ENS de PARIS P’ 94
ASPECTS D’UN PROCÉDÉ DE MESURE
DE TEMPÉRATURE DE FLAMME
I. Dispositif de mesure.
I.1.a. À l’équilibre thermique, la somme des puissances reçues par le tube est nulle : Wf1 + W21 = 0. On en déduit ${T_f} = {T_1} + \frac{{{h_r}}}{{{h_c}}}\left( {{T_1} - {T_2}} \right)$ .
b. Application numérique : On relève sur la courbe d’étalonnage T1 = 1001,5 °C et T2 = 954 °C, d’où ${T_f} = 1112{\rm{ ^\circ }}C$.
c. Le raisonnement précédent ne tient pas compte des échanges par rayonnement entre la flamme et le tube et des échanges par conduction entre le tube et la paroi du four.
I.2.a. L’application du premier principe de la thermodynamique pendant le temps dt s’écrit : W21 dt = C1 dT1, d’où l’équation $\frac{{d\left( {{T_1} - {T_2}} \right)}}{{dt}} = - \frac{{{h_r}A}}{{{C_1}}}\left( {{T_1} - {T_2}} \right)$, dont la solution est ${T_1} = {T_2} + \left( {{T_1} - {T_2}} \right)\exp \left( { - \frac{{{h_r}{A_t}}}{{{C_1}}}} \right)$.
b. En prenant ΔRs << Rs, on peut utiliser l’expression différentielle : $\Delta t = \frac{{{C_1}}}{{{h_r}A}}\frac{1}{{|{T_2} - {T_1}|}}\frac{{dT}}{{d{R_s}}}\Delta {R_s}$.
c. Application numérique : On tire du graphique $\frac{{dT}}{{d{R_s}}} = 2,6K.{\Omega ^{ - 1}}$, d’où $\Delta t = {8,3.10^{ - 2}}s$.
d. La température du four peut être considérée comme constante pendant la durée de refroidissement précédant l’alarme si son temps caractéristique de variation est petit devant celui du tube, ce qui est le cas si le four est suffisamment thermo-isolé et si sa capacité thermique est grande devant celle du tube.
II. Approche microscopique de la conduction électrique.
II.1.a. On vérifie la condition de normalisation : $\int_0^\infty {p\left( \theta \right)} d\theta = {I_0} = 1$.
b. $\left\langle \theta \right\rangle = \int_0^\infty {\theta p\left( \theta \right)} d\theta = {I_1} = \tau {I_0} = \tau $.
c. $\left\langle {{\theta ^2}} \right\rangle = \int_0^\infty {{\theta ^2}p\left( \theta \right)} d\theta = 2\tau {I_1} = 2{\tau ^2}$.
II.2.a. Les vitesses ${\vec v_k}$ayant une distribution isotrope, leur valeur moyenne est nulle.
b. L’énergie cinétique moyenne d’un électron est $K = \frac{1}{2}m\left\langle {\vec v_k^2} \right\rangle = \frac{1}{2}mv_k^2$, d’où ${v_k} = \sqrt {\frac{{2K}}{m}} $.
c. Application numérique : on obtient ${v_K} = {1,57.10^6}m.{s^{ - 1}}$.
II.3.a. Sous l’action de la force électrique $ - e{\vec E_0}$, un électron prend l’accélération $ - \frac{e}{m}{\vec E_0}$. Sa vitesse devient $\vec v = {\vec v_k} - \frac{e}{m}{E_0}{\vec e_x}t$ et son rayon-vecteur ${\vec r_{k + 1}} = {\vec r_k} - \frac{e}{{2m}}{E_0}{\vec e_x}{\left( {{t_{k + 1}} - {t_k}} \right)^2}$. On en déduit la valeur moyenne $\left\langle {{{\vec r}_{k + 1}} - {{\vec r}_k}} \right\rangle = - N\frac{e}{m}{E_0}{\tau ^2}{\vec e_x}$.
b. La vitesse de dérive s’obtient en prenant la moyenne de $\vec v$ ou en faisant le rapport $\frac{{\left\langle {{{\vec r}_{k + 1}} - {{\vec r}_k}} \right\rangle }}{{N\tau }}:{\vec v_d} = - \frac{{e\tau }}{m}{E_0}{\vec e_x}$.
c. L’équation du mouvement $m\frac{{d\vec v}}{{dt}} = - \zeta \vec v - e{\vec E_0}$conduit au régime permanent $\vec v = - \frac{{e{{\vec E}_0}}}{\zeta }$.
d. $\vec v = {\vec v_d}$en prenant $\zeta = \frac{m}{\tau }$.
II.4.a. De l’expression de la densité de courant $\vec j = - {n_o}e{\vec v_d} = \frac{{{n_o}{e^2}\tau }}{m}{E_0}{\vec e_x}$on tire la conductivité $\sigma = \frac{{{n_o}{e^2}\tau }}{m}$.
b. Application numérique : on obtient $\tau = \frac{{m\sigma }}{{{n_o}{e^2}}} = {4,2.10^{ - 15}}s$.
Les chocs sont très fréquents et le libre parcours moyen $\left( {{v_k}\tau = {{7.10}^{ - 9}}{\rm{ m}}} \right)$est faible.
c. Application numérique : ${v_d} = \frac{\sigma }{{{n_o}e}}{E_0} = 0,73{\rm{ }}m.{s^{ - 1}} < < {v_k}$.
d. Dans un métal $\tau $et $\sigma $diminuent quand la température augmente. Dans un semi-conducteur no et σ augmentent.
II.5.a. L’équation du mouvement de la question 3.c s’écrit en représentation complexe $\left( {1 + i\omega \tau } \right){\vec v_d} = - \frac{{e\tau }}{m}{\vec E_0}$ soit ${\vec v_d} = - \frac{{e\tau }}{m}\frac{{{{\vec E}_0}}}{{1 + i\omega \tau }}$.
b. Comme en 4.a on en déduit la conductivité complexe $\sigma = \frac{{{n_o}{e^2}\tau }}{{m\left( {1 + i\omega \tau } \right)}}$.
c. La conductivité est la même qu’en régime continu pour ωτ << 1 soit pour une fréquence $f < < \frac{1}{{2\pi \tau }} = {3,8.10^{13}}Hz$.
III. Étalonnage.
III.1. On réalise des points fixes au moyen d’équilibres entre phases d’un corps pur. Dans le cas d’un point triple (à trois phases, solide-liquide-vapeur par exemple) le système est monovariant et la température est fixe. Dans le cas d’un équilibre diphasé, la variance est égale à 2 et la température n’est fixée que si l’on fixe la pression (à la valeur de référence de 1 bar par exemple).
III.2. Dans la gamme de quelques centaines d’ohms, le pont de Wheatstone est bien adapté à des mesures de précision.
IV. Étalons de résistance.
IV.1. Résolution.
a. Pour le potentiel considéré, le produit X(x)·Y(y) permet le découplage de l’équation de Schrödinger en deux équations en X(x) et Y(y) : $ - \frac{{{{\rlap{--} h}^2}}}{{2m}}\frac{{{d^2}X}}{{d{x^2}}} = {E_x}X{\rm{ et }} - \frac{{{{\rlap{--} h}^2}}}{{2m}}\frac{{{d^2}Y}}{{d{y^2}}}{E_y}Y$.
b. La solution générale de la première équation est X = A coskx + B sinkx où $k = \frac{{\sqrt {2m{E_x}} }}{{\rlap{--} h}}$.
Les conditions aux limites imposent $\left\{ {B = 0,k = \frac{{\pi + p2\pi }}{{{1_x}}}} \right\}$ou $\left\{ {A = 0,k = \frac{{p2\pi }}{{{1_x}}}} \right\}$, où p est un entier positif, ce qui conduit aux valeurs ${E_x} = {p^2}\frac{{{\pi ^2}{{\rlap{--} h}^2}}}{{2m1_x^2}}$.
c. L’équation en Y(y) conduit à des solutions analogues avec un entier positif q. Les niveaux d’énergie permis ont donc pour valeurs $E = \frac{{{\pi ^2}{{\rlap{--} h}^2}}}{{2m}}\left( {\frac{{{p^2}}}{{1_x^2}} + \frac{{{q^2}}}{{1_y^2}}} \right)$.
IV.2. Conditions aux limites périodiques.
a. kx et ky s’expriment en ${m^{ - 1}}$.
b. La condition de périodicité impose $\exp \left( {i{k_x}{1_x}} \right) = \exp \left( {i{k_y}{1_y}} \right) = 1$, soit ${k_x} = p\frac{{2\pi }}{{{1_x}}}$ et ${k_y} = q\frac{{2\pi }}{{{1_y}}}$, où p et q sont des entiers relatifs non nuls. Les énergies permises s’obtiennent avec l’équation de Schrödinger : $E = \frac{{{{\rlap{--} h}^2}}}{{2m}}\left( {k_x^2 + k_y^2} \right)$.
IV.3. Densité d’états.
a. Les points de coordonnées {kx, ky} se trouvent aux nœuds d’un réseau carré (origine exclue) dont la maille a pour longueurs de base $\Delta {k_x} = \frac{{2\pi }}{{{1_x}}}{\rm{ et }}\Delta {k_y} = \frac{{2\pi }}{{{1_y}}}$.
b. Dans l’espace des $\vec k$, les lignes d’égale énergie sont des cercles centrés sur l’origine, dont l’intérieur correspond aux énergies plus faibles : $k < \frac{{\sqrt {2mE} }}{{\rlap{--} h}}$. Si le nombre de points de ce disque est très grand, ce nombre peut être considéré comme égal au rapport de l’aire du disque à l’aire de la maille : $N\left( E \right)\frac{{\pi {k^2}}}{{ - \Delta {k_x}.\Delta {k_y}}} = \frac{{m{1_x}{1_y}}}{{2\pi {{\rlap{--} h}^2}}}E$.
c. On en déduit $\gamma \left( E \right) = \frac{{m{1_x}{1_y}}}{{2\pi {{\rlap{--} h}^2}}}$.
d. En tenant compte du spin, la densité d’états double : ${\gamma _s}\left( E \right) = \frac{{m{1_x}{1_y}}}{{\pi {{\rlap{--} h}^2}}}$.
IV.4.a. Des expressions obtenues en IV.1.b on déduit les valeurs permises ${k_x} = {p_1}\frac{\pi }{{{1_x}}}$et ${k_y} = {q_1}\frac{\pi }{{{1_{y'}}}}$, avec p et q entiers positifs.
b. La densité d’état s’obtient par les mêmes raisonnements qu’en IV.3.b c et d en les appliquant au quart de disque p>0, q>0, ce qui conduit au même résultat.
IV.5.a. Dans le domaine d’énergie considéré, le nombre d’états est $N = \frac{{m{1_x}{1_y}}}{{\pi {{\rlap{--} h}^2}}}{k_B}T$.
b. Application numérique : on obtient $N = {3,6.10^8}$.
IV.6.a. L’équation du mouvement d’un électron est maintenant $m\frac{{d\vec v}}{{dt}} + \frac{m}{\tau }\vec v = - e\vec E - e\vec v \wedge {\vec B_o}$. On en déduit l’équation en $\vec J$ en régime permanent : ${n_e}{e^2}\vec E = \frac{m}{\tau }\vec J + e\vec J \wedge {\vec B_o}$, qui se met sous la forme matricielle $\left( \begin{array}{l}{E_x}\\{E_y}\end{array} \right) = \frac{1}{{{n_e}e}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{m}{{e\tau }}}&{{B_o}}\\{ - {B_o}}&{\frac{m}{{e\tau }}}\end{array}} \right).\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{J_x}}\\{{J_y}}\end{array}} \right)$.
b. L’unité SI de densité de courant de surface est l’ampère par mètre et celle des coefficients de résistivité de surface l’ohm.
c. Avec les nouvelles notations, la matrice s’écrit $\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{{{\sigma _e}}}}&{\frac{\tau }{{{\sigma _e}}}{\omega _c}}\\{ - \frac{\tau }{{{\sigma _e}}}{\omega _e}}&{\frac{1}{{{\sigma _e}}}}\end{array}} \right)$.
ωc est la pulsation cyclotron, vitesse angulaire du mouvement de l’électron dans le champ magnétique.
d. Avec des champs uniformes la tension de Hall est ${V_{Hy}} = - {E_y}{1_y} = \frac{\tau }{{{\sigma _e}}}{\omega _c}\frac{{{1_x}}}{{{1_y}}}{1_y} = \frac{\tau }{{{\sigma _e}}}{\omega _c}{1_x}$, soit ${R_H}\frac{{\tau {\omega _c}}}{{{\sigma _e}}}$qui ne dépend pas des paramètres géométriques.
e. La résistivité longitudinale, coefficient liant Ex et Jx, ne dépend pas de Bo, alors que les trajectoires des électrons entre deux chocs sont courbées par le champ magnétique. L’absence d’un effet magnétorésistif est due à l’hypothèse simplificatrice de régime permanent $\frac{{d\vec v}}{{dt}} = \vec 0$.
IV.7.a. Dans le cas considéré, une température est très basse quand le nombre d’états situés dans l’intervalle kBT est suffisamment petit pour que la quantification ne puisse pas être négligée.
b. Avec les directions imposées ${{B}_{o}}=\frac{{{\underline{A}}_{y}}}{{\underset{\scriptscriptstyle-}{x}}}$, d’où ${A_y} = {B_o}x$.
c. L’équation de la fonction d’onde devient $-\frac{{{{}}^{2}}}{2m}\left( \frac{\underline{{{\Psi }^{2}}}}{{{{\underset{\scriptscriptstyle-}{x}}}^{2}}}+\frac{\underline{{{\Psi }^{2}}}}{{{{\underset{\scriptscriptstyle-}{y}}}^{2}}} \right)+\frac{e}{im}\frac{\underline{\Psi }}{{\underset{\scriptscriptstyle-}{y}}}+\frac{{{e}^{2}}}{2m}B_{o}^{2}{{x}^{2}}\Psi =\varepsilon \Psi $.
d. Les conditions aux limites imposent comme précédemment ${k_y} = q\frac{{2\pi }}{{{1_v}}}$. L’équation prend alors la forme indiquée avec ${V_o}(x) = - \frac{{{{\rlap{--} h}^2}}}{{2m}}k_y^2 + \frac{{\rlap{--} he}}{m}{k_y}{B_o}x + \frac{{{e^2}}}{{2m}}B_o^2{x^2} = \frac{m}{2}{\left( {\frac{{e{B_o}}}{m}} \right)^2}{\left[ {x - \left( { - \frac{{\rlap{--} h{k_y}}}{{e{B_o}}}} \right)} \right]^2}$, d’où ${\omega _o} = \frac{{e{B_o}}}{m}{\omega _c}$et ${x_o} = - \frac{{\rlap{--} h{k_y}}}{{e{B_o}}}$.
e. Vo(x) est un potentiel effectif parabolique pour la fonction Ω(x), équivalent à celui d’un oscillateur harmonique.
IV.8.a. Il faut que $|{k_y}| < \frac{{e{B_o}}}{{\rlap{--} h}}\frac{{{1_x}}}{2}$, ce qui correspond à un nombre de niveaux ${N_y} = 2Ent\left( {\frac{{{1_y}}}{{2\pi }}\frac{{e{B_o}}}{{\rlap{--} h}}\frac{{{1_x}}}{2}} \right) - \frac{{e{B_o}}}{{2\pi \rlap{--} h}}{1_x}{1_y}$. En multipliant ce nombre par 2 pour tenir compte du spin, on obtient bien l’expression de gp.
b. Tous les électrons nelxly se trouve sur le premier niveau (p=0) s’ils sont en nombre inférieur ou égal à g0, soit si ${B_o} = {B_1} = \frac{{\pi \rlap{--} h{n_e}}}{e}$. Les électrons se trouvent au plus sur p niveaux d’énergie si leur nombre est inférieur à $\sum\limits_0^{p - 1} {{g_p} = p{g_0}} $soit pour ${B_o} = {B_p} = \frac{{{B_1}}}{p}$.
c. Pour la valeur Bp, l’expression de la résistance de Hall s’écrit bien $R_H^{(p)} = \frac{{\pi \rlap{--} h}}{{{e^2}}}\frac{1}{p}$, qui ne dépend d’aucune caractéristique du milieu mais des constantes universelles $\rlap{--} h$ et e (effet Hall quantique). Ces résistances s’expriment en ohm.
IV.9.a. On obtient RK = 25,812806·103 Ω (± 12·10‑7 RK).
b. Les deux valeurs de RK concordent à mieux que la précision la plus faible. Il est remarquable que la précision est meilleure pour la valeur expérimentale, ce qui conduit à améliorer notre connaissance de la valeur numérique du rapport $\frac{{\rlap{--} h}}{{{e^2}}}$ de plus d’un ordre de grandeur.
c. La résistance de Hall quantique est reproductible avec une précision meilleure que ce que permettent les définitions du système international d’unités. Il est donc possible et intéressant de l’utiliser comme référence pour la mesure des résistances.
Il faut alors comparer une résistance de Hall à la résistance à mesurer. Comme l’une est longitudinale et l’autre transversale, un montage du type de ceux envisagés à la question III.2 ne convient plus.
IV.10. Quand τ est infini les coefficients ρxx et ρyy sont nuls. La matrice de résistivité est alors $\left( \rho \right) = R_H^{(p)}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}0&1\\{ - 1}&0\end{array}} \right)$.
La matrice conductivité est son inverse $\sigma = R_H^{(p) - 1}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 1}\\1&0\end{array}} \right)$. On constate que σxx n’est pas l’inverse de ρxx : la résistivité et la conductivité longitudinales sont simultanément nulles.
V. Système de détection.
V.1.a. C’est le montage classique amplificateur non-inverseur : ${V_o} = \frac{{{R_1} + {R_2}}}{{{R_2}}}{I_o}{R_s}$.
b. On en tire ${G_o} = \frac{{{R_1} + {R_2}}}{{{R_2}}}$ .
V.2.a. En égalant ${V_ - } = \frac{{{R_2}}}{{{R_1} + {R_2}}}{V_1}$ et ${V_ + } = {R_s}\frac{{{V_1} + {R_3}{I_o}}}{{{R_s} + {R_3}}}$ on obtient l’équation d’où on tire ${G_1} = {R_3}\frac{{{R_1} + {R_2}}}{{{R_2}{R_3} - {R_1}{R_s}}} = {G_o}\frac{{{R_3}}}{{{R_3} + \left( {1 - {G_o}} \right){R_s}}}$.
b. Quand R3 tend vers l’infini, G1 tend vers Go, comme il était prévisible.
V.3.a. En remplaçant Rs par son expression, on obtient ${V_1} = {V_3}\frac{{1 + aT + b{T^2}}}{{{r_3} + \alpha \left( {1 + aT + b{T^2}} \right)}}$.
On peut développer la fraction rationnelle selon les puissances croissantes de T.
b. En utilisant le paramètre $c = \frac{\alpha }{{{r_3} + \alpha }}$, l’expression s’écrit ${V_1} = \frac{{{V_3}}}{{{r_3} + \alpha }}\frac{{1 + aT + b{T^2}}}{{1 + caT + cb{T^2}}}$. Comme c << 1 (puisque R3 >> Rs) des approximations conduisent à ${V_1} = \frac{{{V_3}}}{{{r_3} + \alpha }}\left[ {1 + aT + \left( {b - c{a^2}} \right){T^2}} \right]$.
c. Pour annuler le terme du second degré, il faut prendre b=ca2, soit ${r_3} = \alpha \left( {\frac{{{a^2}}}{b} - 1} \right)$.
d. α ne devant pas être nul pour réaliser la condition précédente, la plus petite valeur entière possible pour Go est 2. On a alors α = ‑ 1 et ${R_3} = {2,86.10^3}\Omega $ qui est assez grand devant Rs.
Le premier terme négligé dans le développement de V1 est d’ordre 3. Les ordres de grandeurs donnés pour le développement de Rs conduisent à penser que le terme ignoré d’ordre 3 n’a pas d’influence sensible. Il suffit alors de pousser à l’ordre 3 le développement du 3.b. On obtient le coefficient ac(a2c‑2b)=‑8·10‑11. En prenant T=300K, la valeur relative du premier terme négligé est de l’ordre de ${2.10^{ - 3}}$.
V.4.a. En connectant la sonde par deux fils seulement, on mesure la somme de Rs et des résistances des fils de liaisons, mal déterminées (par suite de la non-uniformité de la température par exemple). Le nouvel amplificateur opérationnel permet le passage du courant dans la sonde tout en maintenant la borne C au potentiel de la masse, quelle que soit la résistance du fil parcouru par le courant.
b. Les résultats précédents restent valables puisque les chutes de tension dans les fils d’alimentation de la sonde y ont été supposées nulles. Il faut cependant remarquer que le montage ne permet pas de s’affranchir totalement de l’influence de la résistance R’ du fil reliant la source de courant à la sonde, qui intervient sur la fraction de Io qui traverse la sonde. En en tenant compte, on obtient ${V_1} = \frac{{{R_s}{V_3}}}{{{R_3} + R' + \left( {1 - {G_o}} \right){R_s}}}$. La résistance R’ n’y apparaît qu’au dénominateur alors que, dans le montage à deux fils, elle intervient en se rajoutant à Rs et figure ainsi au numérateur. Devant R3 grande, son influence est bien plus faible dans le montage à quatre fils même si elle n’est pas négligeable devant Rs.
c. Les fils reliant la sonde aux entrées des amplificateurs opérationnels ne sont parcourus que par les courants de polarisation très faibles de ceux-ci et ne servent qu’à la mesure de la tension. Les deux autres servent à l’alimentation en courant de la sonde.
Cette méthode de mesure, dite à quatre fils, permet de mesurer pratiquement la résistance de la sonde même si les longueurs des fils utilisés sont grandes et leur résistances non-négligeable.
VI. Puissance rayonnée par un « corps noir ».
VI.1.a. Les photons frappant la surface δΣ pendant le temps δt sous l’angle d’incidence η se trouvent dans le volume δΣ·cδt·cosη. Parmi les nϕ·δΣ·cδt·cosη photons occupant ce volume, ceux qui arrivent sous un angle d’incidence compris entre η et η+dη en constituent, par suite de l’isotropie à l’équilibre, la proportion égale à la fraction d’angle solide correspondant : ${d^3}N = n\varphi .\delta \Sigma .c\delta .\cos \eta \frac{{2\pi \sin \eta d\eta }}{{4\pi }}$, soit ${d^3}N = \frac{1}{2}{n_\varphi }c\sin \eta \cos \eta \delta \Sigma d\eta \delta t$.
b. La quantité de mouvement du photon a varié de $\Delta p = 2\frac{{hv}}{c}\cos \eta $ selon la normale interne à la paroi, qui a donc reçu la quantité de mouvement opposée.
c. Le théorème de la quantité de mouvement permet de calculer la force exercée sur l’élément de paroi selon la normale externe : ${d^3}F = \frac{{\Delta p}}{{\delta t}}{d^3}NP(E)dE = {n_\varphi }hv\sin \eta {\cos ^2}\eta \delta \Sigma d\eta P(E)dE$. En intégrant sur l’ensemble des énergies des photons on obtient, ${d^2}F = {n_\varphi }\sin \eta {\cos ^2}\eta \delta \Sigma d\eta \int_0^\infty {EP(E)dE} $.
d. En intégrant sur le demi-espace, $\int_0^{\pi /2} {\sin \eta {{\cos }^2}\eta d\eta = \frac{1}{3}} $et $u = {n_\varphi }\int_0^\infty {EP(E)dE} $, d’où $P = \frac{1}{3}u$.
VI.2.a. L’énergie interne est U = uV = 3PV. La différentielle de U est dU = ‑P dV + TdS, d’où on tire $dS = \frac{{dU}}{T} + \frac{P}{T}dV = \frac{V}{T}du + \frac{{4u}}{{3T}}dV$.
b. Sachant que u ne dépend que de T, le théorème de Schwarz appliqué à la fonction S(u,V) donne $\frac{1}{T} = \frac{4}{3}\left( {\frac{1}{T} - \frac{u}{{{T^2}}}\frac{{dT}}{{du}}} \right)$, soit $\frac{{du}}{u} = 4\frac{{dT}}{T}$ qui s’intègre en $u = \zeta .{T^4}$.
c. La différentielle de S(u,V) devient $dS = 4\zeta {T^2}VdT + \frac{4}{3}\zeta {T^3}dV$qui s’intègre en $S = \frac{4}{3}\zeta {T^3}V$.
On en déduit G = U + PV ‑ TS = 0. L’enthalpie libre du gaz de photons est donc toujours nulle. Ce résultat veut dire qu’à T et donc P donnés, G est toujours minimale, et que l’équilibre est toujours possible quel que soit le volume. Cette propriété est due au fait que le nombre de photons est indéterminé par suite de l’existence de l’émission-absorption avec la paroi pour la réalisation de l’équilibre.
VI.3.a. On calcule l’énergie volumique par intégration : $u = \int_0^\infty {{u_v}} dv = \frac{{8\pi h}}{{{c^3}}}{\left( {\frac{{{k_B}T}}{h}} \right)^4}\int_0^\infty {\frac{{{x^3}}}{{\exp \left( x \right) - 1}}} dx = \frac{{8{\pi ^5}}}{{15}}\frac{{k_B^4}}{{{c^3}{h^3}}}{T^4}$, d’où $\zeta = \frac{{8{\pi ^5}}}{{15}}\frac{{k_B^4}}{{{c^3}{h^3}}}$.
b. On reprend le calcul du 1.a en remplaçant la densité des photons nϕ par l’énergie volumique u, ce qui donne $\delta {W_s} = \frac{1}{2}uc\sin \eta \cos \eta d\eta $qui s’intègre en ${W_s} = \frac{1}{4}uc = \frac{{\zeta c}}{4}{T^4}$, et conduit à la valeur annoncée du coefficient σs.
c. On obtient pour la constante de Stefan ${\sigma _s} = {5,66.10^{ - 8}}W.{m^{ - 2}}.{K^{ - 4}}$.
VII. Pyromètre.
VII.1.a. La puissance échangée est égale à la différence entre les puissances reçues et émises dues aux rayonnements en équilibre avec chacune des parois : ${W_{21}} = A{\sigma _s}\left( {T_2^4 - T_1^4} \right)$. Pour une différence de température faible, on peut utiliser le développement limité au premier ordre :
${W_{21}} = 4A{\sigma _s}{T^3}\left( {{T_2} - {T_1}} \right)$.
b. On en déduit la constante $h_r^{th} = 4{\sigma _s}{T^3} = 442W.{m^{ - 2}}.{K^{ - 1}}$, qui est environ trois fois plus grande que la constante hr donnée en I.
c. Si on suppose que le four est un bon corps noir et donc que son facteur d’émissivité est égal à 1, le facteur ε du tube est le seul à intervenir dans les puissances reçues et émises, ce qui entraine $\varepsilon = \frac{{{h_r}}}{{h_r^{th}}}0,32$.
VII.2.a. Le rapport des deux mesures pyrométriques est égal au facteur εν et s’exprime en fonction des températures mesurées T1 et TA selon la loi d’étalonnage de VI.3. à la fréquence ν, en négligeant 1 devant les exponentielles : $\exp \left( {\frac{{hc}}{{{\lambda _o}{k_B}{T_1}}}} \right) = {\varepsilon _v}\exp \left( {\frac{{{h_c}}}{{{\lambda _o}{k_B}{T_A}}}} \right)$.
b. On en tire $\frac{1}{{{T_A}}} = \frac{1}{{{T_1}}} - \frac{{{\lambda _o}{k_B}}}{{hc}}\ln {\varepsilon _v}$.
c. En supposant que le facteur d’émissivité εν est très voisin du facteur d’émissivité moyenne, l’application numérique donne TA = 1195 K soit 922°C. L’écart par rapport à la température réelle est grand : près de 80 K.
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ASPECTS D’UN PROCÉDÉ DE MESURE
DE TEMPÉRATURE DE FLAMME
I. Dispositif de mesure.
I.1.a. À l’équilibre thermique, la somme des puissances reçues par le tube est nulle : Wf1 + W21 = 0. On en déduit ${T_f} = {T_1} + \frac{{{h_r}}}{{{h_c}}}\left( {{T_1} - {T_2}} \right)$ .
b. Application numérique : On relève sur la courbe d’étalonnage T1 = 1001,5 °C et T2 = 954 °C, d’où ${T_f} = 1112{\rm{ ^\circ }}C$.
c. Le raisonnement précédent ne tient pas compte des échanges par rayonnement entre la flamme et le tube et des échanges par conduction entre le tube et la paroi du four.
I.2.a. L’application du premier principe de la thermodynamique pendant le temps dt s’écrit : W21 dt = C1 dT1, d’où l’équation $\frac{{d\left( {{T_1} - {T_2}} \right)}}{{dt}} = - \frac{{{h_r}A}}{{{C_1}}}\left( {{T_1} - {T_2}} \right)$, dont la solution est ${T_1} = {T_2} + \left( {{T_1} - {T_2}} \right)\exp \left( { - \frac{{{h_r}{A_t}}}{{{C_1}}}} \right)$.
b. En prenant ΔRs << Rs, on peut utiliser l’expression différentielle : $\Delta t = \frac{{{C_1}}}{{{h_r}A}}\frac{1}{{|{T_2} - {T_1}|}}\frac{{dT}}{{d{R_s}}}\Delta {R_s}$.
c. Application numérique : On tire du graphique $\frac{{dT}}{{d{R_s}}} = 2,6K.{\Omega ^{ - 1}}$, d’où $\Delta t = {8,3.10^{ - 2}}s$.
d. La température du four peut être considérée comme constante pendant la durée de refroidissement précédant l’alarme si son temps caractéristique de variation est petit devant celui du tube, ce qui est le cas si le four est suffisamment thermo-isolé et si sa capacité thermique est grande devant celle du tube.
II.1.a. On vérifie la condition de normalisation : $\int_0^\infty {p\left( \theta \right)} d\theta = {I_0} = 1$.
b. $\left\langle \theta \right\rangle = \int_0^\infty {\theta p\left( \theta \right)} d\theta = {I_1} = \tau {I_0} = \tau $.
c. $\left\langle {{\theta ^2}} \right\rangle = \int_0^\infty {{\theta ^2}p\left( \theta \right)} d\theta = 2\tau {I_1} = 2{\tau ^2}$.
II.2.a. Les vitesses ${\vec v_k}$ayant une distribution isotrope, leur valeur moyenne est nulle.
b. L’énergie cinétique moyenne d’un électron est $K = \frac{1}{2}m\left\langle {\vec v_k^2} \right\rangle = \frac{1}{2}mv_k^2$, d’où ${v_k} = \sqrt {\frac{{2K}}{m}} $.
c. Application numérique : on obtient ${v_K} = {1,57.10^6}m.{s^{ - 1}}$.
II.3.a. Sous l’action de la force électrique $ - e{\vec E_0}$, un électron prend l’accélération $ - \frac{e}{m}{\vec E_0}$. Sa vitesse devient $\vec v = {\vec v_k} - \frac{e}{m}{E_0}{\vec e_x}t$ et son rayon-vecteur ${\vec r_{k + 1}} = {\vec r_k} - \frac{e}{{2m}}{E_0}{\vec e_x}{\left( {{t_{k + 1}} - {t_k}} \right)^2}$. On en déduit la valeur moyenne $\left\langle {{{\vec r}_{k + 1}} - {{\vec r}_k}} \right\rangle = - N\frac{e}{m}{E_0}{\tau ^2}{\vec e_x}$.
b. La vitesse de dérive s’obtient en prenant la moyenne de $\vec v$ ou en faisant le rapport $\frac{{\left\langle {{{\vec r}_{k + 1}} - {{\vec r}_k}} \right\rangle }}{{N\tau }}:{\vec v_d} = - \frac{{e\tau }}{m}{E_0}{\vec e_x}$.
c. L’équation du mouvement $m\frac{{d\vec v}}{{dt}} = - \zeta \vec v - e{\vec E_0}$conduit au régime permanent $\vec v = - \frac{{e{{\vec E}_0}}}{\zeta }$.
d. $\vec v = {\vec v_d}$en prenant $\zeta = \frac{m}{\tau }$.
II.4.a. De l’expression de la densité de courant $\vec j = - {n_o}e{\vec v_d} = \frac{{{n_o}{e^2}\tau }}{m}{E_0}{\vec e_x}$on tire la conductivité $\sigma = \frac{{{n_o}{e^2}\tau }}{m}$.
b. Application numérique : on obtient $\tau = \frac{{m\sigma }}{{{n_o}{e^2}}} = {4,2.10^{ - 15}}s$.
Les chocs sont très fréquents et le libre parcours moyen $\left( {{v_k}\tau = {{7.10}^{ - 9}}{\rm{ m}}} \right)$est faible.
c. Application numérique : ${v_d} = \frac{\sigma }{{{n_o}e}}{E_0} = 0,73{\rm{ }}m.{s^{ - 1}} < < {v_k}$.
d. Dans un métal $\tau $et $\sigma $diminuent quand la température augmente. Dans un semi-conducteur no et σ augmentent.
b. Comme en 4.a on en déduit la conductivité complexe $\sigma = \frac{{{n_o}{e^2}\tau }}{{m\left( {1 + i\omega \tau } \right)}}$.
c. La conductivité est la même qu’en régime continu pour ωτ << 1 soit pour une fréquence $f < < \frac{1}{{2\pi \tau }} = {3,8.10^{13}}Hz$.
III. Étalonnage.
III.1. On réalise des points fixes au moyen d’équilibres entre phases d’un corps pur. Dans le cas d’un point triple (à trois phases, solide-liquide-vapeur par exemple) le système est monovariant et la température est fixe. Dans le cas d’un équilibre diphasé, la variance est égale à 2 et la température n’est fixée que si l’on fixe la pression (à la valeur de référence de 1 bar par exemple).
III.2. Dans la gamme de quelques centaines d’ohms, le pont de Wheatstone est bien adapté à des mesures de précision.
IV. Étalons de résistance.
IV.1. Résolution.
a. Pour le potentiel considéré, le produit X(x)·Y(y) permet le découplage de l’équation de Schrödinger en deux équations en X(x) et Y(y) : $ - \frac{{{{\rlap{--} h}^2}}}{{2m}}\frac{{{d^2}X}}{{d{x^2}}} = {E_x}X{\rm{ et }} - \frac{{{{\rlap{--} h}^2}}}{{2m}}\frac{{{d^2}Y}}{{d{y^2}}}{E_y}Y$.
b. La solution générale de la première équation est X = A coskx + B sinkx où $k = \frac{{\sqrt {2m{E_x}} }}{{\rlap{--} h}}$.
Les conditions aux limites imposent $\left\{ {B = 0,k = \frac{{\pi + p2\pi }}{{{1_x}}}} \right\}$ou $\left\{ {A = 0,k = \frac{{p2\pi }}{{{1_x}}}} \right\}$, où p est un entier positif, ce qui conduit aux valeurs ${E_x} = {p^2}\frac{{{\pi ^2}{{\rlap{--} h}^2}}}{{2m1_x^2}}$.
c. L’équation en Y(y) conduit à des solutions analogues avec un entier positif q. Les niveaux d’énergie permis ont donc pour valeurs $E = \frac{{{\pi ^2}{{\rlap{--} h}^2}}}{{2m}}\left( {\frac{{{p^2}}}{{1_x^2}} + \frac{{{q^2}}}{{1_y^2}}} \right)$.
a. kx et ky s’expriment en ${m^{ - 1}}$.
b. La condition de périodicité impose $\exp \left( {i{k_x}{1_x}} \right) = \exp \left( {i{k_y}{1_y}} \right) = 1$, soit ${k_x} = p\frac{{2\pi }}{{{1_x}}}$ et ${k_y} = q\frac{{2\pi }}{{{1_y}}}$, où p et q sont des entiers relatifs non nuls. Les énergies permises s’obtiennent avec l’équation de Schrödinger : $E = \frac{{{{\rlap{--} h}^2}}}{{2m}}\left( {k_x^2 + k_y^2} \right)$.
IV.3. Densité d’états.
a. Les points de coordonnées {kx, ky} se trouvent aux nœuds d’un réseau carré (origine exclue) dont la maille a pour longueurs de base $\Delta {k_x} = \frac{{2\pi }}{{{1_x}}}{\rm{ et }}\Delta {k_y} = \frac{{2\pi }}{{{1_y}}}$.
b. Dans l’espace des $\vec k$, les lignes d’égale énergie sont des cercles centrés sur l’origine, dont l’intérieur correspond aux énergies plus faibles : $k < \frac{{\sqrt {2mE} }}{{\rlap{--} h}}$. Si le nombre de points de ce disque est très grand, ce nombre peut être considéré comme égal au rapport de l’aire du disque à l’aire de la maille : $N\left( E \right)\frac{{\pi {k^2}}}{{ - \Delta {k_x}.\Delta {k_y}}} = \frac{{m{1_x}{1_y}}}{{2\pi {{\rlap{--} h}^2}}}E$.
c. On en déduit $\gamma \left( E \right) = \frac{{m{1_x}{1_y}}}{{2\pi {{\rlap{--} h}^2}}}$.
d. En tenant compte du spin, la densité d’états double : ${\gamma _s}\left( E \right) = \frac{{m{1_x}{1_y}}}{{\pi {{\rlap{--} h}^2}}}$.
IV.4.a. Des expressions obtenues en IV.1.b on déduit les valeurs permises ${k_x} = {p_1}\frac{\pi }{{{1_x}}}$et ${k_y} = {q_1}\frac{\pi }{{{1_{y'}}}}$, avec p et q entiers positifs.
b. La densité d’état s’obtient par les mêmes raisonnements qu’en IV.3.b c et d en les appliquant au quart de disque p>0, q>0, ce qui conduit au même résultat.
IV.5.a. Dans le domaine d’énergie considéré, le nombre d’états est $N = \frac{{m{1_x}{1_y}}}{{\pi {{\rlap{--} h}^2}}}{k_B}T$.
b. Application numérique : on obtient $N = {3,6.10^8}$.
IV.6.a. L’équation du mouvement d’un électron est maintenant $m\frac{{d\vec v}}{{dt}} + \frac{m}{\tau }\vec v = - e\vec E - e\vec v \wedge {\vec B_o}$. On en déduit l’équation en $\vec J$ en régime permanent : ${n_e}{e^2}\vec E = \frac{m}{\tau }\vec J + e\vec J \wedge {\vec B_o}$, qui se met sous la forme matricielle $\left( \begin{array}{l}{E_x}\\{E_y}\end{array} \right) = \frac{1}{{{n_e}e}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{m}{{e\tau }}}&{{B_o}}\\{ - {B_o}}&{\frac{m}{{e\tau }}}\end{array}} \right).\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{J_x}}\\{{J_y}}\end{array}} \right)$.
b. L’unité SI de densité de courant de surface est l’ampère par mètre et celle des coefficients de résistivité de surface l’ohm.
c. Avec les nouvelles notations, la matrice s’écrit $\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{{{\sigma _e}}}}&{\frac{\tau }{{{\sigma _e}}}{\omega _c}}\\{ - \frac{\tau }{{{\sigma _e}}}{\omega _e}}&{\frac{1}{{{\sigma _e}}}}\end{array}} \right)$.
ωc est la pulsation cyclotron, vitesse angulaire du mouvement de l’électron dans le champ magnétique.
d. Avec des champs uniformes la tension de Hall est ${V_{Hy}} = - {E_y}{1_y} = \frac{\tau }{{{\sigma _e}}}{\omega _c}\frac{{{1_x}}}{{{1_y}}}{1_y} = \frac{\tau }{{{\sigma _e}}}{\omega _c}{1_x}$, soit ${R_H}\frac{{\tau {\omega _c}}}{{{\sigma _e}}}$qui ne dépend pas des paramètres géométriques.
e. La résistivité longitudinale, coefficient liant Ex et Jx, ne dépend pas de Bo, alors que les trajectoires des électrons entre deux chocs sont courbées par le champ magnétique. L’absence d’un effet magnétorésistif est due à l’hypothèse simplificatrice de régime permanent $\frac{{d\vec v}}{{dt}} = \vec 0$.
b. Avec les directions imposées ${{B}_{o}}=\frac{{{\underline{A}}_{y}}}{{\underset{\scriptscriptstyle-}{x}}}$, d’où ${A_y} = {B_o}x$.
c. L’équation de la fonction d’onde devient $-\frac{{{{}}^{2}}}{2m}\left( \frac{\underline{{{\Psi }^{2}}}}{{{{\underset{\scriptscriptstyle-}{x}}}^{2}}}+\frac{\underline{{{\Psi }^{2}}}}{{{{\underset{\scriptscriptstyle-}{y}}}^{2}}} \right)+\frac{e}{im}\frac{\underline{\Psi }}{{\underset{\scriptscriptstyle-}{y}}}+\frac{{{e}^{2}}}{2m}B_{o}^{2}{{x}^{2}}\Psi =\varepsilon \Psi $.
d. Les conditions aux limites imposent comme précédemment ${k_y} = q\frac{{2\pi }}{{{1_v}}}$. L’équation prend alors la forme indiquée avec ${V_o}(x) = - \frac{{{{\rlap{--} h}^2}}}{{2m}}k_y^2 + \frac{{\rlap{--} he}}{m}{k_y}{B_o}x + \frac{{{e^2}}}{{2m}}B_o^2{x^2} = \frac{m}{2}{\left( {\frac{{e{B_o}}}{m}} \right)^2}{\left[ {x - \left( { - \frac{{\rlap{--} h{k_y}}}{{e{B_o}}}} \right)} \right]^2}$, d’où ${\omega _o} = \frac{{e{B_o}}}{m}{\omega _c}$et ${x_o} = - \frac{{\rlap{--} h{k_y}}}{{e{B_o}}}$.
e. Vo(x) est un potentiel effectif parabolique pour la fonction Ω(x), équivalent à celui d’un oscillateur harmonique.
IV.8.a. Il faut que $|{k_y}| < \frac{{e{B_o}}}{{\rlap{--} h}}\frac{{{1_x}}}{2}$, ce qui correspond à un nombre de niveaux ${N_y} = 2Ent\left( {\frac{{{1_y}}}{{2\pi }}\frac{{e{B_o}}}{{\rlap{--} h}}\frac{{{1_x}}}{2}} \right) - \frac{{e{B_o}}}{{2\pi \rlap{--} h}}{1_x}{1_y}$. En multipliant ce nombre par 2 pour tenir compte du spin, on obtient bien l’expression de gp.
b. Tous les électrons nelxly se trouve sur le premier niveau (p=0) s’ils sont en nombre inférieur ou égal à g0, soit si ${B_o} = {B_1} = \frac{{\pi \rlap{--} h{n_e}}}{e}$. Les électrons se trouvent au plus sur p niveaux d’énergie si leur nombre est inférieur à $\sum\limits_0^{p - 1} {{g_p} = p{g_0}} $soit pour ${B_o} = {B_p} = \frac{{{B_1}}}{p}$.
c. Pour la valeur Bp, l’expression de la résistance de Hall s’écrit bien $R_H^{(p)} = \frac{{\pi \rlap{--} h}}{{{e^2}}}\frac{1}{p}$, qui ne dépend d’aucune caractéristique du milieu mais des constantes universelles $\rlap{--} h$ et e (effet Hall quantique). Ces résistances s’expriment en ohm.
IV.9.a. On obtient RK = 25,812806·103 Ω (± 12·10‑7 RK).
b. Les deux valeurs de RK concordent à mieux que la précision la plus faible. Il est remarquable que la précision est meilleure pour la valeur expérimentale, ce qui conduit à améliorer notre connaissance de la valeur numérique du rapport $\frac{{\rlap{--} h}}{{{e^2}}}$ de plus d’un ordre de grandeur.
c. La résistance de Hall quantique est reproductible avec une précision meilleure que ce que permettent les définitions du système international d’unités. Il est donc possible et intéressant de l’utiliser comme référence pour la mesure des résistances.
Il faut alors comparer une résistance de Hall à la résistance à mesurer. Comme l’une est longitudinale et l’autre transversale, un montage du type de ceux envisagés à la question III.2 ne convient plus.
IV.10. Quand τ est infini les coefficients ρxx et ρyy sont nuls. La matrice de résistivité est alors $\left( \rho \right) = R_H^{(p)}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}0&1\\{ - 1}&0\end{array}} \right)$.
La matrice conductivité est son inverse $\sigma = R_H^{(p) - 1}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 1}\\1&0\end{array}} \right)$. On constate que σxx n’est pas l’inverse de ρxx : la résistivité et la conductivité longitudinales sont simultanément nulles.
V.1.a. C’est le montage classique amplificateur non-inverseur : ${V_o} = \frac{{{R_1} + {R_2}}}{{{R_2}}}{I_o}{R_s}$.
b. On en tire ${G_o} = \frac{{{R_1} + {R_2}}}{{{R_2}}}$ .
V.2.a. En égalant ${V_ - } = \frac{{{R_2}}}{{{R_1} + {R_2}}}{V_1}$ et ${V_ + } = {R_s}\frac{{{V_1} + {R_3}{I_o}}}{{{R_s} + {R_3}}}$ on obtient l’équation d’où on tire ${G_1} = {R_3}\frac{{{R_1} + {R_2}}}{{{R_2}{R_3} - {R_1}{R_s}}} = {G_o}\frac{{{R_3}}}{{{R_3} + \left( {1 - {G_o}} \right){R_s}}}$.
b. Quand R3 tend vers l’infini, G1 tend vers Go, comme il était prévisible.
V.3.a. En remplaçant Rs par son expression, on obtient ${V_1} = {V_3}\frac{{1 + aT + b{T^2}}}{{{r_3} + \alpha \left( {1 + aT + b{T^2}} \right)}}$.
On peut développer la fraction rationnelle selon les puissances croissantes de T.
b. En utilisant le paramètre $c = \frac{\alpha }{{{r_3} + \alpha }}$, l’expression s’écrit ${V_1} = \frac{{{V_3}}}{{{r_3} + \alpha }}\frac{{1 + aT + b{T^2}}}{{1 + caT + cb{T^2}}}$. Comme c << 1 (puisque R3 >> Rs) des approximations conduisent à ${V_1} = \frac{{{V_3}}}{{{r_3} + \alpha }}\left[ {1 + aT + \left( {b - c{a^2}} \right){T^2}} \right]$.
c. Pour annuler le terme du second degré, il faut prendre b=ca2, soit ${r_3} = \alpha \left( {\frac{{{a^2}}}{b} - 1} \right)$.
d. α ne devant pas être nul pour réaliser la condition précédente, la plus petite valeur entière possible pour Go est 2. On a alors α = ‑ 1 et ${R_3} = {2,86.10^3}\Omega $ qui est assez grand devant Rs.
Le premier terme négligé dans le développement de V1 est d’ordre 3. Les ordres de grandeurs donnés pour le développement de Rs conduisent à penser que le terme ignoré d’ordre 3 n’a pas d’influence sensible. Il suffit alors de pousser à l’ordre 3 le développement du 3.b. On obtient le coefficient ac(a2c‑2b)=‑8·10‑11. En prenant T=300K, la valeur relative du premier terme négligé est de l’ordre de ${2.10^{ - 3}}$.
V.4.a. En connectant la sonde par deux fils seulement, on mesure la somme de Rs et des résistances des fils de liaisons, mal déterminées (par suite de la non-uniformité de la température par exemple). Le nouvel amplificateur opérationnel permet le passage du courant dans la sonde tout en maintenant la borne C au potentiel de la masse, quelle que soit la résistance du fil parcouru par le courant.
b. Les résultats précédents restent valables puisque les chutes de tension dans les fils d’alimentation de la sonde y ont été supposées nulles. Il faut cependant remarquer que le montage ne permet pas de s’affranchir totalement de l’influence de la résistance R’ du fil reliant la source de courant à la sonde, qui intervient sur la fraction de Io qui traverse la sonde. En en tenant compte, on obtient ${V_1} = \frac{{{R_s}{V_3}}}{{{R_3} + R' + \left( {1 - {G_o}} \right){R_s}}}$. La résistance R’ n’y apparaît qu’au dénominateur alors que, dans le montage à deux fils, elle intervient en se rajoutant à Rs et figure ainsi au numérateur. Devant R3 grande, son influence est bien plus faible dans le montage à quatre fils même si elle n’est pas négligeable devant Rs.
c. Les fils reliant la sonde aux entrées des amplificateurs opérationnels ne sont parcourus que par les courants de polarisation très faibles de ceux-ci et ne servent qu’à la mesure de la tension. Les deux autres servent à l’alimentation en courant de la sonde.
Cette méthode de mesure, dite à quatre fils, permet de mesurer pratiquement la résistance de la sonde même si les longueurs des fils utilisés sont grandes et leur résistances non-négligeable.
VI. Puissance rayonnée par un « corps noir ».
b. La quantité de mouvement du photon a varié de $\Delta p = 2\frac{{hv}}{c}\cos \eta $ selon la normale interne à la paroi, qui a donc reçu la quantité de mouvement opposée.
c. Le théorème de la quantité de mouvement permet de calculer la force exercée sur l’élément de paroi selon la normale externe : ${d^3}F = \frac{{\Delta p}}{{\delta t}}{d^3}NP(E)dE = {n_\varphi }hv\sin \eta {\cos ^2}\eta \delta \Sigma d\eta P(E)dE$. En intégrant sur l’ensemble des énergies des photons on obtient, ${d^2}F = {n_\varphi }\sin \eta {\cos ^2}\eta \delta \Sigma d\eta \int_0^\infty {EP(E)dE} $.
d. En intégrant sur le demi-espace, $\int_0^{\pi /2} {\sin \eta {{\cos }^2}\eta d\eta = \frac{1}{3}} $et $u = {n_\varphi }\int_0^\infty {EP(E)dE} $, d’où $P = \frac{1}{3}u$.
VI.2.a. L’énergie interne est U = uV = 3PV. La différentielle de U est dU = ‑P dV + TdS, d’où on tire $dS = \frac{{dU}}{T} + \frac{P}{T}dV = \frac{V}{T}du + \frac{{4u}}{{3T}}dV$.
b. Sachant que u ne dépend que de T, le théorème de Schwarz appliqué à la fonction S(u,V) donne $\frac{1}{T} = \frac{4}{3}\left( {\frac{1}{T} - \frac{u}{{{T^2}}}\frac{{dT}}{{du}}} \right)$, soit $\frac{{du}}{u} = 4\frac{{dT}}{T}$ qui s’intègre en $u = \zeta .{T^4}$.
c. La différentielle de S(u,V) devient $dS = 4\zeta {T^2}VdT + \frac{4}{3}\zeta {T^3}dV$qui s’intègre en $S = \frac{4}{3}\zeta {T^3}V$.
On en déduit G = U + PV ‑ TS = 0. L’enthalpie libre du gaz de photons est donc toujours nulle. Ce résultat veut dire qu’à T et donc P donnés, G est toujours minimale, et que l’équilibre est toujours possible quel que soit le volume. Cette propriété est due au fait que le nombre de photons est indéterminé par suite de l’existence de l’émission-absorption avec la paroi pour la réalisation de l’équilibre.
VI.3.a. On calcule l’énergie volumique par intégration : $u = \int_0^\infty {{u_v}} dv = \frac{{8\pi h}}{{{c^3}}}{\left( {\frac{{{k_B}T}}{h}} \right)^4}\int_0^\infty {\frac{{{x^3}}}{{\exp \left( x \right) - 1}}} dx = \frac{{8{\pi ^5}}}{{15}}\frac{{k_B^4}}{{{c^3}{h^3}}}{T^4}$, d’où $\zeta = \frac{{8{\pi ^5}}}{{15}}\frac{{k_B^4}}{{{c^3}{h^3}}}$.
b. On reprend le calcul du 1.a en remplaçant la densité des photons nϕ par l’énergie volumique u, ce qui donne $\delta {W_s} = \frac{1}{2}uc\sin \eta \cos \eta d\eta $qui s’intègre en ${W_s} = \frac{1}{4}uc = \frac{{\zeta c}}{4}{T^4}$, et conduit à la valeur annoncée du coefficient σs.
c. On obtient pour la constante de Stefan ${\sigma _s} = {5,66.10^{ - 8}}W.{m^{ - 2}}.{K^{ - 4}}$.
VII. Pyromètre.
VII.1.a. La puissance échangée est égale à la différence entre les puissances reçues et émises dues aux rayonnements en équilibre avec chacune des parois : ${W_{21}} = A{\sigma _s}\left( {T_2^4 - T_1^4} \right)$. Pour une différence de température faible, on peut utiliser le développement limité au premier ordre :
${W_{21}} = 4A{\sigma _s}{T^3}\left( {{T_2} - {T_1}} \right)$.
b. On en déduit la constante $h_r^{th} = 4{\sigma _s}{T^3} = 442W.{m^{ - 2}}.{K^{ - 1}}$, qui est environ trois fois plus grande que la constante hr donnée en I.
VII.2.a. Le rapport des deux mesures pyrométriques est égal au facteur εν et s’exprime en fonction des températures mesurées T1 et TA selon la loi d’étalonnage de VI.3. à la fréquence ν, en négligeant 1 devant les exponentielles : $\exp \left( {\frac{{hc}}{{{\lambda _o}{k_B}{T_1}}}} \right) = {\varepsilon _v}\exp \left( {\frac{{{h_c}}}{{{\lambda _o}{k_B}{T_A}}}} \right)$.
b. On en tire $\frac{1}{{{T_A}}} = \frac{1}{{{T_1}}} - \frac{{{\lambda _o}{k_B}}}{{hc}}\ln {\varepsilon _v}$.
c. En supposant que le facteur d’émissivité εν est très voisin du facteur d’émissivité moyenne, l’application numérique donne TA = 1195 K soit 922°C. L’écart par rapport à la température réelle est grand : près de 80 K.
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