A 94 PHYS. II - P'
ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES,
ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE,
ÉCOLE POLYTECHNIQUE
(OPTION T. A.)
CONCOURS D'ADMISSION 1994
PHYSIQUE
DEUXIÈME ÉPREUVE
OPTION P'
(Durée de l'épreuve : 3 heures)
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
PHYSIQUE II - P’.
L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de l'option P’, comporte 7 pages.
Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être utilisé pour les questions ultérieures, même s'il n'a pas été démontré. Il est loisible aux candidats d’utiliser la notation vectorielle avec flèches : $\vec V$ pour ${\bf{V}}$.
Première partie: Polarisabilité d'un diélectrique en régime sinusoïdal
Le modèle classique le plus simple de diélectrique est celui de "la charge élastiquement liée" ; on y considère le diélectrique comme formé d'une collection de porteurs de charges (ou, succinctement, charges), identiques entre eux, de masse $m$ et liés à leurs positions d'équilibre respectives par la force harmonique ${\bf{F}} = - k\,{\bf{OM}} = - m\omega _0^2\,{\bf{OM}}$ où ${\bf{r}} = {\bf{OM}}$ est le vecteur écart par rapport à la position d'équilibre O. Le terme de "frottement fluide" ${\bf{f}} = - m\eta {\bf{V}} = - m\eta \frac{{d\left( {{\bf{OM}}} \right)}}{{dt}}$ traduira grossièrement ici les diverses sources de perte. On suppose qu'une charge liée, de charge $q$ est soumise au champ électrique sinusoïdal représenté en notation complexe par ${\bf{E}} = {E_0}\left( {\exp j\omega t} \right){{\bf{\hat u}}_{\bf{x}}}$, où ${{\bf{\hat u}}_{\bf{x}}}$ est le vecteur unitaire de la direction x. En régime permanent forcé, l’expression du déplacement de cette charge est ${\bf{r}} = r\left( {\exp j\omega t} \right){{\bf{\hat u}}_{\bf{x}}}$, où $r = r\left( \omega \right)$ est un nombre complexe.
1) Déduire de l’équation différentielle du mouvement l’équation algébrique satisfaite par $r\left( \omega \right)$. Résoudre cette équation en donnant l’expression de $r\left( \omega \right)$.
2) Le moment dipolaire microscopique ${\bf{p}}$ lié à la charge $q$ étant ${\bf{p}} = q{\bf{OM}}$, montrer que ${\bf{p}}$ s'écrit (en notation complexe) : ${\bf{p}} = {\varepsilon _0}\alpha {\bf{E}}$, où $\alpha \left( \omega \right)$est la polarisabilité complexe. Donner l'expression de $\alpha \left( \omega \right)$ en fonction des données et de la pulsation $\omega $ du champ.
3) Rappeler le lien qualitatif entre champ local et champ macroscopique dans un diélectrique.
Le milieu considéré est électriquement neutre et de moment dipolaire permanent nul. On suppose en outre que toutes les autres charges sont immobiles, c’est-à-dire que seules les charges élastiquement liées contribuent à la polarisation du milieu.
4) On note ${N_0}$ le nombre de charges liées par unité de volume et $\bf{P} = \sum\limits_{{\text{charges liées }} i} {q\bf{r}_i} = {\varepsilon _0}\chi \bf{E}$ le vecteur polarisation (macroscopique) du milieu, ce qui définit la susceptibilité complexe $\chi $. Montrer que $\chi = {N_0}\alpha $ et en déduire l’expression de la permittivité diélectrique relative ${\varepsilon _r} = {\varepsilon _r}\left( \omega \right)$ :
$\left( A \right)\quad \quad {\varepsilon _r}\left( \omega \right) = 1 + \frac{{{N_0}{q^2}}}{{m{\varepsilon _0}}}\frac{1}{{\omega _0^2 - {\omega ^2} + j\eta \omega }}$.
5) Considérations numériques : on veut comparer la polarisation induite dans un matériau par un champ électrique (expérimentalement accessible !) à la polarisation permanente dans un matériau polaire. Laquelle de ces deux polarisations est la plus élevée ? Voici quelques indications : La polarisabilité du carbone à très basse fréquence est ${\alpha _c} = {1,7.10^{ - 40}}$SI. Préciser cette unité. Celle de l’hydrogène est ${\alpha _H} = {0,7.10^{ - 40}}$SI. Commenter le fait que la polarisabilité de CH4 soit ${\alpha _{C{H_4}}} = {2,9.10^{ - 40}}$SI. Le moment dipolaire des molécules d’un matériau spontanément polarisé a pour valeur typique $p = {6.10^{ - 30}}\;C.m$. Est-il légitime de supposer que, dans des conditions standard de température, tous les moments dipolaires pointent dans la même direction (à la température ambiante, l’énergie thermique ${k_B}T$ vaut environ $4 \times {10^{ - 21}}J$) ?
Deuxième partie : rayonnement d'une plaque mince diélectrique
On considère (fig.1) une plaque diélectrique, infinie, homogène, occupant le plan Oxy et d'épaisseur $\Delta z$ très faible devant la longueur d'onde $\lambda $dans le vide du rayonnement en présence. Cette plaque étant placée dans le vide de matière, des sources éloignées envoient sur elle une onde électromagnétique plane progressive sinusoïdale, de vecteur d'onde ${\bf{k}} = k{{\bf{\hat u}}_{\bf{z}}} = \frac{\omega }{c}{{\bf{\hat u}}_{\bf{z}}} = \frac{{2\pi }}{\lambda }{{\bf{\hat u}}_{\bf{z}}}$, ($c$ est la célérité de la lumière) et de vecteur champ électrique ${{\bf{E}}_{0i}} = {E_{0i}}{{\bf{\hat u}}_{\bf{x}}}\exp j\left( {\omega t - kz} \right)$. La polarisabilité complexe et la susceptibilité de la plaque sont celles du milieu étudié dans la première partie. Sous l'effet du champ électrique ${\bf{E}_{0i}}$ de l'onde incidente, le milieu va donc acquérir une polarisation macroscopique ${\bf{P}}\left( t \right)$
sinusoïdale, résultant des dipôles microscopiques $\bf{p} = {\bf{p}_\bf{0}}\exp \left( {j\omega t} \right)$ . Les dipôles oscillants ainsi créés vont à leur tour rayonner eux-mêmes un champ. On veut déterminer ce champ.
6) On s'intéresse dans un premier temps au champ rayonné dans la région $z > 0$. Montrer, en utilisant des considérations de symétrie, que le champ rayonné “à droite” s'écrit : ${\bf{E}} = {E_x}{{\bf{\hat u}}_{\bf{x}}}$.
On rappelle que le champ électrique rayonné par un dipôle $\bf{p} = {\bf{p}_\bf{0}}\exp \left( {j\omega t} \right)$à une distance $r$ et dansune direction $\theta $ (fig. 2) s'écrit, dans la zone de rayonnement $\left( {r > > \lambda } \right)$ :
$\left( B \right)\quad \quad {\bf{E}}\left( {\bf{M}} \right) = \frac{{{\mu _0}}}{{4\pi }}\left( { - {\omega ^2}} \right){p_0}\frac{{\exp j\left( {\omega t - kr} \right)}}{r}\left( {\sin \theta } \right){{\bf{\hat u}}_\theta }$.
fig. 1 : Plaque mince diélectrique dans le plan Oxy. fig. 2 : Notations pour le champ dipolaire.
Pour éviter dans ce qui suit des problèmes de convergence ou de discontinuités, on suppose que la densité particulaire $N$, égale ici à la densité dipolaire, n'est pas strictement uniforme : elle est constante, égale à ${N_0}$, pour tous les points Q dans une très grande région autour d’un point O du plan choisi pour origine, puis elle tend vers zéro très lentement à l'infini, avec une symétrie circulaire, de façon à assurer la convergence de toutes les intégrales rencontrées (fig. 3).
Fig. 3 : Allure possible de la fonction $N$(ρ). fig. 4 : Notations pour le champ rayonné “à droite” par L’axe des ρ est discontinu. un dipôle du milieu, situé au point Q.
7) En utilisant les variables $s = QM$ et $\varphi = \left( {{{{\bf{\hat u}}}_{\bf{x}}},{\bf{OQ}}} \right)$ de la figure 4 et en notant ${\left[ {{{{\bf{\hat u}}}_\theta }} \right]_x}$ la projection sur Ox du vecteur ${{\bf{\hat u}}_\theta }$, montrer que le champ ${\bf{E}}$ en un point $M$ de l’axe Oz s'écrit :
$\left( C \right)\quad \quad {\bf{E}}\left( M \right) = \frac{{{\mu _0}}}{{4\pi }}\left( { - {\omega ^2}} \right){p_0}\left( {\Delta z} \right)\left( {\exp j\omega t} \right)\int\limits_0^{2\pi } {d\varphi } \int\limits_z^\infty {N\left( s \right)\left( {\sin \theta } \right){{\left[ {{{{\bf{\hat u}}}_\theta }} \right]}_x}\left( {\exp - jks} \right)ds} .$
8) On admet que la grandeur $N\left( s \right)\left( {\sin \theta } \right){\left[ {{{{\bf{\hat u}}}_\theta }} \right]_x}$de la relation$\left( C \right)$ varie très lentement sur une longueur d'onde et plus précisément que $\left| {\frac{d}{{ds}}\left\{ {N\left( s \right)\left( {\sin \theta } \right){{\left[ {{{{\bf{\hat u}}}_\theta }} \right]}_x}} \right\}} \right| < < \left| {\frac{{N\left( s \right)\left( {\sin \theta } \right){{\left[ {{{{\bf{\hat u}}}_\theta }} \right]}_x}}}{\lambda }} \right|$.
En utilisant une intégration par parties, montrer alors que le champ électrique rayonné en $z > 0$ s'écrit :
$\left( D \right)\quad \quad {E_x} = - \frac{1}{2}\left( {j\omega } \right)\left( {{\mu _0}c} \right)\left( {{N_0}{p_0}\Delta z} \right)\exp j\left( {\omega t - kz} \right)$.
9) Déduire de la relation $\left( D \right)$ l'expression du champ électrique rayonné pour $z < 0$.
10) Exprimer alors ${{\bf{p}}_0}$ en fonction de ${{\bf{E}}_{{\bf{0i}}}} = {E_{0i}}{{\bf{\hat u}}_{\bf{x}}}$ et de $\alpha \left( {j\omega } \right)$. En déduire que le champ électrique rayonné s'écrit :
$\begin{array}{l}\left( E \right)\quad \quad \left\{ \begin{array}{l}z > 0\,:\quad {E_x} = - \frac{1}{2}\left( {jk} \right)\left( {{N_0}\alpha \Delta z} \right){E_{0i}}\exp j\left( {\omega t - kz} \right),\\z < 0\,:\quad {E_x} = - \frac{1}{2}\left( {jk} \right)\left( {{N_0}\alpha \Delta z} \right){E_{0i}}\exp j\left( {\omega t + kz} \right).\end{array} \right.\\\end{array}$
11) Quelle est la nature de l'onde électromagnétique ainsi rayonnée ?
Troisième partie: propagation dans un diélectrique
On considère maintenant une onde électromagnétique sinusoïdale plane progressive de direction Oz qui arrive sur une plaque diélectrique infinie occupant le demi-espace $z > 0$. Le champ électrique de l'onde incidente s'écrivant encore ${{\bf{E}}_{0i}} = {E_{0i}}{{\bf{\hat u}}_{\bf{x}}}\exp j\left( {\omega t - kz} \right)$, on cherche à exprimer le champ à l'intérieur du milieu sous la forme ${\bf{E}} = {E_x}\left( z \right)\left( {\exp j\omega t} \right){{\bf{\hat u}}_{\bf{x}}}$. On rappelle les équations locales du champ électromagnétique appliquées à une onde plane de vecteur d’onde ${\bf{K}}$ :
${\bf{rotE}} = - j{\bf{K}} \wedge {\bf{E}} = - \frac{{\partial {\bf{B}}}}{{\partial t}} = - j\omega {\bf{B}}$ et ${\bf{rotB}} = - j{\bf{K}} \wedge {\bf{B}} = {\mu _0}\frac{{\partial {\bf{D}}}}{{\partial t}} = j\omega {\bf{D}} = j\omega {\varepsilon _0}{\mu _0}\left[ {1 + \chi \left( \omega \right)} \right]{\bf{E}}$,
d’où l’on déduit immédiatement la “relation de dispersion” : ${K^2} = \left( {1 + \chi } \right)\frac{{{\omega ^2}}}{{{c^2}}} = \left( {1 + \chi } \right){k^2}$. Nous montrons dans cette partie comment le modèle microscopique introduit dans les parties précédentes permet de retrouver et d’interpréter ce résultat classique. On supposera dans ce qui suit que les relations établies précédemment pour la zone de rayonnement $\left( {r > > \lambda } \right)$ sont en fait applicables partout. Il se trouve que cette manière de procéder est admissible ici.
12) Utilisant le fait qu’en un point d’abscisse $z$ positive (fig. 5), le champ total est la somme du champ incident et du champ rayonné par les différentes lames élémentaires d'épaisseur $dz'$à la cote $z'$, à droite et à gauche du point de cote $z$, établir que le champ${E_x}\left( z \right)$ vérifie l'équation intégrale :
${E_x}\left( z \right) = {E_{0i}}\left( {\exp - jkz} \right) - \left( {E_x^ + \left( z \right) + E_x^ - \left( z \right)} \right)$, où
$\begin{array}{c}E_x^ + \left( z \right) = \frac{1}{2}\left( {jk} \right)\left( {{N_0}\alpha } \right)\left( {\exp jkz} \right)\int\limits_z^\infty {{E_x}\left( {z'} \right)\left( {\exp - jkz'} \right)dz'} \\E_x^ - \left( z \right) = \frac{1}{2}\left( {jk} \right)\left( {{N_0}\alpha } \right)\left( {\exp - jkz} \right)\int\limits_0^z {{E_x}\left( {z'} \right)\left( {\exp jkz'} \right)dz'} .\end{array}$
fig. 5 : Décomposition du diélectrique en couches élémentaires.
13) On teste sur l’équation intégrale de la question 12) la solution ${E_x}\left( z \right) = C\exp - j\tilde \beta z$, où $\tilde \beta $ est un nombre complexe. On pose aussi $\tilde \beta = \tilde nk$, ce qui définit l’indice complexe $\tilde n = n - jq$. Quel est le sens physique des réels $n$ et $q$? Quel doit être le signe de la partie imaginaire de $\tilde \beta $ ? Exprimer ${\tilde n^2}$en fonction de la susceptibilité $\chi = {N_0}\alpha $.
14) En insérant la solution physiquement acceptable dans l'équation intégrale de la question 12), montrer que la valeur de la constante adéquate $C$ est : $C = \frac{{2{E_{0i}}}}{{\tilde n + 1}}$.
15) En sommant les champs rayonnés dans la région $z < 0$ par toutes les lames minces d'épaisseur $dz'$, montrer que l'expression du champ électrique réfléchi par le diélectrique se met sous la forme : ${{\bf{E}}_{\bf{r}}} = \tilde r{E_{0i}}{{\bf{\hat u}}_{\bf{x}}}\exp j\left( {\omega t + kz} \right)$, où $\tilde r = - \frac{{\tilde n - 1}}{{\tilde n + 1}}$ est le coefficient de réflexion en amplitude.
16) Montrer que, si le coefficient de frottement $\eta $ est nul, tout se passe comme si le champ total se propageait à la vitesse de phase $\frac{c}{n}$. Cela est-il vrai quelle que soit la pulsation ω ?
Quatrième partie: diffraction par un écran opaque
On considère un écran mince d’épaisseur $\Delta z$ infini suivant Oxy, situé en z = 0, formé d'un matériau diélectrique totalement opaque à la pulsation $\omega $ et on admet que le champ électromagnétique rayonné par cet écran est assimilable à celui qui a été calculé dans la deuxième partie de ce problème. Dans toute cette quatrième partie, le coefficient de frottement $\eta $ sera, pour la commodité du calcul, supposé nul.
17) En utilisant le fait que l'écran est totalement opaque, montrer que le vecteur polarisation $\bf{P} = {\bf{P}_\bf{0}}\exp \left( {j\omega t} \right)$ vérifie la relation: ${\bf{E}_{\bf{0i}}} = \frac{1}{2}\left( {j\omega } \right)\left( {{\mu _0}c} \right){\bf{P}_\bf{0}}\Delta z$.
On ôte de la plaque précédente un "bouchon" diélectrique de forme quelconque (fig. 6). On obtient ainsi un écran percé d'une ouverture de forme quelconque, supposée cependant de dimension caractéristique grande devant la longueur d'onde. De ce fait, on supposera que la distribution de polarisation sur la plaque percée est pratiquement la même que celle de la plaque infinie. On cherche le champ électromagnétique à droite de la plaque percée, c'est à dire le champ diffracté par l'ouverture.
fig. 6 : Diffraction par une ouverture dans fig. 7 : Notations pour la diffraction à l’infini.
une plaque diélectrique infinie. (Dimension de l’ouverture exagérée)
18) Montrer que le champ rayonné par la plaque percée d'un trou est identique, au signe près, au champ qui serait rayonné par le "bouchon" de diélectrique tout seul avec une distribution de polarisation identique à celle de la plaque infinie.
19) Soient O un point "moyen" sur l'ouverture Σ et M un point en avant de l'ouverture, éloigné et situé de telle manière que l'angle entre OM et la normale au plan reste très faible (fig. 7). Les notations étant celles de la figure 7, montrer que le champ électrique rayonné en avant de la plaque s'écrit :
$\left( F \right)\quad \quad {{\mathbf{E}}_{\mathbf{rayonn\acute{e}}}}=-\frac{jk}{2\pi }{{E}_{0i}}{{\mathbf{\hat{u}}}_{\theta }}$
20) Comparer l’expression du champ rayonné -relation $\left( F \right)$- à celle résultant de l’application du principe d’Huygens-Fresnel. En particulier quelle phase l'expression $\left( F \right)$ conduit-elle à attribuer aux ondes élémentaires qui interviennent dans le principe d’Huygens-Fresnel ?
On souhaite appliquer la relation $\left( F \right)$ au cas où l’ouverture est rectangulaire de côtés a et b et de centre O (fig. 8). L'écran d'observation est un plan parallèle à l’ouverture situé à la distance D de O.
fig. 8 : Diffraction à l’infini par une ouverture rectangulaire centrée.
21) Montrer que, dans le cadre de la diffraction à l'infini (et toujours dans le cas des angles petits), la relation $\left( F \right)$peut s'écrire :
$\left( G \right)\quad \quad {{\mathbf{E}}_{\mathbf{rayonn\acute{e}}}}\approx \frac{jk}{2\pi }{{E}_{0i}}{{\mathbf{\hat{u}}}_{x}}\left( \frac{\exp j\left( \omega t-kD \right)}{D} \right)\iint_{\left( \Sigma \right)}{\left( \exp jk{{{\mathbf{\hat{u}}}}_{\mathbf{d}}}.\mathbf{OQ} \right)dS\left( Q \right)}$
22) Toujours dans le cas de l'ouverture rectangulaire de la figure 8, calculer ${\bf{E}}$ en un point M de l'écran d'observation de coordonnées ${X_m}$ et ${Y_m}$.
23) Décrire rapidement la distribution de l’intensité lumineuse$I = \left( {{\rm{une constante}}} \right)EE*$ sur l'écran. En particulier, expliquer qualitativement pourquoi, pour une fente donnée, l'intensité lumineuse au centre diminue quand la longueur d'onde augmente.
ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES,
ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE,
ÉCOLE POLYTECHNIQUE
(OPTION T. A.)
CONCOURS D'ADMISSION 1994
PHYSIQUE
DEUXIÈME ÉPREUVE
OPTION P'
(Durée de l'épreuve : 3 heures)
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
PHYSIQUE II - P’.
L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de l'option P’, comporte 7 pages.
Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être utilisé pour les questions ultérieures, même s'il n'a pas été démontré. Il est loisible aux candidats d’utiliser la notation vectorielle avec flèches : $\vec V$ pour ${\bf{V}}$.
Première partie: Polarisabilité d'un diélectrique en régime sinusoïdal
Le modèle classique le plus simple de diélectrique est celui de "la charge élastiquement liée" ; on y considère le diélectrique comme formé d'une collection de porteurs de charges (ou, succinctement, charges), identiques entre eux, de masse $m$ et liés à leurs positions d'équilibre respectives par la force harmonique ${\bf{F}} = - k\,{\bf{OM}} = - m\omega _0^2\,{\bf{OM}}$ où ${\bf{r}} = {\bf{OM}}$ est le vecteur écart par rapport à la position d'équilibre O. Le terme de "frottement fluide" ${\bf{f}} = - m\eta {\bf{V}} = - m\eta \frac{{d\left( {{\bf{OM}}} \right)}}{{dt}}$ traduira grossièrement ici les diverses sources de perte. On suppose qu'une charge liée, de charge $q$ est soumise au champ électrique sinusoïdal représenté en notation complexe par ${\bf{E}} = {E_0}\left( {\exp j\omega t} \right){{\bf{\hat u}}_{\bf{x}}}$, où ${{\bf{\hat u}}_{\bf{x}}}$ est le vecteur unitaire de la direction x. En régime permanent forcé, l’expression du déplacement de cette charge est ${\bf{r}} = r\left( {\exp j\omega t} \right){{\bf{\hat u}}_{\bf{x}}}$, où $r = r\left( \omega \right)$ est un nombre complexe.
1) Déduire de l’équation différentielle du mouvement l’équation algébrique satisfaite par $r\left( \omega \right)$. Résoudre cette équation en donnant l’expression de $r\left( \omega \right)$.
3) Rappeler le lien qualitatif entre champ local et champ macroscopique dans un diélectrique.
Le milieu considéré est électriquement neutre et de moment dipolaire permanent nul. On suppose en outre que toutes les autres charges sont immobiles, c’est-à-dire que seules les charges élastiquement liées contribuent à la polarisation du milieu.
4) On note ${N_0}$ le nombre de charges liées par unité de volume et $\bf{P} = \sum\limits_{{\text{charges liées }} i} {q\bf{r}_i} = {\varepsilon _0}\chi \bf{E}$ le vecteur polarisation (macroscopique) du milieu, ce qui définit la susceptibilité complexe $\chi $. Montrer que $\chi = {N_0}\alpha $ et en déduire l’expression de la permittivité diélectrique relative ${\varepsilon _r} = {\varepsilon _r}\left( \omega \right)$ :
$\left( A \right)\quad \quad {\varepsilon _r}\left( \omega \right) = 1 + \frac{{{N_0}{q^2}}}{{m{\varepsilon _0}}}\frac{1}{{\omega _0^2 - {\omega ^2} + j\eta \omega }}$.
5) Considérations numériques : on veut comparer la polarisation induite dans un matériau par un champ électrique (expérimentalement accessible !) à la polarisation permanente dans un matériau polaire. Laquelle de ces deux polarisations est la plus élevée ? Voici quelques indications : La polarisabilité du carbone à très basse fréquence est ${\alpha _c} = {1,7.10^{ - 40}}$SI. Préciser cette unité. Celle de l’hydrogène est ${\alpha _H} = {0,7.10^{ - 40}}$SI. Commenter le fait que la polarisabilité de CH4 soit ${\alpha _{C{H_4}}} = {2,9.10^{ - 40}}$SI. Le moment dipolaire des molécules d’un matériau spontanément polarisé a pour valeur typique $p = {6.10^{ - 30}}\;C.m$. Est-il légitime de supposer que, dans des conditions standard de température, tous les moments dipolaires pointent dans la même direction (à la température ambiante, l’énergie thermique ${k_B}T$ vaut environ $4 \times {10^{ - 21}}J$) ?
On considère (fig.1) une plaque diélectrique, infinie, homogène, occupant le plan Oxy et d'épaisseur $\Delta z$ très faible devant la longueur d'onde $\lambda $dans le vide du rayonnement en présence. Cette plaque étant placée dans le vide de matière, des sources éloignées envoient sur elle une onde électromagnétique plane progressive sinusoïdale, de vecteur d'onde ${\bf{k}} = k{{\bf{\hat u}}_{\bf{z}}} = \frac{\omega }{c}{{\bf{\hat u}}_{\bf{z}}} = \frac{{2\pi }}{\lambda }{{\bf{\hat u}}_{\bf{z}}}$, ($c$ est la célérité de la lumière) et de vecteur champ électrique ${{\bf{E}}_{0i}} = {E_{0i}}{{\bf{\hat u}}_{\bf{x}}}\exp j\left( {\omega t - kz} \right)$. La polarisabilité complexe et la susceptibilité de la plaque sont celles du milieu étudié dans la première partie. Sous l'effet du champ électrique ${\bf{E}_{0i}}$ de l'onde incidente, le milieu va donc acquérir une polarisation macroscopique ${\bf{P}}\left( t \right)$
sinusoïdale, résultant des dipôles microscopiques $\bf{p} = {\bf{p}_\bf{0}}\exp \left( {j\omega t} \right)$ . Les dipôles oscillants ainsi créés vont à leur tour rayonner eux-mêmes un champ. On veut déterminer ce champ.
6) On s'intéresse dans un premier temps au champ rayonné dans la région $z > 0$. Montrer, en utilisant des considérations de symétrie, que le champ rayonné “à droite” s'écrit : ${\bf{E}} = {E_x}{{\bf{\hat u}}_{\bf{x}}}$.
On rappelle que le champ électrique rayonné par un dipôle $\bf{p} = {\bf{p}_\bf{0}}\exp \left( {j\omega t} \right)$à une distance $r$ et dansune direction $\theta $ (fig. 2) s'écrit, dans la zone de rayonnement $\left( {r > > \lambda } \right)$ :
$\left( B \right)\quad \quad {\bf{E}}\left( {\bf{M}} \right) = \frac{{{\mu _0}}}{{4\pi }}\left( { - {\omega ^2}} \right){p_0}\frac{{\exp j\left( {\omega t - kr} \right)}}{r}\left( {\sin \theta } \right){{\bf{\hat u}}_\theta }$.
Pour éviter dans ce qui suit des problèmes de convergence ou de discontinuités, on suppose que la densité particulaire $N$, égale ici à la densité dipolaire, n'est pas strictement uniforme : elle est constante, égale à ${N_0}$, pour tous les points Q dans une très grande région autour d’un point O du plan choisi pour origine, puis elle tend vers zéro très lentement à l'infini, avec une symétrie circulaire, de façon à assurer la convergence de toutes les intégrales rencontrées (fig. 3).
7) En utilisant les variables $s = QM$ et $\varphi = \left( {{{{\bf{\hat u}}}_{\bf{x}}},{\bf{OQ}}} \right)$ de la figure 4 et en notant ${\left[ {{{{\bf{\hat u}}}_\theta }} \right]_x}$ la projection sur Ox du vecteur ${{\bf{\hat u}}_\theta }$, montrer que le champ ${\bf{E}}$ en un point $M$ de l’axe Oz s'écrit :
$\left( C \right)\quad \quad {\bf{E}}\left( M \right) = \frac{{{\mu _0}}}{{4\pi }}\left( { - {\omega ^2}} \right){p_0}\left( {\Delta z} \right)\left( {\exp j\omega t} \right)\int\limits_0^{2\pi } {d\varphi } \int\limits_z^\infty {N\left( s \right)\left( {\sin \theta } \right){{\left[ {{{{\bf{\hat u}}}_\theta }} \right]}_x}\left( {\exp - jks} \right)ds} .$
En utilisant une intégration par parties, montrer alors que le champ électrique rayonné en $z > 0$ s'écrit :
$\left( D \right)\quad \quad {E_x} = - \frac{1}{2}\left( {j\omega } \right)\left( {{\mu _0}c} \right)\left( {{N_0}{p_0}\Delta z} \right)\exp j\left( {\omega t - kz} \right)$.
9) Déduire de la relation $\left( D \right)$ l'expression du champ électrique rayonné pour $z < 0$.
10) Exprimer alors ${{\bf{p}}_0}$ en fonction de ${{\bf{E}}_{{\bf{0i}}}} = {E_{0i}}{{\bf{\hat u}}_{\bf{x}}}$ et de $\alpha \left( {j\omega } \right)$. En déduire que le champ électrique rayonné s'écrit :
$\begin{array}{l}\left( E \right)\quad \quad \left\{ \begin{array}{l}z > 0\,:\quad {E_x} = - \frac{1}{2}\left( {jk} \right)\left( {{N_0}\alpha \Delta z} \right){E_{0i}}\exp j\left( {\omega t - kz} \right),\\z < 0\,:\quad {E_x} = - \frac{1}{2}\left( {jk} \right)\left( {{N_0}\alpha \Delta z} \right){E_{0i}}\exp j\left( {\omega t + kz} \right).\end{array} \right.\\\end{array}$
11) Quelle est la nature de l'onde électromagnétique ainsi rayonnée ?
Troisième partie: propagation dans un diélectrique
On considère maintenant une onde électromagnétique sinusoïdale plane progressive de direction Oz qui arrive sur une plaque diélectrique infinie occupant le demi-espace $z > 0$. Le champ électrique de l'onde incidente s'écrivant encore ${{\bf{E}}_{0i}} = {E_{0i}}{{\bf{\hat u}}_{\bf{x}}}\exp j\left( {\omega t - kz} \right)$, on cherche à exprimer le champ à l'intérieur du milieu sous la forme ${\bf{E}} = {E_x}\left( z \right)\left( {\exp j\omega t} \right){{\bf{\hat u}}_{\bf{x}}}$. On rappelle les équations locales du champ électromagnétique appliquées à une onde plane de vecteur d’onde ${\bf{K}}$ :
${\bf{rotE}} = - j{\bf{K}} \wedge {\bf{E}} = - \frac{{\partial {\bf{B}}}}{{\partial t}} = - j\omega {\bf{B}}$ et ${\bf{rotB}} = - j{\bf{K}} \wedge {\bf{B}} = {\mu _0}\frac{{\partial {\bf{D}}}}{{\partial t}} = j\omega {\bf{D}} = j\omega {\varepsilon _0}{\mu _0}\left[ {1 + \chi \left( \omega \right)} \right]{\bf{E}}$,
d’où l’on déduit immédiatement la “relation de dispersion” : ${K^2} = \left( {1 + \chi } \right)\frac{{{\omega ^2}}}{{{c^2}}} = \left( {1 + \chi } \right){k^2}$. Nous montrons dans cette partie comment le modèle microscopique introduit dans les parties précédentes permet de retrouver et d’interpréter ce résultat classique. On supposera dans ce qui suit que les relations établies précédemment pour la zone de rayonnement $\left( {r > > \lambda } \right)$ sont en fait applicables partout. Il se trouve que cette manière de procéder est admissible ici.
${E_x}\left( z \right) = {E_{0i}}\left( {\exp - jkz} \right) - \left( {E_x^ + \left( z \right) + E_x^ - \left( z \right)} \right)$, où
$\begin{array}{c}E_x^ + \left( z \right) = \frac{1}{2}\left( {jk} \right)\left( {{N_0}\alpha } \right)\left( {\exp jkz} \right)\int\limits_z^\infty {{E_x}\left( {z'} \right)\left( {\exp - jkz'} \right)dz'} \\E_x^ - \left( z \right) = \frac{1}{2}\left( {jk} \right)\left( {{N_0}\alpha } \right)\left( {\exp - jkz} \right)\int\limits_0^z {{E_x}\left( {z'} \right)\left( {\exp jkz'} \right)dz'} .\end{array}$
13) On teste sur l’équation intégrale de la question 12) la solution ${E_x}\left( z \right) = C\exp - j\tilde \beta z$, où $\tilde \beta $ est un nombre complexe. On pose aussi $\tilde \beta = \tilde nk$, ce qui définit l’indice complexe $\tilde n = n - jq$. Quel est le sens physique des réels $n$ et $q$? Quel doit être le signe de la partie imaginaire de $\tilde \beta $ ? Exprimer ${\tilde n^2}$en fonction de la susceptibilité $\chi = {N_0}\alpha $.
14) En insérant la solution physiquement acceptable dans l'équation intégrale de la question 12), montrer que la valeur de la constante adéquate $C$ est : $C = \frac{{2{E_{0i}}}}{{\tilde n + 1}}$.
15) En sommant les champs rayonnés dans la région $z < 0$ par toutes les lames minces d'épaisseur $dz'$, montrer que l'expression du champ électrique réfléchi par le diélectrique se met sous la forme : ${{\bf{E}}_{\bf{r}}} = \tilde r{E_{0i}}{{\bf{\hat u}}_{\bf{x}}}\exp j\left( {\omega t + kz} \right)$, où $\tilde r = - \frac{{\tilde n - 1}}{{\tilde n + 1}}$ est le coefficient de réflexion en amplitude.
16) Montrer que, si le coefficient de frottement $\eta $ est nul, tout se passe comme si le champ total se propageait à la vitesse de phase $\frac{c}{n}$. Cela est-il vrai quelle que soit la pulsation ω ?
On considère un écran mince d’épaisseur $\Delta z$ infini suivant Oxy, situé en z = 0, formé d'un matériau diélectrique totalement opaque à la pulsation $\omega $ et on admet que le champ électromagnétique rayonné par cet écran est assimilable à celui qui a été calculé dans la deuxième partie de ce problème. Dans toute cette quatrième partie, le coefficient de frottement $\eta $ sera, pour la commodité du calcul, supposé nul.
17) En utilisant le fait que l'écran est totalement opaque, montrer que le vecteur polarisation $\bf{P} = {\bf{P}_\bf{0}}\exp \left( {j\omega t} \right)$ vérifie la relation: ${\bf{E}_{\bf{0i}}} = \frac{1}{2}\left( {j\omega } \right)\left( {{\mu _0}c} \right){\bf{P}_\bf{0}}\Delta z$.
On ôte de la plaque précédente un "bouchon" diélectrique de forme quelconque (fig. 6). On obtient ainsi un écran percé d'une ouverture de forme quelconque, supposée cependant de dimension caractéristique grande devant la longueur d'onde. De ce fait, on supposera que la distribution de polarisation sur la plaque percée est pratiquement la même que celle de la plaque infinie. On cherche le champ électromagnétique à droite de la plaque percée, c'est à dire le champ diffracté par l'ouverture.
une plaque diélectrique infinie. (Dimension de l’ouverture exagérée)
18) Montrer que le champ rayonné par la plaque percée d'un trou est identique, au signe près, au champ qui serait rayonné par le "bouchon" de diélectrique tout seul avec une distribution de polarisation identique à celle de la plaque infinie.
19) Soient O un point "moyen" sur l'ouverture Σ et M un point en avant de l'ouverture, éloigné et situé de telle manière que l'angle entre OM et la normale au plan reste très faible (fig. 7). Les notations étant celles de la figure 7, montrer que le champ électrique rayonné en avant de la plaque s'écrit :
$\left( F \right)\quad \quad {{\mathbf{E}}_{\mathbf{rayonn\acute{e}}}}=-\frac{jk}{2\pi }{{E}_{0i}}{{\mathbf{\hat{u}}}_{\theta }}$
20) Comparer l’expression du champ rayonné -relation $\left( F \right)$- à celle résultant de l’application du principe d’Huygens-Fresnel. En particulier quelle phase l'expression $\left( F \right)$ conduit-elle à attribuer aux ondes élémentaires qui interviennent dans le principe d’Huygens-Fresnel ?
On souhaite appliquer la relation $\left( F \right)$ au cas où l’ouverture est rectangulaire de côtés a et b et de centre O (fig. 8). L'écran d'observation est un plan parallèle à l’ouverture situé à la distance D de O.
21) Montrer que, dans le cadre de la diffraction à l'infini (et toujours dans le cas des angles petits), la relation $\left( F \right)$peut s'écrire :
$\left( G \right)\quad \quad {{\mathbf{E}}_{\mathbf{rayonn\acute{e}}}}\approx \frac{jk}{2\pi }{{E}_{0i}}{{\mathbf{\hat{u}}}_{x}}\left( \frac{\exp j\left( \omega t-kD \right)}{D} \right)\iint_{\left( \Sigma \right)}{\left( \exp jk{{{\mathbf{\hat{u}}}}_{\mathbf{d}}}.\mathbf{OQ} \right)dS\left( Q \right)}$
22) Toujours dans le cas de l'ouverture rectangulaire de la figure 8, calculer ${\bf{E}}$ en un point M de l'écran d'observation de coordonnées ${X_m}$ et ${Y_m}$.
23) Décrire rapidement la distribution de l’intensité lumineuse$I = \left( {{\rm{une constante}}} \right)EE*$ sur l'écran. En particulier, expliquer qualitativement pourquoi, pour une fente donnée, l'intensité lumineuse au centre diminue quand la longueur d'onde augmente.
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