A 94 PHYS. II - M
ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES,
ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE,
ÉCOLE POLYTECHNIQUE
(OPTION T.A.)
CONCOURS D'ADMISSION 1994
PHYSIQUE
DEUXIÈME ÉPREUVE
OPTION M
(Durée de l'épreuve : 3 heures)
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
PHYSIQUE II - M.
L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de l'option M , comporte 7 pages.
QUELQUES PROPRIÉTÉS CARACTÉRISTIQUES DES CAVITÉS OPTIQUES
Ce problème comporte trois parties pouvant être abordées indépendamment les unes des autres. Il concerne quelques propriétés caractéristiques des cavités optiques. Dans une première partie, on étudie la structure d’une cavité parallélépipédique fermée. Dans la deuxième partie, on étudie dans le cadre de l’optique géométrique une cavité ouverte, limitée par deux miroirs sphériques ; cette configuration pallie certaines limitations des propriétés parallélépipédiques. Les effets diffractifs dans de telles cavités sont pris en compte dans la troisième partie.
Dans tout le problème, l’espace est rapporté à un repère R muni d’une base orthonormée directe (e1, e2, e3). Un champ électromagnétique, monochromatique de pulsation $\omega $, sera représenté par l’ensemble des vecteurs ${\bf{E}}$ et ${\bf{B}}$, de composantes respectives ${E_i}$ et ${B_i}$ (i = 1, 2 ou 3) avec, par exemple, ${E_i}(M,t) = {\mathop{\rm Re}\nolimits} \left[ {\underline {{E_i}} (M,t)} \right]$. Les cavités sont supposées être vides de charge.
PREMIÈRE PARTIE : CAVITÉ PARALLÉLÉPIPÉDIQUE FERMÉE
On considère une cavité parallélépipédique limitée par des plans infiniment conducteurs ; les longueurs des arêtes sont a1, a2 et a3 dans les directions orthogonales respectives Ox1, Ox2 et Ox3.
I-1) Donner l’équation de propagation du champ électromagnétique monochromatique de pulsation $\omega $ et préciser les conditions aux limites relatives aux champs ${\bf{E}}$ et ${\bf{B}}$.
I-2) La résolution de l'équation de propagation, compte tenu des conditions aux limites, conduit à considérer trois -et trois seulement- familles de solutions, dépendant de trois nombres entiers naturels ${m_1},{m_2}$ et ${m_3}.$ On pose ${j^2} = - 1.$ Vérifier que le champ représenté par les trois relations ci-après constitue une solution du problème de propagation :
$\begin{array}{l}\underline {{E_1}} ({x_1},{x_2},{x_3};t) = \underline {E_1^0} \cos \left( {{m_1}\pi \frac{{{x_1}}}{{{a_1}}}} \right)\sin \left( {{m_2}\pi \frac{{{x_2}}}{{{a_2}}}} \right)\sin \left( {{m_3}\pi \frac{{{x_3}}}{{{a_3}}}} \right)\exp \left( {j\omega t} \right)\\\underline {{E_2}} ({x_1},{x_2},{x_3};t) = \underline {E_2^0} \sin \left( {{m_1}\pi \frac{{{x_1}}}{{{a_1}}}} \right)\cos \left( {{m_2}\pi \frac{{{x_2}}}{{{a_2}}}} \right)\sin \left( {{m_3}\pi \frac{{{x_3}}}{{{a_3}}}} \right)\exp \left( {j\omega t} \right)\\\underline {{E_3}} ({x_1},{x_2},{x_3};t) = \underline {E_3^0} \sin \left( {{m_1}\pi \frac{{{x_1}}}{{{a_1}}}} \right)\sin \left( {{m_2}\pi \frac{{{x_2}}}{{{a_2}}}} \right)\cos \left( {{m_3}\pi \frac{{{x_3}}}{{{a_3}}}} \right)\exp \left( {j\omega t} \right).\end{array}$
Établir aussi la relation :
$\omega ({m_1},{m_2},{m_3}) = c\sqrt {{{\left( {\frac{{{m_1}\pi }}{{{a_1}}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{{m_2}\pi }}{{{a_2}}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{{m_3}\pi }}{{{a_3}}}} \right)}^2}} ,$ où $c$ est la célérité de la lumière.
I-3) Exprimer la relation qui, en l’absence de charge dans la cavité, lie $\underline {E_1^0} ,\underline {E_2^0} {\rm{ }}$,$\underline {E_3^0} $, ${m_1},{m_2}$ et ${m_3}$ et l'interpréter géométriquement, en faisant intervenir au besoin le vecteur ${\bf{K}}$ dont les composantes dans R sont $\frac{{{m_1}}}{{{a_1}}},\,\frac{{{m_2}}}{{{a_2}}}$ et $\frac{{{m_3}}}{{{a_3}}}.$ Déduire de l’étude qui précède que la solution la plus générale du problème de propagation correspondant à une pulsation $\omega $ donnée peut être considérée comme la combinaison linéaire de deux solutions indépendantes, appelées modes, l’une d’entre elles correspondant par exemple à $\underline {E_3^0} $ = 0.
I-4) On considère, dans cette question seulement, une cavité constituée par deux miroirs plans parfaitement conducteurs, parallèles au plan (e2, e3) et situés respectivement en x1 = 0 et x1 = a1. Décrire les modes dans cette cavité (polarisations, pulsations possibles). Indiquer une analogie mécanique simple de cette configuration.
I-5) La relation ${{U}_{\omega }}=\underset{T\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{T},$ où ${W_\omega }\left( t \right)$ est l’énergie électromagnétique instantanée au temps t dans la cavité parallélépipédique fermée, définit l’énergie électromagnétique moyenne,${U_\omega }$, dans cette cavité. Exprimer ${U_\omega }$ sous la forme d’une intégrale sur le volume V de la cavité, faisant intervenir la représentation complexe du champ : $\left( {\underline {{{\bf{E}}_\omega }} ,\underline {\,{{\bf{B}}_\omega }} } \right)$ et celle de son complexe conjugué $\left( {\underline {{\bf{E}}_\omega ^ * } ,\,\underline {{\bf{B}}_\omega ^ * } } \right)$.
I-6) Montrer, à partir des équations de Maxwell, des conditions aux limites et de l’identité vectorielle $div\,(\underline {\bf{E}} \wedge rot\underline {{{\bf{E}}^ * }} ) = rot\underline {{{\bf{E}}^ * }} .rot\underline {\bf{E}} - \underline {\bf{E}} .rot(rot\underline {{{\bf{E}}^ * }} )$, que :
$\underline{\mathbf{E}_{\omega }^{*}}d\tau ={{c}^{2}},$ où $d\tau = d{x_1}d{x_2}d{x_3}.$
En déduire que la densité volumique moyenne d'énergie électromagnétique, ${u_\omega } = \frac{{{U_\omega }}}{V}$ , s’écrit
${u_\omega } = \frac{{{\varepsilon _0}}}{{16}}\left( {{{\left| {\underline {E_1^0} } \right|}^2} + {{\left| {\underline {E_2^0} } \right|}^2} + {{\left| {\underline {E_3^0} } \right|}^2}} \right)$.
I-7) Un calcul, non demandé ici, établit qu’une estimation du nombre $M$ de modes dans le domaine de pulsations $\left[ {\omega ,\omega + \Delta \omega } \right]$ suffisamment étendu pour que $M$ soit grand devant 1, est $M \approx \frac{{V{\omega ^2}}}{{{\pi ^2}{c^3}}}\Delta \omega .$ Montrer par un calcul d’ordre de grandeur qu’une cavité parallélépipédique fermée du type précédent n’est absolument pas appropriée pour sélectionner un petit nombre de modes (une centaine, par exemple) dans le domaine de pulsations limitant le rayonnement visible.
DEUXIÈME PARTIE : CAVITÉ OUVERTE, À RÉFLECTEURS SPHÉRIQUES
On envisage alors (fig.1) une cavité ouverte, limitée par deux miroirs sphériques (M1) et (M2) d’épaisseur négligeable, de centres respectifs C1 et C2, de sommets respectifs S1 et S2 et de diamètre d’ouverture commune D.
On pose : $\overline {{S_1}{S_2}} = L,\;\,\,\;\overline {O{S_1}} = - {e_1},\,\,\,\;\overline {{S_1}{C_1}} = {R_1},\;\,\,\;\overline {O{S_2}} = {e_2} = L - {e_1}\,\;$et $\overline {{S_2}{C_2}} = - {R_2}.$
fig. 1 : Cavité ouverte, limitée par deux miroirs sphériques.
(Pour des raisons de lisibilité de la figure, la dimension des miroirs a été exagérée).
On se propose d’étudier dans cette partie les conditions permettant de confiner dans cette cavité un rayonnement monochromatique de pulsation $\omega .$ On suppose à cette fin $Inf{\kern 1pt} \,\left( {\,\left| {\overline {{S_1}{C_1}} } \right|\,,\,\left| {\overline {{S_2}{C_2}} } \right|\,,L\,} \right)\,\, > > D$ et on néglige les effets de diffraction : le rayonnement sera donc supposé se propager conformément aux lois de l’optique géométrique.
1. Dépliement de la cavité
II-1-1) Montrer que les hypothèses faites impliquent que les conditions de Gauss sont satisfaites.
II-1-2) Montrer que l’étude de la marche d’un rayon lumineux effectuant N aller-retours dans la cavité de la figure 1 est équivalente (fig. 2, page 4) à celle d’un rayon lumineux rencontrant N fois le même motif constitué de deux lentilles minces $\left( {{L_1}} \right)$et $\left( {{L_2}} \right)$ distantes de $L$, dont on précisera les distances focales images $f_1^{'}$ et$f_2^{'}$ en fonction de ${R_1}$ et de ${R_2}.$
fig. 2 : Dépliement de la cavité
Un aller-retour est équivalent à la traversée d'un motif constitué de deux lentilles minces.
2. Propagation d’un rayon lumineux
On considère le rayon issu de $\left( {L_1^{(p)}} \right)$, émergeant à une hauteur algébrique $y_1^{(p)} = \overline {O_1^{(p)}I_1^{(p)}} $ sous un angle algébrique $\alpha _1^{(p)}$, puis émergeant de $\left( {L_2^{(p)}} \right)$ sous une hauteur$y_2^{(p)} = \overline {O_2^{(p)}I_2^{(p)}} $ et ainsi de suite.
II-2-1) Établir deux relations purement géométriques entre $\;\alpha _1^{(p)},\;y_2^{(p)},y_1^{(p)}\;$ et $L$ d'une part,
$\;\alpha _2^{(p)},\;y_1^{(p + 1)},\;y_2^{(p)}$ et $L$ d'autre part.
II-2-2) Établir aussi les deux relations de récurrence : $\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\alpha _1^{(p)} - \alpha _2^{(p - 1)} = - \frac{{y_1^{(p)}}}{{f_1^{'}}}\\\alpha _2^{(p)} - \alpha _1^{(p)} = - \frac{{y_2^{(p)}}}{{f_2^{'}}}.\end{array} \right.\\\end{array}$
II-2-3) Déduire de l’ensemble de ces résultats la relation de récurrence liant $y_2^{(p)},\;y_2^{(p + 1)}$et$y_2^{(p - 1)};$ on pourra trouver commode de poser ${u_i} = \left( {2 - \frac{L}{{f_i^{'}}}} \right),\;i = 1,2.$
3. Cavité confocale
II-3-1) Montrer qu’il est possible de choisir les caractéristiques de $\left( {{L_1}} \right)$ et de $\left( {{L_2}} \right)$ de telle manière que, pour tout p, l'on ait simultanément $y_1^{(p + 1)} = - \,y_1^{(p)}$ et $\alpha _1^{\left( {p + 1} \right)} = - \,\alpha _1^{(p)}$. Représenter ce cas particulier sur une figure, où l’on indiquera notamment les foyers objet $F_1^{(p)},\,\;F_2^{(p)}$ et image $F_1^{'(p)},F_2^{'(p)}$ des lentilles $\left( {L_1^{(p)}} \right)$ et $\left( {L_2^{(p)}} \right)$ du motif numéro p. Construire aussi un rayon issu d’un point A sur l’axe tombant sur $\left( {L_1^{(p)}} \right)$ et émergeant de $\left( {L_2^{(p + 1)}} \right)$après avoir traversé $\left( {L_2^{(p)}} \right)$ et $\left( {L_1^{(p + 1)}} \right)$.
II-3-2) Justifier le fait que la cavité satisfaisant les relations de la question II-3-1) soit dite “confocale” et donner la figure 1’, déduite de la figure 1 dans ce cas particulier.
II-3-3) En s’appuyant sur une construction géométrique soignée, dont on explicitera clairement l’élaboration, trouver l’image A’ d’un point A sur l’axe optique, après un aller-retour de la lumière dans la cavité de la figure 1’.
II-3-4) De la même manière, déterminer l’image ${\bf{A}}'{\bf{B}}'$ (respectivement ) d’un petit objet ${\bf{AB}}$ orthogonal à l’axe optique, après un ( respectivement deux) aller retour dans la cavité de la figure 2.
4. Condition de stabilité d’une cavité fermée par deux miroirs sphériques
La cavité de la figure 1 sera dite stable si, après un nombre arbitrairement élevé de traversées du motif $\left[ {\left( {{L_1}} \right) - \left( {{L_2}} \right)} \right]$, le rayon reste proche de l’axe optique. On suppose qu’il en est effectivement ainsi et l’on pose, dans le système de la question II-2-3), $y_2^{(p)} = A\exp ip\varphi + A'\exp - ip\varphi $.
II-4-1) Déterminer l’équation vérifiée par $\varphi $ et en déduire l’inégalité traduisant la stabilité de la cavité.
II-4-2) Commenter le cas particulier d’une cavité confocale, telle qu’elle a été introduite dans la question II-3-2). Quelle est la valeur de $\varphi $ dans ce cas particulier ?
TROISIÈME PARTIE : DIFFRACTION DANS UNE CAVITÉ CONFOCALE
On considère maintenant, dans la cavité de la figure 1, les phénomènes de diffraction d’un rayonnement monochromatique de longueur d’onde dans le vide $\lambda = 2\pi \frac{c}{\omega }$. Les paramètres$L,\;\overline {{S_1}{C_1}} $ et $\overline {{S_2}{C_2}} $ sont ajustés de manière à satisfaire la condition de stabilité de la question II-4-2) et l’inégalité
$Inf{\kern 1pt} \,\left( {\,\left| {\overline {{S_1}{C_1}} } \right|\,,\,\left| {\overline {{S_2}{C_2}} } \right|\,,L\,} \right)\,\, > > D$ est toujours satisfaite.
1. Arguments qualitatifs généraux
III-1-1) Donner des exemples de pertes que peut subir le rayonnement dans la cavité. En particulier, préciser comment la diffraction d’un faisceau incident sur un miroir plan de diamètre d’ouverture $D$ peut être à l’origine de pertes d’énergie électromagnétique.
III-1-2) On pose $N = \frac{{{D^2}}}{{L\lambda }}$ ; justifier par des arguments qualitatifs que le nombre $\frac{1}{N}$ permet d’évaluer les pertes de rayonnement dus aux phénomènes de diffraction. On pourra raisonner ici sur des miroirs plans de diamètre $D$.
2. Description du rayonnement dans la cavité
On se propose d’étudier le rayonnement dans la cavité, en appliquant le principe d’Huygens-Fresnel aux deux miroirs (M1) et (M2). On admettra que le diamètre d’ouverture $D$ et la longueur $L$ séparant les sommets des miroirs (fig. 3) sont suffisamment grands pour que l’on puisse appliquer la théorie scalaire de la diffraction et on se limitera à une cavité confocale (cf. II-3-2 : ${R_1} = {R_2} = L$).
fig. 3 : Cavité confocale.
Pour des raisons de lisibilité, la dimension des miroirs et la distance qui les sépare ont été exagérés.
Soient : $\begin{array}{l}{\bf{R}}_1^{'} = {{\bf{S}}_1}{{\bf{P}}_{1 \bot }} = {{\bf{S}}_1}{{\bf{P}}_1} - ({{\bf{S}}_1}{{\bf{P}}_1}.{{\bf{e}}_z}){{\bf{e}}_z} = {x_1}{{\bf{e}}_x} + {y_1}{{\bf{e}}_y},\\{\bf{R}}_2^{'} = {{\bf{S}}_2}{{\bf{P}}_{2 \bot }} = {{\bf{S}}_2}{{\bf{P}}_2} - ({{\bf{S}}_2}{{\bf{P}}_2}.{{\bf{e}}_z}){{\bf{e}}_z} = {x_2}{{\bf{e}}_x} + {y_2}{{\bf{e}}_y},\\{\bf{R}} = {\bf{HM}} = x{\kern 1pt} {{\bf{e}}_x} + y{\kern 1pt} {{\bf{e}}_y}\quad et\quad \overline {{S_1}H} = z.\end{array}$
On note $\underline {{u_i}} ({P_1})$ l’amplitude complexe d’une onde monochromatique incidente sur (M1) au point ${P_1}({x_1},{y_1},{z_1})$. L’amplitude complexe $\underline {{u_d}} (M)$ diffractée par (M1) au point $M$ à l’intérieur de la cavité s’écrit alors, en supposant les miroirs parfaitement réfléchissants :
$\underline{{{u}_{d}}}\left( M \right)=A\iint_{{{S}_{1}}}{\underline{{{u}_{i}}}\left( {{P}_{2}} \right)\frac{{{e}^{jk{{P}_{1}}M}}}{{{P}_{1}}M}}d{{S}_{1}}$
où $A\;\left( {A = \frac{j}{\lambda }} \right)$est une constante sans importance pour le moment. On note de façon analogue l’amplitude $\underline {{u_i}} ({P_2})$d’une onde monochromatique incidente sur le miroir (M2), de sorte que “pour l’indice 2” :
$\underline{{{u}_{d}}}\left( M \right)=A\iint_{{{S}_{2}}}{\underline{{{u}_{i}}}\left( {{P}_{2}} \right)\frac{{{e}^{jk{{P}_{2}}M}}}{{{P}_{2}}M}}d{{S}_{2}}$
III-2-1) Commenter ces relations, en s’appuyant sur le principe de Huygens. On décrira en particulier la nature et les phases relatives des différentes ondes.
III-2-2) En supposant $D$<<z, montrer que, si ${K_1}({P_1},M) = \exp \left[ {\frac{{jk}}{{2z}}\left\{ {\left( {1 - \frac{z}{L}} \right){{\left( {R_1^{'}} \right)}^2} + {R^2} - 2{\bf{R}}.{\bf{R}}_1^{'}} \right\}} \right]$, alors : $$, où $k = \frac{{2\pi }}{\lambda }$.
Il est possible de montrer que, en régime permanent et pour une cavité confocale, les amplitudes sur (M1) et sur (M2) sont liées entre elles par les relations intégrales :
$\underline{u}\left( {{P}_{1}} \right)=\frac{A{{\gamma }_{1}}}{L}\iint_{{{S}_{2}}}{\underline{u}\left( {{P}_{2}} \right)K\left( {{P}_{2}},{{P}_{1}} \right)d{{S}_{2}}}$, et
$\underline{u}\left( {{P}_{2}} \right)=\frac{A{{\gamma }_{2}}}{L}\iint_{{{S}_{1}}}{\underline{u}\left( {{P}_{1}} \right)K\left( {{P}_{1}},{{P}_{2}} \right)d{{S}_{1}}}$,
où ${\gamma _1}$ et ${\gamma _2}$ sont des constantes complexes et $K({P_1},{P_2}) = \exp ( - \frac{{jk}}{L}{\bf{R}}_1^{'}.{\bf{R}}_2^{'}).$
III-2-3) Vérifier que, si le diamètre d'ouverture $D$ est suffisamment grand, une solution possible du système couplé de la question III-2-2) est fournie par les faisceaux gaussiens :
$\underline u ({P_1}) = {K_1}\exp - \frac{{\pi {{\left( {R_1^{'}} \right)}^2}}}{{D_1^2}}\quad {\rm{et}}\quad \underline u ({P_2}) = {K_2}\exp - \frac{{\pi {{\left( {R_2^{'}} \right)}^2}}}{{D_2^2}},$
où ${K_1}$,${K_2}$,${D_1}$ et${D_2}$ sont des constantes, ${D_1}{\rm{ et }}{D_2} < < D$. Montrer que${D_1}{D_2} = \lambda L$ et en déduire la relation liant $A,\,{\gamma _1},\,{\gamma _2}\,\,{\rm{et}}\,\lambda $. On donne, pour $\alpha \in {\Re ^ + }$ et $\beta \in \Re $ : $\text{ }=\sqrt{\frac{\pi }{\alpha }}\quad $.
III-2-4) Pour cette dernière question, il faut prendre en compte explicitement l'égalité $A\; = \frac{j}{\lambda }$.
Lorsque les miroirs sont parfaitement réfléchissants, ${\gamma _1} = {\gamma _2} = \exp {\kern 1pt} \,( - {\kern 1pt} jkL).$ Montrer que cette relation implique que les pulsations des modes permis dans la cavité sont $\omega = {\omega _m} = \left( {2m + 1} \right)\frac{{\pi c}}{{2L}}.$ Quelle est alors la relation (dépendant de $m$) entre ${D_1},{D_2},{K_1}\;\,et\;\,{K_2}\;?$
Conclure en comparant les propriétés de sélectivité de mode entre une cavité parallélépipédique fermée et une cavité confocale ouverte.
ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES,
ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE,
ÉCOLE POLYTECHNIQUE
(OPTION T.A.)
CONCOURS D'ADMISSION 1994
PHYSIQUE
DEUXIÈME ÉPREUVE
OPTION M
(Durée de l'épreuve : 3 heures)
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
PHYSIQUE II - M.
L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de l'option M , comporte 7 pages.
QUELQUES PROPRIÉTÉS CARACTÉRISTIQUES DES CAVITÉS OPTIQUES
Ce problème comporte trois parties pouvant être abordées indépendamment les unes des autres. Il concerne quelques propriétés caractéristiques des cavités optiques. Dans une première partie, on étudie la structure d’une cavité parallélépipédique fermée. Dans la deuxième partie, on étudie dans le cadre de l’optique géométrique une cavité ouverte, limitée par deux miroirs sphériques ; cette configuration pallie certaines limitations des propriétés parallélépipédiques. Les effets diffractifs dans de telles cavités sont pris en compte dans la troisième partie.
Dans tout le problème, l’espace est rapporté à un repère R muni d’une base orthonormée directe (e1, e2, e3). Un champ électromagnétique, monochromatique de pulsation $\omega $, sera représenté par l’ensemble des vecteurs ${\bf{E}}$ et ${\bf{B}}$, de composantes respectives ${E_i}$ et ${B_i}$ (i = 1, 2 ou 3) avec, par exemple, ${E_i}(M,t) = {\mathop{\rm Re}\nolimits} \left[ {\underline {{E_i}} (M,t)} \right]$. Les cavités sont supposées être vides de charge.
On considère une cavité parallélépipédique limitée par des plans infiniment conducteurs ; les longueurs des arêtes sont a1, a2 et a3 dans les directions orthogonales respectives Ox1, Ox2 et Ox3.
I-2) La résolution de l'équation de propagation, compte tenu des conditions aux limites, conduit à considérer trois -et trois seulement- familles de solutions, dépendant de trois nombres entiers naturels ${m_1},{m_2}$ et ${m_3}.$ On pose ${j^2} = - 1.$ Vérifier que le champ représenté par les trois relations ci-après constitue une solution du problème de propagation :
$\begin{array}{l}\underline {{E_1}} ({x_1},{x_2},{x_3};t) = \underline {E_1^0} \cos \left( {{m_1}\pi \frac{{{x_1}}}{{{a_1}}}} \right)\sin \left( {{m_2}\pi \frac{{{x_2}}}{{{a_2}}}} \right)\sin \left( {{m_3}\pi \frac{{{x_3}}}{{{a_3}}}} \right)\exp \left( {j\omega t} \right)\\\underline {{E_2}} ({x_1},{x_2},{x_3};t) = \underline {E_2^0} \sin \left( {{m_1}\pi \frac{{{x_1}}}{{{a_1}}}} \right)\cos \left( {{m_2}\pi \frac{{{x_2}}}{{{a_2}}}} \right)\sin \left( {{m_3}\pi \frac{{{x_3}}}{{{a_3}}}} \right)\exp \left( {j\omega t} \right)\\\underline {{E_3}} ({x_1},{x_2},{x_3};t) = \underline {E_3^0} \sin \left( {{m_1}\pi \frac{{{x_1}}}{{{a_1}}}} \right)\sin \left( {{m_2}\pi \frac{{{x_2}}}{{{a_2}}}} \right)\cos \left( {{m_3}\pi \frac{{{x_3}}}{{{a_3}}}} \right)\exp \left( {j\omega t} \right).\end{array}$
Établir aussi la relation :
$\omega ({m_1},{m_2},{m_3}) = c\sqrt {{{\left( {\frac{{{m_1}\pi }}{{{a_1}}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{{m_2}\pi }}{{{a_2}}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{{m_3}\pi }}{{{a_3}}}} \right)}^2}} ,$ où $c$ est la célérité de la lumière.
I-3) Exprimer la relation qui, en l’absence de charge dans la cavité, lie $\underline {E_1^0} ,\underline {E_2^0} {\rm{ }}$,$\underline {E_3^0} $, ${m_1},{m_2}$ et ${m_3}$ et l'interpréter géométriquement, en faisant intervenir au besoin le vecteur ${\bf{K}}$ dont les composantes dans R sont $\frac{{{m_1}}}{{{a_1}}},\,\frac{{{m_2}}}{{{a_2}}}$ et $\frac{{{m_3}}}{{{a_3}}}.$ Déduire de l’étude qui précède que la solution la plus générale du problème de propagation correspondant à une pulsation $\omega $ donnée peut être considérée comme la combinaison linéaire de deux solutions indépendantes, appelées modes, l’une d’entre elles correspondant par exemple à $\underline {E_3^0} $ = 0.
I-4) On considère, dans cette question seulement, une cavité constituée par deux miroirs plans parfaitement conducteurs, parallèles au plan (e2, e3) et situés respectivement en x1 = 0 et x1 = a1. Décrire les modes dans cette cavité (polarisations, pulsations possibles). Indiquer une analogie mécanique simple de cette configuration.
I-5) La relation ${{U}_{\omega }}=\underset{T\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{T},$ où ${W_\omega }\left( t \right)$ est l’énergie électromagnétique instantanée au temps t dans la cavité parallélépipédique fermée, définit l’énergie électromagnétique moyenne,${U_\omega }$, dans cette cavité. Exprimer ${U_\omega }$ sous la forme d’une intégrale sur le volume V de la cavité, faisant intervenir la représentation complexe du champ : $\left( {\underline {{{\bf{E}}_\omega }} ,\underline {\,{{\bf{B}}_\omega }} } \right)$ et celle de son complexe conjugué $\left( {\underline {{\bf{E}}_\omega ^ * } ,\,\underline {{\bf{B}}_\omega ^ * } } \right)$.
I-6) Montrer, à partir des équations de Maxwell, des conditions aux limites et de l’identité vectorielle $div\,(\underline {\bf{E}} \wedge rot\underline {{{\bf{E}}^ * }} ) = rot\underline {{{\bf{E}}^ * }} .rot\underline {\bf{E}} - \underline {\bf{E}} .rot(rot\underline {{{\bf{E}}^ * }} )$, que :
$\underline{\mathbf{E}_{\omega }^{*}}d\tau ={{c}^{2}},$ où $d\tau = d{x_1}d{x_2}d{x_3}.$
En déduire que la densité volumique moyenne d'énergie électromagnétique, ${u_\omega } = \frac{{{U_\omega }}}{V}$ , s’écrit
${u_\omega } = \frac{{{\varepsilon _0}}}{{16}}\left( {{{\left| {\underline {E_1^0} } \right|}^2} + {{\left| {\underline {E_2^0} } \right|}^2} + {{\left| {\underline {E_3^0} } \right|}^2}} \right)$.
I-7) Un calcul, non demandé ici, établit qu’une estimation du nombre $M$ de modes dans le domaine de pulsations $\left[ {\omega ,\omega + \Delta \omega } \right]$ suffisamment étendu pour que $M$ soit grand devant 1, est $M \approx \frac{{V{\omega ^2}}}{{{\pi ^2}{c^3}}}\Delta \omega .$ Montrer par un calcul d’ordre de grandeur qu’une cavité parallélépipédique fermée du type précédent n’est absolument pas appropriée pour sélectionner un petit nombre de modes (une centaine, par exemple) dans le domaine de pulsations limitant le rayonnement visible.
On envisage alors (fig.1) une cavité ouverte, limitée par deux miroirs sphériques (M1) et (M2) d’épaisseur négligeable, de centres respectifs C1 et C2, de sommets respectifs S1 et S2 et de diamètre d’ouverture commune D.
On pose : $\overline {{S_1}{S_2}} = L,\;\,\,\;\overline {O{S_1}} = - {e_1},\,\,\,\;\overline {{S_1}{C_1}} = {R_1},\;\,\,\;\overline {O{S_2}} = {e_2} = L - {e_1}\,\;$et $\overline {{S_2}{C_2}} = - {R_2}.$
fig. 1 : Cavité ouverte, limitée par deux miroirs sphériques.
(Pour des raisons de lisibilité de la figure, la dimension des miroirs a été exagérée).
On se propose d’étudier dans cette partie les conditions permettant de confiner dans cette cavité un rayonnement monochromatique de pulsation $\omega .$ On suppose à cette fin $Inf{\kern 1pt} \,\left( {\,\left| {\overline {{S_1}{C_1}} } \right|\,,\,\left| {\overline {{S_2}{C_2}} } \right|\,,L\,} \right)\,\, > > D$ et on néglige les effets de diffraction : le rayonnement sera donc supposé se propager conformément aux lois de l’optique géométrique.
1. Dépliement de la cavité
II-1-1) Montrer que les hypothèses faites impliquent que les conditions de Gauss sont satisfaites.
II-1-2) Montrer que l’étude de la marche d’un rayon lumineux effectuant N aller-retours dans la cavité de la figure 1 est équivalente (fig. 2, page 4) à celle d’un rayon lumineux rencontrant N fois le même motif constitué de deux lentilles minces $\left( {{L_1}} \right)$et $\left( {{L_2}} \right)$ distantes de $L$, dont on précisera les distances focales images $f_1^{'}$ et$f_2^{'}$ en fonction de ${R_1}$ et de ${R_2}.$
fig. 2 : Dépliement de la cavité
Un aller-retour est équivalent à la traversée d'un motif constitué de deux lentilles minces.
2. Propagation d’un rayon lumineux
On considère le rayon issu de $\left( {L_1^{(p)}} \right)$, émergeant à une hauteur algébrique $y_1^{(p)} = \overline {O_1^{(p)}I_1^{(p)}} $ sous un angle algébrique $\alpha _1^{(p)}$, puis émergeant de $\left( {L_2^{(p)}} \right)$ sous une hauteur$y_2^{(p)} = \overline {O_2^{(p)}I_2^{(p)}} $ et ainsi de suite.
II-2-1) Établir deux relations purement géométriques entre $\;\alpha _1^{(p)},\;y_2^{(p)},y_1^{(p)}\;$ et $L$ d'une part,
$\;\alpha _2^{(p)},\;y_1^{(p + 1)},\;y_2^{(p)}$ et $L$ d'autre part.
II-2-2) Établir aussi les deux relations de récurrence : $\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\alpha _1^{(p)} - \alpha _2^{(p - 1)} = - \frac{{y_1^{(p)}}}{{f_1^{'}}}\\\alpha _2^{(p)} - \alpha _1^{(p)} = - \frac{{y_2^{(p)}}}{{f_2^{'}}}.\end{array} \right.\\\end{array}$
II-2-3) Déduire de l’ensemble de ces résultats la relation de récurrence liant $y_2^{(p)},\;y_2^{(p + 1)}$et$y_2^{(p - 1)};$ on pourra trouver commode de poser ${u_i} = \left( {2 - \frac{L}{{f_i^{'}}}} \right),\;i = 1,2.$
3. Cavité confocale
II-3-1) Montrer qu’il est possible de choisir les caractéristiques de $\left( {{L_1}} \right)$ et de $\left( {{L_2}} \right)$ de telle manière que, pour tout p, l'on ait simultanément $y_1^{(p + 1)} = - \,y_1^{(p)}$ et $\alpha _1^{\left( {p + 1} \right)} = - \,\alpha _1^{(p)}$. Représenter ce cas particulier sur une figure, où l’on indiquera notamment les foyers objet $F_1^{(p)},\,\;F_2^{(p)}$ et image $F_1^{'(p)},F_2^{'(p)}$ des lentilles $\left( {L_1^{(p)}} \right)$ et $\left( {L_2^{(p)}} \right)$ du motif numéro p. Construire aussi un rayon issu d’un point A sur l’axe tombant sur $\left( {L_1^{(p)}} \right)$ et émergeant de $\left( {L_2^{(p + 1)}} \right)$après avoir traversé $\left( {L_2^{(p)}} \right)$ et $\left( {L_1^{(p + 1)}} \right)$.
II-3-2) Justifier le fait que la cavité satisfaisant les relations de la question II-3-1) soit dite “confocale” et donner la figure 1’, déduite de la figure 1 dans ce cas particulier.
II-3-3) En s’appuyant sur une construction géométrique soignée, dont on explicitera clairement l’élaboration, trouver l’image A’ d’un point A sur l’axe optique, après un aller-retour de la lumière dans la cavité de la figure 1’.
II-3-4) De la même manière, déterminer l’image ${\bf{A}}'{\bf{B}}'$ (respectivement ) d’un petit objet ${\bf{AB}}$ orthogonal à l’axe optique, après un ( respectivement deux) aller retour dans la cavité de la figure 2.
4. Condition de stabilité d’une cavité fermée par deux miroirs sphériques
La cavité de la figure 1 sera dite stable si, après un nombre arbitrairement élevé de traversées du motif $\left[ {\left( {{L_1}} \right) - \left( {{L_2}} \right)} \right]$, le rayon reste proche de l’axe optique. On suppose qu’il en est effectivement ainsi et l’on pose, dans le système de la question II-2-3), $y_2^{(p)} = A\exp ip\varphi + A'\exp - ip\varphi $.
II-4-1) Déterminer l’équation vérifiée par $\varphi $ et en déduire l’inégalité traduisant la stabilité de la cavité.
II-4-2) Commenter le cas particulier d’une cavité confocale, telle qu’elle a été introduite dans la question II-3-2). Quelle est la valeur de $\varphi $ dans ce cas particulier ?
On considère maintenant, dans la cavité de la figure 1, les phénomènes de diffraction d’un rayonnement monochromatique de longueur d’onde dans le vide $\lambda = 2\pi \frac{c}{\omega }$. Les paramètres$L,\;\overline {{S_1}{C_1}} $ et $\overline {{S_2}{C_2}} $ sont ajustés de manière à satisfaire la condition de stabilité de la question II-4-2) et l’inégalité
$Inf{\kern 1pt} \,\left( {\,\left| {\overline {{S_1}{C_1}} } \right|\,,\,\left| {\overline {{S_2}{C_2}} } \right|\,,L\,} \right)\,\, > > D$ est toujours satisfaite.
1. Arguments qualitatifs généraux
III-1-1) Donner des exemples de pertes que peut subir le rayonnement dans la cavité. En particulier, préciser comment la diffraction d’un faisceau incident sur un miroir plan de diamètre d’ouverture $D$ peut être à l’origine de pertes d’énergie électromagnétique.
III-1-2) On pose $N = \frac{{{D^2}}}{{L\lambda }}$ ; justifier par des arguments qualitatifs que le nombre $\frac{1}{N}$ permet d’évaluer les pertes de rayonnement dus aux phénomènes de diffraction. On pourra raisonner ici sur des miroirs plans de diamètre $D$.
2. Description du rayonnement dans la cavité
On se propose d’étudier le rayonnement dans la cavité, en appliquant le principe d’Huygens-Fresnel aux deux miroirs (M1) et (M2). On admettra que le diamètre d’ouverture $D$ et la longueur $L$ séparant les sommets des miroirs (fig. 3) sont suffisamment grands pour que l’on puisse appliquer la théorie scalaire de la diffraction et on se limitera à une cavité confocale (cf. II-3-2 : ${R_1} = {R_2} = L$).
fig. 3 : Cavité confocale.
Pour des raisons de lisibilité, la dimension des miroirs et la distance qui les sépare ont été exagérés.
Soient : $\begin{array}{l}{\bf{R}}_1^{'} = {{\bf{S}}_1}{{\bf{P}}_{1 \bot }} = {{\bf{S}}_1}{{\bf{P}}_1} - ({{\bf{S}}_1}{{\bf{P}}_1}.{{\bf{e}}_z}){{\bf{e}}_z} = {x_1}{{\bf{e}}_x} + {y_1}{{\bf{e}}_y},\\{\bf{R}}_2^{'} = {{\bf{S}}_2}{{\bf{P}}_{2 \bot }} = {{\bf{S}}_2}{{\bf{P}}_2} - ({{\bf{S}}_2}{{\bf{P}}_2}.{{\bf{e}}_z}){{\bf{e}}_z} = {x_2}{{\bf{e}}_x} + {y_2}{{\bf{e}}_y},\\{\bf{R}} = {\bf{HM}} = x{\kern 1pt} {{\bf{e}}_x} + y{\kern 1pt} {{\bf{e}}_y}\quad et\quad \overline {{S_1}H} = z.\end{array}$
On note $\underline {{u_i}} ({P_1})$ l’amplitude complexe d’une onde monochromatique incidente sur (M1) au point ${P_1}({x_1},{y_1},{z_1})$. L’amplitude complexe $\underline {{u_d}} (M)$ diffractée par (M1) au point $M$ à l’intérieur de la cavité s’écrit alors, en supposant les miroirs parfaitement réfléchissants :
$\underline{{{u}_{d}}}\left( M \right)=A\iint_{{{S}_{1}}}{\underline{{{u}_{i}}}\left( {{P}_{2}} \right)\frac{{{e}^{jk{{P}_{1}}M}}}{{{P}_{1}}M}}d{{S}_{1}}$
où $A\;\left( {A = \frac{j}{\lambda }} \right)$est une constante sans importance pour le moment. On note de façon analogue l’amplitude $\underline {{u_i}} ({P_2})$d’une onde monochromatique incidente sur le miroir (M2), de sorte que “pour l’indice 2” :
$\underline{{{u}_{d}}}\left( M \right)=A\iint_{{{S}_{2}}}{\underline{{{u}_{i}}}\left( {{P}_{2}} \right)\frac{{{e}^{jk{{P}_{2}}M}}}{{{P}_{2}}M}}d{{S}_{2}}$
III-2-2) En supposant $D$<<z, montrer que, si ${K_1}({P_1},M) = \exp \left[ {\frac{{jk}}{{2z}}\left\{ {\left( {1 - \frac{z}{L}} \right){{\left( {R_1^{'}} \right)}^2} + {R^2} - 2{\bf{R}}.{\bf{R}}_1^{'}} \right\}} \right]$, alors : $$, où $k = \frac{{2\pi }}{\lambda }$.
Il est possible de montrer que, en régime permanent et pour une cavité confocale, les amplitudes sur (M1) et sur (M2) sont liées entre elles par les relations intégrales :
$\underline{u}\left( {{P}_{1}} \right)=\frac{A{{\gamma }_{1}}}{L}\iint_{{{S}_{2}}}{\underline{u}\left( {{P}_{2}} \right)K\left( {{P}_{2}},{{P}_{1}} \right)d{{S}_{2}}}$, et
$\underline{u}\left( {{P}_{2}} \right)=\frac{A{{\gamma }_{2}}}{L}\iint_{{{S}_{1}}}{\underline{u}\left( {{P}_{1}} \right)K\left( {{P}_{1}},{{P}_{2}} \right)d{{S}_{1}}}$,
où ${\gamma _1}$ et ${\gamma _2}$ sont des constantes complexes et $K({P_1},{P_2}) = \exp ( - \frac{{jk}}{L}{\bf{R}}_1^{'}.{\bf{R}}_2^{'}).$
III-2-3) Vérifier que, si le diamètre d'ouverture $D$ est suffisamment grand, une solution possible du système couplé de la question III-2-2) est fournie par les faisceaux gaussiens :
$\underline u ({P_1}) = {K_1}\exp - \frac{{\pi {{\left( {R_1^{'}} \right)}^2}}}{{D_1^2}}\quad {\rm{et}}\quad \underline u ({P_2}) = {K_2}\exp - \frac{{\pi {{\left( {R_2^{'}} \right)}^2}}}{{D_2^2}},$
où ${K_1}$,${K_2}$,${D_1}$ et${D_2}$ sont des constantes, ${D_1}{\rm{ et }}{D_2} < < D$. Montrer que${D_1}{D_2} = \lambda L$ et en déduire la relation liant $A,\,{\gamma _1},\,{\gamma _2}\,\,{\rm{et}}\,\lambda $. On donne, pour $\alpha \in {\Re ^ + }$ et $\beta \in \Re $ : $\text{ }=\sqrt{\frac{\pi }{\alpha }}\quad $.
III-2-4) Pour cette dernière question, il faut prendre en compte explicitement l'égalité $A\; = \frac{j}{\lambda }$.
Lorsque les miroirs sont parfaitement réfléchissants, ${\gamma _1} = {\gamma _2} = \exp {\kern 1pt} \,( - {\kern 1pt} jkL).$ Montrer que cette relation implique que les pulsations des modes permis dans la cavité sont $\omega = {\omega _m} = \left( {2m + 1} \right)\frac{{\pi c}}{{2L}}.$ Quelle est alors la relation (dépendant de $m$) entre ${D_1},{D_2},{K_1}\;\,et\;\,{K_2}\;?$
Conclure en comparant les propriétés de sélectivité de mode entre une cavité parallélépipédique fermée et une cavité confocale ouverte.
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