Concours Spécial Physique 2 1994
en remarquant que lorsque z → - z, V(z) reste inchangé (symétrie des charges).
A.3.a.Il n'y a pas de charges au voisinage du point P donc selon le théorème de Gauss, le flux de →E sortant du petit cylindre est nul .
A.3.b.
→E=E(z)→k+Er→ur=σε0(1−z√a2+z2)→k+σa2r2ε0(a2+z2)3/2→ur=σε0(1−cosθ)→k+σr2aε0sin3θ→ur
A.4.La densité de charges ne peut être en fait uniforme sur tout le disque notamment au bord (pouvoir des pointes) où la densité surfacique est en fait plus importante qu'au voisinage de l'axe Oz..
B.1.a.Le disque B porte des charges sur sa face supérieure où existe une force de pression électrostatique qui devra dépasser son poids pour permettre le décollage . Soit σ22ε0.πb2>mg=πb2eρg donc σ>√2ε0ρeg c'est-à-dire , à l'aide de A.1.b.
B.1.b.Application numérique : Vs = 190 kV.
B.2.Le disque B emporte la charge q =σ πb2 alors que le disque A maintenu au même potentiel Vo = Vs conserve la densité surfacique σ et crée donc le même champ →E (voir A.1.a).
Lorsque z croit, E décroit donc le poids l'emporte sur la force électrostatique et le disque descend; lorsque z décroit, E croit et la force électrostatique l'emporte ce qui fait remonter le disque.D'où stabilité de l'équilibre .
B.3.a.Au voisinage de la position d'équilibre sur l'axe Oz, seule la composante Er de →E agit sur le disque B
→F=qEr→ur=Sπb2σa22ε0(a2+z2)3/2→rG=πb2ε025/2a3V2S→rG
après remplacement de z par sa valeur à l'équilibre tirée de B.2.
B.3.b.Cette force orthogonale à l'axe Oz est centrifuge ce qui produit une instabilité de l'équilibre.
C.2.a.Le flux de →B sortant du petit cylindre étant nul , on trouve la même relation qu'avec le champ →E :
Br=−r2∂B∂z=−r2μ0Ni1a22ddz[(a2+z2)−3/2]=34μ0Ni1a2rz(a2+z2)3/2
C.3.a.D'après C.2.a, on trouve au centre de l'anneau : B(P)=μ0i22b ; ce champ étant supposé uniforme sur le plan de l'anneau,
C.3.b.Application numérique L = 2.10-9 π2 = 1,97.10-8 H.
C.4.a.La force de Laplace dérive de l'énergie d'interaction - i2Φ12entre l'anneau et la bobine :
→F = →grad(i2Φ12) = i2∂Φ12∂z→k = i2πb2∂B∂z→k. Donc →F = 2 πb2i2α→k
C.4.b.La lévitation est possible si la force de Laplace est dirigée vers le haut. Si i1 > 0, alors α < 0, donc il faut i2 < 0.
cos(φ) = - Lω√R2+L2ω2 et sin (φ) = - R√R2+L2ω2 . Avec R = Lω on obtient φ = - 3π4
D.2. < i1.i2> = < I0Acos(.ωt).cos(ωt+φ) > = 12AI0 cos(φ) = - LMI20ω22(R2+L2ω2)
D.3.L'équilibre de l'anneau implique que < →F> - mg →k = →0 soit −πb2βLMI20ω2(R2+L2ω2) - mg = 0 avec β < 0 .
D.4.On pose F = < →F>.→k et on utilise les expressions de M (C.3.c) et de β (C.2.b) . On obtient :
F sera maximale lorsque z(a2+z2)4 sera maximum soit ddz(z(a2+z2)4)= a2−7z2(a2+z2)5 = 0 donc pour z=±a/√7 ce qui donne
Si mg > Fmax , il n'y a aucun équilibre possible ; si mg = Fmax, il y en a une ; si mg < Fmax, alors il y en a deux mais seule la plus grande valeur (z2) de z est stable.
D.5.On peut réaliser la lévitation en disposant sur un support (en plastique par exemple), l'anneau à une distance de la bobine légèrement supérieure à zma/√7. On fait alors croitre lentement le courant Io : lorsque Fmax dépasse mg, l'anneau est entrainé vers le haut et suit sa position d'équilibre (z2), qui dépend de Io, et oscille avec une faible amplitude.
D.6.a et b..Fmax, > mg ⇒Io > √8√7(1+17)4a3mg3πμoN2b3 = Im avec R = Lω . Soit numériquement Im = 78,1 A.
i2,eff=MωIm(√R2+L2ω2)√2=M2LIm=Nb2a2(a2+z2m)3/2=Nb2Im(1+17)3/2. Soit numériquement i2,eff = 320 A.
L'effet Joule produit dans l'anneau est donc très intense ce qui risque de l'échauffer et de le faire fondre ce qui justifie la nécessité d'utiliser un matériau supraconducteur où l'effet Joule sera nul.
D'après C.1, on a B(zm)=μ0Ni12a2(a2+z2m)3/2≈μ0NIm2a1(1+17)3/2
B(zm) = 40,2 mT.
D.6.c.Si l'anneau s'incline, le flux magnétique créé par la bobine diminue et l'énergie d'interaction croit : l'anneau est alors soumis à un couple qui le ramène dans le flux maximum . Il y a stabilité de l'équilibre.
E.1.On part de l'équation du D.1 avec R = 0, donc e = - L di2dt - M di1dt = 0. En intégrant , on a Li2 + Mi1 = constante = 0 (à t = 0).
E.2.D'après C.4.a., on a →F=i2πb232μ0NI0a2z(a2+z2)3/2→k=32μ0πN2I20a4b3z(a2+z2)3/2→k
Le graphe est donc le même que celui de D.4 mais la force exercée est 4 fois plus grande. L'équilibre est obtenu lorsque mg = F pour la valeur la plus grande de z (z2).
E.3.b. →B et →M étant opposés, l'énergie d'interaction de l'anneau (- →M.→B) dans le champ magnétique de la bobine est positive et maximale donc il y a instabilité de l'équilibre. On peut réaliser le champ uniforme →Be à l'aide de bobines d'Helmholtz d'axes parallèles à Oz et parcourues par un courant constant de sens opposé à Io.
Pour ne pas modifier le courant i2 dans l'anneau, on peut créer →Be avant de rendre le matériau supraconducteur (à température ordinaire). On le refroidit ensuite et on augmente i1 de O à Io lorsque l'état supraconducteur est atteint.
→Be doit donc être de même sens que →M pour stabiliser l'anneau.
F.2.A l'aide de la relation fondamentale de la dynamique projetée sur Oz et en posant ε = (Zo−Zeq), on peut écrire :
m ..Zo = m..ε = - mg + →FL.→k = - mg - 2απ2b4(Bo+2αZo)L = - 4α2π2b4εL puisque l'anneau est en équilibre pour ε = 0.
I.Lévitation par interaction électrostatique.A.1.a.On découpe le disque en couronnes (r,r+dr) de charge dq = 2σ.2πrdr qui crée en P le potentiel
dV = dq4πεo√r2+z2=σε0rdr√r2+z2 ; soit V(P) = σ2ε0∫a0d(r2+z2)√r2+z2 | V(P) = σε0[√a2+z2−|z|] |
A.1.b.Par continuité du potentiel, Vo = V(z = O) = aσε0 | soit σ=ε0Voa |
A.2.a.→E = - →grad(V) = - ∂V∂z→k →E = σεo[1−z√a2+z2]→k si z > 0 →E = - σεo[1−|z|√a2+z2]→k si z < O soit .→E = ±σε0(1−cosθ)→k A.2.b. |
- E(z).πr2 + E(z+dz).πr2 + 2πr dz Er = 0 soit Er=−r2∂E∂z = σr2ε0ddz(z√a2+z2) |
Er=σa2r2ε0(a2+z2)3/2 |
→E=E(z)→k+Er→ur=σε0(1−z√a2+z2)→k+σa2r2ε0(a2+z2)3/2→ur=σε0(1−cosθ)→k+σr2aε0sin3θ→ur
B.1.a.Le disque B porte des charges sur sa face supérieure où existe une force de pression électrostatique qui devra dépasser son poids pour permettre le décollage . Soit σ22ε0.πb2>mg=πb2eρg donc σ>√2ε0ρeg c'est-à-dire , à l'aide de A.1.b.
V0>aε0√2ε0ρeg = a√2egρε0 = Vs |
B.2.Le disque B emporte la charge q =σ πb2 alors que le disque A maintenu au même potentiel Vo = Vs conserve la densité surfacique σ et crée donc le même champ →E (voir A.1.a).
La position d'équilibre de B implique que mg = qE = σ πb2σε0(1−cosθ) = 2mg(1−cosθ) .Donc cosθ = 0,5 | soit θ = 60° ou z = a /√3 |
B.3.a.Au voisinage de la position d'équilibre sur l'axe Oz, seule la composante Er de →E agit sur le disque B
→F=qEr→ur=Sπb2σa22ε0(a2+z2)3/2→rG=πb2ε025/2a3V2S→rG
après remplacement de z par sa valeur à l'équilibre tirée de B.2.
B.3.b.Cette force orthogonale à l'axe Oz est centrifuge ce qui produit une instabilité de l'équilibre.
II.Lévitation par interaction magnétostatiqueC.1.Rappels du cours : champ magnétique créé sur l'axe d'une bobine plate →B=μ0Ni12asin3q→k=μ0Ni12a2(a2+z2)3/2→k
C.2.a.Le flux de →B sortant du petit cylindre étant nul , on trouve la même relation qu'avec le champ →E :
Br=−r2∂B∂z=−r2μ0Ni1a22ddz[(a2+z2)−3/2]=34μ0Ni1a2rz(a2+z2)3/2
C.2.b.Avec 2α = 2β i1= ∂B∂z, on obtient | Br = - r α | et à l'aide de C.2.a, | α = - 34μ0Ni1a2cos(θ)sin4(θ) |
le flux propre est Φ22 = Bπb2 = μ0πbi22 = L i2 , donc | L = μ0πb2 |
C.3.c.Le flux mutuel est Φ12 = πb2 B1 = πb2 μ0Ni12asin3θ = M i1 | soit M = μ0Nπb22asin3θ | et | ML = Nbasin3θ |
→F = →grad(i2Φ12) = i2∂Φ12∂z→k = i2πb2∂B∂z→k. Donc →F = 2 πb2i2α→k
C.4.b.La lévitation est possible si la force de Laplace est dirigée vers le haut. Si i1 > 0, alors α < 0, donc il faut i2 < 0.
D.1.Le schéma équivalent de l'anneau comporte un générateur de f.é.m. e = - dΦ2dt = -Ldi2dt - Mdi1dt en série avec une résistance R. d'où l'équation différentielle : L di2dt + R i2 = - M di1dt (R + jLω)i2_= - jMωi1_ et i2_ = −jMωi1_R+jLω Avec i1 = I0 cos(ωt), on a i2 = A cos(ωt + φ) avec A = MωI0√R2+L2ω2 φ = - π2 - Arg(R+jLω) . |
D.2. < i1.i2> = < I0Acos(.ωt).cos(ωt+φ) > = 12AI0 cos(φ) = - LMI20ω22(R2+L2ω2)
La force moyenne exercée sur l'anneau est ainsi , d'après C.4.a., < →F> = < πb2i2βi1→k> | < →F> = −πb2βLMI20ω2(R2+L2ω2)→k |
D.4.On pose F = < →F>.→k et on utilise les expressions de M (C.3.c) et de β (C.2.b) . On obtient :
F =3π2μ20a4b4N2LI20ω28(R2+L2ω2)z(a2+z2)4 =38πμoN2I2oa4b3 z(a2+z2)4 soit F = 3π2μ20b4N2LI20ω28a3(R2+L2ω2)cos(θ)sin7(θ) = 38a3πμoN2I2ob3cos(θ)sin7(θ) |
Fmax = 38√7πμoN2I2oa4b3a(a2+a27)4 Fmax = 3πμ0b3N2I208√7a31(1+17)4 |
D.5.On peut réaliser la lévitation en disposant sur un support (en plastique par exemple), l'anneau à une distance de la bobine légèrement supérieure à zma/√7. On fait alors croitre lentement le courant Io : lorsque Fmax dépasse mg, l'anneau est entrainé vers le haut et suit sa position d'équilibre (z2), qui dépend de Io, et oscille avec une faible amplitude.
i2,eff=MωIm(√R2+L2ω2)√2=M2LIm=Nb2a2(a2+z2m)3/2=Nb2Im(1+17)3/2. Soit numériquement i2,eff = 320 A.
L'effet Joule produit dans l'anneau est donc très intense ce qui risque de l'échauffer et de le faire fondre ce qui justifie la nécessité d'utiliser un matériau supraconducteur où l'effet Joule sera nul.
D'après C.1, on a B(zm)=μ0Ni12a2(a2+z2m)3/2≈μ0NIm2a1(1+17)3/2
B(zm) = 40,2 mT.
D.6.c.Si l'anneau s'incline, le flux magnétique créé par la bobine diminue et l'énergie d'interaction croit : l'anneau est alors soumis à un couple qui le ramène dans le flux maximum . Il y a stabilité de l'équilibre.
E.1.On part de l'équation du D.1 avec R = 0, donc e = - L di2dt - M di1dt = 0. En intégrant , on a Li2 + Mi1 = constante = 0 (à t = 0).
Soit | i2 = - MLi1 = -.MLIo. |
Le graphe est donc le même que celui de D.4 mais la force exercée est 4 fois plus grande. L'équilibre est obtenu lorsque mg = F pour la valeur la plus grande de z (z2).
E.3.a. Io > 0 ⇒ i2 < 0 donc le moment magnétique de l'anneau est opposé au champ magnétique créé par la bobine. |
Pour ne pas modifier le courant i2 dans l'anneau, on peut créer →Be avant de rendre le matériau supraconducteur (à température ordinaire). On le refroidit ensuite et on augmente i1 de O à Io lorsque l'état supraconducteur est atteint.
→Be doit donc être de même sens que →M pour stabiliser l'anneau.
III.Oscillations mécaniques de l'anneau.F.1.On développe le champ magnétique →B(N) au voisinage du point C où il vaut →Bo.
Soit : →B(N) = →Bo + (Z−Zo)∂Bo∂z→k + Br(N) →ur ≈ →Bo + 2α(→CN.→k)→k - rα→ur | →B(N)= →Bo + 2α →CN - 3α→r |
m ..Zo = m..ε = - mg + →FL.→k = - mg - 2απ2b4(Bo+2αZo)L = - 4α2π2b4εL puisque l'anneau est en équilibre pour ε = 0.
Il vient ..ε + 4α2π2b4mL ε = 0. Donc la période des petites oscillations est | T = √mLαb2 |
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