Concours Physique Concours Commun TPE 1994 (Énoncé)

Ministère de l'équipement, des transports et du tourisme

concours commun 1994 entpe,ensg,entm,enstimd

composition de physique commune
Temps accordé : 4 heures
(7 pages)
PREMIER PROBLÈME - ÉLECTRONIQUE
Les trois parties sont indépendantes
I Référence de tension à diode Zener
On considère une diode Zéner D_z, dont la caractèristique donnée figure 1 est linéaire par morceaux : zone 1 : branche directe ; zone 2 : branche bloquée ; zone 3 : régime d'avalanche. Cette diode est utilisée dans le montage de la figure 2 qui correspond au plus simple des régulateurs de tension.

I 1) Etablir l'équation donnant la tension V₂ aux bornes de la charge en fonction de la tension d'entrée V₁ et du courant traversant la charge I₂. On distinguera les trois modes de fonstionnement de D_z en précisant les domaines de validité de V₂ correspondants.

I 2) En déduire la caractéristique de régulation aval : V₂ =f(I₂) à tension d'entrée V₁ positive ; préciser les pentes de chacune des parties de la courbe ; quelle doit-être la charge quand le point de fonctionnement est dans le zone 1 directe ?
Quelle est la branche utilisée en régulateur de tension ?
On précise que V_d est de l'ordre de 0,6V, V_z de quelques dizaines de volts, R_z et R_d sont faibles devant R ,
et R_z est très faible.
I 3) En déduire aussi la caractéristique de régulation amont V₂ = g(V₁) à courant I₂ donné positif. Quelle est la branche utilisée en régulateur de tension ?
I 4) Donner dans la zone de régulation de tension l'expression des coefficients de régulation S et ρ définis par :
$\Delta {V_2} = S\Delta {V_1}{\rm{ }} - {\rm{ }}\rho \Delta {I_2}$
pour des variations de V₁ , I₂ notées ΔV₁ et ΔI₂ .
II Fonctions à seuil
En réalité la caractéristique d'une diode Zener n'est pas linéaire par morceaux et il y a des arrondis dans les courbes obtenues. On peut diminuer ces défauts en utilisant un montage à amplificateur opérationnel.
Soit le montage de la figure 3 dans lequel les diodes à jonction sont idéales (suivant la caractéristique de la figure 4) et l'amplificateur est idéal et fonctionne en régime linéaire.
II 1) On suppose la tension d'entrée E₁ positive;
1 a) Montrer que la tension V_S ne peut être strictement positive.
1 b) Montrer également qu'elle ne peut être strictement négative.
1 c) En déduire V_S .

II 2) On suppose E₁ négative ; calculer V_S . Interpréter.
II 3) Tracer la caractèristique V_S en fonction de E₁ .
II 4) Dans cette question on suppose que l'amplificateur, non idéal, est caractérisé par une tension de décalage
en entrée E_d et des courants de polarisation I_P+ et I_p-.
4 a) Donner, en régime linéaire, le schéma équivalent de l'amplificateur.
4 b) Donner les ordres de grandeurs de E_d , I_P+ et I_p-. (On pourra supposer que l'amplificateur est un 741 ).
4 c) Evaluer alors la tension V_S quand E₁ positive.

II 5) Soit le circuit inverseur représenté sur la figure 5 dans lequel l'amplificateur en régime linéaire a un coefficient d'amplification µ. Calculer le gain V_S/E ( rapport des tensions de sortie et d'entrée ) en fonction de R₁ , R₂ et µ . Montrer qu'on peut l'écrire sous la forme : gain idéal / (1 + 1/µb).
Donner les valeurs de b et du gain idéal.
Interpréter.

II 6) On considère à nouveau le circuit de la figure 3 dont les diodes sont représentées cette fois par la caractéristique de la figure 6 et dont l'amplificateur a un coefficient d'amplification µ. On suppose E₁ négative : calculer V_S et montrer qu'on peut mettre cette tension sous la forme :
$Vs = \frac{{{V_0}}}{{1 + K(1 + g({i_2})/{V_S})}}$
Donner les valeurs de K et V₀ ; comparer au résultat de II 2 et interpréter en vous aidant éventuellement de la question précédente II 5.

II 7) Conclure sur la fonction seuil étudiée ici.

III Fonctions à seuils à plusieurs cassures.
Dans cette partie les diodes sont idéales (caractéristique figure 4 ) et les amplificateurs sont tous idéaux et fonctionnent en régime linéaire.
III 1) Soit le circuit de la figure 7 . Calculer V_S (tension en S) en fonction de V_S1 et V_S2 (tensions en S₁ et S₂).
III 2) Soit le circuit de la figure 8. Calculer la tension V_S1 en fonction de E et V₁ (V₁ est une tension imposée positive).
III 3) Soit le circuit de la figure 9. Calculer de même, la tension V_S2 en fonction de E et V₂ (V₂ est une tension imposée positive).
III 4) Soit le montage de la figure 10. Calculer V_S ; tracer la caractéristique V_S en fonction de E. Conclure en précisant le fonctionnement global du montage et son intérêt.
III 5) Calculer la valeur de l'impédance de sortie du montage 10.

DEUXIÈME PROBLÈME - MÉCANIQUE
On considère une plaque plane (P) homogène, d'épaisseur négligeable, en forme de triangle équilatéral ABC, de côté a et de hauteur h, de masse M. On note $\vec Z{\rm{ }}$la verticale descendante. (figure 1).

On donne M = 300g, a= 15 cm.
Le but du problème sera d'étudier deux mouvements de cette plaque.
- Une rotation autour d'un axe porté par un coté du triangle.
- Une rotation autour d'un axe Gz.

I Étude préliminaire
I 1) Déterminer la position du centre d'inertie G de la plaque (P). (AG en fonction de h).
I 2) Déterminer en fonction de h le moment d'inertie I(Ax) de (P) par rapport à l'axe Ax, parallèle au côté BC et passant par A.
I 3) Déterminer en fonction de h, le moment d'inertie I(AB) de (P) par rapport à l'axe AB. Application numérique.
I 4) Déterminer en fonction de h, le moment d'inertie K(Gz) de (P) par rapport à l'axe Gz passant par G et perpendiculaire au plan de la plaque. Application numérique.
II Rotation autour d'un côté du triangle.
On suppose que la plaque est horizontale, suspendue par trois câbles verticaux, de longueur L constante ( figure 2) reliés respectivement aux trois sommets du triangle, supposés de masse négligeable et sans torsion.
L = 10 cm.
A l'instant t = 0, le câble relié à C est rompu de sorte que le triangle se met à tourner autour de l'axe AB que l'on supposera immobile et asurant une liaison parfaite. On note α l'angle du plan de (P) avec la verticale $\vec Z{\rm{ }}$
et $\vec g{\rm{ }}$l'accélération de la pesanteur supposée uniforme. Trouver la relation entre la vitesse angulaire $\dot \alpha {\rm{ }}$et
l'angle α à tout instant.
Calculer le module de l'accélération de G quand la plaque passe à la position verticale. Application numérique (g = 9,81 S I )

III Mouvement de "vissage".

On revient au montage de la figure 2 ; à partir de la position verticale des câbles, on effectue un mouvement de "vissage " d'axe Gz c'est à dire que le triangle reste à tout moment dans un plan horizontal, le point G se déplaçant sur l'axe Gz vertical fixe et que toute droite liée à (P) tourne d'un même angle .Ce mouvement correspond à une rotation autour d'un axe Gz.
On note A₀ , B₀ ,C₀ ,G₀ les positions initiales des points A, B, C, G ; on note z = 0 le plan d'attache des câbles
(z(G₀) = L); O est la projection de G₀ sur le plan z = 0 et on note θ l'angle (G₀A₀ , GA) compté positivement autour de Oz.
III-1) Ecrire la relation entre z(G) et l'angle θ tradfuisant que les fils ont une longueur constante.
III 2) Ecrire l'énergie cinétique de (P) en fonction de $\dot z{\rm{ et }}\dot \theta {\rm{ }}$et des constantes.
III 3)Ecrire l'équation différentielle du mouvement dans l'hypothèse de petits mouvements et la résoudre.
Application numérique : Calculer la période.