Concours Physique II École Polytechnique (PC) 2001 (Corrigé)

Ecole Polytechnique – ESPCI

Deuxième composition de physique ; année 2001 ; filière PC
Première partie : Propagation d’une onde sonore dans un tuyau.
1. Équation d’Euler, en négligeant la pesanteur : $\rho \frac{{D\vec v}}{{Dt}} = - \overrightarrow {grad} P$. L’approximation acoustique (on ne garde que les termes d’ordre 1), et le fait que P = P₀ + p, donnent alors $\frac{{\partial v}}{{\partial t}} + \frac{1}{{{\rho _0}}}\frac{{\partial p}}{{\partial x}} = 0$ (1)
2. a) Masse contenue à l’instant t dans une tranche [x,x+dx] : dM(t) = ρ(x,t) S(x,t) dx. Elle ne peut varier que par les flux de masse en x et x+dx :
$\frac{{d(dM)}}{{dt}} = + \rho (x,t)S(x,t)v(x,t) - \rho (x + dx,t)S(x + dx,t)v(x + dx,t)$
D’où l’équation $\frac{\partial }{{\partial t}}\left( {\rho S} \right) + \frac{\partial }{{\partial x}}\left( {\rho Sv} \right) = 0$ (2)
b) L’équation d’Euler est une équation locale, valable en tout point du fluide. Elle est indépendante des conditions aux limites.
c) (2) s’écrit $\frac{\partial }{{\partial t}}\left( {\rho S} \right) + \frac{\partial }{{\partial x}}\left( {\left( {{\rho _0} + \delta \rho } \right)\left( {{S_0} + \delta S} \right)v} \right) = 0$ ; S₀ étant indépendante de x (énoncé), et en ne gardant que les termes d’ordre 1, il vient : $\frac{\partial }{{\partial t}}\left( {\rho S} \right) + {\rho _0}{S_0}\frac{{\partial v}}{{\partial x}} = 0$ (2’).

3. a) On dérive (1) par rapport à x : $\frac{{{\partial ^2}v}}{{\partial x\partial t}} + \frac{1}{{{\rho _0}}}\frac{{{\partial ^2}p}}{{\partial {x^2}}} = 0$ (1’’)

(2’) peut aussi s’écrire : $\left( {\frac{{d\rho }}{{dP}}S + \frac{{dS}}{{dP}}\rho } \right)\frac{{\partial P}}{{\partial t}} + {\rho _0}{S_0}\frac{{\partial v}}{{\partial x}} = 0$ ; au premier ordre (et comme $\frac{{\partial P}}{{\partial t}} = \frac{{\partial p}}{{\partial t}}$) on a alors : $\left( {\frac{{d\rho }}{{dP}}{S_0} + \frac{{dS}}{{dP}}{\rho _0}} \right)\frac{{\partial p}}{{\partial t}} + {\rho _0}{S_0}\frac{{\partial v}}{{\partial x}} = 0$. On dérive par rapport à t : $\left( {\frac{{{d^2}\rho }}{{d{P^2}}}{S_0} + \frac{{{d^2}S}}{{d{P^2}}}{\rho _0}} \right){\left( {\frac{{\partial p}}{{\partial t}}} \right)^2} + \left( {\frac{{d\rho }}{{dP}}{S_0} + \frac{{dS}}{{dP}}{\rho _0}} \right)\frac{{{\partial ^2}p}}{{\partial {t^2}}} + {\rho _0}{S_0}\frac{{{\partial ^2}v}}{{\partial t\partial x}} = 0$, et en ne gardant que les termes du premier ordre : $\left( {\frac{{d\rho }}{{dP}}{S_0} + \frac{{dS}}{{dP}}{\rho _0}} \right)\frac{{{\partial ^2}p}}{{\partial {t^2}}} + {\rho _0}{S_0}\frac{{{\partial ^2}v}}{{\partial t\partial x}} = 0$ (2’’)
La combinaison de (1’’) et (2’’) donne alors $\frac{{{\partial ^2}p}}{{\partial {x^2}}} - \frac{1}{{{c^2}}}\frac{{{\partial ^2}p}}{{\partial {t^2}}} = 0$ avec $\frac{1}{{{\rho _0}{c^2}}} = \frac{1}{{{\rho _0}}}{\left. {\frac{{d\rho }}{{dP}}} \right|_{p = 0}} + \frac{1}{{{S_0}}}{\left. {\frac{{dS}}{{dP}}} \right|_{p = 0}}$.
b) Un terme lié aux propriétés élastiques du fluide, l’autre à celles du solide constituant le tuyau.
c) (α) par les propriétés des deux (β) par les propriétés du fluide
(γ) par les propriétés du solide (δ) par les propriétés des deux
Pour un instrument à vent, on est dans le cas (β) : l’influence des parois de l’instrument de musique sur le son émis est donc négligeable.
Deuxième partie : Notes émises par un instrument à vent.
1. a) Pour x<0, on aura $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{p = {p_1} = {p_I}exp\left[ {j\left( {\omega \,t - kx} \right)} \right] + {p_R}exp\left[ {j\left( {\omega \,t + kx} \right)} \right]}\\{v = {v_1} = \frac{1}{Z}\left\{ {{p_I}exp\left[ {j\left( {\omega \,t - kx} \right)} \right] - {p_R}exp\left[ {j\left( {\omega \,t + kx} \right)} \right]} \right\}}\end{array}} \right.$, où l’on a posé Z = ρ₀c et $k = \frac{\omega }{c}$, et pour x>0 : $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{p = {p_2} = {p_T}exp\left[ {j\left( {\omega \,t - kx} \right)} \right]}\\{v = {v_2} = \frac{{{p_T}}}{Z}exp\left[ {j\left( {\omega \,t - kx} \right)} \right]}\end{array}} \right.$.
Pour la suite, on note S₁ et S₂ les sections du tuyau.
RFD à une tranche de fluide [–ε,+ε] : $dm\;{a_G} = {P_1}\left( { - \varepsilon ,t} \right){S_1} + {P_2}\left( {0,t} \right)\left( {{S_2} - {S_1}} \right) - {P_2}\left( {\varepsilon ,t} \right){S_2}$. On fait ε 0 : le membre de gauche tend vers zéro (a_G finie, et dm0), les P₀ s’éliminent à droite et il reste finalement : ${p_1}\left( {0,t} \right) = {p_2}\left( {0,t} \right)\quad \forall t$ (première condition à l’interface).
Conservation de la masse pour la même tranche [–ε,+ε] : $dm = \rho \left( {0,t} \right)\left[ {{S_1}\varepsilon + {S_2}\varepsilon } \right]$, donc $\frac{{d\left( {dm} \right)}}{{dt}} = \frac{{\partial \rho }}{{\partial t}}\left( {0,t} \right)\varepsilon \left( {{S_1} + {S_2}} \right) = \rho \left( { - \varepsilon ,t} \right){v_1}\left( { - \varepsilon ,t} \right){S_1} - \rho \left( {\varepsilon ,t} \right){v_2}\left( {\varepsilon ,t} \right){S_2}$. Puis ε0 : le membre de gauche 0 ; et il reste ${\rho _1}{v_1}{S_1} = {\rho _2}{v_2}{S_2}$ en x = 0, ∀t. En ne gardant que les termes d’ordre 1, on peut en fait remplacer ρ₁ et ρ₂ par ρ₀ et on a alors la deuxième condition à l’interface : ${v_1}\left( {0,t} \right){S_1} = {v_2}\left( {0,t} \right){S_2}\quad \forall t$.
Remarque : si S₁ ≠ S₂, il y a discontinuité des vitesses en x = 0 (de toutes les façons, c’est une modélisation approchée, les ondes ne peuvent être planes en réalité au voisinage de la discontinuité).
On reporte ces deux conditions dans les expressions des ondes, et on obtient : $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{p_I} + {p_R} = {p_T}}\\{{S_1}\left( {{p_I} - {p_R}} \right) = {S_2}{p_T}}\end{array}} \right.$, dont la résolution donne $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{r = \frac{{{p_R}}}{{{p_I}}} = \frac{{{S_1} - {S_2}}}{{{S_1} + {S_2}}} = \frac{{1 - {\chi ^2}}}{{1 + {\chi ^2}}}}\\{t = \frac{{{p_T}}}{{{p_I}}} = 1 + r = \frac{{2{S_1}}}{{{S_1} + {S_2}}} = \frac{2}{{1 + {\chi ^2}}}}\end{array}} \right.$. On note que ces coefficients sont réels, donc, si on prend p_I réel, p_R et p_T le sont aussi.
Vecteur densité de courant d’énergie sonore de l’onde incidente : ${\vec \pi _i} = \frac{{p_I^2}}{Z}co{s^2}\left( {\omega t - kx} \right){\vec e_x}$, soit en valeur moyenne dans le temps $\left\langle {{{\vec \pi }_i}} \right\rangle = \frac{{p_I^2}}{{2Z}}{\vec e_x}$. D’où la puissance moyenne transportée par cette onde :${I_i} = \frac{{p_I^2{S_1}}}{{2Z}}$.
De même ${I_r} = \frac{{p_R^2{S_1}}}{{2Z}}$ pour l’onde réfléchie et ${I_t} = \frac{{p_T^2{S_2}}}{{2Z}}$ pour l’onde transmise.
Donc $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{R = \frac{{{I_r}}}{{{I_i}}} = {r^2} = {{\left( {\frac{{1 - {\chi ^2}}}{{1 + {\chi ^2}}}} \right)}^2}}\\{T = \frac{{{I_t}}}{{{I_i}}} = \frac{{{S_2}}}{{{S_1}}}{t^2} = \frac{{4{\chi ^2}}}{{{{\left( {1 + {\chi ^2}} \right)}^2}}}}\end{array}} \right.$ ; on note bien sûr que R + T =1 (conservation de l’énergie).

b) Le coefficient R atteint son minimum (qui est nul) pour χ = 1 : il n’y a alors pas d’onde réfléchie, ce qui est normal puisqu’il n’y a en fait aucune discontinuité (Φ₁ = Φ₂).
c) Si χ 0 à Φ₁ donné : correspond à Φ₂ << Φ₁ et donc à un tuyau fermé. On a alors r = 1, donc p_R = p_I et par conséquent v₁(x=0,t) = 0 ∀t.
Si χ ∞ à Φ₂ donné : correspond à Φ₂ >> Φ₁ et donc à un tuyau ouvert. On a alors r = –1, donc p_R = –p_I et par conséquent p₁(x=0,t) = 0 ∀t.
2. a) Dans une onde stationnaire, nœuds et ventres alternent régulièrement tous les $\frac{\lambda }{4}$. Pour des conditions aux limites paires, on a donc $L = n\frac{{{\lambda _n}}}{2}$ avec n ∈ *. Or ${\lambda _n} = \frac{c}{{{\nu _n}}}$, donc ${\nu _n} = n\frac{c}{{2L}}$. Le fondamental a pour fréquence ${\nu _1} = \frac{c}{{2L}}$.
Pour des conditions aux limites impaires, $L = \left( {2n + 1} \right)\frac{{{\lambda _n}}}{4}$ avec maintenant n ∈ . Donc ${\nu _n} = \left( {2n + 1} \right)\frac{c}{{4L}}$. Le fondamental a pour fréquence ${\nu _0} = \frac{c}{{4L}}$.
b) Flûte : conditions paires ; L = 51,5 cm
Clarinette : conditions impaires donc, à L égales, son fondamental est plus bas que celui de la flûte (et plus précisément fréquence moitié)
Orgue : les valeurs correspondent à des conditions paires.
c) C.L. paires : ${\nu _{n + 1}} - {\nu _n} = \frac{c}{{2L}}$ ; C.L. impaires : ${\nu _{n + 1}} - {\nu _n} = \frac{c}{{2L}}$. Donc notes régulièrement espacées dans les deux cas, avec un écart de $\frac{c}{{2L}}$ entre deux harmoniques successifs, dans les deux cas.
Troisième partie : Influence du diamètre du tuyau.
1. a) Y(y) et Z(z) décrivent la variation de l’amplitude avec y et z (onde non plane) ; le terme ${e^{i\left( {kx - \omega \,t} \right)}}$ traduit le caractère harmonique de l’onde et sa propagation selon x’x.
b) La vitesse normale doit être nulle sur les parois (condition de non pénétration). En utilisant alors l’équation d’Euler à 3D, qui, en ne gardant que les termes d’ordre 1, devient ${\rho _0}\frac{{\partial \vec v}}{{\partial t}} = - \overrightarrow {grad} \,P = - \overrightarrow {grad} \,p$, on obtient en particulier $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{v_y} = \frac{1}{{i{\rho _0}\omega }}Y'(y)Z(z){e^{i\left( {kx - \omega \,t} \right)}} = 0{\rm{ pour }}y = 0{\rm{ ou }}D,{\rm{ }}\forall t}\\{{v_z} = \frac{1}{{i{\rho _0}\omega }}Y(y)Z'(z){e^{i\left( {kx - \omega \,t} \right)}} = 0{\rm{ pour }}z = 0{\rm{ ou }}D,{\rm{ }}\forall t}\end{array}} \right.$. Ce n’est possible que si $Y'\left( {y = 0} \right) = Y'\left( {y = D} \right) = 0$ et $Z'\left( {z = 0} \right) = Z'\left( {z = D} \right) = 0$.

c) On reporte l’expression de p(x,y,z,t) dans l’équation d’onde et on divise tout par Y(y)Z(z) : $\frac{{Y''(y)}}{{Y(y)}} + \frac{{{\omega ^2}}}{{{c^2}}} = {k^2} - \frac{{Z''(z)}}{{Z(z)}}\quad \forall y,z$. Le membre de gauche ne dépend que de y, celui de droite que de z, donc l’expression est égale à une constante K₁. D’où $Y''\left( y \right) + \left( {\frac{{{\omega ^2}}}{{{c^2}}} - {K_1}} \right)Y(y) = 0\quad \forall y$. Il ne peut y avoir de solution non identiquement nulle et vérifiant les conditions du b) si $\frac{{{\omega ^2}}}{{{c^2}}} - {K_1} \le 0$ ; on pose donc $\frac{{{\omega ^2}}}{{{c^2}}} - {K_1} = K_2^2$, avec K₂ ∈ ^+*. D’où $Y(y) = {C_1}cos\left( {{K_2}y} \right) + {C_2}sin\left( {{K_2}y} \right)$ et $Y'(y) = - {C_1}{K_2}\sin \left( {{K_2}y} \right) + {C_2}{K_2}\cos \left( {{K_2}y} \right)$.
La condition $Y'\left( {y = 0} \right) = 0$ donne C₂ = 0. Et la condition $Y'\left( {y = D} \right) = 0$ donne alors ${K_2}D = a\pi$avec a entier. D’où maintenant ${K_1} = \frac{{{\omega ^2}}}{{{c^2}}} - {a^2}\frac{{{\pi ^2}}}{{{D^2}}}$, et donc $Z''(z) + \left( {\frac{{{\omega ^2}}}{{{c^2}}} - {a^2}\frac{{{\pi ^2}}}{{{D^2}}} - {k^2}} \right)Z(z) = 0\quad \forall z$. Même raisonnement que ci-dessus : le contenu de la parenthèse doit être strictement positif : $\frac{{{\omega ^2}}}{{{c^2}}} - {a^2}\frac{{{\pi ^2}}}{{{D^2}}} - {k^2} = K_3^2$ avec K₃ ∈ ^+*. Et de même ${K_3}D = b\pi$ avec b entier. D’où la relation de dispersion ${\omega ^2} = {k^2}{c^2} + \frac{{{\pi ^2}{c^2}}}{{{D^2}}}\left( {{a^2} + {b^2}} \right)$ avec a et b entiers. Une onde plane correspond à a = b = 0.

d) Cette relation se met sous la forme $\frac{\nu }{{{\nu _c}}} = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {{\left( {\frac{{kD}}{\pi }} \right)}^2}}$. ν_c est la fréquence de coupure pour les modes {1,0} et {0,1} : il n’y a pas d’onde de la forme cherchée de fréquence inférieure à ν_c dans ces deux modes.
e) Pour identifier les courbes : on regarde l’ordonnée à kD = 0.
Courbe 1 : mode {0,0} Courbe 2 : modes {1,0} et {0,1}
Courbe 3 : mode {1,1} Courbe 4 : modes {2,0} et {0,2}
2. a) Si les C.L. sont paires, on a ${k_n} = n\frac{\pi }{L}$ avec n ∈ *. Si elles sont impaires, on a ${k_n} = \left( {2n + 1} \right)\frac{\pi }{{2L}}$ avec n ∈ . Dans les deux cas, les k_n sont équidistants. Donc, si $\frac{{d\nu }}{{dk}} =$ Cte, alors les fréquences des divers harmoniques sont équidistantes elles aussi, et l’instrument est harmonieux. Le seul mode transverse autorisé est alors le mode {0,0} (onde plane). Il ne faut donc pas faire jouer à l’instrument de note de fréquence supérieure à ν_c, sous peine de voir apparaître des modes non harmonieux. Donc ν_M = ϖ_c.
b) Pour D = 10 mm, ν_M ≈ 17 kHz, soit l’ordre de grandeur des notes audibles les plus aiguës : il ne servirait à rien de prendre D plus grand, et si on prenait D plus petit, on perdrait des notes du côté des aigus.
c) Si les C.L. sont paires, ${\nu _n} = n\frac{D}{L}{\nu _c}$ avec n ∈ *. La condition ν_n < ν_c laisse alors $N = E\left( {\frac{L}{D}} \right)$notes harmonieuses possibles. Si elles sont impaires, ${\nu _n} = \left( {2n + 1} \right)\frac{D}{{2L}}{\nu _c}$ avec n ∈ . La condition ν_n < ν_c donne alors $N = E\left( {\frac{L}{D} + \frac{1}{2}} \right)$. Comme L >> D, la richesse dépend très peu des conditions aux limites. Pour le cor d’harmonie, N ≈ 400 et pour la flûte, N ≈ 50 (en prenant dans les deux cas D ≈ 10 mm).
Quatrième partie : rôle du pavillon.
1. a) On reprend (2) avec S(x,t) = S₀(x), ce qui donne, à l’ordre 1 : ${S_0}(x)\frac{{\partial \rho }}{{\partial t}} + {\rho _0}\frac{\partial }{{\partial x}}\left( {{S_0}(x)v} \right) = 0$. On développe la dérivée, divise par S₀(x) pour arriver à $\frac{{\partial \rho }}{{\partial t}} + {\rho _0}\frac{{\partial v}}{{\partial x}} + {\rho _0}v\frac{1}{{{S_0}(x)}}\frac{{d{S_0}}}{{dx}} = 0$. (1) est toujours valable $\frac{{{\partial ^2}v}}{{\partial x\partial t}} + \frac{1}{{{\rho _0}}}\frac{{{\partial ^2}p}}{{\partial {x^2}}} = 0$ et par ailleurs $\frac{{{\partial ^2}\rho }}{{\partial {t^2}}} + {\rho _0}\frac{{{\partial ^2}v}}{{\partial t\partial x}} + {\rho _0}\frac{{\partial v}}{{\partial t}}\frac{1}{{{S_0}(x)}}\frac{{d{S_0}}}{{dx}} = 0$. Ce qui conduit, avec (1), à $\frac{{{\partial ^2}\rho }}{{\partial {t^2}}} - \frac{{{\partial ^2}p}}{{\partial {x^2}}} - \frac{{\partial p}}{{\partial x}}\frac{1}{{{S_0}(x)}}\frac{{d{S_0}}}{{dx}} = 0$.
Enfin $\frac{{{\partial ^2}\rho }}{{\partial {t^2}}} = \frac{\partial }{{\partial t}}\left[ {\frac{{d\rho }}{{dP}}\frac{{\partial P}}{{\partial t}}} \right] = \frac{{d\rho }}{{dP}}\frac{{{\partial ^2}p}}{{\partial {t^2}}} + {\left( {\frac{{\partial p}}{{\partial t}}} \right)^2}\frac{{{d^2}\rho }}{{d{P^2}}}$ ; le deuxième terme étant d’ordre 2, on le néglige, et on arrive à l’équation d’onde $\frac{{{\partial ^2}p}}{{\partial {x^2}}} - \frac{1}{{{c^2}}}\frac{{{\partial ^2}p}}{{\partial {t^2}}} + \frac{1}{{{S_0}}}\frac{{d{S_0}}}{{dx}}\frac{{\partial p}}{{\partial x}} = 0$ avec $\frac{1}{{{c^2}}} = {\left. {\frac{{d\rho }}{{dP}}} \right|_{p = 0}}$.
Pour le pavillon exponentiel, elle s’écrit $\frac{{{\partial ^2}p}}{{\partial {x^2}}} - \frac{1}{{{c^2}}}\frac{{{\partial ^2}p}}{{\partial {t^2}}} + 2\beta \frac{{\partial p}}{{\partial x}} = 0$.

b) On considère ici une onde harmonique plane (implicite dans l’énoncé) ; on la cherche sous la forme $p = {C_5}{e^{i\left( {Kx - \omega \,t} \right)}}$ où ω ∈ ⁺* et K ∈ . L’équation d’onde donne alors ${K^2} - 2i\beta K - \frac{{{\omega ^2}}}{{{c^2}}} = 0$. L’onde ne peut se propager que si K a une partie réelle non nulle, ce qui implique un discriminant $\Delta = 4\left( {\frac{{{\omega ^2}}}{{{c^2}}} - {\beta ^2}} \right) > 0$. La condition de propagation s’écrit donc $\nu > {\nu _P} = \frac{{\beta c}}{{2\pi }}$.
Et $K = i\beta \pm \sqrt {\frac{{{\omega ^2}}}{{{c^2}}} - {\beta ^2}}$, donc $p(x,t) = {C_5}{e^{ - \beta \,x}}{e^{i\left[ { \pm \sqrt {\frac{{{\omega ^2}}}{{{c^2}}} - {\beta ^2}} - \omega {\kern 1pt} t} \right]}}$.

Le signe ± correspond au sens de propagation (signe + pour une propagation vers l’extérieur du pavillon). L’amplitude de la surpression décroît en ${e^{ - \beta {\kern 1pt} x}}$, ce qui est normal étant donné que l’énergie de l’onde se répartit sur une surface de plus en plus grande au cours de la propagation.
Le nombre d’onde réel est alors $K = \sqrt {\frac{{{\omega ^2}}}{{{c^2}}} - {\beta ^2}}$, ce qui peut s’écrire aussi $\frac{\nu }{{{\nu _P}}} = \sqrt {1 + \frac{{{K^2}}}{{{\beta ^2}}}}$.
c) $\beta = \frac{1}{{{L_P}}}ln\frac{\Phi }{\phi } \approx$2,17, et donc ν_P ≈ 117,3 Hz.
2. a) Pour le cor sans son pavillon, on reprend l’expression de T trouvée au II.1.a : $T = \frac{{4{\chi ^2}}}{{{{\left( {1 + {\chi ^2}} \right)}^2}}}$ avec ${\chi ^2} = \frac{4}{{\pi {\phi ^2}}} \approx$8840. D’où T ≈ 4,52.10^-4.
Pour le cor avec son pavillon, et en admettant que la raccord tuyau–pavillon ne donne pas lieu à une réflexion, on a ${\chi ^2} = \frac{4}{{\pi {\Phi ^2}}} \approx$13,25 et donc T_P ≈ 0,261. On voit l’intérêt du pavillon (~adaptation d’impédance).
b) Si $p = Acos\left( {kx - \omega {\kern 1pt} t} \right)$, alors $v = \frac{A}{{{\rho _0}c}}cos\left( {kx - \omega {\kern 1pt} t} \right)$ et donc le vecteur densité de courant d’énergie sonore vaut $\vec \pi = \frac{{{A^2}}}{{{\rho _0}c}}co{s^2}\left( {kx - \omega {\kern 1pt} t} \right)$ et donc $I = \left\| {\left\langle {\vec \pi } \right\rangle } \right\| = \frac{{{A^2}}}{{2{\rho _0}c}}$ si A est l’amplitude de la surpression.

c) ${I_{E{\rm{ dB}}}} = 10log\frac{{{I_E}}}{{{I_0}}}$ où I₀ est l’intensité de référence. D’où ${I_E} = {I_0}{10^{\frac{{{I_{E{\rm{ dB}}}}}}{{10}}}} =$10^–4 W.m^–2.
Donc, pour le corps sans pavillon, l’intensité de l’onde incidente dans le corps de l’instrument est $I = \frac{{{I_E}}}{T} \approx$0,22 W.m^–2. On en déduit alors avec le b) que A ≈ 180 Pa. A << 10⁵ Pa donc on est bien dans le cadre de l’approximation acoustique, qui avait été utilisée. On y sera encore davantage, a fortiori, pour l’instrument avec son pavillon.
d) Les notes graves (ν << ν_P) ne peuvent se propager dans le pavillon : elles restent sous forme d’ondes stationnaires dans le tuyau. On peut donc dire qu’elles ne « voient » que le tuyau.
Les notes aiguës (ν >> ν_P) se propagent dans le pavillon et on a même $\frac{\nu }{{{\nu _P}}} \approx \frac{K}{\beta }$ (voir figure en haut de la page) ou encore $K \approx \frac{\omega }{c}$ comme pour une OPPH en milieu libre. On ne peut donc pas dire que ces ondes « voient » vraiment le pavillon, elles « voient » en fait l’ensemble de la longueur de l’instrument, L_C +L_P.
Si Φ augmente, toutes choses étant égales par ailleurs, β augmente et donc ν_P aussi. Il y a donc moins de notes émises. Par contre, T augmente et donc l’intensité des notes émises augmente.
Le rôle principal du pavillon apparaît donc être l’adaptation d’impédance entre le tuyau et l’air extérieur, de manière à ce que le son transmis à l’extérieur soit plus intense.