Concours Physique I École Polytechnique (MP) 1999 (Corrigé)

Corrigé de Laurent BEAU

Professeur de Sciences Physiques en Math Spé MP*

Lycée Mohamed V. CASABLANCA

N’hésitez pas à me signaler des erreurs ou à me suggérer des commentaires ou des réponses plus "élégantes". Merci.

Collisions nucléaires et fragmentation

Première partie

Analyse cinématique d'une collision

1. Cinématique du problème à deux corps.
   Nous noterons M₁ et M₂ les masses respectives et B₁ et B₂ les positions respectives des noyaux cible (indice 1) et projectile (indice 2)
   
   
   
   1. $\left\{ \begin{array}{l}{{\bf{R}}_G} = \frac{{{M_1}{{\bf{r}}_{\bf{1}}} + {M_2}{{\bf{r}}_{\bf{2}}}}}{{{M_1} + {M_2}}} = \frac{{{A_1}{{\bf{r}}_{\bf{1}}} + {A_2}{{\bf{r}}_{\bf{2}}}}}{{{A_1} + {A_2}}}\\{\bf{r}} = {{\bf{B}}_{\bf{1}}}{{\bf{B}}_{\bf{2}}} = {{\bf{r}}_{\bf{2}}} - {{\bf{r}}_{\bf{1}}}\end{array} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{\bf{r}}_{\bf{1}}} = {{\bf{R}}_{\bf{G}}} - \frac{{{A_2}}}{{{A_1} + {A_2}}}{\bf{r}}\\{{\bf{r}}_2} = {{\bf{R}}_{\bf{G}}} + \frac{{{A_1}}}{{{A_1} + {A_2}}}{\bf{r}}\end{array} \right.$

Concours Physique I École Polytechnique (MP) 1999 (Énoncé)

(Durée: 3 heures)
L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.

Collisions nucléaires et fragmentation

Dans ce problème on considère des collisions entre noyaux atomiques, qui permettent d'étudier les propriétés dynamiques de la matière constituant ces noyaux. On s'intéressera en particulier à la réponse de cette matière à une compression, due au recouvrement des deux noyaux lors de la collision. On rappelle qu'un noyau est constitué de A nucléons (N neutrons non chargés, Z protons portant chacun une charge élémentaire positive e, avec N + Z = A). On assimile le noyau de masse ${M_A} = mA$ à une sphère homogène de rayon $R = {r_0}{A^{1/3}}$et de charge totale Q = Ze (supposée uniformément répartie à l'intérieur de la sphère de rayon R). On admettra que les distributions de charge restent toujours uniformes lors de la collision, et on supposera les deux noyaux initialement infiniment éloignés l'un de l'autre.
Le noyau cible (indice 1) est initialement au repos. On note O l'origine du référentiel du laboratoire par rapport auquel est mesurée E_lab énergie cinétique initiale du noyau projectile (indice 2).
Les ordres de grandeur des énergies mises en jeu dans ce problème justifient l'emploi de la mécanique non-relativiste.
Pour les applications numériques, on utilisera le mégaélectronvolt (1 MeV = 10⁶ eV) et le fentomètre (1 fm = 10^–15 m), bien adaptés aux ordres de grandeur de la physique considérée ici. On donne :
Energie de masse du neutron ou du proton $m{c^2} = {10^3}{\rm{MeV}}$
Constante de couplage électrostatique ${e^2}/4\pi {\varepsilon _0} = 1,44{\rm{ MeV}}{\rm{.fm}}$
Paramètre de rayon ${r_0} = 1,16{\rm{ fm}}$
Paramètre de compressibilité $K = 250{\rm{ MeV}}$

Concours Physique II École Polytechnique (MP) 1999 (Corrigé)

1. Corrigé de Laurent BEAU
   Professeur de Sciences Physiques en Math Spé MP

Lycée Mohamed V. CASABLANCA

N’hésitez pas à me signaler des erreurs ou à me suggérer des commentaires ou des réponses plus "élégantes". Merci.

Quelques aspects de la physique des milieux granulaires

1. Première partie

Hystérésis de frottement

Nous noterons T_r la force exercée par le ressort sur la brique et P la norme du poids de la brique.

1. A l’équilibre : ${{\mathbf{T}}_{\mathbf{r}}}+\mathbf{P}+\mathbf{N}+\mathbf{T}=\vec{0}$
   La position x = 0 correspondant au ressort au repos, T_r s’écrit : ${{\mathbf{T}}_{\mathbf{r}}}=-kx{{\mathbf{e}}_{\mathbf{x}}}$
   1^er cas : θ = 0
   En projection sur Ox : $T-kx=0$
   En projection sur Oy : $N=P$
   La brique est en équilibre si $\left\| {\vec{T}} \right\|\le {{\mu }_{s}}\left\| {\vec{N}} \right\|$ c’est-à-dire :
   $\left| x \right|\le {{\mu }_{s}}\frac{P}{k}$
   2^ème cas : θ = π/2
   En projection sur Ox : $T-kx+P=0$
   En projection sur Oy : $N=0$
   La brique ne peut donc être en équilibre que si T = 0 c’est-à-dire pour :
   $x=\frac{P}{k}$

Concours Physique II École Polytechnique (MP) 1999 (Énoncé)

(Durée: 3 heures)
L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.

Quelques aspects de la physique des milieux granulaires

Un solide granulaire est un matériau composé de particules solides discrètes de taille typique comprise entre 100 et 3 000 μm, et qui restent le plus souvent en contact les unes avec les autres. Cette classe de matériaux comprend les ciments, les sables, les graviers, les granulats, les céréales... On s'intéresse dans ce problème à quelques aspects, statiques et dynamiques, de la physique de ces systèmes qui reste encore assez mal comprise.
La première partie du problème est indépendante des deux suivantes.

Formulaire

L'action du solide B sur le solide A en contact se décompose en une composante normale et une composante tangentielle vérifiant :
$\left\| {\vec{T}} \right\|\le {{\mu }_{s}}\left\| {\vec{N}} \right\|$
en l'absence de glissement entre A et B
$\left\| {\vec T} \right\| = {\mu _d}\left\| {\vec N} \right\|$
lorsqu'il y a glissement de A sur B.
μ_s et μ_d sont appelés coefficients de frottement respectivement statique et dynamique et vérifient l'inégalité :
${{\mu }_{d}}\le {{\mu }_{s}}$.
Première partie

Hystérésis de frottement

Une des difficultés conceptuelles majeures pour la description d'un système comportant du frottement solide est l'impossibilité de prévoir les positions d'équilibre et le bilan des forces à moins de connaître de façon détaillée l'histoire de la mise en équilibre. Le but de cette partie est d'illustrer ce phénomène (dit d'hystérésis) sur un exemple simple.
Une brique parallélépipédique de poids P est en contact avec une paroi solide inclinée d'un angle θ par rapport au plan horizontal et est reliée à un ressort de raideur k (figure 1). Soit μ_s le coefficient de frottement statique; on supposera pour simplifier que le coefficient de frottement dynamique μ_d est nul et qu'un frottement visqueux permet l'arrêt du mouvement. On note x la déformation du ressort (x = 0 correspond au ressort détendu). On cherche à déterminer cette déformation x à l'équilibre en fonction de l'angle θ.

Figure 1

1. Donner les plages de valeurs possibles de x à l'équilibre dans les deux cas extrêmes : θ = 0 et θ = π/2.

Concours Physique École Polytechnique (PC) 1999 (Corrigé)

Principe et mise en œuvre des pincettes optiques
Première partie: Préliminaires
1. a) L’énergie potentielle d’un dipôle rigide $\vec p$ dans un champ extérieur $B$ est ${{E}_{p}}=-\vec{p}.\vec{B}.$
b) La force qui s’exerce sur le dipôle est
$\vec{F}=\overrightarrow{grad}({{p}_{x}}{{E}_{x}}+{{p}_{y}}{{E}_{y}}+pE)$
soit, en explicitant la composante ${{F}_{x}}$ :
${{F}_{x}}={{p}_{x}}\frac{\partial {{E}_{x}}}{\partial x}+{{p}_{y}}\frac{\partial {{E}_{y}}}{\partial x}+{{p}_{z}}\frac{\partial {{E}_{z}}}{\partial x}.$
c) En admettant que l’expression précédente de ${{F}_{x}}$ reste valable pour un dipôle induit, on obtient
${{F}_{x}}={{\varepsilon }_{0}}\alpha ({{E}_{x}}\frac{\partial {{E}_{x}}}{\partial x}+{{E}_{y}}\frac{\partial {{E}_{y}}}{\partial x}+{{E}_{z}}\frac{\partial {{E}_{z}}}{\partial x})=\frac{1}{2}{{\varepsilon }_{0}}\alpha \frac{\partial ({{E}^{2}})}{\partial x}.$
En procédant de même pour les deux autres composantes, on obtient
${{F}_{x}}=\frac{1}{2}{{\varepsilon }_{0}}\alpha \overrightarrow{grad}({{E}^{2}}).$

Concours Physique École Polytechnique (PC) 1999 (Énoncé)

ÉCOLE POLYTECHNIQUE

ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET CHIMIE INDUSTRIELLES

CONCOURS D’ADMISSION 1999 FILIÈRE PC

PREMIÈRE COMPOSITION DE PHYSIQUE

(Durée: 3 heures)

L’utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.
$\star \star \star$
Principe et mise en œuvre des pincettes optiques
L’objet du problème est l’étude des pincettes optiques. Dans ce dispositif, un faisceau lumineux issu d’un laser est focalisé l’aide d’un objectif de microscope sur un petit objet diélectrique. La non-uniformité de l’intensité lumineuse permet dans certaines conditions de piéger l’objet au voisinage du point de convergence du faisceau. Cette technique, développée vers 1970, a trouvé récemment un nouveau champ d’application dans la manipulation de cellules in vitro.
Après un bref préliminaire (première partie), la seconde partie concerne le piégeage d’objets dont la dimension $a$ est petite devant la longueur d’onde $\lambda$ du rayonnement (régime de Rayleigh). La troisième partie est consacrée à la situation inverse $\lambda \ll a$; dans ce cas, il est légitime de traiter le faisceau lumineux dans le cadre de l’optique géométrique. Dans la quatrième partie est abordé le problème du calibrage d’un dispositif à pincettes optiques, conçu pour déterminer les propriétés élastiques de globules rouges.
Les trois premières parties sont largement indépendantes.
Dans tout le problème, $<A>$ désigne la valeur moyenne temporelle de la grandeur $A$. On notera $A$ la norme $\|\vec{A}\|$ du vecteur $\vec A.$

Données numériques
Les indices sont donnés pour un rayonnement situé dans le proche infrarouge $(\lambda \sim 1\mu m)$ .
Célérité de la lumière $c=3,00\times {{10}^{8}}m{{s}^{-1}}$
Indice de l’eau ${{n}_{e}}=1,33$
Indice de la silice fondue ${{n}_{s}}=1,45$
Masse volumique de la silice fondue ${{\rho }_{s}}=2,21\times {{10}^{3}}$ kg ${{m}^{-3}}$
Permittivité du vide ${{\mu }_{0}}=4\pi \times {{10}^{-7}}$ SI
Viscosité dynamique de l’eau $\eta =9,00\times {{10}^{-4}}$ kg ${{m}^{-1}}{{s}^{-1}}$ Taille caractéristique d’un globule rouge $8 \mu m$
Formulaire
$\underset{0}{\overset{\pi }{\mathop \int }}\,\text{si}{{\text{n}}^{3}}\theta d\theta =\frac{4}{3}$
$\vec{a}\wedge (\vec{b}\wedge \vec{c})=(\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{a}\cdot \vec{b})\vec{c}$
Première partie Préliminaires
1. a) Donner l’expression de l’énergie potentielle d’un dipôle électrique rigide $\vec{p}$dans un champ électrostatique extérieur $\vec{E}.$
b) En déduire l’expression de la force $\vec{F}$ qui s’exerce sur le dipôle lorsqu’il est placé dans un champ $\vec{E}$ non‐uniforme. On explicitera l’une des composantes, ${{F}_{x}}$ par exemple.
c) Le dipôle est induit par le champ $\vec{E}$ et est donné par $\vec{p}={{\varepsilon }_{0}}\alpha \vec{E}$ où $\alpha$, la polarisabilité, est une constante caractéristique du système dipolaire. Montrer que la force $F$ est donnée par :
$\vec{F}=\frac{1}{2}{{\varepsilon }_{0}}\alpha \overrightarrow{grad}({{E}^{2}})$
Dans toute la suite, on admettra que, pour un champ $\vec{E}$ variable et périodique, cette expression est valable en moyenne temporelle:
$\left\langle {\vec{F}} \right\rangle =\frac{1}{2}{{\varepsilon }_{0}}\alpha \overrightarrow{grad}\left( \left\langle {{E}^{2}} \right\rangle \right)$
où $\alpha$ est la polarisabilité dynamique, supposée réelle.