Concours Physique École Polytechnique (MP) 1997 (Corrigé)

Formation des gouttes de pluie au sein d’un nuage

Thermodynamique d’une goutte d’eau

I-1 Il faut considérer l’interface comme un système thermodynamique indépendant à la fois de la goutte elle-même et de l’atmosphère extérieure. Lorsque l’on accroît le rayon a de la goutte d’un infiniment petit da, son volume augmente de 4πa²da et sa surface de 8πada. Le travail fournit à l’interface par les systèmes (goutte + atmosphère) qui lui sont extérieurs vaut δW=(p_L-p₀)dV=(p_L-p₀)4πa²da, et ce travail vaut σdA=σ8πada, d’où l’égalité ${p_L} = {p_0} + \frac{{2\sigma }}{a}$.

A.N. : pour a=1 µm, p_L-p₀=1,52 bar.
I-2-a Partant de vapeur sèche, la pression de vapeur saturante est la pression p_V à laquelle apparaît la première goutte liquide.
I-2-b Le potentiel chimique d’un gaz parfait sous une pression partielle p s’écrit $\mu \left( {T,p} \right) = {\mu ^o}\left( T \right) + RT\ln \frac{p}{{{p^o}}}$, où m°(T) est le potentiel chimique standard du gaz étudié et où p°1 bar. Il est alors clair que ${\mu _V}\left( {{{p'}_s},{T_0}} \right) - \mu \left( {{p_s},{T_0}} \right) = R{T_0}\ln \frac{{{{p'}_s}}}{{{p_s}}}$.

I-2-c Le volume molaire d’une phase condensée ne dépendant pratiquement pas de la pression et très peu de la température, on pourra le considérer comme étant constant. Alors, de ${\left( {\frac{{\partial \mu }}{{\partial p}}} \right)_T} = v = {\rm{cste}}$, on tire ${\mu _L}\left( {T,p} \right) = \mu _L^o\left( T \right) + {v_L}p$, de sorte que le potentiel chimique est linéaire en p. On en déduit que ${\mu _L}\left( {{p_L},{T_0}} \right) - {\mu _L}\left( {{p_0},{T_0}} \right) = {v_L}\left( {{p_L} - {p_0}} \right)$, et, avec le I-1 et en remarquant que ${v_L} = \frac{M}{{{\rho _L}}}$, on peut enfin écrire ${\mu _L}\left( {{p_L},{T_0}} \right) - {\mu _L}\left( {{p_0},{T_0}} \right) = \frac{{2\sigma M}}{{a{\rho _L}}}$.
I-2-d L’équilibre thermodynamique de la goutte s’écrit ${\mu _L}\left( {{p_L},{T_0}} \right) = {\mu _V}\left( {{{p'}_s},{T_0}} \right)$, alors que, pour une interface plane, on a ${\mu _L}\left( {{p_0},{T_0}} \right) = {\mu _V}\left( {{{p'}_s},{T_0}} \right)$. En soustrayant ces deux relations on aboutit, avec les résultats précédents, à $R{T_0}\ln \frac{{{{p'}_s}}}{{{p_s}}} = \frac{{2\sigma M}}{{a{\rho _L}}}$, soit encore $\frac{{{{p'}_s}}}{{{p_s}}} = \exp \left( {\frac{{b\left( {{T_0}} \right)}}{a}} \right)$, où $b\left( {{T_0}} \right) = \frac{{2\sigma M}}{{R{T_0}{\rho _L}}}$.
I-2-e A.N. :A 0°C et pour a=0,1 µm, $\frac{{{{p'}_s}\left( a \right)}}{{{p_s}}} = 1 + 1,2\;{10^{ - 2}}$. Pour avoir une différence relative inférieure à 10^-4, il faudra a>12 µm.
I-3-a Si a>r_e, la pression ${p'_s}\left( a \right)$ est inférieure à ${p'_s}\left( {{r_e}} \right) = {p_V}$ ; la goutte se trouve donc dans une atmosphère sursaturée en vapeur et l’eau se condensera au niveau de la goutte : la goutte grossira donc. De même, si a<r_e, la goutte s’évaporera et son rayon diminuera. Il en découle que la goutte est instable.
La création de gouttes de tout petit rayon nécessite une pression saturante très grande, ce qui explique que l’on puisse avoir une vapeur sursaturée.
Remarque : les gouttes se formeront en fait sur les impuretés solides se trouvant en suspension dans la vapeur. Si ces impuretés ont des rayons de l’ordre de 10 µm (poussières usuelles), les gouttes qui se formeront en ces points auront initialement ces rayons, de sorte que la pression saturante n’excédera la pression p_s que de 0,012%. Pour avoir des sursaturations notables en vapeur, il faudra donc filtrer les poussières pour limiter leur rayon maximal (ainsi un écart de 1% sur la pression saturante sera obtenue pour des poussières dont le rayon maximal vaut 0,12 µm).

I-3-b L’étude de l’instabilité de la goutte se nuance lorsque l’on étudie un ensemble de gouttes dans un milieu humide. En effet si on part d’une situation où existent des gouttes dont les rayons sont supérieurs ou inférieurs à r_e, les résultats précédents montrent que les petites gouttes disparaissent rapidement alors que les grosses augmentent de volume. Donc, lorsque les petites gouttes ont disparu, les gouttes qui restent et qui grossissent vont puiser l’eau du milieu humide dans lequel elles se trouvent, en faisant diminuer la pression p_V. Puisque pour des rayons “ assez ” grands (quelques dizaines de µm) la pression de saturation ne varie presque plus (et vaut p_s), la pression p_V, diminuant, finira par égaler pratiquement la pression p_s ; à partir de là, la cinétique de condensation des gouttes devient très faible (puisque p_Vp_s) et le système, sans être rigoureusement à l’équilibre, n’évolue cependant plus.

Formation des gouttes par condensation

II-1 La masse traversant, vers l’intérieur, la surface d’une sphère de rayon r vaut $\dot m = - \mathop{{\int\!\!\!\!\!\int}\mkern-21mu \bigcirc}\limits_{S\left( {0,r} \right)} {{{\bf{j}}_m}.d{\bf{S}}}$. Les grandeurs étudiées ne dépendant que de r, on aura donc $\dot m = 4\pi {r^2}D{\left. {\frac{{d{\rho _V}}}{{dr}}} \right|_r}$. Par intégration entre a et l’infini, on aura donc $\dot m\left[ { - \frac{1}{r}} \right]_a^\infty = 4\pi D\left. {{\rho _V}} \right|_a^\infty$, soit $\dot m = 4\pi aD\left[ {{\rho _V}\left( \infty \right) - {\rho _V}\left( a \right)} \right]$.
II-2-a Au niveau de la surface de la goutte, il y a liquéfaction de la vapeur. Si une masse δm de liquide se condense, cela libère une chaleur Lδm dans la vapeur ; la vapeur s’échauffe donc au voisinage de la goutte et T(a)>T(∞).
II-2-b La loi de Fourier s’écrit ${{\bf{j}}_Q} = - \lambda \;grad\;T$.

II-2-c La chaleur produite au niveau de la goutte par unité de temps est $L\dot m$ et cette chaleur diffuse à travers la vapeur jusqu’à l’infini. En supposant toujours les états stationnaires, on a donc, pour le flux thermique à travers une sphère de rayon r, $L\dot m = - 4\pi {r^2}\lambda {\left. {\frac{{dT}}{{dr}}} \right|_r}$, qui s’intègre sur r en donnant (de même qu’au II-1) $L\dot m = 4\pi a\lambda \left[ {T\left( a \right) - T\left( \infty \right)} \right]$.
II-3 Pour un gaz parfait ${{u}_{V}}=\frac{RT}{Mp}{{u}_{L}}$, de sorte qu’en se déplaçant le long de la courbe de vaporisation on a $\frac{{LM}}{R}\frac{{dT}}{{{T^2}}} = \frac{{d{p_s}}}{{{p_s}}}$, ce qui, par intégration, conduit à $\frac{{LM}}{R}\left( {\frac{1}{{{T_\infty }}} - \frac{1}{{T\left( a \right)}}} \right) = \ln \frac{{{p_s}\left[ {T\left( a \right)} \right]}}{{{p_s}\left[ {{T_\infty }} \right]}}$. Si p_s[T(a)]=p_s[T_∞](1+e) et si T(a)=T_∞(1+h), où e et h sont des infiniment petits, cette relation devient $\frac{{LM}}{{R{T_\infty }}}\eta = \varepsilon$, soit $\frac{{LM}}{{R{T_\infty }}}\frac{{T\left( a \right) - {T_\infty }}}{{{T_\infty }}} = \frac{{{p_s}\left[ {T\left( a \right)} \right] - {p_s}\left[ {{T_\infty }} \right]}}{{{p_s}\left[ {{T_\infty }} \right]}}$.
II-4 En notant de même ρ_V(a)=ρ_∞(1+ξ) et p_V(a)=p_∞(1+e’) , où ξ est un infiniment petit, et compte tenu de la loi des gaz parfaits qui stipule que $\frac{{\rho T}}{p} = {\rm{cste}} = \frac{M}{R}$, soit $\frac{{{\rho _\infty }{T_\infty }}}{{{p_\infty }}} = \frac{{{\rho _\infty }{T_\infty }}}{{{p_\infty }}}\left( {1 + \xi + \eta - \varepsilon '} \right)$, il vient $\frac{{T\left( a \right) - {T_\infty }}}{{{T_\infty }}} + \frac{{{\rho _V}\left( a \right) - {\rho _\infty }}}{{{\rho _\infty }}} = \frac{{{p_V}\left( a \right) - {p_\infty }}}{{{p_\infty }}}$.
II-5 On a donc, avec II-1 et II-2-c, $\frac{{L\dot m}}{{4\pi \lambda a{T_\infty }}} - \frac{{\dot m}}{{4\pi Da{\rho _\infty }}} = \frac{{{p_V}\left( a \right) - {p_\infty }}}{{{p_\infty }}}$. Or, selon les hypothèses, on a $\frac{{{p_V}\left( a \right) - {p_\infty }}}{{{p_\infty }}} = \frac{{{p_s}\left[ {T\left( a \right)} \right] - S{p_s}\left( \infty \right)}}{{S{p_s}\left( \infty \right)}} = \frac{{{p_s}\left[ {T\left( a \right)} \right] - {p_s}\left( \infty \right)}}{{S{p_s}\left( \infty \right)}} - \frac{{S - 1}}{S} = \frac{{LM}}{{R{T_\infty }}}\frac{{T\left( a \right) - {T_\infty }}}{{S{T_\infty }}} - \frac{{S - 1}}{S}$, ce qui, en utilisant à nouveau II-2-c, donne $\frac{{{p_V}\left( a \right) - {p_\infty }}}{{{p_\infty }}} = \frac{{{L^2}M\dot m}}{{4\pi \lambda aSRT_\infty ^2}} - \frac{{S - 1}}{S}$. Reporté dans l’expression précédente, on obtient finalement $\dot m\left( {\frac{L}{{4\pi \lambda a{T_\infty }}}\left( {\frac{{LM}}{{R{T_\infty }}} - S} \right) + \frac{S}{{4\pi Da{\rho _\infty }}}} \right) = S - 1$.
La loi des gaz par faits donne $\frac{S}{{{\rho _\infty }}} = \frac{{SR{T_\infty }}}{{M{p_\infty }}} = \frac{{R{T_\infty }}}{{M{p_s}\left( {{T_\infty }} \right)}}$, et, comme $\dot m = {\rho _L}4\pi {a^2}\dot a$, on arrive à l’équation $a\dot a\left( {\frac{{{\rho _L}L}}{{\lambda {T_\infty }}}\left( {\frac{{LM}}{{R{T_\infty }}} - S} \right) + \frac{{{\rho _L}R{T_\infty }}}{{DM{p_s}\left( {{T_\infty }} \right)}}} \right) = S - 1$.
II-6 La vitesse initiale de condensation est ${\dot a_0} = \frac{{S - 1}}{{{a_0}C}} = 31\;{\rm{nm}}{\rm{.}}{{\rm{s}}^{ - 1}}$. L’équation d’évolution du rayon est $a\left( t \right) = \sqrt {a_0^2 + 2\frac{{S - 1}}{C}t}$, soit $\frac{{a\left( t \right)}}{{{a_0}}} = \sqrt {1 + 2\frac{{{{\dot a}_0}t}}{{{a_0}}}}$. La goutte atteindra le rayon de 30 µm en 4 h environ.

Croissance de la goutte par coalescence

III-1 La vitesse limite est atteinte lorsque la somme des forces s’exerçant sur la goutte s’annule, c’est-à-dire pour $6\pi \eta a{{\bf{v}}_0} = m{\bf{g}}$, ou encore ${{\bf{v}}_0} = \frac{{2{\rho _L}{a^2}}}{{9\eta }}{\bf{g}}$. Cette fonction croît avec a.
A.N. : pour a=30 µm, v₀=11,5 cm/s.
III-2-a Puisque la densité de gouttelettes et leur vitesse sont les mêmes en A que loin de la goutte, la conservation du flux de gouttelettes s’écrit simplement πb²=π(d²-a²).
III-2-b Il y a coalescence si d=a+a’, donc si ${b^2} = a'\left( {2a + a'} \right)$.
III-3-a Les petites gouttes “ montent ” vers la grosse goutte à la vitesse relative v₀(a)‑v₀(a’)=v_r. La grosse goutte capturera donc, entre t et t+dt un nombre de petites gouttes égal à dN=v_rdtπb²n. Son volume s’accroît donc $dV = \frac{4}{3}\pi {a'^3}dN = \frac{4}{3}\pi {a'^3}n{v_r}dt\pi a'\left( {2a + a'} \right)$ sur ce même intervalle de temps, donc $\frac{4}{3}\pi {a^2}da = \frac{4}{3}\pi n\frac{{2{\rho _L}g}}{{9\eta }}\left( {{a^2} - {{a'}^2}} \right)dt\pi {a'^4}\left( {2a + a'} \right)$, et , finalement, $\dot a = \frac{{2\pi n{\rho _L}g}}{{9\eta }}\left( {1 - \frac{{{{a'}^2}}}{{{a^2}}}} \right){a'^4}\left( {2a + a'} \right)$.
III-3-b Soit ρ la masse volumique de l’eau dans le nuage ; on a $\rho = \frac{4}{3}\pi {\rho _L}{a'^3}n$ et $\dot a = \frac{{\rho g}}{{6\eta }}\left( {1 - \frac{{{{a'}^2}}}{{{a^2}}}} \right)a'\left( {2a + a'} \right)$.
A.N. : dans les conditions données, $\dot a = 18\;{\rm{nm/s}}$.

III-4

La coalescence prendra donc le pas sur la condensation pour des rayons supérieurs à une dizaine de µm.