Concours Physique ENS de Paris (PC) 2001 (Énoncé)

J. 5117
SESSION 2001
Filière Physique‐Chimie
PHYSIQUE
(ENS : Ulm)
Durée: 6 heures
Il est conseillé d’border les différentes parties dans leur ordre d’apparition, certaines questions ayant une résolution utile pour la suite \(du\) problème.
L’usage d’une calculatrice électronique de \(\rho oche\) à alimentation autonome, sans imprimante, est autorisé. Une seule calculatrice à la fois est admise sur la table et aucun échange n’est autorisé entre les candidats. Le candidat est prié d’accorder une importance particulière aux applications numériques.
Tournez la page S.V.P.
Des progrès importants effectués dans les techniques de refroidissement des gaz d’atomes neutres permettent depuis 1995 d’atteindre des températures tellement basses que ces gaz perdent toute viscosité. Par analogie avec l’hélium liquide, qui perd lui aussi toute viscosité à très basse température, on parle de gaz superfluides.
On se propose d’établir ici quelques propriétés des gaz superfluides et de comparer les prédictions obtenues aux résultats expérimentaux. La partie I est consacrée à l’étude des propriétés à l’équilibre thermodynamique d’un gaz superfluide en l’absence de potentiel extérieur. La partie II considère la situation réalisée en pratique d’un gaz superfluide à l’équilibre dans un potentiel harmonique créé par un champ magnétique. La partie III détermine la réponse du gaz superfluide à une faible perturbation du potentiel harmonique. On rappelle la valeur du nombre d’Avogadro, ${{\mathcal{N}}_{a}}=6,02\times {{10}^{23}}.$

1 Gaz superfluide en l’absence de potentiel extérieur
1.1 Équation d’état d’un gaz superfluide
On considère un gaz superfluide de \(N\) particules dans une enceinte de volume\(V\). Les parois de l’enceinte constituent un thermostat de température\(T\), avec lequel le gaz est à l’équilibre thermodynamique. Les particules interagissent deux à deux avec un potentiel d’interaction \(\mathcal{V}\left( {\overrightarrow {{r_i}} - \vec r} \right)\) , où \(\overrightarrow {{r_i}} ,\) \(\overrightarrow {{r_j}} \) sont les vecteurs positions de deux particules quelconques \(i\) et \(j\) du gaz. On suppose que le potentiel d’interaction est négligeable pour deux particules séparées par une distance macroscopique de l’ordre de la taille de l’enceinte. En d’autres termes, la portée du potentiel d’interaction est négligeable devant la taille de l’enceinte. De plus, la température \(T\) du gaz est si basse que l’énergie cinétique des particules est négligeable devant l’énergie d’interaction. On suppose donc que les particules sont au repos, avec des positions réparties aléatoirement avec une densité moyenne uniforme \(\rho = \frac{N}{V}.\)
(a) Calculer l’énergie moyenne \(Udu\) gaz en fonction du nombre de particules \(N,\) \(du\) volume \(V\) de l’enceinte et de la constante de couplage
\(\gamma = \mathop \smallint \limits_{ - \infty }^{ + \infty } d{r_x}\mathop \smallint \limits_{ - \infty }^{ + \infty } d{r_y}\mathop \smallint \limits_{ - \infty }^{ + \infty } d{r_z}\mathcal{V}\left( {\vec r} \right)\) (1)
Où \({r_x},\) \({r_y},\) \({r_z}\) sont les composantes du vecteur \({r^ \to }\) dans une base orthonormée \(\left( {{{\vec e}_x},{{\vec e}_y},{{\vec e}_z}} \right)\) .
(b) On admet que l’entropie du gaz tend vers zéro lorsque la température tend vers zéro. En déduire l’énergie libre\(Fdugaz\), dans la limite\(T \simeq O\), en fonction des quantités \(N,\) \(V,\) \(\gamma \). Montrer que la pression \(P\) du gaz est donnée par
\(P = \frac{1}{2}\gamma {\rho ^2}\) (2)
Exprimer le coefficient de compressibilité isotherme \(\chi \) du gaz et son potentiel chimique \(\mu \) en fonction de \(\gamma \) et \(\rho .\)
1.2 Quelques contraintes sur l’équilibre thermodynamique
Il s’agit de vérifier si l’état d’équilibre considéré à la partie 1.1 précédente est bien admissible d’un point de vue thermodynamique. Pour cela, on sépare par la pensée l’enceinte de volume \(V\) en deux parties 1 et 2 de volumes respectifs \({V_1}\) et\({V_2} = V - {V_1}\), et l’on partage le gaz en \({N_1}\) particules dans la zone 1 et \({N_2} = N - {N_1}\) particules dans la zone 2. Chaque zone est supposée être à l’équilibre avec le thermostat à la température\(T\), avec une densité uniforme de particules \({\rho _i} = \frac{{{N_i}}}{{{V_i}}},\) \(i = 1,2\). Les densités \({\rho _1}\) et \({\rho _2}\) peuvent a priori être différentes. Le raisonnement va s’appuyer sur la fonction thermodynamique ${{F}_{e}}\left( N,~T,~V \right)$ donnant l’énergie libre du gaz à l’équilibre thermodynamique pour \(N\) particules dans un volume \(V\) à la température \(T.\)
(a) Rappeler pourquoi l’énergie libre ${{F}_{e}}\left( N,~T,~V \right)$ est inférieure à l’énergie libre de tout état du système hors d’équilibre à \(N,\) \(T,\) \(V\) fixés.
(b) Exprimer l’énergie libre totale du gaz en fonction des énergies libres des parties 1 et 2 du gaz. En déduire une équation fonctionnelle vérifiée par \({F_e}.\)
(c) Traduire le fait que l’énergie libre du gaz est un minimum vis‐à‐vis d’un changement de \({V_1}\) et \({V_2}\) à \({N_1},\) \({N_2},\) \(V\) constants. Interpréter physiquement les résultats.
(d) Mêmes questions pour un changement de \({N_1}\) et \({N_2}\) à \({V_1},\) \({V_2},\) \(N\) constants.
(e) Appliquer les conditions obtenues en (c) et (d) à l’expression de l’énergie libre obtenue dans la partie 1.1. En déduire que le gaz doit avoir une densité uniforme à l’équilibre thermodynamique, et que seul un signe de la constante de couplage \(\gamma ,\) que l’on précisera, est acceptable.

1.3 Mélange de deux gaz superfluides
On mélange deux gaz superfluides d’espèces atomiques différentes, \({N_a}\) atomes de l’espèce \(a\) et \({N_b}\) atomes de l’espèce\(b\), dans la même enceinte de volume\(V\). Les deux gaz sont à la même température\(T\), que l’on supposera très basse au sens de la partie 1.1. Les atomes de l’espèce \(a\) (respectivement b) interagissent par un potentiel d’interaction \({\mathcal{V}_{aa}}\left( {\vec r} \right)\) (respectivement \({\mathcal{V}_{bb}}\left( {\vec r} \right)\) ), où \({r^ \to }\) est le rayon vecteur entre deux atomes. De plus, chaque atome de l’espèce \(a\) interagit avec chaque atome de l’espèce \(b\) par le potentiel \({\mathcal{V}_{ab}}\left( {\vec r} \right)\) . Comme dans la partie 1.1 on néglige l’énergie d’interaction de deux atomes quelconques séparés par une distance macroscopique de l’ordre de la taille de l’enceinte. Il s’agit de déterminer l’état d’équilibre du mélange, en choisissant parmi deux configurations possibles.
(a) Dans la configuration I, chaque gaz superfluide remplit toute l’enceinte avec une densité moyenne uniforme, \({\rho _a} = {N_a}/V\) pour l’espèce \(a\) et \({\rho _b} = {N_b}/V\) pour l’espèce\(b\). Calculer l’énergie libre \({F_{I,e}}\) de cette configuration en fonction des nombres de particules \({N_a},\) \({N_b},\) \(du\) volume \(V\) et des constantes de couplage
${{\gamma }_{aa}}~=~\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\mathop \int }}\,d{{r}_{x}}\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\mathop \int }}\,d{{r}_{y}}\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\mathop \int }}\,d{{r}_{z}}{{\mathcal{V}}_{aa}}\left( {\vec{r}} \right)$ , (3)
${{\gamma }_{bb}}~=~\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\mathop \int }}\,d{{r}_{x}}\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\mathop \int }}\,d{{r}_{y}}\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\mathop \int }}\,d{{r}_{z}}{{\mathcal{V}}_{bb}}\left( {\vec{r}} \right)$ , (4)
${{\gamma }_{ab}}~=~\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\mathop \int }}\,d{{r}_{x}}\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\mathop \int }}\,d{{r}_{y}}\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\mathop \int }}\,d{{r}_{z}}{{\mathcal{V}}_{ab}}\left( {\vec{r}} \right)$ . (5)
(b) Dans la configuration II, les deux gaz superfluides occupent des régions de l’enceinte disjointes et complémentaires, chaque gaz ayant une densité moyenne uniforme dans son domaine respectif. L’espèce \(a\) occupe une fraction \(\alpha du\) volume\(V\), l’espèce \(b\) une fraction \(1 - \alpha \). Calculer l’énergie libre \({F_{II}}\) de cette configuration, en fonction de \({N_a},\) \({N_b},\) \(\alpha ,\) \({\gamma _{aa}},\) \({\gamma _{bb}}\) et du volume \(V.\)
(c) À l’équilibre, le paramètre \(\alpha \) de la configuration II prend une valeur bien précise. À l’aide d’un des principes de la thermodynamique, déterminer cette valeur \({\alpha _e}\) en fonction de \({N_{a)}}{N_b},\) \({\gamma _{aa}}\) et\({\gamma _{bb}}\). En déduire\({F_{II,e}}\), énergie libre de la configuration II à l’équilibre, en fonction de \({N_a},\) \({N_b},\) \({\gamma _{aa}},\) \({\gamma _{bb}}\) et du volume \(V.\)
(d) Parmi les configurations I et II, laquelle est la plus favorable d’un point de vue thermodynamique? On précisera les différents cas possibles suivant les valeurs des constantes de couplage. Interpréter physiquement le résultat.
(e) Le groupe de Wolfgang Ketterle, au Massachusetts Institute of Technology de Boston (MIT), a étudié des mélanges de trois espèces différentes, appelées \(a,\) \(b,\) \(c\). Les constantes de couplage de chaque paire d’espèces sont données dans la table 1. À l’aide de la théorie développée ici, prédire si les paires d’espèces \(a - b,\) \(b - c\) et \(a - c\) sont miscibles ou pas.

	a	b	c
a b c	\(1,0 \times {10^{ - 50}}\) \(1,0 \times {10^{ - 50}}\) \(9,4 \times {10^{ - 51}}\)	\(1,0 \times {10^{ - 50}}\) \(9,7 \times {10^{ - 51}}\) \(1,0 \times {10^{ - 50}}\)	\(9,4 \times {10^{ - 51}}\) \(1,0 \times {10^{ - 50}}\) \(1,0 \times {10^{ - 50}}\)

TAB. \(1 - \) Dans l’expérience \(du\) MIT sur les mélanges de trois espèces \(a,\) \(b,\) \(c\) de \(gaz\) superfluides, constantes de couplage \({\gamma _{ij}}\) en \(J \cdot {m^3}\) entre les espèces \(i\) et \(j\), avec \(i,\) \(j = a,\) \(b\) ou \(c.\)

2 Gaz superfluide au repos dans un piège
2.1 Équilibre dans un piège de forme arbitraire
Dans les expériences, le gaz superfluide est piégé, c’est‐à‐dire qu’il est confiné par un champ de forces dérivant du potentiel \({\Phi _e}\left( {\vec r} \right)\) dépendant de la position \(\vec r\) des particules dans le gaz, mais indépendant du temps. La force de pesanteur est incluse dans ce champ de forces. Contrairement au modèle spatialement homogène de la partie 1, la densité \({\rho _e}\left( {\vec r} \right)\) et la pression \({P_e}\left( {\vec r} \right)du\) gaz à l’équilibre thermodynamique dépendent de la position \(\vec r.\)
(a) Rappeler la relation fondamentale de l’hydrostatique portant sur la pression à l’équilibre d’un fluide soumis à un champ de forces extérieures.
(b) A l’aide de l’équation d’état obtenue dans la partie 1, exprimer la densité de particules \({\rho _e}\left( {{r^ \to }} \right)\) en fonction de la constante de couplage \(\gamma \) définie par l’équation (1) et du potentiel de piégeage \({\Phi _e}\left( {\vec r} \right)\) , à une constante additive près.
(c) Indiquer comment déterminer la valeur de cette constante additive, sans chercher ici à la calculer explicitement.
2.2 Équilibre dans un piège harmonique
Le plus souvent, le gaz superfluide reste confiné suffisamment près du point où le potentiel de piégeage est minimum pour que le potentiel de piégeage soit très bien représenté par son approximation harmonique. Pour simplifier, on suppose de plus dans cette partie que le potentiel \({\Phi _e}\left( {\vec r} \right)\) est isotrope:
\({\Phi _e}\left( {\vec r} \right) = \frac{1}{2}m{\omega ^2}{r^2}\), (6)
où \(m\) est la masse d’une particule, \(r\) est le module du vecteur position $\vec{r}$ et \(\omega \) une constante.
(a) Rappeler la signification physique de la quantité \(\omega .\)
(b) Montrer que le gaz superfluide reste effectivement confiné au voisinage de \(\vec r = \vec 0.\) Quelle est la forme d’équilibre de la surface du gaz ? On appelle \(R\) la distance maximale au centre du piège accessible au gaz.
(c) Exprimer la densité du gaz \({\rho _e}\left( {\vec r} \right)\) en fonction de\(\vec r\), de \(R\) et de la densité \(\rho _e^0\) au centre du piège.
(d) On connait le nombre total \(N\) de particules dans le superfluide. En déduire \(\rho _e^0\) en fonction de \(N\) et de \(R.\)
(e) Finalement, exprimer \(\rho _e^0\) en fonction de \(m,\) \(\omega ,\) \(N\) et de la constante de couplage \(\gamma \) définie par l’équation (1).
2.3 Considérations thermodynamiques
On souhaite obtenir une interprétation thermodynamique de l’état d’équilibre du gaz obtenu à la partie précédente 2.2.
(a) Calculer l’énergie potentielle harmonique \({E_{harm}}\) du gaz en fonction de \(N\) et \(\gamma \rho _e^0.\)
(b) Faire de même pour l’énergie d’interaction \({E_{int}}\) du gaz due au potentiel d’interaction \(\mathcal{V}\left( {\vec r} \right)\) de la partie 1.1, en supposant que \(\mathcal{V}\left( {\vec r} \right)\) est négligeable pour deux particules séparées d’une distance \(r\) macroscopique de l’ordre de \(R.\)
(c) Exprimer l’énergie libre du gaz à \(T \simeq 0\) en fonction de \(\gamma \rho _e^0\) et\(N\). Montrer que la quantité \(\gamma \rho _e^0\) n’est autre que le potentiel chimique du gaz.
(d) Retrouver la condition d’équilibre obtenue par l’hydrostatique à l’aide d’un argument thermodynamique.

2.4 Comparaison aux expériences
On compare les prédictions théoriques précédentes à quelques résultats expérimentaux obtenus avec un gaz superfluide d’atomes de sodium \({}^{23}Na\). Ces atomes interagissent avec une constante de couplage \(\gamma = 1,0 \times {10^{ - 50}}J \cdot {m^3}.\)
(a) Le groupe de Lene Hau, au Rowland Institute (Boston), a mesuré un diamètre maximal de 73 \(\mu m\) pour un nuage superfluide de \(N = 1,6 \times {10^6}\) atomes de sodium dans un piège harmonique de paramètre \(\omega = 87\) rad\( \cdot {s^{ - 1}}\). Comparer à la valeur attendue théoriquement.
(b) On coupe brutalement le potentiel de piégeage. On constate alors que le gaz entre en expansion, bien que les particules soient initialement au repos, à\(T \simeq 0\). Comment expliquer ce phénomène?
(c) Après un temps assez long pour que la vitesse d’expansion du gaz ait atteint un régime stationnaire, on mesure l’énergie cinétique d’expansion\({E_{cin}}\)du gaz. Les valeurs obtenues par le groupe de Wolfgang Ketterle, au MIT, de l’énergie d’expansion par particule pour différentes valeurs du nombre de particules dans le gaz, sont données dans la table 2. À l’aide d’une régression linéaire des résultats expérimentaux en échelle log‐log, montrer que \({E_{cin}}\) varie approximativement comme une puissance de \(N\) avec un exposant \(\delta \) que l’on précisera.
(d) Donner l’expression de \({E_{cin}}\) prédite par la théorie. Comparer la valeur de \(\delta \) obtenue expérimentalement à la prédiction théorique.

\(N\)	\({E_{cin}}/N\)
$6,~7\times {{10}^{4}}$ $1,~3\times {{10}^{5}}$ $1,~1\times {{10}^{6}}$ $1,~3\times {{10}^{6}}$ $2,~8\times {{10}^{6}}$ $3,~3~\times {{10}^{6}}$ \(3,9 \times {10^6}\) $4,~3\times {{10}^{6}}$	$3,~3\times {{10}^{-31}}$ \(4,6 \times {10^{ - 31}}\) $1,~1\times {{10}^{-30}}$ $1,~1\times {{10}^{-30}}$ $1,~7\times {{10}^{-30}}$ $1,~8\times {{10}^{-30}}$ $1,~9\times {{10}^{-30}}$ $2,~0\times {{10}^{-30}}$

TAB. \(2\) —Énergie d’expansion par particule en Joule, mesurée au MIT en fonction \(du\) nombre de particules \(N\) dans le \(gaz\) superfluide.
3 Gaz superfluide en mouvement
3.1 Équations du mouvement
Le gaz superfluide, initialement à l’équilibre, est maintenant soumis à un potentiel extérieur $\Phi \left( \vec{r},~t \right)$ pouvant dépendre du temps\(t\). Pour décrire le gaz superfluide en mouvement, on l’assimile à un fluide sans viscosité. On note $\rho \left( \vec{r},~t \right),$ $P\left( \vec{r},~t \right),\vec{v}\left( \vec{r},~t \right)$ la densité volumique, la pression et le champ de vitesse du fluide.
(a) Rappeler l’équation de continuité portant sur la densité de particules $\rho \left( \vec{r},~t \right)$ et le champ de vitesse $\vec{v}\left( \vec{r},~t \right)$ , traduisant la conservation de la matière.
(b) Rappeler l’équation d’Euler donnant l’évolution du champ de vitesse $\vec{v}\left( \vec{r},~t \right)$ sous l’effet du potentiel extérieur $\Phi \left( \vec{r},~t \right)$ pour un fluide sans viscosité de pression $P\left( \vec{r},~t \right)$ .
(c) À l’aide de l’équation d’état obtenue dans la partie 1 et sous l’hypothèse d’un équilibre local du gaz, transformer l’équation d’Euler en une équation sur $\vec{v}\left( \vec{r},~t \right)$ et $p\left( \vec{r},~t \right)$ .

3.2 Régime de réponse linéaire
On applique au gaz superfluide une perturbation de potentiel \(\delta \Phi \) sur l’intervalle de temps $\left[ 0,~\tau \right]$:
$\Phi \left( \vec{r},~t \right)={{\Phi }_{e}}\left( {\vec{r}} \right)+\delta \Phi \left( \vec{r},~t \right)$ (7)
où \({\Phi _e}\left( {\vec r} \right)\) décrit le piège statique de la partie 2 et $\left| \delta \Phi \left( \vec{r},~t \right) \right|\ll {{\Phi }_{e}}\left( {\vec{r}} \right)$ . Cette perturbation entraîne des déviations $\delta p\left( \vec{r},~t \right)$ et $\delta \vec{v}\left( \vec{r},~t \right)$ de la densité et du champ de vitesse de leurs valeurs à l’équilibre \({\rho _e}\left( {\vec r} \right)\) et \(\vec v\left( {\vec r} \right) = \vec 0.\)
(a) En négligeant les termes quadratiques en les écarts à l’équilibre, obtenir des équations d’évolution linéaires pour \(\delta p\) et\(\delta \vec v\), sans chercher à les résoudre. Pour simplifier, on se limitera aux instants ultérieurs à la perturbation, \(t > \tau .\)
(b) Montrer qu’après avoir dérivé une fois par rapport au temps l’équation linéaire sur\(\delta p\), il est possible d’éliminer\(\delta \vec v\). En déduire une équation d’évolution portant seulement sur \(\delta \rho .\)
3.3 Modes propres d’un gaz superfluide homogène
On suppose que le gaz superfluide à l’équilibre remplit tout l’espace avec une densité uniforme\({\rho _e}\). On souhaite déterminer les modes propres de l’équation d’évolution sur \(\delta \rho .\) Pour cela, on considère une solution de la forme:
$\delta \rho \left( \vec{r},~t \right)=A\text{ }\!\!~\!\!\text{ cos }\!\!~\!\!\text{ }\left( \vec{k}\cdot \vec{r}-\Omega t \right)$ (8)
où \(A,\) \(\Omega \) et le vecteur réel \(\vec k\) sont des constantes.
(a) Vérifier que la forme proposée convient à condition que \({\Omega ^2}\) soit une certaine fonction de \(\vec k\) que l’on précisera.
(b) Interpréter physiquement le résultat obtenu. On précisera à quelle vitesse une perturbation appliquée en un point du gaz superfluide se propage. Comment cette vitesse dépend‐elle de la forme de la perturbation?
(c) Après envoi d’une impulsion laser dans un gaz superfluide d’atomes de sodium \({}^{23}Na\)initialement au repos, l’équipe du MIT a constaté la propagation d’ondes de densité à une vitesse de\(1 \times {10^{ - 2}}m/s\). On suppose que le gaz était initialement quasi homogène avec une densité moyenne de \(3,8 \times {10^{20}}\) atomes par\({m^3}\). Comparer la vitesse mesurée à la prédiction théorique.
3.4 Modes propres dans un piège harmonique
Le gaz superfluide est initialement au repos dans un potentiel de piégeage \({\Phi _e}\left( {{r^ \to }} \right)\) harmonique anisotrope:
\({\Phi _e}\left( {\vec r} \right) = \frac{1}{2}m\mathop \sum \limits_{\alpha = x,y,z}^{} \omega _\alpha ^2r_\alpha ^2\) (9)
où \({r_\alpha }\) est la composante du vecteur position $\vec{r}$ sur le vecteur de base \(\vec e,\) \(\alpha = x,\) \(y,\) \(z\). On excite le gaz en modifiant faiblement l’un des paramètres \({\omega _a}\) pendant une durée\(\tau \). On admet qu’on excite ainsi des modes propres du gaz superfluide de la forme
$\delta \rho \left( {{r}^{\to }},~t \right)=\left[ B+\underset{\alpha =x,y,z}{\overset{{}}{\mathop \sum }}\,{{A}_{\alpha }}r_{\alpha }^{2} \right]\text{ }\!\!~\!\!\text{ cos }\!\!~\!\!\text{ }\Omega t$ (10)
où \(B\), les coefficients \({A_\alpha }\) et la pulsation \(\Omega \) sont des constantes.
(a) Exprimer la densité \({\rho _e}\left( {\vec r} \right)\) du gaz à l’équilibre à une constante additive près, en fonction des \({r_\alpha },\) \({\omega _\alpha }\), de \(m\) et de \(\gamma .\)
(b) À quelles conditions sur les coefficients \({A_\alpha }\) la forme proposée pour \(\delta \rho \) satisfait‐elle l’équation d’évolution obtenue à la partie 3.2? Ces conditions peuvent‐elles être satisfaites quelle que soit la pulsation \(\Omega \)?

(c) Au MIT, le gaz superfluide, initialement piégé dans un potentiel à symétrie de révolution d’axe\(z\), est excité pendant la durée \(\tau \) par une petite modification du paramètre \({\omega _z}\) seulement. Expliquer pourquoi on a alors\({A_x} = {A_y}\), et écrire les conditions que doivent satisfaire \({A_x}\) et \({A_z}.\)
(d) En déduire que \(X = \frac{{{\Omega ^2}}}{{\omega _z^2}}\) doit vérifier une équation du second degré que l’on précisera. Donner les solutions de cette équation en fonction du paramètre \(\eta = \frac{{{\omega _x}}}{{{\omega _z}}}.\)
(e) Dans l’expérience du MIT, le paramètre \(\eta \) vaut 13,60. Donner les pulsations propres des deux modes excités, ainsi que les valeurs correspondantes du rapport \(\frac{{{A_z}}}{{{A_x}}}.\) Expérimentalement, on constate que le gaz bat à la pulsation \(1,569 \pm 0,004{\omega _z}.\) Quel est l’écart relatif entre la prédiction théorique et le résultat expérimental?
(f) À quelle fréquence devrait battre le gaz en l’absence d’interaction entre les particules? Qu’en concluez‐vous?

Concours Physique ENS de Lyon et Cachan (MP) 2001 (Corrigé)

I- Spectroscopie de corrélation de fluorescence:
1)- les rayons incidents envoyés par le laser forment un faisceau parallèle: ils sont donc focalisés dans le plan (P), plan focal image de la lentille: (P) est donc placé à la distance f de la première lentille.

2)- On veut que l'image du point O par la deuxième lentille se forme sur le détecteur, c'est à dire à la distance D de la seconde lentille. Si on désigne par d la distance du point O à la seconde lentille, la formule de conjugaison de Newton s'écrira:
$\frac{1}{D} - \frac{1}{{ - d}} = \frac{1}{f}$
soit: $d = \frac{f}{{1 - \frac{f}{D}}}$
La distance D est 100 fois plus grande que la distance focale: d sera à peine supérieur à f. L'application numérique donne:
3)- D'une part, le faisceau est diaphragmé, et il y a de la diffraction. D'autre part, il y a des aberrations géométriques au niveau de la lentille, d'autant plus marquées que l'on sort notablement des conditions de Gauss, vu le rapport entre le rayon d'ouverture et la distance focale: 0,7, c'est à dire des rayons inclinés de 35 degrés par rapport à l'axe optique.
$d = 2,02mm$
4)- On suppose maintenant qu'il n'y a plus d'aberrations géométriques, et on ne s'intéresse qu'au phénomène de diffraction.
Soit dy la largeur élémentaire de la fente au voisinage de l'abscisse y: la différence de marche entre l'onde émise par cet élément et celle émise au voisinage de l'origine dans la direction i s'écrit:
$\delta = y \cdot \sin i$
L'élément dy émet donc dans la direction i l'onde élémentaire:
$ds = \frac{{{s_0}}}{\varphi } \cdot {e^{j\omega t}} \cdot {e^{j\frac{{2\pi }}{\lambda }\sin i \cdot y}} \cdot dy$
L'amplitude diffractée par la totalité de la fente s'écrit:
$ds = \frac{{{s_0}}}{\varphi } \cdot {e^{j\omega t}} \cdot \int\limits_{ - \frac{\varphi }{2}}^{\frac{\varphi }{2}} {{e^{j\frac{{2\pi }}{\lambda }\sin i \cdot y}} \cdot dy} $
soit:
$s = {s_0} \cdot {e^{j\omega t}} \cdot {\sin _c}\left( {\frac{{\pi \varphi }}{\lambda }\sin i} \right)$
Le rayon incliné de l'angle i (faible) par rapport à l'axe coupera, après la lentille, le plan focal à l'abscisse y telle que:
$\sin i \approx \tan i = \frac{y}{f}$
L'intensité lumineuse arrivant dans le plan (P) au point d'abscisse y s'écrit donc:
$I = {I_0} \cdot {\sin _c}^2 \cdot \left( {\frac{{\pi \varphi }}{{\lambda f}}y} \right)$
La tache de diffraction sera donc limitée par l'abscisse y₀ annulant I pour la première fois, soit:
${y_0} = \frac{{\lambda f}}{\varphi }$
Application numérique:
y₀ = 0,349 µm

5)- La lentille étant supposée parfaite et en négligeant le phénomène de diffraction, le rayon de la tache lumineuse obtenue sur un écran placé à l'abscisse z s'écrit:
$r(z) = \frac{\varphi }{f} \cdot \left| z \right|$
C'est l'expression que l'on pourra retenir tant que l'on est loin du point focal, la diffraction modifiant ce rayon d'une valeur faible devant le rayon "géométrique" de la tache..
On en déduit l'allure de la courbe représentant les variations de r(z).
6)- Si on admet en première approximation que la puissance lumineuse est uniformément répartie sur la surface de la tache, le flux lumineux est proportionnel à $\frac{1}{{{r^2}}}$. On aura alors:
en z = 0 : ${I_0} = \frac{P}{{\pi {r_0}^2}}$ et en z: $I = \frac{P}{{\pi {r^2}}}$
Soit:

$I = {I_0}\frac{{r_0^2}}{{{r^2}}}$ c'est à dire, en fonction de z:
$\frac{I}{{{I_0}}} = \frac{{{f^2}}}{{{\varphi ^2}}}\frac{{{r_0}^2}}{{{z^2}}}$, soit, en explicitant r₀:
$\frac{I}{{{I_0}}} = {\lambda ^2}\frac{{{f^4}}}{{{\varphi ^4}}} \cdot \frac{1}{{{z^2}}}$ pour z >> 1 µm
Ce qui donne l'allure de la courbe ci-contre, x variant de –10 à 10 µm
A comparer graphiquement avec le résultat trouvé dans le plan (P) pour la diffraction, en appelant maintenant y r:

$I = {I_0}\sin _c^2\left( {1,4\pi \frac{r}{{0,52}}} \right)$, r étant en µm.
7)-On veut que le rapport $\frac{I}{{{I_0}}} \ge 0.1$. Longitudinalement, c'est à dire le long des z, on aura un segment sur z où cette condition est vérifiée. Transversalement, elle sera réalisée pour une valeur de la distance à l'axe inférieure à une certaine valeur r: le volume confocal aura donc l'allure, en première approximation, d'un cylindre.
A la distance r de l'axe, on devra avoir:
$\sin {c^2}\left( {\frac{{\pi \varphi }}{{\lambda f}}r} \right) = 0,1$ , soit: $\frac{{\pi \varphi }}{{\lambda f}}r = 2,32$
on a ainsi:
$r = \frac{{2,32\lambda }}{\pi }\frac{f}{\varphi }$
Et le long de l'axe,
$\left| z \right| \le \lambda {\left( {\frac{f}{\varphi }} \right)^2}\sqrt {10} $
r =0,274 µm et z = 0,839 µm
8)- Numériquement, on trouve:
V= 0,396.10^-18 m³
Pour qu'il y ait en moyenne une molécule dans le volume confocal, il faut une concentration moléculaire de 1/V, c'est à dire de 2,52.10¹⁸ molécules par m^3.
Avec la nouvelle valeur proposée pour l'ouverture numérique, on obtient un volume confocal environ 10 fois plus petit; Il faudrait donc une concentration 10 fois plus grande.
9)- Les dimensions du trou d'entrée du détecteur doivent être celles de l'image du volume confocal à travers la première lentille.

10)- Désignons par τ_j la durée du créneau à la période j de durée T_j: sur n périodes, la moyenne de l'intensité s'écrit, par définition:
$\frac{{\sum\limits_{j = 0}^n {{I_{\max }} \cdot {\tau _j}} }}{{\sum\limits_{j = 0}^n {{T_j}} }}$ soit: $\frac{{\frac{1}{n}\sum\limits_{j = 0}^n {{I_{\max }} \cdot {\tau _j}} }}{{\frac{1}{n}\sum\limits_{j = 0}^n {{T_j}} }}$
En faisant tendre n vers l'infini, le numérateur tend vers τ_resid et le dénominateur vers T. On en déduit:
$\left\langle I \right\rangle = {I_{\max }}\frac{{{\tau _{resid}}}}{T}$
11)- La fonction d'autocorrélation s'écrit:
$g(\tau ) = \frac{{\left\langle {\left( {I(t) - \left\langle I \right\rangle } \right) \cdot \left( {I(t + \tau ) - \left\langle I \right\rangle } \right)} \right\rangle }}{{{{\left\langle I \right\rangle }^2}}}$
Soit, pour τ = 0:
$g(0) = \frac{{\left\langle {\left( {I(t) - \left\langle I \right\rangle } \right) \cdot \left( {I(t) - \left\langle I \right\rangle } \right)} \right\rangle }}{{{{\left\langle I \right\rangle }^2}}}$
Le numérateur de l'expression s'écrit:
$\left\langle {{{\left( {I(t) - \left\langle I \right\rangle } \right)}^2}} \right\rangle = \left\langle {I{{(t)}^2} + {{\left\langle I \right\rangle }^2} - 2\left\langle I \right\rangle \cdot I(t)} \right\rangle = \left\langle {I{{(t)}^2}} \right\rangle - {\left\langle I \right\rangle ^2}$
On détermine le premier terme en employant la même méthode que pour déterminer la valeur moyenne de I:
$\left\langle {{I^2}} \right\rangle = \frac{{\sum\limits_{j = 0}^n {{I^2}_{\max } \cdot {\tau _j}} }}{{\sum\limits_{j = 0}^n {{T_j}} }}$ soit: $\left\langle {{I^2}} \right\rangle = {I^2}_{\max }\frac{{{\tau _{resid}}}}{T}$
On en déduit:
$g(0) = \frac{{I_{\max }^2\frac{{{\tau _{resid}}}}{T}}}{{I_{\max }^2{{\left( {\frac{{{\tau _{resid}}}}{T}} \right)}^2}}} - 1$ soit : $g(0) = \frac{T}{{{\tau _{resid}}}} - 1$
S'il y a en moyenne N_s molécules dans le volume confocal, l'intensité moyenne émise est:
$\left\langle I \right\rangle = {N_s} \cdot {I_{\max }}$ , soit: ${N_s} = \frac{{{\tau _{resid}}}}{T}$
D'où l'expression finale de g(0):$g(0) = \frac{1}{{{N_s}}} - 1$. Et comme par hypothèse N_s << 1: $g(0) \approx \frac{1}{{{N_s}}}$
12)- Si τ est différent de 0, le développement de la fonction de corrélation s'écrit:
$g(\tau ) = \frac{1}{{{{\left\langle I \right\rangle }^2}}}\left\langle {\left[ {(I(t) - \left\langle I \right\rangle ) \cdot (I(t + \tau ) - \left\langle I \right\rangle )} \right]} \right\rangle = \frac{{\left\langle {(I(t) \cdot I(t + \tau ) + {{\left\langle I \right\rangle }^2} - \left\langle I \right\rangle \cdot I(t) - \left\langle I \right\rangle \cdot I(t + \tau )} \right\rangle }}{{{{\left\langle I \right\rangle }^2}}}$
Soit:
$g(\tau ) = \frac{{\left\langle {I(t) \cdot I(t + \tau } \right\rangle }}{{{{\left\langle I \right\rangle }^2}}} - 1$
Si τ est beaucoup plus grand que τ_resid, les intensités émises à t et à t+τ le sont par des molécules différentes: les deux grandeurs ne sont pas corrélées, et $\left\langle {I(t) \cdot I(t + \tau )} \right\rangle = \left\langle I \right\rangle \cdot \left\langle I \right\rangle = {\left\langle I \right\rangle ^2}$.
On a alors dans ce cas, g(τ)=0
13)- On se propose d'étudier la fonction d'autocorrélation en fonction de τ. On se bornera pour τ à l'intervalle [0,T], étant donné qu'on a montré précédemment que g est nulle si τ est grand devant τ₀, ce qui est le cas pour τ > T par hypothèse.
On a alors:
I(t) = I_max si 0 < t < τ₀
I(t) = 0 si τ₀ < t < T
Et:
I(t + τ) = I_max si -τ < t < τ₀ −τ
I(t + τ) = 0 si τ₀ −τ < t < T - τ
On en déduit que g(τ) = 0 si τ > τ₀.
Si τ < τ₀ , on peut écrire:
$\left\langle {I(t) \cdot I(t + \tau } \right\rangle = I_{\max }^2 \cdot \frac{{{\tau _0} - \tau }}{T}$
La fonction d'autocorrélation s'écrit donc:
$g(\tau ) = \frac{{I_{\max }^2}}{{{{\left\langle I \right\rangle }^2}}} \cdot \left[ {\frac{{{\tau _0} - \tau }}{T} - \frac{{{\tau _0}^2}}{{{T^2}}}} \right]$
et, en ne conservant que les termes de l'ordre le plus bas en $\frac{{{\tau _0}}}{T}$:
$g(\tau ) = \frac{{I_{\max }^2}}{{{{\left\langle I \right\rangle }^2}}} \cdot \left[ {\frac{{{\tau _0} - \tau }}{T}} \right]$
En explicitant $\left\langle I \right\rangle $, et en introduisant N_s, on obtient finalement: $g(\tau ) = \frac{1}{{{N_s}}} \cdot \left( {1 - \frac{\tau }{{{\tau _0}}}} \right)$
II- Mouvement aléatoire de molécules biologiques:

a- Analyse d'un choc:
15)-On écrit la conservation de la quantité de mouvement au cours du choc; le phénomène se passant sur l'axe des x, on utilisera les mesures algébriques des vecteurs vitesse sur l'axe:
$m{v_i} + M{V_i} = m{v_f} + M{V_f}$
Le choc est élastique: on écrit la conservation de l'énergie cinétique:
$\frac{1}{2}m{v_i}^2 + \frac{1}{2}M{V_i}^2 = \frac{1}{2}m{v_f}^2 + \frac{1}{2}M{V_f}^2$
Ces deux équations s'écrivent:
$\begin{array}{l}m \cdot \left( {{v_i} - {v_f}} \right) = M \cdot \left( {{V_f} - {V_i}} \right)\\m \cdot \left( {{v_i}^2 - {v_f}^2} \right) = M \cdot \left( {{V_f}^2 - {V_i}^2} \right)\end{array}$
d'où:
${v_i} + {v_f} = {V_i} + {V_f}$
On tire de cette relation v_f, que l'on remplace dans l'équation de conservation de la quantité de mouvement:
$m{v_i} + M{V_i} = m\left( {{V_i} + {V_f} - {v_i}} \right) + M{V_f}$
et on en déduit l'expression de V_f: ${V_f} = \frac{{2m}}{{M + m}}{v_i} + \frac{{M - m}}{{M + m}}{V_i}$
16)- L'énergie cinétique de l'enzyme après le choc se déduit directement de l'expression de V_f²:
${E_{cf}} = \frac{{2M{m^2}}}{{{{(M + m)}^2}}}{v_i}^2 + \frac{1}{2}{\left( {\frac{{M - m}}{{M + m}}} \right)^2}M{V_i}^2 + 2Mm\frac{{M - m}}{{{{(M + m)}^2}}}{V_i} \cdot {v_i}$
17)- L'eau, en tant que solvant est pratiquement pure: il ne peut pas y avoir de mouvement d'ensemble dû à un gradient de concentration ( phénomène de diffusion). De plus, il n'y a pas de déplacement d'ensemble du solvant.
18)- La vitesse moyenne après le choc s'obtient en faisant la moyenne de toutes les vitesses possibles des molécules incidentes d'eau. La vitesse moyenne de ces molécules étant nulle, on a:
E_cf$ = \frac{{2M{m^2}}}{{{{(M + m)}^2}}}\left\langle {{v_i}^2} \right\rangle + \frac{1}{2}{\left( {\frac{{M - m}}{{M + m}}} \right)^2}M{V_i}^2$
Qui peut s'écrire:
E_cf$ = \frac{{2M{m^2}}}{{{{(M + m)}^2}}}\left\langle {{v_i}^2} \right\rangle + {\left( {\frac{{M - m}}{{M + m}}} \right)^2}{E_{ci}}$
19)- On en déduit le bilan d'énergie au cours du choc:
E_cf – E_ci $ = \frac{{2M{m^2}}}{{{{(M + m)}^2}}}\left\langle {{v_i}^2} \right\rangle + \left[ {{{\left( {\frac{{M - m}}{{M + m}}} \right)}^2} - 1} \right] \cdot {E_{ci}} = \frac{{2M{m^2}}}{{{{(M + m)}^2}}}\left\langle {{v_i}^2} \right\rangle + \left[ {\frac{{ - 4Mm}}{{{{(M + m)}^2}}}} \right] \cdot {E_{ci}}$
0n retrouve bien l'expression proposée, soit:
E_cf - E_ci$ = \frac{{4Mm}}{{{{(M + m)}^2}}} \cdot \left( {\frac{1}{2}m\left\langle {{v^2}} \right\rangle - Eci} \right)$
20)- D'après le résultat précédent, le choc accélère l'enzyme si E_ci < $\frac{1}{2}m\left\langle {{v^2}} \right\rangle $, et la freine dans le cas contraire:

b- Vitesse quadratique moyenne:
21)- Après de nombreux chocs, la molécule d'enzyme atteindra un régime stationnaire si elle n'est plus, en moyenne, ni accélérée, ni freinée en moyenne au cours du choc. D'après ce qui précède, cet état est atteint lorsque:
$\left\langle {{E_c}} \right\rangle = \frac{1}{2}m\left\langle {{v^2}} \right\rangle $
Ce résultat est prévisible dans la mesure où l'énergie d'agitation thermique ne dépend que de la température: les molécules d'enzyme sont en équilibre thermique avec l'eau.
22)- Dans le cadre du modèle unidimensionnel, $\left\langle {{E_c}} \right\rangle $ est égal à $\frac{1}{2}RT$; on en déduit:
$\left\langle {{V^2}} \right\rangle = \frac{{RT}}{M}$
$\bar V = \sqrt {\frac{{RT}}{M}} $
Soit, avec $\bar V = \sqrt {\left\langle {{V^2}} \right\rangle } $:
Application numérique: V=5,56 m/s
c- Déplacement aléatoire de la particule:
23)- entre le i^ième et le (i+1)^ième choc, la particule parcourt la distance V_i.τ. Au bout du temps t = N_c.τ, elle aura parcouru:
$X(t) = \tau \cdot \sum\limits_{i = 0}^{Nc - 1} {{V_i}} $
24)- Les différentes vitesses V_i étant équiprobables, on aura, après un nombre suffisant de chocs, aussi souvent la valeur V_i et la valeur –V_i.: l'abscisse moyenne de la particule sera donc nulle.
25)- En élevant l'expression obtenue pour X au carré, on obtient immédiatement:
${X^2}(t) = \left( {\tau \cdot \sum\limits_{i = 0}^{{N_c} - 1} {{V_i}} } \right) \cdot \left( {\tau \cdot \sum\limits_{j = 0}^{{N_c} - 1} {{V_j}} } \right)$
soit:
${X^2}(t) = {\tau ^2} \cdot \sum\limits_{i = 0}^{Nc - 1} {\sum\limits_{j = 0}^{{N_c} - 1} {{V_i}} {V_j}} $
On en déduit:
$\left\langle {{X^2}(t)} \right\rangle = {\tau ^2} \cdot \sum\limits_{i = 0}^{Nc - 1} {\sum\limits_{j = 0}^{{N_c} - 1} {\left\langle {{V_i} \cdot {V_j}} \right\rangle } } $

26)- La corrélation entre V_i et V_j dépend du nombre de chocs aléatoires subis entre l'état i et l'état j, soit de k = i–j. Elle est forte si k est faible, est tend vers 0 si le nombre de chocs aléatoires tend vers 0: les deux variables V_i et V_j sont alors pratiquement indépendantes.
27)- D'après le résultat établi à la question 15, on a:
${V_{k + 1}} = \frac{{2m}}{{M + m}}{v_i} + \frac{{M - m}}{{M + m}}{V_k}$ c'est à dire: ${V_0} \cdot {V_{k + 1}} = \frac{{2m}}{{M + m}}{v_i} \cdot {V_0} + \frac{{M - m}}{{M + m}}{V_0} \cdot {V_k}$
Les deux variables aléatoires v_i et V₀ n'étant pas corrélées, la moyenne de leur produit est égal au produit des moyennes: comme la moyenne de v_i est nulle, la valeur moyenne du produit V₀V_k+1 s'écrit:
$\left\langle {{V_0} \cdot {V_{k + 1}}} \right\rangle = \frac{{M - m}}{{M + m}}\left\langle {{V_0} \cdot {V_k}} \right\rangle $
28)- Il y a de nombreux chocs, et le temps τ entre deux chocs peut être considéré comme très petit: on peut poser τ = dt. On a alors:
$\left\langle {{V_0}V} \right\rangle (t + dt) - \left\langle {{V_0}V} \right\rangle (t) = \left( {\frac{{M - m}}{{M + m}} - 1} \right)\left\langle {{V_0}V} \right\rangle (t)$
soit:
$\frac{{d\left( {\left\langle {{V_0}V} \right\rangle } \right)}}{{\left\langle {{V_0}V} \right\rangle }} = - \frac{{2m}}{{(M + m)\tau }}dt$
Expression que l'on peut intégrer en tenant compte des conditions initiales: t = kτ : pour t = 0, k = 0. On a alors:
V₀V = V₀². On en déduit:
Avec:
$\left\langle {{V_0}{V_k}} \right\rangle = \left\langle {{V^2}} \right\rangle {e^{ - \frac{{k\tau }}{{{\tau _m}}}}}$
${\tau _m} = \frac{{M + m}}{{2m}} \cdot \tau $
Lorsque le nombre de chocs aléatoire tend vers l'infini, les vitesses ne sont plus corrélées: on trouve logiquement que la valeur moyenne précédente tend vers 0, puisqu'elle tend vers le carré de la valeur moyenne de V qui est nulle. τ_M , qui représente une constante de temps caractéristique de la décroissance de la corrélation pourrait être appelée temps de corrélation..
30)- A priori, $\left\langle {{V_i} \cdot {V_j}} \right\rangle = \left\langle {{V_j} \cdot {V_i}} \right\rangle $, c'est à dire que $\left\langle {{V_0} \cdot {V_k}} \right\rangle = \left\langle {{V_0} \cdot {V_{ - k}}} \right\rangle $. Dans ces conditions, $\left\langle {X{{(t)}^2}} \right\rangle $ peut s'écrire:
$\left\langle {X{{(t)}^2}} \right\rangle = 2{\tau ^2}\left[ {{N_c}\left\langle {{V^2}} \right\rangle + ({N_c} - 1) \cdot \left\langle {{V_0}{V_1}} \right\rangle + ({N_c} - 2) \cdot \left\langle {{V_0}{V_2}} \right\rangle + ... + ({N_c} - k) \cdot \left\langle {{V_0}{V_k}} \right\rangle + ...} \right]$
soit:
$\left\langle {X{{(t)}^2}} \right\rangle = 2{\tau ^2} \cdot \sum\limits_0^{{N_c} - 1} {\left[ {({N_c} - k) \cdot \left\langle {{V_0}{V_k}} \right\rangle } \right]} = 2{\tau ^2} \cdot \sum\limits_0^{{N_c} - 1} {\left[ {({N_c} - k) \cdot \left\langle {{V^2}} \right\rangle {e^{ - k\frac{\tau }{{{\tau _{_M}}}}}}} \right]} $
qui peut s'écrire:
$\left\langle {X{{(t)}^2}} \right\rangle = 2{\tau ^2}{N_c}\left\langle {{V^2}} \right\rangle \sum\limits_0^{{N_c} - 1} {{e^{ - k\frac{\tau }{{{\tau _{_M}}}}}}} + 2{\tau ^2}\left\langle {{V^2}} \right\rangle {\tau _M}\frac{d}{{d\tau }}\sum\limits_0^{{N_c} - 1} {{e^{ - k\frac{\tau }{{{\tau _{_M}}}}}}} $
En considérant que l'on prend en compte un très grand nombre de chocs, on peut raisonnablement sommer de 0 à l'infini: on a alors:
$\left\langle {X{{(t)}^2}} \right\rangle = 2{\tau ^2}{N_c}\left\langle {{V^2}} \right\rangle \frac{1}{{1 - {e^{ - \frac{\tau }{{{\tau _{_M}}}}}}}} + 2{\tau ^2}\left\langle {{V^2}} \right\rangle {\tau _M} \cdot \frac{d}{{d\tau }}\frac{1}{{1 - {e^{ - \frac{\tau }{{{\tau _{_M}}}}}}}}$
soit, compte tenu du fait que t = N_c.τ :
$\left\langle {X{{(t)}^2}} \right\rangle = 2\tau \cdot t \cdot \left\langle {{V^2}} \right\rangle \frac{1}{{1 - {e^{ - \frac{\tau }{{{\tau _{_M}}}}}}}} + 2{\tau ^2}\left\langle {{V^2}} \right\rangle \cdot \frac{{{e^{ - \frac{\tau }{{{\tau _{_M}}}}}}}}{{{{\left( {1 - {e^{ - \frac{\tau }{{{\tau _{_M}}}}}}} \right)}^2}}}$
qui peut s'écrire:
$\left\langle {X{{(t)}^2}} \right\rangle = \cdot \frac{{2\tau \left\langle {{V^2}} \right\rangle }}{{1 - {e^{ - \frac{\tau }{{{\tau _{_M}}}}}}}}\left[ {t + \tau \cdot \frac{{{e^{ - \frac{\tau }{{{\tau _{_M}}}}}}}}{{1 - {e^{ - \frac{\tau }{{{\tau _{_M}}}}}}}}} \right]$
La détermination de τ_M a montré que τ_M est nettement plus grand que τ. De ce fait, $(1 - {e^{ - \frac{\tau }{{{\tau _{_M}}}}}})$ est voisin de 1, et le rapport $\frac{{{e^{ - \frac{\tau }{{{\tau _{_M}}}}}}}}{{(1 - {e^{ - \frac{\tau }{{{\tau _{_M}}}}}})}}$ est nettement plus petit que 1. Comme de plus, t >> τ, la moyenne quadratique de X(t)² a la valeur approchée:
$\left\langle {X{{(t)}^2}} \right\rangle = \cdot \frac{{2\tau \left\langle {{V^2}} \right\rangle }}{{1 - {e^{ - \frac{\tau }{{{\tau _{_M}}}}}}}} \cdot t$
On obtient bien la relation proposée par l'énoncé, en posant:
$D = \cdot \frac{{\tau \left\langle {{V^2}} \right\rangle }}{{1 - {e^{ - \frac{\tau }{{{\tau _{_M}}}}}}}} \approx \tau \left\langle {{V^2}} \right\rangle $
( On peut remarquer qu'en utilisant les valeurs numériques proposées pour M et m, ainsi que l'ordre de grandeur de τ_M, on trouve τ = 4,5.10^-13 s, et:
$D \approx 14 \cdot {10^{ - 12}}{m^2} \cdot {s^{ - 1}} \approx 14\mu {m^2} \cdot {s^{ - 1}}$
Ce qui est bien l'ordre de grandeur de la valeur numérique proposée à la question suivante.
31)- La molécule doit parcourir environ 2w = 3 µm pour traverser le volume confocal; l'ordre de grandeur de son temps de séjour sera donc:
$t = \frac{{2{w^2}}}{D}$
32)- ?? Pas de détermination possible sans résultat à la question 14.
t = 1,8 s

III- Mouvement de l'ARN-Polymérase:
33)- La distance d recherchée s'écrit:
$d = \frac{{3,3 \cdot {{10}^{ - 10}} \cdot 3 \cdot {{10}^9}}}{{30000}} = 33\mu m$
34)- On en déduit:
$t = \frac{{33{}^2}}{{20}} = 54,5s$
35)- Avec la nouvelle valeur proposée pour le coefficient de diffusion, on trouve:
t=4188 s
Ce temps, supérieur à 1 heure peut sembler long. Mais comment en faire un commentaire sérieux, alors qu'il s'agit d'un phénomène biologique dont le candidat ( et moi-même ! ) ignore tout ?

Concours Physique ENS de Lyon et Cachan (MP) 2001 (Énoncé)

LC 116
J. 5110
SESSION 2001
Filière MP
PHYSIQUE
(Épreuve commune aux ENS: Lyon et Cachan)
Durée: 4 heures
L’usage de calculatrices électroniques de poche à alimentation \(autonom{e_J}\) non imprimantes \(ei\) sans document d’accompagnement, est autorisé. Cependant, une seule calculatrice à la fois est admise sur la table ou le poste de travail, et aucun échange n’est autorisé entre les candidats.
Tournez la page S.V.P.
Mouvements de molécules biologiques
Epreuve de Physique: aucune connaissance en Biologie n’est nécessaire.
Ce problème comprend trois parties qui sont relativement indépendantes. Il s’agit de caractériser les mouvements de molécules nécessaires au fonctionnement d’organismes vivants. Les raffinements de la biologie nécessitent maintenant de pouvoir détecter des molécules en très petit nombre, voire des molécules individuelles. La première partie analyse une technique expérimentale nouvelle, reposant sur l’observation optique de ces molécules, en vue de mesurer leur temps de résidence dans un volume donné. Dans la deuxième partie on analyse quelques caractéristiques du mouvement brownien, mouvement aléatoire provoqué par l’agitation thermique des molécules environnantes. La troisième partie est une application des deux premières au cas particulier de la transcription du génome.
On s’intéressera plus aux ordres de grandeurs des phénomènes, plutôt qu’à effectuer des calculs exacts. On demande une rédaction concise, claire et soignée.

I Spectroscopie de corrélation de fluorescence
On va analyser le système optique suivant, dit confocal:
Laser

Un laser bleu est focalisé sur la zone de travail dans le plan \(P\) à l’aide d’un objectif de microscope modélisé par une lentille de focale \(f\) et de diamètre utile\(\Phi \). Sous l’illumination de ce laser, les molécules que l’on veut observer, ayant été préalablement modifiées, émettent une lumière de fluorescence dont le spectre se situe dans le jaune $(\lambda >520nm)$ . Cette lumière est émise dans toutes les directions, et elle n’a aucune relation de cohérence avec la lumière excitatrice. Un filtre coloré permet de couper la lumière du laser, et d’observer uniquement la lumière de fluorescence qui provient des molécules situées dans la zone de travail.
1) A quelle distance le plan \(P\) se trouve-t-il de la première lentille ?
Le point sur lequel se focalise le faisceau laser, est conjugué, par l’intermédiaire d’une deuxième lentille de propriétés identiques à la première, avec un petit trou, derrière lequel est placé le détecteur.
2) A quelle distance se trouve le plan \(P\) de la deuxième lentille ? A.N. pour $f=2mm.$
3) Quels effets physiques font que l’image du faisceau laser dans le plan \(P\) n’est pas parfaitement ponctuelle ?
4) On suppose que les lentilles sont parfaites. Donner la taille de la tache de diffraction par la pupille de la première lentille, dans le plan P. On se contentera de faire un calcul à une dimension (diffraction par une fente de largeur\(\Phi \)). A.N. pour une lentille d’ouverture numérique$\frac{\Phi }{2f}=0.7.$

5) On s’intéresse à la profondeur de champ de la première lentille. Si l’on place un écran mobile entre les deux lentilles, on observe une tache lumineuse dont le rayon \(r\) varie en fonction de la position \(z\) de l’écran. Donner l’expression de \(r\left( z \right)\) loin du point focal (point O). On prendra le plan \(P\) comme origine de l’axe Oz. En utilisant la question précédente qui donne \(r\left( 0 \right)\) , tracer l’allure de \(r\left( z \right)\) dans le cas particulier \(\frac{\Phi }{{2f}} = 0.7.\)
6) En déduire l’allure du flux lumineux (puissance par unité de surface) pour un point situé sur l’axe optique, en fonction de\(z\). Sur un graphe à la même échelle, on portera l’allure du flux lumineux en un point du plan\(P\), en fonction de la distance à l’axe optique. Comparer.
On supposera dans la suite que le taux d’émission de fluorescence de chaque molécule est proportionnel à ce flux. Pour que le signal de fluorescence émis par une molécule soit détecté il faut que le flux du laser sur cette molécule soit supérieur à une certaine fraction (de l’ordre de 1/10^ème) du flux maximum (c’est à dire le flux sur l’axe optique au plan P). Sinon le système de détection ne “voit » pas la molécule. Ceci définit le volume confocal, dans lequel les molécules sont détectées.
\(7\rangle \) Donner les caractéristiques du volume confocal: forme et dimensions approximatives suivant Oz et suivant Ox et Oy. A.N.
8) A.N. Calculer le volume de la zone confocale. Quel doit être la concentration d’une solution de molécules fluorescentes placée dans la zone de travail, et pour laquelle on aurait en moyenne une molécule dans le volume confocal ? Comment seraient modifiés ces résultats si l’on disposait d’une lentille d’ouverture numérique \(\frac{\Phi }{{2f}} = 1.2.\)

9) On a négligé l’effet de sélection spatiale du trou du détecteur. A votre avis quel est
son effet sur les dimensions du volume confocal ? Quel serait à votre avis le diamètre optimal du trou ?
Dans la suite on simplifiera en supposant que le volume confocal est une sphère de rayon \(w = 1.5\mu m.\)

Intensité détectée

Lorsqu’une molécule se trouve dans le volume confocal, le détecteur reçoit un signal ${{I}_{ max }},$ que l’on supposera constant. Dès qu’elle en sort, le signal disparaît. On supposera que la solution est suffisamment diluée pour que l’on puisse négliger la probabilité d’avoir plusieurs molécules au même moment dans le volume confocal. Dans un premier temps on suppose que les molécules ont toutes des vitesses proches les unes des autres. On appellera\({\tau _{r\'e sid}}\), le temps moyen de résidence des molécules dans le volume confocal, et \(T\) le temps moyen entre les passages de deux molécules successives.
10) donner la moyenne de l’intensité \(\left\langle {I\left( t \right)} \right\rangle en\) fonction de \({\tau _{r\'e sid}}\) et \(T.\)
L’appareil mesure la fonction d’auto-corrélation du signal de l’intensité:
\(g\left( \tau \right) = \frac{{\left\langle {\delta I\left( t \right) \cdot \delta I\left( {t + \tau } \right)} \right\rangle }}{{ < I{ > ^2}}}\), où \(\delta I\left( t \right) = I\left( t \right) - \left\langle I \right\rangle \)
11) que vaut \(g\left( \tau \right)\)pour \(\tau \to 0\)? (en fonction de \({\tau _{r\'e sid}}\) et \(T\)). Montrer que \(g\left( 0 \right) = \frac{1}{{{N_s}}},\) où \({N_s}\) est le nombre moyen de molécules dans le volume confocal \(({N_s} < < 1)\)
12) que vaut \(g\left( \tau \right)\) pour \(\tau > > {\tau _{r\'e sid}}\) ? On admettra que pour deux variables a et \(b\) non corrélées \(\left\langle {ab} \right\rangle = \left\langle a \right\rangle \left\langle b \right\rangle .\)
13) En supposant que les molécules ont toutes exactement la même vitesse, le temps de résidence est alors constant\({\tau _{r\'e sid}} = {\tau _0}.\)

En prenant la forme tracée ci‐dessus pour l’intensité $\{I\left( t \right)={{I}_{ max }}$ pour \(0 < t < {\tau _0}\); \(I\left( t \right) = 0\)pour\({\tau _0} < t < T\} \), calculer la fonction \(g\left( \tau \right)\) , estimée à l’ordre le plus bas en \(\frac{{{\tau _0}}}{T}\) \(\left( {\frac{{{\tau _0}}}{T} < < 1} \right)\) et la tracer en fonction de \(\tau \).

14) Pour des mouvements aléatoires cette forme est modifiée, on admettra que s’attend à une forme de \(g\left( \tau \right)\) donnée par:
\(g\left( \tau \right) = \frac{1}{{Ns}}{\left( {1 + \frac{\tau }{{{\tau _{r\'e sid}}}}} \right)^{ - \frac{3}{2}}}\)
D’après l’allure des déterminations expérimentales de \(g\left( \tau \right)\) données ci dessous, déduire une estimation du temps de résidence de l’enzyme dans le volume confocal, d’une part lorsque la molécule est en solution, et d’autre part lorsqu’elle est dans le noyau d’une cellule vivante. Commentez le résultat.

Fonction d’auto-corrélation de l’intensité, pour des enzymes de masse molaire \(80000g/M\), en solution dans l’eau ( in vitro) et dams le noyau d’une cellule vivante (in vivo). Figure adaptée de: M. Wachsmuth, W. Waldeck et J.Langowski, Joumal of Molecular Biology, (2000) 298, p677.
II Mouvement aléatoire de molécules biologiques
L’avantage de la technique présentée dans la première partie est son extrême sensibilité, car elle permet de détecter des molécules individuelles. D’autre part elle reste efficace pour mesurer le temps de résidence dans un petit volume, même si les vitesses des molécules sont très changeantes. Dans cette partie nous allons calculer ce temps de résidence, dans le cas de molécules relativement grosses (enzymes) qui sont animées de mouvements erratiques, dus à l’agitation moléculaire communiquée par les chocs avec les molécules du milieu liquide dans lequel elles sont plongées. On supposera donc que de nombreuses molécules d’eau ont des chocs successifs avec l’enzyme. On supposera aussi que la vitesse de la molécule d’eau lors d’un choc est complètement indépendante de la vitesse de la molécule d’eau du choc précédent. La trajectoire des molécules qui sont dans le milieu ressemble donc au schéma suivant:
\(Q = \)enzyme

Les molécules d’eau ne sont pas représentées

II-a analyse d’un choc
On examinera un modèle unidimensionnel. On suppose que les molécules sont ponctuelles.
On va tout d’abord examiner un choc unique, que l’on considèrera comme élastique. Les vitesses algébriques avant le choc sont \({v_i}\) et \({V_i}\) et après elles sont \({v_f}\) et \({V_f}.\)
15) Donner l’expression de \({V_f}\) en fonction de \({v_i}\) et \({V_i}.\)
16) donner l’expression de l’énergie cinétique de l’enzyme après le choc en supposant données les vitesses \({v_i}\) et \({V_i}.\)
17) quel argument physique pe1met d’affirmer que pour les molécules d’eau \(\left\langle v \right\rangle = 0\) dans le liquide à l’équilibre?
18) Exprimer la moyenne de l’énergie cinétique de l’enzyme après le choc \({E_{cf}}\) , en fonction de son énergie cinétique avant le choc \({E_{ci}}\) La moyenne est à prendre vis à vis des nombreuses vitesses possibles de la molécule d’eau incidente \({v_i}.\)
19) Montrer que le bilan d’énergie du choc pour l’enzyme (positif s’il \(y\) a gain d’énergie pour l’enzyme), s’écrit en fonction de l’énergie cinétique initiale de l’enzyme et de l’énergie cinétique moyenne des molécules d’eau:
\(E{c_f} - E{c_i} = \frac{{4mM}}{{{{(M + m)}^2}}}\left( {\frac{1}{2}m\left\langle {{v^2}} \right\rangle - E{c_i}} \right)\)

20) Tracer sur un axe représentant l’énergie cinétique initiale de l’enzyme, les zones pour lesquelles le choc accélère l’enzyme, et celles où le choc la freine, en moyenne.
II-b vitesse quadratique moyenne
Nous allons examiner maintenant le bilan de nombreux chocs sur l’enzyme.
21) d’après les résultats précédents, que peut on dire de l’état stationnaire, après que la particule ait subi de nombreux chocs? Donner\(\left\langle {{E_c}} \right\rangle \), la valeur moyenne de l’énergie cinétique de l’enzyme à l’équilibre thermique. Pouvait‐on s’attendre à ce résultat ?
22) Etant toujours dans le cadre d’un modèle unidimensionnel, l’énergie cinétique de translation d’une mole de molécules d’eau s’écrit\(\frac{1}{2}RT\), où \(R\) est la constante des gaz parfaits, et \(T\) la température absolue. Calculer la vitesse quadratique moyenne des molécules d’enzyme à l’équilibre thermique: \(\bar \nabla = \sqrt {\left\langle {{V^2}} \right\rangle } .A.N\). à \({25^o}C\), on prendra pour la masse molaire de enzyme, \(M = 80{\rm{ }}000{\rm{ g/Mole}}\), celle de l’eau étant égale à 18g/Mole. \(R = 8.3J/Mol/K\)
II‐c déplacement aléatoire de la particule
On veut maintenant connaître de quelle distance se déplace une particule soumise à de nombreux chocs aléatoires des molécules d’eau environnantes, au bout d’un temps \(t\) On place l’origine de l’axe \(Ox\) là où l’enzyme se trouve au temps\(t = 0\). On suppose que l’on est capable de faire un grand nombre d’obse1vations successives, et d’en faire des moyennes.
23) donner l’expression \(X\left( t \right)de\) la position de l’enzyme, au bout d’un temps \(t\), en supposant qu’elle a subi \({N_c}\) chocs aléatoires espacés chacun d’un temps \(\tau \) , en fonction des vitesses \({V_i}\) après le \({i^{\`e me}}\) choc.
24) Quel argument physique permet d’affirmer que si l’on fait un grand nombre de fois la mesure, on trouvera \(\left\langle X \right\rangle = 0.\)
25) On va donc chercher à calculer l’écart quadratique moyen du déplacement de la particule : \(\sqrt {\left\langle {{X^2}} \right\rangle } \). Montrer que celui‐ci est donné par:
\( < X{(t)^2} > = {\tau ^2}\mathop \sum \limits_{i = 0}^{{N_c} - 1} \mathop \sum \limits_{j = 0}^{{N_c} - 1} < {V_i}{V_j} > \)
On va maintenant chercher à déterminer\(er\left\langle {{V_i}{V_j}} \right\rangle \), appelée fonction d’auto‐corrélation de la vitesse.

26) quel argument permet d’affirmer que \(\left\langle {{V_i}{V_j}} \right\rangle \) ne dépend que de \(k,\) \(k = j - i\) ?
27) on va donc calculer\(\left\langle {{V_0}{V_k}} \right\rangle \). En utilisant le résultat de la question 15), donner la relation entre \(\left\langle {{V_0}{V_{k + 1}}} \right\rangle \) et \(\left\langle {{V_0}{V_k}} \right\rangle .\)
28) en déduire que $\left\langle {{V}_{0}}{{V}_{k}} \right\rangle =\left\langle {{V}^{2}} \right\rangle \text{ }\!\!~\!\!\text{ exp }\!\!~\!\!\text{ }\left( -k\tau /{{\tau }_{m}} \right)$ . On donnera la valeur de\({\tau _m}\), en utilisant le fait que \(m < < M.\)
29) sachant que pour deux variables a et \(b\) non corrélées\(\left\langle {ab} \right\rangle = \left\langle a \right\rangle \left\langle b \right\rangle \), que représente physiquement \({\tau _m}\) ?
On peut montrer que pour une enzyme de taille moyenne \({\tau _m} < {10^{ - 9}}s\) !..
30) en utilisant 25) et 28) montrer que pour des temps longs par rapport à \({\tau _m},\)
\( < X{(t)^2} > = 2Dt\)où le coefficient \(D\) est appelé coefficient de diffusion. On donnera l’expression de \(D\) et sa dimension.
31) Estimer en utilisant le résultat précédent le temps de résidence moyen d’une molécule dans le volume confocal (sphère de rayon\(w = 1.5\mu m\)) en fonction de \(D\) et\(w\). On ne demande pas un calcul exact, seulement un ordre de grandeur. A.N. pour \(D = 10\mu {m^2}/s.\)
32) Montrer que les questions précédentes permettent d’estimer le coefficient de diffusion des enzymes en solution (in vitro) ou dans le noyau \({d^1}une\) cellule vivante (in vivo), en s’appuyant sur les déterminations expérimentales de la question 14).
III Mouvement de l’ARN-polymérase

Schéma à deux échelles différentes du double brin d’ADN: en haut on a représenté l’enchaînement des paires de bases. En bas le dessin représente la situation à plus grande échelle.
Dans tous les organismes vivants, le double brin d’ADN recèle l’info1mation génétique sous la forme d’une suite de paires de bases, les bases étant des groupements moléculaires désignés par les lettres A, T, C ou G. L’ARN-polymérase est une enzyme pa1ticulière dont la fonction est de parcourir le double brin d’ADN, pour faire une copie d’un gène sous la forme d’un brin d’ARN qui contient lui aussi une suite de bases. Ce brin d’ARN, après de multiples transformations, servira à la fabrication de protéines ou d’enzymes qui peuvent avoir d’autres fonctions dans la cellule. L’ARN-polymérase est donc essentielle au fonctionnement des organismes vivants à tous les stades de leur vie. Pour commencer cette transcription, l’ARN-polymérase doit tout d’abord “trouver” un site de démarrage appelé promoteur. On ne connaît pas actuellement de mécanisme qui pourrait guider I’ARN-polymérase vers le promoteur, et on pense que 1’enzyme trouve celui‐ci par hasard, en coulissant le long du brin d’ADN, ballottée par les chocs des molécules d’eau environnantes.
On supposera que tous les résultats de la deuxième partie obtenus sur un modèle unidimensionnel sont encore valides, en remplaçant la coordonnée \(X\) par 1’abscisse curviligne \(s\) qui repère la position de l’enzyme le long du brin d’ADN.

33) calculer la distance moyenne entre deux promoteurs de gènes voisins, dans le cas d’ADN humain. On utilisera le fait que le génome humain compte environ \({310^9}\) paires de bases, qui sont espacées d’environ\(3.3{A^o}\). D’autre part le nombre total de gènes \({d^1}un\) humain est estimé à 30000, bien que tous ne soient pas encore identifiés. On supposera qu’il \(y\) a un promoteur par gène.
34) En déduire le temps moyen de diffusion de I’ARN polymérase pour trouver un promoteur, en utilisant le résultat de la question 30). A.N. pour \(D = 10\mu {m^2}/s\)
35) Le calcul précédent ne tient pas compte du frottement de la polymérase sur le double brin d’ADN. Des expériences ont montré qu’a cause de ce effet, le coefficient de diffusion vaut \(D = {1.310^{ - 1}}\mu {m^2}ls\). Corrigez le calcul précédent et commentez l’ordre de grandeur des temps de recherche de promoteurs trouvés.

Concours Physique ENS de Lyon et Cachan (PC) 2001 (Corrigé)

Corrigé de l’épreuve de physique du concours ENS Lyon Cachan PC 2001
(diffusion de la lumière par une suspension de billes)
Ce problème fait la théorie d’une expérience relatée par un article de Gilbert Jarry, Elisa Steimer, Vivien Damaschini, Marc Jurczak et Robin Kaiser (J. Opt. 1997 83-89).
I.A.1 Les relations de passage sont :${\vec E_{2T}} = {\vec E_{1T}}\quad n_2^2{E_{2N}} = n_1^2{E_{1N}}\quad {\vec B_2} = {\vec B_1}$.
I.A.2 Appliquons ces relations sur le plan $z = 0$, en tenant compte que pour une onde plane progressive $\underline {\vec B} = \frac{{\vec k}}{\omega } \wedge \underline {\vec E} $ :
$\left\{ \begin{array}{l}{{\vec E}_i} + {{\vec E}_r} = {{\vec E}_t}\\{{\vec B}_i} + {{\vec B}_r} = {{\vec B}_t}\end{array} \right.$
Comme les ondes électromagnétiques sont transversales et comme les ondes considérées sont polarisées selon Oy, ${k_{i,y}} = {k_{r,y}} = {k_{t,y}} = 0$, donc la première loi de Descartes, qui dit que les rayons incident, réfléchi et réfracté et la normale au dioptre sont dans un même plan, est automatiquement vérifiée. Il reste à vérifier que quel que soit $x$ :
${E_0}\exp [i(\omega t - x{k_{i,x}}) + R{E_0}\exp [i(\omega t - x{k_{r,x}})  = T{E_0}\exp [i(\omega t - x{k_{t,x}})$
$\frac{{{{\vec k}_i} \wedge {{\vec e}_y}{E_0}}}{\omega }\exp [i(\omega t - x{k_{i,x}})] + \frac{{{{\vec k}_r} \wedge {{\vec e}_y}R{E_0}}}{\omega }\exp [i(\omega t - x{k_{r,x}})] = \frac{{{{\vec k}_t} \wedge {{\vec e}_y}T{E_0}}}{\omega }\exp [i(\omega t - x{k_{t,x}})]$
Par conséquent : ${k_{i,x}} = {k_{r,x}} = {k_{t,x}}$. Or, ${k_x} = \frac{{n\omega }}{c}\sin (Oz,\vec k)$. Donc l’égalité de ces composantes sur l’axe des x signifie que les rayons incident et réfléchi font des angles opposés avec l’axe $Oz$ et que ${n_1}\sin i = {n_2}\sin i'$.

I.A.3 La continuité de $\vec E$ donne $1 + R = T$ ; celle de $\vec B$ s’écrit
$\frac{{({{\vec k}_i} + R{{\vec k}_r} - T{{\vec k}_t}) \wedge {{\vec e}_y}{E_0}}}{\omega } = \vec 0$, soit ${\left( {{{\vec k}_i} + R{{\vec k}_r} - T{{\vec k}_t}} \right)_z} = 0\quad {\rm{et}}\quad {\left( {{{\vec k}_i} + R{{\vec k}_r} - T{{\vec k}_t}} \right)_x} = 0$
La première de ces deux relations donne${n_1}\cos i - {n_1}\cos i\,R = {n_2}\cos i'\,T$ et la seconde redonne $1 + R = T$.
En résumé, les conditions de passage imposent :
$\left\{ \begin{array}{ccccc}1 + R & = T\\(1 - R){n_1}\cos i\, & = T{n_2}\cos i'\end{array} \right. \Rightarrow R = \frac{{{n_1}\cos i - {n_2}\cos i'}}{{{n_1}\cos i + {n_2}\cos i'}}$
I.A.4 Si ${n_1}$ et ${n_2}$ sont voisins,
$\begin{array}{l}{n_1}\cos i + {n_2}\cos i' \approx 2n\sin \theta \\{n_1}\cos i - {n_2}\cos i' = {n_1}\cos i - {n_2}\sqrt {1 - \frac{{n_1^2{{\sin }^2}i}}{{n_2^2}}} = n\cos i - \sqrt {{{(n + \delta n)}^2} - {n^2}{{\sin }^2}i} = n\cos i - \sqrt {{n^2}{{\cos }^2}i + 2n\delta n + \delta {n^2}} \\ = n\cos i\left( {1 - \sqrt {1 + \frac{{2n\delta n + \delta {n^2}}}{{{n^2}{{\cos }^2}i}}} } \right) \approx - \frac{{\delta n}}{{\cos i}} = - \frac{{\delta n}}{{\sin \theta }}\\R \approx - \frac{{\delta n}}{{2n{{\sin }^2}\theta }}\end{array}$
I.B.1
$\begin{array}{l}\vec r = \overrightarrow {OM} = \overrightarrow {OO'} + \overrightarrow {O'M} = \vec r' - Vt{{\vec e}_z}\\\vec E = {E_0}\exp [i(\omega t + {k_z}Vt - \vec k \cdot \vec r')]{{\vec e}_y}\end{array}$
qui est de la forme demandée si $\omega ' = \omega + {k_z}V\;,\;\vec k' = \vec k$.

I.B.2 Soit $\omega $ est la pulsation commune à l’onde incidente et à l’onde réfléchie dans le référentiel du dioptre. Le référentiel du laboratoire se meut à la vitesse $V{\vec e_z}$ par rapport au dioptre ; dans ce référentiel, l’onde incidente a pour pulsation ${\omega _i} = \omega - {k_{i,z}}V = \omega - Vk\sin \theta $ et l’onde réfléchie ${\omega _r} = \omega - {k_{r,z}}V = \omega + Vk\sin \theta $, donc $\Delta \omega = 2Vk\sin \theta = \frac{{2n\omega V\sin \theta }}{c}$.

I.C.1 La différence de marche entre l’onde réfléchie en $z = 0$ et celle réfléchie en $z = {z_i}$ est $\delta = {n_c}(HI + IK) = 2{z_i}{n_c}\sin {\theta _c} = 2{n_a}\sin {\theta _a}{z_i}$.Le déphasage est $\phi ({z_i}) = \frac{{2\pi \delta }}{{{\lambda _0}}} = \frac{{4\pi {n_a}\sin {\theta _a}{z_i}}}{{{\lambda _0}}}$.
I.C.2 Si $dR = - \frac{1}{{2{n_c}{{\sin }^2}{\theta _c}}}\frac{{\partial n}}{{\partial z}}dz = \frac{{\pi \Delta n}}{{{n_c}{{\sin }^2}{\theta _c}\Lambda }}\sin \left[ {2\pi \left( {ft + \frac{z}{\Lambda }} \right)} \right]dz$ est le facteur de réflexion de l’amplitude d’une couche d’épaisseur dz, alors, à un déphasage d’ensemble $\psi $ près,
$\underline E = \int {dR\,{E_0}\exp (i(\omega t - \phi (z)} )) = \int\limits_{ - L/2}^{L/2} {\frac{{\pi \Delta n{E_0}\exp (i\omega t)}}{{{n_c}{{\sin }^2}{\theta _c}\Lambda }}\sin \left[ {2\pi \left( {ft + \frac{z}{\Lambda }} \right)} \right]\exp \left( { - i\frac{{4\pi {n_a}\sin {\theta _a}z}}{{{\lambda _0}}}} \right)dz} $
Or
$\begin{array}{l}\int\limits_{ - y}^y {\exp (iaz)\sin (bz + c)} dz = \frac{1}{{2i}}\int\limits_{ - y}^y {\left[ {\exp (i((a + b)z + c)) - \exp (i((a - b)z - c))} \right]} dz\\ = \frac{1}{{2i}}\left\{ {\left[ {\frac{{\exp (i((a + b)z + c))}}{{i(a + b)}}} \right]_{ - y}^y - \left[ {\frac{{\exp (i((a - b)z - c))}}{{i(a - b)}}} \right]_{ - y}^y} \right\}\\ = \frac{{\exp (ic)\sin ((a + b)y)}}{{i(a + b)}} - \frac{{\exp ( - ic)\sin ((a - b)y)}}{{i(a - b)}} = \frac{y}{i}[\exp (ic)sinc((a + b)y) - \exp ( - ic)sinc((a - b)y)]\end{array}$
D’où
$\underline E = \frac{{\pi \Delta nL{E_0}\exp (i\omega t)}}{{2i{n_c}{{\sin }^2}{\theta _c}\Lambda }}\left\{ {\exp (i2\pi ft)sinc\left[ {\pi L\left( {\frac{1}{\Lambda } - \frac{{2{n_a}\sin {\theta _a}}}{{{\lambda _0}}}} \right)} \right] - \exp ( - i2\pi ft)sinc\left[ {\pi L\left( {\frac{1}{\Lambda } + \frac{{2{n_a}\sin {\theta _a}}}{{{\lambda _0}}}} \right)} \right]} \right\}$
$K = \frac{{\pi \Delta nL{E_0}}}{{2{n_c}{{\sin }^2}{\theta _c}\Lambda }}\quad \alpha (t) = 2\pi ft$

I.C.3 La fonction $sinc(x)$ est maximum pour $x = 0$, donc les modules des deux termes entre accolades sont maxima, le premier pour ${\theta _a} = {\theta _B} = \arcsin \frac{{{\lambda _0}}}{{2{n_a}\Lambda }}$, le second pour ${\theta _a} = - {\theta _B}$.

La fonction $sinc(x)$ s’annule pour $x = \pm \pi $, donc les modules des deux termes sont nuls, l’un pour $\sin {\theta _a} = \frac{{{\lambda _0}}}{{2{n_a}}}\left( {\frac{1}{\Lambda } \pm \frac{1}{L}} \right)$, l’autre pour les valeurs opposées. Comme $L > > \Lambda > > {\lambda _0}$ , l’intensité émergente présente deux pics très étroits pour deux valeurs petites et opposées de ${\theta _a}$. Voici le graphe de l’intensité en fonction de ${\theta _a}$ exprimé en degrés :

I.C.4 A l’incidence de Bragg, $\delta ({z_i} + \Lambda ) - \delta ({z_i}) = 2{n_a}\sin {\theta _a}\Lambda = {\lambda _0}$, qui est la condition d’interférence constructive.

I.C.5 D’après l’expression démontrée à la question I.C.2, pour ${\theta _a} = {\theta _B}$, le terme principal de $\underline E $ est proportionnel à $\exp (i(\omega + 2\pi f)t)$, donc est décalé en pulsation de $\Delta \omega = + 2\pi f$ ; pour ${\theta _a} = - {\theta _B}$, le terme principal de $\underline E $ est proportionnel à $\exp (i(\omega - 2\pi f)t)$, donc est décalé en pulsation de $\Delta \omega = - 2\pi f$.

Dans le premier cas, la question B.2 prévoit un décalage $\Delta \omega = \frac{{2{n_c}\sin ({\theta _c})V\omega }}{c} = \frac{{{\lambda _0}}}{{2\Lambda }}\frac{{2V\omega }}{c} = 2\pi \frac{V}{\Lambda } = 2\pi f$. Dans le deuxième cas, elle prévoit le décalage opposé, puisque la vitesse du miroir équivalent est dans la disposition contraire.
II.A.1 Sur le détecteur, ${\vec k_0} \cdot \vec r = {\vec k_1} \cdot \vec r = 0$, donc, en moyennant sur un intervalle de temps grand par rapport à la période de la lumière et petit par rapport à la période acoustique :
$\begin{array}{l}s = \eta {b^2}\frac{1}{{{\mu _0}c}}\left\langle {{{\left[ {{E_0}\cos ((\omega + \Delta \omega )t + {\phi _0}) + {E_1}\cos (\omega t + {\phi _1})} \right]}^2}} \right\rangle \\ = \eta {b^2}\frac{1}{{{\mu _0}c}}\left[ {\frac{{E_0^2 + E_1^2}}{2} + 2{E_0}{E_1}\left\langle {\cos ((\omega + \Delta \omega )t + {\phi _0})\cos (\omega t + {\phi _1})} \right\rangle } \right]\end{array}$
Or $\left\langle {\cos ((\omega + \Delta \omega )t + {\phi _0})\cos (\omega t + {\phi _1})} \right\rangle = \frac{1}{2}[\cos (\Delta \omega t + {\phi _0} - {\phi _1})]$
D’où: $s = \eta {b^2}\left[ {{I_0} + {I_1} + 2\sqrt {{I_0}{I_1}} \cos (\Delta \omega t + {\phi _0} - {\phi _1})} \right]$
II.A.2 Supposons les deux ondes polarisées suivant ${\vec e_y}$ et que dans le plan du détecteur ${\vec k_0} \cdot \vec r = 0$ et ${\vec k_1} \cdot \vec r = kx\alpha $.
$\begin{array}{l}s = \eta b\int\limits_{ - b/2}^{b/2} {\frac{1}{{{\mu _0}c}}\left\langle {{{\left[ {{E_0}\cos ((\omega + \Delta \omega )t + {\phi _0}) + {E_1}\cos (\omega t - k\alpha x + {\phi _1})} \right]}^2}} \right\rangle dx} \\ = \eta b\frac{1}{{{\mu _0}c}}\left[ {b\frac{{E_0^2 + E_1^2}}{2} + \int\limits_{ - b/2}^{b/2} {2{E_0}{E_1}\left\langle {\cos ((\omega + \Delta \omega )t + {\phi _0})\cos (\omega t - k\alpha x + {\phi _1})} \right\rangle dx} } \right]\end{array}$
$\left\langle {\cos ((\omega + \Delta \omega )t + {\phi _0})\cos (\omega t - k\alpha x + {\phi _1})} \right\rangle = \frac{1}{2}\cos (\Delta \omega t - k\alpha x + {\phi _0} - {\phi _1})$
Comme $\int\limits_{ - y}^y {\cos (ax + b)dx} = \frac{1}{a}[\sin (ax + b)]_{ - y}^y = \frac{{\sin (ay + b) - \sin ( - ay + b)}}{a} = \frac{{2\sin ay\cos b}}{a} = 2ysinc(ay)\cos b$
$s = \eta {b^2}\left\{ {{I_0} + {I_1} + 2\sqrt {{I_0}{I_1}} \cos (\Delta \omega t + {\phi _0} - {\phi _1})sinc\left( {\frac{{k\alpha b}}{2}} \right)} \right\}$
Si $\alpha $ n’est pas très petit, l’amplitude du terme de battement est très petite.
II.A.3 Le battement est observable si l’argument de la fonction $\sin c$ est inférieur à $\frac{\pi }{2}$, donc si $\alpha < \frac{{{\lambda _0}}}{{2\pi b}}$, soit $\alpha < {10^{ - 4}}rad$.
II.B.1 $s(t)m(t) = \eta {b^2}\left\{ {{I_0} + {I_1} + 2\sqrt {{I_0}{I_1}} \cos (2\pi ft + {\phi _0} - {\phi _1})} \right\}{m_0}\cos (2\pi ft)$
Comme ${\cos ^2}x = \frac{{1 + \cos 2x}}{2}$, la composante continue de $s(t)$ est $s'(t) = \eta {b^2}\sqrt {{I_0}{I_1}} {m_0}\cos ({\phi _0} - {\phi _1})$ ; ${S_1} = {\eta ^2}{b^4}{I_0}{I_1}m_0^2{\cos ^2}({\phi _0} - {\phi _1})$ est proportionnel à ${I_1}$.

II.B.2 Un déplacement très faible d’un miroir de renvoi modifie de façon importante ${\phi _0} - {\phi _1}$.

II.B.3 Considérons le montage de droite. Les montages diviseurs de tension $r,r$ et $R,C$ montrent que $u = \frac{e}{2} = \frac{{{E_M}}}{2}\cos \omega t$ et $\frac{{\underline u - \underline v }}{R} = \frac{{\underline e }}{{R + \frac{1}{{jC\omega }}}}$, soit, si $RC\omega = 1$, $\underline v = \underline u - \frac{{\underline e }}{{1 - j}} = \underline u - \frac{{2\underline u }}{{1 - j}} = \underline u - (1 + j)\underline u = - j\underline u $
$v = {\mathop{\rm Re}\nolimits} \left\{ { - j\frac{{{E_M}}}{2}{e^{j\omega t}}} \right\} = \frac{{{E_M}}}{2}\sin \omega t$. Les tensions $u,v$ fournissent donc les tensions $m,m'$ recherchées, de même amplitude et déphasées de 90°, la masse étant reliée à A et les tensions prélevées en B et D éventuellement à l’aide de montages suiveurs pour ne pas les perturber. Si la masse est située à une des bornes de $e$, il faut interposer un transformateur d’isolement. Ce montage ne fonctionne que pour une fréquence déterminée, mais on peut supposer la fréquence acoustique fixe sans restreindre son utilisation.
II.B.4 ${S_2} = {\left\langle {s(t)m'(t)} \right\rangle ^2} = {\eta ^2}{b^4}{I_0}{I_1}m_0^2{\sin ^2}({\phi _0} - {\phi _1})$. En formant ${S_1} + {S_2}$ (montage sommateur), on obtient un signal proportionnel à ${I_1}$ et insensible aux variations de déphasage.
II.C.1 La lumière diffractée ou réfractée par les billes a changé de direction et donc d’après II.A donne un signal négligeable dans le détecteur.
II.C.2 Une tranche de la cuve de section $S$ et d’épaisseur $dz$ contient $\nu S\,dz$ billes qui soumises à l’intensité ${I_c}(z)$ diffusent la puissance ${\sigma _d}\nu S\,dz\,{I_c}(z)$, d’où le bilan énergétique pour la lumière cohérente ${I_c}(z)S = {I_c}(z + dz)S + \nu S\,dz{\sigma _d}\,{I_c}(z)$et l’équation différentielle $\frac{{d{I_c}}}{{dz}} = - \sigma \nu {I_c}$, à variables séparables, qui s’intègre comme $\int\limits_{{I_{c0}}}^{{I_c}(D)} {\frac{{dI}}{I}} = - \sigma \nu D \Rightarrow \ln \frac{{{I_c}(D)}}{{{I_{c0}}}} = - \sigma \nu D \Rightarrow {I_c}(D) = {I_{c0}}\exp ( - \sigma \nu D)$, où ${I_{c0}}$ est l’intensité pénétrant dans la cuve (en pratique c’est plutôt l’intensité que reçoit le détecteur en l’absence de billes, car il faut tenir compte de la réflexion de la lumière par les faces de la cuve, de l’absorption de la lumière par l’eau…).

II.C.3 Soit $V$ le volume d’une bille et $x$ la fraction volumique des billes dans la cuve ; $x = \nu V$ ; le rapport $ - \frac{1}{x}\ln \frac{{{I_c}(D)}}{{{I_{c0}}}}$ prend les valeurs 19800 , 19200 , 19070 et 19400. Le caractère sensiblement constant de ce rapport montre que la loi de Beer-Lambert est vérifiée.

$\begin{array}{l} - \ln \frac{{{I_c}(D)}}{{{I_{c0}}}} = \nu \sigma D = \frac{x}{V}\frac{{24{\pi ^3}{V^2}}}{{\lambda _0^4}}{\left( {\frac{{{{({n_P}/{n_e})}^2} - 1}}{{{{({n_P}/{n_e})}^2} + 2}}} \right)^2}D\\V = \frac{{\lambda _0^4}}{{24{\pi ^3}D}}\frac{1}{x}\left( { - \ln \frac{{{I_c}(D)}}{{{I_{c0}}}}} \right){\left( {\frac{{{{({n_P}/{n_e})}^2} + 2}}{{{{({n_P}/{n_e})}^2} - 1}}} \right)^2} = \frac{{{{(6,328 \cdot {{10}^{ - 7}})}^4}}}{{24{\pi ^3} \times 0,1}} \times 19400 \times {\left( {\frac{{{{(1,59/1,33)}^2} + 2}}{{{{(1,59/1,33)}^2} - 1}}} \right)^2} = 2,67 \cdot {10^{ - 21}}{m^3}\\a = {\left( {\frac{{3V}}{{4\pi }}} \right)^{\frac{1}{3}}} = 8,6 \cdot {10^{ - 8}}m\quad (a < < {\lambda _0})\end{array}$
II.C.4 La précision avancée implique que l’incertitude relative sur $y=-\frac{1}{x}\ln \frac{{{I}_{c}}\left( D \right)}{{{I}_{c0}}}$ soit $\frac{{\Delta y}}{y} = \frac{{\Delta x}}{x} + \left( {\frac{{\Delta {I_c}(D)}}{{{I_c}(D)}} + \frac{{\Delta {I_{c0}}}}{{{I_{c0}}}}} \right)\frac{1}{{\left| {\ln \frac{{{I_c}(D)}}{{{I_{c0}}}}} \right|}} = 0,005 + (0,01 + 0,01)/({\rm{de }}4,95{\rm{ à }}19,4) = {\rm{de }}0,6{\rm{ à }}0,9\;\% $ alors que la dispersion des valeurs de $ - \frac{1}{x}\ln \frac{{{I_c}(D)}}{{{I_{c0}}}}$ est un peu supérieure. D’autre part, il n’est pas facile de mesurer à 1 % près deux intensités dont le rapport est 3.10⁸.
$\frac{{\Delta a}}{a} = \frac{1}{3}\frac{{\Delta V}}{V} = \frac{1}{3}\left( {\frac{{\Delta \ln \frac{{{I_c}(D)}}{{{I_{c0}}}}}}{{\left| {\ln \frac{{{I_c}(D)}}{{{I_{c0}}}}} \right|}} + \frac{{\Delta x}}{x}} \right) = \frac{1}{3}\left( {\frac{{\frac{{\Delta {I_c}(D)}}{{{I_c}(D)}} + \frac{{\Delta {I_{c0}}}}{{{I_{c0}}}}}}{{\left| {\ln \frac{{{I_c}(D)}}{{{I_{c0}}}}} \right|}} + \frac{{\Delta x}}{x}} \right) = \frac{1}{3}\left( {\frac{{0,01 + 0,01}}{{19,4}} + 0,005} \right) = 0,2\;\% $
Pour réaliser cette expérience telle quelle, il faut des billes extrêmement semblables ; l’exploitation de cette méthode permet de déterminer avec précision le rayon des billes ou la répartition de ces rayons.

III.A.1 et III.A.2

La contribution d’un volume $d\tau $ est celle d’un dipôle de moment $\vec Pd\tau $équivalent à la limite de deux charges $ - \rho \,d\tau $ en A et $\rho \,d\tau $ en B telles que $\rho \overrightarrow {AB} = \vec P$. Par conséquent, la sphère polarisée est équivalente à la limite de deux boules de centres O_– et O₊ portant des densités volumiques de charge $ - \rho $ et $ + \rho $ quand $\rho \to \infty \;,\;\rho \overrightarrow {{O_ - }{O_ + }} \to \vec P$.
Lors de ce passage à la limite, cette distribution de charge tend vers une charge répartie sur la surface de la sphère. Un élément $dS$ de cette surface est la limite d’un volume $d\tau = \overrightarrow {dS} \cdot \overrightarrow {{O_ - }{O_ + }} $ qui contient la charge $\rho \,\overrightarrow {dS} \cdot \overrightarrow {{O_ - }{O_ + }} = \vec P \cdot \overrightarrow {dS} $. Donc, la distribution de charge équivalente à la sphère polarisée est la densité superficielle de charge sur la surface de la sphère $\sigma = {P_N} = P\cos \theta $.

III.A.3 A l’extérieur, le potentiel est le même que si l’on avait concentré la charge de la sphère en son centre : ${V_\rho } = \frac{{\rho \frac{4}{3}\pi {a^3}}}{{4\pi {\varepsilon _0}r}}$.

A l’intérieur, le théorème de Gauss permet de calculer le champ électrique : $\begin{array}{l}4\pi {r^2}E = \frac{{\rho \frac{4}{3}\pi {r^3}}}{{{\varepsilon _0}}} \Rightarrow \vec E = \frac{{\rho \vec r}}{{3{\varepsilon _0}}}\quad - \frac{{dV}}{{dr}} = E = \frac{{\rho r}}{{3{\varepsilon _0}}}\quad V = V(a) - \int\limits_a^r {\frac{{\rho r}}{{3{\varepsilon _0}}}\,dr} \\{\rm{si }}r < a\;,\;\,{V_\rho } = \frac{{\rho (3{a^2} - {r^2})}}{{6{\varepsilon _0}}}\quad \quad {\rm{si }}r > a\;,\;\,{V_\rho } = \frac{{\rho {a^3}}}{{3{\varepsilon _0}r}}\end{array}$
III.A.4 En superposant les deux boules de la question II.A.2, on voit que le potentiel est la limite de $\begin{array}{l}{V_{\vec P}}(M) = \frac{{\rho ({O_ - }{M^2} - {O_ + }{M^2})}}{{6{\varepsilon _0}}} = \frac{{\rho (\overrightarrow {{O_ - }M} - \overrightarrow {{O_ + }M} ) \cdot (\overrightarrow {{O_ - }M} + \overrightarrow {{O_ + }M} )}}{{6{\varepsilon _0}}} = \frac{{\rho \overrightarrow {{O_ - }{O_ + }} \cdot (\overrightarrow {{O_ - }M} + \overrightarrow {{O_ + }M} )}}{{6{\varepsilon _0}}}\\{V_{\vec P}}(M) = \frac{{\vec P \cdot \vec r}}{{3{\varepsilon _0}}} \Rightarrow {E_{\vec P}} = - \,\overrightarrow {grad} \,V = - \frac{{\vec P}}{{3{\varepsilon _0}}}\end{array}$
L’expression du champ électrique s’obtient plus directement en superposant les champs électriques des deux boules de III.A.2 : ${\vec E_{\vec P}} = - \frac{{\rho \overrightarrow {{O_ - }M} }}{{3{\varepsilon _\`a }}} + \frac{{\rho \overrightarrow {{O_ + }M} }}{{3{\varepsilon _\`a }}} = - \frac{{\rho \overrightarrow {{O_ - }{O_ + }} }}{{3{\varepsilon _\`a }}} = - \frac{{\vec P}}{{3{\varepsilon _\`a }}}$.

III.B.1 $\overrightarrow {rot} \,\vec E = - \frac{{\partial \vec B}}{{\partial t}}\quad \overrightarrow {rot} \,\vec H = \vec j + \frac{{\partial \vec D}}{{\partial t}}\quad div\,\vec B = 0\quad div\,\vec D = \rho $

III.B.2 A la traversée d’une surface, sont continus ${\vec E_T},{B_N}$ ; ${D_{N2}} - {D_{N1}} = \sigma \quad {\vec H_{T2}} - {\vec H_{T1}} = {\vec j_S} \wedge {\vec n_{12}}$
III.B.3 Le champ incident et le champ total doivent vérifier les équations de Maxwell dans le vide ; comme les équations de Maxwell sont linéaires, elles sont vérifiées par le champ diffusé qui est la différence du champ total et du champ incident.
III.B.4 et III.B.5 On peut remplacer la polarisation électrique par une distribution de charge sur la sphère ${\sigma _{lié }} = {P_N} = P\cos \theta $ et une distribution de courant dans la sphère ${j_{lié }} = \frac{{\partial \vec P}}{{\partial t}}$.
III.B.6 Dans une bille, $\vec D = {\varepsilon _0}\vec E + \vec P = {\varepsilon _P}\vec E \Rightarrow \vec P = ({\varepsilon _P} - {\varepsilon _0})\vec E$.
III.C.1 Les potentiels sont proportionnels aux courants et aux charges tels qu’ils étaient antérieurement, le retard considéré étant la durée de propagation de la lumière de la source à l’effet. Ce retard s’exprime par le terme $\exp ( - ik\left\| {\vec r - \vec r'} \right\|)$.
III.C.2 Si on peut négliger le terme de propagation, $\underline{{\vec{A}}}_{d}^{\operatorname{int}}(\vec{r})=\frac{{{\mu }_{0}}{{\underline{{\vec{j}}}}_{li\acute{e}}}}{4\pi }\iiint_{bille}{\frac{{{d}_{3}}{r}'}{\left\| \vec{r}-{\vec{r}}' \right\|}}$ a la même forme que le potentiel dans une boule uniformément chargé en volume $\underline{V}(\vec{r})=\frac{\rho }{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\iiint_{bille}{\frac{{{d}_{3}}{r}'}{\left\| \vec{r}-{\vec{r}}' \right\|}}=\frac{\rho (3{{a}^{2}}-{{r}^{2}})}{6{{\varepsilon }_{0}}}$. Donc $\underline {\vec A} _d^{{\mathop{\rm int}} }(\vec r) = \frac{{{\mu _0}{{\vec j}_{li\'e }}(3{a^2} - {r^2})}}{6}$.
III.C.3 La condition de jauge de Lorentz est $\frac{{\partial \underline A _d^{{\mathop{\rm int}} }}}{{\partial z}} + \frac{{i\omega {{\underline V }_d}}}{{{c^2}}} = 0$.
$\begin{array}{l}\underline V _d^{{\mathop{\rm int}} } = - \frac{{{c^2}}}{{i\omega }}\frac{{\partial \underline A _d^{{\mathop{\rm int}} }}}{{\partial z}} = \frac{{{\mu _0}{c^2}{{\underline j }_{lié }}z}}{{3i\omega }}\\\underline {\vec E} _d^{{\mathop{\rm int}} } = - i\omega \underline {\vec A} _d^{{\mathop{\rm int}} } - \,\overrightarrow {grad} \,\underline V _d^{{\mathop{\rm int}} } = \frac{{ - i\omega {\mu _0}{{\underline {\vec j} }_{lié }}(3{a^2} - {r^2})}}{6} - \frac{{{\mu _0}{c^2}{{\underline {\vec j} }_{lié }}}}{{3i\omega }} \approx - \frac{{{\mu _0}{c^2}{{\underline {\vec j} }_{lié}}}}{{3i\omega }} = - \frac{{{{\underline {\vec j} }_{lié}}}}{{3{\varepsilon _0}i\omega }}\end{array}$
car $a\omega < < c$ puisque $a < < {\lambda _0}$.
$\underline {\vec B} _d^{{\mathop{\rm int}} } = \,\overrightarrow {rot} \underline {\vec A} _d^{{\mathop{\rm int}} } = \,\frac{{{\mu _0}\,\overrightarrow {grad} \,(3{a^2} - {r^2}) \wedge \underline {\vec j} _d^{{\mathop{\rm int}} }}}{6} = \frac{{{\mu _0}\vec r \wedge \underline {\vec j} _d^{{\mathop{\rm int}} }}}{3}$

III.C.4
$\begin{array}{l}\underline {\vec E} _d^{{\mathop{\rm int}} } \approx - \frac{{{\mu _0}{c^2}{{\underline {\vec j} }_{lié }}}}{{3i\omega }} = - \frac{{\underline {\vec P} }}{{3{\varepsilon _0}}} = - \frac{{({\varepsilon _P} - {\varepsilon _0})({{\underline {\vec E} }_i} + \underline {\vec E} _d^{{\mathop{\rm int}} })}}{{3{\varepsilon _0}}}\\\underline {\vec E} _d^{{\mathop{\rm int}} } = \frac{{{\varepsilon _P} - {\varepsilon _0}}}{{{\varepsilon _P} + 2{\varepsilon _0}}}{\underline {\vec E} _i}\end{array}$
qui est bien uniforme à l’ordre 0 en $\omega $. Les termes d’ordre supérieur ne sont pas uniformes. $\underline {\vec B} _d^{{\mathop{\rm int}} } = \,\frac{{{\mu _0}\vec r \wedge \underline {\vec j} _d^{{\mathop{\rm int}} }}}{3}$ n’est pas uniforme, mais est d’ordre 1 par rapport à $\omega $ et doit donc être négligé : $\underline {\vec B} _d^{{\mathop{\rm int}} } = \vec 0$.
III.D.1 Pour calculer le champ électromagnétique loin de la bille, il faut négliger $r'$ dans l’expression (25), car $r' < < r$ et $r' < < {\lambda _0}$. D’où : ${\underline {\vec A} _d} = {\underline {\vec A} _0}\frac{{\exp ( - ikr)}}{r}\quad {\underline {\vec A} _0} = \frac{{{\mu _0}V{{\underline {\vec j} }_{li\'e }}}}{{4\pi }}\quad V = \frac{4}{3}\pi {a^3}$
Il vaut mieux écrire une expression en fonction du volume $V$ de la sphère que de $a$.

III.D.2

$\begin{array}{l}{\underline V _d} = - \frac{{{c^2}}}{{i\omega }}div\,{\underline {\vec A} _d} = - \frac{{{c^2}}}{{i\omega }}\frac{\partial }{{\partial z}}\left( {{{\underline A }_0}\frac{{\exp ( - ikr)}}{r}} \right)\\{r^2} = {x^2} + {y^2} + {z^2}\quad 2r\,dr = 2z\,dz\quad \frac{{\partial f(r)}}{{\partial z}} = \frac{z}{r}\frac{{df(r)}}{{dr}} = \cos \theta \frac{{df(r)}}{{dr}}\\{\underline V _d} = - \frac{{{c^2}{{\underline A }_0}\cos \theta }}{{i\omega }}\frac{d}{{dr}}\left( {\frac{{\exp ( - ikr)}}{r}} \right)\\{\underline E _{d,r}} = - i\omega {\underline A _0}\cos \theta \frac{{\exp ( - ikr)}}{r} - \frac{{\partial {{\underline V }_d}}}{{\partial r}} = {\underline A _0}\cos \theta \left( { - i\omega \frac{{\exp ( - ikr)}}{r} + \frac{{{c^2}}}{{i\omega }}\frac{{{d^2}}}{{d{r^2}}}\left( {\frac{{\exp ( - ikr)}}{r}} \right)} \right)\\{\underline E _{d,\theta }} = i\omega {\underline A _0}\sin \theta \frac{{\exp ( - ikr)}}{r} - \frac{1}{r}\frac{{\partial {{\underline V }_d}}}{{\partial \theta }} = {\underline A _0}\sin \theta \left( {i\omega \frac{{\exp ( - ikr)}}{r} - \frac{{{c^2}}}{{i\omega }}\frac{1}{r}\frac{d}{{dr}}\left( {\frac{{\exp ( - ikr)}}{r}} \right)} \right)\end{array}$
Quand $r \to \infty $, au premier ordre en $\frac{1}{r}$, $\frac{{{d^2}}}{{d{r^2}}}\left( {\frac{{\exp ( - ikr)}}{r}} \right) \approx - {k^2}\frac{{\exp ( - ikr)}}{r}$. Alors, comme $k = \frac{\omega }{c}$, le terme en $\frac{1}{r}$ de ${\underline E _{d,r}}$est nul. Donc :${\underline {\vec E} _d} \approx i\omega {\underline A _0}\sin \theta \frac{{\exp ( - ikr)}}{r}{\vec e_\theta }$
III.D.3 La structure locale du champ électrique est celle d’une onde plane. En effet, les surfaces d’onde sont des sphères de centre l’origine, soit localement les plans perpendiculaires à la direction radiale ; le champ électrique est perpendiculaire à la propagation et d’amplitude localement constante. L’intensité est $\left\langle {\frac{{{{({{\vec E}_d} \wedge {{\vec B}_d})}_r}}}{{{\mu _0}}}} \right\rangle = \frac{{{\varepsilon _0}c{{\left| {{{\underline E }_d}} \right|}^2}}}{2}$.
III.D.4 ${{P}_{d}}=\iint\limits_{\text{sph }\!\!\grave{\mathrm{e}}\!\!\text{ re}}{\frac{{{\varepsilon }_{0}}c{{\left| {{\underline{E}}_{d}} \right|}^{2}}}{2}dS=\int\limits_{0}^{\pi }{\frac{{{\varepsilon }_{0}}c{{\omega }^{2}}{{\sin }^{2}}\theta {{\left| {{\underline{A}}_{0}} \right|}^{2}}}{2{{r}^{2}}}2\pi {{r}^{2}}\sin \theta \,d\theta }}=\pi {{\varepsilon }_{0}}c{{\omega }^{2}}{{\left| {{\underline{A}}_{0}} \right|}^{2}}\int\limits_{0}^{\pi }{{{\sin }^{3}}\theta \,d\theta }$
Le changement de variable $u = \cos \theta $ permet de calculer $\int\limits_0^\pi {{{\sin }^3}\theta \,d\theta } = 2\int\limits_0^{\pi /2} {{{\sin }^3}\theta \,d\theta } = - 2\int\limits_1^0 {(1 - {u^2})\,du} = \frac{4}{3}$.
${P_d} = \frac{4}{3}\pi {\varepsilon _0}c{\omega ^2}{\left| {{{\underline A }_0}} \right|^2}$.

III.D.5 En III.D1 : ${\underline {\vec A} _0} = \frac{{{\mu _0}V{{\underline {\vec j} }_{lié }}}}{{4\pi }}$ ; en III.C.3 : $\underline {\vec E} _d^{{\mathop{\rm int}} } = \frac{{{{\underline {\vec j} }_{li\'e }}}}{{3{\varepsilon _0}i\omega }}$ ; en III.C.4 : $\underline {\vec E} _d^{{\mathop{\rm int}} } = \frac{{{\varepsilon _P} - {\varepsilon _0}}}{{{\varepsilon _P} + 2{\varepsilon _0}}}{\underline {\vec E} _i}$.
D’où : ${P_d} = \frac{{4\pi {\varepsilon _0}c{\omega ^2}}}{3}{\left( {\frac{{{\mu _0}V}}{{4\pi }}} \right)^2}{(3\omega {\varepsilon _0})^2}{\left( {\frac{{{\varepsilon _P} - {\varepsilon _0}}}{{{\varepsilon _P} + 2{\varepsilon _0}}}} \right)^2}{\left| {{{\underline {\vec E} }_i}} \right|^2} = \frac{{3{\varepsilon _0}{V^2}{\omega ^4}}}{{4\pi {c^3}}}{\left( {\frac{{{\varepsilon _P} - {\varepsilon _0}}}{{{\varepsilon _P} + 2{\varepsilon _0}}}} \right)^2}{\left| {{{\underline {\vec E} }_i}} \right|^2}$.
III.D.6 ${I_i} = \frac{1}{2}{\varepsilon _0}c{\left| {{{\underline {\vec E} }_i}} \right|^2}$
${\sigma _d} = \frac{{{P_d}}}{{{I_i}}} = \frac{{3{V^2}{\omega ^4}}}{{2\pi {c^4}}}{\left( {\frac{{{\varepsilon _P} - {\varepsilon _0}}}{{{\varepsilon _P} + 2{\varepsilon _0}}}} \right)^2} = \frac{{24{\pi ^3}}}{{\lambda _0^4}}{\left( {\frac{{{\varepsilon _P} - {\varepsilon _0}}}{{{\varepsilon _P} + 2{\varepsilon _0}}}} \right)^2}{V^2}$
III.D.7 Cette expression est semblable à celle de II.C.3, en y replaçant $\frac{{{\varepsilon _P}}}{{{\varepsilon _0}}}$ par $\frac{{n_P^2}}{{n_e^2}}$, ce qui se comprend si l’on considère que l’indice $n$ d’un milieu est $\sqrt {{\varepsilon _r}} = \sqrt {\frac{\varepsilon }{{{\varepsilon _0}}}} $ et que seul compte l’indice apparent des billes, c’est-à-dire le rapport de leur indice à celui du milieu où elles baignent.