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Concours Physique I École Polytechnique (MP) 2001 (Corrigé)

ECOLE POLYTECHNIQUE Filière MP

Première composition de physique Accélérateurs linéaires

Première partie

Accélérateur électrostatique

1. La conservation de l’énergie mécanique s’écrit 12mv2A+eVA=12mv2B+eVB d’où :
vB=v2A+2eUABm
Application numérique : vB vaut 11,9 106 m.s-1 pour un proton et 1,02 106 m.s-1 pour un ion césium 137.
2. Le raisonnement de la question précédente ne faisant pas intervenir la forme des armatures, le résultat n’en dépend pas.

3.a) On commence par supposer la diode passante. Elle se comporte alors comme un court-circuit (diode idéale) et la charge de l’armature supérieure du condensateur est Q=CUC(t)=CU(t)=CU0sinωt. L’intensité qui traverse (de gauche à droite ) la diode est dans ce cas i=dQdt=CωU0cosωt. La diode reste effectivement passante tant que i est positive donc pendant le premier quart de période. Ensuite, elle se bloque donc la charge du condensateur reste constante (CU0). UC est à partir de ce moment là constamment égale à U0 et donc supérieure (ou égale) à U(t) : la diode ne redevient jamais passante.
3.b) La tension aux bornes de la diode est, en valeur absolue, |U(t)UC(t)|=U0(1sinωt) (après le premier quart de période) dont la valeur maximale est 2U0.

4.a) i=dQdt i=dQdt
4.b) La diode D impose que i soit positive ou nulle donc (d’après 4.a) Q est une fonction croissante du temps qui, étant nulle initialement, ne peut qu’être positive ensuite.
4.c) Si D est passante, elle se comporte comme un court-circuit. Alors, (loi des mailles) U est la somme des tensions aux bornes des condensateurs. U=QCQC. Par ailleurs, VMVN=UC(t)=QC est négatif d’après 4.b et la diode D’ est donc bloquée lorsque D est passante.
Remarque : de façon analogue, si D’ est passante, VM et VN sont identiques, la tension VMVB=VNVB=QC est positive et donc la diode D est bloquée.
4.d) On se place à une date où U(t) décroît. Si D’ était passante, on aurait U(t)=QCdonc Q’ serait décroissante et D serait bloquée d’après la remarque précédente. Le courant i’ devrait donc passer dans la diode D’ et être négatif ce qui est absurde. Donc D’ est bloquée lorsque U(t) décroît. Alors i et i’ sont opposées et Q+Q’ reste constante.

4.e) On se place à une date où U(t) croît. Si D était passante, d’après 4.c U=QCQC et D’ serait bloquée donc, de façon analogue au 4.d , on aurait Q+Q=Cte. D’où U=CteCQ(1C+1C). Le signe moins introduit ici une contradiction puisque Q(t) (voir 4.b) et U(t) sont croissants. Donc D est bloquée lorsque U(t) croît et, en conséquence, Q(t) reste constante.
5. La diode D’ devient passante lorsque U(t) tend à dépasser la tension aux bornes de C’. Cela se produit avant que U n’atteigne son maximum U0 si Q’ est toujours inférieure à CU0 (hypothèse 1).
5.a) Pendant que U croît, D est bloquée (4.e) et la situation est donc équivalente à celle de la question 3. La tension aux bornes de C’ suit, lorsque D’ est passante, U(t) et atteint donc en même temps qu’elle la valeur maximale U0 associée à Qmax=CU0. Pendant ce temps, D étant bloquée, la charge Q est constante (notée en accord avec l’énoncé Qn-1).
5.b) À partir du moment où U(t) a atteint son maximum, U doit décroître donc (d’après 4.d) Q+Q=Cte=CU0+Qn1 et D’ est bloquée. Tant que D aussi est bloquée, la tension aux bornes de D est VMVB=U(t)U0+Qn1C. Ceci peut s’annuler et la diode D devenir passante avant le minimum de U(t) si Qn-1 est inférieur à 2CU0 (hypothèse 2). Alors, d’après 4.c, U=QCQC et, en se plaçant au minimum de U(t), U0=QCQC. On peut éliminer Q’ en combinant ceci avec Q+Q=CU0+Qn1 pour obtenir
Qn(1+CC)=2CU0+Qn1
5.c) La limite éventuelle Qde la suite s’obtient en remplaçant Qn et Qn-1 par Q dans l’équation précédente. On trouve Q=2CU0. La suite de terme général QnQ est alors une suite géométrique de raison 11+CC<1 donc converge vers 0 (en gardant un signe constant) et Qn tend bien vers Q. La tension aux bornes de C tend donc vers 2U0.
Remarques : L’hypothèse 2 est vérifiée grâce au signe constant (<0) de QnQ.
L’hypothèse 1 est vérifiée car Q(t) est croissante donc Qn > Qn-1 . Alors, au moment où U(t) atteint son minimum, Q=CU0+Qn1Qn est effectivement inférieur à CU0 (mais Q’ tend vers cette dernière valeur lorsque tet donc la tension aux bornes de C’ tend vers U0).

5.d) La tension aux bornes de D’ est (en régime asymptotique) nulle lorsque U est maximale et maximale (valeur 2U0) lorsque U est minimale. Pour D, c’est le contraire, la tension est nulle lorsque U est minimale et vaut 2U0 lorsque U est maximale.
Ce dispositif est une « pompe à diodes ». Il permet d’obtenir aux bornes de C une tension double de celle qu’on obtenait à la question 3. sans imposer aux bornes des diodes de contraintes plus importantes. On peut généraliser avec un montage comportant non pas 2 mais n cellules (D,C) et obtenir ainsi une tension nU0 en sortie d’un dispositif alimenté par une tension sinusoïdale d’amplitude U0.
Deuxième partie
Accélération par une tension alternative
1. On suppose la fréquence suffisamment basse pour pouvoir raisonner comme en électrostatique (approximation des régimes quasi-stationnaires). Chaque tube est une cavité dont la paroi est équipotentielle, et ne contenant pas de charges, à condition bien sûr de négliger l’influence du faisceau de particules lui-même. Le potentiel V ne pouvant posséder d’extremum, toute la cavité est donc équipotentielle, ce qui implique la nullité du champ électrique, et donc de l’accélération.
2. À un instant donné, la différence de potentiel entre le tube n + 1 et le tube n est l’opposé de celle entre le tube n et le tube n − 1. Si l’on souhaite que la particule subisse à chaque fois la même différence de potentiel accélératrice (condition de synchronisme), il suffit donc qu’une demi-période se soit écoulée, c’est-à-dire :
tn+1tn=T/2=π/ω.
3.a) Supposons, pour fixer les idées, que les tubes de rang pair sont au potentiel 0 et les tubes de rang impair au potentiel U(t).
Si n est pair, V(tn+1)=U(tn+1) et V(tn)=0 donc δVn=U(tn+1).
Si n est impair, V(tn+1)=0 et V(tn)=U(tn) donc δVn=U(tn).
3.b) On considère que tntn+1. La condition de synchronisme étant réalisée, ωtn+1=ωt0+(n+1)π.
Si n est pair, δVn=U(tn+1)=U0sin[φ0+(n+1)π]=U0sinφ0.
Si n est impair, δVn=U(tn)=U(tn+1)=U0sin[φ0+(n+1)π]=U0sinφ0.
Pour accélérer des particules chargées positivement, il faut que δVn<0, donc : 0<φ0<π.
3.c) Comme au 1. de la première partie, le théorème de l'énergie cinétique donne : v2n+1=v2n+2eU0sinφ0m, et on obtient immédiatement par récurrence : v2n=v20+n2eU0sinφ0m.
Pour que la condition de synchronisme soit respectée, il faut que Ln/vn=π/ω, soit :
Ln=πωv20+n2eU0sinφ0m

4.a) L0=πv0ω=v02f5,1cm.
4.b) L'énergie a doublé si v2n2v20, ce qui donne nmv202eU0sinφ0=UABU0sinφ08,7 Il faut donc au moins 9 phases accélératrices, soit 10 tubes, pour doubler l'énergie.
Si on considère que v9v02, alors L9L021,4L0 : on peut estimer que la longueur moyenne de chaque tube est de l’ordre de 1,2 fois celle du premier, et donc la longueur totale 12 fois, soit 61 cm. Le calcul complet donne d’ailleurs :
9n=0Ln=L09n=01+nU0sinφ0UAB12,25L062cm
4.c) La condition de synchronisme est réalisée si les vitesses successives sont les mêmes pour l’ion de masse m et l’ion de masse m’. Seul le rapport sinφ0/m intervenant dans l’expression de Ln, la condition est :
sinα0m=sinφ0m
α0 n’existe que si mm/sinφ0, d’où un nombre de masse maximum : 137sin(π/3)=158,2Amax=158.
5. Deux cas sont à envisager :
Premier cas : φ0<π/2
Dans ces conditions, |δVn| est une fonction croissante de φ0, donc de τ0. Si la particule entre légèrement en retard (τ0 > t0), |δVn| sera supérieur à sa valeur « normale » et la particule aura tendance à combler son retard. Si la particule entre légèrement en avance (τ0 < t0), |δVn| sera inférieur à sa valeur « normale » et la particule aura tendance à perdre son avance.
Deuxième cas : φ0>π/2
Dans ces conditions, |δVn| est une fonction décroissante de φ0, donc de τ0. Les conclusions précédentes sont inversées : si la particule entre en retard, son retard s’aggrave, et si elle entre en avance, son avance s’acentue.
En résumé, le synchronisme est stable si 0<φ0<π/2.
Si on injecte à l’entrée de l’appareil un faisceau continu, les particules pour lesquelles le synchronisme est stable vont se regrouper par « paquets » et seront effectivement accélérées. Les autres auront un comportement chaotique, et en moyenne ne seront pas accélérées.
6.a) On a établi au 3.c) que v2n=v20(1+n2eU0sinφ0mv20). On en déduit l’expression approchée au premier ordre : vnv0(1+neU0sinφ0mv20), d’où vn+1vneU0sinφ0mv0.
6.b) Si la particule était synchrone, on aurait : τn=t0+nπ/ω, et par conséquent αn=φ0n.
Appliquons à nouveau le théorème de l’énergie cinétique :
m2(w2n+1w2n)=(1)n+1eU0sin(ωτn+1)=(1)n+1eU0sin[αn+1+(n+1)π]=eU0sin(αn+1)
Or on peut écrire : w2n+1w2n=(wn+1+wn)(wn+1wn)2v0(wn+1wn) au premier ordre, d’où finalement :
wn+1wneU0mv0sinαn+1

6.c) La relation précédente s’écrit encore : vn+1+εn+1vnεn=eU0mv0sinαn+1, soit en utilisant le 6.a :
εn+1εn=eU0mv0(sinαn+1sinφ0)
6.d) La longueur du tube n vaut Ln=vnπω, donc τn+1=τn+Lnwn=τn+vnwnπω et en multipliant par ω :
αn+1+(n+1)παnnπ=π1+εnvnπ1+εnv0π(1εnv0), ce qui conduit bien à :
αn+1αnπεnv0
6.e) Les deux équations différentielles vérifiées par ε(n) et α(n) s’écrivent :
{dεdn=eU0mv0[sinα(n)sinφ0]dαdn=πv0ε(n)
On dérive la seconde par rapport à n pour éliminer ε et il vient :
d2αdn2=πeU0mv20(sinαsinφ0)
Les conditions « initiales » sont : {α(0)=ω0τ0=α0α(0)=πε(0)/v0=0
6.f) En adoptant la même masse m pour la particule fictive, on peut écrire :
md2αdn2=πeU0v20(sinαsinφ0)=dW(α)dα d’où en intégrant : W(α)=πeU0v20(cosααsinφ0)
Les extrema de W(α) ont lieu pour sinα=sinφ0 soit {α=φ0[2π]α=πφ0[2π]
Voici le graphe de la fonction : αcosααsin(2π3)
6.g) On observera des oscillations de α autour de la phase synchrone φ0 si α reste dans la cuvette de potentiel limitée par αmin et πφ0 = 2π/3 (voir le graphe ci-dessus). On obtient graphiquement αmin ≅ 0,5 (une résolution numérique donne la valeur 0,508). Compte tenu du fait que α’(0) est nul, il suffit que α0 soit situé dans la cuvette pour que α y reste.
Troisième partie
Accélération dans un circuit résonant
1. La symétrie des courants, donc l’antisymétrie du champ magnétique par rapport à tout plan contenant l’axe Oz impose que le champ magnétique soit orthoradial.
2. L’invariance par rotation autour de Oz impose que la composante orthoradiale du champ ne dépende que de z et de la distance à l’axe et l’application du théorème d’Ampère à un cercle d’axe Oz donne la valeur du champ dans la cavité
B=μ0i2πreθ (Best nul hors de la cavité)
3. L’énergie magnétique vaut Wm= volumeB22μ0dV.. En prenant un volume élémentaire 2πrldr(B ne dépend que de r) on obtient Wm=μ0l4πlnR2R1i2 qui, par identification avec 12Li2, conduit à L=μ0l2πlnR2R1.
Application numérique : L=μ0l2πlnR2R1=1,38107H
4. Pour le condensateur plan étudié (effets de bord négligés) C=ε0πR21g.
Application numérique : C=4,42pF
5. LCω20=1ω02π=g2π2ε0μ0R21llnR2/R1 Application numérique : ω02π=204MHz

6. λ0=1,5m n’est pas assez grande (devant l) pour que l’approximation des régimes quasi-stationnaires soit bonne ici.
7. Pour un régime sinusoïdal de pulsation ω0Q=CU0sinω0t et où i=dQdt=CU0ω0cosω0t, l’énergie totale vaut W=12(Li2+Q2C)=12CU20. Le facteur de qualité est alors :
Q=12CU20Pω0=12U20PCL
Application numérique : Q = 5700 (valeur très importante donc résonance aiguë)
8. Une particule sera synchrone si sa durée de traversée d’un tube est un multiple de la période des oscillations du champ (on suppose le champ sinusoïdal à la pulsation ω0). v2πω0n=lv=1nlω02π (n entier)
Application numérique : v=8,1107nm.s1=0,27nc. L’approximation newtonienne n’est pas très bien vérifiée sauf en prenant des valeurs élevées de n.

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