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Concours Physique ENS de Paris (MP) 2001 (Corrigé)

ULM MP 2001 Physique (6 heures). Le frottement solide.
1.1.a) Sans glissement, le module et l’orientation de la force de frottement solide sont indéterminés et s’adaptent aux sollicitations extérieures (de manière à vérifier les théorèmes de la quantité de mouvement et du moment cinétique). Le non glissement n’est possible que si la réaction tangentielle RT et la réaction normale RN vérifient l’inégalité || RT || < µs|| RN ||, µs étant le coefficient de frottement de glissement statique.
1.1.b) Avec glissement (vitesse de glissement U), la force de frottement RT a la direction de U et le sens contraire, ce qui se traduit par RTU = 0 et RT.U < 0 ; de plus, la réaction tangentielle RT est liée à la réaction normale RN par la relation || RT || = µd|| RN || où µd est le coefficient de frottement de glissement dynamique.
1.1.c) Le passage du non-glissement au glissement se produit quand || RT || atteint µs|| RN || puis dès que U est différent de zéro, || RT || prend la valeur µd|| RN ||.
1.1.d) Le passage du glissement au non-glissement se fait quand la vitesse de glissement s’annule et ensuite || RT || peut rester inférieure à µs|| RN ||.
1.2.a) Souvent µs > µd ; du fait des forces d’interaction microscopique (force de Van der Waals, liaison hydrogène) le contact entre les deux surfaces solides se fait avec une certaine adhérence ; s’il y a glissement, le contact est moins intime, les deux solides étant un peu espacés et en conséquence, les forces d’interaction fonction décroissante de la distance diminuent un peu.
1.2.b) Découper un carré de papier dans le sujet de concours et le poser sur le sujet (en maintenant plan à l’aide d’une règle plate par exemple) ; à partir de la position horizontale, incliner lentement ; quand le carré commence à glisser, on peut estimer l’angle d’inclinaison du plan incliné. À l’équilibre, la réaction est opposée au poids du carré (et de même support) et fait avec la normale au plan incliné une angle égal à l’angle d’inclinaison α du plan incliné sur l’horizontale ; à l’équilibre limite, la réaction du plan incliné fait avec la normale un angle égal à l’angle de frottement statique ϕs tel que µs = tanϕs ; alors α = ϕs. On trouve ϕs ≈ 20° et donc µs ≈ 0,4.
1.2.c) Ski métallique sur glace : µs ≈ 0,03.
1.2.d) Contact acier-ferrodo des freins à disque : µ ≈ 0,6 ; contact pneu-bitume : µ ≈ 0,8.
2.1.a) Le référentiel galiléen de la plaque (P).
2.1.b) Un repère Oxyz, trièdre direct, fixe dans (P), avec Ox de direction et de sens de V, Oy vertical ascendant, Oz complétant le trièdre.
2.1.c) La masse m seule.
2.1.d) Un seul degré de liberté de translation associé à x(t), abscisse sur Ox du point d’attache du ressort sur le palet.
2.2) En cas de glissement, la réaction normale est opposée au poids du palet (de module mg), la réaction tangentielle est de signe contraire à celui de la vitesse ˙x>0du palet et vaut algébriquement −µd mg. L’allongement du ressort est l(t) = Vtx(t) et la force appliquée par le ressort sur le palet vaut k(Vtx). D’après le théorème de la quantité de mouvement en projection sur Ox :
m¨x=μdmg+k(Vtx) et donc m¨l+kl=μdmg
2.3.a) Recherche d’un régime permanent :
˙x=cstexP=Vtμdmgk˙xP=V ; lP=VtxPlP=μdmgk
2.3.b) Par étude des petits mouvements :
l=lP+ε¨ε+ω02ε=0 avec ω0=km et donc ε=Acosω0t+Bsinω0t ,
petites oscillations autour de la solution de régime permanent : le mouvement est stable.
2.3.c) En remplaçant μd(˙x)par son développement, l’équation différentielle en l(t) s’écrit :
¨l(t)+αg˙l(t)+ω02l(t)μd(V)g
puis en remplaçant l(t) par son développement :
¨ε+αg˙ε+ω02ε=0
L’équation caractéristique r2+αgr+ω02=0de racines r=12(αg±i4ω02α2g2)12αg±iω0 conduit à la solution :
ε(t)=exp(αgt2)(Acosω0t+Bsinω0t)
2.3.d) Siμd(V) est fonction décroissante de V, α < 0, l(t) diverge, l’hypothèse des petits mouvements est vite incorrecte, le régime permanent est instable ; si μd(V) est fonction croissante de V, α > 0, l(t) effectue des oscillations amorties, le régime permanent est stable.
3.1.a) Le palet s’arrête de glisser à un instant t2 ; alors l(t) est fonction affine du temps :
x(t)=x2etl(t)=Vtx2
3.1.b) Le palet ne glisse pas tant que || RT || < µs|| RN || = µsmg ; or RT + kl = 0, le palet ne glisse donc pas tant que l(t) < µsmg/k ; quand l(t) atteint µsmg/k, le glissement se produit mais alors RT = −µdmg. Le palet repart à t3 tel que :
Vt3=μsgω02+x2
3.1.c) Si le palet est fixe, x = cste, l = Vtx est fonction affine du temps. On néglige le temps de glissement comme l’autorise la figure 2.
3.1.d) 8,2 cm correspondent à 30 s et 7,4 cm à 4 périodes et à une durée de 27 s ; la durée de glissement est donc le quart de 27 s :
τf6,8±0,1s
3.2.a) Le palet arrêté commence à glisser à t3 et alors l3 = µsmg/k = µsg/ω02 ; ensuite :
¨l+ω02l=μdg d’où l(t)=Acosω0(tt3)+Bsinω0(tt3)+μdgω02,
x(t)=Vtμdgω02Acosω0(tt3)Bsinω0(tt3).
D’après les conditions initiales˙x(t3)=0=VBω0, x3=Vt3μdgω02Asoit B=Vω0, A=(μsμd)gω02 :
l(t)=(μsμd)gω02cosω0(tt3)+Vω0sinω0(tt3)+μdgω02 , l3=μsgω02
x(t)=Vtμdgω02(μsμd)gω02cosω0(tt3)Vω0sinω0(tt3)
3.2.b) Le palet s’arrête de glisser à la date t4 telle que ˙x(t4)=0 ; or :
˙x(t)=V[1cosω0(tt3)]+(μsμd)gω0sinω0(tt3)=0
tanω0(t4t3)2=(μsμd)gVω0 ou/et sinω0(t4t3)2=0,
la 2e solution en t4t3 est à éliminer car seule la solution la plus petite, la 1ère atteinte, se réalise :
τg=t4t3=2ω0[πArctan(μsμd)gVω0]
3.2.c) On peut estimer τg en comptant le nombre d’intervalles séparés par 1,5 ms ; il y a 14 intervalles visibles sur la phase glisse : τg ≈ 21 ms ; cependant, cette méthode est très imprécise car au début et à la fin de la durée considérée les points sont trop rapprochés et se superposent ; certains ne sont pas comptés ; la mesure se fait par défaut à plusieurs fois 1,5 ms près. De plus, la durée de 1,5 ms est approximative. Ainsi, la détermination de τg se fait avec une précision relative de 30 à 40 %.
Une méthode précise consiste à exprimer τg en fonction de τf = t3t2 dont le calcul exige celui de l4 :
l4=(μsμd)gω02cosω0(t4t3)+Vω0sinω0(t4t3)+μdgω02.
Avec γˆ=(μsμd)gVω0, en utilisant les expressions de sin(x) et cos(x) en fonction de tan(x/2) :
l4=γVω01γ21+γ2Vω02γ1+γ2+μdgω02, l4=(2μdμs)gω02
Mais par périodicité des oscillations de l(t), l2 = l4 et comme x3 = x2 :
l4 = Vt2x2 = V(t2t3) + l3 = − V(t3t2) + μsgω02= (2μdμs)gω02, τf=t3t2=2(μsμd)gVω02
τg=2ω0[πArctan(ω0τf2)]
3.2.d) Arctan (en rds) <xπ/2 ; à partir de la valeur mesurée, τf6,8s, on a τg32,509ms << τf. Remarque : γ=ω0τf2>>1, τg πω0=T02=πmk et l(t)(μsμd)gω02cosω0(tt3)+μdgω02.
La précision de la méthode, m, k étant supposés bien connus, est définie par la précision sur la mesure de τf soit Δτf ≈ 0,1 s ; pour τf = 6,9 s ou 6,7 s, τg a même valeur que pour τf = 6,8 s à 0,001 ms près ; d’où Δτg=1μs. La formule approchée τgT0/2 donne 32,446 ms, valeur incorrecte.
3.3.a) Sur le graphe, d’après les expressions de l3 et l4 vues en 3.2.a et 3.2.c, on détermine :
  • la valeur maximale de kl/mg : kl3/mg=μs=0,37±0,01 ;
  • la valeur minimale de kl/mg : kl4/mg=2μdμs0,31±0,01
d’où μs=0,37±0,01 et μd=0,34±0,01 μsμd=0,03±0,01
La précision relative sur la différence des coefficients est de l’ordre de 30 % alors que la précision relative sur chaque coefficient est de l’ordre de 3 %.
3.3.b) τf=2(μsμd)mgkV=2×(0,370,34)×1,6×9,811,5.104×105=6,3s et Δτfτf=Δ(μsμd)μsμd30% soit Δτf2s; ce calcul donne une précision bien moins bonne que la mesure directe sur la figure 2.
3.3.c) τg=2ω0[πArctan(μsμd)gVω0]=21,61,5.104[πArctan0,03×9,811051,5.104/1,6]32,51ms ;
la précision par calcul avec µsµd = 0,02 ou 0,04 est de l’ordre de 0,04 ms, moins bonne qu’en 3.2.c.
3.3.d) On ne voit pas très bien l’intérêt des questions 3.3.b,c, les résultats de ces questions étant moins précis que ceux obtenus par exploitation du graphe de la figure 2 et de 3.2.d.
3.4.a) Le régime fixe-glisse est périodique parce que l’évolution de l(t) est déterminée par une équation différentielle du second ordre et que l(t) et ˙l(t)reprennent les mêmes valeurs en début et fin d’une occurence fixe-glisse, ainsi à t3, l = µsmg /k et ˙l=V ; aux deux extrémités de la phase glisse, ˙l(t)= V : de ce fait la courbe représentative de la phase glisse présente un maximum tout au début et un minimum tout à la fin ce qui n’apparaît pas sur la figure 2.
3.4.b) Dans le référentiel plaque, les allures de l’énergie cinétique Ec=m˙x2/2 du palet et de l’énergie potentielle Ep=kl2/2du ressort (indépendante du référentiel) en fonction de t sont ci-dessous :
3.4.c) Sur une période, ΔEc=0,ΔEp=0 ; ΔEunivers=0 ; en fait sur une période, le travail mécanique fourni au ressort et au palet par le moteur est transformé en chaleur par frottement au contact palet-plaque.
3.4.d) Le palet reçoit une partie de la chaleur produite par les frottements et la plaque reçoit le reste mais le palet finit par atteindre un régime permanent thermique au cours duquel sa température varie périodiquement mais assez peu à chaque occurrence fixe-glisse ; en moyenne sa température est constante : il ne reçoit plus de chaleur, son entropie ne varie pas ; le travail W de la force de frottement est alors entièrement fourni sous forme de chaleur à la plaque de température quasi constante Tplaque : la variation d’entropie de la plaque est W/Tplaque ; la force de frottement µdmg ne travaille que lors de la phase glisse de longueur x4x3 = V(t4t3) − (l4l3) = V(τg+τf)Vτfcarτf>>τg:
WμdmgVτf d’où ΔSplaque=ΔSunivers=WTplaque=μdmgτfV
En d’autres termes, l4l2=V(t4t2)(x4x2)=0 car l2 = l4 d’où x4x2=V(t4t2)ce qui montre que la vitesse moyenne du palet est V ; sur une occurrence fixe-glisse le déplacement du palet est le même que celui de l’extrémité du ressort : V(τg+τf)Vτf d’où le résultat déjà obtenu.
3.5.a) En reprenant les calculs de 3.2.a :
A=l4μdgω02, B=V˙x4ω0, ˙x(t)=V+(l4ω0μdgω0)sinω0(tt4)(V˙x4)cosω0(tt4).
3.5.b) ˙x=0V=(l4ω0μdgω0)sinω0(tt4)+(V˙x4)cosω0(tt4) ou V=Vmaxcos[ω0(tt4)φ]
avec Vmax=(l4ω0μdgω0)2+(V˙x4)2 et la condition (l4ω0μdgω0)2+(V˙x4)2V
3.5.c) Si l4 = 0 et ˙x4=V, la condition devient (μdgω0)2+V2V ce qui est réalisé.
3.5.d) ˙x peut s’annuler, si au départ, on n’a pas (˙x proche de V) et (l proche de lP du 2.3.a) donc si on n’est pas trop proche du régime permanent de 2.3.a.
4.1.a) Son nettement plus aigu que celui du diapason : f0 ≈ 1000 Hz.
4.1.b) V ≈ 0,25 m.s−1. La force de pression est donnée par le poids d’une masse m équivalente statiquement : m ≈ 0,1 kg soit RN ≈ 0,98 N.
4.1.c) f0=12πkm k=4π2mf02 k4.104N.cm1.
4.1.d) La craie vibre ; un morceau du quart de la longueur de la craie a une raideur accrue (la raideur est inversement proportionnelle au cube de la longueur) : la fréquence de vibration augmente et sort du domaine audible (20-10000 Hz pour une oreille pas très sensible aux grandes fréquences).
4.2.a) Son voisin du la du diapason : f0 ≈ 500 Hz.
4.2.b) La porte grince lors d’une rotation lente ; si elle tourne de 90 ° en t = 15 s et si le contact grinçant se fait par la base du gond de diamètre moyen d = 0,75 cm : V=πd4t4.104m.s1 .
La masse m est celle de la porte divisée par le nombre de gonds, disons 10 kg.
4.2.c) k105N.cm1.
4.2.d) Huiler les gonds ; dégripper les gonds avec un anti-rouille ; mettre des rondelles en plastique.
4.3.a) Un pneu crisse par freinage sur une route goudronnée par temps chaud surtout et aussi en tournant à faible allure sur les sols des parkings recouverts de peinture.
4.3.b) Par freinage sur une route : V ≈ 30 m.s−1 (roues bloquées) ; m ≈ 500 kg (le quart de la masse de l’automobile avec bagages et passagers).
4.3.c) Prendre des pneus neufs ; réaliser un freinage progressif (système ABS).
4.3.d) Il vaut mieux supprimer le crissement pour un freinage efficace par freinage progressif.
4.4.a) Passer une résine solide sur l’archet, la colophane, résidu de la distillation de la térébenthine.
4.4.b) La fréquence du la du diapason est 440 Hz.

4.4.c) La force de rappel F est due à la forme prise par la corde lors de l’appui de l’archet ; on peut l’exprimer en fonction de la tension T dans la corde :
F = T1 + T2 de module F = 2Tsinα ≈ 2 avec αx/L et donc F ≈ 2Tx/L de la forme kx d’où k ≈ 2T/L ; si la tension est égale au poids d’une masse de 10 kg et si L ≈ 0,2 m,k10N.cm1.
4.4.d) Il faudrait tenir compte de la propagation d’ondes transversales de déplacement le long de la corde avec une des conditions aux limites définie par le contact de l’archet , en plus des conditions limites aux extrémités de la corde.
5.1.a) l(t) = Vt x(t) ; à la fin d’une phase fixe, x(t) est un peu plus grand que prévu et donc l(t) un peu plus petit que prévu ; au début, c’est le contraire ; les pointes de la courbe sont arrondies.
5.1.b) Le bristol est fait de cellulose dont les macromolécules comportent des motifs de 0,5 nm qui peuvent se répéter 4000 fois, soit de dimension d ≈ 2 µm.
La distance de reptation est pratiquement égale à cette
dimension ; elle correspond à la distance nécessaire pour que les macromolécules à la base du palet se positionnent au plus près de celles de la plaque ou pour qu’elles s’arrachent un peu de la plaque pour autoriser le glissement.
5.1.c) τrd/V. Il ne s’agit que d’un ordre de grandeur.
5.1.d) Pour τf, il faut trouver un produit en V, k, m, g de la dimension d’un temps :τfgVω02=mgkV.
Pour τg, on peut prendre τgT02=πω0=πmk.
5.2.a) On a donc, sans tenir compte des facteurs numériques : τf1kV,τg1k,τr1V ;
  • τg = τf kV2=cstelogk+2logV=cste, droite de pente −2, dessus τg > τf, dessous τg < τf ;
  • τr = τg k/V2=cstelogk=2logV+cste, droite de pente +2, dessus τr > τg, dessous τr < τg ;
  • τr = τf k=cstelogk=cste : droite de pente 0, dessus τr > τf, dessous τr < τf ;
Les 3 droites sont concourantes et délimitent six domaines.
5.2.b) Quand τg augmente, devient comparable à τr et que τgV devient supérieur à d, le palet ne peut plus se positionner assez près de la plaque pour qu’il puisse exister une phase fixe.
5.2.c) La reptation joue un rôle significatif quand τr prend des valeurs supérieures à τf et τg (voir ci-dessus).
5.2.d) On observe le régime permanent dans le domaine de prédominance deτg (pour des vitesses de plus en plus élevées).
5.3.a) On obtient le tableau et la courbe :
V((µm.s−1) 0,25 0,42 0,59 0,75 1
τ(s) 23,1 ± 0,3 11,4 ± 0,3 6,9 ± 0,3 5,4 ± 0,3 4,2 ± 0,3
(µm) 5,8 4,8 4,1 4,1 4,2
5.3.b) On s’attend à un loi en 1/V ; ce qui est approximativement le cas ; la loi est moins bien vérifiée pour les vitesses les plus faibles.
5.3.c) On obtient le tableau :
V((µm.s−1) 0,25 0,42 0,59 0,75 1
l(µm) 2,2 1,5 0,73 0,36 0,18
L’allongement l est continu à la transition.
5.3.d) Si α > 0, le régime permanent de type 2.3.a est stable ; une fois obtenu après augmentation de V, par diminution lente de V, le régime permanent subsiste. On ne retrouve pas le régime fixe-glisse.
Si α < 0, le régime permanent est instable et ne peut être obtenu de toute façon.
5.4.a) On trouve :
V(µm.s−1) 275 525
τf(s) 3,6 1,6
f(µm) 990 840
τf doit être en 1/V ce qui est vérifié à 10 % près.
5.4.b) L’allongement l est à valeur discontinue à la transition, soit de l’ordre de 1000 µm soit nulle.
5.4.c) Si τr = τf, le palet n’a pas le temps de se positionner en contact intime avec la plaque ; soit il est bien positionné immédiatement et alors la phase fixe se produit et est suivie d’une phase glisse ; soit il n’est pas bien positionné et la phase fixe ne se produit pas ; d’où l’aspect aléatoire du départ de la phase fixe et de l’occurrence d’un fixe-glisse.
5.4.d) Même réponse qu’en 5.3.d.

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