Principe et mise en œuvre des pincettes optiques
Première partie: Préliminaires
1. a) L’énergie potentielle d’un dipôle rigide →p dans un champ extérieur B est Ep=−→p.→B.
b) La force qui s’exerce sur le dipôle est
→F=→grad(pxEx+pyEy+pE)
soit, en explicitant la composante Fx :
Fx=px∂Ex∂x+py∂Ey∂x+pz∂Ez∂x.
c) En admettant que l’expression précédente de Fx reste valable pour un dipôle induit, on obtient
Fx=ε0α(Ex∂Ex∂x+Ey∂Ey∂x+Ez∂Ez∂x)=12ε0α∂(E2)∂x.
En procédant de même pour les deux autres composantes, on obtient
Fx=12ε0α→grad(E2).
2. a) Le vecteur de Poynting est →R=→E∧→Bμ0 ; son flux à travers une surface Σ représente la puissance rayonnée à travers cette surface.
b) Le transfert de quantité de mouvement se manifeste expérimentalement par la pression de radiation.
Sur le plan théorique, on sait qu’un photon de pulsation ω et de vecteur d’onde →k possède une énergie ω et une quantité de mouvement →k=ωc→u où →u est le vecteur unitaire dans la direction et le sens de →k.
c) Pour une onde progressive quasi-plane dans la direction →u, on a →B=1c→u∧→E. La densité volumique de quantité de mouvement est donc
→g=1μ0c3→E∧(→u∧→E)=ε0cE2→u.
d) La densité volumique d’énergie est
u=12ε0E2+12μ0B2=ε0E2.
Le transport d’énergie et le transport de quantité de mouvement sont liés (le point de vue corpusculaire en est la meilleure illustration); on passe du transport d’énergie au transport de quantité de mouvement par multiplication par →uc. Le débit d’énergie du faisceau étant égal à I, le débit de quantité de mouvement est
→G=I→uc.
Deuxième partie: Régime de Rayleigh
1. a) La sphère acquiert une polarisation car les forces électriques s’exerçant sur les particules chargées positivement et négativement sont de sens opposés ce qui induit des déplacements sélectifs selon la charge, et par conséquent l’apparition d’un moment dipolaire dirigé selon la direction →u de polarisation de l’onde dans chaque élément de volume mésoscopique.
b) α≡L3; on peut comparer α au volume de la sphère; on obtient
αV=n2s−1n2s+2=0,81.
c) En appliquant le résultat donné dans la première partie, on obtient une force de moyenne temporelle
→FG=14ε0α→grad(E0(r))2
2. a) La puissance rayonnée est prélevée à l’énergie mécanique de l’oscillateur. S’il s’agit du dipôle oscillant induit de la question précédente, cette perte d’énergie, en régime forcé, est compensée par un apport énergétique provenant de l’onde incidente.
b) Dans l’angle solide dΩ de direction moyenne →k la quantité de mouvement emportée par unité de temps est
d→G=dP→erc=sin2θ16π2ε0c3⟨(d2→pdt2)2⟩dΩ→erc.
Explicitons la valeur moyenne apparaissant dans cette ex‐ pression; on obtient
⟨(d2→pdt2)2⟩=ω4ε20α2⟨E2⟩=12ω4ε20α2E20.
θ et ϕ représentant les angles polaires de →er à partir de la direction de référence→u, on a
dΩ= sin θdθdϕ,
soit
d→G=ω4ε0α2E20sin3θdθdϕ32π2c4→er.
En raison de l’invariance par rotation autour de →u, la somme des transferts de quantité de mouvement par unité de temps est colinéaire à →u ; seule la composante cos θ→u de →er a une contribution non nulle; on a donc
→G=π∫θ=02π∫ϕ=0ω4ε0α2E20sin3θ cos θdθdϕ32π2c4→u=→0.
Ce résultat était d’ailleurs prévisible par des considérations de symétrie.
c) La puissance rayonnée par le dipôle oscillant est
PD=π∫θ=0π∫ϕ=0ω4ε0α2E20sin3θdθdφ32π2c3=ε0α2ω4E2012πc4.
En aval de la sphère, la puissance Pe émergeant de la sphère sera inférieure à la puissance Pi de l’onde incidente; en négligeant l’absorption, on aura
Pi=PD+Pe.
La quantité de mouvement transportée par le faisceau émergent est donc inférieure en valeur absolue à celle qui est transportée par le faisceau incident, ce qui est à l’origine d’une force →FD s’exerçant sur la sphère, qui peut s’écrire →FD=Gi−Ge=Pic→ez−Pec→ez=PDc→ez=ω4ε0α2E2012πc4→ez.
Remarque: On constate que la norme de →FD est la somme des transferts scalaires de quantité de mouvement.
3. a) Les lignes de champ de →gradE0 doivent converger vers le point de confinement, de sorte que la force →FG soit une force de rappel vers la position souhaitée.
La force FD déplace la sphère dans la direction et le sens de la propagation (+→ez) ; si elle est trop intense, elle est susceptible de détruire l’équilibre.
b) Seule la stabilité selon z est affectée; elle est maintenue si
|FD|<|FGz|
soit, avec
|FGz|=12ε0α|E0∂E0∂z|,
une condition de stabilité
ω4ε0α2E2012πc4<12ε0α|E0∂E0∂z|
qui s’écrit
ξ<6πc4αω4=ξM.
En explicitant α et ω=2πcλ, on obtient
ξM=332π4n2s+2n2s−1λ4a3.
c) Application numérique : ξM=4,6.10−6m; La puissance est le flux du vecteur de Poynting moyen à travers une section de l’ordre de λ2; on a donc
ε0E20≃PMcλ2
soit
FD≃0,812128π427(aλ)6PMc≃5.10−13 N.
Le poids étant de
P=43πa3ρsg≃9.10−17N,
ce qui est nettement inférieur à FD, le poids n’est pas susceptible de compromettre le confinement : la sphère peut donc léviter dans l’air.
Troisième partie: Approximation de l’optique géométrique
1. On ne tient pas compte de la diffraction.
2. a) Les coefficients R et T dépendent de l’angle d’incidence θ et des indices ne et ns.
b) pinceau R dI′=RdI
pinceau E1 dI1=T2dI
pinceau E2 dI2=T2RdI
….
pinceau EN dIN=T2RN−1dI
c) Orientons les angles dans le sens des aiguilles d’une montre. Notons I0 le point d’entrée du faisceau incident dans la sphère et IN le point de sortie du pinceau émergent EN.
La déviation est donc la même lors de la traversée du premier dioptre et du second dioptre, soit θ−r pour chaque dioptre; la déviation du premier émergent est donc
Ψ1=2(θ−r) .
Le triangle I1OI2 est également isocèle, avec le même angle au centre que le triangle I0OI1; de proche en proche, on peut montrer par récurrence que le triangle IN−1OIN est isocèle et de même angle au centre que le triangle I0OI1. L’angle d’incidence est donc toujours le même sur le dioptre de sortie; soit γ=π−2r l’angle au centre du triangle I0OI1; on passe de EN−1 à EN par une rotation d’angle γ. La relation de récurrence entre les angles de déviation est donc
ΨN=ΨN−1+γ
ce qui définit une suite arithmétique de terme général
ΨN=Ψ1+(N−1)γ
soit, en explicitant Ψ1 et γ :
ΨN=2(θ−r)+(N−1)(π−2r) .
d) d→Fu=dF→uu avec
dFu=nedIc−neRdIc cos (π−2θ)−ne∑∞N=1dINc cos ΦN
=nedIc(1+R cos 2θ−T2∑∞N=1RN−1 cos (β+(N−1)γ))
Par le même procédé, on obtient
dFv=nedIc(−R sin 2θ+T2∑∞N=1RN−1 sin (β+(N−1)γ))
Formons la somme dFu+idFv :
dFu+idFv=nedIc(1+Re−2iθ−T2∑∞N=1RN−1e−i(β+(N−1)γ))
On peut expliciter la somme
∑∞N=1RN−1e−i(β+(N−1)γ)=e−iβ∑∞N=1(Re−iγ)N−1
qui est la somme d’une série géométrique de raison q= Re−iγ. Comme |q|<1, cette série est convergente; on a
∑∞N=1qN−1=∑∞n=0qn=11−q.
dFu+idFv=nedIc(1+Re−2iθ−T2eiβ1−Re−iγ) .
Comme seule une fraction de la quantité de mouvement du pinceau incident est restituée selon +→u, on a dFu>0.
La section droite du pinceau incident est ydψdy; le faisceau étant uniforme, l’intensité est proportionnelle à la section droite interceptée par dΩ dans le faisceau incident :
IϕI=ydψdyπb2=f2 tan ϕdψdϕcos2ϕπb2=f2πb2dΩcos3ϕ.
b) Soit θ l’angle d’incidence; si I0 est le point d’entrée du rayon incident, on a, dans le triangle I0FO :
-sin θz=sin ϕa
c) En raison de la symétrie de révolution autour de Oz, les composantes non nulles sont des composantes selon z, tant pour →Fu que pour →Fv.
d) ϕ représente l’angle entre les directions u et z donc
dFuz=dFudIφ cos φdIφ=dFudIφIf2πb22π sin φdφcos2φ.
On en déduit que
Fu=2If2b2ϕM∫0dFudIϕ sin ϕdϕcos2ϕ.
Par le même procédé, on obtient
Fv=2If2b2φM∫0dFvdIφsin2φdφcos3φ.
e) L’objectif de microscope permet de produire un faisceau convergent de bonne qualité pour de grandes valeurs de ϕM.
3. a) Soit (φ, ψ) la direction moyenne de dΩ; on a dΩ= sin φdφdψ. Soit y l’ordonnée du pinceau incident; on a
y=f tan φ;dy=fdφcos2φ.
4. Cas a : piégeage le long de Oz
→F=→Fu+→Fv s’annule pour z=z0≃a10. Dans un intervalle de largeur 2a de part et d’autre de z0, on peut représenter la force par
→F=−k(z−z0)→ez
ce qui est l’expression d’une force de rappel élastique vers la position z0; le piégeage est donc efficace sur [−a;+a].
Cas b : piégeage le long de Oy
→F=→Fv s’annule pour z=0. Dans un intervalle de largeur 2a de part et d’autre de 0, on peut représenter la force par
→F=−ky→ey
ce qui est l’expression d’une force de rappel élastique vers la position y=0; le piégeage est donc efficace sur [−a;+a].
Quatrième partie: Calibrage d’un dispositif à pincettes optiques
1. a) La sphère ne suit le mouvement du foyer que si Fs< Fu max ; la vitesse limite vl est donc donnée par
6πaηvl=Fu max .
La mesure de vl permet donc de déterminer la valeur maxi‐ male de Fu.
b) Pour yF=y0 cos (2πνt) , la vitesse est
vF=−2πνy0 sin 2πνt.
Application numérique : vl=2πνy0=1,12.10−3m.s−1; Fu max =6πaηvl=2.10−11N=20pN.
c) En passant de 300 mW à 600 mW, on devrait obtenir une force double, soit Fu max =40pN or on mesure 85 pN. Seul l’ordre de grandeur est correct.
Si l’on compare avec les résultats théoriques donnés par la figure 3b, on devrait obtenir une force
Fu max ≃0,3necI=800pN.
Cette valeur est très optimiste. On peut mettre en cause une absorption dans la bille qui ne pourra plus être négligée s’il y a de nombreuses réflexions, ou une perte par rayonnement du dipôle induit.
2. Il y a décrochage pour une puissance de 190 mW. A partir des photographies, on peut estimer la déformation
△d≃0,12,3d0=0,35μm.
Si l’on prend une force de l’ordre de 20 pN, on peut donner une estimation de μ :
μ≃10−5 N. m−1.
Première partie: Préliminaires
1. a) L’énergie potentielle d’un dipôle rigide →p dans un champ extérieur B est Ep=−→p.→B.
b) La force qui s’exerce sur le dipôle est
→F=→grad(pxEx+pyEy+pE)
soit, en explicitant la composante Fx :
Fx=px∂Ex∂x+py∂Ey∂x+pz∂Ez∂x.
c) En admettant que l’expression précédente de Fx reste valable pour un dipôle induit, on obtient
Fx=ε0α(Ex∂Ex∂x+Ey∂Ey∂x+Ez∂Ez∂x)=12ε0α∂(E2)∂x.
En procédant de même pour les deux autres composantes, on obtient
Fx=12ε0α→grad(E2).
2. a) Le vecteur de Poynting est →R=→E∧→Bμ0 ; son flux à travers une surface Σ représente la puissance rayonnée à travers cette surface.
b) Le transfert de quantité de mouvement se manifeste expérimentalement par la pression de radiation.
Sur le plan théorique, on sait qu’un photon de pulsation ω et de vecteur d’onde →k possède une énergie ω et une quantité de mouvement →k=ωc→u où →u est le vecteur unitaire dans la direction et le sens de →k.
c) Pour une onde progressive quasi-plane dans la direction →u, on a →B=1c→u∧→E. La densité volumique de quantité de mouvement est donc
→g=1μ0c3→E∧(→u∧→E)=ε0cE2→u.
d) La densité volumique d’énergie est
u=12ε0E2+12μ0B2=ε0E2.
Le transport d’énergie et le transport de quantité de mouvement sont liés (le point de vue corpusculaire en est la meilleure illustration); on passe du transport d’énergie au transport de quantité de mouvement par multiplication par →uc. Le débit d’énergie du faisceau étant égal à I, le débit de quantité de mouvement est
→G=I→uc.
Deuxième partie: Régime de Rayleigh
1. a) La sphère acquiert une polarisation car les forces électriques s’exerçant sur les particules chargées positivement et négativement sont de sens opposés ce qui induit des déplacements sélectifs selon la charge, et par conséquent l’apparition d’un moment dipolaire dirigé selon la direction →u de polarisation de l’onde dans chaque élément de volume mésoscopique.
b) α≡L3; on peut comparer α au volume de la sphère; on obtient
αV=n2s−1n2s+2=0,81.
c) En appliquant le résultat donné dans la première partie, on obtient une force de moyenne temporelle
→FG=14ε0α→grad(E0(r))2
2. a) La puissance rayonnée est prélevée à l’énergie mécanique de l’oscillateur. S’il s’agit du dipôle oscillant induit de la question précédente, cette perte d’énergie, en régime forcé, est compensée par un apport énergétique provenant de l’onde incidente.
b) Dans l’angle solide dΩ de direction moyenne →k la quantité de mouvement emportée par unité de temps est
d→G=dP→erc=sin2θ16π2ε0c3⟨(d2→pdt2)2⟩dΩ→erc.
Explicitons la valeur moyenne apparaissant dans cette ex‐ pression; on obtient
⟨(d2→pdt2)2⟩=ω4ε20α2⟨E2⟩=12ω4ε20α2E20.
θ et ϕ représentant les angles polaires de →er à partir de la direction de référence→u, on a
dΩ= sin θdθdϕ,
soit
d→G=ω4ε0α2E20sin3θdθdϕ32π2c4→er.
En raison de l’invariance par rotation autour de →u, la somme des transferts de quantité de mouvement par unité de temps est colinéaire à →u ; seule la composante cos θ→u de →er a une contribution non nulle; on a donc
→G=π∫θ=02π∫ϕ=0ω4ε0α2E20sin3θ cos θdθdϕ32π2c4→u=→0.
Ce résultat était d’ailleurs prévisible par des considérations de symétrie.
PD=π∫θ=0π∫ϕ=0ω4ε0α2E20sin3θdθdφ32π2c3=ε0α2ω4E2012πc4.
En aval de la sphère, la puissance Pe émergeant de la sphère sera inférieure à la puissance Pi de l’onde incidente; en négligeant l’absorption, on aura
Pi=PD+Pe.
La quantité de mouvement transportée par le faisceau émergent est donc inférieure en valeur absolue à celle qui est transportée par le faisceau incident, ce qui est à l’origine d’une force →FD s’exerçant sur la sphère, qui peut s’écrire →FD=Gi−Ge=Pic→ez−Pec→ez=PDc→ez=ω4ε0α2E2012πc4→ez.
Remarque: On constate que la norme de →FD est la somme des transferts scalaires de quantité de mouvement.
3. a) Les lignes de champ de →gradE0 doivent converger vers le point de confinement, de sorte que la force →FG soit une force de rappel vers la position souhaitée.
La force FD déplace la sphère dans la direction et le sens de la propagation (+→ez) ; si elle est trop intense, elle est susceptible de détruire l’équilibre.
b) Seule la stabilité selon z est affectée; elle est maintenue si
|FD|<|FGz|
soit, avec
|FGz|=12ε0α|E0∂E0∂z|,
une condition de stabilité
ω4ε0α2E2012πc4<12ε0α|E0∂E0∂z|
qui s’écrit
ξ<6πc4αω4=ξM.
En explicitant α et ω=2πcλ, on obtient
ξM=332π4n2s+2n2s−1λ4a3.
c) Application numérique : ξM=4,6.10−6m; La puissance est le flux du vecteur de Poynting moyen à travers une section de l’ordre de λ2; on a donc
ε0E20≃PMcλ2
soit
FD≃0,812128π427(aλ)6PMc≃5.10−13 N.
Le poids étant de
P=43πa3ρsg≃9.10−17N,
ce qui est nettement inférieur à FD, le poids n’est pas susceptible de compromettre le confinement : la sphère peut donc léviter dans l’air.
1. On ne tient pas compte de la diffraction.
2. a) Les coefficients R et T dépendent de l’angle d’incidence θ et des indices ne et ns.
b) pinceau R dI′=RdI
pinceau E1 dI1=T2dI
pinceau E2 dI2=T2RdI
….
pinceau EN dIN=T2RN−1dI
c) Orientons les angles dans le sens des aiguilles d’une montre. Notons I0 le point d’entrée du faisceau incident dans la sphère et IN le point de sortie du pinceau émergent EN.
Figure 1
Le triangle I0OI1 est isocèle, car OI0=OI1=a; on retrouve donc l’angle r comme angle d’incidence sur le second dioptre, et par conséquent l’angle θ comme angle d’émergence.La déviation est donc la même lors de la traversée du premier dioptre et du second dioptre, soit θ−r pour chaque dioptre; la déviation du premier émergent est donc
Ψ1=2(θ−r) .
Le triangle I1OI2 est également isocèle, avec le même angle au centre que le triangle I0OI1; de proche en proche, on peut montrer par récurrence que le triangle IN−1OIN est isocèle et de même angle au centre que le triangle I0OI1. L’angle d’incidence est donc toujours le même sur le dioptre de sortie; soit γ=π−2r l’angle au centre du triangle I0OI1; on passe de EN−1 à EN par une rotation d’angle γ. La relation de récurrence entre les angles de déviation est donc
ΨN=ΨN−1+γ
ce qui définit une suite arithmétique de terme général
ΨN=Ψ1+(N−1)γ
soit, en explicitant Ψ1 et γ :
ΨN=2(θ−r)+(N−1)(π−2r) .
d) d→Fu=dF→uu avec
dFu=nedIc−neRdIc cos (π−2θ)−ne∑∞N=1dINc cos ΦN
=nedIc(1+R cos 2θ−T2∑∞N=1RN−1 cos (β+(N−1)γ))
Par le même procédé, on obtient
dFv=nedIc(−R sin 2θ+T2∑∞N=1RN−1 sin (β+(N−1)γ))
Formons la somme dFu+idFv :
dFu+idFv=nedIc(1+Re−2iθ−T2∑∞N=1RN−1e−i(β+(N−1)γ))
On peut expliciter la somme
∑∞N=1RN−1e−i(β+(N−1)γ)=e−iβ∑∞N=1(Re−iγ)N−1
qui est la somme d’une série géométrique de raison q= Re−iγ. Comme |q|<1, cette série est convergente; on a
∑∞N=1qN−1=∑∞n=0qn=11−q.
dFu+idFv=nedIc(1+Re−2iθ−T2eiβ1−Re−iγ) .
Comme seule une fraction de la quantité de mouvement du pinceau incident est restituée selon +→u, on a dFu>0.
La section droite du pinceau incident est ydψdy; le faisceau étant uniforme, l’intensité est proportionnelle à la section droite interceptée par dΩ dans le faisceau incident :
IϕI=ydψdyπb2=f2 tan ϕdψdϕcos2ϕπb2=f2πb2dΩcos3ϕ.
b) Soit θ l’angle d’incidence; si I0 est le point d’entrée du rayon incident, on a, dans le triangle I0FO :
-sin θz=sin ϕa
d) ϕ représente l’angle entre les directions u et z donc
dFuz=dFudIφ cos φdIφ=dFudIφIf2πb22π sin φdφcos2φ.
On en déduit que
Fu=2If2b2ϕM∫0dFudIϕ sin ϕdϕcos2ϕ.
Par le même procédé, on obtient
Fv=2If2b2φM∫0dFvdIφsin2φdφcos3φ.
e) L’objectif de microscope permet de produire un faisceau convergent de bonne qualité pour de grandes valeurs de ϕM.
3. a) Soit (φ, ψ) la direction moyenne de dΩ; on a dΩ= sin φdφdψ. Soit y l’ordonnée du pinceau incident; on a
y=f tan φ;dy=fdφcos2φ.
4. Cas a : piégeage le long de Oz
→F=→Fu+→Fv s’annule pour z=z0≃a10. Dans un intervalle de largeur 2a de part et d’autre de z0, on peut représenter la force par
→F=−k(z−z0)→ez
ce qui est l’expression d’une force de rappel élastique vers la position z0; le piégeage est donc efficace sur [−a;+a].
Cas b : piégeage le long de Oy
→F=→Fv s’annule pour z=0. Dans un intervalle de largeur 2a de part et d’autre de 0, on peut représenter la force par
→F=−ky→ey
ce qui est l’expression d’une force de rappel élastique vers la position y=0; le piégeage est donc efficace sur [−a;+a].
Quatrième partie: Calibrage d’un dispositif à pincettes optiques
1. a) La sphère ne suit le mouvement du foyer que si Fs< Fu max ; la vitesse limite vl est donc donnée par
6πaηvl=Fu max .
La mesure de vl permet donc de déterminer la valeur maxi‐ male de Fu.
b) Pour yF=y0 cos (2πνt) , la vitesse est
vF=−2πνy0 sin 2πνt.
Application numérique : vl=2πνy0=1,12.10−3m.s−1; Fu max =6πaηvl=2.10−11N=20pN.
c) En passant de 300 mW à 600 mW, on devrait obtenir une force double, soit Fu max =40pN or on mesure 85 pN. Seul l’ordre de grandeur est correct.
Si l’on compare avec les résultats théoriques donnés par la figure 3b, on devrait obtenir une force
Fu max ≃0,3necI=800pN.
Cette valeur est très optimiste. On peut mettre en cause une absorption dans la bille qui ne pourra plus être négligée s’il y a de nombreuses réflexions, ou une perte par rayonnement du dipôle induit.
△d≃0,12,3d0=0,35μm.
Si l’on prend une force de l’ordre de 20 pN, on peut donner une estimation de μ :
μ≃10−5 N. m−1.