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Concours Physique I École Polytechnique (MP) 1999 (Corrigé)

Corrigé de Laurent BEAU
Professeur de Sciences Physiques en Math Spé MP*

Lycée Mohamed V. CASABLANCA

N’hésitez pas à me signaler des erreurs ou à me suggérer des commentaires ou des réponses plus "élégantes". Merci.

Collisions nucléaires et fragmentation

Première partie

Analyse cinématique d'une collision

  1. Cinématique du problème à deux corps.
    Nous noterons M1 et M2 les masses respectives et B1 et B2 les positions respectives des noyaux cible (indice 1) et projectile (indice 2)

    1. {RG=M1r1+M2r2M1+M2=A1r1+A2r2A1+A2r=B1B2=r2r1 {r1=RGA2A1+A2rr2=RG+A1A1+A2r
    2. D’après sa définition, la quantité de mouvement relative des deux noyaux s’écrit : p=A1A2A1+A2m(v2v1)soit, en introduisant la masse réduite µ du système : μ=A1A2A1+A2m, on obtient :p=μ(v2v1)On remarque que p ne dépend pas du référentiel dans lequel elle est calculée. En particulier : p=p.
    3. La quantité de mouvement totale du système s’écrit : P=p1+p2 Le moment cinétique total du système par rapport à O est défini par : L=r1p1+r2p2
      Dans le référentiel barycentrique : =L=r1p1+r2p2
      Dans le référentiel barycentrique : P=0 donc p=p=p2=p1. On en déduit : =rp
      En utilisant la composition des vitesses : p1=p1+M1vG et p2=p2+M1vG. Il vient alors :
      L=+(M1r1+M2r2)vG
      ou encore L=+RGP
      résultat qui constitue le théorème de Kœnig relatif au moment cinétique.
  2. Energie cinétique
    L’énergie cinétique totale Ec s’écrit dans le référentiel du laboratoire : Ec=p122M1+p222M2 qui s’écrit en composant les vitesses : Ec=Ec+Ec(G)Ec(G)=P22m(A1+A2) car P=0.
    Ceci constitue le théorème de Kœnig relatif à l’énergie cinétique.
  3. Energie potentielle d'interaction coulombienne.
    1. Considérons une sphère uniformément chargée en volume. Le champ électrostatique E(M) créé par cette distribution de charge en M est radial car tout plan passant par M et par le centre de la sphère est un plan de symétrie.
      De plus, la norme de ce champ ne dépend que de r (en coordonnées sphériques) car la distribution est invariante par rotation autour du centre de la sphère. On en déduit : E(M)=E(r)er.
      Le flux de ce champ à travers une sphère de rayon r vaut donc : E(M)dS=E(r)4πr2
      La charge intérieure à cette sphère vaut : {Qint=Qsir>RQint=Q(rR)3sir<R
      Le théorème de Gauss s’écrivant : E(M)dS=Qintε0, on en tire :
      {E=Q4πε0r2ersir>RE=Q4πε0rR3ersir<R
      On en déduit alors le potentiel électrostatique : dV=E.dl=E(r)dr
      En prenant V = 0 à l’infini , il vient :
      {V=Q4πε0rsir>RV=Q4πε0r22R3+V(0)sir<R
      La distribution de charge étant uniforme, le potentiel au centre de la sphère se calcule simplement :V(O)=sph ˊe recharg ˊe eQ43πR3dτ4πε0r avec dτ=4πr2dr
      V(O)=38Qπε0R
      Il vient alors :
      {V=Q4πε0rsir>RV=3Q8πε0R(113(rR)2)sir<R
    2. L’énergie d’interaction électrostatique Eel s’écrit alors Eel=Q1V2(r>R)=Q2V1(r>R), c’est-à-dire : Eel=Z1Z2e24πε0r

      Deuxième partie

Collision et évolution du système composite

  1. Energie du système avant le contact.
    1. L’énergie totale du système s’écrit :
      E=Ec+Ec(G)+Eel+Ub
    2. Le système des deux noyaux étant isolé, sa quantité de mouvement est constante au cours du mouvement. Le centre de masse a donc un mouvement rectiligne et uniforme.
    3. L’énergie cinétique du centre de masse s’écrit : Ec(G)=P22m(A1+A2)=P24mA=cte car A1 = A2 = A
      Cette énergie cinétique étant constante, calculons-la à l’instant initial :
      Ec(G)=(p1(0))24mA=Elab2
      La moitié de l’énergie cinétique initiale du noyau projectile correspond à l’énergie cinétique du centre de masse du système.
    4. Le système est isolé donc sa quantité de mouvement et son moment cinétique sont conservées. Dans le référentiel barycentrique, le moment cinétique du système est : =rp. En définissant le mobile équivalent (ou mobile fictif) M par un mobile de masse µ et de position GM=r, le moment cinétique du mobile fictif est également =rp.
      Si ce moment cinétique est nul à l’instant initial (paramètre d’impact nul) alors le mouvement du mobile équivalent dans le référentiel barycentrique est rectiligne.
      Si ce moment cinétique est non nul alors le mouvement est plan, dans le plan perpendiculaire à .
    5. Calculons l’énergie cinétique barycentrique : Ec=Ec(mobilefictif)
      Ec=12μ(drdt)2 avec drdt=˙rer+r˙θeθ Ec=12μ(˙r2+r2˙θ2)
      Le moment cinétique s’écrit : =rp=rerμ(˙rer+r˙θeθ)=μr2˙θez ˙θ2=(μr2)2
      On en déduit : Ec=12μ(˙r2+(μr)2) et donc l’énergie totale barycentrique :
      E=12μ˙r2+22μr2+Eel+Ub

  2. Barrière coulombienne.
    1. Si le nucléon test est un neutron, l’énergie potentielle totale de ce nucléon test est : Vtot(r)=Vnuc(r) car le neutron n’est pas chargé.
      Si le nucléon test est un proton (particule de charge e), l’énergie potentielle totale de ce nucléon s’écrit : Vtot(r)=Vnuc(r)+Eel(r) où :
      Si r > 0 : {Eel(r)=Ze24πε0rVnuc(r)=0 Si r < 0 : {Eel(r)=eV(r)=3Ze28πε0R(113(rR)2)Vnuc(r)=V0

    2. Le noyau projectile étant constitué de Z protons et de N neutrons, il existe (par rapport au zéro d’énergie potentielle) entre les deux noyaux identiques(dont les centres sont distants de 2R au contact) une barrière d’énergie potentielle coulombienne Ucoul=Z.Ze24πε0(2R) : Ucoul=(Ze)24πε0(2R)73MeV
    3. L’énergie totale barycentrique du système est : E=cte=Ec(t=0)+Ub=(12μ˙r2+22μr2)r=R+Ucoul+Ub
      Or, à t = 0, l’énergie cinétique barycentrique du système vaut Elab/2 (cf. question 1c) de la 2ème partie)
      D’où : E=Elab2+Ub
      Au moment du contact : {˙r2>0r=2RElab2Ucoul22μ(2R)2>0
      Le moment cinétique du mobile fictif vaut, à t = 0 :
      =μbv(t=0)
      et l’énergie cinétique barycentrique :
      Ec(t=0)=Elab2=12μv2(t=0)
      On en déduit : 22μ(2R)2=14(bR)2Elab2
      La condition pour que les noyaux fusionnent s’écrit donc :
      Elab2(1(b2R)2)>Ucoul
    4. Dans le référentiel barycentrique, les trajectoires des 2 noyaux sont hyperboliques lorsque la condition précédente n’est pas remplie (répulsion des deux noyaux).
    5. L’énergie minimale permettant la fusion correspond à un paramètre d’impact nul (collision frontale) c’est-à-dire Eminlab=2Ucoul=146MeV Prenons Elab>Eminlab ; la fusion est possible si 22μ(2R)2<ElabEminlab2
      La valeur maximale du moment cinétique est donc : max=2RAm2(ElabEminlab) car μ=Am2
      On prend ElabA=10MeV soit Elab=400MeV>Eminlab. La fusion est donc possible à condition que bR<21EminlabElab1,6.
  3. Compression.
    1. L’énergie de rotation du système composite est : Erot=l22μr2avec r = 2R soit : Erot=l28μR2
    2. L’énergie totale barycentrique s’exprime sous la forme : E=Erot+Ec,int+2AU(ρ)
      L’énergie de rotation est considérée comme constante. La densité maximale est obtenue quand l’énergie cinétique interne est nulle (compression maximale). Ceci est également valable pour la densité minimale.
      On a alors : U(ρmax)=EErot2A=U0+K18(ρmaxρ0ρ0)2
      On en tire :
      ρmax=ρ0(1+18K(EErot2AU0))
      Ensuite, le système subit une expansion jusqu’à une densité minimale donnée par : ρmaxρ0=ρ0ρmin c’est-à-dire :
      ρmin=ρ0(118K(EErot2AU0))
      Le système oscille ainsi autour de la position d’équilibre caractérisée par ρ = ρ0.
    3. Pour une collision frontale (paramètre d’impact nul), le composite ne tourne pas après la collision et son énergie cinétique de rotation est nulle. L’énergie barycentrique du système est : E=Elab2+2AU0
      On en déduit :
      ρmax=ρ0(1+18KElab4A) et ρmin=ρ0(118KElab4A)
      A.N : ρmax = 1,42.ρ0 = 0,22 fm–3 et ρmin = 0,58.ρ0 = 8,9.10–2 fm–3

      Troisième partie

Fragmentation du système composite formé

  1. Etude de la pression.
    1. dUT=TdSpdV d’où à température nulle : p=((2AU(ρ))V)T=0
    2. Le volume du système composé de 2A nucléons s’exprime ainsi : V=2A/ρ. Donc dV=2Aρ2dρ
      On en tire : p=ρ2Uρ
    3. p=ρ2K9(ρρ0ρ20) avec l’expression (2) pour l’énergie interne.
    4. L’état d’équilibre défini par la densité ρ0 correspond à la pression nulle.
      Etudions la stabilité de cet équilibre : pρ=K9ρρ0(3ρρ02)pρ|ρ=ρ0=K9>0. Une légère compression du composite (dρ > 0) entraîne une augmentation de pression donc une expansion du composite (retour vers l’état d’équilibre). L’équilibre est donc stable vis-à-vis des oscillations de densité.
      La pression devient négative pour ρ > 0 ; ceci correspond aux forces de cohésions nucléaires responsables de la cohésion du noyau.
  2. Une équation d'état réaliste à température nulle.
    1. U=Ucin+Upot=Cρ2/3+t0ρ+t3ρ2.
      Posons ρ=ρ0(1+ε) avec ε << 1. En développant U au 2ème ordre en ε, il vient :
      U=(Cρ2/30+t0ρ0+t3ρ20)+ε(23Cρ2/30+t0ρ0+2t3ρ20)+ε2(t3ρ20C9ρ2/30)
      En identifiant à U=U0+K18ε2, on obtient :
      {Cρ2/30+t0ρ0+t3ρ20=U023Cρ2/30+t0ρ0+2t3ρ20=0 d’où l’on tire :
      t3=C3ρ4/30U0ρ20=989MeV.fm6
      t0=43Cρ1/30+2U0ρ10=396MeV.fm3
    2. p(ρ)=ρ2U(ρ)ρ=23Cρ5/3+t0ρ2+2t3ρ3
    3. pρ=059Cρ2/3+t0ρ+3t3ρ2=0 soit numériquement : 41,7ρ2/3396ρ+2967ρ2=0 (avec le MeV comme unité d’énergie et le femtomètre comme unité de longueur).
      On trouve alors deux valeurs de ρ non nulles qui vérifient cette équation : {ρs=1,2.103fm3ρs=1,0.101fm3
  3. L'équation d'état à température non nulle.
    1. L’équation d’état du gaz parfait s’écrit : pV=nRT=NNART soit pGP=ρkBT
      La pression totale est donc : p=ρkBT+ρ2Upotρ=ρkBT+t0ρ2+2t3ρ3
    2. (pρ)T=0kBT+2t0ρ+6t3ρ2=0. Cette équation du second degré admet 2 racines réelles si son discriminant réduit est strictement positif c’est-à-dire : Δ=t206t3kBT>0 donc pour :
      T<Tc avec Tc=t206t3kB
      On a alors : ρs=t06t3(11TTc) et ρs=t06t3(1+1TTc)
    3. kBTc=t206t3=26,4MeV et ρs(T=Tc)=t06t3=6,7.102fm3
    4. On peut écrire : (pρ)T=6t3(ρρs)(ρρs) pour T < Tc.
      Donc (pρ)T<0 pour ρs<ρ<ρs et T < Tc.
      Pour T > Tc, (pρ)T>0 : le système composite se comporte « normalement » c’est-à-dire qu’une légère compression du composite (dρ > 0) entraîne une augmentation de pression donc une expansion du composite et vice versa, ceci quelle que soit la densité particulaire ; le système ne se fragmentera donc pas.

  4. Equation d'état et fragmentation.
    1. L’équation (5) est une équation d’onde (équation de d’Alembert).
      c2s=1χλ=Vλ(pV)T=0 car (pV)T=0=1(Vp)T=0
      On en déduit : c2s=ρλ(pρ)T=0 car V=2A/ρ
    2. D’après la question 1d) de la troisième partie : c2s=K9λρ2ρ0(3ρρ02)
      λ représente la masse volumique à l’équilibre soit : λ = mρ0 d’où : c2s=K9(ρρ0)2(3ρρ02) et au voisinage de ρ0, c2sK9m c’est-à-dire :
      cscK9mc2c6=5.107m.s1
    3. Si on admet que quel que soit ρ et quelle que soit T : c2s=ρλ(pρ)T, on obtient en utilisant le résultat de la question 3a) de la troisième partie que c2s est du même signe que (pρ)T. Donc c2s<0 quand ρ devient inférieure à ρs(T) au cours de l’expansion du système.
      La solution de l’équation Δp1c2s2pt2=0 diverge quand c2s<0, la pression devenant alors très importante : il y a ainsi possibilité de brisure du système composite (fragmentation).
FIN DU CORRIGE

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