b = 2\pi q,\;\vec K.\vec c = 2\pi r$ ce qui est bien le résultat obtenu en A.

B.IV.4°.c)

B.IV.4°.d) $\frac{{d{P_N}}}{{d\Omega }} = {Z^2}{N^4}{\left( {\frac{{\sin (\vec K.\frac{N}{2}\vec c)}}{{\sin (\vec K.\frac{{\vec c}}{2})}}} \right)^2}\frac{{d{P_1}}}{{d\Omega }}$; la largeur angulaire est déterminée par les deux premières annulations de part et d’autre d’un pic principal soit par $\vec K.\frac{N}{2}\vec c = \frac{N}{2}\pi r \pm \pi$ ou $d{\vec k_r}.\vec c = \pm \frac{{2\pi }}{N}$
soit $\Delta {\vec k_r}.\vec c = \frac{{4\pi }}{N}$; or $\left\| {{{\vec k}_r}} \right\| = \frac{{2\pi }}{\lambda }$ et en plus, c’est un vecteur perpendiculaire à ${\vec k_r}$; on en déduit:
$\Delta \theta = \frac{{2\lambda }}{{Nd\cos \theta }}$.
B.IV.5°.a) Au troisième ordre près, ${S_N}(\vec K) \cong \sum\limits_{n = 1}^N {{e^{\vec iK.{{\vec R}_{n0}}}}} (1 + i\vec K.{\vec \rho _n}(t) - \frac{1}{2}{(\vec K.{\vec \rho _n}(t))^2})$
$\left\langle {{{\left\| {{S_N}(\vec K)} \right\|}^2}} \right\rangle = \sum\limits_{n = 1}^N {\sum\limits_{n = q}^N {{e^{i\vec K.({{\vec R}_{n0}} - {{\vec R}_{q0}})}}} \left\langle {(1 + i\vec K.{{\vec \rho }_n}(t) - \frac{1}{2}{{(\vec K.{{\vec \rho }_n}(t))}^2})(1 + i\vec K.{{\vec \rho }_q}(t) - \frac{1}{2}{{(\vec K.{{\vec \rho }_q}(t))}^2})} \right\rangle }$
$\left\langle {{{\left\| {{S_N}(\vec K)} \right\|}^2}} \right\rangle = \sum\limits_{n = 1}^N {\sum\limits_{n = q}^N {{e^{i\vec K.({{\vec R}_{n0}} - {{\vec R}_{q0}})}}} \left\langle {(1 + i\vec K.({{\vec \rho }_n}(t) - {{\vec \rho }_q}(t)) - \frac{1}{2}{{(\vec K.{{\vec \rho }_n}(t))}^2}) - \frac{1}{2}{{(\vec K.{{\vec \rho }_q}(t))}^2} + (\vec K.{{\vec \rho }_n}(t))(\vec K.{{\vec \rho }_q}(t))} \right\rangle }$
or $\left\langle {\vec K.({{\vec \rho }_n}(t) - {{\vec \rho }_q}(t))} \right\rangle = 0$; il reste $\left\langle {{{\left\| {{S_N}(\vec K)} \right\|}^2}} \right\rangle = \sum\limits_{n = 1}^N {\sum\limits_{n = q}^N {{e^{i\vec K.({{\vec R}_{n0}} - {{\vec R}_{q0}})}}} \left\langle {(1 - \frac{1}{2}{{(\vec K.{{\vec \rho }_n}(t))}^2} - \frac{1}{2}{{(\vec K.{{\vec \rho }_q}(t))}^2} + (\vec K.{{\vec \rho }_n}(t))(\vec K.{{\vec \rho }_q}(t))} \right\rangle }$
$\left\langle {{{\left\| {{S_N}(\vec K)} \right\|}^2}} \right\rangle = \sum\limits_{n = 1}^N {\sum\limits_{n = q}^N {{e^{i\vec K.({{\vec R}_{n0}} - {{\vec R}_{q0}})}}} \left\langle {(1 - \frac{1}{2}(\vec K.{{({{\vec \rho }_n}(t) - {{\vec \rho }_q}(t))}^2})} \right\rangle }$
Soit z’z la direction de $\vec K$; $\left\langle {{{\left\| {{S_N}(\vec K)} \right\|}^2}} \right\rangle = \sum\limits_{n = 1}^N {\sum\limits_{n = q}^N {{e^{i\vec K.({{\vec R}_{n0}} - {{\vec R}_{q0}})}}} \left\langle {(1 - \frac{1}{2}({K^2}{{({\rho _{nz}}(t) - {\rho _{qz}}(t))}^2})} \right\rangle }$; en développant le carré parfait, on fait apparaître le double produit de deux déplacements, sans corrélations entre eux; en moyenne, il est nul; on fait apparaître deux carrés de deplacement selon z’z; chaque terme quadratique indépendant représente un degré de liberté et est affecté d’une énergie moyenne kT/2 (k constante de Boltzmann); en appelant C la constante de rappel des atomes à leur position d’équilibre, l’énergie potentielle élastique liée à ce degré de liberté est donnée par $\frac{1}{2}C\left\langle {{\rho ^2}} \right\rangle = \frac{3}{2}kT$ et donc $\left\langle {\rho _{nz}^2} \right\rangle = \frac{{kT}}{C}$

$\left\langle {{{\left\| {{S_N}(\vec K)} \right\|}^2}} \right\rangle = \sum\limits_{n = 1}^N {\sum\limits_{n = q}^N {{e^{i\vec K.({{\vec R}_{n0}} - {{\vec R}_{q0}})}}} (1 - {K^2}} \frac{{kT}}{C})$
On en déduit $\frac{{d{P_N}}}{{d\Omega }} = {Z^2}\frac{{d{P_1}}}{{d\Omega }}\sum\limits_{n = 1}^N {\sum\limits_{n = q}^N {{e^{i\vec K.({{\vec R}_{n0}} - {{\vec R}_{q0}})}}} (1 - {K^2}} \frac{{kT}}{C})$
soit ${\left( {\frac{{d{P_N}}}{{d\Omega }}} \right)_T} = {\left( {\frac{{d{P_N}}}{{d\Omega }}} \right)_{T = 0}}(1 - \varepsilon ) + \xi$ avec $\varepsilon = {K^2}\frac{{kT}}{C}$ et $\xi$représentant le reste du développement.
En conséquence $\varepsilon$est proportionnel à la température absolue.
B.IV.5°.b) ${\left( {\frac{{d{P_N}}}{{d\Omega }}} \right)_T}$ et ${\left( {\frac{{d{P_N}}}{{d\Omega }}} \right)_{T = 0}}$sont proportionnelles et de cefait les maximums et les annulations ont lieu pour les mêmes valeurs de $\theta$; les pics ont donc la même largeur angulaire à T quelconque et au zéro absolu.